力学基本模型轻绳轻杆和轻弹簧综合练习

绳、杆和弹簧是力学部分常见的三种模型，从它们自身特点来讲，其力学特点都非常明显，所以这三种模型的相关试题备受历次考试的关注，特别是弹簧模型的相关试题，更是每年高考必考的。以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒等，此类命题几乎每年的高考试卷均有所见，应引起足够重视。高考考纲中，对轻质弹簧的力学特性的要求为B级，而对其能量特征的要求为A级。本讲将重点针对弹簧模型进行研究。

二、重难点提示

1. 掌握三种模型的特点和区别。

2. 掌握三种模型力的特点，做好这几种模型所对应情景的过程分析。

3. 归纳常见题型的解题方法和步骤。

在中学物理中，经常会遇到绳、杆、弹簧三种典型的模型，现将它们的特点归类，供同学们学习时参考。

1. 轻绳（或细绳）

中学物理中的绳（或线），是理想化的模型，具有以下几个特征：

①轻：即绳（或线）的质量或重力可以视为等于零。由此特点可知，同一根绳（或线）的两端及其中间各点的张力大小相等；

②软：即绳（或线）只能受拉力，不能承受压力。由此特点可知，绳（或线）与其他物体相互间的作用力的方向总是沿着绳子；

③不可伸长：即无论绳（或线）所受拉力多大，绳（或线）的长度不变。由此特点可知：绳（或线）中的张力可以突变。

2. 轻杆

轻杆也是一种理想化的模型，具有以下几个特征：

①轻：即轻杆的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻杆的两端及其中间各点的张力大小相等；

②硬：轻杆既能承受拉力也能承受压力，但其受力的方向不一定沿着杆的方向；

③轻杆不能伸长或压缩。

3. 轻弹簧

中学物理中的轻弹簧，也是理想化的模型，具有以下几个特征：

①轻：即轻弹簧的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻弹簧的两端及其中间各点的张力大小相等；

②轻弹簧既能承受拉力也能承受压力，其受力方向与弹簧的形变方向相反；

③轻弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时弹簧的形变相对应。在题目中一般应从弹簧的形变入手分析，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化。

④因轻弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，则在瞬间内的形变量可以认为不变。因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不发生突变。

能力提升类

例1 如图所示，斜面与水平面间的夹角θ=30ο，物体A 和B 的质量分别为m kg A =10、m kg B =5。两者之间用质量可以不计的细绳相连。求：

（1）如A 和B 对斜面的动摩擦因数分别为μA =06.，μB =02.时，两物体的加速度各为多少绳的张力为多少

（2）如果把A 和B 位置互换，两个物体的加速度及绳的张力各是多少

（3）如果斜面光滑，则两个物体的加速度及绳的张力又各是多少

一点通：解答该题的关键在于对物体进行受力分析，连接物体的绳子中是否存在拉力是分析的难点所在，所以首先必须对物体的运动过程进行分析，判断A 、B 两物体的运动快慢，当A 运动的速度大于B 时，则两物体有共同的速度，绳子绷紧且有张力，反之则绳子松弛，绳子中的张力为0。

解答：（1）设绳子的张力为F T ，物体A 和B 沿斜面下滑的加速度分别为a A 和a B ，根据牛顿第二定律：

对于A 有m g F m g m a A T A A A A sin cos θμθ--= ①

对于B 有m g F m g m a B T B B B B sin cos θμθ+-= ②

设F T =0，即假设绳子中没有张力，联立①②式求解得

g a a A B B A cos ()θμμ-=-，因μμA B >，故a a B A >

说明物体B 运动得比物体A 快，绳松弛，所以F T =0的假设成立。故有，a g m s A A =-=-(sin cos )./θμθ01962，因与实际不符，则A 静止。

（2）如B 与A 互换位置，则g a a A B B A cos ()θμμ-=->0，即B 物体运动得比A 快，所以A 、B 之间有拉力且共速，用整体法可得

m g m g m g m g m m a A B A A B B A B sin sin cos cos ()θθμθμθ+--=+代入数据求出

a m s =0962./，用隔离法对B 进行分析，可得：m g m g F m a B B B T B sin cos θμθ--=，

代入数据求出F N T =115.

（3）如斜面光滑不计摩擦，则A 和B 沿斜面的加速度均为

a g m s ==sin /θ52，故两物体间无作用力。

例2 如图所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有一质量为m 的小球，下列关于杆对球的作用力F 的判断中，正确的是（ ）

A. 小车静止时，F mg =sin θ，方向沿杆向上

B. 小车静止时，F mg =cos θ，方向垂直杆向上

C. 小车向右以加速度a 运动时，一定有F ma =/sin θ

D. 小车向左以加速度a 运动时，F ma mg =+()()22，方向 斜向左上方，与竖直方向的夹角为α=arctan(/)a g

答案：D

一点通：对物体进行受力分析的过程中，确定杆的弹力的方向是难点，它可以是沿杆的方向，也可以不沿杆方向，所以首先计算出弹力沿着杆的方向时所对应的临界加速度，再来比较运动时间和临界加速度的关系。

解答：小车静止时，由物体的平衡条件知杆对球的作用力方向为竖直向上，且大小等于球的重力mg 。

小车向右以加速度a 运动，设小球受杆的作用力方向与竖直方向的夹角为α，如下图所示，根据牛顿第二定律有：F ma sin α=，F mg cos α=，两式相除得：tan /α=a g 。

只有当球的加速度a g =tan θ且向右时，杆对球的作用力才沿杆的方向，此时才有F ma =/sin θ。

小车向左以加速度a 运动，根据牛顿第二定律知小球所受重力mg 和杆对球的作用力F 的合力大小为ma ，方向水平向左。根据力的合成知

F ma mg =+()()22，

方向斜向左上方，与竖直方向的夹角为：α=arctan(/)a g 。 例3 如图所示，a 中的A 、B 用轻绳相连系于天花板上；b 中的C 、D 用轻杆相连置于水平面上；c 中的E 、F 用轻弹簧相连置于水平面上；d 中的G 、H 用轻弹簧相连再用轻弹簧系于天花板上，每个物体的质量相同。现在剪断a 中系于天花板的绳；在b 、c 中撤掉支持面；剪断d 中系于天花板上的弹簧，则在解除外界约束的瞬间，以上四种情况中各个物体的加速度分别为多大

一点通：解此类问题的关键是判断轻绳、轻杆、轻弹簧的弹力是发生突变还是发生渐变。只要抓住绳、杆、弹簧的特点就可以准确解题。

解答：在a 、b 两种情景中，解除外界约束的瞬间，轻绳、轻杆的作用力都突变为零，A 、B 、C 、D 均做自由落体运动，故有A B C D a a a a g ====。

在c 情景中，解除外界约束的瞬间，弹簧的弹力不能可发生突变，仍为原来的值（这是由于弹簧恢复原状需要时间），E 受到的合力仍为零，F 受到的合力为2mg ，故0E a =，2F a g =。

在d 情景中，解除外界约束的瞬间，G 受到的向上的弹力突变为零，因而受到的合力为2mg ，而系于G 、H 之间的弹簧的弹力不可能发生突变，仍为原来的值，则H 受到的合力仍为零，故2G a g =，0H a =。

综合运用类

例1 用如图所示的装置可以测量汽车在水平路面上运动时的加速度。该装置是在矩形箱子的前、后壁上各安装了一个压力传感器a 和b 。用两根相同的轻弹簧夹着一个质量m ＝2.0kg 的滑块，滑块可无摩擦滑动；两弹簧的另一端分别压在a 、b 上，其压力大小可直接从传感器的液晶显示屏上读出。当弹簧作用在传感器上的力为压力时，示数为正；当弹簧作用在传感器上的力为拉力时，示数