8 图与网络1--图基本概念
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e6 e5
v1
e1
e8
v6
v2
e2
e7
e9
v5
e4
4 v
e3
v 3
vi表示城市,ei表示公路w(ei) 表示公路ei的长度
如w(e2)=50表示城市v2与城 市v3之间的距离是50千米
一、图的基本概念与模型
网络（赋权图）
Page 21
端点无序的赋权图称为无向网络，端点有序的赋权图称为 有向网络。 ②
图的定义： 若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系， 则图G可以定义为点和边的集合，记作：
G {V , E }
其中: V——点集 E——边集
m(G)=|E|——G的边数，简记为m；
n(G)= |V|——G的顶点数，简记为n
一、图的基本概念与模型
接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
一、图的基本概念与模型
Page 6
例2 有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，它们之间比赛的情况 用图表示出来。
已知甲队和其他各队都比赛过一次，乙队和甲、丙队比赛过，丙 队和甲、乙、丁队比赛过，丁队和甲、丙、戊队比赛过，戊队和 甲、丁队比赛过。为了反映这个情况，可以用点 分别代表这五个 队，某两个队之间比赛过，就在这两个队所相应的点之间联一条 线，这条线不过其他的点，如图10-3所示。
e7
v2
（G图）
v5
e7
v4
(a)
v5
v4
(b)
v5
部分图也是子图 ，但子图不一定 是部分图。
一、图的基本概念与模型
网络（赋权图）
Page 20
设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应赋予数量指 标wij，wij称为边(vi,vj)的权,赋予权的图G称为网络(或赋权 图）。权可以代表距离、费用、通过能力(容量)等等。 如公路交通图：
性质2：在任何图G=(V,E)中，奇点的个数为偶数 证明：设V1，V2分别是图G中奇点和偶点的集合，则V1∪V2=V, V1∩V2=Φ,有性质1， d (vi ) d (vi ) d (vi ) 2m ，因为V2
iV iV1 iV2
是偶点的集合，d(vi)(i∈V2)均为偶数，所以
1) A,C,B,F,E,D 2) D,E,F,B,C,A B A C D
甲 乙 丙 丁 戊 己
√ √ √ √
√ √ √ √
√ √ √ √ √ √ √
F E
一、图的基本概念与模型
Page 24
思考题
一个班级的学生共计选修 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 六门 课程，其中一部分人同时选修 D 、 C 、 A ，一部分人同时 选修 B、 C 、 F，一部分人同时选修 B、 E，还有一部分人 同时选修 A、 B，期终考试要求每天考一门课，六天内考 完，为了减轻学生负担，要求每人都不会连续参加考试， 试设计一个考试日程表。
甲 乙 丙 丁 戊 己
A √ √ √ √
B √
C
D √ √
E
F
√ √ √ √
√ √ √ √
一、图的基本概念与模型
Page 23
解：用图来建模。把比赛项目作为研究对象，用点表示。 如果2个项目有同一名运动员参加，在代表这两个项目的 点之间连一条线，可得下图。 A B C D E F
在图中找到一个点序列，使得 依次排列的两点不相邻，即能 满足要求。如：
一、图的基本概念与模型
人们为反映一些对象之间关系时， 常会用示意图。
Page 5
铁路交通图
例1 右图是我国北京、上海等十个 城市间的铁路交通图，反映了这十 个城市间的铁路分布情况。这里用 点代表城市，用点和点之间的连线 代表这两个城市之间的铁路线。 其他示意图的例子
电话线分布图、煤气管道图、航空 线图等。
为奇数的点称作奇点，次为偶数的 点称作偶点，次为1的点称为悬挂点，
e8
次为0的点称作孤立点。
v4
v5
图的次: 一个图的次等于各点的次之和。
次的性质
Page 13
性质1：在图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数m的两倍。
证明：由于每条边均与两个顶点关联，因此在计算顶点的次时每条边 都计算了两遍，所以顶点次数的总和等于边数的二倍。
哥尼斯堡桥对应的图
Page 3
汉
汉阳
江
汉口
长
江
您能从某地出发走过每座桥且只走一 次然后回到原地吗?
Chapter8 图与网络优化
( Graph Theory and Network Analysis )
本章主要内容：
图的基本概念与模型 最大流问题
树与图的最小树
最短路问题
最小费用最大流问题
中国邮递员
v4 v2
v1
e4 e5
e3 v3
e6
e7
e8
v5
一、图的基本概念与模型
环, 多重边, 简单图 如果边e的两个端点相重，称该边为
e2 e1 v1 e4 e5 e6 e7 e3
Page 11
环。如右图中边e1为环。如果两个点 v2
之间多于一条，称为多重边，如右 图中的e4和e5，对无环、无多重边的
v3
Chapter8 图与网络优化
图论
( Graph Theory and Network Analysis )
运筹学的重要分支 主要应用领域
物理学、化学、控制论、信息论、科学管理、电子计算机等
图论理论和方法应用实例
在组织生产中，为完成某项生产任务，各工序之间怎样衔接，才能使生 产任务完成得既快又好。
一个邮递员送信，要走完他负责投递的全部街道，完成任务后回到邮局， 应该按照怎样的路线走，所走的路程最短。
iV1 i
iV2
d (v ) 为偶数，
i
, d(vi )(i V1 )均为奇数 , 而V1是奇点的集合 d (v )为偶数
只有偶数个奇数相加才能得到偶数，所以V1中的点，即奇点的 个数为偶数。
一、图的基本概念与模型
v 1
Page 14
v2
e2
e1
e6
v5
d (v1 ) 3, d (v2 ) 1, d (v3 ) 4
9 ①
20 ③ 10
7
1915 ④ 14 6⑤⑥ 25一、图的基本概念与模型
图的模型应用
Page 22
例 有甲,乙,丙,丁,戊,己6名运动员报名参加A,B,C,D,E,F 6个项 目的比赛。下表中打√的是各运动员报告参加的比赛项目。 问6个项目的比赛顺序应如何安排，做到每名运动员都不连 续地参加两项比赛。
d (v 4 ) 3, d (v5 ) 0, d (v6 ) 1, v2、v6为悬挂点， e2、e5为悬挂边，
v6
e
e3
5
e4
v 4
v 3
v5为孤立点， v1、v2、v4、v6为奇点，v5、v3为偶点
d (vi ) 12 ，G的边数m=6
即 d (vi ) 2m
一、图的基本概念与模型
0 9 A 2 4 7
9 2 4 7 0 3 4 0 3 0 8 5 4 8 0 6 0 5 6 0
一、图的基本概念与模型
思考题解答：
Page 25
以每门课程为一个顶点，共同被选修的课程之间用边相连， 得图，按题意，相邻顶点对应课程不能连续考试，不相邻顶 点对应课程允许连续考试。 如C—E—A—F—D—B，就是一个符合要求的考试课程表。 A B
F
C
E
D
图的矩阵表示
Page 26
如何在计算机中存储一个图呢？现在已有很多存储的方法， 但最基本的方法就是采用矩阵来表示一个图 定义：网络(赋权图)G＝(V,E),其边(vi,vj)有权ωij,构造矩阵 A=(aij)n×n,其中： (vi , v j ) E a ij ij 0 其它 称矩阵A为网络G的权矩阵。 例、写出下图的权矩阵 v5 • 7 5 6 4 v1• • v4 2 9 4 8 v2 • 3 • v3
Page 15
v3
e8
2 {v5 , e8 , v3 , e7 , v4}
起点与终点重合的链称作圈。如果每一对顶点之间至少存 在一条链，称这样的图为连通图，否则称图不连通。 若链中所有顶点也不相同，称此链为路。起点与终点重合 的路称作回路。（u2为路）
v4
v5
Page 16
完全图，偶图 完全图： 一个简单图，若任意两个顶点之间均有一条边相 连，则称这样的图为完全图。 对于完全图，由于每个顶点与所有其余顶点都有一条 边相连，所以在有n个顶点的完全图中，各个顶点的次均为 v1 （n-1）。 •
图：是反映对象之间关系的一种抽象
比赛情况图
※ 图G区别于几何学中的图。这里只关心图中有多少个点以及哪些点 之间有连线。
一、图的基本概念与模型
Page 9
图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长 短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。
(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c) 时可以清楚看出。
Page 18
若偶图的顶点集合V1，V2之间的每一对不同顶点都有一条 边相连，称这样的图为完全偶图。
v1 • v2 • v3• • v4 • v5
(完全)偶图
一、图的基本概念与模型
子图，部分图(支撑子图) 图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果有
比赛情况图
图10-3
Page 7
例3 某单位储存八种化学药品，其中某些药品是不能存放在 同一个库房里的。用点 v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 , v6 ,v7 ,v8分别代表这八种 药品，若药品vi和药品vj是不能存放在同一个库房的，则在 vi和vj之间联一条线。
从这个图中可以看到，至少要有四个库房，因为 v1 ,v2 ,v5 ,v8 必须存放在不同的库房里。 事实上，四个库房就足够了。例如 {v1},{v2 ,v4 ,v7 },{v3 ,v5 },{v6 ,v8 } 各 存放在一个库房里(这一类寻求库房的最少个数问题，属于图论中 的所谓染色问题，一般情况下是尚未解决的)。
V 1 V 2 和 E 1 E 2称G1是G2的一个子图。 v2 若有 V 1＝ V 2， E 1 E 2，则称G1是G2的一 e6 个部分图(支撑子图)。 v1
e4 v2 e5 e6 e8 v3 e2 e4 e3 v3 e6 e8 v4 e2 e1
Page 19
v1
e4
e5
e3 v3
e8
v2 •
v3 • • v4
• v5
完全图
一、图的基本概念与模型
Page 17
偶图：若图G的顶点能分成两个互不相交的非空集合V1和 V2 ，使在同一集合中的任意两个顶点均不相邻，称这样 的图为偶图，也称为二部图。 v1 v3 v5 (a) v2 v4 v6 v2 (b) v4 v4 (c) v3 v1 v3 v1 v2
Page 10
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它所连
e1
e2
端点,关联边,相邻
若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj 是边e的端点，反之称边e为点vi或vj 的关联边。若点vi、vj与同一条边关 联，称点vi和vj相邻；若边ei和ej具 有公共的端点，称边ei和ej相邻。
各种通信网络的合理架设，交通网络的合理分布等问题，应用图论的方 法求解都很简便。
Page 2
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题：穿过哥尼斯堡城的七座 桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。 这就是著名的“哥尼斯堡 7 桥”难题。
问题简化为：在该图中，从任一点出发，能否通过每条线段一次 且仅仅一次后又回到原来的出发点。
链，圈，连通图 图中某些点和边的交替序列，若其 中各边互不相同，且对任意vi,t-1和 vit均相邻称为链。用μ表示： {v 0 , e1 , v1 ,, ek , v k }
1 {v5 , e8 , v3 , e3 ,v1 ,e2 ,v2 ,e4 ,v3 ,e7 , v4}
e2 v2 e5 e6 e7 e1 v1 e4 e3
药品存放图
Page 8
图：由点及点与点的连线构成，反映了实际生活中某些对象之 间的某些特定关系
点：代表研究的对象； 连线：表示两个对象之间特定的关系。
一般情况下，图中点的相对位置如何，点与点之间连线的长短曲直 ，对反映对象之间的关系并不重要。
如例2，也可以用图10-5所示的图去反映五个球队的比赛情况，与图10-3 没有本质区别。
e8
图称作简单图；含有多重边的图称
为多重图。
v4
v5
一、图的基本概念与模型
次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点vi相关联的边的数目称为 点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。
v2 e5 e6 e7 e2 e1 v1 e4 e3
Page 12
v3
右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次
v1
e1
e8
v6
v2
e2
e7
e9
v5
e4
4 v
e3
v 3
vi表示城市,ei表示公路w(ei) 表示公路ei的长度
如w(e2)=50表示城市v2与城 市v3之间的距离是50千米
一、图的基本概念与模型
网络（赋权图）
Page 21
端点无序的赋权图称为无向网络，端点有序的赋权图称为 有向网络。 ②
图的定义： 若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系， 则图G可以定义为点和边的集合，记作：
G {V , E }
其中: V——点集 E——边集
m(G)=|E|——G的边数，简记为m；
n(G)= |V|——G的顶点数，简记为n
一、图的基本概念与模型
接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
一、图的基本概念与模型
Page 6
例2 有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，它们之间比赛的情况 用图表示出来。
已知甲队和其他各队都比赛过一次，乙队和甲、丙队比赛过，丙 队和甲、乙、丁队比赛过，丁队和甲、丙、戊队比赛过，戊队和 甲、丁队比赛过。为了反映这个情况，可以用点 分别代表这五个 队，某两个队之间比赛过，就在这两个队所相应的点之间联一条 线，这条线不过其他的点，如图10-3所示。
e7
v2
（G图）
v5
e7
v4
(a)
v5
v4
(b)
v5
部分图也是子图 ，但子图不一定 是部分图。
一、图的基本概念与模型
网络（赋权图）
Page 20
设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应赋予数量指 标wij，wij称为边(vi,vj)的权,赋予权的图G称为网络(或赋权 图）。权可以代表距离、费用、通过能力(容量)等等。 如公路交通图：
性质2：在任何图G=(V,E)中，奇点的个数为偶数 证明：设V1，V2分别是图G中奇点和偶点的集合，则V1∪V2=V, V1∩V2=Φ,有性质1， d (vi ) d (vi ) d (vi ) 2m ，因为V2
iV iV1 iV2
是偶点的集合，d(vi)(i∈V2)均为偶数，所以
1) A,C,B,F,E,D 2) D,E,F,B,C,A B A C D
甲 乙 丙 丁 戊 己
√ √ √ √
√ √ √ √
√ √ √ √ √ √ √
F E
一、图的基本概念与模型
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思考题
一个班级的学生共计选修 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 六门 课程，其中一部分人同时选修 D 、 C 、 A ，一部分人同时 选修 B、 C 、 F，一部分人同时选修 B、 E，还有一部分人 同时选修 A、 B，期终考试要求每天考一门课，六天内考 完，为了减轻学生负担，要求每人都不会连续参加考试， 试设计一个考试日程表。
甲 乙 丙 丁 戊 己
A √ √ √ √
B √
C
D √ √
E
F
√ √ √ √
√ √ √ √
一、图的基本概念与模型
Page 23
解：用图来建模。把比赛项目作为研究对象，用点表示。 如果2个项目有同一名运动员参加，在代表这两个项目的 点之间连一条线，可得下图。 A B C D E F
在图中找到一个点序列，使得 依次排列的两点不相邻，即能 满足要求。如：
一、图的基本概念与模型
人们为反映一些对象之间关系时， 常会用示意图。
Page 5
铁路交通图
例1 右图是我国北京、上海等十个 城市间的铁路交通图，反映了这十 个城市间的铁路分布情况。这里用 点代表城市，用点和点之间的连线 代表这两个城市之间的铁路线。 其他示意图的例子
电话线分布图、煤气管道图、航空 线图等。
为奇数的点称作奇点，次为偶数的 点称作偶点，次为1的点称为悬挂点，
e8
次为0的点称作孤立点。
v4
v5
图的次: 一个图的次等于各点的次之和。
次的性质
Page 13
性质1：在图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数m的两倍。
证明：由于每条边均与两个顶点关联，因此在计算顶点的次时每条边 都计算了两遍，所以顶点次数的总和等于边数的二倍。
哥尼斯堡桥对应的图
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汉
汉阳
江
汉口
长
江
您能从某地出发走过每座桥且只走一 次然后回到原地吗?
Chapter8 图与网络优化
( Graph Theory and Network Analysis )
本章主要内容：
图的基本概念与模型 最大流问题
树与图的最小树
最短路问题
最小费用最大流问题
中国邮递员
v4 v2
v1
e4 e5
e3 v3
e6
e7
e8
v5
一、图的基本概念与模型
环, 多重边, 简单图 如果边e的两个端点相重，称该边为
e2 e1 v1 e4 e5 e6 e7 e3
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环。如右图中边e1为环。如果两个点 v2
之间多于一条，称为多重边，如右 图中的e4和e5，对无环、无多重边的
v3
Chapter8 图与网络优化
图论
( Graph Theory and Network Analysis )
运筹学的重要分支 主要应用领域
物理学、化学、控制论、信息论、科学管理、电子计算机等
图论理论和方法应用实例
在组织生产中，为完成某项生产任务，各工序之间怎样衔接，才能使生 产任务完成得既快又好。
一个邮递员送信，要走完他负责投递的全部街道，完成任务后回到邮局， 应该按照怎样的路线走，所走的路程最短。
iV1 i
iV2
d (v ) 为偶数，
i
, d(vi )(i V1 )均为奇数 , 而V1是奇点的集合 d (v )为偶数
只有偶数个奇数相加才能得到偶数，所以V1中的点，即奇点的 个数为偶数。
一、图的基本概念与模型
v 1
Page 14
v2
e2
e1
e6
v5
d (v1 ) 3, d (v2 ) 1, d (v3 ) 4
9 ①
20 ③ 10
7
1915 ④ 14 6⑤⑥ 25一、图的基本概念与模型
图的模型应用
Page 22
例 有甲,乙,丙,丁,戊,己6名运动员报名参加A,B,C,D,E,F 6个项 目的比赛。下表中打√的是各运动员报告参加的比赛项目。 问6个项目的比赛顺序应如何安排，做到每名运动员都不连 续地参加两项比赛。
d (v 4 ) 3, d (v5 ) 0, d (v6 ) 1, v2、v6为悬挂点， e2、e5为悬挂边，
v6
e
e3
5
e4
v 4
v 3
v5为孤立点， v1、v2、v4、v6为奇点，v5、v3为偶点
d (vi ) 12 ，G的边数m=6
即 d (vi ) 2m
一、图的基本概念与模型
0 9 A 2 4 7
9 2 4 7 0 3 4 0 3 0 8 5 4 8 0 6 0 5 6 0
一、图的基本概念与模型
思考题解答：
Page 25
以每门课程为一个顶点，共同被选修的课程之间用边相连， 得图，按题意，相邻顶点对应课程不能连续考试，不相邻顶 点对应课程允许连续考试。 如C—E—A—F—D—B，就是一个符合要求的考试课程表。 A B
F
C
E
D
图的矩阵表示
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如何在计算机中存储一个图呢？现在已有很多存储的方法， 但最基本的方法就是采用矩阵来表示一个图 定义：网络(赋权图)G＝(V,E),其边(vi,vj)有权ωij,构造矩阵 A=(aij)n×n,其中： (vi , v j ) E a ij ij 0 其它 称矩阵A为网络G的权矩阵。 例、写出下图的权矩阵 v5 • 7 5 6 4 v1• • v4 2 9 4 8 v2 • 3 • v3
Page 15
v3
e8
2 {v5 , e8 , v3 , e7 , v4}
起点与终点重合的链称作圈。如果每一对顶点之间至少存 在一条链，称这样的图为连通图，否则称图不连通。 若链中所有顶点也不相同，称此链为路。起点与终点重合 的路称作回路。（u2为路）
v4
v5
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完全图，偶图 完全图： 一个简单图，若任意两个顶点之间均有一条边相 连，则称这样的图为完全图。 对于完全图，由于每个顶点与所有其余顶点都有一条 边相连，所以在有n个顶点的完全图中，各个顶点的次均为 v1 （n-1）。 •
图：是反映对象之间关系的一种抽象
比赛情况图
※ 图G区别于几何学中的图。这里只关心图中有多少个点以及哪些点 之间有连线。
一、图的基本概念与模型
Page 9
图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长 短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。
(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c) 时可以清楚看出。
Page 18
若偶图的顶点集合V1，V2之间的每一对不同顶点都有一条 边相连，称这样的图为完全偶图。
v1 • v2 • v3• • v4 • v5
(完全)偶图
一、图的基本概念与模型
子图，部分图(支撑子图) 图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果有
比赛情况图
图10-3
Page 7
例3 某单位储存八种化学药品，其中某些药品是不能存放在 同一个库房里的。用点 v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 , v6 ,v7 ,v8分别代表这八种 药品，若药品vi和药品vj是不能存放在同一个库房的，则在 vi和vj之间联一条线。
从这个图中可以看到，至少要有四个库房，因为 v1 ,v2 ,v5 ,v8 必须存放在不同的库房里。 事实上，四个库房就足够了。例如 {v1},{v2 ,v4 ,v7 },{v3 ,v5 },{v6 ,v8 } 各 存放在一个库房里(这一类寻求库房的最少个数问题，属于图论中 的所谓染色问题，一般情况下是尚未解决的)。
V 1 V 2 和 E 1 E 2称G1是G2的一个子图。 v2 若有 V 1＝ V 2， E 1 E 2，则称G1是G2的一 e6 个部分图(支撑子图)。 v1
e4 v2 e5 e6 e8 v3 e2 e4 e3 v3 e6 e8 v4 e2 e1
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v1
e4
e5
e3 v3
e8
v2 •
v3 • • v4
• v5
完全图
一、图的基本概念与模型
Page 17
偶图：若图G的顶点能分成两个互不相交的非空集合V1和 V2 ，使在同一集合中的任意两个顶点均不相邻，称这样 的图为偶图，也称为二部图。 v1 v3 v5 (a) v2 v4 v6 v2 (b) v4 v4 (c) v3 v1 v3 v1 v2
Page 10
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它所连
e1
e2
端点,关联边,相邻
若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj 是边e的端点，反之称边e为点vi或vj 的关联边。若点vi、vj与同一条边关 联，称点vi和vj相邻；若边ei和ej具 有公共的端点，称边ei和ej相邻。
各种通信网络的合理架设，交通网络的合理分布等问题，应用图论的方 法求解都很简便。
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近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题：穿过哥尼斯堡城的七座 桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。 这就是著名的“哥尼斯堡 7 桥”难题。
问题简化为：在该图中，从任一点出发，能否通过每条线段一次 且仅仅一次后又回到原来的出发点。
链，圈，连通图 图中某些点和边的交替序列，若其 中各边互不相同，且对任意vi,t-1和 vit均相邻称为链。用μ表示： {v 0 , e1 , v1 ,, ek , v k }
1 {v5 , e8 , v3 , e3 ,v1 ,e2 ,v2 ,e4 ,v3 ,e7 , v4}
e2 v2 e5 e6 e7 e1 v1 e4 e3
药品存放图
Page 8
图：由点及点与点的连线构成，反映了实际生活中某些对象之 间的某些特定关系
点：代表研究的对象； 连线：表示两个对象之间特定的关系。
一般情况下，图中点的相对位置如何，点与点之间连线的长短曲直 ，对反映对象之间的关系并不重要。
如例2，也可以用图10-5所示的图去反映五个球队的比赛情况，与图10-3 没有本质区别。
e8
图称作简单图；含有多重边的图称
为多重图。
v4
v5
一、图的基本概念与模型
次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点vi相关联的边的数目称为 点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。
v2 e5 e6 e7 e2 e1 v1 e4 e3
Page 12
v3
右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次