全部高考内容-2017年高三数学周考、月考、段考测试卷(考试版)
2017年高三数学周考月考段考原创测试卷
【2017年高三数学优质试卷原创精品】第二周 函数与导数(一)试题特点：本套试卷重点考查函数的概念、函数的基本性质、函数与导数的综合运用等。
在命题时，注重考查基础知识如第1-9，13-15及17-20题等；注重考查知识的交汇，如第4题考查简单对数不等式、分式不等式的解法及集合的运算；注重数形结合能力和运算能力的考查，如第6,7,10,14,19,20题等。
讲评建议：评讲试卷时应注重对函数概念和基本性质的本质的理解、导数与函数的单调性及极值的关系，常用的解法有定义法（如第1题）、图解法（如第7，19题）以及导数法（如13题）。
判断和利用函数的奇偶性\单调性的方法等可以灵活采用定义法（如第2,4,6,12,18题）以及等价转换法（如2, ,18题）等。
试卷中第5，7，11，12，19各题易错，评讲时应重视。
一、填空题（每题5分,共70分）1.已知幂函数()f x 的图像过点12⎛ ⎝，则()4f =__________.【答案】2【解析】设αx x f =)(,由题设22)21(=α,则21=α,所以21)(x x f =,故()4f =2421=.2.函数 f(x)=e x 可以表示成一个奇函数 g(x) 与一个偶函数h(x) 之和，则g(x) ． 【答案】1()2x xe e --3. 函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为__________.【答案】()()0,11,2【解析】由题设可得⎩⎨⎧≠>-1022x x x 可得⎩⎨⎧≠<<120x x ,即()()0,11,2 ,故答案为()()0,11,2 .4．已知()y f x =为定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()22x f x =-，则方程()0f x =的解集是 .【答案】{}1,0,1-【解析】当()0,x ∈+∞时，由()220x f x =-=，解得1x =，又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()()()()110,0000f f f f f -=-==-⇒=，所以()0f x =的解集是{}1,0,1-. 5．已知函数()1231234x x x x f x x x x x +++=+++++++，则()()50f f -+= . 【答案】8 【解析】()()012355152530,5123451525354f f --+-+-+=+++-=+++-+-+-+-+，倒叙相加得8.6．定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+4)= f(x)，且在[0,2] 上f(x)= (1),(01,sin ,(12x x x x x π-≤≤⎧⎨<≤⎩则2941()()46f f +=_______. 【答案】516【解析】由题设可知)(x f 是周期为4的奇函数，则163)43()43()4344()429(-=-=-=-+=f f f f ，2167sin )67()67()6744()641(=-=-=-=-+=πf f f f ， 故2941()()46f f +=16516321=-. 7．已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间(1,1]-内，()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是 .【答案】1(0,]28．[]12,1,2x R x ∀∈∃∈，使得2211221233x x x x x mx ++≥+-成立，则实数m 的取值范围 . 【答案】278m ≤【解析】由2211221233x x x x x mx ++≥+-得()22121221330,x x x x mx x R +-+-+≥∀∈，所以0∆≤，即()()[]222223430,1,2x x mx x ---+≤∃∈整理得[]2223463,1,2m x x x -≤+∃∈，所以利用对勾函数的单调性得22max33154633222m x x ⎛⎫-≤+=⨯+= ⎪⎝⎭，所以278m ≤. 9．已知函数()()2,4f x x a x f x x =++-≤-的解集为A ，若[]1,2A ⊆，则a 的取值范围为_______． 【答案】[]3,0-10．将边长为4正三角形薄片，用平行于底边的两条直线剪成三块（如图所示），这两条平行线间ABCD ，记()2ABCD S ABCD=梯形的周长梯形，则S 的最小值为___________．11．对任意实数x ，总存在[]1,2y ∈，使得2223x xy y x my ++≥++成立，则m 的取值范围是__________． 【答案】]21,(-∞【解析】由2223x xy y x my ++≥++得03)2(22≥--+-+my y x y x ,由题设可得0)3(4)2(22≤----my y y ,即016)1(432≤+-+-y m y ,也即yy m 143)1(4-≤-,而yy 163-的最大值为286-=-,故211-≤-m ，故应填]21,(-∞.12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)0,+∞上是增函数，若()()1ln ln 12f x f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭<，则x 的取值范围是 .【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因x xln 1ln-=,故)(ln 2)1(ln )(ln x f x f x f =-，所以不等式()()1ln ln 12f x f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭<可化为)1(|)(ln |f x f <，即)1()(ln )1(f x f f <<-，也即)1()(ln )1(f x f f <<-，所以1ln 1<<-x ，故e x e<<1.13.已知函数()321f x x ax =++的对称中心的横坐标为()000x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是 .【答案】,⎛-∞⎝14.已知函数()21,0,log ,0,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩下列是关于函数()()1y f f x =+的零点个数的四种判断：①当0k >时，有3个零点；②当0k <时．有2个零点；③当0k >时，有4个零点；④当0k <时，有1个零点．则正确的判断是 (只填序号). 【答案】③④【解析】若x x f x 2log )(,0=>.当0log 2>x ,即1>x 时,01)(log log ))((22=+=x x f f ,解得2=x ；当0log 2≤x ,即10≤<x 时,011)(log ))((2=++=x k x f f ,当0>k ,解得122<=-kx 适合；当0<k ,解得122>=-kx 不适合.若1)(,0+=≤kx x f x ,若01<+kx ,则011))((2=+++=k x k x f f ,即022=++k x k ,当22,0k k x k +-=>合适,0<k 时不合适；若01>+kx ,则01)1(log ))((2=++=kx x f f ,即211=+kx 也即kx 21-=,当0>k 时适合；当0<k 不合适.因此当0>k 时有四个根k k k k21,2,2,222-+--；当0<k 只有一个根2=x ,应填③④.二、解答题15．为了优化城市环境，方便民众出行，我市在某路段开设了一条仅供车身长为10m 的BRT 行驶的专用车道.据数据分析发现，该车道上行驶中前、后两辆BRT 公交车间的安全距离()d m 与车速()/v km h 之间满足二次函数关系()d f v =.现已知车速为15/km h 时，安全距离为8m ；车速为45/km h 时，安全距离为38m ；出行堵车状况时，两车安全距离为2m .(1)试确定d 关于v 的函数关系()d f v =；(2)车速()/v km h 为多少时，单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多，最多是多少辆？【答案】(1) ()2112755d f v v v ==++;(2) 30/v km h =时通过的汽车数量最多，最多为1000辆.【解析】(1)设()()20d f v av bv c a ==++≠，将点()()()0,2,15,8,45,38分别代入得22112251528,,27554545238c a b a b c b ⎧=⎪++=⇒===⎨⎪++=⎩.所以()2112755d f v v v ==++.……6分 (2)设单位时间内通过的汽车数量为Q，则100012111000/1000/1000107555v v Q d v ⎛⎫⎛⎫==++≤+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭（辆），当且仅当275v v=，即30/v km h =时等号成立. 答：当30/v km h =时通过的汽车数量最多，最多为1000辆.………………14分 16．已知函数()()21f x x ax a R =++∈．（1）若()f x 在[]0,2上的最小值为1，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x ≥； （3）若关于x 的方程()()()10ff x f x -+=无实数解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)0≥a ；(2)当22a -≤≤时，x R ∈，当2a >或2a <-时，x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；(3) 12a --<<. 【解析】（1）因为()01f =，所以()211f x x ax =++≥在(]0,2上恒成立，所以20,,0x ax a x a +≥≥-≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）()210f x x ax =++≥，当0∆≥，即22a -≤≤，x R ∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当0∆<，即2a >或2a <-，x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．8分 （3）()()()10ff x f x -+=，即()()()()()222222211120x ax a x ax x ax x ax a x ax +++++++=+++++=，当()2180a ∆=+-<，即11a --<<-，成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分当()2180a ∆=+->，即1,1a a ≤--≥-，2212404a a a f ⎧+-<-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩，所以4321144320a a a a ⎧-≤<⎪⎨--+>⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 令()()4324432,h 20h a a a a =--+=，()()3224128432h a a a a a a a '=--=--，所以()()()()()()(2141131241100h '=----=--< ((((()(214113124110h '+=++-+-=+-<，所以()0h a '<在11a <<+恒成立，所以()h a 单调递减，所以12a -≤<，综上，12a --<<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分 17．已知函数()2ln f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若在y 轴右侧，函数()()2121h x a x ax =-+-的图像都在函数()f x 图像的上方，求整数a 的最小 值．【答案】(1)()1,+∞；(2)1.【解析】（1）解：()()2121210x x f x x x x x-++'=-+=>，由()0f x '<，得2210x x -->，又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调递减区间为()1,+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）解：令()()()()2ln 121g x f x h x x ax a x =-=-+-+，所以()()()221211212ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>， 所以()g x 在()0,+∞上是递增函数，又因为()()21ln11121320g a a a =-⨯+-+=-+>，所以关于x 的不等式()()2121f x a x ax ≤-+-不能恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当0a >时，()()()212121212a x x ax a x a g x x x⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭'==-， 令()0g x '=，得12x a=， 所以当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数． 故函数()g x 的最大值为11ln 224g a a a⎛⎫=- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 令()1ln 24F a a a=-， 因为()1110,1ln 20224F F ⎛⎫=>=-<⎪⎝⎭， 又()F a 在()0,a ∈+∞是减函数． 所以当1a ≥时，()0F a <，所以整数a 的最小值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．已知函数()42x xng x -=是奇函数，函数()()4log 41x f x mx =++是偶函数. （1）求m n +的值； （2）设()()12h x f x x =+，若()()()4log 21g x h a >+对任意x ≥1恒成立，求实数a 的取值集 合. 【答案】(1)21；(2)1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）由（1）知，()()41log 412x f x x =+-，则()()()41log 412x h x f x x =+=+ ∴()()()44log 21=log 22h a a ++又由（1）知()411=222x x x x g x -=-，∵函数2xy =在[)1+∞，上是增函数，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[)1+∞，上是减函数，∴函数()122x xg x =-在[)1+∞，上是增函数. ∴当1x ≥时，()()min 312g x g ==. ………………………………………10分 ∵()()()4log 21g x h a >+对任意x ≥1恒成立，∴()43log 222210a a ⎧+<⎪⎨⎪+>⎩，解得132a -<<.∴实数a 的取值集合是1,32⎛⎫-⎪⎝⎭. ……………………………………… 14分 19．如图，某水域的两直线型岸边12,l l 成定角120o ，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A 相距1公里的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC （,B C 分别在1l 和2l 上），围出三角形ABC 养殖区，且AB 和AC 都不超过5公里．设AB x =公里，AC y=公里．（1）将y 表示成x 的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？【答案】(1) )545(1≤≤-=x x x y ；(2)3．(2)设△ABC 的面积为S ，则结合（1）易得方法一：S ＝12xy sin A ＝12x ·1x x -·sin120º，(54≤x ≤5) ()()()221211114111x x x x x x x -+-+==-+≥--- …………………………………10分 当仅当x －1＝11x -，x ＝2时取等号.故当x =y =2时，面积S …………………………… 12分方法二：S ＝S ΔABD ＋S ΔACD ＝12x sin60º＋12y sin60º(x ＋1x x -)(x ＋111x x -+-)(x ＋11x -＋1)[(x －1)＋11x -＋ ……………10分当且仅当x －1＝11x -，即x ＝2时取等号．故当x =y =2时，面积S ……………………………12分………………………………14分20．设[][]1122A B =-=-，，，,函数()221f x x mx =+-． （1）设不等式()0f x ≤的解集为C ，当()C A B ⊆⋂时，求实数m 的取值范围；（2）若对任意x R ∈，都有()()11f x f x -=+成立，试求x B ∈时，函数()f x 的值域；（3）设()()22g x x a x mx a R =---∈，求()()f x g x +的最小值. 【答案】(1)]1,1[-；(2)[]3,15-；(3)当1a ≤-时，()min 22f x a =--，当11a -<<时，()2min 1f x a =-，当1a ≥时，()min 22f x a =-．（2）对任意x R ∈，都有()()11f x f x -=+成立，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称，所以14m -=，解得4m =-，所以函数()()2213f x x =--，其在区间[]2,1-是减函数，在区间[]1,2上是增函数，所以()()min 13f x f ==-，又()()21521f f -=>=-，所以()max 15f x =，所以函数()f x 在区间B 上的值域为[]3,15-； (8)分（3）令()()()h x f x g x =+，则()222221,21221,x x a x a h x x x a x x a x a⎧+--≥⎪=+--=⎨-+-≤⎪⎩ ........................9分 ①当1a ≤-时，函数()f x 在区间(),1-∞-是减函数，()1,-+∞是增函数，此时 ()min 22f x a =-- (11)分②当11a -<<时，函数()f x 在区间(),a -∞是减函数，(),a +∞是增函数，此时 ()2min 1f x a =-……………………13分③当1a ≥时，函数()f x 在区间(),1-∞是减函数，()1,+∞是增函数， 此时()min 22f x a =- (15)分综上：当1a ≤-时，()min 22f x a =--，当11a -<<时()2min 1f x a =-， 当1a ≥时()min 22f x a =- ……………………16分。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(含答案)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( )A.A∩B={x|x<32}B.A∩B=⌀C.A∪B={x|x<32}D.A∪B=R2.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)4.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π45.已知F是双曲线C:x2-y 23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )A.13B.12C.23D.326.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )7.设x,y满足约束条件{x+3y≤3,x-y≥1,y≥0,则z=x+y的最大值为( )A.0B.1C.2D.38.函数y=sin2x1-cosx的部分图象大致为( )9.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A. f(x)在(0,2)单调递增B. f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称10.下面程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2C.A≤1 000和n=n+1D.A≤1 000和n=n+211.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( )A.π12B.π6C.π4D.π312.设A,B是椭圆C:x 23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,√3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,√3]∪[4,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .14.曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为.15.已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos(α-π4)= .16.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;,求该四棱锥的侧面积.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为8319.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x =116∑i=116x i =9.97,s=√116∑i=116(x i -x )2=√116(∑i=116x i 2-16x 2)≈0.212,√∑i=116(i -8.5)2≈18.439,∑i=116(x i -x )(i-8.5)=-2.78,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x -3s,x +3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ii)在(x -3s,x +3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01) 附:样本(x i ,y i )(i=1,2,…,n)的相关系数r=∑i=1n(x i -x )(y i -y )√∑i=1n (x i -x )√∑i=1n(y i -y ).√0.008≈0.09.20.(12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM⊥BM,求直线AB 的方程.21.(12分)已知函数f(x)=e x(e x-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ(θ为参数),直线l 的参数方程为{x =a +4t ,y =1-t(t 为参数). (1)若a=-1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17,求a.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.A 本题考查集合的运算.由3-2x>0得x<32,则B={x |x <32},所以A∩B={x |x <32},故选A.2.B 本题考查样本的数字特征.统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选B.3.C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义. A.i(1+i)2=i×2i=-2; B.i 2(1-i)=-(1-i)=-1+i; C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C. 4.B 本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为π2,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P=π22×2=π8,故选B.5.D 本题考查双曲线的几何性质. 易知F(2,0),不妨取P 点在x 轴上方,如图.∵PF⊥x 轴,∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3), ∴|AP|=1,AP⊥PF, ∴S △APF =12×3×1=32.故选D.6.A 本题考查线面平行的判定.B 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;C 选项中,AB ∥MQ,且AB ⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;D 选项中,AB ∥NQ,且AB ⊄平面MNQ,NQ ⊂平面MNQ,则AB ∥平面MNQ.故选A.7.D 本题考查简单的线性规划问题. 作出约束条件表示的可行域如图:平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y 在A(3,0)处取得最大值,z max =3,故选D.8.C 本题考查函数图象的识辨.易知y=sin2x1-cosx 为奇函数,图象关于原点对称,故排除B 选项;sin 2≈sin 120°=√32,cos 1≈cos 60°=12,则f(1)=sin21-cos1=√3,故排除A 选项; f(π)=sin2π1-cos π=0,故排除D 选项,故选C.9.C 本题考查函数的图象与性质.函数f(x)=ln x+ln(2-x)=ln[x(2-x)],其中0<x<2,则函数f(x)由f(t)=ln t,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函数的单调性可知,x ∈(0,1)时, f(x)单调递增,x ∈(1,2)时, f(x)单调递减,则A 、B 选项错误;t(x)的图象关于直线x=1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C 选项正确,D 选项错误.故选C. 10.D 本题考查程序框图问题.本题求解的是满足3n-2n>1 000的最小偶数n,判断循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件应输出结果,所以判断语句应为A≤1 000,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为n=n+2,故选D.11.B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在△ABC 中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,∴cos Asin C+sin Asin C=0,∵sin C≠0,∴cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=34π. 由a sinA =c sinC 得√22=√2sinC ,∴sin C=12,又0<C<π4,∴C=π6,故选B.12.A 本题考查圆锥曲线的几何性质.当0<m<3时,椭圆C 的长轴在x 轴上,如图(1),A(-√3,0),B(√3,0),M(0,1).图(1)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|MO|≤1,即0<m≤1; 当m>3时,椭圆C 的长轴在y 轴上,如图(2),A(0,√m ),B(0,-√m ),M(√3,0)图(2)当点M 运动到短轴的端点时,∠AMB 取最大值,此时∠AMB≥120°,则|OA|≥3,即√m ≥3,即m≥9.综上,m ∈(0,1]∪[9,+∞),故选A.二、填空题 13.答案 7解析 本题考查向量数量积的坐标运算. ∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m -1,3),又(a+b)⊥a, ∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 14.答案 x-y+1=0解析 本题考查导数的几何意义.∵y=x 2+1x,∴y'=2x -1x2,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.15.答案3√1010解析 因为α∈(0,π2),且tan α=sinαcosα=2,所以sin α=2cos α,又sin 2α+cos 2α=1,所以sin α=2√55,cos α=√55,则cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010.16.答案 36π解析 由题意作出图形,如图.设球O 的半径为R,由题意知SB⊥BC,SA⊥AC,又SB=BC,SA=AC,则SB=BC=SA=AC=√2R.连接OA,OB,则OA⊥SC,OB⊥SC,因为平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,所以OA⊥平面SCB,所以OA⊥OB,则AB=√2R,所以△ABC 是边长为√2R 的等边三角形,设△ABC 的中心为O 1,连接OO 1,CO 1. 则OO 1⊥平面ABC,CO 1=23×√32×√2R=√63R,则OO 1=√R 2-(√63R)2=√33R,则V S-ABC =2V O-ABC =2×13×√34(√2R)2×√33R=13R 3=9, 所以R=3.所以球O 的表面积S=4πR 2=36π.三、解答题17.解析 本题考查等差、等比数列. (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q )=2,a 1(1+q +q 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n . (2)由(1)可得S n =a 1(1-q n )1-q=-23+(-1)n·2n+13.由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2n+3-2n+23=2[-23+(-1)n·2n+13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.18.解析 本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算. (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°, 得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD, 从而AB⊥平面PAD. 又AB ⊂平面PAB, 所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD 内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD, 故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD. 设AB=x,则由已知可得AD=√2x,PE=√22x. 故四棱锥P-ABCD 的体积V P-ABCD =13AB·AD·PE=13x 3.由题设得13x 3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2√2,PB=PC=2√2.可得四棱锥P-ABCD 的侧面积为12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC 2sin 60°=6+2√3.19.解析 本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差. (1)由样本数据得(x i ,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=∑i=116(x i -x )(i -8.5)√∑i=1(x i -x )2√∑i=1(i -8.5)2=0.212×√16×18.439≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(i)由于x =9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x -3s,x +3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02, 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为√0.008≈0.09.20.解析 本题考查直线与抛物线的位置关系. (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1-y2x 1-x 2=x 1+x 24=1.(2)由y=x 24,得y'=x2,设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x 24得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2√m+1.从而|AB|=√2|x1-x2|=4√2(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.21.解析本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值.(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2e2x-ae x-a2=(2e x+a)(e x-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.③若a<0,则由f '(x)=0得x=ln(-a2).当x∈(-∞,ln(-a2))时,f '(x)<0;当x∈(ln(-a2),+∞)时, f '(x)>0.故f(x)在(-∞,ln(-a2))单调递减,在(ln(-a2),+∞)单调递增.(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a 2ln a≥0,即a≤1时, f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln (-a 2)时, f(x)取得最小值,最小值为f (ln (-a2))=a 2[34-ln (-a2)].从而当且仅当a 2[34-ln (-a2)]≥0, 即a≥-2e 34时, f(x)≥0. 综上,a 的取值范围是[-2e 34,1].22.解析 本题考查极坐标与参数方程的应用. (1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1.当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0. 由{x +4y -3=0,x 29+y 2=1解得{x =3,y =0或{x =-2125,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),(-2125,2425).(2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离为d=√17.当a≥-4时,d 的最大值为√17,由题设得√17=√17,所以a=8;当a<-4时,d 的最大值为√17,由题设得17=√17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.23.解析 本题考查含绝对值不等式的求解问题.(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√17.2所以f(x)≥g(x)的解集为}.{x|-1≤x≤-1+√172(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].。
2017届高三文科数学第一次月考试卷
2017届高三第一次月考试卷文科数学考试时间：120分钟；满分:150分；命题人：李强一、选择题（每小题5分，合计60分）1．已知集合{}{}2|30,|13A x x x B x x =-≥=<≤，则如图所示阴影部分表示的集合为（ ）A ．[)0,1B ．(]0,3C ．()1,3D ．[]1,3 2．已知向量()(),2,1,1m a n a ==-，且m n ⊥，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．2-或1 D ．2-3．设复数z 满足()3112(i z i i +=-为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ） A ．1 B ．116 C ．14 D ．125．若直线:4l mx ny +=和圆22:4O x y +=没有交点，则过点(),m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．0 B ．至多有一个 C ．1 D ．2 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =（ ） A ．52 B ．78 C ．104 D ．208 7．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位8．若函数()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>的部分图象如图所示，则关于()f x 的描述中A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 C ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增减函数 9．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是2312，则（ ）A ．13a =B ．12a =C ．11a =D ．10a =10．在矩形ABCD 中，2,1,AB BC E ==为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE AF 的最大值为（ ） A ．72 B ．4 C ．92D ．5 11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C ．1043 D ．107412．已知函数()f x 的定义域为R ,当0x <时,()31f x x =-, 当11x -≤≤时,()()f x f x -=-, 当12x >时,1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则()6f =（ ）题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项二、填空题（每小题5分，合计20分）13．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,1-，则它的离心率为 ．14．曲线()232ln f x x x x =-+在1x =处的切线方程为 ．15．某大型家电商场为了使每月销售A 和B 两种产品获得的总利润达到最大，对某月即将出售的A 和B 进行了相关调查，得出下表：如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为 元．16．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是 ．三、解答题（12分）17．已知顶点在单位圆上的ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且222b c a bc +=+.（1）求角A 的大小；（2）若224b c +=,求ABC ∆的面积.（12分）18．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下： 组号 第一组第二组第三组第四组第五组分组[)5060， [)6070， [)7080， [)8090， [)900，10（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（3）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？（12分）19．已知函数()()24log 23f x ax x =++. （1）已知()11f =,求()f x 单调递增区间;（2）是否存在实数a ,使()f x 的最小值为0？若存在, 求出a 的值; 若不存在, 说明理由.（12分）20．在平面直角坐标系xOy 中,过点()2,0C 的直线与抛物线24y x =相交于,A B 两点,()()1122,,,A x y B x y .（1）求证:12y y 为定值；（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由.（12分）21．已知函数()()2ln ,f x ax bx x a b R =+-∈.（1）当1,3a b =-=时,求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）设0a >,且对于任意的()()0,1x f x f >≥,试比较ln a 与2b -的大小.四、选做题（任选一个作答）（10分）22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为:12(12x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）,曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; （2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点,求PQ 的值.（10分）23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-++． （1）解不等式()8f x ≥；（2）若不等式()23f x a a <-的解集不是空集，求实数a 的取值范围．参考答案13．2【解析】试题分析：因为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,1-，所以12ba-=-⨯，即2,a b c==，所以cea==.考点：双曲线的几何性质；14．30x y--=【解析】试题分析：()21132ln12f=-+=-，()223f x xx'=-+，()12321f'=-+=，所以切线方程为21y x+=-即30x y--=.考点：导数的几何意义.15．960【解析】试题分析：设月销售A产品x台，B产品y台，则3002003000501001100x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，利润6080z x y=+，在直角坐标系中作出可行域，由图可知当目标函数经过可行域内的点(4,9)B时，利润的最大值，最大值为604809960z=⨯+⨯=.考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属中题；线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键. 16．194 【解析】试题分析：则题意可知，前19行共有119191902+⨯=，所第20行从左到右的数字依次191,192,193,194,，所以第4个数为194.考点：1.归纳推理；2.等差数列的前n 项和公式.【名师点睛】本题考查的是归纳推理、等差数列的前n 项和公式，属中档题；归纳推理是从特殊事例中归纳出一般性结论的推理，解题关键点在于从有限的特殊事例中寻找其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.注意运算的准确性. 17．（1）60︒;（23【解析】试题分析：（1）由222b c a bc +=+得222b c a bc +-=代入余弦定理即可求出角A ；（2）由正弦定理先求出边a ，再由余弦定理可求出bc ，代入三角形面积公式即可.试题解析：（1）由222b c a bc +=+得222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==又∵0A π<< ∴60A =︒ （2）由2sin aA=得2sin 3a A ==由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-即22212cos603422b c bc bc =+-︒=-⨯，即∴1bc =∴11sin 1sin 6022ABC S bc A ∆==⨯⨯︒= 考点：正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正、余弦定理的应用，容易题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．（1）0.005a =（2）74.5（3）13【解析】 试题分析：（1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，即所有小长方形面积和为1得()0.0100.0200.0300.035101a ++++⨯=，解得0.005a =（2）根据组中值得平均数55565357530852951074.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）由分层抽样法得第3、4、5组中各抽取3、2、1人，利用枚举法得随机抽取2名，共有15个基本事件，其中恰有1人分数不低于90分的基本事件有5个，因此概率为()51153P A ==试题解析：（1）由题意得：()0.0100.0200.0300.035101a ++++⨯=，即0.005a =（2）数学成绩的平均分为：55565357530852951074.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）第3、4、5组中共有学生人数分别为30、20、 10人，用分层抽样法抽6人，即在第3、4、5组中各抽取3、2、1人，设6名学生为a b c d e f 、、、、、．随机抽2人，共有ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef 、、、、、、、、、、、、、、共15个基本事件，其中恰有1人分数不低于90分的基本事件有af bf cf df ef 、、、、5个，记其中恰有1人分数不低于90分为事件A ，∴()51153P A ==19．（1）()1,1-（2）12a =【解析】试题分析：（1）先由()11f =得1a =-，再根据复合函数单调性得 只需求223t x x =-++单调增区间，注意函数定义域为()1,3-，从而得()f x 单调递增区间为()1,1-（2）由题意得223t ax x =++的值域为[1,)+∞，所以21,112231a a a a a >⎧⎪⇒=⎨⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩试题解析：（1）()()24log 23f x ax x =++且()()2411,log 12131,54,1f a a a =∴+⨯+=∴+=∴=-,可得函数()()24log 23f x x x =-++,真数为2230,x x -++>∴函数的定义域为()1,3-令()222314t x x x =-++=--+可得, 当()1,1x ∈-时,t 为关于x 的增函数,底数为41,>∴函数()()24log 23f x x x =-++单调递增区间为()1,1-.（2）设存在实数a ,使()f x 最小值为0.由于底数为41>,可得真数2231t ax x =++≥恒成立, 且真数t 最小值恰好是1.即a 为正数, 且当1x a =-时, t 值为1,所以21,112231a a a a a >⎧⎪∴=⎨⎛⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩.考点：复合函数单调性20．（1）见解析；（2）存在平行于y 轴的定直线1x =被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值.【解析】试题分析：（Ⅰ）设出过点()2,0C 的直线方程，与抛物线方程联立消去未知数x ，由根与系数关系可得128y y =-为定值；（Ⅱ）先设存在直线l ：a x =满足条件，求出以AC 为直径的圆的圆心坐标和半径，利用勾股定理求出弦长表达式=1a =时，弦长为定值.试题解析：（Ⅰ）（解法1）当直线AB 垂直于x 轴时，22,2221-==y y , 因此821-=y y （定值）,当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为)2(-=x k y由⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)2(2得0842=--k y ky 821-=∴y y 因此有821-=y y 为定值（解法2）设直线AB 的方程为2-=x my由⎩⎨⎧=-=xy x my 422得0842=--my y 821-=∴y y 因此有821-=y y 为定值. （Ⅱ）设存在直线l ：a x =满足条件，则AC 的中点)2,22(11y x E +，2121)2(y x AC +-= 因此以AC 为直径的圆的半径421)2(2121212121+=+-==x y x AC r又E 点到直线a x =的距离|22|1a x d -+=所以所截弦长为212122)22()4(4122a x x d r -+-+=- 2121)22(4a x x -+-+=2148)1(4a a x a -+--=当01=-a 即1=a 时，弦长为定值2，这时直线方程为1=x .考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系,属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 21．（1）()f x 的最大值为2，()f x 的最小值为2ln 2-；（2）ln 2a b <- 【解析】试题分析：（1）当1,3a b =-=时，()23ln f x x x x =-+-，且1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()211x x f x x--'=-,讨论函数在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性与极值，与两端点值比较即可求其最大值与最小值；（2）因为()()0,1x f x f >≥，所以()f x 的最小值为(1)f ,设()0f x '=的两个根为21,x x ，则02121<-=ax x ,不妨设0,021><x x ，则21x =，所以有即12b a =-，令()24ln g x x x =-+,求导讨论函数()g x 的单调性可得()11ln 404g x g ⎛⎫≤=-< ⎪⎝⎭，即()0g a <，可证结论成立.试题解析：（1）当1,3a b =-=时，()23ln f x x x x =-+-，且1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=-+-=-=-． 由()0f x '>，得112x <<；由()0f x '<，得12x <<， 所以函数()f x 在1(,1)2上单调递增；函数()f x 在(1,2)上单调递减，所以函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦仅有极大值点1x =，故这个极大值点也是最大值点，故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是()12f =，又()()153322ln 2ln 22ln 2ln 402444f f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()122f f ⎛⎫<⎪⎝⎭，故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()22ln 2f =-． （Ⅱ）由题意，函数f （x ）在x=1处取到最小值，又xbx ax x b ax x f 1212)(2'-+=-+=设0)('=x f 的两个根为21,x x ，则02121<-=ax x 不妨设0,021><x x ，则)(x f 在),0(2x 单调递减，在),(2+∞x 单调递增，故)()(2x f x f ≥， 又()(1)f x f ≥，所以12=x ，即212a b +=，即12b a =- 令()24ln g x x x =-+，则()14'x g x x -=令()'0g x =，得14x =,当104x <<时，()()'0,g x g x >在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当x14x <时，()()'0,g x g x <在（∞+，41）上单调递减；因为()11ln 404g x g ⎛⎫≤=-<⎪⎝⎭故()0g a <，即24ln 2ln 0a a b a -+=+<，即ln 2a b <-. 考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与不等式.22．（1）曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=,l的普通方程为+10x =;（2.【解析】试题分析：（1）在极坐标方程两边同乘以ρ，利用极坐标与直角坐标的互化公式即可将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，消去参数即可求出直线l 的普通方程；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，由直线参数的几何意义与根与系数关系即可求PQ . 试题解析：（1）24cos ,4cos ρθρθ=∴=,由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=,所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=,由1212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,消去t 解得：+10x =.所以直线l的普通方程为+10x =.（2）把1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入224x y x +=,整理得250t -+=, 设其两根分别为12,t t，则1212125,t t t t PQ t t +==∴=-==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2，参数方程与普通方程的互化；3.直线参数方程参数的几何意义. 23．（1）{}|5,3x x x ≤≥或（2）()(),14,-∞-+∞【解析】 试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，最后求它们交集得解集（2）不等式()23f x a a<-的解集不是空集，等价于()2min 3f x a a<-，因此根据绝对值三角不等式求()13f x x x=-++的最小值：()134f x x x=-++≥，再解不等式234a a->得实数a的取值范围．。
河北保定中学2017届高三上学期周考数学(理)试卷(一)
河北保定中学2017届高三上学期周考数学（理）试卷（一）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}21(),0,1(2),2xP y y x Q x y g x x ⎧⎫==≥==-⎨⎬⎩⎭则P Q 为 （ ▲ ）A ．(]0,1B ．∅C ．()0,2D ．{}02．已知221(32)z m m m i =-+-+（,m R i ∈为虚数单位），则“1m =-”是“z 为纯虚数”的 （ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知直线m 、n 与平面,,βα下列命题正确的是 （ ▲ ）A ．//,//m n αβ且//,//m n αβ则B ．,//m n αβ⊥且,m n αβ⊥⊥则C ．,m m n αβ=⊥且,n αβα⊥⊥则 D ．,m n αβ⊥⊥且,m n αβ⊥⊥则4．为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，可以将函数sin(2)6y x π=+的图象 （ ▲ ）侧视图xA ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度5．已知点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，目标函数y ax z 2+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a 的范围为 （ ▲ ）A ．)2,1(-B ．)2,4(-C ．)1,2(-D ．)4,2(-6．直线230x y --=与圆22:(2)(3)9C x y -++=交于,E F 两点，则ECF ∆的面积为 （ ▲ ）A ．23B ．52C ．553 D ． 437.设函数()21f x x =-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 的取值集合是（ ▲ ）A ．(,1][3,)-∞-+∞B ．(,1][2,)-∞-+∞C ．(,3][1,)-∞-+∞D ．(,2][1,)-∞-+∞8．已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，,AB AD CD AD ⊥⊥，且1,2AB AD CD ===.ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足,MB MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为 ( ▲ )A ．43B ．163C ．49πD ．83π9．在平面内，121212,||3,||4,AB AB OB OB AP AB AB ⊥===+，若1||2,OP <<则||的取值范围是 （ ▲ ）A．B．C．D 10．若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m N n N =++++++=∈∈，则集合A中的元素个数是（ ▲ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．已知0,0x y >>，lg 2lg8lg2x y+=，则xy 的最大值是 ▲ . 12．某几何体的三视图如图所示，3cm ，则正视图中的x的值是 ▲ cm ，该几何体的表面积是 ▲ 2cm .13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对任意的正整数n ，均有383n n S S +=+，则1a = ▲ ，公比q = ▲ .14．在ABC ∆中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，S 为ABC ∆的面积.已知4a =，5b =，2C A =，则c = ▲ ，S = ▲ .15．一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是 ▲ .若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的期望为 ▲ .16．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+uu u r uu r uu u r ，()4,25R λμλμ=∈，则双曲线的离心率e 的值是 ▲ .17．设函数2()2152f x x ax a =-+-的两个零点分别为12,x x ，且在区间12(,)x x 上恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分14分）已知0ϕπ≤<，函数2())sin f x x x ϕ=++． （Ⅰ）若6πϕ=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 的最大值是32，求ϕ的值． 19．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，1AB BC CD ===，2DA =，DP ⊥平面ABP ，,O M 分别是,AD PB 的中点.（Ⅰ）求证：//PD 平面OCM ；（Ⅱ）若AP 与平面PBD 所成的角为60o ，求线段PB 的长.20．（本小题满分15分）已知a R ∈，函数2()ln f x a x x=+. （Ⅰ）若函数()f x 在(0,2)上递减, 求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当0a >时，求()f x 的最小值()g a 的最大值；（Ⅲ）设()()(2),[1,)h x f x a x x =+-∈+∞，求证：()2h x ≥.21．（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，离心率为12，直线1y =与C 的两个交点间. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）分别过12F F 、作12l l 、满足12l l //，设12l l 、与C 的上半部分分别交于A B 、两点，求四边形21ABF F 面积的最大值.22．（本小题满分15分）已知函数4()415f x x =+.（Ⅰ）求方程()0f x x -=的实数解；（Ⅱ）如果数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=（n N *∈），是否存在实数c ，使得221n n a c a -<<对所有的n N *∈都成立？证明你的结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，证明：114n S n<≤．参考答案 高三年级数学学科二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）11.112 12. 2 13. 37，2 14.615. 53，6 16. 54 17. 3119(,]106三．解答题（共74分，其中第18题14分，第19-22题每题15分） 18.（本小题满分14分）（Ⅰ）由题意11()cos 2242f x x x =+ ………… 3分 11cos(2)232x π=++………… 5分 由2223k x k ππππ-≤+≤，得236k x k ππππ-≤≤-．所以单调()f x 的单调递增区间为2[,]36k k ππππ--，k Z ∈.………… 8分（Ⅱ）由题意11())cos 2sin 222f x x x ϕϕ=-+， ………… 10分 由于函数()f x 的最大值为32，即221))12ϕϕ-+=， ………… 12分 从而cos 0ϕ=，又0ϕπ≤<，故2πϕ=． ………… 14分19.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）连接BD 交OC 与N ，连接MN .因为O 为AD 的中点，2AD =， 所以1OA OD BC ===.又因为//AD BC ，所以四边形OBCD 为平行四边形， ………… 2分 所以N 为BD 的中点，因为M 为PB 的中点，所以//MN PD . ………… 4分又因为MN OCM ⊂平面，PD OCM ⊄平面，所以//PD 平面OCM . ………… 6分 （Ⅱ）由四边形OBCD 为平行四边形，知1OB CD ==，所以AOB ∆为等边三角形，所以60A ∠=o ， ………… 8分所以BD ==222AB BD AD +=，即AB BD ⊥. 因为DP ⊥平面ABP ，所以AB PD ⊥.又因为BD PD D =I ，所以AB ⊥平面BDP ， ………… 11分 所以APB ∠为AP 与平面PBD 所成的角，即60APB ∠=o ， ………… 13分所以PB =………… 15分 20. （本小题满分15分）（Ⅰ） 函数()f x 在(0,2)上递减⇔(0,2)x ∀∈, 恒有()0f x '≤成立, 而22()0ax f x x -'=≤⇒(0,2)x ∀∈,恒有2a x≤成立, 而21x>, 则1a ≤满足条件. ……4分 （Ⅱ）当0a >时, 22()0ax f x x -'==⇒2x a=()f x 的最小值()g a =22()ln f a a a a =+ ……7分()ln 2ln 0g a a '=-=⇒2a =()g a 的最大值为(2)2g = ……9分（Ⅲ） 当2≥a 时，x a x f x h )2()()(-+==x a x a x)2(ln 2-++ 22()20ax h x a x-'=+-≥ 所以()h x 在[1,)+∞上是增函数，故a h x h =≥)1()(2≥当2<a 时，x a x f x h )2()()(--==x a x a x)2(ln 2--+ 0)1)(2)2((22)(22=-+-=+--='x x x a a x ax x h 解得022<--=ax 或1=x ，()(1)42h x h a ≥=->综上所述： 2)(≥x h ……15分21.（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）易知椭圆过点，所以228113a b+=， ① ………… 2分 又12c a =， ② ………… 3分 222a b c =+， ③ ………… 4分①②③得24a =，23b =，所以椭圆的方程为22143x y +=. ………… 6分 （Ⅱ）设直线1:1l x my =-，它与C 的另一个交点为D .与C 联立，消去x ，得22(34)690m y my +--=， ………… 7分2144(1)0m ∆=+>.AD = ………… 9分又2F 到1l 的距离为d =………… 10分所以2ADF S ∆=. ………… 11分令1t =≥，则21213ADF S t t∆=+，所以当1t =时，最大值为3. ………… 14分 又2212111111()()222ADF ABF FS BF AF d AF DF d AB d S ∆=+⋅=+⋅=⋅=四边形 所以四边形21ABF F 面积的最大值为3. ………… 15分22.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）41()044154f x x x x x x -=⇔=⇒=-=+或；（Ⅱ）存在14c =使得22114n n a a -<<．证法1：因为4()415f x x =+，当(0,1]x ∈时，()f x 单调递减，所以40()15f x <<．因为11a =，所以由14415n n a a +=+得23476,19301a a ==且01n a <≤．下面用数学归纳法证明2211014n n a a -<<<≤． 因为2141011194a a <=<<=≤，所以当1n =时结论成立． 假设当n k =时结论成立，即2211014k k a a -<<<<．由于4()415f x x =+为(0,1]上的减函数，所以2211(0)()()()(1)4k k f f a f f a f ->>>>，从而21241415419k k a a +>>>>，因此212414()()()()()15419k k f f a f f a f +<<<<，即22214140()()115419k k f a a f ++<≤<<<≤．综上所述，对一切*n N ∈，2211014n n a a -<<<≤都成立， 即存在14c =使得22114n n a a -<<． ……10分 证法2：11114111415414444444415n n n n n n a a a a a a ++++---+==-++++，且11134420a a -=+ 144n n a a ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是以320为首项，14-为公比的等比数列. 所以113144204n n n a a --⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭.易知0n a >，所以当n 为奇数时，14n a >；当n 为偶数时，14n a < 即存在14c =，使得22114n n a a -<<.（Ⅲ）证明：由（2），我们有221411194n n a a -≤<<≤，从而12n a a a n +++≤.设14n n b a =-，则由14415n n a a +=+得11114(1)433n n n n b b b a +==<++. 由于123333,,4761204b b b ==-=，因此n =1，2，3时，120n b b b +++>成立，左边不等式均成立．当n >3时，有212132233376011412041()1()33n b b b b b b -+++>++=++≥--， 因此1214n a a a n +++>．从而1214n n a a a n <+++≤．即114nS n<≤． ……15分 解法2: 由（Ⅱ）可知01n a <≤，所以113(,]444n n b a =-∈- 11144415416n n n n n b b a a b ++-=-==++，所以11(1,0)416n n n b b b +-=∈-+所以2120n n b b -+>所以当n 为偶数时，120n b b b +++>L ；所以当n 为奇数时，121()0n n b b b b -++++>L 即104n S n ->.(其他解法酌情给分)。
(完整版)2017年江苏省高考数学试卷
精心整理2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a 的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F （E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f （x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2=AP?AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E （X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2017?江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．2．（5分）（2017?江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．3．（5分）（2017?江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：184．（5分）（2017?江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2．【考点】EF：程序框图．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．5．（5分）（2017?江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．6．（5分）（2017?江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2?2R=2πR3．则==．故答案为：．7．（5分）（2017?江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：8．（5分）（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．9．（5分）（2017?江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8= 32．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．10．（5分）（2017?江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【考点】7F：基本不等式．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．11．（5分）（2017?江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，]．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．12．（5分）（2017?江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=3．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n （m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．13．（5分）（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1]．【考点】9R：平面向量数量积的运算；7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）?（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．14．（5分）（2017?江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8二.解答题15．（14分）（2017?江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG∥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．16．（14分）（2017?江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最大值﹣2．17．（14分）（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l 1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l2的斜率k1=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F 1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l 1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．18．（16分）（2017?江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC 于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC?平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos，根据正弦定理得：=，∴sin，cos，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．19．（16分）（2017?江苏）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k +a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．﹣1（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．【考点】8B：数列的应用．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；﹣1（2）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②由①可知：a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．20．（16分）（2017?江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f （x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2017?江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2=AP?AB．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2=AP?AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017?江苏）已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），则=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．［选修4-5：不等式选讲］24．（2017?江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【考点】7F：基本不等式；R6：不等式的证明．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【必做题】25．（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．26．（2017?江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E （X）＜．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P （A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==?（）==，∴E（X）＜．参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；沂蒙松；whgcn；cst；qiss；maths；双曲线；danbo7801；豫汝王世崇；铭灏2016；zhczcb；sxs123（排名不分先后）菁优网2017年6月11日。
2017年高考文科数学全国卷(全国ⅠⅡ Ⅲ卷)共三套试卷试题真题含答案
数学试卷 第1页（共46页） 数学试卷 第2页（共46页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷1文科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟考生注意：1．答卷前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,监考员将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2A x x =<，{}|320B x x =->，则（ ） A .3|2A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭IB .A B =∅IC .3|2A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭UD .A B =R U2.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为1x ，2x ，……，n x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A .1x ，2x ，……，n x 的平均数B .1x ，2x ，……，n x 的标准差C .1x ，2x ，……，n x 的最大值D .1x ，2x ，……，n x 的中位数3.下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A .2(1)i i +B .2(1)i i -C .2(1)i +D .(1)i i +4.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B .π8C .12D .π 45.已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A的坐标是(1,3)，△APF 的面积为（ ）A .13B .1 2C .2 3D .326.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A .B .C .D .-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_____________ ____________________________________________________数学试卷 第3页（共46页） 数学试卷 第4页（共46页）7.设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值为（ ）A .0B .1C .2D .38.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）A .B .C .D .9.已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则（ ） A .()f x 在(0,2)单调递增B .()f x 在(0,2)单调递减C .()y f x =的图像关于直线1x =对称D .()y f x =的图像关于点(1,0)对称10.下面程序框图是为了求出满足321000nn->的最小偶数n ，个空白框中，可以分别填入（ ）A .1000A ＞和1n n =+B .1000A ＞和2n n =+C .1000A ≤和1n n =+D .1000A ≤和2n n =+11.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，2a =，c =C =（ ）A .π12B .π6C .4D .π312.设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A .(0,1][9,)+∞UB .[9,)+∞UC .(0,1][4,)+∞UD .[4,)+∞U二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量)2(–1,=a ，)1(,m =b .若向量+a b 与a 垂直，则m =________. 14.曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为______________. 15.已知π(0)2α∈，，tan 2α=，则πcos ()4α-=__________.16.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为________.数学试卷 第5页（共46页） 数学试卷 第6页（共46页）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=o ，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积.19.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min ，从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16经计算得119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78ii x x i =--=-∑，其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅.（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）.（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑，0.09≈.20.（12分）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程. 21.（12分）已知函数2()()xxe ef x a a x =--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_________________________________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共46页） 数学试卷 第8页（共46页）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la . 23.[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数2()4f x x ax =-++，g()|1||1|x x x =++-. （1）当1a =时，求不等式()g()f x x ≥的解集；（2）若不等式()g()f x x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷1文科数学答案解析一、选择题 1．【答案】A【解析】由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<，选A .2.【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B 3.【答案】C【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数，选C . 4.【答案】B【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积π2S =，则对应概率ππ248P ==，故选B .5.【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D .6.【答案】A【解析】由B ，AB MQ ∥，则直线AB ∥平面MNQ ；由C ，AB MQ ∥，则直线AB ∥平面MNQ ；由D ，AB NQ ∥，则直线AB ∥平面MNQ .故A 不满足，选A . 7.【答案】D【解析】如图，目标函数z x y =+经过(3,0)A 时最大，故max 303z =+=，故选D .数学试卷 第9页（共46页） 数学试卷 第10页（共46页）8.【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 201cos2y =>-，排除A ，故选C .9.【答案】C【解答】解：Q 函数()ln ln(2)f x x x =+-，(2)ln(2)ln f x x x ∴-=-+，即()(2)f x f x =-，即()y f x =的图象关于直线1x =对称，故选：C ． 10.【答案】D【解析】由题意选择321000n n ->，则判定框内填1000A ≤，由因为选择偶数，所以矩形框内填2n n =+，故选D . 11.【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即πsin (sin cos )sin()0C A A C A +=+=，所以3π4A =.由正弦定理sin sin a c A C =得23πsin 4=1sin 2C =，得π6C =，故选B . 12.【答案】A【解析】当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M满足120AMB ∠=o，则tan 60ab ≥o≥01m <≤；当3m >，焦点在y轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab ≥=o ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A .二、填空题 13.【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ， 因为()0+=g a b a ，所以(1)230m --+⨯=解得7m =14.【答案】1y x =+ 【解析】设()y f x = 则21()2f x x x'=-所以(1)211f '=-=所以在(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+.15. 【解析】π(0,)2α∈Q ，tan 2α=，sin2cos αα∴=，22sin cos 1αα+=Q，解得sinα=，cos α=πππcos()cos cos sin sin 444ααα∴-=+=，16.【答案】36π【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB 因为,SA AC SB BC == 所以,OA SC OB SC ⊥⊥因为平面SAC ⊥平面SBC数学试卷 第11页（共46页） 数学试卷 第12页（共46页）所以OA ⊥平面SBC 设OA r =3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以31933r r =⇒=所以球的表面积为24π36πr = 三、解答题17.【答案】（1）(2)n n a =- （2）1n S +，n S ，2n S +成等差数列.【解析】（1）设等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，则332628a S S ==--=--，则31228a a q q -==，328a a q q-==， 由122a a +=，2882q q--+=，整理得2440q q ++=， 解得：2q =-，则12a =-，1(2)(2)(2)n n n a =--=﹣-. （2）由（1）可知：11(1q )1[2(2)]13n n n a S q +-==-+--， 则211[2(2)]3n n S ++=-+-，321[2(2)]3n n S ++=-+-，由231211[2(2)][2(2)]33n n n n S S +++++=-+--+-=12114(2)(2)[](2)(2)3n n ++-+-⨯-+-⨯-111142(2)2(2(2)33[][)]n n ++=-+⨯-=⨯-⨯+-2n S =，即122n n n S S S +++=所以1n S +，n S ，2n S +成等差数列.18.【答案】（1）90BAP AB PA ∠=︒⇒⊥Q ，90CDP CD PD ∠=︒⇒⊥AB CD Q ∥，PA PD P =I ，AB PAD ∴⊥平面 AB PAD ⊂Q 平面PAB PAD ∴平面⊥平面（2）6+【解析】（1）见答案（2）由（1）知AB PAD ⊥平面，90APB ∠=︒Q ，PA PD AB DC ===.取AD 中点O ，所以OP ABCD ⊥底面，,OP AB AD =，1833P ABCDV AB AB -∴=⨯= 2AB ∴=AD BC ∴==，2PA PD AB DC ====，POPB PC ∴===11112222PAD PAB PDC PBC PA PD PA PB DC PD BC S S S S S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯∴=+++V V V V 侧111122222222226=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+ 19.【答案】（1）0.18-（2）（i ）需要对当天的生产过程进行检查. （ii ）均值为10.02，标准差约为0.09. 【解析】（1）16()(8.5)0.18ixx i r --==≈-∑因为||0.25r ＜，所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（2）（i ）39.9730.2129.334x s -=-⨯=，39.9730.21210.636x s +=+⨯=所以合格零件尺寸范围是（9.334，10.606），显然第13号零件尺寸不在此范围之内， 因此需要对当天的生产过程进行检查． （ii ）剔除离群值后，剩下的数据平均值为169.22169.979.2210.021515x -⨯-==，数学试卷 第13页（共46页） 数学试卷 第14页（共46页）0.09s =≈.20.【答案】（1）1 （2）7y x =+【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ， 则2221212121214414ABx xy y x x K x x x x --+====-- （2）设200(,)4x M x ，则C 在M 处的切线斜率'00112AB y K K x x x ====- 02x ∴=，则()12,1A ，又AM BM ⊥，22121212121111442222AM BM x x y y K K x x x x ----==----g g g()()()121212222411616x x x x x x +++++===-即()12122200x x x x +++= 又设AB ：y x m =＋，代入24x y = 得2440x x m --=124x x ∴+=，124x x m =-48200m =－＋＋7m ∴=故AB ：y x =＋721.【答案】（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增，当0a ＞时，()f x 在(ln )a -∞，上单调递减，在(ln )a +∞，上单调递增， 当0a ＜时，()f x 在(,ln())2a -∞-上单调递减，在(ln())2a -+∞，上单调递增， （2）34]21[,e -.【解析】（1）222()x x x x f x e e a a x e e a a x =-=-（）--， 222(2)()x x x x f x e ae a e a e a ∴'==-+-（）﹣，①当0a =时，()0f x '＞恒成立，()f x ∴在R 上单调递增.②当0a ＞时，20x e a +＞，令()0f x '=，解得ln x a =， 当ln x a ＜时，()0f x '＜，函数()f x 单调递减， 当ln x a ＞时，()0f x '＞，函数()f x 单调递增，③当0a ＜时，0x e a -＜，令()0f x '=，解得ln()2a x =-，当ln()2ax -＜时，()0f x '＜，函数()f x 单调递减，当ln()2ax -＞时，()0f x '＞，函数()f x 单调递增.综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增，当0a ＞时，()f x 在(ln )a -∞，上单调递减，在(ln )a +∞，上单调递增， 当0a ＜时，()f x 在(,ln())2a-∞-上单调递减，在(ln())2a -+∞，上单调递增， （2）①当0a =时，2()0x f x e =＞恒成立，②当0a ＞时，由（1）可得2()()ln 0min f x f lna a a ==-≥，ln 0a ∴≤，01a ∴≤＜.③当0a ＜时，由（1）可得：223()(ln(-))ln(-)0242mina a af x f a ==-≥，3ln(-)24a ∴≤，3420e a ∴≤﹣＜，综上所述a 的取值范围为34]21[,e -. 22.【答案】（1）(3,0)和(,2125)4225- （2）16a =-或8a =【解析】（1）当1a =-时，14,:1,x t L y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），L 消参后的方程为430x y +-=，数学试卷 第15页（共46页） 数学试卷 第16页（共46页）曲线C 消参后为221x y y +=，与直线联立方程221,430,x y y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩椭圆C 和直线L 的交点为(3,0)和(,2125)4225-.（2）L 的普通方程为440x y a +--=， 设曲线C 上任一点为()3cos ,sin P θθ，由点到直线的距离公式，d =，d=，max d =∴()max5sin 417aθϕ+--=，当()sin 1θϕ+=时最大，即5417a --=时，16a =-， 当()sin 1θϕ+=-时最大，即917a +=时，8a =， 综上：16a =-或8a =.23.【答案】（1）(1.（2）a 的取值范围是[]1,1-.【解析】（1）当1a =时，21()4a f x x x ==-++时，，是开口向下，对称轴为12x =的二次函数，2,1,()112|,1,|12,1,x x g x x x x x x ⎧⎪=++-=-⎨⎪--⎩＞≤≤＜当(1)x ∈+∞，时，令242x x x ++=-，解得x =，()g x 在(1)+∞，上单调递增，()f x 在(1)+∞，上单调递减，此时()()f xg x ≥的解集为(1；当,1[]1x ∈-时，()2g x =，()(1)2f x f ≥-=．当(1)x ∈-∞，-时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且(1)(1)2g f -=-=．综上所述，()()fx g x ≥的解集为(1； （2）依题意得：242x ax -++≥在[]1,1-恒成立，即220x ax -≤-在[]1,1-恒成立，则只需221120,(1)(1)20,a a ⎧--⎨----⎩g ≤≤解得11a -≤≤， 故a 的取值范围是[]1,1-．数学试卷 第17页（共46页） 数学试卷 第18页（共46页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
(完整word版)2017全国三卷理科数学高考真题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．2 C ．2 D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．63B ．33C ．23D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r=λAB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【湖北省黄冈中学年】2017届高三上学年期10月月考数学年(理科)试题
湖北省黄冈市2017年3月高考模拟文科数学试卷答 案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1~5．DDBCC 6~10．BBABA 11~12．DA二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．） 13．2 14．195 15．3- 16．7825三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）π()1cos 2sin()16f x x a x x a ωωω=+++=+++ 因为函数()f x 在R 上的最大值为2， 所以32a +=，故1a =-．（2）由（1）知：π()2sin()6f x x ω=+， 把函数π()2sin()6f x x ω=+的图象向右平移π6ω个单位，可得函数()2sin y g x x ω==． 又∵()y g x =在π[0,]4上为增函数， ∴()g x 的周期2ππT ω=≥，即2ω≤，∴ω的最大值为2． 18．解：（1）由频率=频数总数，得到140.07n =，解得200n =，∴14280.3200a ++=，解得18a =，∵1428403681034200a b ++++++++=， ∴12b =．（2）∵30a b +=，且8a ≥，6b ≥，∴由14281034a b ++++＞，得2a b +＞， (,)a b 的所有结果为(8,22)，(9,21)，(10,20)，(11,19)，(12,18)，(13,17)，(14,16)，(15,15)，(16,14)，(17,12)，(18,12)，(19,20)，(20,10)，(21,9)，(22,8)，(23,7)，(24,6)共17组，其中2a b +＞的有8组，∴数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率817P =． 19．解：（1）结论：A 、D 、E 、F 四点不共面．理由如下：∵延长DA ，CB 交于P 点， ∴DA 与BC 不平行， 又∵EF BC ∥， ∴EF 与AD 不平行， ∴A 、D 、E 、F 四点共面；（2）由1AB BC ==，2BD =，得60ADB ∠=︒，AD CD =又P 点在底面ABCD 的射影恰为AD 的中点Q ，可得平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △32PO =， 又E 为线段PB 的中点，∴E 到平面ABCD 的距离为34．122sin60122ABCQ ADB CDB CDO S S S S =+-=⨯︒-︒=△△△．∴13(12334E ABCQ V -=⨯-⨯=20．解：（Ⅰ）设圆C 的半径为r （0r ＞），依题意，圆心坐标为(2,)r ．∵||3MN =，∴2223()22r =+，解得2254r =， 故圆C 的方程为22525(2)()24x y -+-=． （Ⅱ）把0x =代入方程22525(2)()24x y -+-=，解得1y =或4y =，即点(0,1)M ，(0,4)N ．（1）当AB y ⊥轴时，由椭圆的对称性可知ANM BNM ∠=∠． （2）当AB 与y 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为1y kx =+．联立方程22128y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得，2(12)460k x kx ++=﹣. 设直线AB 交椭圆Γ于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点， 则122412k x x k -+=+，122612x x k -=+．∴12121212121212443323()0AN BN y y kx kx kx x x x k k x x x x x x -----++=+=+==， ∴ANM BNM ∠=∠． 综上所述，ANM BNM ∠=∠．21．解：（1）由()(2)ln 23f x x x x =-+-，1x ≥，求导2()ln 3f x x x'=-+，（1x ≥）， 则()0f x '＞恒成立，则函数()f x 在[1,)+∞为增函数， 由()(1)1f x f ''≥=，故()(x 2)ln 23f x x x =-+-在[1,)+∞为增函数，又由(1)10f =-＜，(2)10f =＞， ∴函数()f x 在[1,)+∞上有唯一的零点；（2）(1)()()ln a x g x x a x x -=-+，2g ()ln 1a ax x x x '=+-+，在[1,)+∞上恒成立， 由1x =，显然成立，则2(ln 1)1x x a x +≤-在[1,)+∞上恒成立，令2(ln 1)()1x x h x x +=-，(1,)x ∈+∞，则a 小于h x （）的x 在区间(1,)+∞上的最小值，求导2[(2)ln 23]()(1)x x x x h x x -+-'=-，由（1）可知()(x 2)ln 23f x x x =-+-在[1,)+∞为增函数， 故()f x 在[1,)+∞上由唯一的零点m ， 由(1.60)0.012f =，(1.59)0.00860f =-＜则(1.59,1.60)m ∈，()(m 2)ln 230f m m m =-+-=，则23ln 2m m m-=-， 由当(1,m)x ∈，()0h x '＜，()h x 在(1,]m 为减函数，(m,)x ∈+∞，()0h x '＞，()h x 在[m,)+∞为增函数，故当x m =，()h x 有最小值22(ln 1)()12m m mh m m m+==--，令2(0.4,0.41)m t -=∈，则()h x 最小值有，22(2)44123632412364(,) 6.17210041510041m t t m t t -==+-∈++≈-，∴()h x 的最小值大约在61764．～．之间， 故整数a 的最大值为6．22．解：（1）曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），x ，y 平方相加可得：222x y +=，① （2）直线lsin()104πθ-+=化为普通方程为：10x y -+=，②由②得：1y x =+，③把③带入①得：22210x x +-=，∴1212112x x x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴12|||AB x x -==23．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，()|1||21|f x x x =-+-，|1||21()22|f x x x -+-≤⇒≤，上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或121212x x x ⎧⎪⎨⎪-+-≤⎩＜＜1或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ 解得120x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或1122x x ⎧⎪⎨⎪≤⎩＜＜或143x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩．（3分） ∴102x ≤≤或112x ＜＜或413x ≤≤，∴原不等式的解集为4{|0}3x x ≤≤．（Ⅱ）∵()|21|f x x ≤-的解集包含1[,1]2，∴当1[,1]2x ∈时，不等式()|21|f x x ≤+恒成立，即|1||22||11|x x x -+-≤+在1[,1]2x ∈上恒成立，∴|1|21||21x x x -+-≤+，即||2x a -≤，∴22x a -≤-≤，∴22x a x -≤≤+在1[,1]2x ∈上恒成立，…（8分） ∴max min (2)(2)x a x -≤≤+，∴512a -≤≤， 所以实数a 的取值范围是5[1,]2-． …（10分）湖北省黄冈市2017年3月高考模拟文科数学试卷解析1．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据A∩B=B，即可判断集合B的范围，可得答案．【解答】解：由题意：集合A={x|0＜x＜2}，∵A∩B=B，∴B⊆A，2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得Z所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵=，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．3．【考点】循环结构．【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．∴输出S=20.4．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．5．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由函数y=x﹣sinx的单调性，即可判断①；由若p则q的逆否命题：若非q则非p，即可判断②；由复合命题“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，结合充分必要条件的定义即可判断③；由全称命题的否定为特称命题，即可判断④．【解答】解：①由y=x﹣sinx的导数为y′=1﹣cosx≥0，函数y为递增函数，若x＞0，则x＞sinx恒成立，故①正确；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”，由逆否命题的形式，故②正确；③“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，则“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故④不正确．综上可得，正确的个数为3．6．【考点】正弦定理的应用．【分析】通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．【解答】解：∵△ABC中，，∴根据正弦定理得∴7．【考点】极差、方差与标准差．【分析】由于数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，我们根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入xn+1后，数据的变化特征，易得到答案．【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，而xn+1为世界首富的年收入则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大8．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据OM⊥PF，且FM=PM判断出△POF为等腰直角三角形，推断出∠OFP=45°，进而在Rt△OFM 中求得半径a和OF的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：∵OM⊥PF，且FM=PM∴OP=OF，∴∠OFP=45°∴|0M|=|OF|•sin45°，即a=c•∴e==9．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，判断函数的图象即可．【解答】解：当x=﹣1时，y=﹣1+＜0，排除A，C；当x=2时，y=32﹣2e2＞32﹣18＞0，排除D，10【考点】三角形中的几何计算；两点间距离公式的应用．【分析】由题意，以CB和CA建立直角坐标系，可得AB直线方程，P是线段AB上的点，设P（x，y），P到AC，BC的距离的乘积的最大值即为xy的最大值．利用基本不等式求解即可．【解答】解：以CB和CA建立直角坐标系，BC=3，AC=4，即A（0，4），B（3，0）．可得AB直线方程为：4x+3y=12．P是线段AB上的点，设P（x，y），P到AC，BC的距离的乘积的最大值即为xy的最大值．即xy==3，当且仅当4x=3y是取等号．∴P到AC，BC的距离的乘积的最大值为3．11．【考点】数列递推式．【分析】x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），可得x3=|x2﹣x1|=|a﹣1|=1﹣a，x1+x2+x3=1+a+（1﹣a）=2；xn+3=xn 对于任意正整数n均成立，可得数列{xn}的周期为3，即可得出．【解答】解：∵x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），∴x3=|x2﹣x1|=|a﹣1|=1﹣a，∴x1+x2+x3=1+a+（1﹣a）=2；xn+3=xn对于任意正整数n均成立，∴数列{xn}的周期为3，数列{xn}的前2016项和S2016的值=672×2=1344．12．【考点】函数恒成立问题．【分析】分别讨论当﹣1≤x≤1时，当x＞1或x＜﹣1，f（x）的奇偶性和单调性，可得f（x）为R上的奇函数，且为减函数．由题意可得（m+1）x﹣1＜0，设g（m）=（m+1）x﹣1，m∈[﹣3，2]，由g（﹣3）＜0，g（2）＜0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：当﹣1≤x≤1时，f（x）==﹣=﹣3+，由y=2x在[﹣1，1]递增，可得f（x）在[﹣1，1]递减；且f（﹣x）===﹣f（x），即f（x）为奇函数；当x＞1或x＜﹣1，f（x）=﹣（x3+3x），f（﹣x）=（x3+3x）=﹣f（x），f（x）为奇函数；且f′（x）=﹣（3x2+3）＜0，即有f（x）为递减函数．f（﹣1）=1，f（1）=﹣1，则f（x）为R上的奇函数，且为减函数．则任意的m∈[﹣3，2]，总有f（mx﹣1）+f（x）＞0恒成立，即有f（mx﹣1）＞﹣f（x）=f（﹣x），可得mx﹣1＜﹣x，即为（m+1）x﹣1＜0，设g（m）=（m+1）x﹣1，m∈[﹣3，2]，则g（﹣3）＜0，g（2）＜0，即﹣2x﹣1＜0，3x﹣1＜0，解得﹣＜x＜．13．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积与模长公式，列出方程求出||的值．【解答】解：向量满足，且与的夹角为120°，∴=﹣4•+4=1﹣4×1×||cos120°+4=21，化简得2+||﹣10=0，解得=2或﹣（小于0，舍去）；∴||=2．14．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】由题意，意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？是一个等差数列的问题．设人数为n，公差为1，首项为3．求前n项和等于100n，可得答案．【解答】解：设人数为n，公差为1，首项为3．则前n项和．由题意：Sn=100n，即，解得：n=195．15．已知x，y满足，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为﹣3．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数等于直线在y轴的截距最大值求z 的最大值．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：当直线y=2x+z经过图中的A时，z最大，由得到A（3，3），所以z=﹣2×3+3=﹣3；16．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=56，那么可以估计π≈．（用分数表示）【考点】模拟方法估计概率．【分析】由试验结果知200对0～1之间的均匀随机数x，y，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为﹣，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．【解答】解：由题意，200对都小于l的正实数对（x，y），对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为﹣，因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m=56，所以=﹣，所以π=．17．【考点】三角函数的最值；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）把向量=（1+cosωx，1），=（1，a+sinωx）（ω为常数且ω＞0），代入函数f（x）=整理，利用两角和的正弦函数化为2sin（ωx+）+a+1，根据最值求实数a的值；（2）由题意把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）的图象，利用y=g（x）在[0，]上为增函数，就是周期≥π，然后求ω的最大值．18．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由频率=，能求出a，b的值．（2）由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2，由此利用列举法能求出所求概率．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）利用三角形中位线定理及BC与AD不平行可得A．D．E、F四点共面；（2）由已知通过求解三角形求得PQ，得到E到底面的距离，再求出四边形ABCQ的面积，代入体积公式求得四棱锥E﹣ABCQ的体积．20.【考点】直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r 的值，可得圆C的方程．（Ⅱ）把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得KAB+KBN=0，可得∠ANM=∠BNM．21．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导，由f′（x）＞0则[1，+∞）恒成立，则f（x）在[1，+∞）为增函数，由f（1）=﹣1＜0，f（2）=1＞0，函数f（x）在[1，+∞）上有唯一的零点；（2）求导，分离参数，则a≤在[1，+∞）上恒成立，构造辅助函数，求导，由（1）可知，a 小于h（x）的x在区间（1，+∞）上的最小值，根据函数的单调性，求得函数的h（x）的最小值的取值范围，即可取得整数a的最大值．22．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）把参数方程中的x，y平方相加即可得普通方程；（2）把直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0化为普通方程为：x﹣y+1=0，然后根据弦长公式计算即可．23．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≤2，即有或或，解不等式即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立．即有（x﹣2）max≤a≤（x+2）min．求得不等式两边的最值，即可得到a的范围．- 11 - / 11。
2017年高考数学真题(含答案)
2017年高考数学真题（含答案）本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()21x f x =-的定义域为 A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A ．33 B ．32 C ．233 D ．2635．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ． 2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）． （ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=； （Ⅱ）若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面P AB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当P A ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。
【湖北省黄冈中学】2017届高三上学期10月月考数学(理科)试卷(附答案与解析)
{=|A B x x∈A B=(．∅．设m、n2x y 的最大值是20162016b x ++．已知向量(cos ,sin a α=(cos ,sin b β=，则a 与a b +的夹角为 B ．61na ++，则，1AF AB =，1CE CA =，1BD BC =，则D E D F 的12n na +++=12n n a +++=1222n na n +++=+，12n n a -++=12n +=⇒2n n +++⨯()21n ++-，12n +++-)2124n ++．）证明：设FC 的中点为GI IH I =，∴GIH 面GH ABC ∥面）解：连接OO 故()(2,2,0,0,1,BC BF =--=-设(),,n x y z =是平面BCF 的一个法向量，则2n BC x n BF y ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，则(3,n =-又平面ABC 的一个法向量(OO'0,0,='7,'7'n OO n OO n OO ==， O 的余弦值为()1e ln 2ln3ln 2ln 1ln nn n n ++>++-+++-{A B=x|x ∈，{|B y =AB A =⋂故选：B ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．n α，则m m α，故A m β，βα⊥α或m ⊂αm α，故B 错误． β⊥，n ⊥，则m α⊥，正确．n ⊥，n ⊥⊂α或m α，故D7．【考点】简单线性规划．，解得：，即赋值为即可．20162016b x ++【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设向量与的夹角为【解答】解：∵向量(cos ,sin a α=，(cos ,sin b β=，设向量a 与b 的夹角为∴()2a ab a a b 1cos +=+=+θ，222222cos a b a a b b θ+=++=+()1cos cos ,22cos a a ba a ba ab ++++==+0π， ∴a 与a b +的夹角3π． ． 【考点】余弦函数的对称性．11a ⎛++ -⎝11n a ⎛++ -⎝，1AF AB =，1CE CA =，1BD BC =，所以：1,DE ⎛=- ，1,DF ⎛=- 所以：311DE DF ⋅=-+=- 故答案为：14-1612n n a +++=122n n a +++=， 12n n a -++=12n +=⇒2n n +++⨯()21n ++-，12n +++-2+故()(2,2,0,0,1,BC BF =--=-设(),,n x y z =是平面BCF 的一个法向量，则2n BC x n BF y ⎧⋅=-⎪⎨⋅=-+⎪⎩，则(3,n =-又平面ABC 的一个法向量(OO'0,0,='7,'7'n OO n OO n OO ==， O 的余弦值为71,2,，由累加法﹣在（()1ln 2ln3ln 2ln 1ln ne n n n ++>++-+++-。
(完整版)2017全国3卷数学
2017年普通高等学校招生全国统一考试（3卷）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={}22(,)1x y x y +=│，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为（ ）. A ．3 B ．2 C ．1 D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=（ ）.A ．12B ．22C ．2D ．2 3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）.A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大学*科网致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4.(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 （ ）.A. -80B. -40C. 40D. 805.已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为（ ） A. 221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是（ ）. A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减 7.执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）.A ．5B ．4C ．3D ．28.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）.A. πB. 3π4C. π2D. π49.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）.A. -24B. -3C. 3D. 810.已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切， 则C 的离心率为（ ）.D.1311.已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =（ ）. A.12- B.13 C.12D.1 12. 在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值 为（ ）.A.3C.D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学上学期11月周考试题文
湖北省枣阳市第七中学2017届高三年级上学期11月周考考数学（文科）试题时间：120分钟 分值150分_第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，且n β⊂，则下列叙述正确的是（ ）A ．若//m n ，m α⊂，则//αβB ．若//αβ，m α⊂，则//m nC ．若//m n ，m α⊥，则αβ⊥D ．若//αβ，m n ⊥，则m α⊥2．三棱锥S ﹣ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（ ）A ．211B ．163C 38．23．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．2483B ．16123C ．24123D ．484．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为（ ）A.30B.45C.60D.905．圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4480C x y x y +-+-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离6．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E F ，，且22EF =，则下列结论中错误的是（ ） A ．三棱锥A BEF -的体积为定值B ．//EF 平面ABCDC. 直线AB 与EF 所成的角为定值D ．异面直线AE BF ，所成的角为定值7．在四面体S ABC -中，,2,2,SB 6AB BC AB BC SA SC ⊥=====则该四面体外接球的表面积是（ ）A ．86πB ．6πC ．24πD ．6π8．如下图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）A ．112AB =，3AB =，113BC =，4BC =B． E MB E DE q ua ti on .D S MT 4111A B =，E M E Dqu atC ．111A B =，2AB =，1132B C =，3BC =，112A C =，4AC = D ．11AB A B =，11BC B C =，11CA C A = 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．3 B ．2 C.433 D ．23 10．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为1S 、2S 、3S ，则（ ） A ．123S S S << B ．123S S S >> C ．213S S S << D ．213S S S >> 11．以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y -+-=B ．22(1)(1)5x y +++=C ．22(1)5x y -+=D ．22(1)5x y +-= 12．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中直线1BC 与平面11BB D D 所成角的余弦值是（ ） A.33 B.22 C.3 D.3评卷人 得分二、填空题 13．已知平面//α平面β，P α∉且P β∉，试过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B D ，且6PA =，9AC =，8PD =，则BD 的长为___________.14．已知直线l ：043=++m y x （0>m ）被圆C ：062222=--++y x y x 所截的弦长是圆心C 到直线l 的距离的2倍，则=m . 15．半径为R 的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是____________．16．已知ABC ∆为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线2AD =，将ABC ∆沿AD 折成60的二面角，连结BC ，则三棱锥C ABD -的体积为__________.评卷人得分 三、解答题17．（本题12分）一个四棱锥的三视图如图所示．（1）求证：PA ⊥BD ；（2）在线段PD 上是否存在一点Q ，使二面角Q －AC －D 的平面角为30°？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．（本题12分）直线34120x y -+=与坐标轴的交点是圆C 一条直径的两端点． （I ）求圆C 的方程；（II ）圆C 的弦AB 长度为21且过点1(1,)2，求弦AB 所在直线的方程． 19．（本题12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥ 底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,,,3,2,5AB DC AB AD AB CD PD AD ⊥====,E 是PD 上一点.（1）若PB 平面ACE ,求PE ED的值; （2）若E 是PD 的中点, 过点E 作平面α平面PBC ,平面α与棱PA 交于F ,求三棱锥P CEF -的体积.20．（本题12分）已知点()()(),0,0,4,4A a B b a b >>,直线AB 与圆22:4430M x y x y +--+=相交于,C D 两点, 且2CD =,求．（1）()()44a b --的值；（2）线段AB 中点P 的轨迹方程；（3）ADP ∆的面积的最小值．21．（本题12分） 一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行31的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．（1）求该几何体的体积V ；（2）求该几何体的表面积S ．22．（本题12分）如图，在四棱锥A CDFE -中，四边形CDFE 为直角梯形，//,,CE DF EF FD AF ⊥⊥平面 CEFD ，P 为AD 的中点，12EC FD =． （1）求证：//CP 平面 AEF ；（2）设2,3,4EF AF FD ===，求点F 到平面 ACD 的距离．答案选择：1_5 CDCBD 6_10 DDC CA 11_12 AC填空：13．245或24 14．915．1：216．23317．（1）详见解析（2）DQ DP ＝14． 试题解析：（1）由三视图可知P －ABCD 为四棱锥，底面ABCD 为正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ．因为BD ⊥AC ，BD ⊥PO ，所以BD ⊥平面PAC ，即BD ⊥PA ．18．（I ）22235(2)()()22x y ++-=（II ）210y -=或3450x y +-= 19．（1）32（2）251820．（1）()()448a b --=；（2）()()()2222,2x y x y --=>>；（3）426+．21．（1）3；（2）623+．22．（1）见解析，（2）634 试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）利用棱锥的体积公式Sh V 31=求体积．（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化．（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算．试题解析：（1）证明：（方法一）设线段FD 的中点为Q ，连接PQ CQ 、．∵P 为AD 的中点，∴//PQ AF ∵12EC FD =，且//EC FD ，∴四边形CEFQ 为平行四边形，∴//CQ EF ． 又,CQ PQ Q AF EF F ==，∴平面 //PCQ 平面AEF ． ∵CP ⊂平面 PCQ ，∴//CP 平面 AEF ．（方法二）设线段AF 的中点为G ，连接PG EG 、．∵P 为AD 的中点，∴//PG FD ，且12PG FD =．又∵12EC FD =，且//EC FD ，∴//PG EC ，∴四边形GECP 为平行四边形，∴//PC EG ．∵EG ⊂平面 ,AEF PC ⊄平面 AEF ，∴//CP 平面 AEF。
江苏省连云港市赣榆区2017届高三数学下学期周考4
4． 现有 1 000 根某品种的棉花纤维，从中随机抽取 50 根，纤维长度（单位：mm）的数据分 组及各组的频数见右上表，据此估计这 1 000 根中纤维长度不小于 37.5 mm 的根数是 ▲ ．
5． 100 张卡片上分别写有 1，2，3，„，100．从中任取 1 张，则这张卡片上的数是 6 的倍 数的概率是 ▲ ．
2 时，数列 an 是等差数列．
数学Ⅱ（附加题） 21． 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A． （本小题满分 10 分） 如图，已知△ABC 内接于⊙O，连结 AO 并延长交⊙O 于点 D， ACB ADC ． 求证： AD BC 2 AC CD ． B． （本小题满分 10 分）
9． 已知 an 是公差不为 0 的等差数列， Sn 是其前 n 项和．若 a2a3 a4a5 ， S9 27 ，则 a1 的 值是 ▲ ．
2 2 2 2
10． 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 C1 ： x 4 y 8 1 ， 圆 C2 ： x 6 y 6 9 ． 若圆心在 x 轴上的圆 C 同时平分圆 C1 和圆 C2 的圆周，则圆 C 的方程是 ▲ ．
-5-
23． （本小题满分 10 分）
a2 ， ， an 经 m 次变换后得到数组 bm ，1 ， n N* ．有序数组 a1 ， 设 n≥2 ， bm ，2 ， ， bm ，n ，
其中 b1，i ai ai 1 ，bm ，i bm1，i bm1，i 1（ i 1，2， ，n） ，an1 a1 ，bm1，n1 bm1，1 ( m≥2) ．
17年高考数学真题高考题(3套)
2017年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅰ(文数)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2017·全国Ⅰ卷,文1)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( A )(A)A∩B=（x|x<错误!未找到引用源。
）(B)A∩B=(C)A∪B=（x|x<错误!未找到引用源。
）(D)A∪B=R解析:B={x|3-2x>0}=（x|x<错误!未找到引用源。
）,A∩B=（x|x<错误!未找到引用源。
）,故选A.2.(2017·全国Ⅰ卷,文2)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( B )(A)x1,x2,…,xn的平均数(B)x1,x2,…,xn的标准差(C)x1,x2,…,xn的最大值(D)x1,x2,…,xn的中位数解析:标准差衡量样本的稳定程度,故选B.3.(2017·全国Ⅰ卷,文3)下列各式的运算结果为纯虚数的是( C )(A)i(1+i)2(B)i2(1-i)(C)(1+i)2(D)i(1+i)解析:(1+i)2=2i,故选C.4.(2017·全国Ⅰ卷,文4)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( B )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
解析:不妨设正方形的边长为2,则正方形的面积为4,圆的半径为1,圆的面积为πr2=π.黑色部分的面积为圆面积的错误!未找到引用源。
,即为错误!未找到引用源。
,所以点取自黑色部分的概率是错误!未找到引用源。
山东省武城县2017届高三10月月考数学(理)试题
高三数学（理）月考试题2016.10第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.已知集合2{|450}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则AB =（ ）A.（1，3）B.（1，4）C.（2，3）D.（2，4）2.已知向量(1,2),(0,1),(2,)a b c k ===-，若(2)//a b c +，则k =（ ）A.8B.12C.12-D.－83.下列说法正确的是（ ）A.命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B.若命题2:,10p x R x x ∃∈-+<，则命题2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题D.“2560x x --=”的必要不充分条件是“1x =-”4.已知指数函数()y f x =的图象过点1(,)22，则2log (2)f 的值为（ ）A.12B.12-C.－2D.25.已知：sin()3cos()sin()2πθπθθ++-=-，则2sin cos cos θθθ+=（ ）A.15B.25D.356.不等式|5||1|8x x -++<的解集为（ ）A.(,2)-∞B.(2,6)-C.(6,)+∞D.(1,5)-7.函数ln ||||x x y x =的图象是（ ）8.下列四个命题， 其中正确命题的个数（ ）①若||a b >，则22a b > ②若,a b c d >>，则a c b d ->- ③若,a b c d >>，则ac bd > ④若0a b >>，则c c a b> A.3个B.2个C.1个D.0个9.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记3(2),(3)m a f b f -==，0.5(log 3)c f =，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<10.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(2)()f x f x +=，当11x -≤<时，()sin2f x x π=，若函数()()log ||a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ） A.1(0,](5,)5+∞ B.1(0,)[5,)5+∞C.11(,](5,7)75D.11(,)[5,7)75第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知1233,3()log (6),3x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则(f f 的值为 .12.曲线2sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的封闭图形的面积为.13.若,x y 满足20449x y y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为.14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c，已知b =，sin A C2sin B =，则cos A = .15.如图，点P 从点O 出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系分别记为()y f x =，()y g x =，定义函数(),()()()(),()()f x f x g x h x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，对于函数()y h x =，下列结论正确的是.①(4)h = ②函数()h x 的图象关于直线6x =对称；③函数()h x值域为； ④函数()h x 的单调增区间为(0,5).三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足222()AB AC a b c ⋅=--. （I ）求角A 的大小；（II ）若4a =，ABC ∆的面积为,b c .17.（本小题满分12分）已知向量,m n 的夹角为60°，且||1,||2m n ==，又2,3a m n b m n =+=-+. （I ）求a 与b 的夹角的余弦；（II ）设,c ta b d m n =-=-，若c d ⊥，求实数t 的值.18. （本小题满分12分）已知函数()sin(2))63f x x x ππ=++-. （I ）求()f x 的单调递增区间；（II ）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在2[,]33ππ-上的值域.19. （本小题满分12分）设函数3()3(1),(0)f x x a x b a =-++≠.（I ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （II ）求函数()()3g x f x x =+的单调区间与极值.20. （本小题满分13分）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x 万元时，销售量t 万件满足952(1)t x =-+（其中0x a ≤≤，a 为正常数）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t 万件还需投入成本(102)t +万元（不含促销费用），产品的销售价格定为20(4)t+万元/万件.（I ）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （II ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.21.（本小题满分14分）已知函数()xlnx f x =和2()(1)()g x m x m R =-∈. （I ）1m =时，求方程()()f x g x =的实根；（II ）若对于任意的(1,)x ∈+∞，函数()y g x =的图象总在函数()y f x =图象的上方，求m 的取值范围；（III ）求证：*2224424ln(21)()41142141n n n N n ⨯⨯++⋅⋅⋅+>+∈⨯-⨯-⨯-.。
湖北省襄阳市2017届高三七月第二周周考数学理科试题Word版含答案
湖北省襄阳市襄阳四中2017届高三七月第二周周考数学（理科）试题（7.20）时刻：120分钟 分值150分第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每题5分，共60分） 1．已知集合1|,,11M y y x x R x x ⎧⎫==+∈≠⎨⎬-⎩⎭，集合{}2|230N x x x =--≤，那么（ ） A ．MN =∅ B ．R M C N ⊆C ．R M C M ⊆D ．M N R ⋃=2．复数z 为纯虚数，假设()3i z a i ∴-=+（为虚数单位），那么实数a 的值为（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．﹣ D ．3．以下函数中，既是偶函数，又在（0，∞+）上是单调减函数的是（ ） A ．2xy =- B ．12y x=C ．ln 1y x =+D ．cos y x =4．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，假设它们的中位数相同，平均数也相同，那么图中的m,n 的比值m n＝（ ）A ．1B ．13 C ．29 D ．385．给出以下命题，其中真命题的个数是( ) ①存在0x R ∈，使得007sin cos 2sin 24x x π+=成立;②关于任意的三个平面向量a 、b 、c ，总有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅成立; ③相关系数r (||1r ≤)，||r 值越大，变量之间的线性相关程度越高. A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．由曲线x y =，直线2-=x y 及y 轴所围成的封锁图形的面积为（ ）A ．316 B ．310C ．4D ．6 7．某四面体的三视图如下图，那么该四面体的所有棱中最长的是（ ）A ．B ．C ．D ．58．某程序框图如下图，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 9．将函数f （x ）＝3sin （4x ＋6π）图象上所有点的横坐标伸长到原先的2倍，再向右平移6π个单位长度，取得函数y ＝g （x ）的图象．那么y ＝g （x ）图象的一条对称轴是（ ） A ．x ＝12πB ．x ＝6πC ．x ＝3πD ．x ＝23π 10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右极点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点别离为,B C ，假设,,A B C 三点的横坐标成等比数列，那么双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．22C ．10D ．2311．已知变量x ，y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，那么目标函数z ＝3x －y 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡623-，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1-23-， C ．[]6,1- D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡236-，12．已知函数211,0()2ln(1),0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪--<⎩，假设函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，那么k 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,)+∞第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，总分值20分） 13．设=a 0(sin cos )x x dx π-⎰，假设8822108)1(x a x a x a a ax +⋅⋅⋅+++=-，那么8210a a a a +⋅⋅⋅+++= ．14．在直径AB ＝2的圆上有长度为1的动弦CD ，那么AC BD ⋅的最大值是 ．15．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个极点都在球O 的球面上,假设34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,那么球O 的表面积为________．16．3,2,45,=ABC a b B A ∆==∠=∠中，则_________.三、解答题：解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．共70分.17．（此题12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，知足：2*11,2,n n nS ka ta n n -+=-∈N ≥（其中,k t 为常数）． （1）假设12k =，14t =，数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； （2）假设数列{}n a 是等比数列，求证：k t <．18．（此题12分）某单位员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第组[)25,30，第2组[)30,35,第3组[)35,40,第4组[)40,45,第5组[)45,50，取得的频率散布直方图如下图.（1）下表是年龄的频率散布表，求正整数,a b 的值； 区间 [)25,30[)30,35[)35,40[)40,45[)45,50人数5050a150b（2）此刻要从年龄较小的第1,2,3组顶用分层抽样的方式抽取6人，年龄在第1,2,3组抽取的员工的人数别离是多少？（3） 在（2） 的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有人年龄在第3组的概率.19．（此题12分）如图，在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===, 60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上．（Ⅰ）求证:⊥BC 平面ACFE ；（Ⅱ）当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论； （Ⅲ）求二面角D EF B --的平面角的余弦值．20．（此题12分）已知椭圆的离心率为，且a 2=2b ．（1）求椭圆的方程；（2）直线l ：x ﹣y+m=0与椭圆交于A ，B 两点，是不是存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上，假设存在，求出m 的值；假设不存在，说明理由．21．（此题12分）函数),()(R a a ax e x f x∈+-=其图像与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点，且21x x <. （1）求a 的取值范围；（2）证明：0)('21<x x f ；（)('x f 为)(x f 的导函数；）（3）设点C 在函数)(x f 图像上，且△ABC 为等腰直角三角形，记,1112t x x =--求)1(1--t a ）（的值. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，若是多做，那么按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．22．（此题10分）选修4—1: 几何证明选讲如图，P 是圆O 外一点，PA 是圆O 的切线，A 为切点，割线PBC 与圆O 交于B ，C ，PA PC 2=，D 为PC 中点，AD 的延长线交圆O 于点E ，证明：OPED CBA（Ⅰ）EC BE =； （Ⅱ）22PB DE AD =⋅．23．（本小题总分值10分）【选修4一4：坐标系与参数方程】已知在直角坐标系x0y 中，曲线1C：sin cos x y θθθθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数），在以平面直角坐标系的原点）为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：sin()16πρθ+=．（1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，别离求这三个点的极坐标． 24．（此题10分）选修4—5: 不等式选讲 已知,,a b c R ∈，且2221a b c ++=． （Ⅰ）求证：a b c ++≤（Ⅱ）假设不等式()211x x a b c -++≥++对一切实数,,a b c 恒成立，求x 的取值范围．参考答案 1．D 【解析】试题分析：1111[3,)(,1]11y x x M x x =+=-++∴=+∞-∞---；{}2|230[1,3]N x x x =--≤=-，因此{1,3}MN =-，(3,)(,1)R C N M =+∞-∞-⊂，(1,3)R C M M =-⊂，M N R ⋃=，应选D.考点：集合包括关系【名师点睛】此题重点考查集合间关系，容易犯错的地址是审错题意，由求函数值域，易轻忽小于零的情形，致使错求集合M.属于大体题，难点系数较小.一要注意培育良好的答题适应，幸免显现粗心错误，二是明确集合题要关注区间端点开与闭，强化对集合关系正确的明白得. 2．D【解析】试题分析：设复数,0z bi b =≠,()3i z a i ∴-=+，化为()3i bi a i -=+，即3b bi a i +=+，13b a ∴==， 应选D. 3．A 【解析】试题分析：B ，C 是非奇非偶函数，D 不是恒单调递减，应选A ． 考点：函数单调性与奇偶性． 4．D 【解析】试题分析：由茎叶图可知乙的中位数是3323432=+，甲、乙两组数据中位数相同因此3=m ，因此甲的平均数为333273339=++，甲、乙两组数据平均数也相同，因此33420383432=++++n 解得8=n ，因此m n ＝38考点：由茎叶图求中位数及平均数． 5．B【解析】 试题分析：因为sin cos 2sin 24x x x π⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭，72sin 2sin 2244ππ>=，故①为假命题，关于②向量的数量积不知足结合律，故为假命题，③由相关性判定方式可知，为真命题，综上可知，真命题的个数为，应选Ｂ．考点：命题真假判定． 6．A 【解析】试题分析：由2y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得4,2x y ==，故面积为()324420021622323|x x x dx x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭⎰．考点：定积分． 7．B 【解析】试题分析：此题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案． 解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC 为俯视图中的直角三角形，∠BAC 为直角， 其中AC=3，AB=4，BC=5，PB ⊥底面ABC ，且PB=4， 由以上条件可知，∠PBC 为直角，最长的棱为PC ， 在直角三角形PBC 中，由勾股定理得，，应选：B考点：由三视图求面积、体积． 8．A 【解析】试题分析：依照流程图所示的顺序，程序的运行进程中各变量值转变如下表： 是不是继续循环 S K 循环前/0 0第一圈 是 1 1 第二圈 是 3 2 第三圈 是 11 3 第四圈 是 2059 4 第五圈 否∴最终输出结果k=4，故答案为A ． 考点：程序框图． 9．C 【解析】试题分析：横坐标伸长到原先的两倍，取得3sin(2)6y x π=+，再向右移动6π取得3sin(2)6y x π=-，注意到sin(2)136ππ⋅-=，故对称轴为3x π=．考点：三角函数图象变换． 10．C【解析】由题意，(,0)A a ．双曲线的渐近线方程为by x a=±． 由()y x a b y x a =--⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2B a x a b =+；由()y x a by x a =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得2C a x a b =-． 由题意2BA C x x x =，即222()a a a a b a b=⨯+-，整理得3b a =． 因此10c a =，故10e =．应选C ．【命题用意】此题要紧考查双曲线的性质和直线方程、等比数列等基础知识，考查大体的运算能力等． 11．A【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线22,24,41x y x y x y +=+=-=-围成的区域，极点为()()10,1,2,0,,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，目标函数z ＝3x －y 在点1,32⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值32-，在点()2,0处取得最大值6 362z ∴-≤≤ 考点：线性计划问题 12．C 【解析】试题分析：()()0,()F x f x kx f x kx =-==，画出函数图象如以下图所示．令22211,412y x y x =+-=，这是双曲线的一支，其渐近线方程为12y x =±．由图象可知，渐近线12y x =与()f x 图象只有一个交点．令''01ln(1),,|11x y x y y x ==--==-，故函数ln(1)y x =--在()0,0处的切线方程为y x =．从而()f x kx =的k 的取值范围是1(,1)2．考点：1．函数导数；2．零点问题．【思路点晴】零点问题一种解法是变成两个函数图象的交点，如此题中的()()F x f x kx =-的零点问题，转化为()f x kx =左右两边函数图象有两个交点．咱们只需要画出函数图象，就能够够解决那个问题．在函数的第一段中，22211,412y x y x =+-=，由此可知该图象为双曲线的一支，其渐近线方程为12y x =±．另一段求取其过()0,0的切线方程，k 的范围就在这两条直接的斜率之间． 13． 【解析】试题分析：依照题意可知，00(sin cos )(cos sin )|a x x dx x x ππ=-=--⎰2=，因此8210a a a a +⋅⋅⋅+++88(1)(12)1a =-=-=．考点：定积分，二项展开式．14．12【解析】试题分析：以AB 的中点为原点，AB 所在的直线为x 轴成立平面直角坐标系x y O ，如下图：连结C O 和D O ，那么D C 3π∠O =，设C α∠BO =（02απ≤<），那么()1,0A -，()1,0B ，()C cos ,sin αα，D cos ,sin 33ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此()C cos 1,sin ααA =+，D cos 1,sin 33ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫B =+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此()1C D cos 1cos 1sin sin cos cos 3332πππαααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫A ⋅B =++-++=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1311cos sin 22262πααα⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭，因为02απ≤<，因此13666πππα≤+<，因此当362ππα+=，即43πα=时，()()max11C D 1122A ⋅B =-⨯--=，因此答案应填：12． 考点：一、任意角的三角函数；二、平面向量的坐标运算；3、两角和与差的余弦公式；4、辅助角公式；五、三角函数的图象与性质． 15．169π 【解析】试题分析：由以下图可知，球心在O 的位置，球的半径为22252514416962444R ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，故表面积为24169R ππ=．考点：球的内接几何体．【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x ，常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求；而其它不规那么图形的外心，可利用正弦定理来求．假设长方体长宽高别离为,,a b c 那么其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点．直棱柱；有一条棱垂直于一个面的棱锥，设高为h 其外接球半径R 公式秒杀公式2222h R x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．16．3π或23π【解析】试题分析：据正弦定理可求出角B 的正弦值，进而取得其角度值．2345b a B ==∠=︒，，，依照正弦定理可得：323b sinA A sinA sinB a π∴=∴∠=＝或23π. 考点：正弦定理．17．（1）115a =+；（2）证明观点析． 【解析】试题分析：（1）已知条件是2111124n n n S a a -+=-，这种问题一样都是再写一次即21111124n n n S a a +++=-，两式相减变形后可得12n n a a +-=，注意那个地址有2n ≥，但由于数列{}n a 是等差数列，因此也有212a a -=，代入已知212211124a a a +=-可求得1a ；（2）与（1）相同方式得2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥，由数列{}n a 是等比数列，可设1n n a qa +=，代入化简得2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，下面对此式分析，第一0q >，1q ≠，{}n a 不是常数列，如此此式对2n ≥恒成立，必有0t =，恒等式变成10kq k -+=，不能得出什么有效结论，回到已知条件，已知变成11n n S ka -∴+=-，此式中，10,0n n a S ->>，那么只能有0k <，命题得证．试题解析：（1）由题意知，21111(*)24n n n S a a -+=-，21111124n n n S a a ++∴+=-，两式相减，得：22111111(2)2244n n n n n a a a a a n +++-=-≥， 整理，得：11()(2)0(2)n n n n a a a a n +++--=≥，0n a >，12(2)n n a a n +∴-=≥，数列{}n a 是等差数列，212a a ∴-=， 由(*)得：212211124a a a +=-，115a ∴=±10a >，115a =；（2）由211n n n S ka ta -+=-得2111n n n S ka ta +++=-，两式相减，得：2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥，设等比数列{}n a 的公比为q ，∴222n n n n n a kqa ka tq a ta +-=-，2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，由已知，可知0q >，∴1q ≠，{}n a 不是常数列，0t ∴=；11n n S ka -∴+=-，而0n a >且10n S ->，0k ∴<， k t ∴<．考点：等差数列与等比数列的概念．18．（1）200a =，50b =（2）人，人，4人. （3） 1415【解析】试题分析：（1）由频数等于总数乘以频率，而频率等于纵坐标乘以组距，因此0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=（2）由分层抽样知，按比例抽取：第，2组的人数为5061300⨯= ，第3组的人数为20064300⨯= （3） 从这6人中随机抽取2人共有15种方式，其中年龄没人在第3组的有1种方式，因此至少有人年龄在第3组有14种方式，从而所求概率为1415试题解析：解：（1）由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=.（2）因为第1,2,3组共有5050200300++=人，利用分层抽样在300名员工中抽取6名员工，每组抽取人数别离为：第组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=.因此第1,2,3组别离抽取人，人，4人.（3） 设第组的位员工为A ，第2组的位员工为B ，第3组的4位员工为1234,,,C C C C ，那么从六位员工为员工中的两位员工有：()()()()()()()()()12341234,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A C A C A C B C B C B C B C ()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,C C C C C C C C C C C C 共15种可能.其中2人年龄都不在第3组的有：(),A B ，共种可能.因此至少有人年龄在第3组的概率为11411515-=.考点：分层抽样，古典概型概率【方式点睛】古典概型中大体事件数的探求方式 （1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的大体事件的探求.关于大体事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采纳树状图法.（3）列表法：适用于多元素大体事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. （4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数量较多的题目. 19．（Ⅰ）证明观点析；（Ⅱ）EM =；【解析】试题分析：（Ⅰ）依照已知条件，易患在等腰梯形ABCD 中，AC BC ⊥；又 平面ACFE ⊥平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE ；（Ⅱ）设AC BD N ⋂=，连接FM ，当M 为EF 中点时，//AM FN ，从而//AM BDF 平面；（Ⅲ）以C 为坐标原点，,,CA CB CF 别离为,,x y z 轴成立空间直角坐标系，求出平面BEF 和平面DEF的法向量，从而求得cos θ=． 试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，CD AB // ，︒=∠===60,ABC a CB DC AD 四边形ABCD 是等腰梯形，且︒︒=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA ︒=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACBBC AC ⊥∴ 又 平面⊥ACFE 平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE（Ⅱ）当a EM 33=时，//AM 平面BDF ， 在梯形ABCD 中，设N BD AC =⋂，连接FN ，那么2:1:=NA CNa EM 33=，而a AC EF 3== 2:1:=∴MF EM ， AN MF //∴，∴四边形ANFM 是平行四边形，NF AM //∴又⊂NF 平面BDF ，⊄AM 平面BDF //AM ∴平面BDF 分B（Ⅲ） 由(Ⅰ)知,以点C 为原点，CF CB CA ,, 所在直线为坐标轴,成立空间直角坐标系,那么)0,0,0(C ,)0,,0(a B ， )0,0,3(a A ，),0,0(a F ，),0,3(a a E),,0(a a FB -=→)0,0,3(a EF -=),2,23(a aa DF -=平面BEF 的法向量)1,1,0(=m ，平面EFD 的法向量为n =（0，-2，1）， 因此1010||||,cos -=⋅⋅>=<n m n m n m 又∵二面角B-EF-D 的平面角为锐角，即D EF B --的的余弦值为1010．考点：空间向量与立体几何．20．（1）；（2）实数m 不存在，理由观点析【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而取得椭圆方程； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0）．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M 的坐标，代入圆的方程，解方程可得m ，进而判定不存在．解：（1）由题意得e=，a 2=2b ，a 2﹣b 2=c 2，解得a=，b=c=1故椭圆的方程为；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 线段AB 的中点为M （x 0，y 0）． 联立直线y=x+m 与椭圆的方程得， 即3x 2+2mx+m 2﹣2=0，△=（2m ）2﹣4×3×（m 2﹣2）＞0，即m 2＜3，x 1+x 2=﹣，因此x 0=，y 0=x 0+m=，即M （﹣，）．又因为M 点在圆x 2+y 2=5上，可得（﹣）2+（）2=5，解得m=±3与m 2＜3矛盾． 故实数m 不存在． 考点：椭圆的简单性质．21．（1）2a e >；（2）证明观点析；（3）2. 【解析】试题分析：（1）()'xf x e a =-,当0a ≤时，函数单调递增，不符合题意；当0a >时，要函数图像与x 轴有两个交点，那么需要极小值小于零且区间端点函数值大于零，由此可求得2a e >；（2）先将,A B 两点的坐标代入函数中，求出a 的值，然后求出12'(f x x 的表达式，利用导数证明那个表达式是单调递减的，由此可证明120f x x <；（3）依照已知条件有()()1221211x x eax x +=--，利用等腰三角形求出C 的坐标，代入函数解析式，化简后求得1(1)2a t --=（）. 试题解析：（1）∵f （x ）=e x﹣ax+a ，∴()f x '=e x﹣a ，若a≤0，那么()f x '＞0，那么函数f （x ）是单调增函数，这与题设矛盾． ∴a ＞0，令()f x '=0，那么x=lna ，当()f x '＜0时， x ＜lna ，f （x ）单调减， 当()f x '＞0时，x ＞lna ，f （x ）是单调增函数，于是当x=lna 时，f （x ）取得极小值，∵函数f （x ）=e x﹣ax+a （a∈R）的图象与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），∴f （lna ）=a （2﹣lna ）＜0，即a ＞e 2，现在，存在1＜lna ，f （1）=e ＞0，存在3lna ＞lna ，f （3lna ）=a 3﹣3alna+a ＞a 3﹣3a 2+a ＞0，又由f （x ）在（﹣∞，lna ）及（lna ，+∞）上的单调性及曲线在R 上不中断，可知a ＞e 2为所求取值范围．（2）∵12120x x e ax a e ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴两式相减得2121x x e e a x x -=-．记212x x s -=（0s >）， 则()121221212221222x x x x x x s s x x e e ef e s e e x x s ++-+-⎛⎫⎡⎤'=-=--⎪⎣⎦-⎝⎭， 设g （s ）=2s ﹣（e s﹣e ﹣s），那么g'（s ）=2﹣（e s+e ﹣s）＜0，∴g （s ）是单调减函数，那么有g （s ）＜g （0）=0，而12202x x es +>，∴1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭． 又f'（x ）=e x﹣a是单调增函数，且122x x +>∴0f '<．（3）依题意有0i xi e ax a -+=，那么()10i xi a x e -=>⇒x i ＞1（i=1，2）．于是122x x e+=，在等腰三角形ABC 中，显然C=90°，∴()12012,2x x x x x +=∈， 即y 0=f （x 0）＜0，由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-，∴21002x xy -+=，即()1221212022x x x x aex x a +--+++=，∴()2112022x x ax x a --+++=，即()()()()21121111022x x ax x -----+-+=⎡⎤⎣⎦∵x 1﹣1≠0，那么2211111110212x x x a x --⎛⎫---++= ⎪-⎝⎭t =， ∴()()22111022a at t t -++-=，即211a t =+-，∴（a ﹣1）（t ﹣1）=2． 考点：函数导数与不等式.【方式点晴】这是一个综合性很强的题目，解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处置．简单的分类讨论分类标准要紧依照需要来制定. 22．（Ⅰ）证明观点析；（Ⅱ）证明观点析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）连接,AB AC ，那么PA PD =，故PAD PDA ∠=∠，依照弦切角等于同弦所对的圆周角，可退出BE EC =，因此BE EC =；（Ⅱ）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2，由相交弦定理得：DC BD DE AD ⋅=⋅，代入已知条件，化简得22AD DE PB ⋅=．试题解析：（Ⅰ）证明：连接AB ，AC ,由题设知PD PA =， 故PDA PAD ∠=∠因为：DCA DAC PDA ∠+∠=∠，PAB BAD PAD ∠+∠=∠， 由弦切角等于同弦所对的圆周角：PAB DCA ∠=∠，因此：BAD DAC ∠=∠，从而弧BE =弧EC ，因此：EC BE =OPED CBA（Ⅱ）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2，因为DC PD PA ==， 因此：PB DC 2=，PB BD = 由相交弦定理得：DC BD DE AD ⋅=⋅ 因此：22PB DE AD =⋅ 考点：几何证明选讲．23．（1）224x y +=，20x +-=；（2）11π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π23⎛⎫⎪⎝⎭，．【解析】试题分析：此题要紧考查参数方程与一般方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离、两直线间的距离等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将曲线1C 的方程平方，利用平方关系，消去参数θ，取得曲线1C 的一般方程，将曲线2C 的方程利用两角和的正弦公式展开，再利用sin y ρθ=，cos x ρθ=代换，取得曲线2C 的直角坐标方程；第二问，结合第一问知，曲线1C 为圆，曲线2C 为直线，画出图形，通过图形分析得这三个点别离在平行于直线2C 的两条直线1l ，2l 上，通过直线的位置取得直线1l 和直线2l 的方程，再与圆的方程联立，取得三个点E 、F 、G 的坐标．试题解析：（1）由题意，得2222223cos sin 23sin cos 3sin cos 23sin cos x y θθθθθθθθ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩，，∴曲线1C 的一般方程为224x y +=．∵曲线2C ：π31sin sin cos 1622ρθρθρθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴曲线2C 的直角坐标方程为320x y +-=．（2）∵曲线1C 为圆1C ，圆心1(0,0)C ，半径为2r =，曲线2C 为直线， ∴圆心C 1到直线2C 的距离1d =，∵圆1C 上恰好存在三个不同的点到直线2C 的距离相等， ∴这三个点别离在平行于直线2C 的两条直线1l ，2l 上， 如下图，设1l 与圆1C 相交于点E ，F ， 设2l 与圆1C 相切于点G ，∴直线1l ，2l 别离与直线2C 的距离为211r d -=-=， ∴1l ：30x +=， 2l ：340x -=．由22430x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，得31x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，或31x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，，即(31)E -，，(31)F ，；由224340x y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，，得13x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，，即(13)G ，， ∴E ，F ，G 这三个点的极坐标别离为11π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π23⎛⎫ ⎪⎝⎭，．考点：参数方程与一般方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离、两直线间的距离． 【方式点睛】参数方程与一般方程的互化：把参数方程化为一般方程，需要依照其结构特点，选取适当的消参方式，常见的消参方式有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的一般方程(,)0F x y =化为参数方程的关键：一是适被选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的转变范围．24．（Ⅰ）证明观点析；（Ⅱ）33(,][,)22-∞-⋃+∞． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由于2222222()2()a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++≤++222222()3222a b b c c a ++++++=，因此3a b c ++≤；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式|1||1|3x x -++≥，利用零点分段法去绝对值，可求得x 的取值范围是33(,][,)22-∞-⋃+∞． 试题解析：（Ⅰ） 因为,,a b c R ∈，且2221a b c ++=，因此2222222222222222222()2()()2222()3a b b c c a a b c a b c ab bc ca a b c a b c a b c +++++=+++++≤+++++=+++++= 因此2()3||3a b c a b c ++≤⇒++≤a b c ==时取得等号方式2：由柯西不等式2222222()(111)()3||3a b c a b c a b c ++≤++++=⇒++≤（Ⅱ）由（Ⅰ）可知假设不等式|1||1|3x x -++≥，=++-=|1||1|x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤-1211212x x x x x从而解得33(,][,)22-∞-⋃+∞考点：不等式选讲．。
【河北省衡水中学】2017届高三上学期第20周周测(理)数学试卷
河北省衡水中学2017届高三上学期第20周周测（理）数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}2|320A x x x =+->，集合{}|22x B x =<，则A B I 等于（ ） A ．()1,3B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1-2．若复数3iia z a +=+在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是（ ） A ．4-B ．3-C ．1D ．23．已知双曲线()222104x y b b-=>，则该双曲线的焦距为（ ）A ．B ．C ．6D ．84．若()π2sin 3sin π3θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan θ等于（ ）A ．BCD ． 5．已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球，现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为（ ） A ．34B ．35C ．45D ．7106．规带数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不小于30，改女子所需的天数至少为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 7．如图是一个程序框图，则输出的n 的值是（ ） A ．29B ．31C ．61D ．638．已知函数()()π2sin 10,2f x x w ωϕϕ⎛⎫=++>≤ ⎪⎝⎭，其图像与直线1y =-相邻两个焦点的距离为π，若()1f x >对ππ,123x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A ．ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．ππ,62⎛⎤ ⎥⎝⎦9．命题1:,4p a ⎛⎫∃∈-∞- ⎪⎝⎭，使得函数()1a f x x x =++在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，命题:q 函数()2log g x x x=+在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上无零点，则下列命题中真命题的是（ ）A ．p ⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝10．某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积的比值为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．4511．过点()2,0P -的直线与抛物线2:4C y x =相较于,A B 两点，且12PA AB =，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为（ ） A ．53B ．75C ．97D ．212．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，若不等式()()3232f x x a f x x a-++-+-()21f ≥对恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．23,127⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．23,127⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．(],1-∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．13．已知12e ,e u r u u r 是不共线的向量，1212e 2e ,e e a b n =+=-r u r u u r r u r u u r 且0mn ≠，若a b r r ∥，则mn=________．14．()52221x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数为__________．15．如果实数,x y 满足条件201020x y x x +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则y z x a =+的最小是为12，则正数a 的值为_________．16．数列{}log k n a 是首项为4，公差为2的等差数列，其中0k >，且1k ≠，设lg n n n c a a =，若{}n c 中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在ABC △中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且满足5cos cos 4c a B b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）若2sin ,105A a b =+=，求a ；（2）若5b a ==，求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）某告诉毕业班甲乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定的；（2）以上述数据统计的甲乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假如甲乙两名同学在同一次周练中，甲乙两名同学失分均超过15分的此时X 的分布列和均值． 19．（本小题满分12分）如图，矩形CDEF 和梯形ABCD 互相垂直190,,2BAD ADC AB AD CD BE DF ∠=∠===⊥o ．（1）若M 为EA 的中点，求证：AC ∥平面MDF ； （2）求平面EAD 与平面EBC 所成锐角二面角的大小．20．（本小题满分12分）已知焦距为的椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为1F ，上顶点D ，直线1DF 与椭圆的另一交点为H ，且117DF F H =．（1）求椭圆C 的方程；（2）点A 是椭圆C 的右顶点，过点()1,0B 且斜率为()0k k ≠的直线与椭圆C 相交于,E F 两点，直线,AE AF 分别交直线3x =于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k '，求证：k k '•为定值．21．（本小题满分12分）已知函数()()()212221ln 2f x x a x a x =-+++． （1）若曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线的斜率小于0，求()f x 的单调区间；（2）对任意的[]()121235,,,1,2,22a x x x x ⎡⎤∈∈≠⎢⎥⎣⎦，恒有()()121211f x f x x x λ-<-，求正数λ的取值范围．22．在极坐标系中，已知三点()ππ0,0,2,,24O A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求经过点,,O A B 的圆1C 的极坐标方程；（2），以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程1cos (1sin x a y a θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为是参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值． 23．设函数()21f x x x =+--． （1）求不等式()1f x >的解集；（2）若关于x 的不等式()412f x m +≥-有解，求实数m 的取值范围． 24．已知函数()()311ln ,12f x x ax a x a =-+->． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意()1212,0,,x x x x ∈+∞≠，有()()12121f x f x x x ->--．。