第四章 点直线和平面的投影资料

§1 点的投影1.1 点的三个投影1.1.1 三个投影之间的位置关系a点A的水平投影a'点A的正面投影a"点A的侧面投影规定：空间点用大写字母表示，点的三个投影都用同一个小写字母表示，其中：H 投影不加撇，V 投影加一撇，W 投影加两撇将投影面展开得点的正投影图1.1.2 点的投影和坐标的关系点的每个投影反映两个坐标：V 投影反映高标和横标，H 投影反映纵标和横标，W 投影反映高标和纵标。

小结:点的投影规律1)V、H 两投影都反映横标，且投影连线垂直X 轴；2)V、W两投影都反映高标，且投影连线垂直Z 轴；3)H、W两投影都反映纵标，投影连线是一条折线。

例：已知点A(30,20,40)，求作三投影。

●a "●a a x 作图步骤O X Z Y HY W a z 304020●a '1.2 两点的相对位置和重影点1.2.1 两点的相对位置根据两点相对于投影面的距离(坐标)不同，即可确定两点的相对位置。

图中A 点的横标小于B 点的横标，点A 在点B 的右方。

同样，可以判断点A 在点B上方；点A 在点B 前方(规定距V 面远为前，距V 面近为后)。

［例1］如图，已知点A 的三投影，另一点B 在点A上方8mm，左方12mm，前方10mm处，求点B的三个投影。

作图步骤：1）在a′左方12mm，上方8mm处确定b′；2）作b′b⊥OX，且在a前10mm处确定b；3）按投影关系求得b″。

［例2］试比较如图所示三棱锥四个顶点S、A、B、C的相对位置。

1.2.2 重影点当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。

点A、B 称为对H面的重影点。

而点C、D 则称为对V 面的重影点。

1.3 各种位置点的投影1.3.1 四分角中的点二一三四第一分角中的点A;第二分角中的点B;第三分角中的点C;第四分角中的点D;一般位置点:空间点的三个坐标值X、Y、Z均不为零，称该点为一般位置点。

一般位置点（X、Y、Z ）1.3.2 特殊位置点:1.投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。

V 面上点（X、0、Z）H 面上点（X、Y、0）W 面上点（0、Y、Z）2.投影轴上点:空间点的坐标值有两个为零。

X轴上点（X、0、0）Y轴上点（0、Y、0）Z 轴上点（0、0、Z）3.原点上的点: （0、0、0）注意:点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。

特殊位置点的投影X特殊位置点的投影§2 直线的投影2.1 各种位置直线⒈一般位置直线⒉投影面平行线⒊投影面垂直线2.1.1 一般位置直线直线与H、V 和W三投影面的夹角分别用α、β、γ表示。

ab=ABcos αa’b’=ABcos βa”b”=ABcos γ一般位置直线投影特性各投影的长度均小于直线本身的实长直线的各投影均不平行于各投影轴b "aa "b 'ba 'XZ Y HY Wb "a "a ba 'b 'XZY HY W b a "aa 'b 'b "X Z Y W水平线Y H1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面的真实倾角。

2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。

侧平线正平线投影特性：与H 面的夹角:α 与V 面的角:β与W 面的夹角: γ实长βγγ实长α实长αβ2.1.2 投影面平行线投影面平行线名称立体图投影图投影特性水平线（∥H）正平线（∥V）侧平线（∥W）(1)a'b'∥OX,a''b''∥OYW；(2)ab=AB；(3)反映夹角α、β大小(1)ab∥OX,a''b''∥OZ；(2)a'b'=AB；(3)反映夹角α、γ大小(1)ab∥OY H,a'b'∥OZ；(2)a''b''=AB；(3)反映夹角α、β大小且垂直于相应的投影轴。

（2）另外两个投影, 反映线段实长，（1）在其垂直的投影面上，投影有积聚性。

投影特性:侧垂线●e 'f 'ef e "(f ")XZ o Y HY W正垂线●c '(d ')cd d "c "XZ o Y HY W铅垂线●a 'b 'a(b)a "b "XZo Y WY H2.1.3 投影面垂直线投影面垂直线名称立体图投影图投影特性铅垂线（⊥H ）正垂线（⊥V ）侧垂线（⊥W ）(1)H投影为一点，有积聚性；(2)a'b'⊥OX,a''b''⊥OYW；(3)a'b'=a''b''=AB(1)V投影为一点，有积聚性；(2)ab⊥OX,a''b''⊥OZ；(3)ab=a''b''=AB(1)W投影为一点，有积聚性；(2)ab⊥OY H,a'b'⊥OZ；(3)ab=a'b'=ABAB、BC为水平线；AC为侧垂线；SB为侧平线；SA、SC为一般位置直线。

AB为正平线；AC为正垂线；AD为铅垂线。

2.2 求线段的实长和倾角本节介绍用直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。

1．求直线的实长及对水平投影面的夹角α角αA BC XOVHb 'a 'abΔZαABabΔZ分析：过A 点作AC ∥ab ，则得到直角三角形ABC 。

在该三角形中AC ＝ab ，BC ＝Bb －Aa ＝ΔZΔZ (A 、B 两点的Z 坐标差)，而∠BAC 即α角，斜边即AB 实长。

αABααABΔZabbΔZXaA BC XOVHb 'a 'b 'a 'abΔZΔZαABabΔZ作图步骤：方法一：以ab为一直角边，以ΔZ为另一直角边，作出直角三角形aB1b，则在该直角三角形中，aB1边长为线段AB的实长，∠baB1为线段AB的α角。

作图步骤：方法一方法二方法二：略直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。

知二求二:任何一个直角三角形都可以找出四个条件,只要知道其中两个条件,就能求出另外两个条件。

实长AB---H 投影长（ab )----Z 坐标差|z A -z B |---α角实长AB---V 投影长（a 'b '）----Y 坐标差|y A -y B |---β角实长AB---W 投影长（a "b "）----X 坐标差|x A -x B |---γ角αABab ΔZ 2.小结：注意对应关系!ΔY βa 'b 'ΔXγa "b "ΔYa 'b 'β例：求直线的实长及对正面投影面的夹角β角。

ABβa'b'ΔY方法一方法二例：求直线的实长及对正面投影面的夹角β角。

a 'ab 'XbABa 'b 'βABβa 'b 'ΔYABβΔYΔY方法一方法二［例］已知线段AB ＝25mm 及其投影ab 和a′，试求该线段的V 投影a′b′。

解：利用ab 和AB ＝25mm ，确定A 、B 两点的高标差bB 1，从而求出b′(有两解) ，或利用ΔY 和AB ＝25mm ，确定a′b′的长度，求出b′。

25ΔYΔY ΔY25ΔYa 'b 'a 'b 'a 'b '2.3 直线上的点2.3.1 直线上的点若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。

如图所示，C∈AB。

反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。

在图中，D、E两点均不满足上述条件，所以，都不在AB直线上。

注意:对于一般位置直线,只要观察两个投影即可确定。

但对于投影面平行线,则应察看直线所平行的那个投影面上的投影。

a"b"●k"abka'b'k'●●X oY HY WZ2.3.2 点分割线段成定比AC/CB =ac/cb= a 'c '/ c 'b '直线上的点分割线段之比等于其投影之比。

即：ABCVHbcc 'b 'a 'aXO［例1］试在AB 线段上取一点C ，使AC∶CB＝1∶2，求:分点C 的投影。

abca 'b 'c 'X C 1B 1分析：分点C 的投影，必在AB 线段的同面投影上，且ac∶cb＝a′c′∶c′b′＝1∶2可用比例作图法作图。

作图步骤：1）过a (或b )任作一直线aB 1（或bB 1)；5）过c 作X 轴的垂线与a′b′交于c′。

则c 、c′即所求分点C 的投影。

2）在aB 1上取C 1，使aC 1∶C 1B 1＝1∶2；3）连接B 1、b ；4）过C 1作C 1c∥B 1b ，与ab 交于c ；a 'k 'b 'abK 1X[例2] 已知直线AB 及点K 的二投影，试判断点K 是否在直线AB 线上。

作图步骤：应用简单比定理A 1K 1。

K 。

K 11）在H 投影上，过b （或a ）任作一条直线bA 1;2) 在bA 1上取bK 1=b 'k ',K 1A 1= k 'a ';3) 连接A 1a ，过K 1作直线平行于A 1a ，与ab 交于k 1；因为已知投影k 与k 1不重合，所以点K 不在直线AB 上。

2.3.3 直线的迹点直线与投影面的交点，称为直线的迹点。

直线与水平投影面的交点称为水平面迹点，用M标注。

与正面投影面的交点称为正面迹点，用N标注。

与侧面投影面的交点称为侧面迹点，用S标注。

迹点投影特点：1）因迹点是直线上的点，所以迹点的投影必在直线的同面投影上。

2）因迹点是投影面上的点，所以迹点的一个投影必在投影轴上。

［例］试求直线AB的M、N迹点。

1）延长a′b′，使之与X 轴交于点m′；2）由m′引X 轴的垂线，与ab的延长线交于m ；3）延长ab，使其与X 轴交于点n ；4）由n 引X 轴的垂线，与a′b′的延长线交于n′。

直线侧面迹点S的求法2.4 两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、相错。

2.4.1 平行两直线空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。

2.4.2 相交两直线若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。