高等数学 线性代数 随机变量的分布函数

对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有：
X
x
分布函数具有以下基本性质： 1 0 F ( x) 1 2 F ( x)是x的单调非减函数 3 F () lim F ( x) 0， F () lim F ( x) 1
x x
4 F ( x 0) F ( x)
即F ( x)是右连续的
• 注：满足这四个性质的函数，一定可以 作为某个随机变量的分布函数.
用分布函数求概率
（1）落入一个左开右闭的区间内的概率：
（2）落入一个左闭右开的区间内的概率：
用分布函数求概率
（3）落入一个开区间内的概率：
（4）落入一个半开的区间内的概率：
例 1 设随机变量 X 的分布律如下， 求 X 的分布 函数.
经济数学基础
概率论与数理统计
第七讲 随机变量的分布函数
第四节 随机变量的分布函数
在实际问题中我们常常对随机变量的值落入 某个集合感兴趣，比如：
这为此我们引入随机变量的分布函数的定义, 因为根据分布函数可以很容易地求出这些概率。
分布函数定义
定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数 称为随机变量 X 的分布函数． 分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个实数轴。 在几何上，它表示随机变量X落在实数x左边的概率
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F ( x)
xk x
p
k
对所有满足xk x的k求和。
对离散随机变量的分布函数应注意：
(1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的;
(3) 其间断点即为X的可能取值点;
(4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
例2 已知离散型随机变量 X 的分布函数为
X pk -1 1/4 2 1/2 3 1/4
解：X的取值将x轴分成四部分：
当实数 x 落入不同的部分时，事件｛X≤x｝包含不同 的取值，因此我们将对不同情况讨论。 （1）当 x<-1 时：
（2）当 －1≤x<2
时：
（3）当 2≤x<3 时：
（4）当 x≥3
时：
1
。
。
-1 0 1
。
2 3 x
类似地我们可以求如下概率：
分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 处有跳跃， 恰为这值的概率： pk=P{X= xk}.
其跳跃值
pk=P{X= xk}=F(xk)-F(xk-0).
1
。 。
-1 0 1
。பைடு நூலகம்
2 3 x
一般地，设离散型随机变量X的分布函数为
PX xk pk， k 1， 2，
求 X 的分布律。
解 X 的可能取值为 3，4，5，求出在每个节点处的跃度即可。
所以 X 的分布律为