第二章点、直线和平面的投影

投影重合为一点 投影反映线段实长
积聚性
ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=ABcosα
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线
侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
⒈ 投影面垂直面
类为似什么性？
是什么位置
的平面？ a
b
b
类似性
c c a
积聚性
βc
b
γ
a
投影特性：
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直
a
Y
a
YH
|XA-XB|
例：求线段CD的实长及β角
Yd -Yc
c′
c′ β
实长
d′
d′
c c
d
实长
d
直角三角形法要点
1、角度、投影、坐标差和投影之间的对应关系
α角——水平投影——z坐标差——线段实长 β角——正面投影—— y坐标差——线段实长 γ角——侧面投影——x坐标差——线段实长
2、投影、坐标差、实长和角度四个要素知 道其中二个就可以求其它二个
c
●
d
●
● b
● b
●b
●b
a●
a●
● c
● c
不在同一 直线及
直线上的 线外一
三个点 点
● b ●b
a●
●
d
●c
两平行直 线
c
●
a●
● b ●b
a● ●c
两相交 直线
c
●
a●
● b ●b a●
●c
平面 图形
迹线表示法
Z
PZ
PV
X
O
PX
PH
PW
X PX
PY
Y
Z
PZ
PV
PW
O
PYW YW
PH
YH PYH
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P
● b B1 B2 ● B3 ●
●
解决办法？ 采用多面投影。
二、点的三面投影
投影面
◆正面投影面（简称正 V
面或V面）
◆水平投影面（简称水
平面或H面）
X
◆侧面投影面（简称侧
面或W面）
投影轴
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线
Z
o
W
H
Y
三个投影面 互相垂直
空间点A在三个投影面上的投影
画透视图
中心投影法
画斜轴测图
投影方法
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样 及正轴测图
投射中心 物体
投影面
中心投影法
投射线 投影
物体位置改 变，投影大 小也改变
投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的 相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差
平行投影法
且投 垂射 直线 于互 投相 影平 面行
平面与投影面的交线，叫做平面的迹线。
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
投 影特性
实形性
★ 平面平行投影面-----投影就把实形现
积聚性
★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线 ★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
类似性
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面
与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
⒉ 投影面平行面
积聚性
a b
积聚性
c a c b
a
实形性
c
水平面
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
⒊ 一般位置平面
b
a
B
b
b a
b a
a 点A的正面投影 V a●
a 点A的水平投影
A
●
X
a 点A的侧面投影
a●
Z
● a oW
H Y
空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。
投影面展开
V a
●
Z
az
W ●a
不动 V a
●
X
ax
a● H
O
ay ay
Y
Y X ax 向下翻
Z
向右翻
az
A
●
a● H
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
Z az
第 二 章 点、直线和平面的投影
2-1 投影的基本知识 2-2 点的投影 2-3 直线的投影 2-4 平面的投影 2-5 直线与平面及两平面的相对位置 2-6 换面法
要求：掌握点的三面投影规律，掌握直线、平面的 投影特性，会利用直线与平面及两平面的相对位置
的投影特性解决有关问题。掌握换面法
2·1 投影的基本知识
A
b a
a C c
c
c
c
b
c
a
投影特性 1 、abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形
2 、不反映、、 的真实角度
三、平面上的直线和点 ⒈ 平面上取任意直线
3、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响 解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错
三、直线与点的相对位置
判别方法：
◆ 若点在直线上, 则 V 点的投影必在直线的同 名投影上。并将线段的 a 同名投影分割成与空间 相同的比例。即：
AC/CB=ac/cb= ac / cb
◆若点的投影有一个不 在直线的同名投影上， 则 该点必不在此直线上。
又因 BC∥bc 故 bc ⊥ABba平面
因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角
.b
a
c
直线在H面上的 投影互相垂直
反之，若一角的投影为直角，而且空间被投影的角 至少有一边平行于该投影面，则空间角必是直角。
例：过C点作直线与AB垂直相交。
a . d
c●
AB为正平线, 正 面投影反映直角。
b
c●
a
d
b
a
都不反映空间线段的实长及
与三个投影面夹角的实大，
a
且与三根投影轴都倾斜。
b （1）ab, a’b’, a’’b’’对于三个投影轴既不平行也不垂直
（2） ab, a’b’, a’’b’’都较空间线段AB缩短了。 其具体长度为： ab=ABcosα ,a’b’=ABcosβ,a’’b’’=ABcosγ
影面的重影点
被挡住的投 影加( )
呢？
2·3 直线的投影
两点确定一条直线，将两 a● b 点的同名投影用直线连接， ●
●a ● b
就得到直线的同名投影。
一、直线的投影特性
a●
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
A●
B
●
M●
A●
b●
●B
α A●
B●
●
a≡b≡m
●b a●
●b a●
直线垂直于投影面 直线平行于投影面
a
●
O
Y
ay
Z
V
a
●
az
A
X ax
●
●a
W O
a●
ay
Y
a●
ay
点的投影规律:
H Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aaaaaaxyx===aaaaaazz=y==xyz===AAA到到到WVH面面面的的的距距距离离离
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
a●
Z ●a
左右位置关系。
判断方法：
b● X
a●
● b YW
▲ x 坐标大的在左
●
b
YH
▲ y 坐标大的在前
▲ z 坐标大的在上 B点在A点之前、
之右、之下。
六、重影点：
A、C为H面的重影点
a
空间两点在某一投影 ●
●a
面上的投影重合为一点 c●
●c
时，则称此两点为该投
影面的重影点。
●
a (c)
A、C为哪个投
●
a
●
1
3(4 )
d
★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影，
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
用其可帮助判断两直线 的空间位置。
⒋ 两直线垂直相交（或垂直交叉）
直角的投影特性：
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面
上的投影仍为直角。
证明：
B
C A
b
a
c
H
b
c
a
设 直角边BC//H面 因 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb 所以 BC⊥ABba平面
小结
重点掌握：
★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。
★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。
★定比定理。 ★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
一、点的投影规律
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
a ●
X ax a●
Z
az
a
●
O
Y
ay
ay
Y
② aax= aaz=y=A到V面的距离
平行、相交、交叉。
⒈ 两直线平行
投影特性：
b a
A
V d
B c
C
D
空间两直线平行， 则其各同名投影必相互 平行，反之亦然。
a
空间两直线之比
c b
d H 等于其同名投影之比
例1：判断图中两条直线是否平行。
① b
a c
a
c
d
对于一般位置直
线，只要有两个同名
投影互相平行，空间
两直线就平行。
bd
AB//CD
a α
实长
b
对Ｈ面倾角和实长
a
X
b
B
|zA-zB|
a
X O
C
A
b
a
a
AB
ab
|zA-zB|
b
AB
|zA-zB|
ab
b
AB
|zA-zB |
对Ｖ面倾角与实长
b
B
a
X
|YA-YB|
O C
A
b
a
AB
b
|YA-YB|
a
X
ab
b
AB
a
|YA-YB|
对Ｗ面倾角与实长
Z
b
Z
b
a
B b
a
b
a
X
O
YW
X
O
b
b
A
a
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
⑴ 投影面平行线
水平线
正平线
a b a b 实长 a
a
b α γ
b
侧平线
a
a 实长
β
b
α b
a β γ
b
实长
a
ba
b
与H面的夹角:α 与V面的角:β
与W面的夹角: γ
投 影 特 性：
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。
直角（正）投影法
且投 倾射 斜线 于互 投相 影平 面行
投影特性
斜角投影法
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。
2·2 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
过空间点A的投射线 与投影面P的交点即为点 A● ● a A在P面上的投影。
点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
ax
a●
解法二:
用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
三 点的坐标与投影之间的关系
V
a ●
Z
x az
x a
●
Z az
a
●
yz
z z
A
X ax
●
y
a●
H
●a
W O
ay
X ax
a
●
x
O
ay
YW
ay
y
Y
YH
四 投影面和投影轴上的点
课本P36
五、两点的相对位置
两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、
b
c
B
C
A
ac
b H
定比定理
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
b
c
a
② a
c●
b
c
b
a
ac b
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
例2：判断点K是否在线段AB上。
a
a
k● b
●k b 因k不在a b上，
a
故点K不在AB上。
k●
b
另一判断法? 应用定比定理
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：
aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
二、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
ck
b
若空间两直线相交，则其同名投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
影规律。反之亦然。
例：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
a
d
k c●
b
先作正面投影
⒊ 两直线交叉
d
a
1(2
)
3 ●
两直为投线什影相么特交？性吗？：
●
●4
c
c 2
●
b ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间
b 一个点的投影规律。
例2：判断图中两条直线是否平行。
②
c
a
d b
c b
c a
对于特殊位置直线，
只有两个同名投影互相
b d 平行，空间直线不一定
平行。
da
求出侧面投影后可知：
如何判断？
求出侧面投影 AB与CD不平行。
⒉ 两直线相交
V c
a A a
b k
C d
B
KD
d
交点是两直 线的共有点
b c k
a
d
k c
b
Ha
d
判别方法：
一般位置直线与倾角
z
b′
b″
V
b′ Ｂ
b″
a′
βγ
a′
a″
α
WX
Yw
Ａ b
a″
b
a
H
ab=ABcosα a′b′=ABcosβ a″b″=ABcosγ
a
YH
三个投影都缩 短，且都倾斜 于相应的投影轴
二、三角形法：一般位置直线的实长求法
ZB-ZA ZB-ZA
V
a
A
YB-YA
b
A0
β
B
α B0
bH
b′ a′
五、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。
⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 直角定理 反映直角。
2.4 平面的投影
一、平面的表示法
c
●
c
●
a●
a●
a●
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。
⑵ 投影面垂直线
铅垂线
正垂线
侧垂线
a
a
c(d) d c ●
e f e(f) ●
b
b
d
●
a(b)
c
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
b
b
投影特性：
a
三个投影都缩短。即:
三、直线上的点
⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影
成定比——定比定理。
四、两直线的相对位置
⒈ 平行 同名投影互相平行。
⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点，
且符合空间一个点的投影规律。
⒊ 交叉（异面） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空
间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。