03实验三导数

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导数及其应用一、知识点梳理1.导数：当x ∆趋近于零时，xx f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c xx f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。

即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-3.导数的四则运算法则：1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± 2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4.几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（(3)x x cos )(sin ='(4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)xxe e =')( (8)a a a xxln )(=' 5.函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。

导数知识点总结及其应用

导数知识点总结及其应用导数是微积分中的重要概念，它是描述函数变化率的工具，可以帮助我们求解曲线的斜率、最值、凹凸性等问题。

在数学和物理中，导数有着广泛的应用，特别是在描述物体的运动、变化以及求解最优化问题等方面。

本文将对导数的定义、性质、求导法则以及其应用进行详细的总结和讨论。

一、导数的定义导数的定义是描述函数在某一点的变化率，可以理解为函数图像在该点处的斜率。

在数学上，导数可以通过极限的概念和定义得出。

给定函数f(x)，则f(x)在x=a处的导数定义为：\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]其中，f'(a)表示函数f(x)在x=a处的导数，h表示自变量的增量。

这个定义可以直观地理解为f(x)在x=a处的切线斜率。

当h趋于0时，极限就表示函数在点a处的斜率，也就是导数。

二、导数的性质1. 可导性函数在某一点可导意味着该点附近存在唯一的切线，也就是说函数在该点处光滑连续。

一般来说，几乎所有的函数都有导数，也就是可导的。

2. 连续性若函数在某一点可导，则该点处是连续的。

但反之不一定成立，即函数在某点处连续不一定可导。

3. 导数运算规则（1）常数导数若f(x)=c，c为常数，则f'(x)=0。

（2）幂函数导数若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^{n-1}。

（3）和差导数若f(x)=g(x)+h(x)，则f'(x)=g'(x)+h'(x)。

（4）积导数若f(x)=g(x)·h(x)，则f'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)。

（5）商导数若f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}，则f'(x)=\frac{g'(x)·h(x)-g(x)·h'(x)}{(h(x))^2}。

实验三级数

实验三级数【实验目的】 1．了解级数的有关理论。

2．了解函数的Taylor 展开式3．学习掌握MATLAB 软件有关的命令。

【实验内容】1．求函数x y sin =的Taylor 级数，并考察它的Taylor 展开式的前几项构成的多项式函数向x y sin =的图形的逼近的情况2．计算级数∑∞=121n n的值3．验证Euler 公式 5771.0)ln 131211(lim =-++++=∞→n nC n【实验准备】1．级数的基本概念数项级数：称用加号将数列n a 的项连成的式子+++++n a a a a 321为（常数项）无穷级数，简记为∑∞=1n na。

称级数∑∞=1n na前n 项构成的和∑==++++=nk k n n a a a a a S 1321为级数的部分和。

若S S n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n na收敛，其和为S 。

Taylor 级数：设函数)(x f 在包含a x =的区域内具有各阶导数，则称幂级数+-++-+-+=-∑∞=n n n n n a x n a f a x a f a x a f a f a x n a f )(!)()(!2)())((')()(!)()(2)2(0)(为函数)(x f 在a x =的Taylor 级数，当0=a 时称为Maclaurin(麦克劳林)级数。

2．级数的MATLAB 命令MATLAB 中主要用symsum,taylor 求级数的和及进行Taylor 展开。

【实验方法与步骤】练习1求函数x y sin =的Taylor 级数，并考察它的Taylor 展开式的前几项构成的多项式函数向x y sin =的图形的逼近的情况clearsyms x;taylor(sin(x),0,1)ans = 0clear syms x;taylor(sin(x),0,2)ans = x clear syms x;taylor(sin(x),0,3)ans = xclear syms x;taylor(sin(x),0,4)ans =x-1/6*x^3clear syms x;taylor(sin(x),0,5)ans =x-1/6*x^3clear syms x;taylor(sin(x),0,6) ans =x^5/120 - x^3/6 + x在区间[0,]π上做出函数sin()y x =和其泰勒展开式的前几项构成的多项式335,,3!3!5!x x x y x y x y x ==-=-+的图形clearx=0:0.01:pi; y1=sin(x); y2=x;y3=x-x.^3/6;y4=x-x.^3/6+x.^5/120;plot(x,y1,x,y2,'r:',x,y3,'k-.',x,y4,'c--')练习2 利用幂级数计算指数函数2312!3!!nxx x x e x n =++++++ 建立M 脚本文件ex0302x=input('x='); n=input('n='); y=1;for i=1:ny=y+x^i/prod(1:i); endvpa(y,10)取x=1;n=10,对比vpa(exp(1),10) 再取x=2;n=10,对比vpa(exp(2),10) 发现计算精度不高。

MATLAB数学实验100例题解

一元函数微分学实验1 一元函数的图形（基础实验）实验目的通过图形加深对函数及其性质的认识与理解，掌握运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性与变化趋势的方法，建立数形结合的思想; 掌握用Matlab 作平面曲线图性的方法与技巧。

初等函数的图形2 作出函数x y tan =和x y cot =的图形观察其周期性和变化趋势。

解：程序代码：>〉 x=linspace （0,2＊pi,600）; t=sin （x)。

/(cos （x ）+eps ）;plot(x ，t)；title （’tan （x ）')；axis (［0，2*pi ，-50,50]）; 图象:程序代码: 〉〉 x=linspace （0,2*pi,100); ct=cos （x)。

/（sin(x)+eps ）； plot(x,ct ）；title(’cot(x)')；axis (［0,2＊pi ，—50,50])；图象：cot(x)4在区间]1,1[-画出函数xy 1sin =的图形。

解：程序代码:>> x=linspace （-1，1，10000）;y=sin(1。

/x ）; plot （x,y ）; axis （［-1，1，—2,2］）图象：二维参数方程作图6画出参数方程⎩⎨⎧==t t t y tt t x 3cos sin )(5cos cos )(的图形：解：程序代码:>〉 t=linspace(0,2＊pi,100)； plot(cos(t ）.＊cos （5＊t ），sin(t ）。

*cos(3*t)); 图象：极坐标方程作图8 作出极坐标方程为10/t e r =的对数螺线的图形. 解：程序代码：〉〉 t=0:0.01:2*pi ； r=exp （t/10);polar(log(t+eps ）,log （r+eps)); 图象：90270分段函数作图10 作出符号函数x y sgn =的图形。

导数的应用课程设计

导数的应用课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握导数的应用，包括求函数的切线方程、单调性、极值和最值等。

学生应能理解导数的基本概念，并能运用导数解决实际问题。

在技能目标方面，学生应能熟练运用导数求解函数的切线方程、单调区间、极值和最值等问题。

在情感态度价值观目标方面，学生应能体验到数学的实用性和趣味性，培养对数学的热爱和兴趣。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括导数的定义、导数的几何意义、导数的运算规则以及导数在实际问题中的应用。

首先，引导学生回顾函数的极限概念，进而引入导数的定义，通过几何直观解释导数的概念。

然后，介绍导数的运算规则，包括求导法则和复合函数的导数。

最后，结合实际问题，讲解导数在求解函数的切线方程、单调性、极值和最值等方面的应用。

三、教学方法为了提高学生的学习兴趣和主动性，本节课采用多种教学方法。

首先，运用讲授法，系统地讲解导数的定义、几何意义和运算规则。

其次，采用案例分析法，通过具体例子引导学生运用导数解决实际问题。

此外，小组讨论，让学生互相交流学习心得，提高合作能力。

最后，利用实验法，让学生亲自动手操作，加深对导数概念的理解。

四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本节课准备了一系列教学资源。

教材方面，选用《高等数学导数应用》教材，系统地讲解导数的理论和应用。

参考书方面，推荐学生阅读《导数及其应用》等书籍，以拓宽知识面。

多媒体资料方面，制作了导数的动画演示和案例分析的PPT，增强课堂的趣味性和直观性。

实验设备方面，准备了计算机和投影仪，以便进行课堂演示和讲解。

五、教学评估本节课的评估方式包括平时表现、作业和考试三个部分。

平时表现主要评估学生在课堂上的参与程度、提问回答和小组讨论的表现。

作业方面，布置与课程内容相关的练习题，要求学生在规定时间内完成，培养学生的自主学习能力。

考试则分为期中考试和期末考试，期中考试主要评估学生对导数知识的掌握情况，期末考试则综合评估学生对导数应用的理解和运用能力。

实验三导数及其微分中值定理[1]

实验三导数及其中值定理实验目的：1掌握matlab求导数与高阶导数的方法。

2深入理解和掌握求隐函数的导数以及由参数方程定义的函数的导数的方法。

3理解中值定理的条件和结论；4会写函数的Taylor展开式和Maclaurin展开式；5掌握求函数的极值和最值的方法；6作出函数的图形。

实验使用的MATLAB函数：Matlab命令：求导数命令是diff,常用格式是：syms xdiff('f(x)',x)diff('f(x)',x,n) 求出f关于x的n阶导数Matlab 泰勒展开格式：taylor(f)求在x=0点展开6项taylor(f,n,x0) 求在x=x0点展开n项solve（方程,变量）：求解方程或方程组。

实验指导：一、导数概念与导数的几何意义：例：用定义求g(x)=2x3-4x2+x+1的导数输入：syms xdiff('2*x^3-4*x^2+x+1')输出：ans =6*x^2-8*x+1再输入：x=-1:0.1:3;y1=2*x.^3-4*x.^2+x+1;y2=6*x.^2-8*x+1;plot(x,y1,'b',x,y2,'r:')执行后得到函数y1与它的导函数y2的图像，如下图。

例：作函数f(x)=3x3+3x2-12x+7的图形和在x=1处的切线输入：syms xhanshu=3*x^3+3*x^2-12*x+7;daoshu=diff('3*x^3+3*x^2-12*x+7');x=1;hanshuzhi=eval(hanshu)daoshuzhi=eval(daoshu)输出：hanshuzhi =1daoshuzhi =3再输入:x=-4:0.1:3;y=3*x.^3+3*x.^2-12*x+7;y1=1+3*(x-1);plot(x,y,'b',x,y1,'r')输出：二、求函数的高阶导数以及函数在某点的导数值例：求函数y=x n 的一阶导数和二阶导数输入：syms xdiff('x^n',1)diff('x^n',2)输出：ans =x^n*n/xans =x^n*n^2/x^2-x^n*n/x^2例：求函数f(x)=sinaxcosbx 的一阶导数，并求f ’(1/(a+b))输入：syms x a bdaoshu=diff('sin(a*x)*cos(b*x)')x=1/(a+b);daoshuzhi=eval(daoshu)输出：daoshu =cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*bdaoshuzhi =cos(a/(a+b))*a*cos(b/(a+b))-sin(a/(a+b))*sin(b/(a+b))*b例：求函数910)10(2-+=x xy 的1阶到11阶导数输入：syms xy=x^10+2*(x-10)^9;for n=1:11diff(y,x,n)end 输出：ns =10*x^9+18*(x-10)^8ans =90*x^8+144*(x-10)^7ans =720*x^7+1008*(x-10)^6ans =5040*x^6+6048*(x-10)^5ans =30240*x^5+30240*(x-10)^4ans =151200*x^4+120960*(x-10)^3ans =604800*x^3+362880*(x-10)^2ans =1814400*x^2+725760*x-7257600ans =3628800*x+725760ans =3628800ans =三、求由隐函数、参数方程确定的函数的导数例：求由方程x 2-2xy+y 2+x+2y+1=0确定的隐函数的导数输入：syms x yz=x^2-2*x*y+y^2+x+2*y+1daoshu=-diff(z,x)/diff(z,y)输出：daoshu =(-2*x+2*y-1)/(-2*x+2*y+2)例：求由参数方程x=e t cost,y==e t sint 确定的函数的导数输入：syms tx=exp(t)*cos(t);y=exp(t)*sin(t);daoshu=diff(y,t)/diff(x,t)simple(daoshu)四、理解中值定理的条件和结论；例1 针对函数()(1)(2)f x x x x =--观察罗尔定理的几何意义。

matlab导数及应用实验

实验三导数及应用实验目的1. 深入理解导数与微分的概念，导数的几何意义。

掌握MATLAB 求导数与高阶导数的方法。

深入理解和掌握求隐函数的导数及由参数方程定义的函数的导数的方法。

2. 掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法。

掌握用MATLAB 求方程的根和求函数的极值的方法。

实验内容● 求导数的命令为：diff ，常用格式为 >> syms x>> diff('f(x)',x)diff(f,x)给出f 关于x 的导数，而表达式f 中的其它字母看作常量。

因此如果表达式是多元函数，则给出的是偏导数。

>> diff('f(x)',x,n) 给出f 关于x 的n 阶导数或者偏导数。

● 多项式方程00111=+++--a x a xa x a n n n n 求根命令是：roots具体格式：roots (c)● 求一般方程0)(=x f 近似根的命令，一般形式为：⑴ 建立函数：f=inline('表达式 ')⑵ 求函数零点：c=fzero(f, [a, b]) % 求函数f(x) 在区间[a, b] 内的零点c ； c=fzero(f, x0) % 求函数f(x) 在x0 附近的零点c ； fsolve 非线性方程求解fzero 标量非线性方程求解● 求非线性函数f(x) 的极小值，求一元函数极小值命令是 fminbnd,常用格式为： x=fminbnd(fun,x1,x2);[x,fav1]=fminbnd(fun,x1,x2);[x,fav1,exitflag,output]=fminbnd(fun,x1,x2);其中：x=fminbnd(fun,x1,x2) 是求(x1,x2)上fun 函数的最小值x 。

[x,fav1]=fminbnd(fun,x1,x2)返回解x 处目标函数的值。

导数知识点总结及方法

导数知识点总结及方法导数是微积分中一个非常重要的概念，它在计算中起到了至关重要的作用。

导数的概念广泛应用于物理学、经济学、工程学等领域，因此掌握导数的相关知识，对于学习其他科目也具有一定的帮助。

本文将通过总结导数的相关知识点和解题方法，帮助读者更好地掌握导数的概念和运用。

一、导数的基本概念导数是某个函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。

在几何上，导数就是函数图像在某一点的切线的斜率。

导数的记法通常有两种，一种是f'(x)，表示函数f(x)对x的导数；另一种是dy/dx，表示函数y对x的导数。

导数的基本概念包括以下几点：1. 导数的定义导数的定义是指在函数f(x)的自变量x的取值为a处，函数值f(a)与自变量x的微小增量Δx之间的比值的极限，即f'(a)=lim(Δx→0)(f(a+Δx)-f(a))/Δx这个极限存在的条件是：极限在x=a的领域内有定义函数在x=a的领域内必须有确定的单值2. 导数的计算导数的计算是导数的定义的具体应用，可以通过求导法则和求导公式来求出函数的导数。

常见的导数计算方法包括以下几种：(1) 多项式函数的导数多项式函数的导数计算方法是将每一项分别求导，并将结果相加即可。

例如对于函数f(x)=x^n，求导后的结果为f'(x)=nx^(n-1)。

(2) 反函数的导数反函数的导数计算方法可以利用导数的求导公式，通过反函数与原函数的互为反函数的性质来求导。

例如对于函数f(x)的反函数，其导数是f'(x)的倒数。

(3) 复合函数的导数复合函数的导数计算方法是利用链式法则，将复合函数分别对内层函数和外层函数求导，然后将结果相乘。

例如对于复合函数f(g(x))，其导数为f'(g(x))g'(x)。

(4) 参数方程的导数对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，其导数计算方法是将x，y分别对t求导，得到x'和y'，然后将结果相除得到dy/dx。

高等数学实验-导数

3.2 实验内容
3.2.1 导数概念与导数的几何意义
【例1】用定义求的导数。输入： syms x diff('x^3-3*x^2+x+1') 执行以后得到导函数： ans= 3*x^2-6*x+1
再输入： x=-1:0.1:3; y1=x.^3-3*x.^2+x+1; y2=3*x.^2-6*x+1; plot(x,y1,'b',x,y2,'r:') 执行后便得到函数y1=g(x)和它的导数y2=g'(x)的图形(见图3.1，图中虚线是曲线 g'(x))。
【例5】求函数的1阶到11阶导数。为了将1阶到11阶导数一次都求出来，输入： syms x y=x^10+2*(x-10)^9; for n=1:11 diff(y,x,n) end
输出为： ans =18*(x - 10)^8 + 10*x^9 ans =144*(x - 10)^7 + 90*x^8 ans =1008*(x - 10)^6 + 720*x^7 ans =6048*(x - 10)^5 + 5040*x^6 ans =30240*(x - 10)^4 + 30240*x^5 ans =120960*(x - 10)^3 + 151200*x^4 ans =362880*(x - 10)^2 + 604800*x^3 ans =1814400*x^2 + 725760*x - 7257600 ans =3628800*x + 725760 ans =3628800 ans =0
MATLAB
高等数学实验
实验三导数

函数的导数应用实践

函数的导数应用实践一、课程目标知识目标：1. 理解函数导数的定义及其物理意义；2. 掌握利用导数求解函数极值、最大值和最小值的方法；3. 能够运用导数分析实际问题中的变化率问题。

技能目标：1. 能够熟练运用导数公式进行计算；2. 能够利用导数图形分析函数的单调性、凹凸性及拐点；3. 能够将现实问题抽象为数学模型，运用导数知识解决实际问题。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探索数学奥秘的热情；2. 培养学生的团队协作精神，提高他们在小组讨论中倾听、表达、沟通的能力；3. 培养学生具备勇于挑战、善于思考、严谨求实的科学态度。

分析课程性质、学生特点和教学要求，将课程目标分解为以下具体学习成果：1. 学生能够准确描述导数的定义，并解释其在现实生活中的应用；2. 学生能够运用导数求解函数的极值、最大值和最小值，并解释其几何意义；3. 学生能够根据实际问题，建立数学模型，运用导数知识进行分析和求解；4. 学生在小组讨论中，能够主动发表观点，倾听他人意见，共同解决问题；5. 学生在探索导数应用的过程中，能够体验数学学习的乐趣，形成积极向上的学习态度。

二、教学内容本节课教学内容主要包括以下几部分：1. 导数的定义及其性质：回顾导数的定义，强调导数的物理意义，引导学生理解导数与函数图形之间的关系。

2. 函数极值、最大值和最小值的求解：介绍求解函数极值、最大值和最小值的方法，如导数法、二阶导数法等，并通过实例分析，让学生掌握这些方法在实际问题中的应用。

3. 导数在图形分析中的应用：利用导数分析函数的单调性、凹凸性及拐点，结合图形，让学生直观地理解导数在图形分析中的作用。

4. 导数在实际问题中的应用：结合实际案例，如速度与加速度、最优化问题等，引导学生将现实问题抽象为数学模型，运用导数知识解决实际问题。

具体教学大纲安排如下：1. 导数的定义及其性质（1课时）- 复习导数的定义- 探讨导数的物理意义- 分析导数与函数图形的关系2. 函数极值、最大值和最小值的求解（2课时）- 介绍求解函数极值、最大值和最小值的方法- 分析实例，实践求解方法3. 导数在图形分析中的应用（1课时）- 利用导数分析函数的单调性、凹凸性及拐点- 结合图形，直观展示导数在图形分析中的作用4. 导数在实际问题中的应用（2课时）- 结合实际案例，建立数学模型- 运用导数知识解决实际问题教学内容与教材紧密关联，按照教学大纲的安排，确保学生能够系统、科学地掌握函数的导数应用实践。

导数课程实践教学(3篇)

第1篇摘要：导数作为高等数学的核心内容，对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力具有重要意义。

本文旨在探讨导数课程实践教学的方法和策略，通过实际案例分析和教学实践，提高学生的数学应用能力和创新能力。

一、引言导数是高等数学中一个重要的概念，它反映了函数在某一点的瞬时变化率。

在工程、物理、经济等领域，导数有着广泛的应用。

因此，导数课程实践教学对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力具有重要意义。

本文将从以下几个方面探讨导数课程实践教学的方法和策略。

二、导数课程实践教学的目标1. 理解导数的概念和性质，掌握导数的计算方法。

2. 能够运用导数解决实际问题，提高数学应用能力。

3. 培养学生的创新意识和团队协作精神。

4. 增强学生的实践能力和综合素质。

三、导数课程实践教学的方法1. 案例分析法案例分析法是导数课程实践教学的重要方法之一。

通过分析实际案例，让学生了解导数在各个领域的应用，提高学生的数学应用能力。

具体操作如下：（1）收集实际案例：教师可以从工程、物理、经济等领域收集与导数相关的实际案例。

（2）案例讲解：教师对案例进行详细讲解，使学生了解导数在解决实际问题中的作用。

（3）学生分组讨论：将学生分成小组，对案例进行讨论，提出解决方案。

（4）成果展示：各小组展示讨论成果，教师进行点评和总结。

2. 实验教学法实验教学法是导数课程实践教学的重要手段。

通过实验，让学生亲自动手操作，加深对导数概念和性质的理解。

具体操作如下：（1）设计实验方案：教师根据教学内容，设计实验方案，明确实验目的和步骤。

（2）实验操作：学生按照实验方案进行操作，记录实验数据。

（3）数据处理与分析：对实验数据进行处理和分析，得出结论。

（4）实验报告：学生撰写实验报告，总结实验过程和结论。

3. 课题研究法课题研究法是导数课程实践教学的一种创新方法。

通过课题研究，培养学生的创新意识和团队协作精神。

具体操作如下：（1）确定研究课题：教师根据教学内容和学生的兴趣，确定研究课题。

导数的概念实验报告

华南师范大学数学科学学院
数学实验报告
实验序号：7 班级： 114 班 1. 实验名称：导数的概念 2. 实验目的：建立导数的概念 3. 实验方法：利用信息技术完成导数概念的构建 4. 实验器材：电脑 5.实验过程：（操作步骤、异常情况报告、处理方法）（1）球的半径 r 随着体积的变化过程：
3 4 4 3 V V后 - V前 r r r 4 3 3 3 已知球的体积公式为 V= r ， 4 3 2 3 3 r r 3r (r ) 2 r 3
Q p ，称为价格 p 为单位
’
Rx ，称为产量为 x 单位
’
Lx ，称为产量为 x 单
’
C(x) (3001.1x) 1.1
' '
边际收益； (R( x)) (5x0.003x2) 5 0.006x
'
'
边际利润. L( x) R( x) C( x) 3.9 0.006x 2)当月产量为 600 个单位时的边际利润为
6
华南师范大学数学科学学院
[5]/global562_999.shtml 和讯网
7.实验总结：（结果分析、实验过程中的体会）结果分析：导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。用物理学中的热力学观点：一切物体的运动都是朝着熵增加的方向发展的，换句话说世界是变化的，而导数就是描述一个变化的过程的量，但是人们在研究世界的过程中需要的是一个瞬时的量来预测未来，而不是时时刻刻都会发生改变的量，所以自变量的增量趋于零时，也就是我们的导数的意义，在生活中得以广泛运用。实验过程的体会：导数的在实际生活中的运用真广泛啊！！连地理和天文等方面都能涉及到，真不愧是“学科之母” 。导数让我们体会到数学的作用，改变了以往我们对于数学的感觉是枯燥，死板的想法。从这些查找到的资料来看，事实世界缺少了数学，将会停止前进。但是也只能说明是一种工具，如果你不会运用这个工具，那么你也只能停留在认识工具的能力上。

实验3 导数及偏导数计算

实验3 导数及偏导数计算实验目的１．进一步理解导数概念及其几何意义. ２．学习matlab 的求导命令与求导法.实验内容１．学习matlab 命令. 建立符号变量命令sym 和syms 调用格式:x=sym(｀x ｀)，建立符号变量x ；syms x y z ，建立多个符号变量x ，y ，z ；matlab 求导命令diff 调用格式:diff (函数)(x f ) ，求)(x f 的一阶导数)(x f '；diff (函数)(x f ， n ) ，求)(x f 的n 阶导数)()(x fn (n 是具体整数)；diff (函数),(y x f ，变量名x )，求),(y x f 对x 的偏导数x f∂∂；diff (函数),(y x f ，变量名x ，n ) ，求),(y x f 对x 的n 阶偏导数n n x f∂∂；matlab 求雅可比矩阵命令jacobian ，调用格式:jacobian ([函数),,(z y x f ；函数),,(z y x g ；函数),,(z y x h ]， [z y x ,,])给出矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z h yh xh z g y g x g z f y f x f２．导数概念.导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率.（１）点导数是一个极限值.例3.1.设xe xf =)(，用定义计算)0(f '.解:)(x f 在某一点0x 的导数定义为极限:xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000我们记x h ∆=，输入命令:syms h ；limit((exp(0+h)-exp(0))/h ，h ，0)得结果:ans=１．可知1)0(='f（２）导数的几何意义是曲线的切线斜率.例3.2.画出xe xf =)(在0=x 处()1,0(P )的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势.解:在曲线x e y =上另取一点),(he h M ，则PM 的方程是:011--=--h e x y h .即11+-=x h e y h取01.0,1.0,1,2,3=h ，分别作出几条割线.h=[3，2，1，0.1，0.01]；a=(exp(h)-1)./h ；x=-1:0.1:3；plot(x ，exp(x)，’r’)；hold onfor i=1:5； plot(h(i)，exp(h(i))，’r.’)plot(x ，a(i)*x+1)end axis square作出xe y =在0=x 处的切线1+=x yplot(x ，x+1，’r’)从图上看，随着M 与P 越来越接近，割线PM 越来越接近曲线的割线．３．求一元函数的导数.（１）)(x f y =的一阶导数.例3.3.求x x y )sin(=的导数.解:打开matlab 指令窗，输入指令:dy_dx=diff(sin(x)/x).得结果:dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.matlab 的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符，在这里我们用dy_dx 表示x y '.例3.4.求)ln(sin x y =的导数.解: 输入命令:dy_dx=diff(log(sin(x))).得结果:dy_dx=cos(x)/sin(x).在matlab 中，函数x ln 用log(x)表示，而log10(x)表示x lg .例3.5.求202)2(x x y +=的导数.解: 输入命令:dy_dx=diff((x^2+2*x)^20).得结果:dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).注意x 2输入时应为2*x.例3.6.求xx y =的导数.解: 输入命令:dy_dx=diff(x^x).得结果:dy_dx =x^x*(log(x)+1).利用matlab 命令diff 一次可以求出若干个函数的导数.例3.7.求下列函数的导数:1.5221+-=x x y .2.x x y 2cos 2cos 22+=.3.xy sin 34=.4.x y ln ln 4=.解: 输入命令:a=diff([sqrt(x^2- 2*x+5)，cos(x^2)+2*cos(2*x)，4^(sin(x))，log(log(x))]).得结果: a=[1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2)，-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x)，4^sin(x)*cos(x)*log(4)， 1/x/log(x)].dy1_dx=a(1)↵.dy1_dx=1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2).dy2_dx=a(2)↵.dy2_dx=-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x).dy3_dx=a(3)↵.dy3_dx=4^sin(x)*cos(x)*log(4).dy4_dx=a(4)↵.dy4_dx=1/x/log(x).由本例可以看出，matlab 函数是对矩阵或向量进行操作的，a(i)表示向量a 的第i 个分量.（２）参数方程所确定的函数的导数.设参数方程⎩⎨⎧==)()(t y y t x x 确定函数)(x f y =，则y 的导数)()(t x t y dx dy ''=.例3.8.设⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ，求dx dy .解: 输入命令:dx_dt=diff (a*(t-sin(t)))；dy_dt=diff(a*(1-cos(t)))；dy_dx=dy_dt/dx_dt.得结果:dy_dx=sin(t)/(1-cos(t)).其中分号的作用是不显示结果. ４．求多元函数的偏导数.例3.9.设 u=222z y x ++求 u 的一阶偏导数.解: 输入命令:diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2)， x). 得结果:ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x.在命令中将末尾的x 换成y 将给出y 的偏导数:ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y.也可以输入命令:jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2)，[x y]). 得结果:ans=[1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x ， 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y]给出矩阵⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂y u x u ,.例3.10.求下列函数的偏导数:1.)(1x yarctg z =.2.yx z =2 .解: 输入命令:diff(atan(y/x).得结果:ans=-y/x^2/(1+y^2/x^2).输入命令:diff(atan(y/x)， y). 得结果:ans=1/x/(1+y^2/x^2).输入命令:diff(x^y ， x).得结果: ans=x^y*y/x .输入命令: diff(x^y ， y). 得结果: ans=x^y*log(x).使用jacobian 命令求偏导数更为方便. 输入命令:jacobian([atan(y/x)，x^y]，[x ，y]).得结果:ans=[ -y/x^2/(1+y^2/x^2)， 1/x/(1+y^2/x^2)][ x^y*y/x ， x^y*log(x)].５．求高阶导数或高阶偏导数.例3.11.设xe x xf 22)(= ，求)()20(x f.解:输入指令: diff(x^2*exp(2*x)，x ，20). 得结果: ans =99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*x^2*exp(2*x)例3.12.设224623y x y x z +-=，求y x zy z x z ∂∂∂∂∂∂∂22222,,.解:输入命令:diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x ，2)可得到22x z ∂∂:ans=30*x^4+4*y^2.将命令中最后一个x 换为y 得22y z ∂∂:ans=-36*y^2+4*x^2.输入命令:diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x)，y)可得y x z ∂∂∂2:ans=8*x*y同学们可自己计算x y z∂∂∂2比较它们的结果.注意命令:diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x ，y)，是对y 求偏导数，不是求y x z∂∂∂2.６．求隐函数所确定函数的导数或偏导数例3.13.设e ex xy =+-ln ，求dxdy解:e ex y x F xy -+=-ln ),(，先求x F '，再求y F '.输入命令:df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，x)得到x F ':df_dx=1/x+y/x^2*exp(-y/x).输入命令:df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1)，y)得到y F ':df_dy=-1/x*exp(-y/x)输入命令:dy_dx=-df_dx/df_dy可得所求结果:dy_dx=-(-1/x-y/x^2*exp(-y/x))*x/exp(-y/x).例3.14.设0)()cos()sin(=++xz tg yz xy ，求yzx z ∂∂∂∂,解:)()cos()sin()(xz tg yz xy x F ++=输入命令:a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(z*x)，[x ，y ，z])可得矩阵()z y x F F F ''',,a=[cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)^2)*z ，cos(x*y)*x-sin(y*z)*z ，-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x].输入命令: dz_dx=-a(1)/a(3)得: dz_dx=(-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)^2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)输入命令: dz_dy=-a(2)/a(3)得: dz_dy=(-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)^2)*x)练习1.求下列函数的导数.(1))11)(1(-+=x x y (2)xx x y ln sin =(3)221sin 2x y = (4))ln(22a x x y ++=2.求下列参数方程所确定的函数的导数.(1)⎩⎨⎧==t y t x 44 (2)⎩⎨⎧-=+=arctgtt y t x )1ln(23.求下列隐函数的导数.(1)22ln y x x yarctg+= (2)x y yx =4.设x e y x cos =，求)4(y .5.验证x e y xsin =满足关系式:022=+'-''y y y （................）6.求下列函数的偏导数.(1))sin(2xy x z = (2)zy x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛=7.设)ln(y x x u +=，求22x u ∂∂，22y u∂∂，y x u ∂∂∂2.8.求下列多元隐函数的偏导数y zx z ∂∂∂∂,.(1)1cos cos cos 222=++z y x (2)xyze z=9.证明函数22)()(lnb y a x u -+-=(b a ,为常数)满足拉普拉斯方程:02222=∂∂+∂∂y u xu（提示：对结果用simplify 化简）。

导数实验教学设计

导数教学中数学实验教学设计与反思摘要：《基础教育课程改革纲要（试行）》的公布标志着新一轮课程改革的开始，其观念之新，范围之广，力度之大，是建国以来所少见的，也是我国近代教育所少见的。

如何让学生认识到数学是自然的，数学是清楚的。

笔者借助几何画板引入数学实验，以高中数学导数部分为例，根据导数的几何意义，通过教师的模拟演示实验、学生的验证实验和探索实验，在教学活动中，通过师生之间、生生之间生动而丰富的“协作”、“会话”，完成对几种常见函数的导数的认识。

突破了由于数学逻辑推理的复杂性、学生认知水平的不足而带来的思维困难，极大地改善了学生的数学思维环境。

关键词：几何画板数学实验数学教学实验数学是指在数学领域中运用数、空间和排列等数学元素和方法进行的系统实验。

纵观数学发展史，数学家们总是通过实验发现可能的数学事实，然后再给出严格的数学证明。

可见在数学发现中，数学实验有着非常重要的作用。

近年来由于计算机技术的迅速发展，实验数学展示了前所未有前景，为数学教育提供了探索和发现的工具，正影响着教师的教与学生的学。

下面是我在几种常见函数的导数教学中利用《几何画板》开展数学实验的尝试。

联系实际，提出科学问题问题1：如图，质点P 在半径为1cm 的圆周上逆时针做匀角速运动，角速度为1rad/s ，设A 为起始点。

（1）求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的运动方程；（2）求点M 在时刻t 时的速度。

（利用几何画板课件模拟质点运动）问题2：（1）试用导数的定义求下列函数的导数：y =3，y =2x ，y =3x ；（2）由（1）的结果，你能总结出这些函数导数的一般规律吗？（3）当n ∈Q 时，公式1()'n n x nx -=是否成立？教学中，我让学生分组完成这两个问题，渐渐地，各学习小组为了求y =sin x 、y =x n （n ∈Q ）的导数，陷入了困境。

建构主义学习观认为，学习是学习者对新信息的意义主动建构的过程。

导数的数学实验(计)

同的小正方形，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问截掉的盖的方盒。小正方形边长多少时，小正方形边长多少时，所得方盒的容积最大问题假设：解：(1)问题假设：设截掉小正方形边长为；问题假设设截掉小正方形边长为x；方盒容积为V 方盒容积为 V = (6 − 2 x ) 2 x （2）模型建立：）模型建立：（3）模型求解： V ′( x ) = 0 ⇒ x ）模型求解：
1 3 L( x ) = 134 x − ( 300 + x − 5 x 2 + 170 x ) 12 （3）模型求解： L′( x ) = 0 ⇒ x ）模型求解：
>> syms x >> L=-300-x^3/12+5*x^2-36*x;dL=diff(L,x) dL = -1/4*x^2+10*x-36 >> x0=solve(dL) x0 = [ 4] [ 36] >> d2L=diff(L,x,2) d2L = -1/2*x+10 >> subs(d2L,x0) ans = [ 8] [ -8] >> y0=subs(L,x0) y0 = [ -1108/3] [ 996]
x2 + y − 6 = 0 Example 7 求 2 的解。的解。 y + x−6 = 0
>> [x,y]=solve('x^2+y-6','y^2+x-6','x','y') x= [ [ 2] -3]
[ 1/2-1/2*21^(1/2)] [ 1/2+1/2*21^(1/2)] y= [ [ 2] -3]

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3.2.3 求隐函数的导数，由参数方程定义的函数的导数

【例6】求方程 2x 2xy y x 2 y 1 0 确定的隐函数的导数。输入： syms x y z=2*x^2-2*x*y+y^2+x+2*y+1; daoshu=-diff(z,x)/diff(z,y) 执行后得到： daoshu= -(4*x-2*y+1)/(2*y-2*x+2)
图3-2
3.2.2 求函数的高阶导数及函数在某点的导数值

【例3】求函数 y x 的一阶导数和二阶导数。输入： syms x diff('x^n',1) diff('x^n',2) 执行后得一阶导数和二阶导数分别为： ans= n*x^(n - 1) ans= n*x^(n - 2)*(n - 1)

执行后得到函数f(x)在x=-1处的函数值和导数值： hanshuzhi=20 daoshuzhi=-12 再执行： x=-4:0.1:3; y=2*x.^3+3*x.^2-12*x+7; y1=20-12*(x+1); plot(x,y,'b',x,y1,'r') 便在同一个坐标系内作出了函数f(x)的图形和它在x=-1处的切线(见图3.2，其中直线为切线)。
t t

再输入： erjiedaoshu=diff('(cos(t)+sin(t))/(cos(t)-sin(t))')/diff(x,t) simple(erjiedaoshu) 得到2阶导数： 2/(exp(t)*(cos(t)-sin(t))^3)
2et 即 (cos t sin t )3

y x10 2( x 10)9 的1阶到11阶导数。【例5】求函数

为了将1阶到11阶导数一次都求出来，输入： syms x y=x^10+2*(x-10)^9; for n=1:11 diff(y,x,n) end

输出为： ans =18*(x - 10)^8 + 10*x^9 ans =144*(x - 10)^7 + 90*x^8 ans =1008*(x - 10)^6 + 720*x^7 ans =6048*(x - 10)^5 + 5040*x^6 ans =30240*(x - 10)^4 + 30240*x^5 ans =120960*(x - 10)^3 + 151200*x^4 ans =362880*(x - 10)^2 + 604800*x^3 ans =1814400*x^2 + 725760*x - 7257600 ans =3628800*x + 725760 ans =3628800 ans =0
n

【例4】求函数 f ( x) sin ax cos bx 的一阶导数，
1 f ) 并求 ( ab
'
。

输入： syms x a b daoshu=diff('sin(a*x)*cos(b*x)') x=1/(a+b); daoshuzhi=eval(daoshu) 执行后分别得函数f(x)的一阶导数及其值： daoshu=a*cos(a*x)*cos(b*x) – b*sin(a*x)*sin(b*x) daoshuzhi=a*cos(a/(a + b))*cos(b/(a + b)) – b*sin(a/(a + b))*sin(b/(a + b))
2 2

【例7】求参数方程 x e cos t , y e sin t 确定的函数的导数。输入： syms t x=exp(t)*cos(t); y=exp(t)*sin(t); daoshu=diff(y,t)/diff(x,t) simple(daoshu) 则得到1阶导数： daoshu= (exp(t)*cos(t)+exp(t)*sin(t))/(exp(t)*cos(t)-exp(t)*sin(t)) … ans= (2*sin(t))/(cos(t)-sin(t))+1
3.2 实验内容
3.2.1 导数概念与导数的几何意义

3 2 【例1】用定义求 g ( x) x 3x x 1 的导数。输入： syms x diff('x^3-3*x^2+x+1') 执行以后得到导函数： ans= 3*x^2-6*x+1

再输入： x=-1:0.1:3; y1=x.^3-3*x.^2+x+1; y2=3*x.^2-6*x+1; plot(x,y1,'b',x,y2,'r:') 执行后便得到函数y1=g(x)和它的导数y2=g'(x) 的图形(见图3.1，图中虚线是曲线 g'(x))。
图3-1

【例2】作函数 f ( x) 2x3 3x2 12x 7 的图形和在 x=-1处的切线。输入： syms x hanshu=2*x^3+3*x^2-12*x+7; daoshu=diff('2*x^3+3*x^2-12*x+7'); x=-1; hanshuzhi=eval(hanshu) daoshuzhi=eval(daoshu)
MATLAB
高等数学实验
实验三
导数

实验目的深入理解导数与微分的概念，导数的几何意义。掌握用MATLAB求导数与高阶导数的方法。深入理解和掌握求隐函数的导数及由参数方程定义的函数的导数的方法。
3.1 学习MATLAB命令

求导数命令是diff，常用格式为： syms x diff('f(x)',x) diff(f,x)给出f关于x的导数，而将表达式f中的其他字母看作常量。因此，如果表达式是多元函数，则给出的是偏导数。 diff('f(x)',x,n)给出f关于x的n阶导数或者偏导数。
3.2.4 拉格朗日中值定理

【例8】函数 f ( x) 1/ x4 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此存在 (1, 2) ，使 f ' ( ) ( f (2) f (1)) / (2 1) 。可以验证这个结论的正确性。输入： syms x diff('1/x^4')1阶导数： ans= -4/x^5 再输入： f=inline('-4/x^5-(1/16-1)'); c=fzero(f,[1,2]) 则得到： c= 1.3367 此即在(1,2)的实数解。