一类特殊边条件下斯图膜—刘维尔方程的格林函数及其振荡性
一类二阶奇异半正Sturm-Liouville边值问题的正解
１ ０・
王艳兵 ： 一类二 阶奇异半正 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ— Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ Ｕ ｅ边值 问题 的正解
定理 １ 若 （ Ａ ， ） 一 （ Ａ ３ ） 满足 ， 那 么 奇 异 半 正 边值 问题 （ １ ） 至 少有 一个 Ｃ（ ， ） 正解 存在 ． 定理 ２ 在 定 理 １的条 件下 ， 再 假设 （ Ａ ） 满 足， 则定 理 １中的解 为 ｃ （ ， ） 正解 ． 为证 明主要 结果 成立 ， 我们 引入 下 面引理 ：
第３ ５卷
第 ６期
曲 靖 师 范 学 院 学 报 Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｑ Ｕ Ｊ Ｉ Ｎ Ｇ Ｎ Ｏ Ｒ Ｍ Ａ Ｌ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ ０ Ｌ ３ ５ Ｎｏ ． ６ ＮＯ Ｖ ． ２ ０１ ６
２ ０ １ ６年 １ １月
一
类 二 阶奇 异 半 正 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ—Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 边 值 问题 的 正 解
王 艳 兵
（ 山西师范大 学临汾学 院 数计 系， 山西 临汾 ０ ４ １ ０ ０ ０ ）
摘
要： 通过构造格林 函数及锥 ， 利用 范数 形式的锥 拉伸 不动点定理 ， 研 究具 有 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ —Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ边
界条件 的一类二阶奇异 半正微分 方程的正解 问题 ， 得 到 了其 正解存在 的判定 方法． 关键词 ： Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ— Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ边值 问题 ； 正解 ； 锥； 不 动点定理 中图分类号 ： ０ １ ７ ５ ． ８ 文献标识码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ９— ８ ８ ７ ９ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ６— ０ ０ １ ０— ４ ０
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》范文
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言一维Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理、工程和数学等多个领域有着广泛的应用。
近年来，随着计算科学的发展，高阶数值方法在求解这类方程时显得尤为重要。
本文将介绍一种高阶紧致有限体积方法（High-Order Compact Finite Volume Method，HOCFVM）来求解一维Sine-Gordon方程，以期提高计算精度和效率。
二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，具有丰富的物理背景和数学性质。
在物理中，它常用于描述孤立子、非线性波等现象。
该方程的一般形式为：U_t = sin(U)_x其中，U是因变量，t和x分别是时间和空间坐标。
该方程具有非线性和周期性等特点，使得其求解过程具有一定的挑战性。
三、高阶紧致有限体积方法为了求解一维Sine-Gordon方程，本文采用高阶紧致有限体积方法。
该方法通过将计算区域划分为有限个体积单元，然后在每个体积单元上应用有限体积原理进行离散化和求解。
通过选择适当的离散格式和紧致算子，可以在保证计算精度的同时，降低数值耗散和数值色散，提高计算效率。
四、HOCFVM方法的具体实现1. 离散化：将一维计算区域划分为N个等距的体积单元，每个体积单元的长度为Δx。
在每个体积单元上，因变量U的离散化值表示为U_i，其中i表示体积单元的编号。
2. 紧致算子的选择：选择适当的紧致算子来逼近空间导数和时间导数。
常用的紧致算子包括二阶、四阶等高阶差分算子。
在本方法中，我们选择四阶紧致算子来提高计算精度。
3. 离散方程的建立：根据有限体积原理，在每个体积单元上建立离散化方程。
通过将Sine-Gordon方程在时间和空间上进行离散化，得到一系列关于U_i的离散方程。
4. 求解离散方程：采用适当的数值方法（如迭代法、追赶法等）来求解离散方程，得到因变量U的数值解。
复旦王建军 工程数学 第13讲
c1e - c2e c1e - c2e - kL kL kL - kL 该方程可以写为 c1 (e - e ) c2 (e - e ) 于是有 c1 -c2
kL kL
- kL
-kL
这样可以得到 c1 -c1 c1 0 ，故其解是平凡 的，因此该问题没有负特征值。
18
3) λ>0，设λk2 该方程的通解为 y( x) c1 cos(kx) c2 sin(kx) y(-L) c1 cos(kL) - c2 sin(kL) 代入边界值有 y( L) c1 cos(kL) c2 sin(kL) 这就得到 c2 sin(kL) 0 而 y(- L) c1k sin(kL) c2k cos(kL) y( L) -c1k sin(kL) c2k cos(kL) 这就得到 kc1 sin(kL) 0 如果 sin(kL) 0 ，那么 c1 c2 0
n 2 2 n 2 L
15
相应的特征函数为
n x yn ( x) c cos L
上式中c是任意非0的实数且n是任意正整数。 当情况3)中n=0时，情况1)和3)可以合并，包 括特征值λ0及相应的常数特征函数y(x)c.
例9.1.5 周期Sturm-Liouville问题 求解周期Sturm-Liouvlele问题
1
这就使我们想到这些扩展收敛定理的相似性 是一致的。我们下面将给出这些收敛定理相 一致的一般理论。这将为我们后面解偏微分 方程奠定基础。 考虑微分方程 y R( x) y (Q( x) P( x)) y 0 (9.1.1)
假设该方程的系数在(a, b)上连续，我们寻求 使该方程有非平凡解的λ值。我们将看到，在 某些条件下，解必须满足边界条件。在某些 条件下，解不存在（边界条件由a和b给定）。
参数p(x)为分段常数时斯图谟——刘维尔问题的格林函数及其定性性质
Ｄ Ｄ 这样求得的 （ ） 和 （ ） 就是齐次边值问题 （ ） ３ 的两个特解 。 从它们出发 ， 边值问题（ ） １ 的格林函 数构造如下 ： 当０≤ｓ≤Ｃ
∞ －
（＋ （ ）ｌ Ｐ （ ） （
ｃ Ｈｐ１ ＋Ｐｌ＋ ｃ Ｈｐ２ Ｈｔ１ ， ｃ Ｈｐ１＋ Ｐ１＋ ｃ ２ Ｈｐ Ｈｐｌ
解 的存在 性 。
考察下列非线性斯图谟一刘维尔方程的边值问题
『 （） Ｐ ） ＵＸ ）＝０ ０＜ ＜１ ［ ｘ／ ］ ｐ ， ＋ （） （
【 ０ ｕ （ ）一ｈ （ ） ＝０ ＝１ （ ）＋日 （ ） ｕ０ １ １ ， １
…
这里ｆＥＣ Ｒ ， ＋ 且有 ０ （ ＋Ｒ ） Ｅ ）＝Ｏ 在以往的文献中 ｏ
＋
２
一
２ ） ，
ｃ≤ ≤ １
完全类似地可以解得
ｃ Ｈｐｌ＋Ｐｌ＋ ｃ Ｈｐ２
Ｉ Ｉ
， Ｉ－ Ｊ 、● Ｌ
０ ≤ ≤ ｃ
（ ＝ ）
＋
ｌ
（） ７
＋
２
）
、ｌ ＿Ｉ，
、ｌＩ ｌ／
ｃ＜ ≤ １
日 一 日一 ＋１ 日 ＋１ 一 日
Ｖ０Ｉ１ ． ７ ＮＯ． ３
参 数 Ｐ ）为 分 段 常数 时斯 图谟 — — 刘 维 尔 问题 （ 的格 林 函数 及 其 定性 性 质
沈 娟， 黄丽 莎 ， 王其 申
（ 安庆师 范学 院 数学与计算科学学 院， 安徽 安庆 ２ ６ ３ ） ４ １３
摘
要 ：本文导 出了参数 ｐ ｘ 为分段常数时斯 图谟 一 刘维尔方程 的格林 函数 ， 明了所导 出的格林 函数的若干定 （） 证
性性质 ， 给出 了参数 ｐ ） （ 为分段常数时非线性斯图谟 一 刘维尔方程边值问题解的积分公 式。
《数学物理方程》第4章 Laplace方程的Green函数法
2
二 球域
u 0 M:V o u f (M )
2
R
M
1
r1
M
0
rM
1
M
任取球内点 M ， OM r, (0 r R) 0 0 取以 OM 为 z轴的球坐标系 (, , ) 0 设 f ( x, y, z) f ( , )
x , y , z
1 1
0
v ( M M ) 0 0
物理含义
v ( M , M ) 0 0 2 2 2 4 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) M M 4
0 0 0
1 单位正电荷位于 M 处 , 其电场于 M 点的电位为 0 4 r M M
解
u (0 ,0 ,a)
2 (x 2
1
2 0
1
a y a ) 1 a
2 2 2 2 32
2
f (x, y)dxdy rdr
1
d
0
(r a )
32
a1 dr a a 2 2 1 2 3 2 2 1 2 2 20( r a) ( r a) 0 1 a
二 狄内问题Green函数法的步骤
1 . 任意取给定 M . v ( M , M ) 0 0 0 4 r 2 v 0 M 2 . 由 求出 v ( M ,M ) 0 v v ( M ) 0 则 G ( M , M ) v ( M , M ) v ( M , M ) 0 0 0 0
2
1
G ( M M ) M 0 G ( M , M ) 满足 0 G 0 2 G u 3 . u ( M ) G dv f ( M ) dS 为 的 0 u f ( M ) n
数理方程第四章 格林函数法
则 u(M 2 ) u(M1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径
在 内作球 k 2 ，在 k 2上u(M ) u(M 2 ) u(M1 ) ，…, n 次后，
点 N 一定包含在以某点 M n 为中心 ,半径小于 d 的球
kn 内 , 因而 u( N ) u(M n ) u(M1 ) , 由 N 的
性质1. 设 u(x, y, z) 是区域 内的调和函数，它在
上有一阶连续偏导数，则
udS n
0,
其中
,
n
是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
3
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx uyy 0 ,其极坐标形式为:
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
0
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r) (即与 无关的解) ,则有：
d 2V dr 2
1 r
dV dr
任意性 ,就得到整个 上有 u( N ) u( M 1 ) ,这与 u 不为
常数矛盾.
10
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
K1 M2 l M1 K2 M3
S1 S2
Kn N Mn Sn
图4.1
11
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
数学物理方法12格林函数
对于拉普拉斯方程
第一边值问题的解为
f (r0 ) 0
u (r ) (r0 )
G(r , r0 ) ]dS0 n 0
第三边值问题的解为 u(r )
1
(r0 )G(r , r0 )dS0
12.2无界空间的格林函数
基本解
无界区域这种情形公式中的面积分应为零，故有
u (r ) f (r ) u [ u ] (rp ) n
相应的格林函数 G(r, r0 ) 是下列问题的解：
G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) [ G ] 0 n
泊松方程的边值条件，两边同乘以格林函
上半平面区域第一边值问题的格林函数构建 拉普拉斯方程的第一边值问题求解 物理模型：若在
M 0 ( x0 , y0 ) 处放置一正单位点电荷
则虚设的负单位点电荷应该在 M 1 ( x0 , y0 ) 于是得到这两点电荷在 xoy 的上半平面的电位分 布．也就是本问题的格林函数，即为
G (r , r0 ) 1 1 1 1 ln ln 2π | r r0 | 2π | r r1 | 1 1 1 1 ln ln 2π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 2π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
G(r,0)dV (r )dV
T T
(r )dV 1
T
利用高斯定理（14.1.1）得到
T
G(r ,0)dV G(r ,0)dV G(r,0) dS
T S
G 2 r sin d d S r
T
参数p(x)为分段线性函数时斯图谟刘维尔问题的格林函数及其定性性质
ｐｏ ｌ ｔ （ ）ｔ ｅａｓｇ ｎａ ｙｌ ｅｒ ｕ ｃｉ ｎｉｔｒａ ［ ，］ａｅ ｉ ｕｓｄ ａｄｔｅｉ ｅｒｌ ｏｍ ｌｓ ｆ ｒｂｅ ｗｉ ｐ ｚ ｏｂ ｅｍｅ ｔｌ ｎ ａ ｎ ｔ ｎｏ ｅｖ ｌ Ｏ １ ｒ ｓ ｓｅ ，ｎ ｔｇａ ｆｒ ｕａ ｍｓ ｈ ｌ ｉ ｆ ｏ ｎ ｄｃ ｈ ｎ ｏ
０ 引言
Ｇ ｅｎ函数是 数学 物理 方法 中的一个 重要 概 念 ， 在 工 程力 学 和微 分 方 程 的研 究 中都有 非 常 重要 的应 ｒｅ 它 用 ， 以用 来 求解振 动 、 可 波等 结 构 动 力 学 问题 ， 可 以用 来 证 明 某 些 非 线性 常 微 分方 程 边 值 问题 解 的存 在 还
ｓｌｔ ｎ ｒ ｈ ｏ ｎ ａｙｖ ｌｅｐｏ ｌ ｒ ｈ ｗ ｄ ｏｕｉ ｓｆ ｅｂ ｕ ｄｒ ａ ｒｂｅ ａｅｓｏ ｅ ． ｏ ｏｔ ｕ ｍｓ
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｌ ｅ ｒ Ｓ ｕ ｍ— ｉ ｕ ｉ ｅ ｐ ｏ ｌｍ ；Ｇｒ ｅ ｕ ｃ ｉｎ；ｓ ｇ ｎ ａ ｉ ｎ ｆ ｎ ｔ ｎ ｕ ｌ ａ ｉｅ ｐ ｏ ｅ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ：ｎ ｎ ｉ ａ ｔ ｒ Ｌ ｏ ｖｌ ｒ ｂ ｅ ｎ ｌ ｅ ｎ ｆ ｎ ｔｏ ｅ ｍｅ ｔ ｔｏ ｕ ｃ ｉ ；ｑ ａｉ ｔ ｒ ｐ ｒ ｙ ｏ ｔ ｖ
ｆ户 ） ｚ ） 厂 （ ） （ （ Ｕ （ ） ＋ （ ｚ ）一 ０ ０≤ ｘ≤ １ ， ，
（ ）一 ｈ Ｏ Ｏ ｕ（ ）一 ０， （） １
ｌ（ ＋ （ 一 １ １ 。 ，） ）
的格林 函数及 其定 性性 质 ， 中 ｆＥＣ Ｒ Ｒ ， 厂 Ｏ 一０ 其 （ ＋， ＋） 且 （ ） ，
Ｇｒ ｅ ｕ ｃｉｎ ｎ ｈ ｉ ｕ ｌｔ ｔ ｅ ｐ ｏ ｅ ｔ ｓ ｆ ｒ ｔ ｅ Ｓ ｕ ｍ－ ｏ ｖｌ ｒ ｂ ｅ ｅ ｎ ｆ ｎ ｔｏ ｓａ ｄ ｔ ｅｒｑ ａ ｉａ ｉ ｒ ｐ ｒｉ ｏ ｈ ｔ ｒ Ｌｉ ｕ ｉｌ ｐ ｌｍｓ ｖ ｅ ｅ ｏ
量子力学中的格林函数
量子力学中的格林函数格林函数最早出现在电动力学中，用于描述电荷分布和电势之间的相互作用。
随着量子力学的发展，格林函数的概念被推广到量子体系中，如量子场论和凝聚态物理等领域。
在这些系统中，格林函数提供了关于粒子的传播、相互作用和衰变的重要信息。
在量子力学中，格林函数是系统的响应函数，描述了系统对一个“杂质”扰动的响应。
这个“杂质”可以是一个在其中一位置上施加的势能变化、一个局域的粒子或一个外部的电磁场。
格林函数可以告诉我们在给定时间和位置上，系统中是否存在粒子，以及它们的性质。
格林函数的定义可以通过系统的哈密顿量和演化算符来推导。
设系统的哈密顿量为H，初态为，Ψ₀⟩，则格林函数G(x,t;x',t')定义为：G(x,t;x',t')=⟩Ψ₀，T(ψ(x,t)ψ†(x',t'))，Ψ₀⟩其中，ψ和ψ†是系统的场算符，T是一个时间排序算符，用于确保算符按照时间的顺序进行演化。
格林函数是量子态在不同时间和空间点上的投影，它提供了系统中粒子的传播和相互作用的信息。
格林函数的性质取决于系统的具体性质和边界条件。
在平稳态问题中，格林函数是时间的平移不变的；在非平稳态问题中，格林函数一般是时间的非平移不变的。
此外，格林函数还具有连续性、反对称性和奇异性等重要性质。
在实际计算中，格林函数可以通过多种方法获得。
常用的方法包括路径积分方法、微扰理论和Keldysh Green函数方法。
这些方法可以根据问题的具体性质选择合适的计算方案，并提供了描述系统行为的详细信息。
格林函数在凝聚态物理、量子场论和固体物理等领域具有广泛的应用。
例如，在凝聚态物理中，格林函数可以用于描述固体和液体中的电子行为，如电导、光学吸收和磁化率等。
在量子场论中，格林函数是计算散射振幅和粒子衰变的重要工具。
总之，量子力学中的格林函数是描述量子系统中粒子行为的强大数学工具。
它提供了关于粒子传播、相互作用和衰变的重要信息，为研究量子力学中的复杂问题提供了基础。
《数学物理方法》自学辅导手册
则一定有 ……………………………………………… （ ） ① z1 z 2 ②| z1 | | z 2 | ③| z1 | | z 2 | 14.复数 z1 ④| z1 | | z 2 |
x1 iy1 、 z 2 x2 iy 2 ，如 x1 x2
y1 y 2 ，那么 ……………………………………（ ） ①| z 1 | | z 2 | ② z1 z 2 ③ z1 z 2 ④ z1 z 2
2
4．主要考核目标 （1）掌握复数与复数运算，复变函数及其导数和解 析函数的概念，会求简单复变函数的路积分和回路积分 （2）掌握复变函数的泰勒级数展开和罗朗级数展 开，会求收敛半径。 （3）掌握留数定理，会用留数定理计算实变函数的 定积分。 （4）掌握周期函数的傅立叶级数展开和非周期函数 的傅立叶积分展开；掌握 函数的定义和性质。 （5）会写出简单定解问题的定解条件；掌握达朗贝 尔公式。 （6）会用分离变量法求解各种定解问题。 （7）会对球坐标系下的拉普拉斯方程进行分离变 量；掌握SI-LIU本征值问题。 （8）掌握轴对称的球函数；会解轴对称的拉普拉斯 方程定解问题。
③ e
i 0
④ e
i 0
z 等于 ………………………………………………（ ） n n ① cos n i sin n ② cos n i sin n n n ③ cos i sin ④ cos i sin 17.复数 z 的三角式为 z cos i sin ，复数
1 3 的模是 ………………（ ） i 2 2 ①2 ② 3 ③1 3 ④1 5.复数 z 3 4i 的共轭复数是 ……………（ ） ① 3 4i ② 3 4i ③ 3 4i ④ 3 4i 6. z x iy 是复数的 ………………………（ ）
《格林函数的应用》课件
欢迎来到《格林函数的应用》PPT课件。在本课程中，我们将深入探讨格林函 数及其在科学和工程领域中的广泛应用。
什么是格林函数？
定义
格林函数是一种解决偏微分方程边界值问题的强大工具。
常见类型
常见的格林函数类型包括自由空间、有限介质和周期性介质。
性质与应用
了解格林函数的性质和应用可以帮助我们更好地理解和分析复杂的物理问题。
物理意义
泊松方程的解释性非常好， 可用于分析电场、引力场和 流体流动等问题。
总结与展望
格林函数的重要性
格林函数在偏微分方程求解和物理问题分析中有 着重要的地位。
未来应用
展望未来，格林函数将继续在科学和工程领域中 发挥重要作用。
格林函数的求解方法
1
常见求解方法
常用的求解方法包括变换法、分离变量法和变分法等数值方法进行求解。
3
一维和多维
格林函数求解方法针对不同维度的偏微分方程有所不同。
常见的格林函数应用
边界值问题
格林函数可用于求解包括电场、 热传导和流体力学在内的边界值 问题。
线性偏微分方程
格林函数是解决线性偏微分方程 的重要工具。
非线性偏微分方程
格林函数的应用不仅限于线性偏 微分方程，还可用于解决非线性 问题。
案例分析：泊松方程
定义
泊松方程是一种常见的二阶 偏微分方程，描述了在给定 边界条件下的物理系统。
格林函数解法
格林函数可用于解决泊松方 程的边界值问题，推导简单 且具有实际意义。
【国家自然科学基金】_green's function_期刊发文热词逐年推荐_20140801
科研热词 推荐指数 非平衡态green函数方法 1 随机有限断层法 1 能量代谢 1 肌浆网 1 经验格林函数 1 电输运特性 1 电极距离 1 特殊边条件 1 焦点边值问题 1 正解 1 横向电输运 1 格林函数 1 斯图膜-刘维尔方程 1 接触构型 1 振荡性 1 心肌收缩 1 心力衰竭,充血性 1 基因疗法 1 反应谱 1 分子电子学 1 传榆谱 1 不动点 1 dna 1
科研热词 高阶窗函数 饱和土 非线椭圆性算子 集中荷载 集中力 隧道 陶寺城址王墓ⅱm22 遗传算法 连分式展开 边界元法 豚鼠 诱发电位,听觉,脑干 误差分析 衰减常数 舍入误差 自然增长 自旋波理论 膨胀点源 耳蜗 绿色制造工艺 绿色制造 简谐力 积分方程 电子输运 生态服务价值 环境 烷烃硫醇分子 漏波模式 漆杆 湖南省 混合位积分方程 混合位格林函数 海森堡铁磁体 活性氧代谢 森林类型 森林生态系统 栽培模式 格林函数方法 格林函数 数据库设计 振动位移 报告系统 投药途径 广义函数束法 并矢green函数 层状各向异性介质 奇异性 声表面波 声学材料 圭表 圆柱分层介质 各向异性
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
蛋白核小球藻 葡萄糖耐量试验 萜类化合物 节块法 色谱法 色觉 自动对焦 胰腺纤维化 肝硬化 肝炎,慢性 耦合分析 绿色设计 经验格林函数法 系泊缆索 粘性末端pcr 籽粒生长 第一原理 第一内含子 窄带宏粒子 空间电荷场 空穴注入层 空域格林函数 积分路径 积分方程 积分-微分方程 磷化铟基共振隧穿二极管 磁共振成像 碳链 碳纳米管 碱性磷酸酶 矢量格林函数 真空蒸镀 目标成像 白细胞介素-2 电流-电压特性 电子传输特性 甲状腺激素t3 生活化 生态安全评价 生命周期 环形板 环形分支电桥 玉米 特征值 物理光学方法 牙鲆 爆炸场 漏波极点 混合边值问题 流量分布 流转特性 汶川地震 江西省 汉口
数学物理方程-第五章格林函数法
第五章 格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§5⋅1 格林公式在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为Px∂∂或x P 等等.设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式()P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1) 或者()(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z∂∂∂∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R =，则Gauss 公式具有如下简洁形式⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇ΩΩds n F dv F(1.3)其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为(,,)(,,) ,F P Q R x y zP Q Rx y z∂∂∂∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F . 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为(,,)(,,)f f ff f x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂， 形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得 ()u v dV u v nds Ω∂Ω∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰ (1.4)直接计算可得v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得vu vdV uds u vdV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6) (1.6)称为Green 第一公式.在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得uv udV vds v udV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7) 自(1.6)减去(1.7)得()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8) (1.8)称为Green 第二公式.设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -==引入函数 001(,)4P PP P r πΓ=，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得00(,)0, P P P P ∆Γ=≠即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有()GGu udV uds n n∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者()()GBu u udV uds u ds n n n n ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9) 在球面B ∂上，021()414P P r n rr r ππ∂∂Γ∂Γ=-=-=∂∂∂， 因此21(,,)4BBuuds ds u x y z n πε∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)其中(,,)P x y z B ∈∂.同理可得 14BBu u ds ds n n πε∂∂∂∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)ux y z n ε∂'''=∂ (1.11) 其中(,,)P x y z B '''∈∂.将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有0(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0ux y z n ε∂'''→∂，并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得()(,,)uudV uds u n nξηζΩ∂Ω∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰， 即(,,)()u u u d s u d V n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰(1.12) (1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界∂Ω上u 及nu∂∂的值表示.注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取011(,)ln 2P P rπΓ=，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，r =0P P r =0||P P -=此时Green 第三公式也成立.§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.5．2.1 基本解设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)001(,,)(,)4P Pu x y z P P r π=Γ=(2.1) 易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.2)其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为0011(,)ln2P PP P r πΓ=(2.3)其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P P r =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.4)其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.5．2.2 Green 函数 考虑如下定解问题(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,)(2.6)u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7) 在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有uds ds n n ϕ∂Ω∂Ω∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰u d V f d V ΩΩΓ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而在u ds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，un∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理. 注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)ux y z nϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7) 右端第一项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解. 设h 为如下定解问题的解0,(,,)(2.8),(,,)(2.9)h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩在Green 第二公式中取v h =得()h u h udV uh ds n nΩ∂Ω∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者0()u hhu ds h udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10) 将(2.7)和(2.10)相加得(,,)()u G u Gu ds G udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11) 其中0(,)G P P h =Γ+.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)(2.13)G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得(,,)Gu uds G udV n ξηζ∂ΩΩ∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ Gds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14) 因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.5．3.1 半空间上Dirichlet 问题设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)u f x y z x y z u x y x y x y Rϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈⎩设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为00111(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P PP δ-∆Γ-Γ=∈Ω⎧⎨Γ-Γ=∈∂Ω⎩ 即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ011114r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14π⎡⎤= (3.3)直接计算可得3/2222012()()z G G n zx y ζπξηζ∂Ω=∂∂=-=-∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦(3.4)将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得(,,)Gu ds Gfd n ξηζϕν∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2222001(,)2()() (,)(,,)x y dxdyx y G P P f x y z dxdydzϕζπξηζ∞∞-∞-∞∞∞∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.5．3.2 圆域上Dirichlet 问题设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题(,), (,) (3.5)(,)(,), (,)(3.6)u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即201,OP OP R =如图3-1所示 . 由于201OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有01~OP M OMP ∆∆ROP r r MP M P ||010=1P01011||P MPMR r OP r =图3.1因此有0101111ln ln 022||P M PMR r OP r ππ-= (3.7) 上式说明函数01001111(,)ln ln22||P P P PR G P P r OP r ππ=- (3.8) 在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有000(,)(,),(,)0,.G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则21100(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-利用余弦定理可得0P P r =(3.9)1P P r =(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得22222000042220002cos()1(,)ln 42cos()R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11) 直接计算可得RG Gn ρρ∂Ω=∂∂=∂∂2222000122cos()R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12) 记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有00(,)Gu ds Gfd n ρθϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ 222022000()()122cos()R d R R πρϕθθπρρθθ-=+--⎰- 222222000422200002cos()1(cos ,sin )ln 42cos()R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπρρρρθθ+--+--⎰⎰(3.13)(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5．4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪⎨⎪⎩该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为224(,)() .x a tx t H t -Γ=(,)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6） 利用叠加原理可得原问题的解为(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞=-⎰ . (4.7)若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.5．4.2 一维波动方程半无界问题 考虑以下齐次方程定解问题20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)⎧⎪⎨⎪⎩一维波动方程的基本解(,)x t Γ为1, 2(;) 0, .x ata x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为(,)(,)(,G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+， （4.11） 其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞=-⎰. （4.12）注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为1, 2(;) 0, x at ax t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩类似地有1, 2(;) 0, x at ax t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩将上面两式代入到（4.12）中并整理可得1(), 0 2(,)1(), 0.2x atx at x at at xd x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.习 题 五1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明（1）u udV ds n Ω∂Ω∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰. （2）2u u udV u ds u dV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题0, (,,)(,,)0, (,,).xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将定解问题中的边界条件换为0, (,,),u x y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？ Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？ 3*设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题（1） 如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),u x y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？4.（1） 验证0∆Γ=，0P P ≠，其中0(,) 3P P n Γ==01(,)22P P n πΓ== （2）设()u u r =, 22y x r +=， 求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0, u = (0,) 1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.（3） 设()u u r =, 222z y x r ++=， 求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的球形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.5． 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩证明 若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有(,)G u ds Gfd n ξηϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰， 其中G h =Γ+.7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z u x y z x y z nϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰. 8* 证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足 020010(,), (,),0, .4P PG P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩10． 求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.11． 设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题0,(,)(,)(,), (,).u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.12*求解定解问题 0,(,,)(,,)(,,),(,,).u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P rπΓ=满足 ()()u x y δδ-∆=， 其中xx yy r u u u =∆=+.15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题 0, (,)(,)(,),(,) .u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω. 证明调和函数的平均值公式00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂==⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω 内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.18*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和第16题类似的结果.20*设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足 (,), (,)(,)(,),(,) k kk u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明 如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.（2）求下面定解问题的一个解0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩23*求下面定解问题的一个解22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解0, 0<(,0)0, (,)1, 0.xx yy u u y x u x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x Ru x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2R B Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R r u u x y u R r R r-+≤≤+-其中r = （2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。
数学物理方程 格林函数法优秀课件
由格林第三公式，得
u (,,) ( u n u n )d s u d V(7 )
由定解问题（5）（6）的自由项和边值条件，可得
而 在 u dV un d s 中 ，f( xun,y在,z边)d界V 和 上的 值u 未 n知ds，因 此(须x,进y,一z)步 n处d理s.。
( 1 1 )
将（10）和（11）带入到（9），
G u d V ( u n u n ) d s B ( u n u n ) d s ( 9 )
得到
G u d V ( u n u n )d s u (x ,y ,z ) u n (x ,y ,z )
5.3 半空间及圆域上的Dirichlet问题
由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域
上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对 一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些 方法。
5.3.1 半空间上的狄利克雷问题
设 { ( x ,y ,z ) |z 0 } , { ( x ,y ,z ) |z 0 } 考虑定解问题
基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍 拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函 数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解 的表达式。
5.2.1 基本解
设 P0(,,)R3 ，若做点 P0(,, ) 放置一单位正电荷，
则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数 0 ）
uf(x,y,z),(x,y,z) (1)
u(x,y,0)(x,y),(x,y) R2 (2)
设 P0(,,)，则 P1(,,) 为 P 0 关于 的对称点。
G (P G , P 0)( P 0 ,,P (0 x ),,(yx ,,zy ), z )
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》范文
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理学的多个领域中有着广泛的应用，如基本粒子理论、统计力学、固体物理等。
为了精确地模拟Sine-Gordon方程的动态行为，本文提出了一种高阶紧致有限体积方法。
该方法不仅具有较高的计算精度，而且可以有效地处理复杂的边界条件和初始条件。
二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一个二阶非线性偏微分方程，具有周期性解和孤立波解等特性。
在物理学中，它被用来描述一些基本粒子的相互作用、非线性晶格的振动以及一维波传播等问题。
在求解过程中，需要对该方程进行数值模拟，而数值方法的选择对结果的准确性和可靠性具有重要影响。
三、高阶紧致有限体积方法为了解决Sine-Gordon方程的数值模拟问题，本文提出了一种高阶紧致有限体积方法。
该方法基于有限体积法的基本思想，通过引入高阶紧致格式，提高了数值解的精度和稳定性。
具体而言，该方法在空间域和时间域上进行了离散化处理，并对每个离散点进行高阶近似。
这样可以在保证计算精度的同时，有效降低计算复杂度。
四、方法实现高阶紧致有限体积方法的实现过程主要包括以下步骤：1. 空间域和时间域的离散化：将求解区域划分为若干个离散点，每个离散点代表一个网格单元。
在时间域上，采用等距离划分的方式，以便于计算时间步长和迭代过程。
2. 高阶紧致格式的引入：在每个网格单元内，采用高阶紧致格式对Sine-Gordon方程进行离散化处理。
这样可以有效地减小数值误差，提高计算精度。
3. 迭代过程：根据离散化后的Sine-Gordon方程，进行迭代计算。
在每个时间步长内，根据当前时刻的解和已知的初始条件、边界条件等信息，更新下一时刻的解。
4. 边界条件和初始条件的处理：针对不同的物理问题，需要设置不同的边界条件和初始条件。
在本文的方法中，通过引入适当的边界条件和初始条件处理方法，保证了计算结果的准确性和可靠性。
一类非线性斯图谟—刘维尔问题正解的存在性
ＮＯ Ｖ． ２ Ｏ １ ５
ＶＯ Ｉ ． ２ １ ＮＯ ． ４
网络出版 时间 ： ２ ０ １ ６—１— ５ １ ３ ： ０ １ 网络出版地址 ： ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｗ ｗ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ／ ｋ ｃ ｍ ｓ ／ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ ／ ３ ４ ． １ １ ５ ０ ． Ｎ ． ２ ０ １ ６ ０ １ ０ ５ ． １ ３ ０ １ ． ０ ０ １ ． ｈ ｔ ｍ１
一
类非线性斯图谟一刘维尔问题正解的存在性
王其 申 ， 陈 健 ， 何 敏
（ １ ． 安庆师范学院 物理与电气工程 学院 ， 安徽 安庆 ２ ４ ６ １ ３ ３ ； ２ ． 安庆师范学 院 数学与计算科学学 院， 安徽 安庆 ２ ４ ６ １ ３ ３ ）
摘
要 ：本文讨论了非线性斯图谟 一 刘维尔方程［ ｐ （ ） “ （ ） ］ ＋ ／ ［ ｕ （ ） ］ ： ０ 在两 端固定边条件 下的边值问题 ， 当
２ ０ １ ５年 ｌ １月
第２ １卷第 ４期
安庆 师 范 学院学 报（自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ａ ｎ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
ａ１ ｓ ＋ Ｐｌ Ｐ１
ａ１ ＋ Ｐ１ ａｌ ｃ ＋ Ｐｌ ＋Ｐ２
＋ ｌ ｎ
ａ，
一
而 当 ｃ≤ ｓ＜ １
一 时 ａ１ ｓ＋ Ｐ
Ｐ１
ａ，
０ ２ ＋ ｐ２
ｉ Ｇ １ ３ （ ， ｓ ） ， ｓ≤ ｃ≤ ＜１
ａ１ ＋Ｐｌ Ｐ１
Ｌ ｕ （ ０ ）＝０ ， “ （ １ ）＝０， ０＜ ＜１
常微分方程刘维尔公式证明
常微分方程刘维尔公式证明常微分方程这玩意儿，听起来是不是有点让人头大？但别怕，咱们今天就来好好唠唠常微分方程里的刘维尔公式证明。
先给大家讲讲我之前遇到的一件小事。
有一次我去参加一个数学研讨会，在会上听到一位老师讲到常微分方程，周围的人都听得津津有味，可我却有点懵。
那时候我就下定决心，一定要把这部分知识搞明白。
咱们回到刘维尔公式证明。
刘维尔公式在常微分方程的世界里，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
要证明刘维尔公式，咱们得先搞清楚常微分方程是啥。
简单来说，常微分方程就是描述一个未知函数及其导数之间关系的方程。
比如说，y' + 2y = 0 就是一个简单的常微分方程。
刘维尔公式呢，它一般是针对线性常微分方程的。
那啥是线性常微分方程？就是方程里未知函数及其导数都是一次的。
咱们假设给定一个线性常微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 ，其中p(x) 和 q(x) 是已知的函数。
接下来，咱们假设有两个解 y₁(x) 和 y₂(x) ，然后构造一个Wronskian 行列式，也就是 W(y₁, y₂)(x) 。
这个行列式长这样：| y₁ y₂ || y₁' y₂' |经过一系列复杂但有趣的推导（这里的推导过程就不详细展开啦，不然得把大家绕晕），咱们可以得出 W(y₁, y₂)(x) = C exp(-∫p(x)dx) ，其中 C 是一个常数。
这就是刘维尔公式啦！大家可能会想，这公式有啥用呢？用处可大了！比如说，我们可以通过它来判断方程解的线性相关性。
再举个例子，假如我们知道一个常微分方程的一个解，通过刘维尔公式，有时候能帮助我们找到另一个解。
在学习常微分方程刘维尔公式证明的过程中，大家可别着急，一步一个脚印，多做几道题，多思考思考，慢慢就能掌握啦。
就像我当初在那个研讨会上，虽然一开始懵懵懂懂，但后来通过自己的努力，不也慢慢搞清楚了嘛。
第九章第四节 施图姆刘维尔本征值问题
b a
ym
xyn
x x dx
N m2 mn......9.4.18
其中
mn
1,n m 0,n m......9.4.19
是克罗内克符号。对于正交归一化的本征函数族，
(9.4.18)简化为
b
a
ym
xyn
x
xdx
mn
......
9.4.20
(四) 复数的本征函数族
对于本征值问题
0,
自然周期条件
或满足自然边界条件 kb 0
都有 kyn ym kym yn xb 0
2、如果在端点 x b满足第三类齐次边界条件
ym hym xb 0, yn hyn xb 0
则， kyn ym
kym yn xb
1 h
k
yn
y
m
hym
kym yn hyn xb 0
总之右边第一项为零。同理在端点x=a若满足上面的边
0a
x
b9.4.1
d
d
dy
d
m2
y y
0,
P230式(9.1.22)
y0有限，y0
0.......9.4.5
贝塞尔方程本征 值问题
⑤ a ,b ;kx ex2 , qx 0, x ex2.
代入施图姆-刘维尔方程
d dx
k x
dy dx
qxy
xy
0a
x
b9.4.1
d dx
e
如果在端点 x a 满足第三类齐次边界条件
则，
yn hyn xa 0
kyn yn xa k yn hyn yn hkyn 2 xa h kyn 2 xa 0
刘维尔
刘维尔华东师范大学李旭辉|辽宁师范大学邵明湖作者：李旭辉邵…文章来源：中数网点击数：1907 更新时间：2004-5-17 14:09:32刘维尔，J．(Liouville，Joseph)1809年3月24日生于法国加来海峡省圣奥梅尔；1882年9月8日卒于巴黎．数学．刘维尔的父亲克劳德-约瑟夫·刘维尔(Claud－Joseph Liou-ville)是一位陆军上尉，母亲名叫泰雷兹·巴朗(Thérése Bal－land)．刘维尔是他们的次子，幼时先后就学于科梅西和土尔．1825年他来到巴黎综合工科学校学习，A．M．安培(Ampère)担任分析与力学课的老师，两人曾共同探讨电动力学问题．他于1827年11月转入桥梁与公路学校，1831年获学士学位．毕业后不久，他辞去了在伊泽尔省的工程师职务，期望得到一份教职，以便专心从事学术工作．1831年11月，他被综合工科学校教育委员会选为L．马蒂厄(Mathieu)的分析与力学课助教，由此开始了自己近50年的科学研究生涯．1833—1838年间，刘维尔曾在成立不久的中央高等工艺制造学校讲授数学和力学，但内容均为初级的．为使自己的教学工作保持在大学水平上，他在1836年攻取了博士学位，论文题为“关于函数或其一部分的正弦与余弦级数展开式”(Sur le dévelop－pement des fonctions ou parties de fonctions en séries dc sinuset de cosinus)，探讨了傅里叶级数及其在各种力学、物理学间题中的应用，于同年在巴黎成书出版．为适应法国数学研究的需要，刘维尔在1836年1月创办《纯粹与应用数学杂志》(Journal de matématiques pures et appli－quées)，并亲自主持了前39卷的编辑出版工作(第1辑，1—20卷，1836—1855年；第2辑，1—19卷，1856—1874年)．该杂志刊登纯粹、应用数学领域所有分支的论文，记录了19世纪中期的40年里数学活动的一部分重要内容，被后人称为《刘维尔杂志》(Liou－ville′s Journal)．刘维尔不仅与当时一些重要的数学家保持着密切联系并定期发表他们的成果，而且热心地对年轻学者进行指导，为他们发表著作提供机会．最值得一提的当属他编辑发表E．伽罗瓦(Galois)的文章．1832年5月，伽罗瓦在决斗中被杀，刘维尔整理了他的部分遗稿并刊登在1846年的《纯粹与应用数学杂志》上，他在代牧方面的独创性工作才得以为世人所知．1838年，刘维尔接替马蒂厄成为综合工科学校的分析与力学课教席，一直工作到1851年他转入法兰西学院任数学教席为止．1839年6月和1840年，他又先后被推举为巴黎科学院天文学部委员和标准计量局成员，定期参与这两方面的活动．刘维尔的学术活动在法国革命期间稍有中断．1848年4月23日，他入选立宪会议，是默尔特行政区的代表之一，次年5月竞选议员失败，他的政治活动遂告结束．1851年来到法兰西学院后，刘维尔的教学工作相当自由，有更多的时间展开自己的研究工作，广泛与他人探讨．他在此职位上一直工作到1879年．不过从1874年他退出《纯粹与应用数学杂志》的编辑工作后，便不再发表著作，也很少参与法国学术界的活动了．刘维尔一生勤于学术工作，生活淡泊宁静，每年都要回到家乡土尔的旧居休假．他在1830年与表亲玛丽-路易丝·巴朗(Marie－Louise Balland)结婚，生有三女一子．刘维尔的主要学术成就如下．1．函数论刘维尔认真研究了G．W．莱布尼茨(Leibniz)、约翰·伯努利(Johann Bernoulli)和L．欧拉(Euler)的著作．他在早期工作中尽可能地扩展微分和积分的概念，尤其是建立任意阶导数的理论．他绘出如下公式：这里μ为复数时亦成立．在证明了任意函数f(x)均可展为指数级数之后，他定义f的μ阶导数如下：应用这个定义，刘维尔处理了初等函数的指数级数展开式及其任意阶导数．例如，他给出其导数为尽管这些定义与方法并不具普遍的适用性，函数的展开式也未必总是收敛，但这是走向泛函分析的早期努力之一，表明了刘维尔处理当时分析学的精湛技巧．1832年12月7日和1873年2月4日，刘维尔先后向巴黎科学院提交两篇论文，对代数函数和超越函数进行了分类，以此整理N．H．阿贝尔(Abel)、P．S．拉普拉斯(Laplace)等人关于椭圆积分的表示和有理函数的理论，在此基础上，他于1834年给出了初等函数的分类：有限个复变量的代数函数为第0类初等函数；e z和logz为第1类初等函数；二者合称为最多第1类初等函数．若已定义最多第n-1类初等函数，则它与最多第1类初等函数的复合称最多第n类初等函数．是最多第n类而非最多第n-1类的初等函数称第n类初等函数．初等函数的积分在何条件下仍为初等函数，也是他着重讨论的问题．刘维尔涉足科学领域之际，由阿阿尔和C．雅可比(Jacobi)所建立的椭圆函数理论正处于蓬勃发展时期．1844年12月，刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从雅可比的定理(单变量单值亚纯函数的周期个数不多于2，周期之比为非实数)出发，建立双周期椭圆函数的一套完整理论体系．这是对椭圆函数论的一个较大贡献．围绕双周期性，刘维尔展示了椭圆函数的实质性质，提出如下定理：刘维尔第1定理在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数；刘维尔第2定理椭圆函数在任一周期平行四边形内的极点处残数之和为0；刘维尔第3定理n阶椭圆函数在一个周期平行四边形内取任一值n次；刘维尔第4定理在一周期平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个周期．后来，到巴黎访问的两位德国数学家C．W．博尔夏特(Bor－chardt)和F．约赫姆塔尔(Joachimsthal)向刘维尔详细请教了他的工作情况，而1850—1851年刘维尔在法兰西学院讲授的双周期函数课程，也在C．A．布里奥(Briot)与J．－C．布凯(Bou－quet)所著《双周期函数论》(Théorie des fonctions doublementpériodiques，1859)一书中得到系统介绍．因此，尽管刘维尔的有关结论很少发表，仍能在法国内外迅速传播并产生影响，双周期函数的讲义后来发表在1880年第88卷的德国《纯粹与应用2．微分方程与积分方程19世纪，随着各种曲线坐标系的引入和新的函数类如贝塞尔(Bessel)函数、勒让德(Legendre)多项式等作为常微分方程的特征函数而兴起，确定带边界条件的常微分方程的特征值与特征函数，便成为日益突出的重要问题．刘维尔和他的朋友、力学教授C．斯图姆(Sturm)在30年代同时钻研了这类问题．他们考虑由变密度棒的热传导过程引出的二阶常微分方程：(k(x)V＇(x))＇+(g(x)r-l(x))V(x)=0，x∈(a，b)，k(a)V＇(a)-hV(a)=0，k(b)V＇(b)+HV(b)=0，其中k(x)，g(x)，l(x)是正值函数，h与H为非负常数，r为参数．刘维尔采用逐次逼近法表达其解：……这样，就得到了关于微分方程解的存在性的第一条定理，它发表在1838年3卷1期的《纯粹与应用数学杂志》上．逐次逼近法成为求解常微分方程的一种典型方法，上述边值问题则被称为斯图姆-刘维尔问题．随后，两人着眼于更一般的二阶微分方程其中L，M，N是x的连续函数，λ是参数，它可以改写成他们证明了下列基本结果：(1)仅当λ取递增到+∞的正数序列｛λn｝的任一值时，原问题才有解；dx=1加以规范化；V m V n dx=0，m≠n后来，在法兰西学院的教学中，刘维尔又引入了伴随边值条件(adjoint boundary values)的概念，将斯图姆-刘维尔理论尤其是斯图姆关于特征函数的有关结论推广到非自伴随高阶方程上刘维尔在扩展导数定义时，除了将被导函数先展开为指数级烽，还利用过拉痖拉斯积发展开式的方法：在证明了等几个重要公式后，刘维尔展开了如何用其解决几何、力学问题中产生的积分方程：把积分方程变成求导问题，最后得到的微分方程是可解的。
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第１ ４卷 第 １期
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摘
要 ：斯 图 膜一 刘 维尔 方 程在 常规 边 界 条件 下 的格 林 函 数 已有 人 研 究 过 ， 对 左 端 有 界 而 右 端 弹 性 支 承 这 样 一 但
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在 研 究 某 些 结 构 的 振 动 问 题 时 会 出 现 如 下 斯 图 膜 一 刘 维 尔 方 程 的 特 征 值 问题 ：
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（ ２）
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一
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＊ 收 稿 日期 ：２ ０ —０ —２ ０７ ９ １
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基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金项 目资 助 （ ０ ７０ １ 。 １ ７ ２０ ） 作 者 简 介 ：何 敏 ． ， 徽 安 庆 人 ． 庆 师 范 学 院 数 学 与 计 算 科 学 学 院 研 究 叶 。 男 安 安 三
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０ 引 言
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２０ ０ ８年 ２月
安庆 师 范学 院学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃｅｓＣ ｌ ｇ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏｒａ ｑｎ Ｔ ａ ｈｒ ｏｌ ｅ Ｎ ｔｒｌ ｃｅ ｅＥ ｉｏ ） ｏＡ ｇ ｅ ｎ ｉ
数的振荡性质。
关 键 词 ：特 殊 边 条 件 ； 图 膜 一 刘 维 尔 方 程 ； 斯 格林 函数 ； 荡 性 振
中 图 分 类 号 ：Ｏ４ １ １ １ ． 文 献标 识码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ —４ ６ （ ０ ８ ０ 一Ｏ １ ～０ ０ ７ ２０２０ ）１ ０９ ２
格 林 函 数 尚 无 具 体 结 果 ， 别 是 这 个 函 数 的 振 荡 性 在 研 究 膜 的 振 动 的 定 性 性 质 时 将 要 用 到 因 此 ， 文 特 ， 本
导 出 了 在 左 端 有 界 而 右 端 弹 性 支 承 的 边 界 条 件 下 斯 图 膜 一 刘 维 尔 方 程 的 格 林 函 数 ， 手 证 明 了 这 个 函 着