八年级数学上册第二章实数7二次根式教案(新版)北师大版
八年级数学上册第二章实数7二次根式第2课时二次根式的运算教案新版北师大版
第2课时二次根式的运算1．经历二次根式的运算法则的探索过程，了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用．2．会进行二次根式的四则运算．重点掌握二次根式的四则运算方法．难点正确应用二次根式的运算法则进行四则运算．一、复习导入师：二次根式的性质是什么？用公式如何表示？积的算数平方根，等于算数平方根的积．商的算数平方根，等于算数平方根的商．a·b＝a·b(a≥0，b≥0), ab＝ab(a≥0, b>0)．师：上一节课我们学习了二次根式，今天我们学习二次根式的运算．二、探究新知1．二次根式的乘除．分别把下面两个式子ab＝a·b(a≥0，b≥0)，ab＝ab(a≥0，b＞0)等号的左边与右边对换，就得到二次根式的乘法法则和除法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab ＝ab(a≥0，b>0)．课件出示教材第44页例3.教师引导学生完成，对学生错误及时纠正．2．有理数的运算律也适用于二次根式．课件出示教材第44页例4.教师引导学生复习类比有理数运算，使学生明白有理数中的运算律也适用于二次根式．3．二次根式的加减．课件出示教材第44页例5.让学生尝试完成，指名同学进行板演．教师讲解，共同归纳：先将所给的二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同的是同类二次根式，需要进行合并．师：怎样合并同类二次根式？小结：二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并，合并方法是将同类二次根式前面的系数相加减．4．二次根式混合运算．课件出示教材第46页例6.引导学生分析观察根式的特点，注意先化简，再合并，有困难的小组内交流完成． 师：对于第(3)题还有哪些做法？试一试看看结果是否一致． 归纳：解法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫24－16÷ 3 ＝24÷3－16÷ 3 ＝8－118 ＝22－16 2 ＝1162. 解法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫24－16÷ 3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫26－166÷ 3 ＝1166÷ 3 ＝1162. 三、练习巩固1．教材第45页“随堂练习”第1～2题．2．教材第47页“随堂练习”．四、小结在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：(1)二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先算乘方，后算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．(2)在运算过程中，每个二次根式都可以看做一个“单项式”，多个不同的二次根式可以看做“多项式”，因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用．(3)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应该是最简二次根式，或几个非同类二次根式的和或差，或有理式．五、课外作业1．教材第45页习题2.10第1～2题．2．教材第48页习题2.11第1～3题．本节课主要学习二次根式的混合运算，通过练习，使学生掌握计算方法和运算技巧，能够灵活运用．习题可以分层次布置，以满足不同层次的学生的需要．。
八年级数学上册 第二章 实数2.7 二次根式说课稿 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上册
《二次根式》说课稿一、说教材《二次根式》是北师大版教材数学八年级上册第二章《实数》的第七节，是“数与代数”的重要内容。
这一内容是在平方根的基础上，进一步研究二次根式的概念和性质。
使学生对算数平方根有更深认识和理解。
因此，教材在编排上就围绕算数平方根这个知识的主轴，以学生熟悉的相关问题展开教学内容。
而本课时的教学内容就是让学生在积极的参与中来学习《二次根式》，丰富对二次根式意义的理解，为学生学会确定被开方数中字母的取值X围打下扎实的基础。
二、说教学目标课标要求：学生要学会学习，自主学习，要为学生的终生学习打下坚实的基础，根据新课程标准的要求和教材所处的地位，以及学生的心理特点和认知规律，我确定本节课的教学目标如下：1、知识目标：能够理解二次根式的意义，会确定被开方数中字母的取值X围。
2、能力目标：通过动手练习，应用拓展，体验经历知识的形成过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。
3、情感目标：通过课堂练习，培养学生解决问题的能力，促进学生勇于面对问题的能力。
为达到以上教学目标，本节课的教学重点为：理解二次根式的意义和基本性质，会求解简单的被开方数中字母的取值X围。
本节课的教学难点是：二次根式的基本性质的灵活运用。
为辅助教学，我制作了多媒体课件。
三、说教法、学法《新课程标准》指出：“学生是学习活动的主体，教师是学习活动的组织者，引导者和合作者”。
在本节课教学方法中，根据学生的年龄特征和已有的知识基础，注重加强知识间的纵向联系，复习引入，揭示课题，让学生体会数学学科知识的联系性和严密性。
在具体的教学活动中，让学生新身经历由具体到抽象的认知过程，解决问题的过程，体验探索成功的快乐。
学生通过自主学习，动手练习，独立思索，完善自己的想法，形成自己独特的学习方法，古语说得好“授人以鱼，不如授之以渔。
”我们教师应当引导学生自主地去认识探究，解决问题，让学生体验学数学，用数学的快乐。
四、说教学过程接下来，我将介绍一下本节课的教学过程。
北师大版初中数学八年级(上)第二章实数2-7二次根式(第1课时)教学详案
第二章 实 数7 二次根式第1课时 二次根式及其化简教学目标1.会区分二次根式与最简二次根式;2.能运用算术平方根的性质，进行二次根式的化简;3.经历二次根式的基本性质，运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象、从特殊到一般的概括能力,体验归纳、猜想的思想方法.教学重难点重点：运用算术平方根的性质，进行二次根式的化简;难点：会利用积与商的算术平方根的性质化简二次根式.教学过程导入新课1.做一做：√169= 13 ，√42= 4 ，（√4）2= 4 ，√a 2= ｜a ｜ , （√a ）2=a.2.观察下列代数式：(1)√5 ； (2)√11 ； (3)√7.2 ； (4)√49121；(5)√a 2+1 ； (6)√(c +b )(c −b)(其中b =24，c =25).这些式子有什么共同特征？(1)形式上含有根号;(2)根指数都为2;(3)被开方数为正数. 探究新知一般地，形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式,其中a 是被开方数.判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方数为非负数.【例1】 说一说下列各式哪些是二次根式.(1) √32； (2)6； (3) √−12；(4) √−m （m ≤0）； (5) √xy ； (6)√53.【解】（1）（4）.（2）没有开方运算；（3）被开方数是负数；（5）xy 可能是负数；（6）根指数不是2活动：探究二次根式的性质计算下列各式，你能发现什么?（1）√4×√9= 6， √4×9=6 ；√16×√25= 20， √16×25=20；√4√9＝23，√49＝23；√16√25＝45，√1625＝45． （2）用计算器计算：√6×√7 ≈6.481 ， √6×7≈6.481；√6√7≈0.925 8 ， √67≈0.925 8. 即：√4×√9= √4×9；√16×√25=√16×25；√6×√7=√6×7； √4√9=√49； √16√25=√1625； √6√7=√67. 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. √a b =√a √b(a ≥0,b ＞0).【例2】化简：（1）√81×64；（2）√25×6；（3）√59. 观察：化简以后结果中的被开方数又有什么特征？【解】（1）√81×64=√81×√64=9×8=72;（2）√25×6=√25×√6=5×√6=5√6; （3）√59=√5√9=√53. 被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数.一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.最简二次根式的特点：①被开方数不含分母;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式;③分母不含根号.【例3】化简：（1）√50；（2）√27； （3）√3. 【解】（1）√50=√25×2=√25×√2=5×√2=5√2； （2）√27=√2√7=√2×√7√7×√7=√147； （3）√3=√3√3×√3=√33. 注：化简时，要求最终结果是最简二次根式.课堂练习 1.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A ．√7B ．√3C ．√12D ．√22．若x 为任意数，则下列各式中一定成立的是（ ）A.24x x =B.24x x -=C.x x =2D.x x -=23．下列各式中正确的是（ ）A.416±=B.()222-=-C.24-=-D.3327=4．化简()225-⨯，结果是( ) A.-52 B.52 C.－10 D.10 5.要使式子√a+2a 有意义，a 的取值范围是（ ）A. a ≠ 0B. a ＞-2且a ≠ 0C. a ＞-2或a ≠ 0D. a ≥-2且a ≠ 0参考答案1.C2.A3.D4.B5.D课堂小结1.判断一个数式是不是二次根式必须同时满足：①根指数都为2;②被开方数为非负数.2.二次根式的性质： √ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)；√a b =√a√b (a ≥0,b ＞0).3.最简二次根式满足的条件：①二次根式的被开方数不含开得尽方的因数（或因式）；②二次根式的被开方数不含分母（即根号内不能是分数）；③分母不能含有根号. 布置作业习题2.9第1，2，3题板书设计7 二次根式第1课时 二次根式及其化简 1.二次根式的定义及其判断依据；2.二次根式的性质：√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)；√a b =√a √b (a ≥0,b ＞0).3.最简二次根式的定义及其判断依据.。
2023八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案(新版)北师大版
1.教材：确保每位学生都提前准备好北师大版《数学》八年级上册教材，翻到第二章实数7二次根式相关内容，以便课堂上随时翻阅和标注。
2.辅助材料：
-准备与二次根式混合运算相关的教学图片，如含有二次根式的实际应用题目图片，以直观展示数学在生活中的运用。
-制作动态图表，展示二次根式乘除运算的过程，帮助学生理解运算规则。
-设计课堂小测验，测试学生对二次根式混合运算规则的理解程度和运算能力，根据测试结果调整教学策略，针对性地进行辅导。
-利用课堂反馈表，让学生自我评价学习效果，反思学习过程，促进学生的自我管理和自我提升。
2.作业评价：
-对学生的课后作业进行认真批改，点评作业中的亮点和不足，及时反馈学生的学习效果，帮助学生明确自己的学习进步和需要改进的地方。
简要回顾本节课学习的二次根式混合运算内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解并掌握二次根式混合运算的规则，包括二次根式的乘除法运算，以及与整数、分数的混合运算。
-学生通过对比、归纳等学习方法，加深了对二次根式混合运算规则的理解，提高了逻辑思维能力和数学素养。
3.情感态度与价值观：
-学生在学习过程中，逐渐消除了对二次根式混合运算的恐惧和畏难情绪，增强了自信心和耐心。
-学生认识到数学与现实生活的紧密联系，培养了学以致用的意识，增强了学习数学的兴趣和动力。
-学生通过拓展知识的学习，拓宽了知识视野，激发了探索学科前沿的兴趣，培养了创新精神和探索意识。
核心素养数学学习后，已具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本章节的学习中，他们在知识层面，对二次根式的概念和基本性质有初步了解，但混合运算的掌握程度参差不齐。在能力方面，学生的运算能力和问题解决能力有待提高，特别是将二次根式与整数、分数结合进行混合运算时，需要加强练习以提升熟练度和准确性。
北师大版初中数学八年级(上)第二章实数2-7二次根式(第2课时)教学详案
第二章实数7二次根式第2课时二次根式的运算教学目标1.掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用乘、除法法则进行计算.2.会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.3.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算，重要的是培养这种类比学习的能力.教学重难点重点：掌握二次根式的乘、除法运算法则，并能够熟练应用；难点：会用二次根式的四则运算法则进行简单运算.教学过程导入新课1.满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式：√8，√18，√80，√0.5， √18，√20.（2√2 ，3√2 ，4√5 ，√22，√24，2√5）2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类?几个二次根式化简后被开方数相同.最简根式分别为√2 ，√5两类，即√8 ，√18 ，√0.5 ，√18为一组；√80 ，√20为一组.探究新知活动1：二次根式的乘除运算1．填空（1）√4×√9=6，√4×9= 6 ；√16×√25=20，√16×25=20；√4√9＝23， √49＝23；√16√25＝45， √1625＝45．（2）用计算器计算：√6×√7≈6.481，√6×7≈6.481 ；√6√7≈0.925 8， √67≈0.925 8.参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空．√4×√9 = √4×9;√16×√25=√16×25; √6×√7= √6×7；√4√9=√49; √16√25=√1625; √6√7= √67.观察上面的式子得上节课的规律：√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)；√ab =√a√b(a≥0,b＞0).反过来也成立：√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)；√a √b =√a b (a ≥0,b ＞0). 【例1】计算:（1）√6×√23； （2）√6×√3√2； （3）√2√5. 【解】（1）√6×√23 =√6×23=√4=2；（2）√6×√3√2=√6×3√2=√6×32=√9=3； （3）√2√5=√25=√2×55×5=√105. 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）√（−4）×（−9）=√−4×√−9 ；（2）√41225×√25=4×√1225×√25=4√1225×25=4√12=8√3.解：（1）错. √（−4）×（−9）=√36=6；（2）错. √41225×√25=√41225×25=√11225×25 =√112 =4√7.做一做：（1）3a 2·2a 3= 6a 5 ,（2）（a +b ）(a -b )= a 2−b 2 ,（3）(a ±b)2=222a ab b ±+， （4）(554−772) ×18= 554×18-772×18=112-. 【例2】计算：（1）3√2×2√3； （2）（√5+1）2；（3）（√13+3）（√13−3）；（4）（√12−√13）×√3； （5）√8+√18√2. 【解】（1）原式=（3×2）×（√2×√3）=6√6；（2）原式=（√5）2+2×√5×1+1=5+2√5+1=6+2√5；（3）原式=（√13）2−32=13-9=4； （4）原式=√12×√3−√13×√3=√12×3−√13×3=√36−√1=5;（5）原式=√8√2+√18√2=√82+√182=√4+√9=2+3=5.活动2：二次根式的加减运算1.（1）3x 2+2x 2= 5x 2 ;（2）x 2+2x 2+4y = 3x 2+4y .2.类比合并同类项的方法，想想如何计算√80−√45？ 解：√80−√45=4√5−3√5=√5.3. √3+√5能不能再进行计算?为什么?答：不能，因为它们都是最简二次根式，且被开方数不相同，所以不能合并.【例3】计算:（1）√48+√3 ； （2）√5−√15 ； （3）(√43+√3)×√6.【解】（1）原式=4√3+√3=（4+1）√3=5√3；（2）原式=√5−√55=(1-15)√5=45√5; （3）原式=√43×√6+√3×√6=√8+√18=2√2+3√2=5√2.二次根式的加减法法则：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意：1.加减法的运算步骤：一化简，二判断，三合并.2.合并的前提：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.课堂练习1．下列运算错误的是（ ） A.2+3=5 B.2·3=6C.6÷2=3D.2(2=2.下列各式中，与√3是同类二次根式的是（ ）A. √2B. √5C. √8D. √123.估计√32×√12+√2·√5的结果在（ ） A.6至7之间 B.7至8之间C.8至9之间D.9至10之间4. √8与最简二次根式√m +1能合并，则m =________.5.若最简二次根式√3m −2n 2n+1与√3可以合并，求√mn 的值.参考答案1.A2.D3.B4.15.解：由题意得2n +1=2且3m -2n =3，解得n = 12,m = 43,即√mn =√12×43 =√23 =√63. 课堂小结1.二次根式的乘除运算法则√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)；√a√b =√ab (a ≥0,b ＞0). 2.二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.布置作业习题2.10第1，2题板书设计7 二次根式第2课时 二次根式的运算1.二次根式的乘除运算法则：√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)；√a √b=√a b (a ≥0,b ＞0). 2.二次根式的加减法法则：一化简，二判断，三合并.。
北师版初中数学八年级上册精品教案 第2章 实数 7 二次根式 第2课时 二次根式的运算
第2课时 二次根式的运算教师备课 素材示例●置疑导入 问题1：上节课我们学习了二次根式和二次根式的化简，你能将下面两个式子化成最简二次根式吗？①25×7；②1249.问题2：请你说出这样做的依据是什么．【教学与建议】教学：以练习的形式帮助学生复习上节课的内容，为得到二次根式的乘、除法法则做好铺垫．建议：学生在自己的练习本上完成，做完之后小组讨论化简结果是不是最简二次根式．●归纳导入 (1)填空：__10__； __60____60__；，916＝__34__；④36121＝__611__，36121＝__611__．(2)观察上面计算的结果可以得出：④36121__＝__36121.【归纳】a ·b ＝b ≥0)；a b＝b＞0).【教学与建议】教学：通过对上节课内容的复习达到引入新课的目的，归纳二次根式的乘除运算．建议：完成后小组讨论归纳二次根式的运算法则．进行二次根式的乘除法运算时，要把乘除法法则与积的算术平方根和商的算术平方根的性质综合运用．【例1】(1)下列等式成立的是(D)A．45×25＝85B．53×42＝20 5C．43×32＝75D．53×42＝20 6(2)小明的作业本上有以下四题：①16a4＝4a2；②5a·10a＝52a；③a 1a＝a2·1a＝a；④8a÷2a＝4.做错的题是(D)A．①B．②C．③D．④进行二次根式乘除法计算时，结合乘法运算律、平方差公式、完全平方公式等进行简便计算．【例2】(1)计算：(2＋5)(2－5)＝__－1__．(2)已知a＝22＋3，b＝22－3，则a2＋b2＝__34__．解答此类问题经常涉及三角形、长方形、正方形、圆形等．用到它们的面积公式，只需根据题意列出式子进行计算、化简即可．【例3】(1)在△ABC中，BC＝46cm，BC边上的高为22cm，则△ABC 的面积为(C)A．63cm2B．43cm2C．83cm2D．163cm2(2)已知长方形的面积是72cm2，一边长为6cm，则另一边长为__cm.高效课堂教学设计1．熟记二次根式的乘法、除法法则及其条件．2．能运用法则进行二次根式的乘除运算，并能将结果化为最简二次根式．▲重点二次根式的加减乘除运算．▲难点能运用法则进行二次根式的运算．◆活动1 创设情境导入新课(课件)问题：分别把式子ab ＝a ·b (a≥0，b ≥0)，a b ＝ab(a≥0，b>0)的等号的左边的内容与右边的对换，等式是否依然成立？◆活动2 实践探究 交流新知 【探究1】计算下列各式：4×9＝__6__；16×25＝__20____20__； 49＝__23__，49＝__23__；1625＝__45__，1625＝__45__．【探究2】完成以下各题，看谁完成得又对又快：(课件展示)6×； 67＝77．问题：你有哪些发现？如何正确表述你的发现？【归纳】a ·b ＝a·b(a≥0，b ≥0)；a b＝ab (a≥0，b>0)◆活动3 开放训练 应用举例 【例1】教材P 44例3【方法指导】二次根式乘除法计算．解：(1)＝__2__；(2)原式＝＝__3__；(3)原式＝5．【例244【方法指导】运用运算律和公式计算．解：(1)原式＝__3__×__2__×；(2)原式＝－5＝__6__－5＝__1__；(3)原式＝＋＋(__1__)2＝__5__＋25＋__1__＝；(4)原式＝(13)2－__32__＝__13__－__9__＝__4__；(5)原式＝＝－__1__＝__6__－__1__＝__5__；(6)原式＝＋＝＋＝__2__＋__3__＝__5__．【例3】教材P 44例5【方法指导】先把每个二次根式化为最简二次根式．解：(1)原式＝＋＝；(2)原式＝－5＝5；(3)原式＝＋＝＋＝．◆活动4 随堂练习1．下列运算中错误的是(A)A ．2＋5＝7B ．2×5＝10C ．6÷2＝3D ．(－3)2＝3 2．计算并化简．(1)23×12；解：原式＝23×12 ＝8 ＝22；(2)45÷215； 解：原式＝45×152＝6；(3)(2＋3)2;(4)82＋218－1432.解：原式＝2＋62－ 2＝6 2.3．已知x＝3－1，求(x＋1)2－4(x＋1)＋4的值．解：(x＋1)2－4(x＋1)＋4＝(x＋1－2)2＝(x－1)2.当x＝3－1时，原式＝(3－2)2＝7－4 3.◆活动5 课堂小结与作业学生活动：这节课的收获是什么？还有哪些疑惑？教学说明：二次根式的运算，可以运用完全平方公式和平方差公式使计算简便．作业：课本P45随堂练习，习题2.10中的T1、T2.这节课经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系．。
八年级数学上册 第二章 实数 7 二次根式第1课时 二次根式教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版
7 二次根式第1课时二次根式【知识与技能】1.理解二次根式和最简二次根式的概念，能把一个二次根式化成最简二次根式.2.正确运用公式：.【过程与方法】1.经历观察、比较、总结二次根式基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力.2.通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力.【情感态度】经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用的意识.【教学重点】二次根式的概念和性质，最简二次根式的概念与化简.【教学难点】二次根式的化简.一、创设情境，导入新课观察下列代数式：这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢？【教学说明】通过学生观察、总结归纳这些式子的特点为给二次根式下定义做好准备.【归纳结论】它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.a a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数.二次根式有些什么性质呢？让我们一起去研究吧！二、思考探究，获取新知二次根式的概念与化简做一做：（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.【教学说明】学生亲自计算，通过观察、猜想，借助计算器验证得出结论，这比教师讲无数遍的效果要好得多，同时也为后面归纳二次根式的基本性质作了很好的引导.【归纳结论】即积的算术平方根，等于各个因式算术平方根的积，商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.注意：a、b的取值X围不能忽略.【教学说明】利用二次根式的性质，学生对于例1比较容易理解，教师对于例2可以适当点拨.【归纳结论】一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.注意：化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.三、运用新知，深化理解1.下列式子是二次根式的有（）个.2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）3.化简：4.一个直角三角形的斜边长为20，一条直角边长为15，求另一条直角边长.【教学说明】学生独立完成，可以加深对新学知识的理解和掌握二次根式的有关概念和性质的运用的掌握情况.便于及时纠正错误，得以强化提高.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次根式、最简二次根式的概念以及二次根式的性质等知识.2.本节课你有哪些收获？还有什么困惑？与同学们交流.【教学说明】通过对新学知识点的回顾，总结得出，及时解答学生存在的疑难问题，有利于共同提高.1.习题2.9第1、2、3题.2.完成练习册中本课时相应练习.这节课的主要内容就是根据二次根式的两个性质进行化简.学生对于比较直观一些的二次根式的化简很熟练，但对于略微复杂一点的二次根式的化简还不能够达到灵活自如，有待在今后的学习中加大训练力度.。
2023八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案(新版)北师大版
1.拓展资源：
（1）数学杂志：《数学通报》、《数学竞赛》等杂志，其中包含了大量的二次根式混合运算的相关文章和题目，适合学生进行深入研究和挑战。
（2）在线教育平台：可汗学院、网易云课堂等平台上有许多关于二次根式混合运算的教学视频和练习题，可以帮助学生巩固知识点。
（3）数学论坛和博客：数学论坛和博客上有许多数学老师和专家分享的关于二次根式混合运算的教学经验和心得，学生可以从中学习和借鉴。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的混合运算的基本概念。二次根式的混合运算是指……（详细解释概念）。它在数学中扮演着重要的角色，特别是在解决实际问题时。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次根式混合运算在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.教学活动设计：
（1）角色扮演：学生分组扮演不同角色，如售货员、顾客等，运用二次根式的混合运算规则计算商品价格，解决实际问题。
（2）实验操作：学生在实验室进行有关二次根式的实验，如测量物体长度、面积等，培养他们的实验操作能力和问题解决能力。
（3）数学游戏：设计有关二次根式混合运算的数学游戏，如卡片游戏、竞赛等，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学运算能力。
难点举例：
（1）加法运算：计算-√5 + √3，先化为同号，即-√5 + √3 = -（√5 - √3），再合并得到-√5 + √3 = -（√5 - √3）。
（2）乘法运算：计算√2 × √15，根据乘法运算规则，底数相乘，指数相加，得到√（2×15）= √30。
（3）混合运算：一个正方形的边长为√5，求该正方形的面积。将实际问题转化为二次根式的混合运算，即√5 × √5 = √（5×5）= √25 = 5。
【教案】第二章实数2.7二次根式北师大版八年级数学上册
第二章实数§ 2.7 二次根式教学目标（一）知识目标：a b ( a> 0, b> 0)；(a>0, b>0)的运用.2.能利用化简对实数进行简单的四则运算.（二）能力训练目标：1. 让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算2. 让学生根据实例进行探索，互相交流合作，培养他们的合作精神和探索能力（三）情感与价值观目标：1. 通过对法则的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2. 能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值.教学重点1. 两个法则的逆运用.2. 能运用实数的运算解决简单的实际问题.教学难点灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算.教学过程一.导入新课请大家先回忆一下算术平方根的定义.（若一个正数x的平方等于a,贝U x叫a的算术平方根.）下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长，以及边长之间的关系问：设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b.请同学们互相讨论后得出结果（由正方形面积公式得a2=8, b2=2.所以大正方形边长a= 8，小正方形边长b= •. 2 .）问：那么a与b之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线（大正方形的面积为小正方形面积的4倍，大正方形的边长是小正方形边长的2倍.所以.8=^. 2.）那么,8根据什么法则就能化成 2 2呢？这就是本节课的任务..新课讲解请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么?(ja 加4a~b ( a> 0, b> 0) ；2^ a( a> 0, b> 0))Jb \ b请大家根据上面法则化简下列式子•⑴、3 ,3 ; (2) ,2 ,4 ; (3) 3; (4) , 3、25 .427 \ 12(1) ,3 . 3 3 3 . 32 3 ；(2) . 2 ■. 4 .. 2 4请大家思考一下，刚才这位同学的步骤反过来推是否成立？即从右往左推（•因为从左到右是等式的推导，而从右向左也是等式的推导，只不过是反过来推也应成立•）确实成立•下面再分析这些式子：并和上节课的两个法则相比较，有什么不同吗？请大家交流后回答•大家能否用式子表示出来？小结：Va J b Va b （a》0, b》0）^a J—（a> 0, b> o.）Jb V b————----- ——32化简：(1) .27 ; (2) 45 ; (2) .128 ; (4) .54 ; (5) •大家能不能总结一下刚才化简的这些式子有何规律呢？这说明根号里面的数有一部分移到了根号外面，那么什么数能往外移呢？它们又具备什么条件呢？（是平方数•如（1）中根号内的9移到外面变成了3; （2）、（4）中也是，（3）中有64移到外面成了8.（5）中16移到外面变成4, （6）中分母16,分子25移到外面变成4, 5.）也就是说被开方数中能分解因数•且有些因数能开出来•这时就需要对其进行化简•那么像下* A I Q,'Q- Q面的式子*1— J——=叫不叫化简呢？（化简）\2 \4<4 2能否说一下它的特征呢？如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母•这也叫化简•根据刚才我们的讨论，对于两种情形可通过法则的逆运算进行化简，那么究竟是哪两种情形呢？（•如果被开方数中含有分母，或者含有开得尽的因数，则可通过逆运算进行化简•）上节课和本节课我们做的工作都是化简，并且用的是相同的两个公式，那么究竟什么情况下用法则、什么情况下又用法则的逆运算呢？解:3 3 1 127 ■ 27 '9 3- 25「(4)叼3 22 25(1) 3 3 . 3 、3; (2) . 2 4 . 2 .4 2、2;一般地，当被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数时， 用法则的逆运算；当两个含有根号的数相乘或相除， 它们的被开方数单独开不出来， 但是通过相乘或相除能出现开得尽的因数时用法则•例题讲解［例1］化简：(书上50页例2) ［例2］化简：三. 课堂练习 (1)随堂练习2 ' 4£竺3 •2X , y四. 课堂小结 五. 课后作业(1) -2,103.. 30 ；⑵-1 J8a610ab ；⑶ .0.39 . 0.013 '14 m 2n 2 mn解:2 103 302 3 10 306 10 36 163 6 10 360 3 ；\''18a j10b 61v'18a 10ab 61 --------2 .36 5a b 61.. 36 a 2 .. 5b6.5b a. 5b ；0.390.0130.39 .0.013390 .13、14 m 2n14m 2n\ 2 mn2x 20.125a 5b 6c 7 ；(3) -30 ； (6)1 y xy9 - 4(2)化简:。
北师大版八年级上册第二章实数第七节二次根式第二课时二次根式及其性质教案
第二章实数第七节二次根式第二课时二次根式及其性质教案二次根式的乘除运算教案一、教学目标1. 理解并掌握二次根式的乘除运算规则，理解其算术运算性质。
2. 学会对二次根式进行乘除运算，并能够应用于实际问题中。
3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：二次根式的乘除运算规则及其算术运算性质。
2. 教学难点：二次根式乘除法的应用，以及运算符的使用。
三、教学过程1. 概念和定义：讲解二次根式的定义和相关概念，包括平方根、算术平方根等，使学生对二次根式有一个初步的认识。
2. 整数乘法口诀：回顾整数乘法口诀，引导学生总结规律，为后续学习打下基础。
3. 二次根式的乘除运算：通过具体的例子，讲解二次根式的乘除运算规则，并引导学生自己推导，加深理解。
4. 运算符的使用：强调运算符的优先级和运算顺序，通过练习题使学生掌握正确的运算方法。
四、教学方法和手段1. 利用多媒体讲解二次根式的乘除运算，形象生动，易于学生理解。
2. 通过小组讨论学习二次根式的乘除运算，互相交流，发现并解决问题。
3. 阅读相关题型进行练习，巩固所学知识，提高解题能力。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 选择练习题进行课堂练习，检验学习效果，巩固所学知识。
2. 布置作业题，要求学生在规定时间内完成，培养学生独立思考和解决问题的能力。
3. 对学生的练习和作业进行评价，给予肯定和鼓励，同时指出不足之处，提出改进意见。
六、辅助教学资源与工具1. PPT讲解：通过PPT展示，帮助学生更好地理解二次根式的概念和性质。
2. 各类题型练习：提供多种类型的练习题，包括选择题、填空题和计算题等，以便学生进行巩固和拓展。
3. 参考书籍：推荐一些相关的数学参考书籍，供学生自行阅读和学习。
七、结论本节课旨在使学生掌握二次根式的乘除运算规则和方法，并通过实际问题的解决提高其数学应用能力。
通过课堂讲解、小组讨论和练习与作业等多种方式，学生对二次根式的乘除运算有了更深入的理解和掌握。
2019-2020学年八年级数学上册 第二章 实数 第七节 二次根式(第1课时)教案2 (新版)北师大版.doc
(2)商的算术平方根的性质:商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.(被除式必须是非负数,除式必须是正数),即=(a≥0,b>0).
师:知道了二次根式的这些性质,下面我们来看几个例题,加深理解.
教学创设
一、知 识回顾,引入新课
二、讲授新课
师:请同学们 观察下列代数式,你能发现它们有什么共同特征吗?
,,,,(其中b=24,c=25).
生 :它们都含有开方运算,并且被开方数都是非负数.
师:很好!一般地,例如(a≥0)的式子,叫做二次根式,a叫做被开方数.那么二次根式具有什么性质呢?下面我们 一起来探究一下.请同学们完成以下填空:
【答案】(1)===·=12≈20.78;
(2)===≈1.01;
(3)===× =10-2×=0.01×≈0.02.
四、巩固练习
1.化简:
;(2);(3 );(,化简:-.
五、课堂小结
师:通过这节课的学习,同学们有什么收获?能与大家分享一下吗?
学生发言,教师予以点评.
2019-2020学年八年级数学上册第二章实数第七节二次根式（第1课时）教案2（新版）北师大版
课题：
二次根式（第1课时）
授课时间
主备人
课型
新授课
教学目标
1.认识二次根式和最简二次根式的概念.
2.探索二次根式的性质．
3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式
重点
难点
理解并 掌握二次根式及最简二次根式的概念,化简二次根式.
三、例题讲解
【例1】 化简:
北师版八年级数学上册教案：第2章 实数7 二次根式(3课时)
7二次根式第1课时二次根式的概念及性质一、基本目标1．了解二次根式及最简二次根式的概念．2．会化简二次根式．3．理解并掌握二次根式的性质．二、重难点目标【教学重点】二次根式及最简二次根式的概念．【教学难点】化简二次根式．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P41～P42的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地,形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数．强调条件：a≥0、a≥0,也就是说二次根式具有双重非负性.2．积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积；商的算术平方根,等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根.3．乘法法则的推广：a·b·c…n＝a·b·c…n.4．下列式子中,不是二次根式的是(B)A．45 B．－3C．a2＋3 D．2 35．计算：0.0196×22 500＝21；549＝7 3.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】当x________,x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【解答】要使x ＋3＋1x ＋1在实数范围内有意义,必须同时满足被开方数x ＋3≥0和分母x ＋1≠0,解得x ≥－3且x ≠－1.【互动总结】(学生总结,老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零,二是偶次方根的被开方数是非负数,三是零次幂的底数不为零．【例2】化简下列二次根式． (1)48； (2)8a 3b (a ≥0,b ≥0)； (3)(－36)×169×(－9).【互动探索】(引发学生思考)如何化简二次根式？什么样的二次根式是最简二次根式？ 【解答】(1)48＝16×3＝16×3＝4 3. (2)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝(2a )2·2ab ＝2a 2ab .(3)(－36)×169×(－9)＝36×169×9＝6×13×3＝234.【互动总结】(学生总结,老师点评)①若被开方数中含有负因数,则应先化成正因数,如(3)题．②将二次根式尽量化简,使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式),即化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列二次根式中的最简二次根式是( A ) A ．30 B ．12 C ．8D ．122．下列各式正确的是( D ) A ．(－4)×(－9)＝－4×－9 B ．16＋94＝16×94C ．449＝4×49D ．4×9＝4×93．把200化成最简二次根式是环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)二次根式⎩⎨⎧定义⎩⎨⎧形如a (a ≥0)的式子有意义的条件：a ≥0性质：(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝a (a ≥0)最简二次根式请完成本课时对应练习！第2课时 二次根式的四则运算一、基本目标1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的． 2．会进行简单的二次根式乘除以及加减运算． 二、重难点目标 【教学重点】 二次根式的四则运算． 【教学难点】 合并同类二次根式．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P43～P45的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分别把下面两个式子：ab ＝a ·b (a ≥0,b ≥0),a b ＝ab(a ≥0,b ＞0)等号的左边和右边对换,就得到二次根式的乘法法则和除法法则：a ·b ＝ab (a ≥0,b ≥0)；除法法则：ab＝ab(a ≥0,b ＞0). 2．二次根式相加减,先把各个二次根式分别化成最简二次根式,然后再将被开方数相同的二次根式分别合并．有括号时,要先去括号．3．计算： (1)13×27； (2)35； (3)80－45； (4)(25－2)2.解：(1)3. (2)155. (3) 5. (4)22－410.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生对学) 【例1】计算：(1)23－63； (2)80－20＋5； (3)239x ＋6x 4－2x 1x. 【互动探索】(引发学生思考)(1)直接把二次根式合并．(2)、(3)先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数中相同的二次根式合并．【解答】(1)23－63＝－4 3.(2)80－20＋5＝45－25＋5＝3 5. (3)239x ＋6x 4－2x 1x＝2x ＋3x －2x ＝3x . 【互动总结】(学生总结,老师点评)将各二次根式化简为最简二次根式,然后将被开方数相同的项合并．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算32－2的值是( D ) A ．2 B ．3 C ． 2D ．2 22．计算3×5的结果是( B ) A ．8 B ．15 C ．3 5D ．5 3 3．若最简二次根式3a －8与17－2a 可以合并,则a ＝5. 4．计算： (1)153； (2)6×15×10； (3)32－8； (4)212＋348. 解：(1) 5. (2)30. (3)2 2. (4)16 3. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】计算：(23＋32－6)(23－32＋6)．【互动探索】将括号内的各项重新结合,构成平方差公式,再结合完全平方公式展开并化简．【解答】原式＝[23＋(32－6)][23－(32－6)]＝(23)2－(32－6)2＝12－(18－123＋6)＝123－12.【互动总结】(学生总结,老师点评)结合题目特点使用适当的运算方法,可以减少计算量． 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)二次根式的四则运算⎩⎪⎨⎪⎧乘除法则加减法则乘法公式请完成本课时对应练习！第3课时 二次根式的混合运算一、基本目标正确进行二次根式的四则混合运算． 二、重难点目标 【教学重点】 二次根式的混合运算． 【教学难点】运用二次根式的混合运算解决问题．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P46～P47的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】 计算： (1)⎝⎛⎭⎫827－53×6；(2)(5＋6)(52－23)； (3)(23＋32)×(23－32)； (4)(4＋35)2.解：(1)43－15 2. (2)19 2. (3)－6.(4)61＋24 5.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生对学)【例1】教师节就要到了,李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺,其中一张面积为288平方厘米,另一张面积为338平方厘米,如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮,她现在有1.5米的彩带,请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈1.414)【互动探索】(引发学生思考)可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长,进一步求出两个正方形的周长之和,与1.5米比较即可得出结论．【解答】贺卡的周长为4×(288＋338)＝4×(122＋132)＝4×252≈141.4(厘米)． ∵1.5米＝150厘米,150>141.4, ∴李欣的彩带够用．【互动总结】(学生总结,老师点评)本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题,解答本题的关键在于理解题意并列出算式．活动2 巩固练习(学生独学) 计算： (1)25－110； (2)12－3＋13； (3)⎝⎛⎭⎫18－12×8； (4)275＋8－27.解：(1)11010. (2)43 3. (3)10. (4)73＋2 2.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知a ＝15－2,b ＝15＋2,求a 2＋b 2＋2的值． 【互动探索】要求代数式的值,可以先化简已知条件,再利用乘法公式变形,即a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ,最后代入求解．【解答】∵a ＝15－2＝5＋2(5－2)(5＋2)＝5＋2,b ＝15＋2＝5－2(5＋2)(5－2)＝5－2, ∴a ＋b ＝25,ab ＝1.∴a 2＋b 2＋2＝(a ＋b )2－2ab ＋2＝(25)2－2＋2＝20＝2 5.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类问题时,直接代入求值很麻烦,要先化简已知条件,再用乘法公式变形代入即可求得．环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评) 二次根式⎩⎪⎨⎪⎧综合运算化简求值实际应用请完成本课时对应练习！。
八年级数学上册第二章实数第七节二次根式第2课时教案北师大
二次根式课题： 二次根式（第2课时） 授课时间 主备人课型新授课教学目标(1).通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法．(2).在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识．(3).通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 重点 难点利用公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），baba =（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．教学创设第一环节：复习引入内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？ 这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。
第二环节：知识探究1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），b aba=（a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？ 例3 计算：（1）326⨯；（2）236⨯；（3）52。
解：（1）略 （2）236⨯＝236⨯＝236⨯＝9＝3面积8面积2（3）52＝＝52＝5552⨯⨯=510说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数．第三环节：巩固练习 例4 计算：（1）3322⨯（2）5312-⨯；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+；（5）3)3112(⨯-；（6）2188+。
解：（1）3322⨯=32⨯⨯32⨯=66；（2）5312-⨯＝5312-⨯＝536-＝6－5＝1；（3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52；（4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4； （5）3)3112(⨯-516136331312=-=-=⨯-⨯=； （6）2188+5329421828=+=+=+=。
例5 计算： （1）483+；（2）515-；（3）4(3)63+⨯。
北师大版数学八上2-7二次根式(第2课时)教学设计
第二章 实数7．二次根式（第2课时）课标与教材：课标要求：了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算。
教材分析：教材用类比的方法，引入实数的运算法则，运算律等，并利用这些运算法则、运算率进行有关运算，解决有关实际问题．之前学生已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数认识进一步深入。
教学建议：在教学中先复习有理数的运算律和运算法则，让学生多计算几个能开的尽的几个根式的乘法运算，通过类比，观察得出计算法则。
二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础． 学情分析：学生已经知道的：在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba b a=（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。
学生想知道的：怎样进行实数的运算学生能自己解决的：学生已经学习了有理数的运算法则，有了学习经验，单项式与多项式的乘法，多项式的乘法。
进行类比运算。
根据建构学生需要教师指导解决的：综合运用知识解决问题，进行确定评价。
教学目标：1、知识与技能目标（1）了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用．（2）用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围进行正确计算．（3）正确运用公式：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0） ba b a=（a ≥0， b ＞0） 2、数学思考；能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式，能用类比的方法解决问题，用已有知识去探索新知识．3、问题解决：在与他人合作交流过程中，能较好的理解他人的思考方法和结论。
2024八年级数学上册第二章实数7二次根式课件新版北师大版
开方数中能开得尽方的因
数(或因式)都开出来
感悟新知
知3－讲
特别提醒
1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次
根式以后，如果被开方数相同，这几个二次
根式叫做同类二次根式 .
2.将根号内指数大于或等于 2 的因式移到根号
外时，要注意判断字母的正负 .
知3－练
例4
下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简
用商的算术平方根的性质
一般地，被开方数不含分
母，也不含能开得尽方的 (1)被开方数中不含 分 母； 把它写成“分式”的形式，
因数或因式，这 样 的 二 (2) 被开方数中不含开得 然后利用分母有理化进行
化简；(2)如果被开方数
次 根式， 叫 做 最 简二
尽方的因数或因式
是整数或整式，利用积的
3
次根式 . 例如2 2 ， 2
添括号法则在二次根式的运算中仍然适用 .
3.根号外的因式就是这个二次根式的系数，二次根式
的系数是带分数的要化为假分数的形式 .
知5－练
例6 [母题 教材P46例6]计算：
1
18
6
(1) 8－ 128＋ 2；(2) 27＋
－ 0.5－ .
2
3
3
解题秘方：先把各个二次根式化成最简二次
根式，然后合并即可 .
感悟新知
知识点 2 二次根式的性质
语言叙述
知2－讲
符号表示
积的算
积的算术平方根等于积中
术平方
各因式的算术平方根的积
根
ab = a · b ( a ≥
0，b ≥ 0)
商的算 商的算术平方根等于被除
术平方 式的算术平方根除以除式
八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案新版北师大版
第3课时二次根式的混合运算【知识与技能】在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算.【过程与方法】1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用.2.通过引导，在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法.【情感态度】通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，并且注重培养学生的类比思想.【教学重点】混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用.【教学难点】灵活运用公式或运算律以及约分等技巧，使计算简便.一、创设情境，导入新课已知：矩形的长是52236，求它的面积.你能求出这个矩形的面积吗？通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题.【教学说明】学生依据前面所学的二次根式的加减乘除四则运算的法则解答这个问题难度不大.通过问题的设置，激起学生的探索兴趣和求知欲望.二、思考探究，获取新知二次根式的混合运算例1计算：【教学说明】可以让学生独立做，再小组合作，总结交流计算中存在的不足，使学生逐渐掌握运算的规律和技巧方法，理解新旧知识的联系.注：如果在二次根式的运算中，二次根式化简后的被开方数不可能相同，结果可以保留原来的形式，不必将它化成最简二次根式.议一议：化简1(b)aba，其中a=3，b=2，你是怎么做的？与同伴进行交流.【教学说明】把二次根式中的被开方数由原来的数字形式改为字母形式，可能学生有些不适应，教师可以根据实际情况做必要的点拨。
注：对于被开方数是字母形式的，先进行化简，再把字母的值代入求得.做一做：如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积，你有哪些方法？与同伴进行交流.【教学说明】把勾股定理与二次根式的混合运算充分地结合起来，提高了学生综合分析解决问题的能力.三、运用新知，深化理解【教学说明】学生独立完成，不断提高他们的运算速度和正确率，灵活运用公式或运算律的能力再次得到深化，达到事半功倍.四、师生互动，课堂小结通过今天的学习你有何收获？请你提醒大家，本节课所研究的内容，有什么需要特别记住的，有哪些地方是特别容易出错的.【教学说明】不同的学生可能理解不一样，让学生能够说出自己的错误，让全班同学引以为戒，互相取长补短，达到整体提高.1.布置作业：习题2.11中的第1、2题.2.完成练习册中本课时相应练习.二次根式的混合运算是学生的一大弱点，在计算过程中稍不留心很容易出错.在教师的正确引导和适度训练下会有很大的提高.。
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八年级数学上册第二章实数7二次根式教案（新版）北师大版
一、学生起点分析
七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．
二、教材任务分析
本节分为三个课时．第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．
为此，确定本节课教学目标是：
1.认识二次根式和最简二次根式的概念.
2.探索二次根式的性质．
3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；
第一环节：明晰概念
问题1 ：5，11，2.7，
121
49，))((b c b c -+（其中b =24，c =25），上述式子有什么共同特征？
答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数． 介绍二次根式的概念．一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式．a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．
问题2：二次根式怎样进行运算呢？
答：这是我们本节课要解决的新问题．
意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．
第二环节：探究性质
（一）内容：，b a b
a =．
具体过程如下：
（1＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ；＝ ，＝ ． （2）用计算器计算：
＝ ，＝ ；＝ ，＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？
问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？
问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？
意图a ≥0，b ≥0）=（a ≥0， b ＞0）． 说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略． 第三环节：知识巩固
例1 化简（1（2（3 观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.
被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数．一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．
例2.化简：（1（2（3
；（4（5
答案：（13==
（23=
（3
==
；
（4====
（5===．
问题：
（1）你怎么发现45是最简二次根式的？ （2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流．
说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号．
反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．
第四环节：知识拓展
说明：这部分根据学生的实际情况进行取舍，程度好的班级可选用，基础不好的班级舍去． 练习：
1.下列平方根中， 已经简化的是（ ）
A ．3
1 B ．20 C ．2
2 D ．121 2.判断下列各式是否成立．你认为成立的请在（）内打对号 ，不成立的打错号．
=（ ） ； =
③=（ ）； =你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并说明n 的取值范围？ 第五环节：课堂小结
本节课主要内容：
（1a≥0，b≥0）=（a≥0，b＞0）．（2）理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结．
四、教学反思
（一）关注类比，提出重点
本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系．
（二）对运算技能要求恰当定位
根据新课标精神，对学生的评价不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进行计算，能否确认结果的合理性等等，对于较复杂的实数运算，应关注学生是否会使用计算器进行运算．因此，注意对运算技能要求作恰当的定位，特别是在开始运算的第一课时，不要提高要求．（三）分层教学
本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识深度和广度的要求也有所不同，因此，增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．
7 二次根式（第2课时）
一、学生起点分析
在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：
=a≥0，b≥0）=（a≥0，b＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础．
二、教材任务分析
二次根式（第2课时）是义务教育课程标准教科书北师大版八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是：
1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法．
2.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识．
3.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
三．教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；
第一环节：复习引入
内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？
这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课．
第二环节：知识探究
1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则
=a ≥0，b ≥0）
=a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？
例3 计算：
（1）326⨯
；（2）236⨯；（3）52． 解：
（1）略；
（2
3=； （3
说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数． 第三环节：巩固练习
例4计算：
面积8
面积2
（1）（25；（3）)2
1；
（4）)
33；（5）（6
解：（1）32=⨯=；
（2555651===-=；
（3）
)2121516=+=+=+
（4）)
3322(13)34=-=；
（5）615=-=；
（6235==+=．
意图：从本例开始，正式进行二次根式的加减乘除运算，但设计时注意了题目的梯度．本例还侧重于乘除法运算，只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了（如交换律、结合律、分配率、乘法公式等）；教学中，注意体会这些题目之间的层次性，教学中务必循序渐地开展相关技能训练，让更多的学生感受到成功的喜悦，循序渐进地发展学生的学力．
例5 计算：
（1
（2；
（3）
解：（1===
（2==
（3）= 课堂练习1：
1.化简：（1（2；（3）（4（5）．
第四环节：知识拓展
课堂练习2：
化简：（1（2（3）；
（4+（5）-（6
解：（18
===
（230
==；
（3）2
==
=⨯=；
224
（4==
==
（5）3
=
==
（6====．
第五环节：课堂小结
在进行根式乘除运算时，你有哪些体会与收获？
四、教学反思
本节课提出了最简二次根式，给出了二次根式化简成最简二次根式的常用方法．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到能灵活运用．为今后的学习打下基础．本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识的要求也不同，因此增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．。