解一元二次方程——因式分解法(2)
因式分解法解一元二次方程的步骤
因式分解法解一元二次方程的步骤因式分解法是解一元二次方程的一种常用方法。
它的基本思路是将二次方程转化成两个一次方程相乘的形式，然后通过求解这两个一次方程得到方程的解。
下面我们来详细介绍因式分解法的步骤。
步骤1：确定一元二次方程的形式首先，我们要确定一元二次方程的形式，即确认方程为a*x^2 +b*x + c = 0，其中a、b和c是实数，且a ≠ 0。
确保方程满足这个条件后，我们才能使用因式分解法进行求解。
步骤2：计算二次项系数a将已知的一元二次方程写成标准形式，我们可以直接从方程中读取二次项系数a的值。
这一步很重要，因为我们后续的计算都会用到a 的值。
步骤3：计算常数项c同理，我们从方程中读取常数项c的值。
这一步同样很关键，因为我们在解方程时，需要用到常数项的值。
步骤4：根据二次项系数a和常数项c的符号确定因式的形式根据二次项系数a的符号，一元二次方程的因式形式分为两种情况：当a > 0时，我们可以使用“差平方”的形式进行因式分解；当a < 0时，我们可以使用“和平方”的形式进行因式分解。
步骤5：根据因式的形式进行因式分解对于“差平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x - n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ n。
将原方程的右侧展开并整理，得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后通过求解m和n的值，可以得到方程的解。
对于“和平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x + n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ -n。
也是通过展开右侧等式并整理得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后求解m和n的值，得到方程的解。
步骤6：求解方程通过步骤5的因式分解，我们得到了一元二次方程的两个一次因式，接下来，我们可以将每个因式设置为零，分别求解得到方程的解。
步骤7：检验解的有效性最后，我们还需要检验求得的解是否满足原方程。
将解代入原方程中，如果方程两侧相等，那么我们的解就是有效的，否则需要重新检查求解过程。
23.2 3 解一元二次方程(2) 因式分解法
例2、解方程 3x( x 2) 5( x 2)
解：移项，得 方程右边化为零 3x( x 2) 5( x 2)
0 左边分解成两个一次因式的乘积 ( x 2)(3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0
两个一元一次方程的解就是原方程的解
解关于x的方程 x 2ax a b 0 解：原方程可变形为： 2－b2=0 (x－a) (x－a+b)(x－a－b)=0
2 2 2
x－a+b=0 或 x－a－b=0 ∴x1=a－b x2=a+b
(
)
当一元二次方程的一边为0，而另一 边易于分解成两个一次因式时，就 可以用因式分解法来解.
用因式分解法解下列方程：
(1)
2
2=3y y
3 2 y1 0, y2 . 2
(2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)
a1 a2 1
(3) (4x－3)2=(x+3)2
x1 0, x2 2.
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x1= A解 , x2= B解
简记歌诀： 右化零
两因式
左分解
各求解
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 ( x 5)( x 2) 18 解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
复习引入: 1、已学过的一元二次方程解法有
解一元二次方程因式分解法
解一元二次方程因式分解法一元二次方程是数学中的重要概念，它的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法有很多种，其中一种常用的方法是因式分解法。
一元二次方程因式分解法的核心思想是将一元二次方程转化为两个一次方程相乘的形式，从而得到方程的解。
具体的步骤如下：步骤一：将一元二次方程写成标准形式，即ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
步骤二：观察方程中系数a、b、c的特点，判断是否可以进行因式分解。
如果方程无法因式分解，可以尝试其他解方方法。
步骤三：根据方程的形式，找到两个一次方程相乘的形式。
如果方程无法找到这样的形式，可能需要通过其他方法解方。
步骤四：将方程进行因式分解，得到两个一次方程相乘的形式。
具体的分解方法取决于方程的系数和形式。
步骤五：解两个一次方程，得到方程的解。
根据两个一次方程的解的情况，可以得出一元二次方程的解的情况。
一元二次方程因式分解法的关键在于观察方程的特点，找到合适的因式分解形式。
具体的分解方法有以下几种常见情况：情况一：当方程的二次项系数a为1时，可以直接进行因式分解。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以因式分解为(x+2)(x+3)=0，从而得到方程的解为x=-2和x=-3。
情况二：当方程的二次项系数a不为1时，可以通过分解因式的方法进行因式分解。
例如，对于方程2x^2+7x+3=0，可以通过分解因式得到(2x+1)(x+3)=0，从而得到方程的解为x=-1/2和x=-3。
情况三：当方程的常数项c为负数时，可以通过分解因式并利用负负得正的原理进行因式分解。
例如，对于方程x^2-6x+8=0，可以通过分解因式得到(x-4)(x-2)=0，从而得到方程的解为x=4和x=2。
情况四：当方程的常数项c为正数时，可以通过分解因式并利用正负得负的原理进行因式分解。
例如，对于方程x^2+5x+4=0，可以通过分解因式得到(x+4)(x+1)=0，从而得到方程的解为x=-4和x=-1。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程一元二次方程是形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，其中 $a \neq 0$。
为了解二次方程，我们可以使用因式分解法。
下面我们来详细讲解因式分解法的步骤。
Step 1: 化简方程首先，我们需要将二次方程化简为标准的一元二次方程形式，即$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
如果方程中含有分式，我们可以通过消去分母的方式将方程化为整系数的二次方程。
Step 2: 因式分解我们假设可以将二次方程因式分解为 $(px + q)(rx + s) = 0$，其中 $p, q, r, s$ 是实数。
展开上式得到 $prx^2 + (ps + qr) x + qs = 0$。
我们可以发现，当 $pr = a$，$ps + qr = b$，$qs = c$ 时，上式与原方程相等。
因此，我们需要寻找满足这些条件的 $p, q, r, s$。
Step 3: 解方程令括号中的两个一次方程分别为零，我们可以得到：$px + q = 0$$rx + s = 0$解这两个方程可以得到两个根：$x_1 = -\frac{q}{p}$$x_2 = -\frac{s}{r}$这两个根即为原二次方程的解。
需要注意的是，如果方程无法因式分解或者方程的根不是实数，那么我们不能使用因式分解法来解方程。
下面我们通过一个具体的例子来演示因式分解法的应用：例题：解方程$x^2-5x+6=0$Step 1: 化简方程方程已经是标准的一元二次方程形式，无需化简。
Step 2: 因式分解假设方程可以表示为 $(px + q)(rx + s) = 0$。
展开得到 $prx^2 + (ps + qr) x + qs = 0$。
与原方程相比较可得：$p=1$$q=-2$$r=1$$s=-3$因此，我们可以将方程表示为$(x-2)(x-3)=0$。
Step 3: 解方程令括号中的两个一次方程分别为零，我们可以得到：$x-2=0$$x-3=0$解这两个方程可以得到两个根：$x_1=2$$x_2=3$因此，原方程的解为$x=2$和$x=3$。
解一元二次方程---因式分解法
教案教学内容一元二次方程——因式分解法一、学习目标：1．会用因式分解法解一元二次方程；2．会用换元法解一元二次方程；3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.二、知识回顾：1．分解因式的常用方法有哪些？（1）提取公因式法：am+bm+cm=（2）公式法：22()()++=+222a ab b a b+=-2(-)a ab b a b-=+-，222a b a b a b2()（3）十字相乘法：2()()()+++=++x a b x ab x a x b三、新知讲解1．因式分解法把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.2．因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程化为一元二次方程的一般形式，即将方程的右边化为0；②用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次式乘积的形式；③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.4.常用的因式分解法：（1）提公因式法，将方程移项后，将左边含有的公因式提出来。
（2）公式法，形如x2-a2=0的一元二次方程可逆用平方差公式变形为（x+a）（x-a）=0。
（3）十字相乘法，形如x2+（a+b）x+ab=0的一元二次方程可变形为（x+a）（x+b）=0。
注意：（1）在方程没有化成一般式之前，不能对左边进行因式分解。
（2）不是所有的一元二次方程都能进行因式分解。
（3）因式分解时，能提出公因式的，需先提出公因式。
5.灵活选用合适的方法解一元二次方程四、典例探究基础经典精析1.运用因式分解法解一元二次方程【例1】解方程：（1）2(2x－1)2=(1－2x)；（2）4(y＋2)2=(y－3)2.变式1.方程（x+2）（x-3）=（x+2）的解是（2）．运用公式法解一元二次方程【例2】解方程：4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2=0变式2.一元二次方程（3x+2）2=（5-2x）2的解是（3）．运用十字相乘法解一元二次方程【例3】运用因式分解法解下列方程：（1）x2+2015x-2016=0；（2）x2-6x-16=0变式3.解一元二次方程时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程2.灵活选用方法解一元二次方程【例3】选择适当方法解下列方程：（1）3y+15=-2y2-10y；（2）（2y﹣2）2+2=（2y+1）（4y﹣2）；变式4.选择合适的方法解下列方程.（1）x2﹣6x﹣5=0；（2）3x2﹣4x﹣1=0；（3）x（x﹣1）=3﹣3x；（4）x2﹣2x+1=0．3．用换元法解一元二次方程【例4】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5．利用这种方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．总结：1.换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.2.在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.3.解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的．变式5.若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=_______．变式6. 解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.拔高创新讲练1.解一元二次方程与几何图形的综合【例5】一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或9总结：变式：菱形的两条对角线长分别是方程x2-14x+48=0的两实根，则菱形的面积是。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程一元二次方程就是一个一元多项式的二次次方程，它的格式一般是ax² + bx+ c = 0（其中a≠0）。
要解一元二次方程，通常用到的是因式分解的方法。
因式分解的方法是将一元二次方程变成两个一元一次方程，而解得的两个满足条件的一元一次方程中的x的值即为一元二次方程的根。
首先，要解一元二次方程，需要先将它转化成一元一次方程格式。
这一步可以通过将因式上乘以a来实现，即有：a(x²+ bx/a + c/a) = 0，于是我们可以将一元二次方程分解为两个一元一次方程，即：x² + bx/a + c/a = 0 和a = 0；其次，在解一元一次方程时，只要把方程按照常规形式写出来就可以了。
将上面的两个一元一次方程按照常规形式写出，即有：x² + (b/a)x + (c/a) = 0；a = 0；之后，在解x²+ (b/a)x + (c/a) = 0这个一元一次方程时，可以用a×b÷2来简化，并用b²－4ac来计算根。
需要注意的是，当b²－4ac<0时，证明该一元二次方程无解。
最后，我们要根据表达式计算出两个方程式中x的值。
首先，计算出b²－4ac，根据结果来判断一元二次方程是否有解。
如果b²－4ac>0，该一元二次方程就有解，由此可得x1 = (-b + √b²－4ac)/2ax2 = (-b - √b²－4ac)/2a最终得出的x1和x2就是一元二次方程的两个根，这样就解决了一元二次方程的问题。
总的来说，解决一元二次方程的时候，可以使用因式分解法，将一元二次方程分解成两个一元一次方程，再根据一元一次方程计算出x1和x2，最终就可以求出一元二次方程的根。
因式分解法解一元二次方程式
结论和要点
通过使用因式分解法，我们可以更容易地解决一元二次方程式。记住要始终从简化方程式开始，并使用 因式分解来找到方程的解。
因式分解法的步骤
1
步骤二
2
根据二次方程式的特性，找到两个数
的乘积等于常数项c且和等于系数b的
二次项。
3
步骤四
4
将方程式分解为两个因子的乘积，并 将每个因子设置为0，解方程得到结
果。
步骤一
将方程式移项，使等式右侧为0。
步骤三
使用这两个数分解二次项并重新排列 方程式。
因式分解法的应用
因式分解法可以帮助我们更轻松地解决一元二次方程式，尤其是对于复杂的 方程式。通过分解方程式，我们可以找到方程的根。
因式分解法的优劣势
优势
因式分解法能够直接得到方程的解，无需使 用复杂的公式。
劣势
对于一些复杂的方程式，因式分解法可能比 其他43; 5x + 6 = 0
例题二
解方程式：2x^2 + 7x + 3 = 0
例题三
求方程式的解：3x^2 - 10x + 3 = 0
因式分解法解一元二次方 程式
在本节中，我们将介绍因式分解法，了解一元二次方程式的定义，并学习因 式分解法的步骤以及如何将其应用于解决一元二次方程式。
因式分解法介绍
因式分解法是一种常用于解决一元二次方程式的方法。通过将方程式分解为 两个因子的乘积，我们可以更容易地求解方程。
一元二次方程式的定义
一元二次方程式是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是实数且a不等于0。
因式分解法求解一元二次方程
自学指导二
认真看课本P14例3，看懂例题的解题过程。 时间：3分钟
归纳
1. 因式分解法：
将一元二次方程先因式分解化为 两个一次因式的乘积等 于 0 的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降
次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。
2.用因式分解法的一般步骤：
（1）移项：将方程右边化为 0
x=0 或 x-2=0 。
求解
x1= 0 ，x2= 2 。
x²-2x=0 x(x-2)=0
4.(1)因式分解法是解一元二次方程的基本方 法之一，具备什么特点的一元二次方程能用 因式分解法来解呢？
左边x-2=0 。 （2）用因式分解法的依据是什么？
若a ·b = 0，那么 a = 0 或 b= 0 x1= 0 ，x2= 2 。
学习目标
1.理解如何用因式分解法解一元二次方程，并 能灵活应用；
2.理解解一元二次方程的思路就是降次.
自学指导一
认真看课时练P10左侧学习任务一， 并用心填写1----3题， 时间：4分钟
学习过程 1.有理数乘法：
如果a ·b = 0，那么 a = 0 或 b= 0 。
2.因式分解：
x²+2x =
；
（2）化积：将方程左边分解为 两个一次因式 的乘积；
（3）转化：令这两个一次式分别等于0，得到两 个 一元一次方程 ；
（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是
一元二次方程的 解 。
检测题一
课本第14页第1 (1)（3）（5）
要求：仿照例题 书写规范 字体工整
时间：6分钟独立完成.
检测题二
x(x+2）
x²-4 =
(x+2)(x-2)
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法汇总1．直接开方法解一元二次方程(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：（点击图片可放大阅览）要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤:①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：（点击图片可放大阅览）类型二、因式分解法解一元二次方程（点击图片可放大阅览）【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．（点击图片可放大阅览）【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
用因式分解法解一元二次方程2
☞
(1)x(x-2)+x-2=0;
解：x( x - 2) + (x - 2) = 0
例3 解下列方程: 1 3 2 2 (2)5 x - 2 x - = x - 2 x + 4 4
解 : 移项, 合并同类项, 得 4 x - 1 = 0,
2
(x - 2)(x + 1) = 0.
\ x - 2 = 0, 或x + 1 = 0
①
方程①的右边为0，左边可因式分解，得
x 10 4.9 x 0.
于是得 如果a· b=0 那么a=0或 b=0．
x 0 或 10 4.9 x 0,
100 x1 0, x2 2.04. 49
上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，面x1=0表示物体被上抛时离 地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m．
观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x 2 - 7 x + 6 = 0得x1 = 1, x2 = 6 而x 2 - 7 x + 6 = ( x - 1)( x - 6)
解方程 : x 2 + 2 x - 3 = 0得x1 = - 3, x2 = 1 而x 2 + 2 x - 3 = ( x + 3)( x - 1) 3 3而4 x 2 - 12 x + 9 = 4( x - 3 )( x - 3 ) 2 解方程 : 4 x - 12 x + 9 = 0得x1 = , x2 = 2 2 2 2 4 4 2 2 解方程 : 3x + 7 x + 4 = 0得x1 = - , x2 = - 而 1 3x + 7 x + 4 = 3( x + )( x + 1 3 3 看出了点什么? 有没有规律 ?
解一元二次方程--因式分解法
(2x +1)(2x −1) = 0.
4x2 −1 = 0,
例4、用分解因式法解方程 、用分解因式法解方程: (1)5x (2)x-2=x(x(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2);
(1)解: 5x − 4x = 0,
2
∴x = 0,或 x − 4 = 0. 5
4 ∴x1 = 0; x2 = . 5
问题1 问题
你学过哪几种解一元二次方程的方法? 你学过哪几种解一元二次方程的方法 解一元二次方程的方法 (1)直接开平方法 x2=a (a≥0) 直接开平方法: 直接开平方法 (2)配方法 配方法: 配方法
(x+h)2=k (k≥0)
2
−b ± b − 4ac 2 (3)公式法 x = 公式法: 公式法 . b − 4ac ≥ 0 . 2a
(
)
问题2、什么叫分解因式 什么叫分解因式? 什么叫分解因式
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式. 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式 整式乘积的形式叫做分解因式
问题3、分解因式的方法有那些 的方法有那些? 问题 、分解因式的方法有那些 （1）提取公因式法: ）提取公因式法 am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法 ）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2. ± x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
提示: 提示: 1.用分解因式法的条件是 方程左边易于分解, 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 关键是熟练掌握因式分解的知识 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 理论依旧是 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零. 少有一个因式等于零.”
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程今天，我们将学习如何使用因式分解法来解决一元二次方程。
一元二次方程是一种先进的数学解决方案，它解决了复杂的代数问题。
首先，我们来了解一下什么是一元二次方程，它是一种广义的抽象概念，是通过一个方程来描述特定系统的状态。
它可以用来解决很多代数问题，比如求解一个系统的方程解，计算未知参数的值，以及求出满足某个条件的解。
一个关于一元二次方程的例子是：ax2+bx+c=0，其中a,b,c是任意的实数，而x是未知的数字。
要求未知的数字x，可以使用因式分解法来求解。
因式分解法是一种通用的求解一元二次方程的方法，它通过将原方程的二元一次项分解成两个数的乘积，从而简化问题，使其可以更容易地求解。
例如，对于上述一元二次方程ax2+bx+c=0，其二元一次项bx可以分解成两个数m和n的乘积，即bx = mn。
然后，将原方程以m和n为因式分解，得到m（x+n）=0，从而可以得到x=-n，作为解。
另外，因式分解法还具有重要的因数定理，它认为，如果一元二次方程的二元一次项可以分解为两个数的乘积，那么这两个数也是原方程的正解，即m和n也是解。
此外，因式分解法还有另一个重要特点，它可以帮助我们找出一元二次方程的解，尤其是当方程不是简单的一元二次方程时。
例如，当一元二次方程是ax2+by+c=d+ex+f格式时，可以使用因式分解法来求解，只需将原方程拆分为两个一元二次方程，即ax2+by+c=d，以及ex+f=0，分别求解即可。
最后，我们要牢记，使用因式分解法求解一元二次方程的步骤：首先，将二元一次项分解为两个数的乘积；其次，根据分解结果，将原方程以这两个数为因式分解；最后，求出原方程解，根据因数定理，将分解后的两个数也作为解。
总之，因式分解法是一种简单易懂的方法来求解一元二次方程，不管方程的形式多么复杂，它都能帮助我们有效地求解，使我们能够轻松解决复杂的代数问题。
因式分解法解一元二次方程2
因式分解法解一元二次方程
一、教学内容分析
“一元二次方程”解法一节，在《冀教版》新教材中28.2的重点内容。
它在整个中学数学中占有重要的地位，既是以后解一元二次方程应用题的基础，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，等奠定基础。
通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透转化的数学思想，渗透数学的简洁美。
教学目标：
知识和技能：
1、结合实例引导学生探究解一些特殊一元二次方程的简便方法：因式分解法；
2、感悟因式分解法解一元二次方程的根的过程；
3、
过程和方法：
1、培养学生的探索、创新精神；
2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
情感态度价值观：
1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；
2、加深师生间的交流，增进师生的情感；
3、培养学生的协作精神。
教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用
教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。
四、教学策略：
本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。
具体如下：
五、教学流程：。
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（B 层）学生自主学习导学案
班级： 姓名： 科目
初三数学 课题 解一元二次方程——因式分解（2） 授课时间 2014.9.11 设计人
杨宁 审核人 薛军鹏 序号 8 学习目标
会用配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程。
晚自习任务（或
使用说明）： 仔细阅读课本，认真分析后，独立完成后面习题。
【学法指导】
1.用10分钟左右时间，阅读课本相关内容，熟记基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；
2．完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习学案；
3．将预习中不能解决的问题标识出来，并填写到后面“畅谈收获”处.
【温故知新】
你会用几种方法解一元二次方程？分别是哪些？请写出来。
【探究新知】
知识点一：用因式分解法解一元二次方程
（1）121232-=-x x （2）014442=-x
（3）)1(2)1(3-=-x x x （4）22)3()12(x x -=-
知识点二：用适当的方法解一元二次方程
（1）8)3(22=+x （2）06)1()1(2=----x x
（3）012442=+-x x （4）129)43(2-=-x x
【学以致用】
1、用因式分解法解一元二次方程。
（1）0632=-y y （2）09)1(2=-+x （3）3)3)(2(+=++x x x
2、用适当的方法解下列方程。
（1）5)1(92=-x （2）0262=+x x （3）01182=+-x x
（4）3312+=-x x （5）9)3(22=+-x x
3、已知24)422)(3(2222=-+-+y x y x ，求22y x +的值。
3、若等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程0652=+-x x 的两个解，则求等腰三角形的周长。
4、先阅读材料，然后解决后面的问题：
材料：因为二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++，所以方程0)(2=+++ab x b a x 可以这样解00,0))((=+=+=++b x a x b x a x 或,
∴.,21b x a x -=-=
问题：
（1）如果三角形的两边长分别是方程01582=+-x x 的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是 （ ）
A.5.5
B.5
C.4.5
D.4
（2）方程0232=+-x x 的根是______________.
（3） 对于实数a,b,定义运算“*”：a*b=⎩⎨⎧<-≥-)
()(22b a b ab b a ab a 。
例如4*2，因为4>2,所以.8244242=⨯-=* 若1x ，2x 是一元二次方程0652=+-x x 的两个根， 则21x x *=_________________.
（4）用因式分解法解方程0162=--kx x 时，得到的两根均为整数，则k 的值可以为_____________________________.
（5）已知实数x 满足012)(4)(222=----x x x x 则代数式12+-x x 的值为：__________.
【畅谈收获】你本节课还有什么疑惑？有哪些收获？
知识总结
知识方法要点 关键总结 注意事项
用因式分解法解一元二次方程 用因式分解法解一元二次
方程的一般步骤:1、移项；2、化积；3、转化；4、求
解。
用因式分解法的条件是:方程左边易于分解，而右
边等于零
一元二次方程的解法 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
根据方程的特点灵活选择
方法
方法规律总结 1、因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式为零；
2、因式分解法的基本思想：把方程化为两个一次因式的积等于零的形式，再使这
两个一次因式分别为零，从而实现降次。
B 层 课堂检测（8） 班级 姓名
1、按要求解下列方程；
（1）092=-x （直接开平方法）
（2）0)54()45(=+-+x x x （因式分解法）
（3）0142=+-x x （配方法）
（4）03832=-+x x （公式法）
2、用因式分解法解下列方程。
（1）0)3(4)3(2=-+-x x x
（2）0)2()1(922=+--x x
（3）9)3(222-=-x x。