2019年高考数学一轮复习 极坐标系

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几个特殊位置的直线的极坐标方程：
π ＋ α ①直线过极点且与极轴所成的角为 α：θ＝α 和 θ＝ ； ②直线过点(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝ a ；
π ③直线过点(a，2)且平行于极轴：ρsin θ＝ a . (2)圆的极坐标方程：圆心为(ρ1，θ1)，半径为 r 的圆的极
答案: B
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(
3．曲线的极坐标方程 ρ＝4sin θ 化成直角坐标方程为 ) A．x2＋(y＋2)2＝4 B．x2＋(y－2)2＝4 C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4
解：因为 ρ2＝4ρsin θ，所以 x2＋y2＝4y，即 x2＋(y－2)2 ＝4.
答案：B
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π 4．在极坐标系中，过点(3，3)且垂直于极轴的直线方程 为( ) 3 A．ρcos θ＝2 3 C．ρ＝2cos θ 3 B．ρsin θ＝2
3 D．ρ＝2sin θ 1 3 解：方程为 ρcos θ＝3×2，即 ρcos θ＝2.
答案：A
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π 5．(2017· 天津卷)在极坐标系中，直线 4ρcos(θ－6)＋1 ＝0 与圆 ρ＝2sin θ 的公共点的个数为 .
π 解：由 4ρcos(θ－6)＋1＝0 得 2 3ρcos θ＋2ρsin θ＋1 ＝0，故直线的直角坐标方程为 2 3x＋2y＋1＝0. 由 ρ＝2sin θ 得 ρ2＝2ρsin θ，故圆的直角坐标方程为 x2＋y2＝2y，即 x2＋(y－1)2＝1.圆心为(0,1)，半径为 1.
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4π 2．将点 M 的极坐标(4， 3 )化为直角坐标为( A．(2,2 3) C．(2 3，2) B．(－2，－2 3) D．(－2 3，－2)
)
4π 1 解：x＝4cos 3 ＝4×(－2)＝－2， 4π y＝4sin 3 ＝－2 3，所以直角坐标为(－2，－2 3)．
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.
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1．把点 P 的直角坐标(1，－1)化为极坐标为( π A．( 2，4) 5π C．( 2， 4 ) 3π B．( 2， 4 ) 7π D．( 2， 4 )
)
解：ρ＝ 12＋－12＝ 2，tan θ＝－1， 7π 又点(1，－1)在第四象限，所以取 θ＝ 4 ，故选 D.
答wenku.baidu.com：D
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2．极坐标与直角坐标的互化 (1)互化前提是：直角坐标系的原点作为 极点 ，x 轴 的正半轴作为 极轴 ，两坐标系中取 相同的单位长度 . (2)互化公式： ρcos θ ①x＝ ②ρ2＝ ，y＝ ，tan θ＝
ρsin θ
.
.
3．曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程：若直线过点 M(ρ0，θ0)，且与极 轴所成的角为 α，则它的极坐标方程为 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0 －α)．
第十一单元
第81讲
选考内容
极坐标系
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1．了解坐标系的作用，了解极坐标的基本概念，能 在极坐标系中用极坐标刻画点的位置， 能进行极坐标与直 角坐标的互化． 2．能在极坐标系中给出简单的图形表示的极坐标方 程．
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1．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫作 极点 ，自 极点 O 引一条射线 Ox，叫作 极轴 ，再选定一个长度单位， 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)， 这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：设 M 是平面内的一点，极点 O 与点 M 的距 离|OM|叫作点 M 的 极径 ，记作 ρ，以极轴 Ox 为始边，射 线 OM 为终边的∠xOM 叫作点 M 的 极角 ，记作 θ.有序数对 (ρ，θ)叫作点 M 的 极坐标 ，记作 M(ρ，θ) . 一般地， 不作特殊说明时， 我们认为 ρ≥0， θ 可取任意实数．
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【变式探究】
1．化下列极坐标方程为直角坐标方程 ，并判断它们表 示什么曲线． π (1)ρcos(θ－6)＝1； (2)4sin2θ＝3.
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π π π 解：(1)因为 ρcos(θ－6)＝ρ(cos θcos6＋sin θsin6) 3 1 ＝ 2 ρcos θ＋2ρsin θ， 又因为 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， 3 1 所以该方程化为直角坐标方程为 2 x＋2y＝1， 即 3x＋y－2＝0. 表示斜率为－ 3，在 y 轴上的截距为 2 的直线． (2)因为 4sin2θ＝3，所以 4ρ2sin2θ＝3ρ2， 又因为 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， 所以直角坐标方程为 4y2＝3(x2＋y2)，即 y2＝3x2， 即 y＝± 3x，其图象是两条直线．
极坐标的综合问题
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考点一· 极坐标与直角坐标的互化
【例 1】(1)将直角坐标方程(x－3)2＋y2＝9 化为极坐标方 程； (2)将极坐标方程 ρ＝sin θ＋2cos θ 化为直角坐标方程， 并 说明它表示什么曲线．
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解：(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入方程得 (ρcos θ－3)2＋(ρsin θ)2＝9，化简得 ρ2＝6ρcos θ， 即 ρ＝0 或 ρ＝6cos θ， 因为 ρ＝0 表示极点，包含在 ρ＝6cos θ 中， 所以所求的极坐标方程为 ρ＝6cos θ. (2)因为 ρ 不恒为零，方程两边同乘 ρ 得 ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， 化为直角坐标方程为 x2＋y2＝y＋2x， 12 5 2 即(x－1) ＋(y－2) ＝4. 1 5 这是以(1，2)为圆心，半径为 2 的圆．
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因 为 圆 心 到 直 线 2 3 x ＋ 2y ＋ 1 ＝ 0 的 距 离 d ＝ |2×1＋1| 3 ＝4＜1，所以直线与圆相交，有两个公共点． 2 2 2 3 ＋2
答案：2
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极坐标与直角坐标的互化
极坐标背景下处理有关解析几何 问题
2 坐标方程为：ρ2－2ρ1ρcos(θ－θ1)＋(ρ2 － r )＝0. 1
几个特殊位置的圆的极坐标方程： ①圆心在极点，半径为 r：ρ＝ π ③圆心在 C(a，2)，半径为 a：ρ＝
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r
；
②圆心在 C(a,0)，半径为 a：ρ＝ 2|a|cos θ ；
2|a|sin θ