数学模型狼追击兔子的问题

数学模型--狼追击兔子的问题

一、问题重述与分析

（一）问题描述

神秘的大自然里，处处暗藏杀机，捕猎和逃生对动物的生存起着至关重要的作用，而奔跑速度和路线是能否追上和逃生的关键因素。

狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？

为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。

（二）

1、本题目是在限定条件下求极值的问题,可以通过建立有约束条件的微分方程加以模拟。

2、通过运用欧拉公式及改进欧拉公式的原理,结合高等数学的有关知识,对微分方程进行求解。

3、将数学求解用Matlab

4、最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。

二、变量说明

v：兔子的速度（单位：码/秒）

1

r ：狼与兔子速度的倍数；

2v ：狼的速度（单位：码/秒），显然有12rv v =

t ：狼追击兔子的时刻（t =0时，表示狼开始追兔子的时刻） 1s ：在时刻t ，兔子跑过的路程（单位：码），)(11t s s =

2s ：在时刻t ，狼跑过的路程（单位：码），)(22t s s =

Q ),(11y x ：表示在时刻t 时，兔子的坐标

P ),(y x ：表示在时刻t 时，狼子的坐标

三、 模型假设

1、狼在追击过程中始终朝向兔子；

2、狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P ),(y x 的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为)(x y y =。

3、

四、 模型建立

（一）建模准备

以t ＝0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x 轴正向；

则显然有兔子位置的横坐标01=x 。

对狼来说，当x ＝100，y ＝0，即0100==x y

在t ＝0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x 轴负方向， 则有 0100='=x y

（二）建立模型

1、追击方向的讨论

由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P ),(y x 点过狼的轨迹处的切线方向在y 轴上的截距为1y 。

设切线上的动点坐标为（X ，Y ），则切线方程为

)(x X y y Y -'=- （1）

在（1）中，令X ＝0，则截距x y y Y '-=。

此时t v y 11=。

则此时截距等于兔子所跑过的路程，即：

1y Y =，

从而可得

x y y y Y '-==1 （2）

2、狼与兔子速度关系的建模

在t 时刻，兔子跑过的路程为

t v y s 111==

（3） 由于狼的速度是兔子的r 倍，则狼跑的路程为

1

12ry rs s == （4）

狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到，如下。

dx y s x ⎰'+=100

221

（5） 联立（2）、（4）、（5）得

)(11100

2x y y r ry dx y x '-=='+⎰

（6） 对（6）两边求对x 的导数，化简得

rx

y y 2

1'+='' （7） 微分方程（7）式的初始条件有：

0100==x y

0100='=x y

3、是否追上的判断

要判定狼是否追上兔子，

可以通过（7）式判定。

对（7）式，

当x ＝0，如果计算求解得到60≥y ，则视为没有追上；

当x ＝0，如果计算求解得到60

五、 模型求解

由微分方程得到其Matlab 函数

function yy=odefunlt(x,y)

%以狼在追击过程中的横坐标为自变量

yy(1,1)=y(2);

yy(2,1)=sqrt(1+y(2).^2)./(2.*x);

主程序：

tspan=100:-0.1:0.1;%以狼的x 坐标为自变量

y0=[0 0];

%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，

狼与兔之间的距离

[T,Y] = ode45('odefunlt',tspan,y0);

n=size(Y,1);

disp('狼的坐标(x=0.1)')

disp(Y(n,1))%通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)时，狼的纵坐标

六、模型结果与分析

运行结果：

狼的坐标(x=0.1)

62.1932

通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。

七、思考题

通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。那么兔子跑回窝边时，狼与兔子之间的距离是多少？上面的程序不能解决此问题，那么用什么办法解决呢？

（一）解决思路

可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟，然后从模拟结果获取。

模拟程序如下，程序文件名sim_langtu.m：

function sim_langtu

%《狼兔追击问题》

%（离散模拟）

%这里没有具体考虑狼、兔的具体速度

%主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程

Q=[0 0];%兔子坐标

P=[100 0];%狼坐标

PQ=Q-P;%狼兔方向向量

step =1;%模拟步长：兔子奔跑的距离，step越小就越精确

count = 60/step;%以兔子的奔跑距离划分

PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量

trackP=P;

trackQ=Q;

for k=1:count;

P = P + 2*PQ;%2倍速度

Q = Q + step*[0 1];%[0 1]为兔子奔跑方向的单位方向向量

PQ = Q - P;

trackP(1+k,:)=P;

trackQ(1+k,:)=Q;

PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量

dis= sqrt(sum((P-Q).^2));

plot(trackP(:,1),trackP(:,2),'*',Q(1),Q(2),'rp',0,60,'r+'); pause(0.5)