计算机控制系统第次课离散化
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自动控制原理-第9章 离散系统初步
232第9章 线性离散系统初步从控制系统中信号的形式来划分控制系统的类型，可以把控制系统划分为连续控制系统和离散控制系统，在前面各章所研究的控制系统中，各个变量都是时间的连续函数，称为连续控制系统。
随着计算机被引入控制系统，使控制系统中有一部分信号不是时间的连续函数，而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统称为离散控制系统。
离散控制系统是以微处理器及微型计算机为基础,融汇计算机技术、数据通信技术、CRT 屏幕显示技术和自动控制技术为一体的计算机控制系统,它对生产过程进行集中操作管理和分散控制。
离散系统与连续系统相比，有许多分析研究方面的相似性。
利用z 变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方法，推广应用于离散系统。
本章首先给出信号采样和保持的数学描述，然后介绍z 变换理论和脉冲传递函数，最后研究线性离散系统稳定性、稳态误差、动态性能的分析与综合方法。
9.1 离散系统通常，当离散控制系统中的离散信号是脉冲序列形式时，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而当离散系统中的离散信号是数码序列形式时，称为数字控制系统或计算机控制系统。
在理想采样及忽略量化误差情况下，数字控制系统近似于采样控制系统，将它们统称为离散系统。
9.1.1 采样控制系统采样器在采样控制系统中可以有多个位置，用得最多的是误差采样控制的闭环采样系统，其典型结构图如图9-1所示。
图中，S 为采样开关，)(s G h 为保持器的传递函数，)(0s G 为被控对象的传递函数，)(s H 为测量元件的传递函数。
233*图9-1 采样系统典型结构图9.1.2 数字控制系统数字控制系统的典型原理图如图9-2所示。
它由工作于离散状态下的计算机（数字控制器）)(s G c ，工作于连续状态下的被控对象)(0s G 和测量元件H(s)组成。
在每个采样周期中，计算机先对连续信号进行采样编码(即D A 转换)，然后按控制律进行数码运算,最后将计算结果通过A D 转换器转换成连续信号控制被控对象。
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解-离散化
0 1 0 x x u 0 2 1
近似离散化方法(4/6)—例3-12
解 由近似离散化法计算公式,对本例有
T 1 G(T ) I AT 0 1 2 T
于是该连续系统的离散化状态方程为
0 H (T ) BT T
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
kT
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dtBu(kT )
0
T
将上式与线性定常离散系统的状态方程 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)
线性定常连续系统的离散化(2/3)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采 样周期T下,将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
x(( k 1)T ) G (T )x(kT ) H (T )u(kT ) y (kT ) C (T )x(kT ) D(T )u(kT )
近似离散化方法(2/6)
将上式代入连续系统的状态方程,有 [x((k+1)T)-x(kT)]/T=Ax(kT)+Bx(kT) 即 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比 较,则可得如下近似离散化的计算公式: G(T)=I+AT H(T)=BT 将上述近似离散法和精确离散法比较知,
精确法、
计算机控制系统经典设计方法——模拟控制器的离散化方法
模拟控制器的离散化方法（续三）
例7.6 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用保持Z变换法求 数字控制器D(z)。
【答案】
z－1 1 e aT） （ D( z ) aT 1 1 e z
u (k ) ?
D(s)稳定，D(z)稳定；
保持Z变换法特点
D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。
模拟控制器的离散化方法（续五）
一阶后向差分:
D( z ) D( s )
1 z 1 s T
U ( s) 1 D( s ) E ( s) s
u (kT ) u[(k 1)T ] Te(k )
一阶向后差分的s与z替换关系是 z变量与s变量关系的一种近似
图7-22 后向差分矩形积分法
模拟控制器的离散化方法（续八）
D(s)稳定，D(z)不一定稳定；若D(s)有离虚 轴较远的点，只有缩小采样周期T才有可能 稳定； D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。
前向差分变换法特点
图7-25 前向差分法的映射关系
模拟控制器的离散化方法（续九）
例7.7 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用后向差分求数字控制器D(z)。
z e sT
K z ( z e z1T )(z e z2T )( z e zmT ) D( z )＝ ( z 1) nm ( z e p1T )(z e p2T )( z e pnT )
模拟控制器的离散化方法（续十三）
例7.9 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用双线性变化法求数字控制器D(z)。 【答案】
【答案】
aT D( z ) 1 1 aT z
控制原理--离散控制系统
输出信号：理想脉冲序列
*
e (t ) e(t ) T (t ) e(t ) (t - nT) e(t ) (t - nT) e(nT)(t - nT)
n - n0 n0
e* (t ) e(nT)(t - nT)
n0
如右图所示
* k 0
-k
z变换
1、定义法(级数求和法)
知道连续函数x(t)在各采样时刻的离散值x*(t)，按定义求。 例1：求 x1 (t ) u(t ) 和 x2 ( t ) ( t - kT ) 的z变换表达式。
k 0
解：
X 1 ( z ) x( kT )z
k 0
采样过程及其数学描述
2、单位脉冲函数 (t )为单位脉冲函数，为方便描述，其定义 如下： 1 t 0 (t ) 0 t 0 3、单位脉冲序列函数 下式为单位脉冲序列函数，它是单位脉冲 函数的序列。
T (t )
k -
(t - kT ) (t ) (t - T ) (t T ) (t - kT ) (t kT )
注意：本课程中的讲述如无特别说明均为均匀采样过程。
§6.1 信号的采样与保持
信号的采样过程：通过采样开关将连续
信号离散化，转变为脉冲序列信号；
信号的保持过程：通过信号保持器将离
散信号连续化；
基本概念
1.采样信号：定义在离散时间轴上的离散信号，以脉冲或数 码的形式呈现。
t
(a) 连续信号 (b) 离散信号
k 0
求拉氏变换，得
原连续信号
- kTs
1 1 -Ts xh ( s ) x( kT )e - e s s k 0
*
e (t ) e(t ) T (t ) e(t ) (t - nT) e(t ) (t - nT) e(nT)(t - nT)
n - n0 n0
e* (t ) e(nT)(t - nT)
n0
如右图所示
* k 0
-k
z变换
1、定义法(级数求和法)
知道连续函数x(t)在各采样时刻的离散值x*(t)，按定义求。 例1：求 x1 (t ) u(t ) 和 x2 ( t ) ( t - kT ) 的z变换表达式。
k 0
解：
X 1 ( z ) x( kT )z
k 0
采样过程及其数学描述
2、单位脉冲函数 (t )为单位脉冲函数，为方便描述，其定义 如下： 1 t 0 (t ) 0 t 0 3、单位脉冲序列函数 下式为单位脉冲序列函数，它是单位脉冲 函数的序列。
T (t )
k -
(t - kT ) (t ) (t - T ) (t T ) (t - kT ) (t kT )
注意：本课程中的讲述如无特别说明均为均匀采样过程。
§6.1 信号的采样与保持
信号的采样过程：通过采样开关将连续
信号离散化，转变为脉冲序列信号；
信号的保持过程：通过信号保持器将离
散信号连续化；
基本概念
1.采样信号：定义在离散时间轴上的离散信号，以脉冲或数 码的形式呈现。
t
(a) 连续信号 (b) 离散信号
k 0
求拉氏变换，得
原连续信号
- kTs
1 1 -Ts xh ( s ) x( kT )e - e s s k 0
计算机控制06离散化设计与连续化设计方法
计算机控制06离散化设计与连续化设计方法离散化设计方法是指将连续系统离散化为离散系统的设计方法。
在离散化设计中，连续系统的时间和状态被离散化成一系列离散时间和状态。
离散化设计的基本原理是将连续时间转换为离散时间，将连续状态转换为离散状态。
离散化设计的方法主要包括离散化采样和离散化控制。
离散化采样是指将连续时间变量转换为离散时间变量的方法。
常见的采样方式有周期采样和非周期采样。
周期采样是指以固定时间间隔对连续时间进行采样，而非周期采样是指根据需要对连续时间进行不规则的采样。
离散化采样的目的是为了得到连续系统在离散时间点上的状态。
离散化控制是指将连续控制转换为离散控制的方法。
离散化控制的关键是将连续时间域的控制器转换为离散时间域的控制器，以实现对离散系统的控制。
离散化控制的常用方法包括脉冲响应、零阶保持和减少模型等。
离散化设计方法在很多领域都有应用。
在工业领域，离散化设计可以应用于过程控制系统、机器人控制系统和自动化生产线等。
在交通系统中，离散化设计可以应用于交通信号控制系统和车辆路线规划等。
在电力系统中，离散化设计可以应用于电力系统调度和电网控制等。
离散化设计方法可以提高系统的控制性能和稳定性，并且可以减少系统的复杂度和计算量。
连续化设计方法是指将离散系统连续化的设计方法。
在连续化设计中，离散系统的时间和状态被连续化为连续时间和状态。
连续化设计的基本原理是将离散时间转换为连续时间，将离散状态转换为连续状态。
连续化设计的方法主要包括插值方法和逼近方法。
插值方法是指根据已有离散数据点的值，通过插值技术推导出在两个离散数据点之间的连续数据点的值。
插值方法的常见技术有线性插值、多项式插值和样条插值等。
插值方法的目的是为了得到在离散系统状态之间的连续状态。
逼近方法是指通过逼近离散时间的函数来表示离散状态之间的连续状态。
逼近方法的常见技术有函数逼近、泰勒展开和傅里叶级数展开等。
逼近方法的目的是为了得到在离散系统状态之间的连续时间。
计算机控制系统_离散域设计1_z平面根轨迹
s域
3) K=1,s2+2s+1=1 s1=s2=-1为分离点
K<1时响应过程单调；K>1时振荡
-2
-1 0
离散系统：G(z) =
⎡ 1 − e− sT
Z⎢ ⎣
s
K⎤
s(s
+
2)
⎥ ⎦
=
K (1 − z−1 ) ⎡ 2 ⎤
2
Z ⎢⎣ s2 (s + 2) ⎥⎦
= K z + 0.935 (z − 1)(z − 0.819)
z平面根轨迹应相对于单位圆来分析
形状不同（z变自换动化的学院非线性关系）
10
R(s)
K
C(s)
R(s)
例5-2
s(s + 2)
K C(s) s(s + 2)
连续系统： G(s) = K
T=0பைடு நூலகம்1s
s(s + 2)
1) I型系统，阶跃响应稳态误差为0
s1 = 0, s2 = −2
Im K →∞
2)系统稳定，无论K多大(最小相位系统)
= −1
∏ (z − pi )
i =1
n
∏ 模值 ∏ 方程
K=
i =1 m
z − pi z − zi
i =1
m
n
相角 ∑ ∠(z − zi ) − ∑ ∠(z − p1 ) = (2k + 1)π
方程 i=1
i −1
k = 0, ±1, ±2,
z平面根轨迹的特殊性：
1) z平面极点的密集度很高，在用根轨迹分析系统性能时 ，要求根轨迹的计算精度较高。
控制器传函 D(z) = 4.2(z − 0.3679) z
数字控制器的离散化设计
1 T0s 1
被采样后的差分方程：
(T T0 ) u2 (k) T0u2 (k 1) Tu1(k)
5.2.2 数字控制器离散化设计步骤
(z)
G(z) Y(z)
E(z)
U(z)
r(t)
T
D(z) T
H0(s)
Gp(s)
y(t)
1、根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所需 的闭环脉冲传递函数Ф(z)
如果某一极点 zj 在单位圆上，则系统临界稳定，对于 有界的输入，系统的输出持续地等幅振荡；
如果 G(z) 的极点至少有一个在单位圆外，则采样系统 是不稳定的，对于有界的输入，系统的输出发散
4 差分方程
采样系统的数学模型用差分方程描述。
差分方程表示出系统离散输入与离散输出之间 的函数关系。
差分方程由输出序列y(k)，及其移位序列y(k-1)、 y(k-2)、y(k-3)、……，以及输入序列u(k)，及 其移位序列 u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、……，所 构成。（ k = 0, 1, 2, …… ）
式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的 脉冲响应在N个采样周期后变为零，输出保持不变，从而意味 着系统在N拍之内达到稳态。
R(
z)
1
1 z
1
（3）单位速度函数 r(t) t
R(z)
Tz 1 (1 z 1)2
（4）单位加速度函数
r(t) 1 t 2 2
R(z)
T
2 z 1(1 z 1) 2(1 z 1)3
（5）典型输入函数
r(t) 1 t q1 (q 1)!
Hale Waihona Puke R(z) B(z) (1 z1)q
简述数字控制器的离散化设计的步骤
简述数字控制器的离散化设计的步骤
数字控制器是一种常用于控制机械和电子设备的计算机系统。
在数字控制器的离散化设计中，需要按照以下步骤进行：
1. 系统建模：首先需要对控制系统进行建模，确定其输入输出关系，选择适当的控制算法和控制器结构。
2. 离散化处理：通过对连续时间控制器进行离散化处理，将其转化
为离散时间控制器，以便于数字控制器进行实现。
3. 数字控制器设计：根据控制系统的需求和离散化处理后的控制器
模型，设计数字控制器的硬件平台和软件算法，并进行实现。
4. 系统测试与优化：对设计好的数字控制器进行系统测试，并进行
优化调整，以确保其满足控制系统的性能指标和稳定性要求。
需要注意的是，数字控制器的离散化设计是一项复杂的任务，需要深入理解控制系统的工作原理和数学模型，熟练掌握离散化技术和数字控制器的设计方法，以及具备良好的工程实践经验。
同时，还需要关注数字控制器的实时性和可靠性，以确保其在工业应用中的稳定运行。
06第六章 计算机控制系统的离散化设计
• H(z)的零点表达式中，包含G(z)在z平面单位圆外或单位圆上
的所有零点。
系统的准确性定对H(z)的要求：
p He ( z) ( z 1) p F ( z) (1 z 1）F ( z 1 )
pm
系统的快速性对闭环系统的要求
p He ( z) ( z 1) p F ( z) (1 z 1）F ( z 1 ) p尽可能小
如果m>n，则 e(k n m) ek n m 为未来时刻的状态，则就要求D(z) 具有超前性质，这是不可能的。
t=kT
(k-1)T kT (k+1)T
结论：
U ( z ) b0 z ( nm) b1 z ( nm1) bm1 z ( n1) bm z n D( z) E( z) 1 a1 z 1 an1 z ( n1) an z n
即若对象G(z)的分母比分子高d阶，则闭环传递函数H(z) 也必须至少有分母比分子高d阶。 或：若对象G(z)有d拍延时，则H(z)也必须至少有d拍延 时。
2）由系统的稳定性确定H(z)
系统稳定性的条件：特征方程的根应在单位圆内。
B( z ) G( z) A( z )
D( z )
设
解析设计法步骤：
根据控制系统的性能指标要求及其他约束条件，确定
出所需要的闭环脉冲传递函数H(z)。 根据式
1 H ( z) H ( z) D( z ) ,确定计算机 G( z ) 1 H ( z ) G( z ) H e ( z )
控制器的脉冲传递函数D(z) 。 根据D(z)编制控制算法程序。
F (z)
1 1 是 z 的有限多项式，不含有 (1 z ) 因子，
控制系统中连续域—离散化设计 非常全
13
5. 零极点匹配法
(1)离散化方法
D( s ) k ( s zi )
(s p )
i n
m
z e sT D( z )
k1 ( z e ziT )
(z e
m
m
piT
)
( z 1) n m
特点：
– 匹配 – 若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加 (z+1)n-m因子 – 确定D(z)的增益k1的方法： D(s) s0 D( z) z 1 • 按右式来匹配 • 若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即
du(t ) / dt e(t )
实质：将连续域中的微分 用一阶向后差分替换
du(t ) / dt [u(kT ) u[(k 1)T ]]/ T
u(kT ) u[(k 1)T ] Te(kT )
做z变换，得
U ( z) z 1U ( z) TE( z)
D( z) U ( z) / E( z) T /(1 z 1 )
D(s)
s 0
D( z)
z 1
(3) 应用
由于这种变换的映射关 系畸变严重，变换精度较低。 所以，工程应用受到限制， 用得较少。
图5-4 向后差分法的映射关系
6
2. 一阶向前差分法
(1)离散化公式
D( z ) D( s )
s z 1 T
D(s) U (s) / E (s) 1/ s
16
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
连续域—离散化设计 数字PID控制器设计 控制系统z平面设计性能指标要求 z平面根轨迹设计 w’变换及频率域设计
5. 零极点匹配法
(1)离散化方法
D( s ) k ( s zi )
(s p )
i n
m
z e sT D( z )
k1 ( z e ziT )
(z e
m
m
piT
)
( z 1) n m
特点：
– 匹配 – 若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加 (z+1)n-m因子 – 确定D(z)的增益k1的方法： D(s) s0 D( z) z 1 • 按右式来匹配 • 若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即
du(t ) / dt e(t )
实质：将连续域中的微分 用一阶向后差分替换
du(t ) / dt [u(kT ) u[(k 1)T ]]/ T
u(kT ) u[(k 1)T ] Te(kT )
做z变换，得
U ( z) z 1U ( z) TE( z)
D( z) U ( z) / E( z) T /(1 z 1 )
D(s)
s 0
D( z)
z 1
(3) 应用
由于这种变换的映射关 系畸变严重，变换精度较低。 所以，工程应用受到限制， 用得较少。
图5-4 向后差分法的映射关系
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2. 一阶向前差分法
(1)离散化公式
D( z ) D( s )
s z 1 T
D(s) U (s) / E (s) 1/ s
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5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
连续域—离散化设计 数字PID控制器设计 控制系统z平面设计性能指标要求 z平面根轨迹设计 w’变换及频率域设计
计算机控制系统第4章计算机控制系统的离散化设计方法
由上述分析可知，产生振铃现象的原因是数字控制器u(k)在 Z平面上z=-1附近有极点或G(z)在Z平面上z=-1附近有零点。 当z=-1时，振铃现象最严重，在单位圆内离z=-1越远，振铃 现象越弱。
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2.振铃幅度RA
用振铃幅度RA来衡量振铃强弱的程度。
它的定义是，在单位阶跃输入作用下，数字控制器D(z)的第0次输
e() lim e(k) lim (1 z 1)E(z)
k
z1
e (z)
E(z) R(z)
1
(z)
1
1 D(z)G(z)
一般控制系统有三种典型输入形式：
（1）单位阶跃输入：
R(
z)
1
1 z
1
（2）单位速度输入：
R(z)
Tz 1 (1 z 1)2
（3）单位加速度输入：
R(z)
T
2 z1(1 z1) 2(1 z1)3
27
三、 Dahlin算法的设计步骤
(1)确定闭环系统的T0和振铃幅度RA指标； (2)确定RA与T的关系，尽量选择较大的T； (3)确定N=τ/T； (4)求G(z)和φ (z)； (5) 求D(z)。
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本章内容结束
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D(z) (z) G(z)[1 (z)]
将Φ(z)代入上式，便得到Dahlin控制器D(z)的基本形式
z (N1) (1 eT T0 ) D(z) G(z)[1 z 1eT T0 z (N1) (1 eT T0 )]
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2.振铃幅度RA
用振铃幅度RA来衡量振铃强弱的程度。
它的定义是，在单位阶跃输入作用下，数字控制器D(z)的第0次输
e() lim e(k) lim (1 z 1)E(z)
k
z1
e (z)
E(z) R(z)
1
(z)
1
1 D(z)G(z)
一般控制系统有三种典型输入形式：
（1）单位阶跃输入：
R(
z)
1
1 z
1
（2）单位速度输入：
R(z)
Tz 1 (1 z 1)2
（3）单位加速度输入：
R(z)
T
2 z1(1 z1) 2(1 z1)3
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三、 Dahlin算法的设计步骤
(1)确定闭环系统的T0和振铃幅度RA指标； (2)确定RA与T的关系，尽量选择较大的T； (3)确定N=τ/T； (4)求G(z)和φ (z)； (5) 求D(z)。
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本章内容结束
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D(z) (z) G(z)[1 (z)]
将Φ(z)代入上式，便得到Dahlin控制器D(z)的基本形式
z (N1) (1 eT T0 ) D(z) G(z)[1 z 1eT T0 z (N1) (1 eT T0 )]
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现代控制理论离散系统
数字信号处理系统
数字信号处理系统
数字信号处理算法
数字信号处理系统的应 用
数字信号处理系统是一种基于计算机 技术的信号处理平台，可以对各种信 号进行采集、分析、处理和传输。
数字信号处理算法包括滤波、频谱分 析、频域变换、逆变换等。这些算法 能够对信号进行精确的分析和处理， 以满足各种应用需求。
数字信号处理系统广泛应用于音频、 图像、视频处理等领域。在音频处理 方面，数字信号处理系统可以对声音 进行降噪、增强、混响等处理；在图 像和视频处理方面，可以对图像和视 频进行压缩、增强、识别等处理，以 满足各种应用需求。
感谢您的观看
THANKS
信号处理
对数字信号处理算法进行离散化仿 真，验证其效果和性能。
数字电路设计
对数字电路设计进行离散化仿真， 验证电路的功能和性能。
04
05
离散系统的优化设计
离散系统优化设计的方法
数学规划法
01
通过建立离散系统的数学模型，利用数学优化方法（如线性规
划、整数规划等）来求解最优解。
智能优化算法
02
如遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等，通过模拟自然界
LabVIEW
由美国国家仪器公司开发的图形化编程环境， 适用于离散系统仿真和测试。
Modelica
基于方程的仿真语言，适用于多领域物理系 统建模和仿真。
Scilab
开源工程计算软件，支持离散系统仿真和数 值计算。
离散系统仿真的步骤
参数设置
设置仿真时间、步 长等参数。
仿真运行
根据设定的参数进 行仿真，并记录输 出结果。
最优控制
最优控制是在满足一定约束条件下，寻找使某个性能指标达到最优的控制 策略。
01.09离散控制系统
t
e*(t)
t
t
t
t
c(t)
r(t)
+
A/D
计算机
uc*(t)
D/A
uc(t)
控制对象
b(t)
测量元件
负反馈
计算机控制系统框图
离散系统的差分方程描述
差分方程 用差分方程描述离散系统 差分方程的解法
差分方程
差分方程： 用t时刻变量差值来代替微分方程中的变 量微分所得到的方程。 当系统的微分方程为n阶时，则差分方程可 写为一般形式：
应用综合除法得
E( z) 10z 1 30z 2 70z 3
所以
e* (t ) 0 10 (t T ) 30 (t 2T ) 70 (t 3T )
例4-6 已知之变换
3z 2 z E( z) 2 z 2z 1
试利用部分分式法求其z反变换。
k 0
e(kT ) z
k
1 z 1(4-28)
0
(2)单位阶跃信号
设e(t)=1(t)，求z变换E(z)。
E( z )
k 0
1(kT ) z 1 z z (4-29)
k 1 2
这是一个公比为 z 的等比级数，当 z 1 即 时，级数收敛,则式(4-29)可写成闭合形式
1
1
z 1
1 z E( z) ( z 1) （4-30） 1 z 1 1 z
(3)单位理想脉冲序列 设 e(t ) (t ) (t kT) ，求z变换E(z)。
T k 0
E( z )
k 0
1(kT ) z 1 z z z
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(z 1)nm 项：通常，n>m,可看成S域在与穷
远处有n-m个零点
Z域中Z=-1处。
D(z)中，增益 KZ 可用D(s) 和 D(z)在某个频率 下的增益相等来确定。例如，设S=0来确定。
则
D(s) s0 D(z) z1
（低通）
或
D(s) s D(z) z1 （高通）
零极点匹配法特点： （1）匹配规则：根据 z eTs变换有：
可见，s平面虚轴经过前向差分变换，在Z平面为通过+1的垂直线， s平面左半稳定平面映射到Z平面为通过+1的垂直线左边区域，因而， 前向差分变换后，原来s平面稳定的系统，在Z平面不一定能保持稳定。
双线性变换稳定区域
s 2
z
1, z
1
Ts 2
,
z
1
Ts 2
1
T z 1 1 Ts
1 Ts
2
2
s平面虚轴经过双线性变换，在Z平面为单位圆。 s平面左半稳定平面映射到Z平面为单位圆内。 可见，双线性变换可以保证s平面稳定的系统， 在Z平面仍然稳定，是性能较好的变换方法。
1 Ts
2
21！(Ts
2)2
1 (Ts 3!
2)3
2
1 Ts
2
同样：
Ts
e2
1Ts 2
得到： 即：
z
1 1
Ts Ts
2 2
,
s
2 T
z z
1 1
D(z)
D(s)
s
2 T
1 1
z z
1 1
s
2 T
1 1
z 1 z 1
双线性变换(Tustin变换)有以下特点：
（1）D(s)稳定，D(z)也稳定
计算机控制系统第 次课离散化
模拟化设计步骤： （1）G(s) 根轨迹/Bode图/Nichols图 D(s)
控制量
误差 控制器
对象
（2）加入零阶保持器，选择适当的离散化方法
D(S) 离散化方法
D(z)
（3）分析图2-12所示离散控制系统的动态特性，
控制系统的要求 • 稳（稳定） • 快（快速） • 准（准确）
根据 s a z eaT 变换，
)
2]
2 2z1 1 z1
1 z1 4(1 z1)2 4(1 z2)
1 z1
(1 z1)(3 z1) 8(1 z1)
各种变换后的稳定区域
后向差分
s 1 z 1 , z 1 1 1 1 1 (1 Ts)
T
1 Ts 2 1 Ts 2 2 2(1 Ts)
z 1 1 1 Ts 1 2 2 1 Ts 2
可见，s平面虚轴经过1 后向差分变换， 在Z平面为圆心在（ 2 ，0），半径为 1 的圆
2
1
1
s平面左半稳定平面映射到Z平面为圆心在（ 2
，0），半径为 2
的圆内区域。 因而，后向差分变换后，原来s平面稳定的系统， 在Z平面一定能保持稳定，但极点分布区域变小了。
前向差分变换
s z 1 , z 1 Ts T
D(z)
Ks (1 eaT 2a
)
z
z 1 eaT
例2-10
教材p.19
已知
D(s)
(s
20(s 1) 5)(s 10)
，用零极点匹配法求数字
控制器D(z)，设采样频率f=10Hz。
解：（1）采样周期
T
1 f
0.1s
S域有两个极点：s=-5,s=-10, 1个零点:s=-
1;e=2.718.
(a) (b) (c)
（4）在计算机上用数字算法实现D(z)
D(s) -> D(z)的典型转换方法
后向差分法（数值积分法中的一种） 双线性变换法（Tustin法） 零极点匹配法 冲激响应法（Z变换法） 阶跃响应不变法（带零阶保持器的Z变换法）
1.D(s)与D(z)的转化方法
1）数值积分法
3.零极点匹配法
时间域的采样操作：
z-eTs =0
S域的零极点 z eTs Z域
将D(s)进行因式分解，设分解后的D(s)为：
D(s) Ks (s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
其等效的D(z)是：
D(z)
Kz (z
ez1T )(z ez2T ) (z ezmT )(z 1)nm (z e p1T )(z e p2T ) (z e pnT )
（2）D(s)的频率D(z)的频率之间存在着非线 性，不能保持原有频响特性(会出现频率畸 变)
例2-8
用双线性变换法D(z)，已知：D(s)
s 1 s(s 2)
设采样周期T=1s。
解：将
s
2 T
1 1
z 1 z 1
代入D(s)得到：
D(z)
2(1 z1 1 z1
)
1
2(1 z1 1 z1
)
[
2(1 z1 1 z1
D(s)
微分方程 近似表示 差分方程
1. 后向差分：
du(t) u(k) u(k 1)
dt
T
左边求L变换
教材p.17
sU (s) 右边求Z变换
(1 z 1) U (z) T
对比两边的系数，
s (1 z 1) 时，可以作为一个对应 关系，叫作后向差分法 ： T
D(z) D(s) s(1z1)
s a z eaT , s z 1, s a jb z e(a jb)T ,
(s a)2 b2 z2 2zeaT cos bT e2aT
（2）D(s)稳定 ， D(z)必稳定 （3）n>m时，用 (z 1)nm 来匹配D(s)中的n-m个
无穷零点。 （4）当D(s)的零极点已知时，此方法简便。
用后向差分、前向差分法，变成数字控制器。
后向差分：D(z)
s sa
s (1z1)
1
1 z1 aT z
1
T
前向差分：D(s)
s sa
s z-1 T
z 1 z (aT 1)
1
1 (aT
z 1 1)
z
1
2.双线性变换法（Tustin法）
Ts
由Z变换定义，有：
z eTs
e 2 eTs 2
展开泰勒级数：eTs 2
例2-9
教材p.19
已知D(s)
Ks sa
用零极点匹配法求数字控制器D(z)。
解：D(s)中，n=1,m=0,所以在S平面上有一个无穷
远的零点，在D(z)中用(z+1)匹配：
按低通匹配有：
D(z)
Kz (z 1) z eaT
D(s)
s0
Ks a
D(z)
z
1
Kz 2 1 eaT
Kz
Ks (1 eaT ) 2a
T
D(s)稳定，则D(z)稳定
前向差分：
du(t) u(k 1) u(k)
dt
T
左边求L变换
sU (s)
右边求Z变换
z 1U(z) T 对比两边的系数，
s z 1时，可以作为一个对应 关系，叫作前向差分法 ： TBiblioteka D(z) D(s) s z-1
T
例题2-12 模拟控制器
D(s) s sa