江苏高二数学复习学案+练习8 函数的奇偶性与对称性 文
江苏高二文科复习学案+练习8__函数的奇偶性与对称性
11.下列函数中，是偶函数的是____________. ①2()f x x x =+ ②()1f x x =+ ③22()f x x x -=+ ④2()[2,2)f x x x x =+∈-2.若函数22()log (2)a f x x x a =++是奇函数，则实数a = .3.奇函数()f x 的定义域是R ，当0x >时，2()22f x x x =-++，则()f x 在R 上的表达式为_______________.4.已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则)(x f 的解析式是_________. 5.若函数()()(2)(,)f x x a bx a a b R =++∈常数是偶函数，且它的值域为(],4-∞，则该函数的解析式为__________________.6.若函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，且在[]0,1-上为减函数，若2(1)(45)0f a a f a --+->，则实数a 的取值范围为________________.7.若奇函数()f x 满足(3)1,(3)()(3),f f x f x f =+=+则3()2f =_____________.8.已知()f x 是定义R 在上的偶函数，并满足)(1)2(x f x f -=+，当32≤≤x 时，x x f =)(，则)5.5(f 的值为__________.9.函数()(0)y f x x =≠是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时是增函数，若(1)0f =，求不等式1[()]02f x x -<的解集.10.已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+.（1）求证：()f x 是奇函数； （2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f .1.③.2. 22． 函数是实数R 上的奇函数 2202log 0)0(2=∴=∴=∴a a f a 3. 22220()00220x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩． 4.11)(2+=x x f ． 5.42)(2+-=x x f ． 6.23331+-<≤a ． 7.21 ． 8.2.5．【解析】11(4)[(2)2]()41(2)()(5.5)(1.54)(1.5)(1.5)(1.54)(2.5)23()(2.5) 2.5(5.5) 2.5f x f x f x T f x f x f f f f f f x f x x f f +=++=-=-=∴=+-∴=+==-=-+=≤≤=∴=∴= 函数的最小正周期为时，9.【解析】 111[()]00()1()-1222f x x x x x x -<∴<-<-<由题得或 ， 解之得1117117{|0}244x x x +-<<<<或， 所以不等式的解集为1117117{|0}244x x x +-<<<<或. 10. 【解析】（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数．（2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-。
(江苏专用)2020版高考数学复习第二章函数2.3函数的奇偶性与周期性教案
§2.3函数的奇偶性与周期性考情考向分析以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以填空题为主，中等偏上难度．1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)．(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a| (2)T＝2|a| (3)T＝|a－b|题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( × )(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (4)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ )题组二 教材改编2．[P45习题T11]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________. 答案 －2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．[P43练习T4]函数y ＝f (x )为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f (|a |)＝3，则f (－a )＝________. 答案 3解析 若a ≥0，则f (－a )＝f (a )＝f (|a |)＝3； 若a <0，则f (－a )＝f (|a |)＝3. 故对a ∈R ，总有f (－a )＝3.4．[P45习题T8]若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 ∵f (x )＝(x ＋1)(x －a )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )对x ∈R 恒成立，∴(1－a )x ＝(a －1)x 恒成立，∴1－a ＝0，∴a ＝1.题组三 易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 答案 13解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝________. 答案 18解析 由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.题型一 函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36； (2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，x 2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称， ∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝ln (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是________．(填序号)①f(x)＝x＋sin2x; ②f(x)＝x2－cos x；③f(x)＝3x－13x；④f(x)＝x2＋tan x.答案④解析对于①，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x为奇函数；对于②，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，所以f(x)＝x2－cos x为偶函数；对于③，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫3x－13x＝－f(x)，所以f(x)＝3x－13x为奇函数；对于④，f(x)＝x2＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数f(x)＝lg|sin x|是________．(填序号)①最小正周期为π的奇函数；②最小正周期为2π的奇函数；③最小正周期为π的偶函数；④最小正周期为2π的偶函数．答案③解析易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．题型二函数的周期性及其应用1．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.答案516解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2020)＝________.答案 －2－ 3 解析 由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－ 3.3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.答案 6解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.4．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________. 答案2－1解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋0＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0) ＝122－1＋20－1＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三 函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2021)＝________.答案 －12解析 设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0解析 ∵当x >0时，－x <0， ∴f (x )＝f (－x )＝ex －1＋x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2 求参数问题例3(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 答案 1解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)， ∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0. ∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0，此时⎩⎪⎨⎪⎧－a －2＝a 2≤0，－1－a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ≥－1，即－1≤a ≤0.命题点3 利用函数的性质解不等式例4(1)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若f (ln x )<f (2)，则x 的取值范围是________． 答案 (e －2，e 2)解析 根据题意知，f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f (ln x )<f (2)⇔|ln x |<2，即－2<ln x <2，解得e －2<x <e 2，即x 的取值范围是(e －2，e 2)． (2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 解析 由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|， 两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0， 解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 思维升华 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2(1)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________. 答案 －12解析 由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系为________． 答案 f (－25)<f (80)<f (11)解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)． 所以f (－25)<f (80)<f (11)．(3)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (6－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案 (－3,2)解析 ∵g (x )是奇函数，∴当x >0时，－x <0，g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )， 易知f (x )在R 上是增函数， 由f (6－x 2)>f (x )，可得6－x 2>x ， 即x 2＋x －6<0，∴－3<x <2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 一、函数性质的判断例1(1)已知函数f (x )＝ax 2＋1x，其中a ∈R .讨论函数f (x )的奇偶性，并证明你的结论．解 方法一 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )恒成立， 即ax 2－1x ＝－ax 2－1x，得2ax 2＝0恒成立，所以a ＝0；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )恒成立， 即ax 2－1x ＝ax 2＋1x ，得2x＝0，这是不可能的．综上所述，当a ＝0时，f (x )为奇函数； 当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．方法二 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当a ＝0时，f (x )＝1x ，f (－x )＝－1x＝－f (x )，此时f (x )为奇函数；当a ≠0时，f (－1)＝a －1，f (1)＝a ＋1， 则f (－1)≠－f (1)且f (－1)≠f (1)， 所以f (x )是非奇非偶函数． (2)下列函数： ①y ＝sin 3x ＋3sin x; ②y ＝1e x ＋1－12；③y ＝lg 1－x1＋x；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x －1，x >0.其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的是________．(填序号) 答案 ②③解析 易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③. (3)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 ∵f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)．又f (x )是R 上的偶函数，所以f (3)＝0，故①正确； 由①知f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6. 又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (x ＋6)＝f (－x )， 而f (x )的周期为6，所以f (x ＋6)＝f (－6＋x )，f (－x )＝f (－x －6)，所以f (－6－x )＝f (－6＋x )，所以直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴．故②正确；当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数．因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数．故③错误；f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．故④正确．二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ改编)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________. 答案 2解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.(2)(2018·南京、盐城模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e解析 f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ＝f (ln t )＋f (－ln t )＝2f (ln t )＝2f (|ln t |)，于是f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，所以f (|ln t |)≤f (1)，所以|ln t |≤1，所以－1≤ln t ≤1，所以1e≤t ≤e.(3)(2018·扬州期末)已知函数f (x )＝sin x －x ＋1－4x2x ，则关于x 的不等式f (1－x 2)＋f (5x－7)<0的解集为________．答案 (2,3)解析 因为f (－x )＝sin(－x )＋x ＋1－4－x2－x＝－sin x ＋x ＋4x－12x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．又因为f (x )＝sin x －x ＋12x －2x，所以易判断f (x )在R 上单调递减， 所以f (1－x 2)＋f (5x －7)<0， 即f (1－x 2)<f (7－5x )，所以1－x 2>7－5x ，即x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是________．(填序号) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . 答案 ②④解析 由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 可知②④正确．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝________. 答案 －3解析 由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1， 则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0为________函数．(填“奇”或“偶”)答案 奇解析 f (x )的定义域为R (关于原点对称)．(1)当x ＝0时，－x ＝0，f (－x )＝f (0)＝0，f (x )＝f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )； (2)当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2－2(－x )－3 ＝－(x 2－2x ＋3)＝－f (x )； (3)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3 ＝－(－x 2－2x －3)＝－f (x )．由(1)(2)(3)可知，当x ∈R 时，都有f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2021)＝________.答案 －2解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，∴f (2021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)．∵－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)，∴f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2， ∴f (2021)＝－f (－1)＝－2.5．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是________．(用“<”连接) 答案 f (0)<f (－6.5)<f (－1)解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2. ∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)． 7．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 答案 －32解析 函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e3x＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝2ax ＝lne 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e2ax ＋3x (e 3x＋1)，所以2ax ＋3x ＝0恒成立， 所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为________． 答案 －ln2解析 由已知可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln2. 9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案 9解析 由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9. 10．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________． 答案 －25解析 由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35，∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. 经检验，m ＝2符合题意．(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2023)＝________.答案 1解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)． 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2023)＝f (－1)＝f (1)． 当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1). 由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2023)＝f (1)＝1. 14．(2018·如东、丰县联考)已知函数f (x )＝－3x＋a3x ＋1＋b .(1)当a ＝b ＝1时，求满足f (x )＝3x的x 的取值集合；(2)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，存在t ∈R ，使得不等式f (t 2－2t )<f (2t 2－k )有解，求k 的取值范围．解 (1)由题意得－3x＋13x ＋1＋1＝3x，化简得3·(3x )2＋2·3x－1＝0，解得3x ＝－1(舍去)或3x＝13，从而x ＝－1.即满足f (x )＝3x的x 的取值集合是{－1}． (2)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0， 所以－3－x＋a 3－x ＋1＋b ＋－3x＋a 3x ＋1＋b＝0，化简并变形得(3a －b )(3x＋3－x)＋2ab －6＝0. 要使上式对任意的x 恒成立， 则3a －b ＝0且2ab －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，因为f (x )的定义域是R ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3不合题意，所以a ＝1，b ＝3.所以f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3＝13⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23x ＋1，对任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝1212233131x x 骣÷ç-÷ç÷ç桫++ 2112233.3(31)(31)x x x x =?－＋＋ 因为x 1<x 2，所以21330x x>－， 所以f (x 1)>f (x 2)， 因此f (x )在R 上单调递减．因为f (t 2－2t )<f (2t 2－k )，所以t 2－2t >2t 2－k ， 即t 2＋2t －k <0在R 上有解， 所以Δ＝4＋4k >0，解得k >－1. 所以k 的取值范围为(－1，＋∞)．15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23解析 易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，m ∈[－2,2]，此时，只需⎩⎪⎨⎪⎧h (－2)<0，h (2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)的值．解 因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0.。
高二数学 第8课时 函数的奇偶性与周期性学案 苏教版 学案
第8课时 函数的奇偶性与周期性【学习目标】1、了解函数奇偶性的概念、图象特征及性质，并能判断一些简单函数的奇偶性。
2、了解函数周期性的概念及图象特征，并能应用它解决一些简单的问题。
【学习重点】函数的奇偶性的图象特征及其性质的应用。
【必记知识点】1、函数的奇偶性：（1）对于函数)(x f ，其定义域关于原点对称：如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有_______________，那么函数)(x f 为奇函数； 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有 ，那么函数)(x f 为偶函数.（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.（3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 .（4）若奇函数)(x f 在0x =处有定义，则必有(0)0f =。
（5）若函数()y f x a =+是偶函数，则()()f a x f a x +=-，从而()f x 的图象关于 对称。
（6）若函数()y f x a =+是奇函数，则()()f a x f a x +=--，从而()f x 的图象关于 对称。
2、函数的周期性对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，则)(x f 为周期函数，T 为这个函数的周期.3、与函数周期有关的结论：设a 为非零常数，若对()f x 定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：①()()f a x f x +=-；②()()1f a x f x +=；③()()1f a x f x +=-，则函数()f x 的周期为 。
【基础练习】1．(2013·某某三模)对于定义在R 上的函数f(x)，给出三个命题：①若f(－2)＝f(2)，则f(x)为偶函数；②若f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数；③若f(－2)＝f(2)，则f(x)一定不是奇函数．其中正确命题的序号为________．解析：根据偶函数的定义，对于定义域内的任意实数x ，若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数．从而命题①错误，命题②正确；对于常数函数，命题③错误．答案：①2．已知f(x)＝ax2＋bx 是定义在上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f(－x)＝f(x)，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：133. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f(1)＝2，则f(2 014)＝________. 解析：∵f(x)＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， ∴f(x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f(x)． ∴f(x)是以3为周期的周期函数．则f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2.答案：24、已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的偶函数，当0x >时，()2log f x x =，则0x <时，()f x = 。
江苏专用2020版高考数学专题复习专题2函数概念与基本初等函数I第8练函数的奇偶性和周期性练习理
文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编借•欢迎下载支持.函数I 第8练函数的奇偶性和周期性练习理 训练目标 (1)函数奇偶性的概念：(2)函数周期性.训练题型(1)判泄函数的奇偶性：(2)函数奇偶性的应用(求函数值，求参数)；(3)函数周 期性的应用. 解题策略 (1)判断函数的奇偶性首先要考虑函数定义域是否关于原点对称；(2)根据奇偶 性求参数，可先用特殊值法求出参数，然后验证：(3)理解并应用关于周期函数 的重要结论：如f(x)满足f(x+a) =-f(x),则f(x)的周期T=2 a .+ b+ c — ________ .2. (2016 •南京模拟)设fG)是宦义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间 (一2,1］上的图象，则 f(2 014) 4-/(2 015)= _________ ・3. (2016 •镇江模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当 曲［0,2］时，f(x)=x —l,则不等 式xf(x) >0在［―1, 3］上的解集为 _______________ •4. (2016 •扬州模拟)若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数满足f(£+g3=e”,则gCv) = ___________ ■5. 泄义在 R 上的函数 满足 X-.Y ) =-/(.?), f(x-2)=f(x+2),且当丄€ ( —1,0)时，=2—4,则 /(log ：20) = __________ ・ □6. (2016 •苏北四市一模)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当*0时，f3=log ：(2—x),那么f(0) + f(2)的值为 _________ •7. 若函数f(x)是左义在R 上的偶函数，且在区间［0, +8)上是单调增函数.如果实数t满足Ain t) +f(ln £) W2f(l),那么t 的取值范囤是 ______________ .8. 设是建义在R 上且周期为2的函数，在区间［一 1, 1］上，f3 =9. (2016 •南京、盐城一模)已知f3是左义在［-2, 2］±的奇函数，且当曲(0,2］时，=2乂一 1,又己知函数g(x) =x~—2x+zz?.如果对于任意的x£［ —2, 2］,都存在加丘［—2, 2］, 使得心=心,那么实数加的取值范围是 ____________________ .10. (2016 •南京、淮安、盐城二模)已知f3是圧义在R 上的奇函数，当0£A W1时，A.Y ) =女、当x>0时，fU+l)=f(x)+f(l).若直线尸加与函数y=f(.y)的图象恰有5个不同的公共点，则实数&的值为 _________ .11. (2015・课标全国I )若函数百匚?)为偶函数，则a= ________________________ .(江苏专用)2018版高考数学专题复习专2函数概念与基本初等加+2x+1其中吕，gR.若fg)=f§),则卄3b 的值为 _________________12・已知定义在R上的函数满足f⑴=1, —对任意曲R恒成立，则f xf(2 015)= _________ ・2為13.若函数f(0= 「八是奇函数，则实数&的值为___________ ・I 一才+m JV<014.(2017・山东乳山一中月考)定义在(一8,+8)上的偶函数f3满足f(x+l)= — f(£,且在［-1,0］上是增函数，下面是关于f(x)的判断：①f(x)的图象关于点彳£，0)对称：②f(x)的图象关于直线X=1对称；③fG")在［0,1］上是增函数；④f(2)=f(0).其中正确的是________ ・(把你认为正确的序号都填上)答案精析1. 02.33. (-1,0) U (1,3)4.|(e x -e ")5・一1解析 因为f (一£=-f(x),所以是奇函数.当 xW (0, 1)时，—-vE ( — 1,0),则 fCr) =_f(_x) = _2 ”_g.因为 fGr-2)=f(x+2),所以 f(x)=f(x+4),所以是周期为4的周期函数.而 4<log ：20<5,所以 f(log s 20) =/(log ：20-4)z 、 1 21 1=-(log ：20-4)-5= -21og :20_5 = _1-6. —2解析 因为函数f(w)是左义在R 上的奇函数，所以f(0)=0,且A2) = -r(-2)=-log ：4 =一2,所以 f(0)+f(2) = -2・7. 土 e]e 解析 /(In f)+f(ln £) =f(ln r)+f( —In t) =2/(ln t) =2/( In t|),因为 f(ln t) +Ain 2)W2f(l),所以 f( In t )S1),所以 lln t W],所以一lWln tWl,所以丄 te 8. -10解析 由题意知/•(》=¥，f(|)=f(-》=-^+l,从而字=一右+1,化简得3a+2b=—2.又 所以一a+l=容，所以&+3b=-10・b= — 2 心 .3a+2b= —2, a=2, 解得I —4.9.［—5, —2］解析由题意矢口，当—2,2］时，f(x)的值域为［—3,3］.因为对任意的2,2］, 都存在抡丘［-2, 2］,使得=/U)，所以此时£(冬)的值域要包含［一3, 31.又因为&3心=g(—2), ^(A*)3i n=^(l),所以g(l)W —3 且g(—2)23,解得一5WznW—2.10.2^2-2解析当1W2 时,令JV= t+1,则f(x) =/(t+l) =f(t) +f(l) = t s+l = (jr-l)3+b由题意作岀函数在［-2,2］上的图象，根据奇函数图象的对称性，若直线y=kx与函数卩= f(x)的图象恰有5个不同的公共点，当且仅当直线与区间(1,2］上的一段函数y= C Yy=kx^-1)：4-1相切，联立方程一［y= x-1解得¥—4+2)*+2=0,令4 = (&+2尸一8=0,解得R=±2住一2,舍去负值，得A=2^2 —2.11. 1解析f(x)为偶函数,则ln(x+{T匚?)为奇函数，所以lnG+pa+A7) +ln(―X+Q Z+A7) =0,即ln(a+丘一¥) =0,所以a=l.12. 1解析由fd+2)=，一，f x得f(—1+2) = 一1 —,即f⑴ f(一1) = 1,而XI) =1,故f(一1)=1,又因为f(x+4)=一—=f(x),所以f(2 015) =f(504X4-1)= f(_l)=l・13.— 2解析因为f(0是奇函数，所以f(0)=0,当JV>O 时，一xVO,由f(-x) = -f(x)9文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编借•欢迎下载支持. 得一(一x)'+a( —x) =—2-Y),则a= — 2：当x<0 时，一x>0,由X--Y) = -r(x),得(一£ = 一2 (—x) = —(一f+ax),得¥+2x=€-ax,则a=-2・所以a——2.14.①②④解析根据题意有彳x+扌)=一右一》，结合偶函数的条件，可知石+』=一£一』，所以函数图象关于点伶，0)对称,故①正确：式子还可以变形为f(x+2)=f(x)=f(—切，故②正确：根据对称性，可知函数在［0,1］上是减函数，故③错；由②可知f(2)=f(0),故④正确.故答案为①②④.。
江苏省响水中学高中数学 第二章《函数的奇偶性》导学案 苏教版必修1
江苏省响水中学高中数学第二章《函数的奇偶性》导学案苏教版必修11.理解函数的奇偶性及其几何意义,会判断函数的奇偶性.2.了解奇、偶函数图象的对称性.美丽的蝴蝶,盛开的花朵,富有创意的图标等都蕴含了对称的美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映.问题1:观察上面的两个图片,说明它们各具备怎样的对称性?第一个图片可看作一个轴对称图形,第二个图片可看作一个中心对称图形.问题2:(1)奇函数、偶函数是如何定义的?(2)具有奇偶性的函数的图象具有哪些特征?(1)偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么f(x)就叫作偶函数.奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么f(x)就叫作奇函数.(2)偶函数的图象关于对称,奇函数的图象关于对称.问题3:奇、偶函数的定义域有什么特点?奇函数若在x=0处有定义,能得出什么结论?函数的奇偶性是函数的整体性质.由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个必备条件是对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于对称).若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则必有f(0)= ,即函数图象必过.问题4:奇偶性与单调性有什么联系?(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有的单调性.(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有的单调性.1.下列图象是函数图象且具备奇偶性的是.2.下列函数是偶函数的是 .①y=x ; ②y=2x 2-3;③y=; ④y=2x ,x ∈[0,1].3.函数y=-|x|是 函数.4.判断下列函数的奇偶性: (1)421y x x =+； (2)f (x )=|x-2|-|x+2|.函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=x+; (2)f (x )=2-|x|; (3)f (x )=+; (4)f (x )=.利用奇偶性求值或求范围若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f (2)=0,则使得f (x )<0的x 的取值范围是 .利用奇偶性求解析式已知f (x )是奇函数,且当x>0时,f (x )=x|x-2|,求当x<0时,f (x )的解析式.(1)判断下列函数的奇偶性.①f(x)=x2,x∈[-1,2];②f(x)=·;③f(x)=;④f(x)=·.(2)画出函数f(x)=的图象,通过图象判断函数的奇偶性.(1)若f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)<0的解集为.(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)= .已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)的解析式为.1.函数f(x)=x(-1<x≤1)的是函数(填奇偶性).2.对于定义域是R的任意奇函数f(x),f(x)与f(-x)应满足.3.定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=,则常数m= ,n= .4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+3,求f(x).(2013年·山东卷)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于().A.-2B.0C.1D.2考题变式(我来改编):第6课时函数的奇偶性知识体系梳理问题2:(1)f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)(2)y轴原点问题3:原点0原点问题4:(1)相同(2)相反基础学习交流1.②先看图象是否是函数图象,再判断函数图象是否关于原点或y轴对称,只有②中的图象符合.2.②①中是奇函数;②中是偶函数;③④中的定义域不关于原点对称,故为非奇非偶函数.3.偶∵f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),∴函数y=-|x|为偶函数.4.解:(1)∵函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,设y=f(x)=x4+,又f(-x)=(-x)4+=x4+=f(x),∴函数为偶函数.(2)设y=f(x)=|x-2|-|x+2|,∵f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-f(x),∴函数为奇函数.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵函数f(x)的定义域是{x|x≠0},关于原点对称,又∵f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x).∴f(x)为奇函数.(2)∵函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),∴f(x)为偶函数.(3)∵函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.【小结】判断函数奇偶性的步骤:(1)考虑定义域是否关于原点对称,如果不是,那么它一定不具有奇偶性.(2)考虑f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;若f(-x)既等于f(x),又等于-f(x),则函数既是奇函数又是偶函数;若f(-x)既不等于f(x),又不等于-f(x),则函数既不是奇函数,也不是偶函数.探究二:【解析】由题意知,函数f(x)的大致图象如图所示,易知f(x)<0的x的取值范围为-2<x<2.【答案】(-2,2)【小结】在求解与奇偶性有关的抽象函数不等式时可画出函数的大致图象,利用数形结合思想求解.探究三:【解析】设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x|x+2|,∴f(x)=x|x+2|.故当x<0时,f(x)=x|x+2|.【小结】(1)在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间里.(2)转化为已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).思维拓展应用应用一:(1)①∵它的定义域不关于原点对称,∴函数f(x)为非奇非偶函数.②∵x-2≥0且2-x≥0,∴x=2,即f(x)的定义域是{2},不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.③函数的定义域是R.∵f(-x)+f(x)=+===0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.④由得f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,此时f(x)=0,∵f(-x)=f(x)=-f(-x)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)画出函数f(x)的图象(如图),由图象易知它关于原点对称,因此函数f(x)为奇函数.应用二:(1)(-3,0)∪(0,3)(2)-26(1)(法一)由题意可知,xf(x)<0⇔或⇔或⇔或∴x∈(-3,0)∪(0,3).(法二)采用数形结合法.(2)(法一)令g(x)=x5+ax3+bx,易知g(x)是R上的奇函数,从而g(-2)=-g(2),又f(x)=g(x)-8,∴f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18,∴g(2)=-g(-2)=-18.∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.(法二)由已知条件,得①+②得f(2)+f(-2)=-16.又f(-2)=10,∴f(2)=-26.应用三:f(x)=-x-x4设x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),∵当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,∴f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4,又函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,∴f(-x)=f(x),∴当x∈(0,+∞)时,f(x)=-x-x4.基础智能检测1.非奇非偶定义域不关于原点对称.2.f(x)+f(-x)=0根据奇函数的定义可得.3.00易知f(0)==0,∴m=0,又∵f(-x)==-f(x),故n=0.4.解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.设x<0,则-x>0,∴f(-x)=x2+2x+3,又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2-2x-3,∴f(x)=全新视角拓展A∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.思维导图构建f(-x)=-f(x)原点f(-x)=f(x)y轴。
高考数学一轮专题复习 8函数奇偶性、周期性 苏教版
求周期函数的函数值，要根 据函数的周期性，将自变量的范 围转化到已知区间上，利用已知 区间上函数的表达式求函数值．
.
【变式练习2】 已知函数f(x)(x∈R)的图象经过原点， 且f(x＋2)＝f(x＋5)，求f(2010)的值．
【解析】令u＝x＋2，得x＝u－2， 则f(u)＝f(u＋3)，所以函数f(x)的周期为3. 依题意，f(0)＝0，且2010＝670×3， 所以f(2010)＝f(0)＝0.
故原函数是偶函数．
4 因 为 f x 的 定 义 域 为 R ， 且 f (－ x )
＝
1 2x 1
1 2
2x － 1 2x
1＝ 2
1－ 2
1＝ 2x 1
－
f
x ，
故原函数是奇函数． .
在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件， 一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇 偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对 解决问题是有利的； 二是判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在 判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的 等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－ f(－x)＝0(偶函数))是否成立，这样能简化运算．
所以原函数既是奇函数又是偶函数．
2由1－x2 0，得－1 x 1， 则 | x－2 |－2＝－x，且f (－x)＝－f x，
故原函数是奇函数．
.
3因 为 定 义 域 为 全 体 实 数 ， 且
f (－ x )＝ lg ( 1 x 2－ x )＝ lg
1
1 x2 x
＝ － lg ( x＋ 1 x 2 )＝ － f x ，
则 2 a 2＝ 1 ， 得 a＝ 2 .
2
.
抓住奇函数的定义或特殊性质， 是解决此类问题的重要法宝．
高二数学函数的奇偶性试题答案及解析
高二数学函数的奇偶性试题答案及解析1.定义在上的函数满足且时，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，从而，则由已知有:，故选C．【考点】1．函数的奇偶性;2．函数的周期性．2.已知是定义在R上的奇函数，当时（m为常数）,则的值为（）. A．B．6C．4D．【答案】D.【解析】因为是定义在R上的奇函数，当时（m为常数），所以，即，即；.【考点】函数的奇偶性、对数恒等式.3.已知函数是定义在上的奇函数，且，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知函数是定义在上的奇函数，故有，又，所以，，，从而，对于抽象函数一定要用好一些特殊的函数值．【考点】抽象函数及函数性质．4.若函数是奇函数，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】Ｂ【解析】由函数是奇函数得：，又当时，函数，所以是奇函数，故选B．【考点】函数的奇偶性．5.已知定义在R上的函数满足条件，且函数为奇函数，给出以下四个命题①函数的最小正周期是；②函数的图象关于点对称；③函数为R上的偶函数；④函数为R上的单调函数。
其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解析】由①可得所以最小正周期为3，故①错；因为是奇函数，相当于是把f(x)向右平移个单位后图象关于原点对称，则f(x)关于故②正确；对于③：由②知，对于任意的x∈R，都有用换可得故f(x)是偶函数；由前面可知f(x)是周期函数，所以在R上不是单调函数故④错误.【考点】函数的奇偶性，周期函数性质.6.设是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()．A．(－1,0)B．(0, 1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)【答案】A【解析】由为奇函数，则，可得，即，又，即，可变为，解得．【考点】函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式．7.已知函数上的奇函数，且的图象关于直线x=1对称，当时，．【答案】1【解析】因为，f(x)的图象关于x=1对称，所以，f(1+x)=f(1-x)，因为，f(x)是R上的奇函数，所以f(x+1)=-f(x-1).所以f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以，f(x)是周期为4的函数.当时，所以，。
(苏教版)高考数学一轮复习第二章第三节函数的奇偶性及周期性教案文(解析版)
1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题体验]1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝________.答案：－22．若函数f (x )是周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (14)＝________. 答案：－13．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a ＋1)x ＋a 2－1是奇函数，则实数a 的值是________．解析：由于函数f (x )的定义域为R ，又函数f (x )是奇函数，故f (0)＝0，解得a ＝1或a ＝－1(舍去)，经检验a ＝1时符合题意．答案：11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b ＝________.解析：因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，所以a －1＋2a ＝0，所以a ＝13.又f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，所以a ＋b ＝13.答案：132．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 2－x ，x ＜0的奇偶性为________．解析：因为x ≠0，故f (x )的定义域关于原点对称． 当x ＞0时，－x ＜0，所以f (－x )＝log 2x ＝f (x )． 当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝log 2(－x )＝f (x )． 故f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 答案：偶函数考点一 函数奇偶性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x ；(4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.解：(1)因为由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1， 所以f (x )的定义域为{－1,1}． 又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．所以f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)因为函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)因为f (x )的定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(4)因为由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.所以f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，所以f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ， 则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．考点二 函数的周期性重点保分型考点——师生共研[典例引领]设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2. (1)求证：f (x )是周期函数；(2)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)．解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0. 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a.(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a＞0)．[即时应用]1．(2018·镇江调研)已知f(x)是定义在R上周期为4的函数，且f(－x)＋f(x)＝0，当0＜x＜2时，f(x)＝2x－1，则f(－21)＋f(16)＝________.解析：由f(－x)＋f(x)＝0，知f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又f(x＋4)＝f(x)，且当0＜x＜2时，f(x)＝2x－1，∴f(－21)＋f(16)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－(21－1)＝－1.答案：－12．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．解析：因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.答案：7考点三函数性质的综合应用题点多变型考点——多角探明[锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以填空题形式出现．常见的命题角度有： (1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合； (3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．(2018·连云港模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x ，则当x ＞0时，f (x )＝________. 解析：x ＞0时，－x ＜0，因为x ＜0时，f (x )＝2x ，所以当x ＞0时，f (－x )＝2－x .因为f (x )是R 上的奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .答案：－2－x角度二：单调性与奇偶性结合 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，且函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－[－(－x )2＋2×(－x )]＝x 2＋2x ，x ＜0，所以m ＝2，所以f (x )的单调递增区间为[－1，1]，因此[－1，a －2]⊆[－1,1]⇒－1＜a －2≤1⇒1＜a ≤3.答案：(1,3]角度三：周期性与奇偶性结合3．(2019·江阴期中)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x ，当1≤x ≤2时f (x )＝x －2，则f (6.5)＝________.解析：∵f (x ＋2)＝－1f x， ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f x ＋2＝f (x )，即函数f (x )的周期为4.∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (6.5)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝－0.5. 答案：－0.5角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，f (x －1)＝f (x ＋1)成立，当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，给出下列命题：①f (1)＝0；②f (x )在区间[－2,2]上有5个零点；③点(2 018,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心； ④直线x ＝2 018是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴． 则正确命题的序号为________．解析：在f (x －1)＝f (x ＋1)中，令x ＝0，得f (－1)＝f (1)，又f (－1)＝－f (1)，∴2f (1)＝0，∴f (1)＝0，故①正确；由f (x －1)＝f (x ＋1)，得f (x )＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的周期函数，∴f (2)＝f (0)＝0，又当x ∈(0,1)且x 1≠x 2时，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，可作出函数f (x )的大致图象如图所示．由图知②③正确，④不正确，故正确命题的序号为①②③. 答案：①②③[通法在握]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[演练冲关]1．(2018·启东中学月考)已知函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫－m 2－a5＞f (－m 2＋2m －2)，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，所以2－a ＋3＝0，所以a ＝5，所以f ⎝⎛⎭⎫－m 2－a5＞f (－m 2＋2m －2)，即f (－m 2－1)＞f (－m 2＋2m －2)．由题意知偶函数f (x )在 [－3,0]上单调递增，而－m 2－1＜0，－m 2＋2m －2＝－(m －1)2－1＜0，所以由f (－m 2－1)＞f (－m 2＋2m －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－m 2－1≤0，－3≤－m 2＋2m －2≤0，－m 2－1＞－m 2＋2m －2，解得1－2≤m ＜12.答案：⎣⎡⎭⎫1－2，12 2．设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x ＜0，ax －1，0＜x ≤2，则f (2 018)＝________.解析：设0＜x ≤2，则－2≤－x ＜0，f (－x )＝－ax ＋b .f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以 －2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 018)＝f (2)＝2×12－1＝0. 答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通中学高三测试)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (－1)＝2，那么f (0)＋f (1)＝________.解析：因为函数f (x )是R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，f (1)＝－f (－1)＝－2，f (0)＝0， 所以f (0)＋f (1)＝－2. 答案：－22．(2018·南京三模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．解析：偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2.所以f (x －1)≤2，即f (|x －1|)≤f (2)，即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3. 答案：[－1,3]3．函数f (x )＝x ＋1x ＋1，f (a )＝3，则f (－a )＝________.解析：由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a ＋1＝2.所以f (－a )＝2－f (a )＝－1. 答案：－14．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 解析：因为f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， 所以当x ＜0时，－x ＞0， f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －15．(2019·连云港高三测试)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝ ⎝⎛⎭⎫13x，则f (－2＋log 35)＝________.解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (－2＋log 35)＝－f (2－log 35)，由于当x ＞0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，故f (－2＋log 35)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 395＝－⎝⎛⎭⎫1339log 5＝－59. 答案：－596．(2018·南通一调)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －b ，x ≥0ax x ＋2，x ＜0(a ，b ∈R)为奇函数，则f (a ＋b )＝________.解析：法一：因为函数f (x )为奇函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－f 1，f－2＝－f 2，即⎩⎪⎨⎪⎧11－b ＝a －1＋2，22－b ＝2a －2＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.法二：因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，由题意知， 当x ≥0，二次函数的图象顶点坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，－b24， 当x ＜0，二次函数的图象顶点坐标为(－1，－a )，所以⎩⎨⎧－b2＝－1，b24＝－a ，解得a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1. 答案：－1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·抚顺期末)设f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为________．解析：∵f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数， ∴－2b ＋3＋b ＝0， ∴b ＝3，∴f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上为增函数， ∴f (x )在[0,6]上为减函数， ∴由f (x －1)≥f (3)，得|x －1|≤3， 解得－2≤x ≤4，∴f (x －1)≥f (3)的解集为{x |－2≤x ≤4}． 答案：{x |－2≤x ≤4}2．(2019·常州一中模拟)设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＋f (x )＝1，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 018.5)＝________.解析：由f (x ＋1)＋f (x )＝1在R 上恒成立，得f (x －1)＋f (x )＝1，两式相减得f (x ＋1)－f (x －1)＝0，即f (x ＋1)＝f (x －1)恒成立，故函数f (x )的周期是2，∴f (－2 018.5)＝f (－0.5)＝f (1.5)， 又当x ∈[1,2]时，f (x )＝2－x ， ∴f (－2 018.5)＝f (1.5)＝2－1.5＝0.5. 答案：0.53．已知函数f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数．若f (2x ＋1)＋f (1)＜0，则x 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数， ∴函数f (x )在区间[－2,2]上是单调减函数． ∵f (2x ＋1)＋f (1)＜0，即f (2x ＋1)＜－f (1)， ∴f (2x ＋1)＜f (－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ＋1≤2，2x ＋1＞－1，解得－1＜x ≤12.∴x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，12. 答案：⎝⎛⎦⎤－1，12 4．(2018·泰州期末)设f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x ＋ln x4，记a n ＝f (n －5)，则数列{a n }的前8项和为________．解析：数列{a n }的前8项和为f (－4)＋f (－3)＋…＋f (3)＝f (－4)＋(f (－3)＋f (3))＋(f (－2)＋f (2))＋(f (－1)＋f (1))＋f (0)＝f (－4)＝－f (4)＝－⎝⎛⎭⎫24＋ln 44＝－16. 答案：－165．(2018·徐州期中)已知函数f (x )＝e x －e －x ＋1(e 为自然对数的底数)，若f (2x －1)＋f (4－x 2)＞2，则实数x 的取值范围为________．解析：令g (x )＝f (x )－1＝e x －e －x ，则g (x )为奇函数，且在R 上单调递增．因为f (2x －1)＋f (4－x 2)＞2，所以f (2x －1)－1＋f (4－x 2)－1＞0，即g (2x －1)＋g (4－x 2)＞0，所以g (2x －1)＞g (x 2－4)，即2x －1＞x 2－4，解得x ∈(－1,3)．答案：(－1,3)6．(2019·镇江中学测试)已知奇函数f (x )在定义域R 上是单调减函数，若实数a 满足 f (2|2a －1|)＋f (－22)＞0，则a 的取值范围是________．解析：由f (2|2a －1|)＋f (－22)＞0，可得f (2|2a －1|)＞－f (－22)．因为f (x )为奇函数，所以f (2|2a －1|)＞f (22)．因为f (x )在定义域R 上是单调减函数，所以2|2a －1|＜22，即|2a －1|＜32，解得－14＜a ＜54.答案：⎝⎛⎭⎫－14，54 7．(2019·苏州调研)已知奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则不等式f xx －1＞0的解集为________．解析：由f xx －1＞0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，f x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，f x ＜0.因为奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝f (－2)＝0，所以当x ＞1时，f (x )＞0的解集为(1,2)；当x ＜1时，f (x )＜0的解集为(－2,0)．所以不等式f xx －1＞0的解集为(－2,0)∪(1,2)．答案：(－2,0)∪(1,2)8．函数f (x )在R 上满足f (－x )＝－f (x )，当x ≥0时，f (x )＝－e x ＋1＋m cos(π＋x )，记a ＝－πf (－π)，b ＝－134·f ⎝⎛⎭⎫－134，c ＝e f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：∵函数f (x )为R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－e x ＋1＋m cos(π＋x )， ∴f (0)＝－1＋1－m ＝0，即m ＝0， ∴f (x )＝－e x ＋1(x ≥0)． 令g (x )＝xf (x )，有g (－x )＝(－x )f (－x )＝xf (x )＝g (x )， ∴函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝xf (x )＝x (1－e x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝1－(1＋x )e x ＜0， ∴函数g (x )在[0，＋∞)上为减函数，∵a ＝－πf (－π)＝g (－π)＝g (π)，b ＝－134f ⎝⎛⎭⎫－134＝g ⎝⎛⎭⎫－134＝g ⎝⎛⎭⎫134，c ＝e f (e)＝g (e)， 又e ＜π＜134，∴b ＜a ＜c .答案：b ＜a ＜c9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1， 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．(2018·大同期末)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )，其中a ＞0，a ≠1.(1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由；(3)当a ＞1时，求使F (x )＞0成立的x 的取值范围．解：(1)∵F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1， ∴函数F (x )的定义域为(－1,1)．(2)F (x )为(－1,1)上的奇函数．理由如下：由(1)知F (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，F (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝ －[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－F (x )，∴函数F (x )为(－1,1)上的奇函数．(3)根据题意，F (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，当a ＞1时，由F (x )＞0，得log a (x ＋1)＞log a (1－x )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，解得0＜x ＜1，故x 的取值范围为(0,1)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南通模拟)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ＜0时，f (x )＝2x ，若a n ＝f (n )(n ∈N *)，则a 2 018＝________.解析：∵f (2＋x )＝f (2－x )，以2＋x 代替上式中的x ，得f (4＋x )＝f (－x )，又函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (－x )＝－f (x )，再以4＋x 代替上式中的x ，得f (8＋x )＝－f (4＋x )＝f (x )，∴函数f (x )的周期为8.∴a 2 018＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，而f (2)＝－f (－2)＝－14，∴a 2 018＝－14.答案：－142．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值． 解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数．故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立．于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.。
最新-江苏高二数学复习学案+练习8 函数的奇偶性与对
学案8 函数的奇偶性与对称性一、课前准备： 【自主梳理】1.奇偶函数的定义：一般地，对于函数()f x 的定义域内的________一个x ，都有____________，那么()f x 就叫做奇函数．对于函数()f x 的定义域的________一个x ，都有______________，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇偶函数的性质：⑴具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_________对称．（2）一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于__________对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于__________对称．（3）若奇函数)(x f 的定义域包含0，则=)0(f ___________．（4）定义在R 上的任意函数)(x f 都可以表示成一个奇函数=)(x g _____________和一个偶函数=)(x h ______________的和．（5）在定义域的公共部分内，两个奇函数之积（商）为___________；两个偶函数之积（商）为____________；一奇一偶函数之积（商）为_____________（注：取商时应使分母不为0）． 3．函数图像的对称性：（1）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于_________对称．（2）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于_________对称． 【自我检测】1．对于定义在R 上的函数)(x f ，下列判断正确的是__________．①若(2)(2)f f -=，则函数()f x 是偶函数；②若(2)(2)f f -≠，则函数()f x 不是偶函数； ③若(2)(2)f f -=，则函数()f x 不是奇函数．2．给出4个函数：①241()3x f x x +=-；②()25f x x =-+；③1()lg 1x f x x -=+；④1()1x f x x -=+． 其中 是奇函数； 是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数．3.已知22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++为奇函数，则=m ______,=n _________． 4.函数x x x f -=3)(的图像关于点__________对称．5.函数1sin )(3++=x b ax x f ，若2f =，则(f 的值为___________．6.已知函数)(x f 是定义在R 的奇函数，则函数)()()(x f x f x g --=的奇偶性是________． 二、课堂活动：【例1】填空题：（1）函数()11f x x x =++-是_________函数．（填奇偶性）（2）已知函数b a bx ax x f +++=3)(2，其定义域为[]a a 2,1-，则)(x f 为偶函数的充要条件为_________________．（3）已知()f x 是R 上的奇函数,且当(0,)x ∈+∞时,()(1f x x =,则()f x 的解析式为____________________．（4）若函数xx k k x f 212)(⋅+-=是奇函数，则=k ___________．【例2】判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x xx f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩【例3】（1）已知函数)(x f 是偶函数，当[)1,0∈x 时，x x f -=1)(，又)(x f 的图象关于直线1=x 对称，求)(x f 在[)1,2--上的解析式；（2）若函数()f x 是偶函数，定义域为[1,1]-且在区间[1,0]-上为增函数，解关于x 不等式)3()15(x f x f <-．课堂小结三、课后作业1.下列函数中，是偶函数的是____________.①2()f x x =②()1f x x =+ ③22()f x x x -=+ ④2()[2,2)f x x x x =+∈-2.若函数()log (a f x x =是奇函数，则实数a = .3.奇函数()f x 的定义域是R ，当0x >时，2()22f x x x =-++，则()f x 在R 上的表达式为_______________.4.已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则)(x f 的解析式是_________. 5.若函数()()(2)(,)f x x a bx a a b R =++∈常数是偶函数，且它的值域为(],4-∞，则该函数的解析式为__________________.6.若函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，且在[]0,1-上为减函数，若2(1)(45)0f a a f a --+->，则实数a 的取值范围为________________.7.若奇函数()f x 满足(3)1,(3)()(3),f f x f x f =+=+则3()2f =_____________. 8.已知()f x 是定义R 在上的偶函数，并满足)(1)2(x f x f -=+，当32≤≤x 时，x x f =)(，则)5.5(f 的值为__________.9.函数()(0)y f x x =≠是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时是增函数，若(1)0f =，求不等式1[()]02f x x -<的解集.10.已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证：()f x 是奇函数； （2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f .学案10 函数的奇偶性与对称性答案一、课前准备： 【自主梳理】1.任意，)()(x f x f -=-，任意，)()(x f x f =-.2.（1）原点，原点.（2）原点，y 轴.（3）0.（4）2)()()(x f x f x g --=，2)()()(x f x f x h -+=.（5）偶函数，偶函数，奇函数. 3.（1）直线a x =.（2）点()0,a . 【自我检测】 1.②.2.③，①，②④.3.2,1-=±=n m .4.()0,0 .5.0.6.奇函数.二、课堂活动：【例1】（1）偶.（2）0,31==b a .（3）(10()(10x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩.（4）1.【例2】【解析】（1）由101xx+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数．（2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-， ∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x ----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数． （3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．【例3】【解析】（1）∵)(x f 的图象关于直线1=x 对称，∴)1()1(x f x f -=+，即)2()(x f x f -=．当[)2,1∈x 时，1)2(1)2()(-=--=-=x x x f x f ．又()f x 为偶函数，∴[)1,2--∈x 时，1)()(--=-=x x f x f ． （2）∵函数()f x 是偶函数，定义域为[1,1]-且在区间[1,0]-上为增函数， ∴)(x f 在[]1,0上为减函数.∴由)3()15(x f x f <-得：)3()15(x f x f <-∴x x 315>-，即：81<x 或21>x ，又131,1151≤≤-≤-≤-x x ，即310≤≤x ∴不等式的解为：810<≤x ．三、课后作业 1.③.2.． 函数是实数R 上的奇函数 2202log 0)0(2=∴=∴=∴a a f a 3. 22220()00220x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩． 4.11)(2+=x x f ． 5.42)(2+-=x x f ．6.23331+-<≤a ． 7.21． 8.2.5．【解析】11(4)[(2)2]()41(2)()(5.5)(1.54)(1.5)(1.5)(1.54)(2.5)23()(2.5) 2.5(5.5) 2.5f x f x f x T f x f x f f f f f f x f x x f f +=++=-=-=∴=+-∴=+==-=-+=≤≤=∴=∴=函数的最小正周期为时，9.【解析】111[()]00()1()-1222f x x x x x x -<∴<-<-<由题得或 ，解之得1{|0}2x x x <<<<，所以不等式的解集为111{|0}244x x x <<<<. 10. 【解析】（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． （2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．版权所有：高考资源网()。
高中数学 第二章 函数 2.2.2 函数的奇偶性学案 苏教版
2.2.2 函数的奇偶性1．了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征．2．会判断函数的奇偶性．(重点)3．掌握函数奇偶性的运用．(难点)[基础·初探]教材整理函数奇偶性的概念阅读教材P41～P43，完成下列问题．1．偶函数一般地，设函数y＝f (x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f (－x)＝f (x)，那么称函数y＝f (x)是偶函数．2．奇函数一般地，设函数y＝f (x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f (－x)＝－f (x)，那么称函数y＝f (x)是奇函数．3．奇偶性如果函数f (x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f (x)具有奇偶性．4．奇、偶函数的图象性质(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)函数f (x)＝x的图象关于(0,0)对称．( )(2)偶函数的图象一定与y轴相交．( )(3)若对函数f (x)有f (－1)＝f (1)，则f (x)为偶函数．( )(4)奇函数的图象一定过(0,0)．( )【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×2．若f (x)是定义在区间[a－2,5]上的奇函数，则a＝________.【解析】 易知a －2＋5＝0，∴a ＝－3. 【答案】 －3[小组合作型](1)若函数f (x )的图象如图225，则f (x )为________函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)图225(2)判断下列函数的奇偶性． ①f (x )＝2|x |；②f (x )＝x ＋1＋21－x； ③f (x )＝4－x 2＋x 2－4.【精彩点拨】 (1)观察图象的对称性．(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f (x )与f (－x )的关系． 【自主解答】 (1)因为函数的图象关于y 轴对称，所以函数是偶函数． 【答案】 偶(2)①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数． ②定义域要求⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，1－x ＞0，所以－1≤x ＜1，所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )是非奇非偶函数．③由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2－4≥0，得x ∈{2，－2}，定义域关于原点对称，且f (±2)＝0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数．判断函数奇偶性的方法1．定义法2．图象法若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用于填空题中．[再练一题]1．判断下列各函数的奇偶性． (1)f (x )＝(x －2)2＋x2－x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x <－，x ，－x ＋x【解】 (1)由2＋x2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)当x <－1时，f (x )＝x ＋2，－x >1， ∴f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )； 当x >1时，f (x )＝－x ＋2，－x <－1，f (－x )＝－x ＋2＝f (x )；当－1≤x ≤1时，f (x )＝0，－1≤－x ≤1，f (－x )＝0＝f (x )． ∴对定义域内的每个x 都有f (－x )＝f (x )，因此f (x )是偶函数．(1)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x (1＋x )，求f (x )；(2)若函数f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋3(x ∈R )是偶函数，求m 的值.【精彩点拨】 (1)已知x <0时的解析式，用奇偶性求x >0的解析式，应通过(－x )进行过渡，但别忽视x ＝0的情况；(2)应用偶函数满足f (－x )＝f (x )．【自主解答】 (1)∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (－0)＝－f (0)， ∴f (0)＝0.当x ∈(0，＋∞)时，－x ∈(－∞，0)， ∴f (－x )＝x (1－x )． ∵f (x )为R 上的奇函数， ∴－f (x )＝x (1－x )， ∴f (x )＝－x (1－x )． 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋x ，0，－x －x ，x <0，x ＝0，x >0.(2)∵f (x )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即x 2－(m －1)x ＋3＝x 2＋(m －1)x ＋3， ∴2(m－1)x ＝0.∵x ∈R ，∴m －1＝0，得m ＝1.1．本题易忽视定义域为R 的条件，漏掉x ＝0的情形．若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0.2．利用奇偶性求解析式的思路(1)在待求解析式的区间内设x ，则－x 在已知解析式的区间内； (2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f (x )的奇偶性，求待求区间上的解析式．[再练一题]2．(1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数f (x )在R 上的解析式是________．(填序号)①f (x )＝－x (x －3)；②f (x )＝x (|x |－3)；③f (x )＝|x |(x －3)；④f (x )＝|x |(|x |－3)．(2)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x 2＋1x，则f (－1)＝________.【解析】 (1)∵f (x )在R 上是偶函数，且x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x ，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋3x ＝－x (－x －3)．又当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ＝x (x －3)，因此f (x )＝|x |(|x |－3)． (2)法一：当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－[2(－x )2＋1－x ]＝－2x 2＋1x， ∴f (－1)＝－2(－1)2＋1－1＝－3.法二：f (－1)＝－f (1)＝－(2×12＋1)＝－3. 【答案】 (1)④ (2)－3[探究共研型]探究1 观察图们在y 轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？图226【提示】 两个图象均为奇函数的图象，在y 轴左右两侧，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同．探究2 能否证明一下探究1中的结论(不妨以“已知f (x )在[a ，b ](a >0)上递增”为例)【提示】 已知f (x )是奇函数，在区间[a ，b ](a >0)上是单调递增的．证明f (x )在区间[－b ，－a ]上也单调递增．证明：任取x 1，x 2∈[－b ，－a ]且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝－f (－x 1)－[－f (－x 2)]＝f (－x 2)－f (－x 1)， ∵－b ≤x 1<x 2≤－a ，∴a ≤－x 2<－x 1≤b ，由f (x )在[a ，b ]上单调递增，∴f (－x 2)<f (－x 1)， ∴f (－x 2)－f (－x 1)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在区间[－b ，－a ]上单调递增．探究 3 从图227两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？图227【提示】 偶函数的图象在对称区间上单调性相反．已知函数f (x )是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数．若f (a －2)＋f (3－2a )<0，试求a 的取值范围．【精彩点拨】 可将f (a －2)＋f (3－2a )<0移项得f (a －2)<－f (3－2a )，根据奇偶性和单调性转化为研究a －2与2a －3的大小关系，注意定义域．【自主解答】 ∵f (a －2)＋f (3－2a )<0，∴f (a －2)<－f (3－2a )． ∵f (x )为奇函数，∴－f (3－2a )＝f (2a －3)，∴f (a －2)<f (2a －3)． ∵f (x )在[0,1)上为增函数，∴f (x )在(－1,1)上单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －2<1，－1<3－2a <1，a －2<2a －3，解得1<a <2.1．函数奇偶性和单调性的关系(1)若f (x )是奇函数，且f (x )在[a ，b ]上是单调函数，则f (x )在[－b ，－a ]上也为单调函数，且具有相同的单调性．(2)若f (x )是偶函数，且f (x )在[a ，b ]上是单调函数，则f (x )在[－b ，－a ]上也为单调函数，且具有相反的单调性．2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)＞f (x 2)或f (x 1)＜f (x 2)的形式，再利用单调性脱掉“f ”求解．(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．[再练一题]3．已知定义在[－2,2]上的函数f (x )是偶函数，在[0,2]上单调递增，则满足不等式f (2a －1)>f (1)的a 的取值范围是________．【解析】 由f (x )为偶函数，得f (2a －1)＝f (|2a －1|)， 又f (x )在[0,2]上单调递增，且f (|2a －1|)>f (1)， ∴|2a －1|>1，故⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2a －1≤2，|2a －1|>1，∴1<a ≤32或－12≤a <0.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，01．下列函数为奇函数的是________．(填序号)(1)y ＝x ；(2)y ＝2x 2－3；(3)y ＝x ；(4)y ＝x 3，x ∈[0,1]．【解析】 (1)中函数是奇函数；(2)中函数是偶函数；(3)(4)中函数是非奇非偶函数． 【答案】 (1)2．已知函数f (x )＝x 2－2＋32－x 2，则f (x )的奇偶性为________．【解析】 要使函数有意义，需满足x 2－2≥0,2－x 2≥0，∴x ＝±2，此时y ＝0，因此函数图象为点()±2，0，既关于原点对称又关于y 轴对称，因此函数既是奇函数又是偶函数．【答案】 既是奇函数又是偶函数3．已知f (x )＝ax 3＋bx －4，其中a ，b 为常数，若f (－2)＝2，则f (2)的值等于________．【解析】 f (－2)＝2，∴－8a －2b －4＝2，∴8a ＋2b ＝－6，∴f (2)＝8a ＋2b －4＝－10.【答案】 －104．设f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 3＋1，则当x <0时，f (x )＝________.【解析】 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )3＋1＝－x 3＋1，∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝－x 3＋1. 【答案】 －x 3＋15．已知定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在[0,2]上单调递增，f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．【解】 ∵f (x )是奇函数，在[0,2]上单调递增， ∴f (x )在[－2,2]上都递增．由f (m )＋f (m －1)>0，∴f (m )>－f (m －1)＝f (1－m )， 由f (x )的单调性知1－m <m ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m <m ，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2⇒12<m ≤2， ∴m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.。
江苏省徐州市建平中学高二数学 函数的奇偶性(2)学案
函数的奇偶性（2）一、学习目标1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．二、常用结论: 10.定义域关于原点对称是函数()f x 具有奇偶性的 条件.20.若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)f = .30. 奇函数在对称的单调区间内有 的单调性，偶函数在对称的单调区间内具 的单调性.４0()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=三、热身训练1．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)，其中正确命题的个数是2.设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)3.函数c bx ax y ++=2是偶函数的充要条件是___________4.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f =5.若()f x 是奇函数，且在区间（－∞，0）上单调增函数，又(2)0f =，则()0xf x <的解集是例题分析例题1、已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=)(1x f 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论例题2已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x) =x|x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．巩固训练已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________例题3、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当11≤≤-x 时，3)(x x f =，（1）证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴：（2）当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式。
23函数的奇偶性、周期性、对称性(无答案)-江苏省启东中学高考数学复习学案
§2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性【学习目标】1．理解函数奇偶性的概念，了解判断函数奇偶性的方法、步骤，了解奇、偶函数图象的对称性；2．了解函数周期性、对称性的定义及应用．【《考试说明》】要求【自主学习】一、基础知识1．一个函数何时称为奇函数？何时称为偶函数？其定义域有什么特征？2．奇、偶函数的图象各具有什么特征？3．函数周期性的定义是什么？4．函数()y f x =满足什么条件，其图象关于点(,)a b 对称？满足什么条件，其图象关于直线x a =对称？二、基础练习1．若函数(21)()()x x a f x x+-=为奇函数，则a =________．2．已知函数22sin ,0,()cos(),0x x x f x x x x α⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩是奇函数，则cos α= ．3．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是 ________．4．(2018⋅江苏)函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,022()1||,202x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩，则((15))f f 的值为_______．5．(2017⋅南京三模）已知函数()f x 是定义在R 上，且周期为4的偶函数．当[2,4]x ∈时，43()|log ()|2f x x =-，则1()2f 的值为 ．6．（2016⋅江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ．若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是________．【典题导引】例1．（1）判断下列函数的奇偶性：①()f x =1()ln 1x f x x-=+. （2）(2018⋅新课标Ⅲ)已知函数())1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．（3）设a R ∈，函数22()21x x a a f x ⋅+-=+ ()x R ∈为奇函数，则a = ． （4）已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a +=-+－(0a >且1)a ≠．若(2)g a =，则(2)f =________.例2．设a ∈R ，函数32()2,f x x ax x x =++∈R 是奇函数．（1）求实数a 的值；（2）指出函数()f x 的单调性（不要求证明）；（3）若不等式(222)((21))0x x x f f m --+-+⋅-≤对(0,2]x ∈恒成立，求实数m 的取值。
2020江苏高考数学一轮复习学案：第8课__函数的性质(2) 含解析
____第8课__函数的性质(2)____1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数奇偶性的方法．2. 掌握奇、偶函数的对称性，体会数学的对称美．3. 能解决与单调性、奇偶性等有关的一些综合题.1. 阅读：必修1第41～45页．2. 解悟：①判断函数奇偶性的一般步骤是什么？②具备奇偶性的函数，其定义域必须具有怎样的特点？这一特点是函数奇偶性定义的要求吗？③请尝试写出具备奇偶性的函数的其他性质；④什么是周期函数？你能用数学符号表示吗？你知道的周期函数有哪些？3. 践习：在教材空白处，完成第43页练习第1、2、4、6、7题.基础诊断1. 若函数f()＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数＝__±1__．解析：由题意得f(－)＝－f()， 则k －2－x 1＋k ·2－x ＝－k －2x 1＋k ·2x ， 即k ·2x －12x ＋k ＝2x －k 1＋k ·2x ，所以＝±1.2. 若定义在R 上的奇函数f ()满足f (＋2)＝－f ()，则f (6)＝__0__；若g ()是偶函数，则函数g (＋1)图象的对称轴为直线__＝－1__．解析：因为f (＋2)＝－f ()， 所以f (＋4)＝－f (＋2)，所以f ()＝f (＋4)，所以函数f ()是以4为周期的函数，所以f (6)＝f (2)．因为f (＋2)＝－f ()，所以f (2)＝－f (0)＝f (6)．因为函数f ()为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以f (6)＝0.因为g ()是偶函数，所以函数g ()的图象关于y 轴，即直线＝0对称，g (＋1)是将函数g ()的图象向左平移1个单位长度得到的，所以函数g (＋1)图象的对称轴为直线＝－1.3. 已知定义在R 上的偶函数f ()在区间[0，＋∞)上是单调增函数，若f (－1)<f (lg)，则的取值范围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞)__．解析：由题意可得，f (1)＝f (－1)，所以f (1)<f (lg)．因为函数f ()在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|lg|>1，即lg>1或lg<－1，解得>10或0<<110，故实数的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞)．4. 已知f()是R 上的奇函数，且当≥0时，f ()＝2－2，则当<0时，f ()＝__－2－2__．解析：设<0，则－>0，所以f (－)＝2＋2.因为函数f ()是R 上的奇函数，所以f (－)＝－f ()，所以－f ()＝2＋2，即f ()＝－2－2，故当<0时，f ()＝－2－2.5. 设函数f()(∈R)为奇函数，f (1)＝12，f (＋2)＝f ()＋f (2)，则f (5)＝__52__．解析：由题意得f (－1)＝－f (1)＝－12，f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)，所以12＝－12＋f (2)，即f (2)＝1，所以f (3)＝f (1)＋f (2)＝12＋1＝32，f (5)＝f (3)＋f (2)＝32＋1＝52.范例导航考向❶ 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性． (1) f()＝（1＋2x ）22x ；(2) f()＝lg (＋x 2＋1); (3) f()＝4－x 2|x ＋3|－3.解析：(1) 由题意得函数f()的定义域为R ，f ()＝（1＋2x ）22x ＝12x ＋2＋2，则f (－)＝12－x ＋2＋2－＝2＋2＋12x ，即f ()＝f (－)，所以函数f ()为偶函数．(2) 由题意得函数f ()的定义域为R.因为f ()＝lg(＋x 2＋1)，所以f (－)＋f ()＝lg(－＋x 2＋1)＋lg(＋x 2＋1)＝lg[(－＋x 2＋1)·(＋x 2＋1)]＝lg1＝0，所以f (－)＝－f ()，所以函数f ()为奇函数．(3) 由题意得，函数f ()的定义域为(－2，0)∪(0，2)，所以＋3>0，所以f ()＝4－x 2x ，f (－)＝4－x 2－x，f (－)＝－f ()，所以函数f ()是奇函数．判断函数f ()＝2＋|－a |＋1，a ∈R ，∈R 的奇偶性． 解析：当a ＝0时，f (－)＝(－)2＋|－|＋1＝f ()， 此时f ()为偶函数；当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，f (a )≠－f (－a )，f (a )≠f (－a )，此时f ()既不是奇函数，也不是偶函数. 考向❷ 单调性、奇偶性的综合例2已知函数f()＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x>0，0， x ＝0，x 2＋mx ， x<0是奇函数．(1) 求实数m 的值；(2) 若函数f()在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 设<0，则－>0， 所以f(－)＝－(－)2＋2(－)＝－2－2. 又f()为奇函数，所以－f(－)＝f()， 于是当<0时，f()＝2＋2＝2＋m ， 所以m ＝2.(2) 由(1)知f()在[－1，1]上是增函数，要使f()在[－1，a －2]上单调递增，则⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．已知奇函数f()的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]上单调递减．若f(1－m)＋f(1－m 2)<0，求实数m 的取值范围．解析：由f()的定义域为[－2，2]，知⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.因为f()是奇函数，所以f(1－m)<－f(1－m 2)，即f(1－m)<f(m2－1)．因为f()在[－2，0]上单调递减，所以f()在[－2，2]上是减函数，所以1－m>m2－1，解得－2<m<1.综上所述，实数m的取值范围是[－1，1).考向❸函数的周期性、对称性例3 设函数f()在R上满足f(2－)＝f(2＋)，f(7－)＝f(7＋)，且在区间[0，7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1) 试判断函数y＝f()的奇偶性；(2) 试求方程f()＝0在区间[－2 018，2 018]上的根的个数，并证明你的结论．解析：(1) 因为函数f()在R上满足f(2－)＝f(2＋)，当＝2时，f(0)＝f(4)≠0，所以函数f()不是奇函数．因为f(2－)＝f(2＋)，f(7－)＝f(7＋)，所以f(－)＝f(4＋)，f(－)＝f(14＋)，即f(4＋)＝f(14＋)，即f()＝f(＋10)，所以函数f()是以10为周期的周期函数，所以f(－3)＝f(－3＋10)＝f(7)≠0，即f(－3)≠f(3)，所以函数f()不是偶函数．综上，函数f()既不是奇函数也不是偶函数．(2) 因为在闭区间[0，7]上只有f(1)＝f(3)＝0，所以f()＝0在[4，7]上无解，则f(7－)＝0在[0，3]上无解．因为f(7－)＝f(7＋)，所以f(7＋)在[0，3]上无解，即f()在[7，10]上无解，所以函数f()＝0在一个周期[0，10]上只有2个根．又因为在闭区间[－2 010，2 010]上含有402个周期，此时有2×402＝804(个)根．在区间(2 010，2 018]上，f(2 011)＝f(1)＝0，f(2 013)＝f(3)＝0，此时有2个根．因为函数f()的周期为10，所以函数f()在[－2 018，－2 010)上的值域和在[2，10)上的值域相同，所以有1个根．综上，共有804＋2＋1＝807(个)根．自测反馈1. 已知偶函数f()的图象与轴有五个交点，则方程f()＝0的所有实数根之和等于__0__．解析：因为函数y ＝f()是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，所以其图象与轴有五个交点也与y 轴对称，其中一个为0，另外四个关于y 轴对称互为相反数，所以方程f()＝0的所有实数根之和等于0.2. 设函数f()是定义在R 上的奇函数，若当∈(0，＋∞)时，f ()＝lg ，则满足f ()>0的的取值范围是__(－1，0)∪(1，＋∞)__．解析：由已知条件可得，函数f ()的解析式为f ()＝⎩⎨⎧lg x ， x >0，0， x ＝0，－lg （－x ）， x <0.其图象如图所示，故f ()>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)．3. 已知函数f()是R 上的偶函数，g ()是R 上的奇函数，且g ()＝f (－1)，若f (2)＝2，则f (2 018)＝__2__． 解析：由题意得，f ()＝f (－)，g (－)＝－g ()．因为g ()＝f (－1)，所以g (－)＝f (－－1)，即－g ()＝f (－－1)＝f (＋1)，所以f (＋1)＝－f (－1)，所以f (＋2)＝－f ()，所以f (＋4)＝f ()，所以f ()为周期函数，周期为4，所以f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝2，即f (2 018)＝2.4. 设f()是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f ()＝⎩⎨⎧ax ＋1， －1≤x <0，bx ＋2x ＋1， 0≤x ≤1(其中a ，b ∈R)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为__－10__．解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－a 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以1－12a ＝b ＋43①.又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22②.联立①②得，⎩⎪⎨⎪⎧1－12a ＝b ＋43，－a ＋1＝b ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－4，所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.1. 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．2. 若对于函数f()的定义域内任一个自变量的值都有f(＋a)＝－f()或f(＋a)＝1f（x）或f(＋a)＝－1f（x）(a是常数且a≠0)，则f()是一个周期为2a的周期函数.3. 你还有哪些体悟，写下;：。
高中数学第2章函数2.2.8函数的奇偶性学案(无答案)苏教版必修1(2021学年)
江苏省启东市2０１７-2018学年高中数学第２章函数 2.2．8 函数的奇偶性学案(无答案)苏教版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（江苏省启东市20１７-2０１８学年高中数学第2章函数 2.2.8 函数的奇偶性学案（无答案)苏教版必修1)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省启东市2０１７-２018学年高中数学第2章函数 2.２.8 函数的奇偶性学案（无答案)苏教版必修1的全部内容。
2。
２．8 函数的奇偶性一、学习目标１.理解函数的奇偶性概念,掌握判断奇偶性的方法，加强对数形结合思想的渗透;2.初步学会运用函数图形理解和研究函数的性质.二、温固习新1.设函数ｆ(ｘ)的定义域为A如果对于任意的A x ∈,都有______＿___＿＿___，那么称函数f(x ）是偶函数;如果对于任意的A x ∈，都有__＿＿_＿__＿____＿＿,那么称函数f(x ）是奇函数.如果函数f （x ）是奇函数或偶函数,那么我们就说函数ｆ(x ）具有奇偶性.2．一般地，奇函数的图象关于_＿＿_____＿对称,反过来,如果一个函数的图象关于_________对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于__＿__＿___对称,反过来,如果一个函数的图象关于＿____＿＿__对称，那么这个函数是偶函数.3．探究：讨论下列函数的奇偶性（1）)0(≠+=k b kx y (2))0()(2≠++=a c bx ax x f4．判断函数奇偶性的步骤：(１）判断函数____＿___是否关于_____＿__对称；(２)验证f （x)与_______＿之间的关系；(3）给出结论.三、释疑拓展题型一 判断函数的奇偶性例1。
江苏省徐州市建平中学高二数学 函数的奇偶性(2)学案
函数的奇偶性（2）一、学习目标1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．二、常用结论: 10.定义域关于原点对称是函数()f x 具有奇偶性的 条件. 20.若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)f = .30. 奇函数在对称的单调区间内有 的单调性，偶函数在对称的单调区间内具 的单调性.４0()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=三、热身训练1．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)，其中正确命题的个数是2.设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)3.函数c bx ax y ++=2是偶函数的充要条件是___________4.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f =5.若()f x 是奇函数，且在区间（－∞，0）上单调增函数，又(2)0f =，则()0xf x <的解集是例题分析例题1、已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=)(1x f 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论例题2已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．巩固训练已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________例题3、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当11≤≤-x 时，3)(x x f =，（1）证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴：（2）当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学案8 函数的奇偶性与对称性一、课前准备： 【自主梳理】1.奇偶函数的定义：一般地，对于函数()f x 的定义域内的________一个x ，都有____________，那么()f x 就叫做奇函数．对于函数()f x 的定义域的________一个x ，都有______________，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇偶函数的性质：⑴具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_________对称．（2）一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于__________对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于__________对称．（3）若奇函数)(x f 的定义域包含0，则=)0(f ___________．（4）定义在R 上的任意函数)(x f 都可以表示成一个奇函数=)(x g _____________和一个偶函数=)(x h ______________的和．（5）在定义域的公共部分内，两个奇函数之积（商）为___________；两个偶函数之积（商）为____________；一奇一偶函数之积（商）为_____________（注：取商时应使分母不为0）． 3．函数图像的对称性：（1）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于_________对称．（2）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于_________对称． 【自我检测】1．对于定义在R 上的函数)(x f ，下列判断正确的是__________．①若(2)(2)f f -=，则函数()f x 是偶函数；②若(2)(2)f f -≠，则函数()f x 不是偶函数； ③若(2)(2)f f -=，则函数()f x 不是奇函数．2．给出4个函数：①241()3x f x x +=-；②()25f x x =-+；③1()lg 1x f x x -=+；④1()1x f x x -=+． 其中 是奇函数； 是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数．3.已知22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++为奇函数，则=m ______,=n _________．4.函数x x x f -=3)(的图像关于点__________对称．5.函数1sin )(3++=x b ax x f ，若2f =，则(f 的值为___________．6.已知函数)(x f 是定义在R 的奇函数，则函数)()()(x f x f x g --=的奇偶性是________． 二、课堂活动：【例1】填空题：（1）函数()11f x x x =++-是_________函数．（填奇偶性）（2）已知函数b a bx ax x f +++=3)(2，其定义域为[]a a 2,1-，则)(x f 为偶函数的充要条件为_________________．（3）已知()f x 是R 上的奇函数,且当(0,)x ∈+∞时,()(1f x x =+,则()f x 的解析式为____________________．（4）若函数xx k k x f 212)(⋅+-=是奇函数，则=k ___________．【例2】判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x xx f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩【例3】（1）已知函数)(x f 是偶函数，当[)1,0∈x 时，x x f -=1)(，又)(x f 的图象关于直线1=x 对称，求)(x f 在[)1,2--上的解析式；（2）若函数()f x 是偶函数，定义域为[1,1]-且在区间[1,0]-上为增函数，解关于x 不等式)3()15(x f x f <-．课堂小结三、课后作业1.下列函数中，是偶函数的是____________.①2()f x x =②()1f x x =+ ③22()f x x x -=+ ④2()[2,2)f x x x x =+∈-2.若函数()log (a f x x =是奇函数，则实数a = .3.奇函数()f x 的定义域是R ，当0x >时，2()22f x x x =-++，则()f x 在R 上的表达式为_______________.4.已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则)(x f 的解析式是_________. 5.若函数()()(2)(,)f x x a bx a a b R =++∈常数是偶函数，且它的值域为(],4-∞，则该函数的解析式为__________________.6.若函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，且在[]0,1-上为减函数，若2(1)(45)0f a a f a --+->，则实数a 的取值范围为________________.7.若奇函数()f x 满足(3)1,(3)()(3),f f x f x f =+=+则3()2f =_____________. 8.已知()f x 是定义R 在上的偶函数，并满足)(1)2(x f x f -=+，当32≤≤x 时，x x f =)(，则)5.5(f 的值为__________.9.函数()(0)y f x x =≠是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时是增函数，若(1)0f =，求不等式1[()]02f x x -<的解集.10.已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证：()f x 是奇函数； （2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f .学案10 函数的奇偶性与对称性答案一、课前准备： 【自主梳理】1.任意，)()(x f x f -=-，任意，)()(x f x f =-.2.（1）原点，原点.（2）原点，y 轴.（3）0.（4）2)()()(x f x f x g --=，2)()()(x f x f x h -+=.（5）偶函数，偶函数，奇函数. 3.（1）直线a x =.（2）点()0,a . 【自我检测】 1.②.2.③，①，②④.3.2,1-=±=n m .4.()0,0 .5.0.6.奇函数.二、课堂活动：【例1】（1）偶.（2）0,31==b a .（3）(10()(10x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩.（4）1.【例2】【解析】（1）由101xx+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数．（2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-U ，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-， ∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x ----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数．（3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．【例3】【解析】（1）∵)(x f 的图象关于直线1=x 对称，∴)1()1(x f x f -=+，即)2()(x f x f -=．当[)2,1∈x 时，1)2(1)2()(-=--=-=x x x f x f ．又()f x 为偶函数，∴[)1,2--∈x 时，1)()(--=-=x x f x f ． （2）∵函数()f x 是偶函数，定义域为[1,1]-且在区间[1,0]-上为增函数， ∴)(x f 在[]1,0上为减函数.∴由)3()15(x f x f <-得：)3()15(x f x f <-∴x x 315>-，即：81<x 或21>x ，又131,1151≤≤-≤-≤-x x ，即310≤≤x ∴不等式的解为：810<≤x ．三、课后作业 1.③.2.Θ函数是实数R 上的奇函数 2202log 0)0(2=∴=∴=∴a a f a3. 22220()00220x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩． 4.11)(2+=x x f ． 5.42)(2+-=x x f ．6.23331+-<≤a ． 7.21． 8.2.5．【解析】11(4)[(2)2]()41(2)()(5.5)(1.54)(1.5)(1.5)(1.54)(2.5)23()(2.5) 2.5(5.5) 2.5f x f x f x T f x f x f f f f f f x f x x f f +=++=-=-=∴=+-∴=+==-=-+=≤≤=∴=∴=Q 函数的最小正周期为时，9.【解析】111[()]00()1()-1222f x x x x x x -<∴<-<-<由题得或 ，解之得1{|0}2x x x <<<<，所以不等式的解集为111{|0}244x x x <<<<. 10. 【解析】（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． （2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．版权所有：高考资源网()。