数学模型狼追击兔子的问题

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《数学建模实验》

《数学建模》上机作业信科05-3韩亚0511010305实验1 线性规划模型一、实验名称：线性规划模型—设备的最优配备问题。

二、实验目的：掌握线性规划模型的建模方法，并能用数值算法或MATLAB 库函数求解。

三、实验题目：某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。

四、实验要求：1、若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型。

2、利用相应的数值方法求解此问题的数学模型。

3、谈一谈你对这类线性规划问题的理解。

4、举一个简单的二维线性规划问题，并针对此问题将你所了解的线性规划的求解方法作出总结。

5、用软件lindo 或lingo 求解上述问题。

（选做题）6、编写单纯形算法的MATLAB 程序。

（选做题）五、实验内容：解：设第i 个月进货xi 件，销售yi 件，则下半年总收益为销售收入减去进货费和仓库储存费之和，所以目标函数为：1211109871211109711109871211109875.232427252628252528262729)2345(5.0)2345)300(6(5.07x x x x x x y y y y y y y y y y y x x x x x x z y ------+++++++++++++++++-=整理后得：90024255.28275.2831255.25295.27295.31121110987121110987-------+++++=x x x x x x y y y y y y z由于仓库的容量为1500件，每个月的库存量大于0，小于1500，所以有如下约束条件150030001500300015003000150030001500300015003000111210119108978710119108978791089787897877877≤-+-+-+-+-++≤≤-+-+-+-++≤≤-+-+-++≤≤-+-++≤≤-++≤≤+≤y x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x x y x y x x y x x x又有年底库存量不少于300则：300300121112101191089787≥--+-+-+-+-++y y x y x y x y x y x x化为抽象的线性规划模型为：90024255.28275.2831255.25295.27295.31max 121110987121110987-------+++++=x x x x x x y y y y y y z ，;12,,8,7;0,0120030012003001200300120030012003001200300121112101191089787111210119108978710119108978791089787897877877 =≥≥--+-+-+-+-+≤-+-+-+-+-+≤-≤-+-+-+-+≤-≤-+-+-+≤-≤-+-+≤-≤-+≤-≤≤-i y x y y x y x y x y x y x x y x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x x y x y x x y x x x STi i线性规划目标函数的系数:f = [31; 28.5; 27; 28.5;25;24;-31.5;-29;-27.5;-29;-25.5;-25]; 约束方程的系数及右端项： A=[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0 1,1,1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0 1,1,1,1,0,0,-1,-1,-1,0,0,0 1,1,1,1,1,0,-1,-1,-1,-1,0,0 1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,0 -1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 -1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0 -1,-1,-1,0,0,0,1,1,0,0,0,0 -1,-1,-1,-1,0,0,1,1,1,0,0,0 -1,-1,-1,-1,-1,0,1,1,1,1,0,0 -1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,0 -1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1];b=[1200;1200;1200;1200;1200;1200; 300; 300; 300; 300; 300; 300;0]; lb=zeros(12,1);[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);实验2 非线性规划模型一、实验名称：非线性规划模型。

算法分析与设计狼找兔子

链表法的具体实现
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <windows.h> typedef struct shandong { int num; int state; struct shandong *next; }cave;
void createlist(cave *head,int n) {//创建链表并初始化， p->state =0代表狼未进山洞 cave *p,*q; int i; p=head; for(i=0;i<n-1;i++) { p->num=i; p->state=0; q=(cave *)malloc(sizeof(cave)); p->next=q; p=q; } p->num=n-1; p->state =0; p->next=head; }
公约数法
#include <stdio.h> int check(int n,int m) { int i,temp,k; k=m<n?m:n; for(i=1;i<=k;i++) { if(m%i==0&&n%i==0) { temp=i; } } return temp; }
void main() { int n,m,result; scanf("%d",&n); scanf("%d",&m); result=check(n,m); if(result==1) printf(“该兔子死定了！\n"); else printf(“有安全山洞！\n"); }

数学建模例题题

数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。

一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。

要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。

要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。

【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。

语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。

数学模型--狼追击兔子的问题

数学模型--狼追击兔子的问题一、问题重述与分析（一）问题描述神秘的大自然里，处处暗藏杀机，捕猎和逃生对动物的生存起着至关重要的作用，而奔跑速度和路线是能否追上和逃生的关键因素。

狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达•芬奇提出的一个数学问题。

当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。

当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。

狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。

狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。

（二）问题分析1、本题目是在限定条件下求极值的问题，可以通过建立有约束条件的微分方程加以模拟。

2、通过运用欧拉公式及改进欧拉公式的原理，结合高等数学的有关知识，对微分方程进行求解。

3、将数学求解用Matlab程序语言进行实现得出方程的近似解。

4、最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。

二、变量说明V1 :兔子的速度（单位：码/秒）r :狼与兔子速度的倍数；V2：狼的速度（单位：码/秒），显然有v rv it:狼追击兔子的时刻（t=0时，表示狼开始追兔子的时刻）◎:在时刻t，兔子跑过的路程（单位：码），$ s（t）S2 ：在时刻t，狼跑过的路程（单位：码），S2 S2（t）Q（x i,yj :表示在时刻t时，兔子的坐标P（x,y）:表示在时刻t时，狼子的坐标三、模型假设1、狼在追击过程中始终朝向兔子；2、狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P（x, y）的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为y y（x）。

3、当猎狗与兔子之间的距离相当小时认为猎狗已经追上了兔子。

四、模型建立（一）建模准备以t = 0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x轴正向；则显然有兔子位置的横坐标x i 0。

对狼来说，当x = 100 , y= 0,即y x 1000在t = 0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x轴负方向, 则有y xi00 0（二）建立模型1、追击方向的讨论由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P（x,y）点过狼的轨迹处的切线方向在y轴上的截距为y i。

小学奥数猎追兔问题及解析

小学奥数猎*追兔问题及解析
猎*追赶前方30米处的野兔.猎*步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎*跑3步的时间兔子能跑4步。

*至少跑出多远才能追上野兔?(思考：此时兔子跑了多少米?)
【解析一】猎*跑12步的路程兔子要跑21步，猎*跑12步的时间兔子要跑16步，在猎*跑12步这个单位时间内，两者的速度差为兔子的5步，所以猎*追击距离为：30÷5×21=126(米).
【解析二，推荐】此处求*跑了多少米，所以统一兔子。

题目条件统一兔子
距离兔7步，*4步兔28步，*16步
时间兔4步，*3步兔28步，*21步
所以兔子跑28步时间内，*比兔子多跑*步长的21-16=5步。

*要跑30÷5×21=126米才能追上兔子。

思考：如果要求兔子跑了多少米，就得统一*。

题目条件统一兔子
距离兔7步，*4步兔21步，*12步
时间兔4步，*3步兔16步，*12步
所以*跑12步时间内，*比兔子多跑兔步长的21-16=5步。

兔要跑30÷5×16=96米才能追上兔子。

当然也可以用126米-30米=96米。

饿狼追兔问题数学建模

饿狼追兔问题数学建模数学建模饿狼追兔问题摘要本文研究饿狼追兔问题，是在给定狼兔相对位置，以及兔子巢穴位置的情况下求解的，狼的速度是兔子速度两倍，在不考虑其他任何因素的情况下研究狼能否追上兔子的问题。

首先，我们对问题进行了适当的分析，然后根据已知条件建立了狼的运动轨迹微分模型。

其次，根据建好的模型，运用MATLAB编程，然后仿真画出了饿狼和野兔的运动轨迹图。

再次，用解析方法将建立的模型求解，并给出该问题的结论，准确的回答题目。

最后，用数值方法求解，将所求与前面所求进行对比，也给出结论，回答题目。

并将两种方法做相应比较。

结论：野兔可以安全回巢关键词：算法高阶常微分方程§1.1问题的提出在自然界中，各种生物都有它的生活规律，它们钩心斗角，各项神通，在饿狼追野兔的工程中，饿狼的速度是野兔的二倍，但是野兔有自己的洞穴，野兔在跑到自己洞穴之前被狼捉住，野兔就将会成为饿狼的囊中之物；如果野兔在饿狼捉住自己之前跑回到自己的洞穴，那么野兔就保住小命，得以生还。

图1-1-1为饿狼追野兔的两条曲线，其中绿线表示野兔，图中的箭头表示的是野兔的奔跑方向，野兔从远点开始沿y轴正方向运动，其洞穴在坐标为（0，60）的位置；红线为饿狼的运动轨迹，，图中的剪头表示饿狼追逐野兔的方向，饿狼从坐标为（100，0）的方向追逐野兔，饿狼的速度是野兔速度的二倍。

建立数学模型需研究一下几个问题：（1）设野兔的速度我v0，饿狼的速度为v1，野兔的奔跑方向是沿y轴正方向奔跑，而饿狼的方向是一直指向野兔的方向，即饿狼的运动的轨迹某一时候的切线指向同一时刻的野兔的位置。

建立饿狼追野兔的运动轨迹微分模型。

（2）根据建立的饿狼运动轨迹得微分模型，作出饿狼与野兔的运动轨迹图形。

（3）用解析方法求解，即根据第二步作出的饿狼渔业突地运动轨迹图形，分析兔子能否安全回到巢穴，即野兔的运动曲线与饿狼的运动曲线的交点是在点（0，60）-野兔巢穴的上面还是下面。

狼追兔子数据结构课程方案

个人资料整理仅限学习使用青岛大学软件技术学院游戏算法实践报告姓名曹宁专业数字媒体艺术班级10级4班指导教师刘春秋2018年1 月 16 日目录个人资料整理仅限学习使用1问题定义与描述 31.1问题定义 31.2问题描述 32关键技术 33数据的组织 33.1数据类型定义 33.2数据存储结构 44总体设计 44.1系统模块图 44.2栈的基本操作 44.3顺序表的基本操作 45详细设计 55.1顺序存储的线性表 56测试结果及分析 77心得体会 8附录：程序代码91问题定义与描述1.1问题定义现实中很多利用顺序表，栈解决一些数学模型问题1.2问题描述围绕着山顶有10 个圆形排列的洞，狐狸要吃兔子，兔子说：“可以，但必须找到我，我就藏身于这十个洞中，你可以先到 1 号洞找我，第二次隔一个洞<即 3 号洞）找，第三次隔两个洞 <即 6 号洞）找，以后如此类推，次数不限。

”但狐狸从早到晚进进出出1000 次，但仍没有找到兔子，问兔子究竟藏身于哪个洞里2.关键技术顺序表一次申请多个空间，包括结构体定义的。

N 为整数，这样得到的就是N 个连续的空间。

顺序表可以利用类似于数组的形式访问，即通过下标访问。

当然定义的变量类型必须是指针类型的，很方便，当然也可以通过像链表一样的访问。

单链表只是将空间分散开了，这样的优点就是动态申请，需要多少就申请多少，一般一次申请一个空间结点，即 N=1。

3数据的组织3.1 数据类型定义数据结构，顺序表，栈，单链表，数组。

在程序设计中，为了处理方便，把具有相同类型的若干变量按有序的形式组织起来。

这些按序排列的同类数据元素的集合称为数组。

在 C 语言中，数组属于构造数据类型。

一个数组可以分解为多个数组元素，这些数组元素可以是基本数据类型或是构造类型。

因此按数组元素的类型不同，数组又可分为数值数组、字符数组、指针数组、结构数组等各种类别。

3.2 数据存储结构栈以顺序结构实现，队列以链表结构实现。

一只狼追逐一只兔子,狼追兔问题解读及练习题

一只狼追逐一只兔子，狼追兔问题解读及练习题简介一只狼追逐一只兔子是一个常见的问题，用于解释追及一点的概念。

该问题基于以下背景：一只兔子以恒定速度向前跑动，而一只狼以更快的速度开始追逐兔子。

问题是，狼是否能追上兔子，并且若能追上，则需要多长时间。

解读该问题可以用简单的数学模型来解决。

假设兔子的速度为v1，狼的速度为v2，并且兔子与狼的初始距离为d。

根据这些条件，可以得出以下结论：- 如果v2大于v1，则狼能追上兔子并且需要的时间为d / (v2 - v1)。

- 如果v2小于或等于v1，则狼永远无法追上兔子。

练题下面是一些练题，帮助你巩固对狼追兔问题的理解。

问题一一只兔子以10 m/s的速度向前跑动，而一只狼以15 m/s的速度开始追逐兔子。

兔子与狼的初始距离为1000米。

狼需要多长时间才能追上兔子？解答一根据公式，狼需要的时间为1000米 / (15 m/s - 10 m/s) = 200秒。

问题二一只兔子以20 km/h的速度向前跑动，而一只狼以18 km/h的速度开始追逐兔子。

兔子与狼的初始距离为5公里。

狼能否追上兔子？解答二根据公式，狼需要的时间为5公里 / (18 km/h - 20 km/h) = -5公里 / 2 km/h = -2.5小时。

由于时间为负值，狼无法追上兔子。

总结一只狼追逐一只兔子是一个简单而有趣的问题，通过数学模型可以确定是否狼能追上兔子以及需要的时间。

记住，狼只有在速度比兔子快时才能追及兔子，否则狼将永远无法追上。

数模教材

第三章微分方程模型与一阶常微分方程初值问题数值解3.1 一阶微分方程初值问题数值解一、两个模型1、饿狼追兔问题现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。

假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度解首先建立坐标系，兔子在O 处，狼在A 处。

由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。

设狼的行走轨迹是y=f(x)，则有 1000x y ='=，1000x y == 又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。

假设在某一时刻，兔子跑到 (0,h)处，而狼在(x,y)处，则有()02x h y f x x h -⎧'=⎪-⎨⎪=⎩⎰ 整理得到下述模型2()(100)0,(100)0xf x f f ⎧''=⎪⎨'==⎪⎩ 这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼的行走轨迹31221200()10303f x x x =-+因200(0)603f =>，所以狼追不上兔子。

2、尸体冷却模型y hA(100,0)O受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:20赶到凶案现场，测得尸体温度为32.6℃；一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为31.4℃，室温在几个小时内始终保持21.1℃。

此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5:00时打完电话后就离开了办公室”。

从张某到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题是，张某不在凶案现场的证言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。

解：首先应确定凶案的发生时间，若死亡时间在下午5点5分之前，则张某就不是嫌疑犯，否则不能将张某排除。

设T(t)表示t 时刻尸体的温度，并记晚上8:20为t=0，则T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。

(完整word版)饿狼追兔问题

高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题第一章摘要概述本文以狼追击兔子这一现实情况为背景，并合理的加以数学假设，着重实际与模型的结合，现有一只兔子和一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设当狼发现兔子时，兔子同时也发现了狼，这时二者一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，狼朝同样的方向在追兔子。

已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。

建立狼的运动轨迹微分模型。

通过画出的兔子与狼的运动轨迹图形，用解析方法及数值方法求解，兔子能否安全回到巢穴？经过分析与求解，得知兔子无危险。

在自然科学和技术科学中往往遇到大量的微分方程问题。

通过对高阶微分方程的分析，我们对题目里提出的问题建立了符合实际的数学模型，在模型的求解过程中应用数学软件MATLAB等计算工具，编写相应的程序，解决实际问题。

论文最后对模型的优缺点进行了分析和评价，并提出了模型的改进方向和思路。

关键字微分方程饿狼追兔数学建模第二章模型的背景问题描述随着课改的深入开展，实际情景问题应运而生，并迅速发展成为命题的亮点、热点。

实际情景问题是复杂多变的，它贴近生活，为学生所熟悉，且以一定的知识为依托。

恶狼追兔的问题属于实际的情景问题，具有一定的时代气息。

数学模型一般是实际事物的一种数学简化。

它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。

是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。

有助于我们提高用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高我们分析问题和解决问题的能力，提高我们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使我们在今后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高我们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。

利用高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。

小学奥数猎追兔问题经典例题透析及练习检测题

小学奥数猎*追兔问题经典例题透析及练习检测题猎*追兔的整体解题思路是：⑴将两种动物单位化为统一，然后用路程差除以速度差得到追及时间。

⑵比例思想即将单位化为统一后，即得两种动物的速度比，由于追及时间相同，所以速度比等于路程比。

这样再引入份数思想得到路程差的份数。

例1：猎*追赶前方30米处的野兔。

猎*步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎*跑3步的时间兔子能跑4步。

*至少跑出多远才能追上野兔？（思考：此时兔子跑了多少米？）【解析一】猎*跑12步的路程兔子要跑21步，猎*跑12步的时间兔子要跑16步，在猎*跑12步这个单位时间内，两者的速度差为兔子的5步，所以猎*追击距离为：30÷5×21=126（米）。

【解析二，推荐】此处求*跑了多少米，所以统一兔子。

题目条件统一兔子距离兔7步，*4步兔28步，*16步时间兔4步，*3步兔28步，*21步所以兔子跑28步时间内，*比兔子多跑*步长的21-16=5步。

*要跑30÷5×21=126米才能追上兔子。

思考：如果要求兔子跑了多少米，就得统一*。

题目条件统一兔子距离兔7步，*4步兔21步，*12步时间兔4步，*3步兔16步，*12步所以*跑12步时间内，*比兔子多跑兔步长的21-16=5步。

兔要跑30÷5×16=96米才能追上兔子。

当然也可以用126米-30米=96米。

猎*追兔问题常见易错题1.猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑的兔子，立刻追赶，猎犬步子大。

它跑5步的路程，兔子跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步，猎犬至少跑多少米才能追上兔子？思路一：*5步=兔子9步步幅之比=9：5*2步时间=兔子3步时间步频之比=2：3则速度之比是9×2：5×3=6：5这个9米应该是9步单位好像错了是指*的9步距离6×9/（6-5）=54步思路二：速度=步频×步幅猎犬：兔子=2×9：3×5=18：15，18-15=3，9÷3=318×3=542.猎*发现离它110米处有一只奔跑的兔子，马上紧追上去，猎*跑5步的距离兔子要跑9步，猎*跑2步的时间兔子要跑3步，问猎*跑多远才能追上兔子？*：设*的步进为l1，兔子为l2，*的跑步频率为f1，兔子为f2，显然有：l1/l2=9/5，f1/f2=2/3又设*的速度为v1，兔子为v2，则v1/v2=（l1*f1）/（l2*f2）=6/5设*跑了x米追上兔子，则因为时间相等，有：x/v1=110/（v1-v2）所以：x=110*v1/（v1-v2）=110/（1-v2/v1）=660*要跑660米设：猎*跑1步的距离x米，兔子跑1步的距离y米，猎*跑a米远才能追上兔子∵猎*跑5步的距离兔子要跑9步∴5x=9y∵猎*跑2步的时间兔子要跑3步，而猎*与兔子跑的时间相等∴a/2x=a-110/3y解┌5x=9y└a/2x=a-110/3y得（步骤略）a=660答：猎*跑660米远才能追上兔子。

完整word版饿狼追兔问题

高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题第一章大纲归纳本文以狼追击兔子这一现实情况为背景，并合理的加以数学假设，重视本质与模型的结合，现有一只兔子和一匹狼，兔子位于狼的正西 100 米处，假设当狼发现兔子时，兔子同时也发现了狼，这时二者一起起跑，兔子往正北 60 米处的巢穴跑，狼朝同样的方向在追兔子。

已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。

建立狼的运动轨迹微分模型。

经过画出的兔子与狼的运动轨迹图形，用解析方法及数值方法求解，兔子可否安全回到巢穴？经过解析与求解，得知兔子无危险。

在自然科学和技术科学中经常遇到大量的微分方程问题。

经过对高阶微分方程的解析，我们对题目里提出的问题建立了吻合本质的数学模型，在模型的求解过程中应用数学软件 MATLAB 等计算工具，编写相应的程序，解决实责问题。

论文最后对模型的优缺点进行了解析和议论，并提出了模型的改进方向和思路。

要点字微分方程饿狼追兔数学建模第二章模型的背景问题描述随着课改的深入张开，本质情况问题应运而生，并迅速发展成为命题的亮点、热点。

本质情况问题是复杂多变的，它贴近生活，为学生所熟悉，且以必然的知识为依赖。

恶狼追兔的问题属于本质的情况问题，拥有必然的时代气味。

数学模型一般是本质事物的一种数学简化。

它经常是以某种意义上凑近本质事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的差异。

是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，建立授课模型的过程，是把千头万绪的实责问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。

有助于我们提高用数学理论和方法去解析和解决问题的全过程，提高我们解析问题和解决问题的能力，提高我们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使我们在今后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高我们尽量利用计算机软件及今世高新科技成就的意识，能将数学、计算机有机地结合起来往解决实责问题。

利用高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西 100 米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北 60 米处的巢穴跑，而狼在追兔子。

四狼大围捕兔子巧脱险

的速度为１．４．
解法２在ＡＤ中点取Ｇ，兔子沿ＯＧ走，所需时间
ｔ＝１÷１＝１．ｔ（狼到Ｇ）＝３÷１．４＞１，ｔ（狼Ｃ到
（１）先降低难度，四只狼改为只有一只狼，设狼
在Ｂ点（如图１）．
Ｇ）＝３÷１．４＞１，兔子逃脱．
为半径确定点Ｄ，进而确定点Ｅ、Ｆ，显然当点Ｃ绕
对于如图１的 ⑤⑥ 两图，是否稳定呢？
Ｄ
，
圆运动时，点Ｆ的运动轨迹是变圆，用几何画板验证
了这一点（如图９）．所以点ＡＦ长度一旦确定，则点Ｆ也就确定，因而六边形就是稳定的图形了．
ｇ垤露６６琶％％
运动时，点Ｅ的轨迹是圆心和半径都改变的变圆．根据推论可知：显然五边形需要且只需要任意２条对角线就能把五边形固定．那么对于六边形至少需要３条对角线才能把六边
中学数学杂志
２０１５年第ｌ０期
√ ２，所以此时兔子能顺利逃脱．
（２）四只狼改为二只狼，且两狼相邻，设狼在Ｂ、Ｃ两点（如图２）．
４０
中学数学杂志
２０１５年第１０期
如图６（图中，Ｅ、、Ｆ、 Ⅳ 位置同图５），兔子沿ＯＮ走，走到 Ⅳ点时，观察狼Ｄ该时刻的位置Ｐ，若Ｐ在ＤＣ上（不包括Ｄ），兔子沿 ⅣＦ走，若Ｐ在ＡＤ上（不包括Ｄ），兔子可沿ＮＥ走，若Ｐ刚好就在Ｄ点上，兔子

狼追兔子数据结构课程设计

狼追兔子数据结构课程设计青岛大学软件技术学院游戏算法实践报告姓名曹宁专业数字媒体艺术班级 10级 4班指导教师刘春秋2013年 1 月 16日目录1 问题定义与描述 (4)1.1 问题定义 (4)1.2 问题描述 (4)2 关键技术 (4)3 数据的组织 (4)3.1数据类型定义 (4)3.2数据存储结构 (5)4 总体设计 (5)4.1 系统模块图 (5)4.2栈的基本操作 (4)4.3顺序表的基本操作 (4)5 详细设计 (6)5.1顺序存储的线性表 (6)6 测试结果及分析 (7)7 心得体会 (8)附录：程序代码 (9)1问题定义与描述1.1 问题定义现实中很多利用顺序表，栈解决一些数学模型问题1.2 问题描述围绕着山顶有10个圆形排列的洞，狐狸要吃兔子，兔子说：“可以，但必须找到我，我就藏身于这十个洞中，你可以先到1号洞找我，第二次隔一个洞（即3号洞）找，第三次隔两个洞（即6号洞）找，以后如此类推，次数不限。

”但狐狸从早到晚进进出出1000次，但仍没有找到兔子，问兔子究竟藏身于哪个洞里2.关键技术顺序表一次申请多个空间，包括结构体定义的。

N为整数，这样得到的就是N个连续的空间。

顺序表可以利用类似于数组的形式访问，即通过下标访问。

当然定义的变量类型必须是指针类型的，很方便，当然也可以通过像链表一样的访问。

单链表只是将空间分散开了，这样的优点就是动态申请，需要多少就申请多少，一般一次申请一个空间结点，即N=1。

3 数据的组织3.1数据类型定义数据结构，顺序表，栈，单链表，数组。

在程序设计中，为了处理方便，把具有相同类型的若干变量按有序的形式组织起来。

这些按序排列的同类数据元素的集合称为数组。

在C语言中，数组属于构造数据类型。

一个数组可以分解为多个数组元素，这些数组元素可以是基本数据类型或是构造类型。

因此按数组元素的类型不同，数组又可分为数值数组、字符数组、指针数组、结构数组等各种类别。

3.2数据存储结构栈以顺序结构实现，队列以链表结构实现。

数学模型--狼追击兔子的问题

狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。

当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。

当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。

狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。

（二）1、本题目是在限定条件下求极值的问题,可以通过建立有约束条件的微分方程加以模拟。

2、通过运用欧拉公式及改进欧拉公式的原理,结合高等数学的有关知识,对微分方程进行求解。

3、将数学求解用Matlab4、最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。

二、变量说明v：兔子的速度（单位：码/秒）1r ：狼与兔子速度的倍数；2v ：狼的速度（单位：码/秒），显然有12rv v =t ：狼追击兔子的时刻（t =0时，表示狼开始追兔子的时刻）1s ：在时刻t ，兔子跑过的路程（单位：码），)(11t s s =2s ：在时刻t ，狼跑过的路程（单位：码），)(22t s s =Q ),(11y x ：表示在时刻t 时，兔子的坐标 P ),(y x ：表示在时刻t 时，狼子的坐标三、模型假设1、狼在追击过程中始终朝向兔子；2、狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P ),(y x 的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为)(x y y =。

3、四、模型建立（一）建模准备以t ＝0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x 轴正向；则显然有兔子位置的横坐标01=x 。

对狼来说，当x ＝100，y ＝0，即0100==x y在t ＝0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x 轴负方向，则有 0100='=x y （二）建立模型1、追击方向的讨论由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P ),(y x 点过狼的轨迹处的切线方向在y 轴上的截距为1y 。

追击问题解析解方法

两式消去 h，可得：

b
x
1 [ f ' (t )]2 dt 2[ y xf ' ( x)]
2 两边对 x 求导： 1 [ f ' ( x)] 2 xf ' ' ( x)
所以可得 y=f(x)满足下面的微x )]2 2 xf ' ' ( x ) f ' ( x ) | x b 0 f ( x ) | x b 0
基本假设：狼跑动的方向应该是始终正对着兔子的，所以狼的运动路线是一条曲线，如下图：
y A(0,a) y=f(x) H(0,h) C(x,y) O(0,0) B(b,0) x
狼能追上兔子的条件：？解决问题的关键：求出狼的运动轨迹为 y=f(x) 由于初始时刻兔子位于原点处，狼的运动方向应该是正对原点，所以有：
y'| x b 0, y | xb 0
设兔子跑到 H(0,h)处时，狼跑到 C(x,y)处，则（注意狼的速度是兔子的两倍，狼跑的方向应该正对兔子，狼跑的距离是由弧长公式计算出来的）：
h y f ' ( x) 0 x b 1 [ f ' (t )]2 dt 2h x
用 matlab 解上面的微分方程可得：
y
1 2 1/ 2 ( 3 b x ) x b 3b1/ 2 3
2 2 所以当 x 0时, y b ,也就是说当 b a ，狼可以追上兔子。 3 3 附：求解微分方程的 matlab 代码： y=dsolve('2*x*D2y=(1+(Dy)^2)^(1/2)','y(b)=0','Dy(b)=0','x')

2017满分作文：兴趣数学之狼追兔

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兴趣数学之狼追兔
数学，在我们身边无处不在，只要你用心，你就会惊讶，原来有那么多的数学在我们身边，数学，我们离不开它，它已经融入了我们的生活，它使我们的生活更加的方便。

虽然这么说，今天我还是第一次知道了数学的重要性，而且还闹了一个小笑话。

在家，爸爸给我出了一道数学题：一条狼在距离一只兔子10米的时候，狼和兔子一起跑，狼一分钟跑12米，兔子一分钟跑10米，问多少分钟后，狼能够追上兔子？
我当时没有认真想，随便看了题目就说：“狼离兔子只有10米，而狼每分钟跑12米，肯定不用一分钟就可以追上了。

”爸爸听了后哈哈大笑，说：“难道那只兔子不跑的吗？如果你是那只兔子，你会乖乖的让狼吃吗？”“呃…”“你看，狼每分钟跑比兔子快两米，那原本的十米要多久才会被狼追上呢？”“哦…。

”我恍然大悟地说“用狼和兔子的距离去除以狼每分钟比兔子快的距离。

”“那列式呢？”“就用10÷（12-10）=5(分钟)”“对了，其实数学并不难，一些数学题中的.关键在和你玩捉迷藏，只有你细心，认真的去看题目，理解题目的意思才能够正确的解答，”
是啊，数学其实是跟着自己的，我们强大它就会认输，我们认输的话它就会变强大。

只有细心，认真的去解题，用不服输的精神去对待它，不要遇到一点困难就退缩，问题很快就会迎刃而解的。

对狼追兔问题不同解法的思考——浅谈初高等数学的不同

课例研究新教师教学设有一只兔子和一只狼，兔子位于狼的正北100m 处。

假设兔子与狼同时发现对方，并开始了一场追逐。

兔子往正东60m 处的巢穴跑，而狼则在其后追赶。

假设兔子和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度的两倍。

问兔子能否安全回到巢穴。

解法一：对初中生来说，这是一个直角三角形的问题米。

狼的速度是兔子速度的两倍，兔子跑60米时，狼可以跑120米，现在实际距离是116.62米。

狼只要守株待兔，提前跑到兔巢，故兔子不能安全回到巢穴。

解法二：对高中生来说，这是一个速度分解的问题设兔子速度为v ，把狼的速度垂直分解成向北和向东两个方向的分速度，则向东的速度和兔子的速度相等为v ，狼的向北的米的路程时，狼恰好追上兔子，设时间为t狼截住兔子回巢的直线路程。

而115.47<116.62，因此狼跑直线路程，能在中途截住兔子回巢，所以兔子不能安全回到巢穴。

解法三：对大学生来说，这是微积分问题以上两种解法是狼知道兔子的巢穴，直奔目的地而去的情况。

实际情况是：狼一直盯着兔子跑，狼的速度大小不变但方向在不间断地瞬时改变，那么狼的追踪轨迹就不是直线，而是一条曲线。

设兔子速度为v e ，则狼得速度为v w ，当t =0时，狼位于原点O ，兔子位于（0，H ）点；当时刻t ，狼位于L （x （t ），y （t ）），兔子位于（v e t ，H ）点狼速度可由水平分速度与垂直分速度合成，以上三种解法在不同的学习阶段都可以说正确的，初等数学的两种解法结果狼能吃着兔子，高等数学的解法结果狼吃不着兔子，究其原因是狼追兔的方式不同，狼追击的路程也就不同。

高等数学的解法更接近狼一直盯着兔子追的实际情况。

刚上大学的学生认为高等数学难一点，初等数学容易一些，这样理解是片面的、错误的，忽视了原来人们对它们的认知。

从上例题的三种解法可以看出：初等数学是从相对静止的角度分析问题，用常量与匀变量解决问题；而高等数学用到的是动态的思维分析问题，用不匀变量解决问题。

饿狼追兔模型研究

饿狼追兔模型研究数学建模辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期姓名专业班级课程名称数学建模论文题目高阶常微分方程模型―饿狼追兔问题评定指标分值得分知识创新性 20 理论正确性 20 内容难易性 15 评结合实际性 10 知识掌握程度 15 定书写规范性 10 标工作量10 准总成绩 100 评语: 任课教师时间 09年月日备注 - 1 -年珊珊：饿狼追兔问题饿狼追兔模型研究摘要：本文建立狼的运动轨迹微分模型；在各种假设的情况下，通过数形结合的直观形象的画出兔子与狼的运动轨迹图形；采用解析方法和数值方法，研究兔子与狼的运行轨迹，编写matlab程序建立追击问题的数值模型。

关键词：饿狼追兔数值解析微分方程求解1 问题的背景1.1 问题的背景狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。

现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。

已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。

建立狼的运动轨迹微分模型。

画出兔子与狼的运动轨迹图形。

用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴，用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴。

狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。

狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子呢？为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。

2 模型的假设2.1将问题转化为图形如下- 2 -数学建模2.1.1图形说明建立直角坐标系：兔子初始位置向东为x轴，兔子的正北方方向为y轴，设点A为狼的初始位置，点O为兔子的初始位置，点B为兔子巢穴的位置，参照图（1）。

2.2 主要假设2.2.1 假设狼始终以兔子为目标，将二者看做两个运动的点。

2.2.2 假设外界条件对饿狼和兔子的运行轨迹没有任何影响。

3 符号说明S0 狼初始位置距离兔子巢穴的位置B 兔子t时间后运行的位置 S B点距离O点距离 T 运行经历的时间 v 兔子的运行速度 V 狼的运行速度r 兔子与狼的速度比4 分析、建立模型及模型求解4.1 模拟方法：通过已假设的条件，可知狼始终对准兔子，用参数方程x=x(t);y=y(t) t>=0来描述饿狼的运动轨迹，兔子做匀速直线运动，在t时刻兔子的位置是O点距B点距离s=v*t，因此当饿狼追击到点D的位置时，其速度指向点B，由几何关系有dy/dt=tan(θ)=―(s-y)/x=―(v*t-y)/x，（1）这并不是一个常量微分方程，为了进行数值模拟，还需做进一步的变形。