2.2.2函数的奇偶性 学业分层测评 含答案 高中数学苏教版必修一

学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知y＝f (x)，x∈(－a，a)，F (x)＝f (x)＋f (－x)，则F (x)是________函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)
【解析】 F (－x)＝f (－x)＋f (x)＝F (x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F (x)是偶函数．
【答案】偶
2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是________．(填序号)
①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝－2 x.
【解析】对于函数y＝|x|＋1，f (－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f (x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．另外函数y
＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－2
x不是偶函数．
【答案】②
3．函数f (x)在R上为奇函数，且f (x)＝x＋1，x>0，则当x<0时，f (x)＝________.
【解析】当x<0，即－x>0时，f (－x)＝－x＋1.
∵f (x)为R上的奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，即
－f (x)＝－x＋1，∴f (x)＝－－x－1，(x<0)．
【答案】－－x－1
4．偶函数f (x)在区间[0，＋∞)上的图象如图2-2-8，则函数f (x)的单调增区间为________．
图2-2-8
【解析】 偶函数的图象关于y 轴对称，可知函数f (x )的增区间为[－1,0]和
[1，＋∞)．
【答案】 [－1,0]，[1，＋∞)
5．若函数f (x )＝
x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝________. 【解析】 函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠－12，且x ≠a . 又f (x )为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a ＝12
. 【答案】 12
6．给出函数f (x )＝|x 3＋1|＋|x 3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )的图象上的是________．(填序号)
①(a ，－f (a ))；②(a ，f (－a ))；③(－a ，－f (a ))；
④(－a ，－f (－a ))．
【解析】 ∵f (x )为偶函数，
∴f (－a )＝f (a )，
∴(a ，f (－a ))一定在y ＝f (x )的图象上．
【答案】 ②
7．已知f (x )＝x 2 017＋ax 3－b x －8，f (－2)＝10，则f (2)＝________.
【解析】 f (－2)＝10，∴－22 017－8a ＋b 2－8＝10，
∴－22 017－8a ＋b 2＝18，f (2)＝22 017＋8a －b 2－8＝－18－8＝－26.
【答案】 －26
8．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.
【解析】 令x ＝－1，则f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1，
由f (x )，g (x )的奇偶性知，f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)．
∴原式即化为f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
【答案】 1
二、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f (x )＝3，x ∈R ；
(2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈[－3,3]；
(3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|；
(4)f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，0，
x 2－1， x >0，x ＝0，x <0.
【解】 (1)∵f (－x )＝3＝f (x )，
∴f (x )是偶函数．
(2)∵x ∈[－3,3]，f (－x )＝5(－x )4－4(－x )2＋7＝5x 4－4x 2＋7＝f (x )，
∴f (x )是偶函数．
(3)∵f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x )，
∴f (x )是奇函数．
(4)当x >0时，f (x )＝1－x 2，
此时－x <0，
∴f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1，
∴f (－x )＝－f (x )；
当x <0时，f (x )＝x 2－1，此时－x >0，f (－x )＝1－(－x )2＝1－x 2，
∴f (－x )＝－f (x )；
当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0.
综上，对任意x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．
10．设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋
1)<f (2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围．
【解】 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，
可知f (x )在(0，＋∞)上递减．
∵2a 2
＋a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋142＋78>0， 2a 2－2a ＋3＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －122＋52>0， 且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，
∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，
即3a －2>0，解得a >23.
[能力提升]
1．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________.
【解析】 假设a ≥0，则f (a )＝a (a ＋1)＝－2，即a 2＋a ＋2＝0，方程无解，所以a ≥0不成立，因此a <0，则－a >0，所以f (－a )＝－a (－a ＋1)，由奇函数f (－a )＝－f (a )，即f (－a )＝a 2－a ＝2，解得a ＝－1或a ＝2(舍)．
【答案】 －1
2．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________．
【解析】 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
【答案】 0
3．定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝2，则奇函数f (x )的值域是________．
【解析】 奇函数的图象关于原点对称，所以当x <0时，f (x )＝－2，又定义域为R ，所以f (0)＝0，因此函数的值域为{－2,0,2 }．
【答案】 {－2,0,2 }
4．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，求m －n 的最小值.
【解】 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－14
， ∴当x ∈[－3，－1]时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32＝－14，f (x )max ＝f (－3)＝2. 又∵函数为奇函数，∴函数在x ∈[1,3]时的最小值和最大值分别是－2，14，
∴m 的最小值为14，n 的最大值为－2，∴(m －n )min ＝14－(－2)＝94，
9即m－n的最小值为
4.。