罗比达法则求极限
洛必达法则化简公式
洛必达法则化简公式
洛必达法则是微积分中的一种重要工具，用于求解极限问题。
它可以将一个极限问题化简成一个可以求解的形式，从而简化了极限的计算过程。
洛必达法则包括两个公式：洛必达法则第一型和洛必达法则第二型。
洛必达法则第一型：
如果函数f(x)和g(x)在x=a处连续，且g(a)=0，那么当x趋近于a时，f(x)与g(x)的比值的极限存在，则这个极限等于函数
f(x)和g(x)的导数在x=a的值的比值。
即：lim[f(x)/g(x)](x→a) = lim[f'(x)/g'(x)](x→a)
洛必达法则第二型：
如果函数f(x)和g(x)在x→±∞时趋近于无穷或趋近于零，且f'(x)/g'(x)的极限存在，则f(x)/g(x)的极限存在，且等于
f'(x)/g'(x)的极限。
即：lim[f(x)/g(x)](x→±∞) = lim[f'(x)/g'(x)](x→±∞)以上就是洛必达法则的两个公式，它们对于求解极限问题非常有用。
我们可以根据具体的问题选择应用哪一种公式，将复杂的极限问题化简成简单的导数计算问题，从而更加方便地求解。
- 1 -。
洛必达法则在数学中的应用
洛必达法则在数学中的应用洛必达法则是微积分中重要的求极限方法之一，被广泛应用于数学领域中。
它的应用范围涉及到函数的极限、导数和不定积分等方面，为解决各种数学问题提供了有力的工具。
在数学中，洛必达法则主要用于求解极限问题。
当我们遇到一个函数极限难以直接求解的情况时，可以通过洛必达法则来进行转化和简化。
洛必达法则的核心思想是将待求的极限转化为两个函数的极限，然后通过对这两个函数的导数进行运算，进而求解出原函数的极限。
具体而言，洛必达法则适用于以下情况：1. 0/0型极限：当函数的分子和分母都趋于0时，我们可以对分子和分母分别求导，然后求导后的函数再次求极限。
2. ∞/∞型极限：当函数的分子和分母都趋于无穷大时，我们可以对分子和分母同时除以最高次项的幂，然后再次求极限。
3. 0*∞型极限：当函数的分子趋于0，分母趋于无穷大时，我们可以对分子和分母同时除以最高次项的幂，然后再次求极限。
举个例子来说明洛必达法则在数学中的应用。
假设我们要求极限lim(x->0)(sinx/x)，这个极限的结果是不确定的，因为当x趋近于0时，分子sinx趋近于0，分母x也趋近于0。
这时我们可以利用洛必达法则来简化计算。
对于这个极限问题，我们可以先对分子和分母分别求导，得到lim(x->0)(cosx/1)，再次求极限，得到结果为1。
通过洛必达法则，我们成功地将原本不确定的极限转化为了一个可以直接求解的极限。
除了求解极限问题，洛必达法则还可以应用于导数的计算。
对于一些复杂的函数，通过洛必达法则可以简化导数的计算过程。
例如，当我们要求解函数f(x)=x^2/(1+sinx)的导数时，可以先对分子和分母分别求导，得到f'(x)=(2x(1+sinx)-x^2cosx)/(1+sinx)^2。
通过洛必达法则，我们可以将原本复杂的导数计算简化为对一系列简单函数的导数计算，从而提高计算效率。
在不定积分计算中，洛必达法则也有着重要的应用。
洛必达法则求极限方法
洛必达法则求极限方法洛必达法则是一种在数学中用于求某变量极限的方法，它是求极限的经典方法，并得到了广泛应用。
下面我们就来介绍这种求极限的方法。
洛必达法则的基本原理是，如果存在某个变量x，满足x的增长速度趋于某个数字a，当x趋向于某一值时，其对应的极限就等于a。
换言之，用洛必达法则我们可以根据x增长速度趋于a时求出它的极限。
根据洛必达法则，我们可以将求极限的问题分为三步：1、首先，选取一个正数Δx，求出在Δx给定的情况下，极限值a的大小;2、然后，再将Δx取更小的值，比如Δx/2，求出新的极限值;3、最后，不断缩小Δx，最终Δx等于0时，得到的极限值即为最终结果。
洛必达法则可以用来求几乎所有表达式的极限，包括单个变量的函数极限和多个变量的函数极限，但前提是要求出极限的变量是逐步变化的。
比如说我们想要求出函数f(x) = x^2 + 10x + 20在x趋于4时的极限，则可以如下操作：1、首先选取Δx = 0.1，令x = 4 + 0.1及x = 4 - 0.1，得出f(4+0.1)=60.21，f(4-0.1)=55.79，即此时的极限值为58;2、接着选取Δx = 0.01，令x = 4 + 0.01及x = 4 - 0.01，得出f(4+0.01)=58.08，f(4-0.01)=57.92，即此时的极限值为58;3、最后再选取Δx = 0.001，令x = 4 + 0.001及x = 4 - 0.001，得出f(4+0.001)=57.998，f(4-0.001)=58.002，即此时的极限值也为58，因而，最终这里的极限值等于58，即函数f(x)在x趋于4时的极限值也等于58。
由此可见，洛必达法则是一种很实用的求极限方法，它能够快速有效地求出函数的极限值。
因此，在许多数学应用中都会用到这一方法。
洛必达法则
6 cos 6 x 3. = = lim π x → 2 cos 2 x
2
注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但与其它求极限方法结合使用,效果更好. 但与其它求极限方法结合使用,效果更好. 例6 解
tan x x . 求 lim 2 x → 0 x tan x
0 ( ) 0
(tan x )′ sec2 x = 1. 原式 = lim = lim x →0 x→0 → ( x )′ 1
x3 3 x + 2 . 例2 求 lim 3 2 x →1 x x x + 1
0 ( ) 0
3 x2 3 6x 3 解 原式 = lim 2 = lim = . x →1 3 x 2 x 1 x →1 6 x 2 2
2
1 ln(1 + ) x ; 2, 2, lim x → +∞ arctan x
3,lim x cot 2 x ;
x →0
2 1 ); 4, 4,lim( 2 x →1 x 1 x 1
1 tan x 6, 6, lim ( ) ; x → +0 x
5, lim x
x → +0
sin x
;
2 7, lim ( arctan x) x . x → +∞ π
sec 2 x 1 tan x x = lim 原式 = lim 2 3 x →0 x →0 3x x tan x 1 2 sec 2 x tan x 1 = lim = lim = . x →0 6x 3 x →0 x 3
0 二, ∞ , ∞ ∞ ,0 ,1 , ∞ 型未定式解法
0 0
∞
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 关键: 的类型 ( 0 ), ( ∞ ) .
极限计算方法总结
千里之行，始于足下。
极限计算方法总结极限计算是微积分中的基本概念之一，通过求极限可以揭示函数的性质和趋势，进而在数学和其他学科中发挥重要作用。
本文将总结一些常见的极限计算方法，包括取极限法、洛必达法则、泰勒开放、夹逼定理、变量替换等。
1. 取极限法取极限法是最基本的极限计算方法之一。
通过取自变量趋于某个特定值，可以得到极限的值。
常见的取极限法包括代入法、分解法、分子有理化法、乘法结合法等。
例如，要求函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)在x趋于1时的极限，可以通过代入法得到f(1)的值，即1。
因此，f(x)在x趋于1时的极限为1。
2. 洛必达法则洛必达法则是一种常用的求极限法则，适用于形如0/0或无穷小/无穷小的极限。
依据洛必达法则，只需对分子和分母同时求导，然后再取极限即可。
假如得到的极限仍旧是0/0或无穷小/无穷小的形式，则可以重复应用洛必达法则。
例如，要求极限lim(x->0) (sin x / x)，可以对分子和分母同时求导，得到lim(x->0) (cos x / 1) = cos 0 = 1。
3. 泰勒开放泰勒开放是一种将函数在某个点四周开放的方法，用来将简单的函数近似为简洁的多项式。
依据泰勒开放定理，可以将函数f(x)在点x=a处开放为无穷级数。
通过截取这个级数的前几项，可以近似计算函数在该点四周的值和极限。
例如，要求极限lim(x->0) (sin x / x)，可以用泰勒开放公式sin x = x -第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
x^3/3! + x^5/5! + O(x^6)近似，得到lim(x->0) (x - x^3/3! + x^5/5! +O(x^6)) / x = 1 - x^2/3! + x^4/5! + O(x^5)，当x趋近于0时，高阶无穷小项O(x^5)可以忽视，得到极限为1。
4. 夹逼定理夹逼定理是一种通过夹逼的方法来计算极限的方法。
洛必达公式数学
洛必达公式数学洛必达公式是数学中的一个重要定理，它在微积分和复分析等领域都有广泛的应用。
洛必达公式的全称是洛必达法则，它是由法国数学家洛必达发现并证明的。
洛必达公式主要用于求解极限。
在微积分中，我们经常遇到一些函数的极限问题，而洛必达公式提供了一种简便的方法来求解这些问题。
它的核心思想是通过对函数的导数进行比较来判断函数的极限值。
具体来说，洛必达公式的表述是：如果函数f(x)和g(x)在某一点a 的某个邻域内都可导，并且g'(x)不等于0，那么当x趋近于a时，如果f(x)和g(x)的极限存在，那么f'(x)和g'(x)的极限也存在，并且有以下关系：lim[x->a] (f(x)/g(x)) = lim[x->a] (f'(x)/g'(x))这个公式的应用非常广泛。
比如，我们可以利用洛必达公式来求解一些常见的极限，如0/0型、无穷/无穷型、0*无穷型等。
通过对函数的导数进行逐步化简，我们可以将复杂的极限计算转化为简单的代数运算，从而得到准确的结果。
除了在求解极限问题上的应用，洛必达公式还可以帮助我们研究函数的性质。
通过对函数的导数进行分析，我们可以判断函数在某一点的单调性、凹凸性以及极值等特征。
这对于函数的图像绘制和函数的最优化问题都具有重要的意义。
洛必达公式的证明过程比较复杂，需要运用到一些高级的数学工具和理论。
但是在实际的应用中，我们通常只需要记住公式的表述和应用方法即可，而不必深入研究其证明过程。
洛必达公式是数学中一个非常重要的工具，它为我们解决函数极限问题提供了简便的方法，同时也帮助我们研究函数的性质。
掌握洛必达公式的应用，对于学习微积分和复分析等相关学科都具有重要的意义。
无论是在科学研究中还是在实际问题中，洛必达公式都扮演着重要的角色，为我们提供了有力的工具和思路。
求极限的方法总结
求极限的方法总结极限是数学中的一个重要概念，它可以描述函数或数列在某一点或某个无穷远的情况下的趋势或结果。
在求解极限时，有许多不同的方法可以使用，下面我将简要总结一下常见的求极限的方法。
一、替换法替换法是求函数极限的常用方法之一。
当我们在计算某一点的函数极限时，可以尝试将该点的数值代入函数中，然后计算函数的值。
如果当点趋近于某个有限值时函数的极限存在，那么我们可以得出该极限的值。
二、分子分母因式分解法当我们计算一个分式的极限时，可以尝试对分子和分母进行因式分解。
通过因式分解，我们可以减少计算的复杂性，进而更容易求得极限的结果。
三、洛必达法则洛必达法则是求解函数极限的重要工具。
这个法则的基本思想是将一个函数的极限转化为同一点处的两个函数的极限之比。
如果这两个函数的极限都存在并且是有限的，那么我们可以得出原函数极限的结果。
四、夹逼定理夹逼定理是求解数列极限的常用方法之一。
这个定理的主要思想是通过两个逼近数列来逼近待求数列，进而确定数列的极限值。
夹逼定理在实际计算中可以大大简化问题的求解。
五、泰勒展开式泰勒展开式是一种将函数展开为无穷项级数的方法。
通过将函数展开为级数，我们可以更加准确地计算函数的极限值。
泰勒展开式有时候可以帮助我们求解一些复杂的函数极限，特别是在计算高阶导数时。
六、变量代换法变量代换法是一种将复杂极限转化为简单极限的方法。
通过对函数中的自变量进行适当的替代，我们可以将复杂的极限转化为简单的极限。
这种方法可以大大减少计算的难度，提高求解极限问题的效率。
七、松弛变量法松弛变量法是一种求解含有未知数的极限问题的方法。
通过引入一个松弛变量，我们可以使得原来的极限问题变得简单，从而更容易求解。
这种方法在求解一些复杂的函数极限时特别有用。
总结：求解极限的方法有替换法、分子分母因式分解法、洛必达法则、夹逼定理、泰勒展开式、变量代换法和松弛变量法等。
每种方法都有其适用的范围和特点，我们可以根据具体问题的不同选择合适的方法。
洛必达法则
2
o
为“ ”型， 有类似地洛必达法则.
f ( x) 0 f ( x) 当 x 时， lim 为“ ”型或 lim x F ( x ) x x0 F ( x ) 0 x
1 ln 1 x 例 4 求 lim x arc cot x
1 x （a＞ 0型 例 7 求 lim x a 1 0 ， a 1 ） x 解： 1 1 1 x 0 a ln a 2 1 x x a 1 0 x lim x a 1 lim lim x x 1 ，f ( x )，F ( x )均可导，
f ( x ) iii xlim 存在或者是 。 x0 F ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim ＝ lim . x x0 F ( x ) x x0 F ( x )
证： 1 若f ( x )，F ( x )均在 x0点处连续，
－lim sin x cos x 0
x 0
lim sin x
x 0
tan x
e 1
0
f ( x ) ，若发现 lim 注意：用罗必塔法则求极限时 x x0 F ( x ) f ( x) 不存在，不能轻易推断lim 也不存在. x x0 F ( x )
试讨论
4
0 0
4
x sin x 例 3 求 lim . 3 x 0 x
解：
0 0
0 型 0
0 0
x sin x 1 cos x sin x 1 lim lim lim 3 2 x 0 x 0 x 0 6 x 6 x 3x
说明： 1
o
f ( x ) 0 当 lim 仍为“ ”型时， x x0 F ( x ) 0
浅析洛必达法则求函数极限.docx
浅析洛必达法则求函数极限.docx⽤洛必达法则求未定式极限的⽅法⼀、洛必达法则求函数极限的条件及适⽤范围(⼀) 洛必达法则定理定理1⑴若函数/(X )与函数g(x)满⾜下列条件： (1)在。
的某去⼼邻域讥兀)内可导,且g?)HO (2) lim /(x) = 0 XTG+0 lim g(x) = 0 XTO+0 v f\x) A(3) lim ------ ------ = A兀T"+0 g\x)则lim /⑴⼆lim f = A (包括A 为⽆穷⼤的情形)XT"+0 g(x)g'(x)定理2若函数/(兀)和g(x)满⾜下列条件+ ⼀, X -> X o ，兀 TOO,兀⼀>+00,X —>—00。
定理证明：作辅助函数于是函数F(x)及G(x)在［d,d +》)连续，在(d,G + /)可导，并且G (%)丰0?今对(G ,G + /) 内任意⼀点x,利⽤柯西中值定理得(1) 在d 的某去⼼邻域Mr)内可导，且g3 H 0(2) lim /(x) = oolim p(x) = ooX->X ()(3) r⼴(x)⼈ lim = A则lim = lim 以卫=5+o 0(x) 5+() g(x) 5+0 g\x)A (包括A 为⽆穷⼈的怙:形)此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适⽤：F (兀)=0, 当兀=aG(x) =0, 当兀=a空n(叽空丄G(x) G(x)-G(G ) G\X Q )由F(Q 及G (劝的定义，上式B |jZW =ZW g(x) gUo)所以当XTQ + 0时（这时显然有兀oTG + O ）,对上式两端取极限，即证毕。
关于定理⼆的证明⽅法也同定理1类似，这⾥就不点出。
当然，还有其他不同的证明⽅法。
（-）洛必达法则使⽤条件只有在分⼦、分母同时趋于零或者同时趋于⽆穷⼤时，才能使⽤洛必达法则。
连续多次使⽤法则时，每次都要检査是否满⾜定理条件，只有未定式⽅可使⽤，若是检查结果满⾜法则使⽤条件，才可连续使⽤洛必达法则，直到求出函数极限或者为⽆穷⼤，否则就会得出错谋的结果，下⾯举个例⼦来说明。
极限的两个重要极限公式
极限的两个重要极限公式极限是数学中的一个重要概念，它描述了函数在无穷接近某一点时的趋势。
在微积分中，极限是一个基础概念，它被广泛应用于求导、积分和微分方程等数学领域。
在本文中，我们将介绍两个极限公式，它们是极限理论中的重要公式。
一、夹逼定理夹逼定理是极限理论中的一个重要定理，它描述了当一个函数在某一点的两侧趋近于一个相同的极限时，该函数在该点的极限也将趋近于该极限。
更具体地说，夹逼定理可以用以下公式表示：设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间[a, b]上有定义，且对于该区间内的任意x，都有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
如果lim g(x) = lim h(x) = L，那么lim f(x) = L。
这个定理的证明比较简单，我们可以通过使用不等式来证明。
具体来说，我们可以使用以下不等式：g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)由于lim g(x) = lim h(x) = L，所以当x趋近于某一点时，g(x)和h(x)都会趋近于L。
因此，我们可以把上述不等式两侧同时取极限，得到：lim g(x) ≤ lim f(x) ≤ lim h(x)由于lim g(x) = lim h(x) = L，所以L ≤ lim f(x) ≤ L这意味着当x趋近于某一点时，f(x)的极限将趋近于L。
因此，我们可以得出结论：当一个函数在某一点的两侧趋近于一个相同的极限时，该函数在该点的极限也将趋近于该极限。
二、洛必达法则洛必达法则是极限理论中的另一个重要定理，它描述了当一个函数在某一点上的极限不存在时，我们可以通过求导数的极限来确定该函数的极限。
更具体地说，洛必达法则可以用以下公式表示：设函数f(x)和g(x)在某一点x0的某个去心邻域内有定义，且在该点上f(x0) = g(x0) = 0。
如果lim f'(x)/g'(x)存在（其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)在点x处的导数），那么lim f(x)/g(x)也存在，且lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)。
洛必达法则求极限要求
洛必达法则求极限要求一、洛必达法则简介洛必达法则是一种求解极限的重要方法，在微积分中被广泛应用。
它通过计算函数在某一点的邻域内的变化率，来判断函数在该点的极限是否存在。
洛必达法则是一种实用而强大的工具，有助于我们解决各种极限问题。
二、洛必达法则的条件洛必达法则的有效使用需要满足以下条件： 1. 函数f(x)和g(x)在某点a的邻域内都定义并可导。
2. 在该点a的邻域内，除了a点处，g’(x)≠0。
3. 当x→a 时，f(x)和g(x)的极限存在或都是无穷大。
三、洛必达法则的公式洛必达法则的公式可以总结为以下几种形式： 1. 若当x→a时，函数f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大，那么洛必达法则给出的极限为：lim(x→a)[f(x)/g(x)] = lim(x→a) [f’(x)/g’(x)]。
2. 若当x→a时，函数f(x)和g(x)的极限都是无穷大，那么洛必达法则给出的极限为：lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) [f’(x)/g’(x)]。
四、洛必达法则的证明洛必达法则的证明可以通过导数的定义和拉格朗日中值定理进行推导。
具体证明步骤如下： 1. 根据导数的定义，我们可以得到函数f(x)在a点附近的局部线性逼近为：f(x) ≈ f(a) + (x - a)f’(a)。
2. 同样地，根据拉格朗日中值定理，我们可得到函数g(x)在a点附近存在一个点c，使得g(x)的局部线性逼近为：g(x) ≈ g(a) + (x - a)g’(c)。
3. 将函数f(x)和g(x)的局部线性逼近代入极限的定义式中，即可得到洛必达法则的公式。
五、洛必达法则的应用洛必达法则在求解极限问题时有广泛的应用，特别是在一些复杂的函数极限求解中更为常见。
下面是几个洛必达法则的应用场景：1. 无穷小与无穷大的比例当我们需要求解一个函数在某一点的极限时，如果直接计算比较困难，我们可以尝试将该函数化简为有穷个无穷小和无穷大的比值形式，然后利用洛必达法则进行求解。
洛必达法则求极限列题
洛必达法则求极限列题洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）是一个重要的实用工具，用于求解限值问题。
这个定理一般是在非法积分和无穷小等引起的极限问题中使用，也可用于求解无穷大等极限问题。
洛必达法则的全称叫做L'Hôpital的判别、比较（L'Hôpital's Rule ofDifferentiation and Comparison），它是由法国十八世纪数学家希哈里姆·劳希特·洛必达（Gilles de l'Hôpital）于1714年发现并申明的。
此定理告诉我们，当连分式的分子分母都是以某个自变量x为指数的函数时，极限的值可以通过求得每个函数两边的导数的比值，即导数之比（derivative of quotient）的方法求得。
具体的，在求极限之前，我们先考虑一个表达式。
如果我们想求解函数f（x）与g（x）的极限lim[f(x)/g(x)]，设其分子分母的极限都存在。
这时，可以根据洛必达法则解决此问题：即求出f（x）与g（x）的极限，然后对其求导，它们的导数之比有可能求出目标极限值，其公式为divf（x）/dvig（x）。
因此，我们有：极限限值lim[f(x)/g(x)]＝lim[divf（x）/dvig（x）]。
下面举一个例子说明洛必达法则：求解极限：lim[x2-5x+6/x2-9]这个题目中分子分母都是某些自变量的函数，因此可以使用洛必达法则求解。
此时，我们先求出分子分母的导数，即2x-5和2x。
由此得出极限值为：lim[x2-5x+6/x2-9]＝lim[2x-5/2x]＝5/2＝2.5综上所述，洛必达法则是一种非常有用的实用工具，它用于求解限值问题，由于它简单易用，因此被广泛应用于数学处理中。
使用洛必达法则的条件
使用洛必达法则的条件洛必达法则的条件。
洛必达法则，又称洛必达规则，是微积分中的一个重要概念，用来求解极限的方法。
它在求解极限的过程中起着至关重要的作用，能够帮助我们更快更准确地求解各种复杂的极限问题。
洛必达法则的条件是指在使用这一法则时需要满足的一些特定条件，只有在满足这些条件的情况下，才能够有效地使用洛必达法则来求解极限。
本文将详细介绍洛必达法则的条件，并举例说明其具体应用。
1. 极限存在。
洛必达法则的第一个条件是要求所求极限存在。
也就是说，在使用洛必达法则求解极限时，必须确保所求极限是有限的，而不是无穷大或无穷小。
只有在极限存在的情况下，才能够使用洛必达法则来求解。
2. 分子分母都趋于零或无穷大。
洛必达法则的第二个条件是要求所求极限的分子和分母都趋于零或无穷大。
也就是说，当我们将极限问题化简为分子和分母都趋于零或无穷大的形式时，才能够使用洛必达法则来求解。
如果分子或分母中存在常数项，就需要对原极限进行变形，使得分子和分母都趋于零或无穷大。
3. 分子分母可导。
洛必达法则的第三个条件是要求所求极限的分子和分母在极限点的邻域内可导。
也就是说，当我们对所求极限的分子和分母进行求导后，必须确保它们在极限点的邻域内都是可导的。
只有在这种情况下，才能够使用洛必达法则来求解极限。
满足了以上三个条件后，我们就可以使用洛必达法则来求解极限。
下面，我们通过几个具体的例子来说明洛必达法则的具体应用。
例1，求解极限lim(x->0) (sinx-x)/(x^3)。
首先，我们检查所求极限是否存在，显然，当x趋于0时，分子和分母都趋于0，因此所求极限存在。
接下来，我们对分子和分母分别求导，得到cosx-1和3x^2。
再次检查，我们发现在x=0的邻域内，分子和分母都是可导的。
因此，我们可以使用洛必达法则，将原极限化简为lim(x->0) (cosx-1)/(3x^2)。
再次应用洛必达法则，得到lim(x->0) -sinx/6x=lim(x->0) -cosx/6=1/6。
用洛必达法则求下列极限
习题3-21. 用洛必达法则求下列极限: (1)xx x )1ln(lim0+→;(2)xe e xx x sin lim 0-→-;(3)ax ax a x --→sin sin lim ;(4)x xx 5tan 3sin limπ→; (5)22)2(sin ln limx x x -→ππ;(6)nnmm ax a x a x --→lim;(7)xxx 2tan ln 7tan ln lim 0+→;(8)xxx 3tan tan lim2π→; (9)xarc x x cot )11ln(lim++∞→; (10)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;(11)x x x 2cot lim 0→;(12)212lim x x e x →;(13)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x ;(14)x x xa)1(lim +∞→;(15)x x x sin 0lim +→;(16)x x xtan 0)1(lim +→.解 (1)111lim 111lim )1ln(lim000=+=+=+→→→x x xx x x x . (2)2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x .(3)a xa x a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==--→→.(4)535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ. (5)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ. (6)nm n m n m ax nn m m ax anm na mx nx mx a x a x -----→→===--1111limlim. (7)177sec 22sec lim 277tan 2tan lim 2722sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim22002200=⋅⋅==⋅⋅⋅⋅=+→+→+→+→x x x x x xx x x x x x x x . (8))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x -⋅-==⋅=→→→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=---=-=→→x xx x x x ππ.(9)122lim 212lim 1lim 11)1(111lim cot arc )11ln(lim 2222==+=++=+-⋅+=++∞→+∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x x x x x x x x .(10)x x xx x x x x x x x 22022020cos 1limcos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) 1sin lim )sin (cos 22lim 00==--=→→xxx x x x x .(11)2122sec 1lim 2tan lim2cot lim 2000=⋅==→→→x x x x x x x x . (12)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 2101222t t t t x x xx e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ).(13)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (14)因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 a a a x ax xx ax a x x a xa x x x x x x ==+=--⋅+=+=+∞→∞→∞→∞→∞→1lim lim 1)(11lim 1)1ln(lim )1(ln(lim 22,所以 a x ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . .(15)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 0cos sin lim cot csc 1lim csc ln limln sin lim 20000=-=⋅-==+→+→+→+→xx x x x x x x x x x x x x , 所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .(16)因为x x x x e xln tan tan 0)1(lim -+→=,而 0sin lim csc 1lim cot ln limln tan lim 202000=-=-==+→+→+→+→xx x x x x x x x x x x , 所以 1lim )1(lim 0ln tan 0tan 0===-+→+→e e x x x x x x .2. 验证极限xxx x sin lim +∞→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 1)sin 1(lim sin lim=+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x xx x sin lim+∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx xx x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则. 3. 验证极限xx x x sin 1sinlim20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 0011sin sin limsin 1sinlim020=⋅=⋅=→→xx x x xx x x x , 极限x x x x sin 1sinlim20→是存在的.但xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 4. 讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+=-0 0 ])1([)(2111x e x ex x f xx 在点x =0处的连续性. 解 21)0(-=e f , )0(lim )(lim 21210f eex f x x ===---→-→,因为 ]1)1ln(1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x xx x xxx x e ex x f , 而 21)1(21lim 2111lim )1ln(lim ]1)1ln(1[1lim 00200-=+-=-+=-+=-++→+→+→+→x x x x x x x x x x x x x , 所以 )0(lim])1([lim )(lim 21]1)1ln(1[101100f ee ex x f x xx x xxx x ===+=--+-→-→+→.因此f (x )在点x =0处连续.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
洛必达法则求极限
洛必达法则求极限
洛必达法则必须要满足三个条件: (1) 分子分母可导; (2) 分子分母必须同时是无穷小量或同时是无穷大量; (3)分子导数与分母导数比值的极限必须存在或为无穷大.利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一。
在解题中应注意 :
①在着手求极限以前,首先要检查是否满足0/0或∞/∞型,否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时(不包括∞情形) ,就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效,应从另外途径求极限比如利用泰勒公式求解.
②洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐,因此-定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。
利用洛必达法则计算极限练习题
利用洛必达法则计算极限练习题极限是数学中的一个重要概念，它是函数在某一点附近的表现。
在求解极限的过程中，洛必达法则是一种常用的方法。
本文将通过一些具体的练习题，来演示如何利用洛必达法则来计算极限。
1. 练习题一：计算极限$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$首先，我们尝试直接代入$x=0$，可以得到$\frac{\sin(0)}{0}=\frac{0}{0}$，这显然是一个无法确定的情况。
接下来，我们可以利用洛必达法则来求解这个极限。
根据洛必达法则，如果一个极限的分子和分母都趋于零（或者无穷大），我们可以对它们求导后再计算极限。
在这个例子中，我们可以对分子和分母同时求导：$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \Rightarrow \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1}$再次计算极限，我们得到 $\frac{\cos(0)}{1} = 1$。
因此，根据洛必达法则，极限$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$。
2. 练习题二：计算极限$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2}$首先，我们尝试直接代入$x=\infty$，可以得到$\frac{e^\infty}{\infty^2}$，这同样是一个无法确定的情况。
接下来，我们利用洛必达法则来求解这个极限。
根据洛必达法则，如果一个极限的分子和分母都趋于无穷大，我们可以对它们求导后再计算极限。
在这个例子中，我们可以对分子和分母同时求导：$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2} \Rightarrow \lim\limits_{x\to \infty} \frac{e^x}{2x}$再次计算极限，我们得到$\frac{e^\infty}{2\infty}=\frac{\infty}{\infty}$。
洛必达求极限的例题
选择题：
对于函数f(x) = (x2 - 4) / (x - 2)，当x趋向于2时，其极限为？
A. 0
B. 2
C. 4（正确答案）
D. 无穷大
利用洛必达法则求极限lim(x→0) (sin(2x)) / x的结果为？
A. 0
B. 1
C. 2（正确答案）
D. 无穷大
对于函数f(x) = (ex - 1) / x，当x趋向于0时，其极限为？
A. 0
B. 1（正确答案）
C. e
D. 无穷大
求极限lim(x→π/2) (cos(x)) / (π/2 - x)的结果为？
A. 0
B. -1
C. 1
D. 无穷大（正确答案，因为分母趋向于0，而分子不趋向于0）对于函数f(x) = (x - sin(x)) / (x3)，当x趋向于0时，其极限为？
A. 0
B. 1/3
C. 1/6（正确答案）
D. 无穷大
利用洛必达法则求极限lim(x→∞) (x2 + x + 1) / (2x2 + 1)的结果为？
A. 0
B. 1/2（正确答案）
C. 1
D. 无穷大
对于函数f(x) = (ln(1 + x)) / x，当x趋向于0时，其极限为？
A. 0
B. 1（正确答案）
C. e
D. 无穷大
求极限lim(x→0) (tan(x) - sin(x)) / (x3)的结果为？
A. 0
B. 1/2（正确答案）
C. 1
D. 无穷大
对于函数f(x) = (x3 - x2) / (x2 - x)，当x趋向于1时，其极限为？
A. 0
B. 1
C. 2（正确答案）
D. 无穷大。
洛必达法则无穷比无穷型证明
洛必达法则无穷比无穷型证明洛必达法则是微积分中常用的一种求极限的方法，尤其适用于无穷大与无穷小之间的比值型极限。
在这篇文章中，我们将使用洛必达法则证明一个特殊的极限，即无穷比无穷型的极限。
我们来回顾一下洛必达法则的基本思想。
对于函数f(x)和g(x)，若当x趋于某一特定值时，f(x)和g(x)都趋于无穷大或无穷小，且这两个函数的极限存在，那么可以通过对f(x)和g(x)同时求导，然后取其导函数的极限来求原函数的极限。
即：lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f'(x)/g'(x)这就是洛必达法则的无穷比无穷型。
现在，我们来考虑一个实例。
假设有函数f(x) = x²和g(x) = eˣ，在x趋于正无穷的情况下，我们想求f(x)与g(x)的极限。
我们可以直接计算lim(x→∞) f(x)/g(x) ，即：lim(x→∞) (x²)/(eˣ)显然，当x趋于正无穷时，分子x²趋于正无穷，而分母eˣ也趋于正无穷。
因此，我们可以使用洛必达法则来求此极限。
根据洛必达法则无穷比无穷型，我们需要对f(x)和g(x)同时求导，然后取其导函数的极限。
对于f(x) = x²，其导函数为f'(x) = 2x；对于g(x) = eˣ，其导函数为g'(x) = eˣ。
接下来，我们计算极限lim(x→∞) f'(x)/g'(x) ，即：lim(x→∞) (2x)/(eˣ)再次应用洛必达法则，我们对分子和分母同时求导，得到：lim(x→∞) 2/(eˣ)当x趋于正无穷时，分子2保持不变，而分母eˣ也趋于正无穷。
因此，我们可以得到极限lim(x→∞) 2/(eˣ) = 2/∞ = 0。
通过洛必达法则无穷比无穷型的证明，我们得到了lim(x→∞) (x²)/(eˣ) = 0。
这意味着当x趋于正无穷时，函数f(x) = x²与函数g(x) = eˣ的比值趋于0。
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0
∞
二、利用洛必达法则求极限的题型
1、求“ 0 ”、“ ∞ ”、“ ∞ − ∞ ”、“ 0i∞ ”、“1∞ ”、“ ∞0 ”、“ 00 ”等未定式的极
0
∞
限。
例 1 求下列极限
（1） lim x→π
ln sin x (π − 2 x)2
（“
0 0
”型）
2
π ln(
− arctan
x)
（2） lim 2
解：由题意，得 lim x→0
f
( x
x
3
)
存在且不为零，记
lim
x→0
f (x) x3
=c
≠ 0，
而0 ≠
c
= lim x→0
f (x) x3
=
ex lim
x→0
− 1 + ax 1 + bx x3
洛必达 ex
法则
lim
x→0
−
a(1 + bx) − (1 + ax)b
（1 + bx）2 3x2
ex = lim
专题讨论 洛必达法则求极限
一、洛必达法则
1.定理（洛必达法则）
若函数
f
(
x)
、
g(
x)
在点
x
0
的某个去心邻域
0
U
(
x
0
) 内可
导，且满足
（1） lim f ( x) = lim g( x) = 0 （或 ∞ ）；
x→x 0
x→x 0
（2） g′( x) ≠ 0 ；
（3） lim f ′( x) 存在（或为 ∞ ）；
例 4（2009 年数一，4 分）当 x → 0 时， f ( x) = x − sin(ax) 与 g( x) = x2 ln(1 − bx) 是等价无
穷小，则（ A ）
（A） a = 1， b = − 1 （B） a = 1， b = 1 （C） a = −1 ， b = − 1 （D） a = −1 ， b = 1
解：因为 f ′(0) = lim f ( x) − f (0) = lim f ( x) = 3 ，所以 f ′(0) = lim f (tan x − sin x) = 3 ；
x→0
x
x→0 x
x→0 tan x − sin x
故 lim x→0
f (tan x − sin x) x2 ln(1 − x)
ln x
=
e −1
=
1
2 x→+∞
e
ln(π − arctan x)
（由（2）的结论可知， lim 2
= −1）
x→0 +
ln x
2、知道函数在某一点处的导数值，求一个关于此函数的某个式子的极限。
例2
已知
f (0) = 0 ，
f ′(0) = 3 ，求极限 lim x→0
f (tan x − sin x) 。 x2 ln(1 − x)
（“ ∞ ”型）
x→0 +
ln x
∞
（3）
lim
x→0
⎡ ⎢ ⎣
ln(1
+x x2
)(1+
x
)
−
1⎤
x
⎥ ⎦
（“ ∞ − ∞ ”型） （4） lim tan(2 x)iln tan x （“ 0i∞ ”型） x→π
4
（5） lim ( 2 arctan x)x （“1∞ ”型） π x → +∞
1
（6） lim(n + en )n （“ ∞0 ”型） n→∞
x→0
−（1a+−bxb）2 ， 3x2
所以
lim
x→0
⎡⎢⎣e
x
−（1a+−bxb）2 ⎤⎥⎦
=
0
，即 1
−
(a
−
b)
=
0
，也即
a
−
b
=
1
（*）；
从而
0≠
c
=
lim
x→0
f (x) x3
=
ex lim
x→0
− 1 + ax 1 + bx x3
=
ex lim
x→0
−（1a+−bxb）2 3x2
ex = lim
x→x 0 g′( x)
则 lim f ( x) = lim f ′( x) 。
x→ x 0 g( x) x→ x 0 g′( x)
注：（1）将上述极限过程 x → x 0 改为 x → x 0 + 0 、 x → x 0 − 0 、 x → ∞ 、 x → −∞ 时，定理仍然成立；
（2）应用定理时，需要判断极限的类型是否为“ 0 ”、“ ∞ ”型；
0
∞
（3）若 lim f ′( x) 仍为“ 0 ”或“ ∞ ”型且满足定理条件，可继续使用洛必达
x→ x 0 g′( x)
0
∞
法则。
2、在利用洛必达法则求“ 0 ”、“ ∞ ”型极限时，若被求极限的函数是乘积
0
∞
的形式，且能够判断出其中一部分因子的极限存在且不等于零，则可先求出该因
子的极限值，原极限即等于该部分因子的极限值（不等于零）乘以剩下因子的极
3
x
=
tan x − sin x
3 lim x→0
− x3
等价无穷
小代换
3 lim x→0
1 x3 2 − x3
=
−3 2
注意：本题的已知条件 f ′(0) = 3 得不出 lim f ′( x) = f ′(0) = 3 这个结论，故本题若按下面的 x→0
方法求解是错误的：
f (tan x − sin x) 等价无穷 f (tan x − sin x) 洛必达 f ′(tan x − sin x（) sec2 x − cos x)
= e lim x→+∞
1+ e x x+ex
洛必达 lim 法则 e x→+∞
e 1+
x
e
x
=e
1
1
所以 lim(n + en )n = lim ( x + e x ) x = e
n→∞
x→+∞
（7）
π lim (
1
− arctan x)ln x
=
ln( π −arctan x )
lim 2
e x→+∞
等价无穷 小代换
lim
x→0
x
− sin(ax) − bx 3
洛必达 法则
lim
x→0
1
−
a cos(ax) −3bx 2
，
则有 lim[1 − a cos(ax)] = 0 ，即 lim[1 − a cos(ax)] = 1 − a cos 0 = 1 − a = 0 ，故 a = 1；
x→0
x→0
=
lim π
x→+∞
e
1 x
2i 1
lim π 1+ x2
洛法必则达 e = e = e x→+∞
−
1 x2
−
2 π
lim
x→+∞
x2 1+ x2
−2 π
1+ e x
1
（6）因为 lim ( x + e x ) x x→+∞
洛必达 lim ln( x+e x )
lim x+e x
= e x→+∞
x
法则 e x→+∞ 1
lim
x→0
x 2x
=
1 2
（4）
lim
x→π
tan(2 x )iln
tan
x
等价无穷 小代换
lim
x→π
tan(2
x)i(tan
x
−
1)
=
lim
x→π
sin(2 x )i
tan x − 1 cos(2 x )
4
4
4
=
lim sin(2 x)ilim
x→π
x→π
tan x − 1 cos(2 x )
6
6
6
6
解答：因为当 x → 0 时， f ( x) = x − sin(ax) 与 g( x) = x2 ln(1 − bx) 是等价无穷小，
所以 lim x→0
f (x) g( x)
=
lim
x→0
x − sin(ax) x2 ln(1 − bx)
=
1，
又
lim
x→0
x x2
− sin(ax) ln(1 − bx)
x→0 cos x − 1
x→0
cos x − 1 = f ′(1) lim
1+ x2 −1
x→0
cos 1+
x−1 x2 −1
等价无穷 小代换
2 lim x→0
im f (cos x) = −2 。 x→0 1 + x2 − 1
3、关于无穷小阶的比较，求待定系数。
0
∞
型的极限进行求解；
（2）求“ 0i∞ ”型极限，通过其中一项取倒数后作为分母，将其转化为“ 0 ”
0
型或“ ∞ ”型的极限进行求解；
∞
（3）求“ 1∞ ”、“ ∞0 ”、“ 00 ”型极限，通过恒等式 ∀a > 0 ， a = elna ，将其转
化为“ 0i∞ ”型极限，再将其转化为“ 0 ”型或“ ∞ ”型的极限进行求解。