信号与系统第四章 01

j t
dt
j t
f t

F e
d
2 当
lim
t
f t 0时 ， 衰 减 太 慢 或 不 衰 减 ， 不 存 在 傅 里 叶 变 换 。
t
构 造 函 数 f t e
为 实 数 ， 选 择 值 ， 使
lim
t
st
1 2 j

0
-
j
j
F s e ds
st
st
单边拉氏变换：
F s


f t t e
st
dt

f t e
dt


收敛域
lim f t e
t
t
0 0： 收 敛 轴 、 收 敛 边 界
4
2、 单 边 拉 普 拉 斯 变 换
实 际 问 题 中 ， 遇 到 的 信 号 都 是 有 起 始 时 刻 的 ， 即 f t f t t
单边拉普拉斯变换： F s


f t t e
st
dt

0
-
f t e
st
dt
1 实 际 工 程 ： 有 始 因 果 信 号
t e
s t
dt

0

t dt 1
即
t 1
2、指数信号e-atε(t)
F s L e
at
t

0

e
at
t e
s t
dt

0

e
a s t
dt
1 as
即
e
at
t
e
at
t
1 a s

1 1 2 j s a j


s a j 1

s a

2

2
即
当 a 0时 ，
e
at
s in t t
s a
2
2

2
s in t t
单边拉普拉斯变换，
理论问题研究：反因果信号、双边信号、时限信号等。
2 s是 复 参 量 ， s
j ， F s 是 以 s为 自 变 量 的 复 变 函 数 。
3 积 分 下 线 定 为 0 ， 是 为 了 包 括 t ； 当 不 包 含 t 时 ，
td e
s t
1 s t te s
0
0



0

e
s t
dt
1 s

0

e
s t
dt
1 1 st e s s
1 s
2

1 s
2
t t
小 结

定义 ： F s f t e d t， f t
j
收敛轴
0

收敛坐标的

右半平面
7
对于单边拉氏变换讨论：
1 有 界 的 非 周 期 信 号 的 拉 氏 变 换 一 定 存 在 满 足 0
其 收 敛 坐 标 为 0 ， 收 敛 域 为 全 部 s平 面 。


fHale Waihona Puke t e tdt
t e 0， 0， 2 单 位 阶 跃 信 号 lim 则 收 敛 域 为 S 平 面 的 t
二、拉普拉斯变换的收敛区
收 敛 域 ： 把 使 f t e
t
满足绝对可积条件的值的范围称为拉普
拉 斯 变 换 的 收 敛 域 ， 记 为 R O C， S 平 面 复 平 面 阴 影 部 分 表 示 。
F s 存 在 的 条 件 ： f t e
0

t
dt
6
例 、 信 号 e t 0 ， 求 收 敛 域 。
t
解： 要 使 lim e t e t
t
t
lim e e
t
t
t
lim e
t
t
0
则
0
即 收 敛 域 为 。 收 敛 域 图 如 下 图 所 示 。

s
2
4、单边衰减余弦信号e-atcos(ωt)ε(t)
F s L e
at
cos t t

1 1 2 s a j

e
a j t a j t t L e e 2 1 sa 2 s a j s a 2

11
常用信号的拉氏婴儿湿疹变换
Thanks for listening!
12
1 as 1 s A s
9
当 =0时 ， 则
t
对 常 数 A的 单 边 拉 氏 变 换 为
A
3、单边衰减正弦信号e-atsin(ωt)ε(t)
F s L e
at
1 a j t a j t t s in t t L e e 2j
积 分 下 限 写 成 “ 0 ” 或 “ 0 ” 是 一 样 的 。
4 拉 氏 正 反 变 换 的 简 记 形 式 ：f t
F s L f t ， f t L
1
F s
本章主要讨论 单边拉普拉斯变换！
F s
5
t
f t e
t

2
1 2


F j e
F j e
d
d
将上式两边乘以e ，则
f t

j t
令 s j d s jd ， 当 s j ， 则
F s f t


f t e
st
dt
st
— —衰减因子 — —振荡因子
1 2
j
j
j
F s e ds
积 分 区 间 包 含 着 时 间 轴 的 左 右 两 边 ， F s 称 为 f t 的 双 边 拉 普 拉 斯 变 换 象 函 数 。 f t 为 F s 的 原 函 数 。
f t e
t
收敛。
2
本章目录
F 拉普拉斯变换 常 拉普拉斯变换的性质 拉 拉 F

用 普 普 F 拉普拉斯反变换 信 拉 拉 号 斯 斯 的 变 LTI系统婴儿湿疹的复频域分析 变 F 拉 换 换 F 系统函数H(s) 普 的 的 拉 收 定 F 系统的稳定性 斯 敛 义 变 区 换
3
则 f t e
t
满足绝对可积条件，它的傅里叶变换为：

F f t e
t


f t e
t
e
j t
dt

1

f t e


j t
d t F j
j t

它的傅里叶反变换：
1
4.1
拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
1、 从 傅 里 叶 积 分 到 双 边 拉 普 拉 斯 变 换

1 当 函 数 f t 满 足 绝 对 可 积 条 件
f t dt 时 ，
可进行以下傅里叶变换和反变换： F

1 2

f t e
t
右半平面。
3 在 实 际 工 程 上 常 见 的 有 始 信 号 其 单 边 拉 氏 变 换 总 是 存 在 ，
且 其 收 敛 域 总 在 0的 区 域 。
8
三、常用信号的拉普拉斯变换
1、单位冲激信号δ(t)
F s L t
0


t
拉氏变换存在的充要条件： lim f t e
t
0。
对 于 有 始 信 号 f t ， 若 满 足 下 列 条 件 ：
lim f t e
t
t
0， 0 0： 收 敛 轴 、 收 敛 边 界

则 收 敛 条 件 为 0， 在 S 平 面 的 收 敛 域 如 下 图 所 示 。
1
即
当 a 0时 ，
at
cos t t
sa
s a
s
2
2

2
2
co s t t
s
10
7、t的正幂信号tε(t)
F s L t t
即

0
te
s t
dt
1
s
0
信号与系统
第四章 连续时间信号与系统的复频域分析
引
频域分析的缺点：
言
拉 普 拉 斯 变 换
（1）某些信号不存在傅里叶变换， （2）只能求yzs(t)，yzi(t)需按时域法求解，
（3）F-1[F(ω)]求婴儿湿疹解比较麻烦。
本章的核心内容是利用拉氏变换求解LTI系统响应。
（1）拉氏变换； （2）利用拉氏变换进行连续时间信号的复频域分析； （3）分析系统函数及其与系统特性的关系，系统复频域方框图。