计算机控制系统第次课离散化
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T
D(s)稳定，则D(z)稳定
前向差分：
du(t) u(k 1) u(k)
dt
T
左边求L变换
sU (s)
右边求Z变换
z 1U(z) T 对比两边的系数，
s z 1时，可以作为一个对应 关系，叫作前向差分法 ： T
D(z) D(s) s z-1
T
例题2-12 模拟控制器
D(s) s sa
可见，s平面虚轴经过1 后向差分变换， 在Z平面为圆心在（ 2 ，0），半径为 1 的圆
2
1
1
s平面左半稳定平面映射到Z平面为圆心在（ 2
，0），半径为 2
的圆内区域。 因而，后向差分变换后，原来s平面稳定的系统， 在Z平面一定能保持稳定，但极点分布区域变小了。
前向差分变换
s z 1 , z 1 Ts T
可见，s平面虚轴经过前向差分变换，在Z平面为通过+1的垂直线， s平面左半稳定平面映射到Z平面为通过+1的垂直线左边区域，因而， 前向差分变换后，原来s平面稳定的系统，在Z平面不一定能保持稳定。
双线性变换稳定区域
s 2
z
1, z
1
Ts 2
,
z
1
Ts 2
1
T z 1 1 Ts
1 Ts
2
2
s平面虚轴经过双线性变换，在Z平面为单位圆。 s平面左半稳定平面映射到Z平面为单位圆内。 可见，双线性变换可以保证s平面稳定的系统， 在Z平面仍然稳定，是性能较好的变换方法。
s a z eaT , s z 1, s a jb z e(a jb)T ,
(s a)2 b2 z2 2zeaT cos bT e2aT
（2）D(s)稳定 ， D(z)必稳定 （3）n>m时，用 (z 1)nm 来匹配D(s)中的n-m个
无穷零点。 （4）当D(s)的零极点已知时，此方法简便。
计算机控制系统第 次课离散化
模拟化设计步骤： （1）G(s) 根轨迹/Bode图/Nichols图 D(s)
控制量
误差 控制器
对象
（2）加入零阶保持器，选择适当的离散化方法
D(S) 离散化方法
D(z)
（3）分析图2-12所示离散控制系统的动态特性，
控制系统的要求 • 稳（稳定） • 快（快速） • 准（准确）
根据 s a z eaT 变换，
D(s)
微分方程 近似表示 差分方程
1. 后向差分：
du(t) u(k) u(k 1)
dt
T
左边求L变换
教材p.17
sU (s) 右边求Z变换
(1 z 1) U (z) T
对比两边的系数，
s (1 z 1) 时，可以作为一个对应 关系，叫作后向差分法 ： T
D(z) D(s) s(1z1)
)
2]
2 2z1 1 z1
1 z1 4(1 z1)2 4(1 z2)
1 z1
(1 z1)(3 z1) 8(1 z1)
Βιβλιοθήκη Baidu
各种变换后的稳定区域
后向差分
s 1 z 1 , z 1 1 1 1 1 (1 Ts)
T
1 Ts 2 1 Ts 2 2 2(1 Ts)
z 1 1 1 Ts 1 2 2 1 Ts 2
3.零极点匹配法
时间域的采样操作：
z-eTs =0
S域的零极点 z eTs Z域
将D(s)进行因式分解，设分解后的D(s)为：
D(s) Ks (s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
其等效的D(z)是：
D(z)
Kz (z
ez1T )(z ez2T ) (z ezmT )(z 1)nm (z e p1T )(z e p2T ) (z e pnT )
（2）D(s)的频率D(z)的频率之间存在着非线 性，不能保持原有频响特性(会出现频率畸 变)
例2-8
用双线性变换法D(z)，已知：D(s)
s 1 s(s 2)
设采样周期T=1s。
解：将
s
2 T
1 1
z 1 z 1
代入D(s)得到：
D(z)
2(1 z1 1 z1
)
1
2(1 z1 1 z1
)
[
2(1 z1 1 z1
(z 1)nm 项：通常，n>m,可看成S域在与穷
远处有n-m个零点
Z域中Z=-1处。
D(z)中，增益 KZ 可用D(s) 和 D(z)在某个频率 下的增益相等来确定。例如，设S=0来确定。
则
D(s) s0 D(z) z1
（低通）
或
D(s) s D(z) z1 （高通）
零极点匹配法特点： （1）匹配规则：根据 z eTs变换有：
(a) (b) (c)
（4）在计算机上用数字算法实现D(z)
D(s) -> D(z)的典型转换方法
后向差分法（数值积分法中的一种） 双线性变换法（Tustin法） 零极点匹配法 冲激响应法（Z变换法） 阶跃响应不变法（带零阶保持器的Z变换法）
1.D(s)与D(z)的转化方法
1）数值积分法
D(z)
Ks (1 eaT 2a
)
z
z 1 eaT
例2-10
教材p.19
已知
D(s)
(s
20(s 1) 5)(s 10)
，用零极点匹配法求数字
控制器D(z)，设采样频率f=10Hz。
解：（1）采样周期
T
1 f
0.1s
S域有两个极点：s=-5,s=-10, 1个零点:s=-
1;e=2.718.
例2-9
教材p.19
已知D(s)
Ks sa
用零极点匹配法求数字控制器D(z)。
解：D(s)中，n=1,m=0,所以在S平面上有一个无穷
远的零点，在D(z)中用(z+1)匹配：
按低通匹配有：
D(z)
Kz (z 1) z eaT
D(s)
s0
Ks a
D(z)
z
1
Kz 2 1 eaT
Kz
Ks (1 eaT ) 2a
用后向差分、前向差分法，变成数字控制器。
后向差分：D(z)
s sa
s (1z1)
1
1 z1 aT z
1
T
前向差分：D(s)
s sa
s z-1 T
z 1 z (aT 1)
1
1 (aT
z 1 1)
z
1
2.双线性变换法（Tustin法）
Ts
由Z变换定义，有：
z eTs
e 2 eTs 2
展开泰勒级数：eTs 2
1 Ts
2
21！(Ts
2)2
1 (Ts 3!
2)3
2
1 Ts
2
同样：
Ts
e2
1Ts 2
得到： 即：
z
1 1
Ts Ts
2 2
,
s
2 T
z z
1 1
D(z)
D(s)
s
2 T
1 1
z z
1 1
s
2 T
1 1
z 1 z 1
双线性变换(Tustin变换)有以下特点：
（1）D(s)稳定，D(z)也稳定
D(s)稳定，则D(z)稳定
前向差分：
du(t) u(k 1) u(k)
dt
T
左边求L变换
sU (s)
右边求Z变换
z 1U(z) T 对比两边的系数，
s z 1时，可以作为一个对应 关系，叫作前向差分法 ： T
D(z) D(s) s z-1
T
例题2-12 模拟控制器
D(s) s sa
可见，s平面虚轴经过1 后向差分变换， 在Z平面为圆心在（ 2 ，0），半径为 1 的圆
2
1
1
s平面左半稳定平面映射到Z平面为圆心在（ 2
，0），半径为 2
的圆内区域。 因而，后向差分变换后，原来s平面稳定的系统， 在Z平面一定能保持稳定，但极点分布区域变小了。
前向差分变换
s z 1 , z 1 Ts T
可见，s平面虚轴经过前向差分变换，在Z平面为通过+1的垂直线， s平面左半稳定平面映射到Z平面为通过+1的垂直线左边区域，因而， 前向差分变换后，原来s平面稳定的系统，在Z平面不一定能保持稳定。
双线性变换稳定区域
s 2
z
1, z
1
Ts 2
,
z
1
Ts 2
1
T z 1 1 Ts
1 Ts
2
2
s平面虚轴经过双线性变换，在Z平面为单位圆。 s平面左半稳定平面映射到Z平面为单位圆内。 可见，双线性变换可以保证s平面稳定的系统， 在Z平面仍然稳定，是性能较好的变换方法。
s a z eaT , s z 1, s a jb z e(a jb)T ,
(s a)2 b2 z2 2zeaT cos bT e2aT
（2）D(s)稳定 ， D(z)必稳定 （3）n>m时，用 (z 1)nm 来匹配D(s)中的n-m个
无穷零点。 （4）当D(s)的零极点已知时，此方法简便。
计算机控制系统第 次课离散化
模拟化设计步骤： （1）G(s) 根轨迹/Bode图/Nichols图 D(s)
控制量
误差 控制器
对象
（2）加入零阶保持器，选择适当的离散化方法
D(S) 离散化方法
D(z)
（3）分析图2-12所示离散控制系统的动态特性，
控制系统的要求 • 稳（稳定） • 快（快速） • 准（准确）
根据 s a z eaT 变换，
D(s)
微分方程 近似表示 差分方程
1. 后向差分：
du(t) u(k) u(k 1)
dt
T
左边求L变换
教材p.17
sU (s) 右边求Z变换
(1 z 1) U (z) T
对比两边的系数，
s (1 z 1) 时，可以作为一个对应 关系，叫作后向差分法 ： T
D(z) D(s) s(1z1)
)
2]
2 2z1 1 z1
1 z1 4(1 z1)2 4(1 z2)
1 z1
(1 z1)(3 z1) 8(1 z1)
Βιβλιοθήκη Baidu
各种变换后的稳定区域
后向差分
s 1 z 1 , z 1 1 1 1 1 (1 Ts)
T
1 Ts 2 1 Ts 2 2 2(1 Ts)
z 1 1 1 Ts 1 2 2 1 Ts 2
3.零极点匹配法
时间域的采样操作：
z-eTs =0
S域的零极点 z eTs Z域
将D(s)进行因式分解，设分解后的D(s)为：
D(s) Ks (s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
其等效的D(z)是：
D(z)
Kz (z
ez1T )(z ez2T ) (z ezmT )(z 1)nm (z e p1T )(z e p2T ) (z e pnT )
（2）D(s)的频率D(z)的频率之间存在着非线 性，不能保持原有频响特性(会出现频率畸 变)
例2-8
用双线性变换法D(z)，已知：D(s)
s 1 s(s 2)
设采样周期T=1s。
解：将
s
2 T
1 1
z 1 z 1
代入D(s)得到：
D(z)
2(1 z1 1 z1
)
1
2(1 z1 1 z1
)
[
2(1 z1 1 z1
(z 1)nm 项：通常，n>m,可看成S域在与穷
远处有n-m个零点
Z域中Z=-1处。
D(z)中，增益 KZ 可用D(s) 和 D(z)在某个频率 下的增益相等来确定。例如，设S=0来确定。
则
D(s) s0 D(z) z1
（低通）
或
D(s) s D(z) z1 （高通）
零极点匹配法特点： （1）匹配规则：根据 z eTs变换有：
(a) (b) (c)
（4）在计算机上用数字算法实现D(z)
D(s) -> D(z)的典型转换方法
后向差分法（数值积分法中的一种） 双线性变换法（Tustin法） 零极点匹配法 冲激响应法（Z变换法） 阶跃响应不变法（带零阶保持器的Z变换法）
1.D(s)与D(z)的转化方法
1）数值积分法
D(z)
Ks (1 eaT 2a
)
z
z 1 eaT
例2-10
教材p.19
已知
D(s)
(s
20(s 1) 5)(s 10)
，用零极点匹配法求数字
控制器D(z)，设采样频率f=10Hz。
解：（1）采样周期
T
1 f
0.1s
S域有两个极点：s=-5,s=-10, 1个零点:s=-
1;e=2.718.
例2-9
教材p.19
已知D(s)
Ks sa
用零极点匹配法求数字控制器D(z)。
解：D(s)中，n=1,m=0,所以在S平面上有一个无穷
远的零点，在D(z)中用(z+1)匹配：
按低通匹配有：
D(z)
Kz (z 1) z eaT
D(s)
s0
Ks a
D(z)
z
1
Kz 2 1 eaT
Kz
Ks (1 eaT ) 2a
用后向差分、前向差分法，变成数字控制器。
后向差分：D(z)
s sa
s (1z1)
1
1 z1 aT z
1
T
前向差分：D(s)
s sa
s z-1 T
z 1 z (aT 1)
1
1 (aT
z 1 1)
z
1
2.双线性变换法（Tustin法）
Ts
由Z变换定义，有：
z eTs
e 2 eTs 2
展开泰勒级数：eTs 2
1 Ts
2
21！(Ts
2)2
1 (Ts 3!
2)3
2
1 Ts
2
同样：
Ts
e2
1Ts 2
得到： 即：
z
1 1
Ts Ts
2 2
,
s
2 T
z z
1 1
D(z)
D(s)
s
2 T
1 1
z z
1 1
s
2 T
1 1
z 1 z 1
双线性变换(Tustin变换)有以下特点：
（1）D(s)稳定，D(z)也稳定