第八章多元函数积分法.

第八章 多元函数积分法（复习）一、二重积分（一）二重积分的概念(,)Df x y d σ⎰⎰01l i m (,)ni i i i f λξησ→==∆∑ 二重积分和定积分一样，都来自非均匀分布量求和的需要，它们的差异在于：定积分研究的是非均匀分布在区间上的量，而二重积分是研究非均匀分布在平面区域上的量.从解决问题的方法来看，二重积分和定积分是一样的，概括地讲，就是：分割、近似、求和、取极限.即首先对区域进行分割，在每个微小的区域上把非均匀看作均匀求得近似值，然后累加起来得到总量的近似值，再通过取极限使这个近似值转化为精确值.这就是重积分（定积分）定义的原始模型，也是解决有关重积分（定积分）实际问题的方法和步骤.当0),(≥y x f 时,⎰⎰Ddxdy y x f ),(的几何意义为以曲面(,)z f x y =（即被积函数）为顶、区域D 为底、母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积. （二）二重积分的性质 １．运算性质：⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ),(),(⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDd y x f d y x f d y x fy x f σσσ),(),()],(),([2121２．对积分区域的可加性⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ ( 21D DD +=)3．积分中值定理()(),,Df x y d f σξησ=⎰⎰,D ∈),(ηξ（三）二重积分的计算 １、直角坐标系中的计算法D∆σiZ=f (x,y )yz (ξi ,ηi )图8.1o x（１）当积分区域D 为X 型区域:)()(,21x y y x y b x a ≤≤≤≤(图8.2)时,有21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰（先y 后x ）（２）若积分区域D 为Y 型区域:)()(,21y x x y x d y c ≤≤≤≤(图8.4),有公式21()()(,)(,)dx y cx y Df x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰（先x 后y ）以上两种区域称为简单区域,其边界与平行于y 轴(x 轴)的直线最多交于两点或者平行于坐标轴（这样在对某一变量积分时，可使每一部分边界曲线方程以这一变量作为因变量表出时，都是单值函数）。

而对于由光滑曲线围成的一般区域总可分割成这两种区域的并。

关键：恰当选择积分次序及正确确定积分限.注意：两层积分的上限都不可小于下限;外层积分的上下限总是常数,而内层积分的上下限一般应为外层积分变量的函数,除非边界为平行于坐标轴的直线. ２、极坐标系中的计算法（１）设积分区域)()(,:21θθβθαr r r D ≤≤≤≤(图8.6),此时极坐标下的面积元素为d rdrd σθ=再由公式θθsin ,cos r y r x ==,得(,)Df x y dxdy ⎰⎰21()()(cos ,sin )r r d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰（２）若D 包含极点在内(图8.7),则积分限应为2()(,)(cos ,sin )r Df x y xdxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰（３）若极点在D 的边界曲线)(θr r =上(图8.8),则积分限应为()(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰)图8.4图8.2o=α图8.6图8.7图8.8关键：根据积分区域的情况选用合适的公式；先对r 积分后对θ积分；记住极坐标中的面积元素的表达式；注意曲线方程化为极坐标方程（利用公式θθsin ,cos r y r x ==），以及θ的变化范围。

对于积分区域是圆或被积函数具有)(22y x f +形式的情形,可利用极坐标简化计算. （四）二重积分的应用１．面积要求平面区域D 的面积σ，可以考虑在D 上的二元函数1),(≡y x f 在该区域的二重积分，由二重积分的定义知，区域D 的面积是Ddxdy σ=⎰⎰２．体积空间立体总可以分成几个曲顶柱体，因而求空间立体的体积归结为求曲顶柱体的体积问题，而曲顶柱体的体积可用二重积分来表达。

设在平面区域D 上定义的函数),(y x f z =连续，则以(,)0z f x y =≥为顶D 为底的曲顶柱体的体积为(,)DV f x y d σ=⎰⎰3. 空间曲面的面积与对面积的曲面积分*设曲面S 的方程为(,)z z x y =，xy D 为曲面（S ）在xoy 平面上的投影区域，函数(,)z x y 在D 上具有连续偏导数，则曲面S 的面积为xysD S ds σ==⎰⎰⎰⎰其中，面积元素是dS σ=注：当),(y x f x '和),(y x f y'连续时，曲面),(y x f z =是可求面积的。

一般说来，光滑曲面或按片光滑曲面都是可求面积的。

*对面积的曲面积分(,,)(,,(,sDf x y z ds f x y z x y σ=⎰⎰⎰⎰4. 平面薄板的质量如果平面薄板上任一点处的面密度为),(y x f ，当),(y x f 连续，则其质量为(,)DM f x y d σ=⎰⎰*5. 静力矩若一平面薄板D ，其密度为),(y x μ，则整个平面薄板D 对轴x 的静力矩为⎰⎰∑===→Dni i i i i x dxdy y x y y x y M i ),(),(lim10μσ∆μσ∆对y 轴的静力矩为 ⎰⎰=Dy dxdy y x x M ),(μ*６. 重心设),(y x 为平面薄板D 的重心坐标，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDDDdxdyy x dxdyy x y y dxdyy x dxdyy x x x ),(),(,),(),(μμμμ对于质量均匀的平面薄片，其重心坐标为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDDDdxdyydxdyy dxdyxdxdyx ,。

*7. 转动惯量位于平面域D 上的一块密度为),(y x μ的平面薄板对x 轴的转动惯量是⎰⎰=Dx dxdy y x y I ),(2μ对y 轴的转动惯量是 ⎰⎰=Dy dxdy y x x I ),(2μ对坐标原点的转动惯量是 y x Do I I dxdy y x y x I +=+=⎰⎰),()(22μ（五）积分区域的对称性和被积函数的奇偶性１）设D 对称于Y 轴，D １是D 的左半部分，如(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)0Df x y dxdy =⎰⎰；如(,)(,)f x y f x y -=，则1(,)2(,)DD f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰；２）设D 对称于X 轴，D １是D 的上半部分， 如(,)(,)f x y f x y -=-，则(,)0Df x y dxdy =⎰⎰；如(,)(,)f x y f x y -=，则1(,)2(,)DD f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰；３）设D 对称于原点，将D 分为对称于原点的两部分D １和D ２， 如(,)(,)f x y f x y --=-，则(,)0Df x y dxdy =⎰⎰；如(,)(,)f x y f x y --=，则1(,)2(,)DD f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰。

二、曲线积分（一）对弧长的曲线积分1、定义如果积分域Ω取作平面或空间曲线L ，则有第一类曲线积分（即对弧长的曲线积分）：∑⎰=→=ni i i Ls P f ds P f 1)(lim )(∆λ称L 为积分路径，ds 称为弧长元素（即曲线L 上各小弧段的长度i s ∆）。

说明：（a ）当L 是平面曲线时，)(P f 一般为二元函数),(y x f ；L 是空间曲线时，)(P f 一般为三元函数),,(z y x f 。

由于点P 始终被限制在曲线L 上，y x 、或z y x 、、并不彼此独立而是受曲线L 的方程的约束，实际上是一维的，因此，线积分用一个“⎰”表示。

（b ）由于i s ∆是每一小弧段的长度，所以规定它是正的。

(c)物理意义：设L 为质量非均匀的平面或空间曲线段，其线密度为(),(,)P P x y L μρ=∈，则曲线段L 的质量为()Lm P ds ρ=⎰而曲线L 的弧长为Lm ds =⎰。

（d ）几何意义：设已给柱面，它的准线是xoy 平面上的曲线L ，它的母线垂直于xy 平面，1L 为柱面上某一曲线(假定曲线在xoy 平面的上方)，显然，曲线L 1上点M 的竖坐标是曲线L 上点P 的函数，即()(,)z f P f x y ==.故曲线L 与1L 之间的那一部分柱面面积就是()LQ f P ds =⎰.当曲面在某坐标面上的投影为一条曲线时，通常用对弧长的曲线积分计算曲面面积。

（e ）如果L 是闭曲线，则函数)(P f 在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记为⎰Lds P f )(。

2、性质1) 与积分路径的方向无关，即()()ABBAf P ds f P ds =⎰⎰2) ⎰⎰⎰±=±LLLds P f ds P f ds P f P f )()()]()([21213) ⎰⎰=LLds P f k ds P kf )()(4) 若CB AC AB L L L +=，则⎰⎰⎰+=CBACABds P f ds P f ds P f )()()(3、 计算方法−化为参变量的定积分１）平面曲线L ：)( )(),(βα≤≤==t t y y t x xds =(,)((),(Lf x y ds f x t y t βα=⎰⎰方法：只要把y x 、用L 上的点))(),((t y t x 代入，并把ds 换成L 的弧微分,即可化为上式右边的定积分.２）平面曲线L ：)()(b x a x y y ≤≤=表示，则ds =(,)(,(baLf x y ds f x y x =⎰⎰方法：只要应用曲线L 的方程，从y x 、中消去一个变量，就可以将对弧长的曲线积分化成定积分进行计算。

３）空间曲线L ：)(z(t)z , )(),(βα≤≤===t t y y t x x(,,)((),(),(Lf x y z ds f x t y t z t βα=⎰⎰注：上、下限分别是L 的两个端点所对应的参数值。

由于定义中规定i s ∆总是正的，所以s是随着t 的增大而增大的，化为定积分后下限必须小于上限。

（二）对坐标的曲线积分1、 定义∑⎰=→+=+ni i i i i i i Ly Q x P dy y x Q dx y x P 10]),(),([lim ),(),(∆ηξ∆ηξλ说明：（a ）与第一类曲线积分一样，这里的y x 、也因为受到曲线L 的限制而是相互有关的。