直线和圆的位置关系与圆的切线性质
3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质
（来自《点拨》）
知1－讲
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△ABC中，
AC＝3 cm，BC＝4 cm，∠ACB＝90°，
AC 2 BC 2 32 42 ＝5(cm)． 1 1 又∵S△ABC＝ 2 AB· CD＝ 2 AC· BC，
∴AB＝
∴CD＝2.4 cm. ∴r≥2.4 cm.
B．130°
C．50°
D．100°
（来自《典中点》）
1.直线与圆的三种位置关系可以用两种方式刻画： 一是用直线与圆的公共点的个数来确定，
二是用圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来
确定，两种方式本质上是一致的． 2.直线与圆的三种位置关系中“相切”最具有特殊性，由此 我们得到了圆的切线的定义和性质，在应用切线的性质 时，一定要抓住“垂直”这一特征，综合直角三角形的有 关知识灵活解决问题．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 〈永州〉如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC 上，∠A＝30°，D为 BC 中点．求证：
(1)AB＝BC；
(2)四边形BOCD是菱形． (1)要证AB＝BC，可证∠A＝∠ACB＝30°.由AB切⊙O于 导引： B，可得AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∴∠AOB＝60°＝ ∠ACB＋∠OBC.再由OB＝OC得∠OCB＝∠OBC＝30°. (2)连接OD，由D为 BC中点，可得OD垂直平分BC，再证 BC平分OD即可得出四边形BOCD为菱形．
（来自《典中点》）
)
知1－练
3 如图，∠O＝30°，P为边OA上的一点，且OP＝5，
若以P为圆心，r为半径的圆与射线OB只有一个公共 点，则半径r满足的条件是( A．r＝5
5 B．r＝ 2 5 C. ≤r<5 2 5 D．r＝ 或r>5 2
初三数学直线和圆的位置关系
初三数学直线和圆的位置关系一.直线和圆的位置关系：①相交：直线和圆有两个公共点，这时说这条直线和圆相交；这条直线叫做圆的割线；②相切：直线和圆有唯一公共点，这时说这条直线和圆相切；这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.③相离：直线和圆没有公共点，这时说这条直线和圆相离．二.直线和圆的位置关系的判定：（1）定理：若⊙O的半径为R，圆心到直线l 的距离为d. 则直线l与⊙O相交d﹤R；直线l与⊙O相切 d =R；直线l与⊙O相离d﹥R；（2）“圆心到直线的距离d和半径R的数量关系”与“直线和圆的位置关系”之间的对应与等价关系列表如下：例1、1.在Rt△ABC中，∠C=，AC=3cm，AB=6cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为_________cm.2.如图，⊙O的半径OD为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD方向平移_________cm时与⊙O相切.3.已知⊙O的直径为6cm，如果直线l上的一点C到圆心的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是_________.4.⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离d与R是方程x2－6x＋9=0的两个实数根，则直线l和⊙O的位置关系是_________.三．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2．切线的性质：①切线垂直于过切点的半径；②切线和圆心的距离等于半径；③经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；④经过切点垂直于切线的直线必过圆心.综上所述，在解决有关圆的切线的问题，连接圆心和切点的线段是最常见的辅助线.四、切线长的定义及切线长定理过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，如图所示，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段PA，PB的长即为点P到⊙O的切线长．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．例2、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AD∥CO.求证：CD是⊙O的切线.1、⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是（）A.d>RB.d<RC.d≤RD.d≥R2、点A为直线l上任一点，过A点与直线l相切的圆有（）个.A.1 B.2C.不存在 D.无数个3、在Rt△ABC中，∠A=，BA=12，CA=5，若以A为圆心，5为半径作圆，则斜边BC与⊙A的位置关系是（）A.相交 B.相离C.相切 D.不确定4、等边△ABC的边长为6，点O为△ABC的外心，以O为圆心，为半径的圆与△ABC的三边（）A.都相交B.都相离C.都相切D.不确定5、两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，作大圆的弦MN=8cm，则MN与小圆的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离D．无法判断6、如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相交C．相切 D．以上三种情形都有可能7、下列说法正确的是（）A．垂直于切线的直线必过切点B．垂直于半径的直线是圆的切线C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过圆心8、已知Rt△ABC的直角边AC=BC=4cm，若以C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则这个圆与斜边所在的直线的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．不能确定9、如右上图，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（）10、如下图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，∠D=__________．11、如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC相切时，OA=__________．12、设⊙O的半径为R，⊙O的圆心到直线的距离为d，若d、R是方程x2－6x＋m=0的两根，则直线l 与⊙O相切时，m的值为__________．13、已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，2cm为半径作⊙O，则⊙O与BC的位置关系是__________．14、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB=AC．15、如图，以边长为4的正△ABC的BC边为直径作⊙O与AB相交于点D，⊙O的切线DE交AC于E，EF⊥BC，点F是垂足，求EF的长．16、如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B．求证：PB是⊙O的切线．17、如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，∠BAC=30°，点C在⊙O上，过点C与⊙O相切的直线交AB 的延长线于点D，求线段BD的长．1．弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：2．扇形面积公式：（1）和含n°圆心角的扇形的面积公式同样不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：．（2）将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：。
与圆有关的位置关系及切线定理
与圆有关的位置关系及切线定理与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系如果圆的半径是r ，这个点到圆⼼的距离为d，那么：（1）点在圆外d>r ；（2）点在圆上d＝r；（3）点在圆内d2、直线与圆位置关系的定义及有关概念（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点（2）直线和圆有⼀公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.3、直线和圆的位置关系如果⊙ O的半径为r ，圆⼼O到直线l 的距离为d，那么（1）直线l 和⊙ O相交d（2）直线l 和⊙ O相切d＝r；（3）直线l 和⊙ O相离d>r；典例精析例1：已知直线l ：y＝x－3 和点A（0，3），B（3，0），设P点为l 上⼀点，试判断P、A、B是否在同⼀个圆上？例2：下列说法正确的是（）A. 过圆内接三⾓形的顶点的直线是圆的切线B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交D. 若直线和圆有唯⼀公共点，则公共点是切点例3：设直线l到⊙ O的圆⼼的距离为d，⊙ O的半径为R，并使x2 2 dx R 0 ，试根据关于x 的⼀元⼆次⽅程根的情况讨论l 与⊙ O的位置关系.3、圆和圆的位置关系外离（没有公共点）外切（1）相离（2）相切（有⼀个公共点）（3）相交（有两个公共点）内含（包括同⼼圆）内切注：两圆同⼼是两圆内含的⼀种特例.2、两圆的位置与两圆的半径、圆⼼距之间的数量关系设两圆的半径分别为R 和r ，圆⼼距为d，那么（1）两圆外离d>R＋r （2）两圆外切d＝R＋r（3）两圆相交R－r（4）两圆内切d＝R－r （5）两圆内含d典例精析例1：已知两个圆的半径分别为2、3，圆⼼距是d，若两圆有公共点，则 d 的取值范围为例2：已知⊙ O1 和⊙ O2内切，圆⼼距为7cm，⊙ O1 的半径为8cm，求⊙ O2 的半径.例4：如图：⊙ M的半径为8cm，⊙ N的半径为6cm，MN＝10cm，两圆相交于A、B 两点，连接AB与MN交于点C，求AB的长与相切有关的性质定理1、切线的性质定理：定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆⼼且垂直于切点的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切点的直线必经过圆⼼.2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3、切线的判定⽅法（1）定义：和圆只有⼀个公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：和圆⼼的距离等于半径的直线是圆的切线；（证长度）（3）定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.（证⾓度）两圆相切与相交的性质：（1）如果两圆相切，那么两圆的连⼼线经过切点；（2）两圆相交，连⼼线垂直平分相交圆的公共弦。
九年级数学下册《直线和圆的位置关系与圆的切线性质》教案、教学设计
1.培养学生对数学的兴趣和热情，使其在学习过程中体验到数学的乐趣。
2.培养学生的审美情趣，学会欣赏几何图形的美，提高学生的审美能力。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，养成独立思考、自主学习的好习惯。
4.培养学生的道德品质，如合作、尊重、诚信等，使其在数学学习过程中得到全面发展。
4.小组合作任务：分组讨论教材中的一个实际案例，分析直线与圆的位置关系及切线在实际问题中的应用，形成小组报告，并在下节课上进行分享。
5.课后复习：要求学生针对本节课的知识点进行复习，整理笔记，构建知识体系，为后续学习打下坚实基础。
作业布置要求：
1.学生需认真完成作业，保持字迹清晰，书写规范。
2.鼓励学生在完成作业过程中，积极思考，善于提问，遇到问题及时与同学或老师交流。
二、学情分析
九年级学生在前两年的数学学习中，已经掌握了基本的几何知识和解题方法。在此基础上，他们对直线和圆的位置关系有了初步的认识，能够判断直线与圆的相离、相切和相交情况。此外，学生对圆的性质也有一定的了解，为学习圆的切线性质奠定了基础。
然而，在解决实际问题时，学生可能会遇到以下困难：一是对直线与圆位置关系的判定不够熟练，容易出错；二是运用圆的切线性质解决问题时，缺乏灵活性和变通能力。针对这些情况，本章节教学应注重引导学生通过实践操作和合作交流，提高解题技巧和思维品质。
（3）结合学生的心理特点，创设有趣、富有挑战性的教学情境，激发学生的学习兴趣。
（4）关注学生的情感态度，营造宽松、和谐的教学氛围，增强学生的学习信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习引入：通过提问方式复习圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。例如，让学生回顾圆的半径、直径、周长、面积等基本概念，以及圆的对称性质。
3.6.1直线和圆的位置关系及切线的性质(教案)
在讲解切线方程求解时，我发现部分同学对于如何从几何性质过渡到代数表达存在一定的困难。针对这个问题，我打算在接下来的课程中，通过更多具体的例题和练习，逐步引导学生理解切线方程的求解方法，并加强个别辅导，帮助他们克服这一难点。
其次，切线性质的讲解过程中，我注意到有些同学对于切线与半径垂直这一性质的理解还不够深入。在以后的教学中，我可以尝试利用更多生活中的实例，如自行车的轮胎与地面接触点，让学生更直观地感受切线的性质。
此外，实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的效果还不错，但时间安排上略显紧张。在后续的教学中，我需要更合理地分配时间，确保学生们有足够的时间进行讨论和操作。
4.增强学生的数学运算和问题解决能力，使其能够熟练求解切线方程，并解决涉及切线的相关问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解直线和圆的位置关系：重点是让学生掌握相离、相切、相交三种位置关系的判定方法，并能通过图形识别和应用。
-掌握切线的性质：重点在于让学生理解切线与圆的半径垂直，以及过圆心的直线与切线垂直的性质，并能够运用这些性质解决具体问题。
3.6.1直线和圆的位置关系及切线的性质（教案）
一、教学内容
本节课选自教材3.6.1节，主要教学内容包括：
1.直线和圆的位置关系：相离、相切、相交。
2.切线的定义及性质：圆的切线垂直于过切点的半径，过圆心的直线与圆的切线垂直。
3.切线方程的求解：利用切线的性质求解圆的切线方程。
4.应用问题：运用切线的性质解决实际生活中的问题。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系 【基础知识】1、直线和圆的位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时，直线叫做圆的割线，这两个公共点叫做交点。
（2）相切：直线与圆有一个公共点时，叫做直线与圆想切这时直线叫做圆的切线，唯一的（1） 切线的性质：定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
（2） 推论1：经过圆心且垂直于切线的直径必过切点。
（3） 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
3、切线的判定定理及判定方法（1）切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的判定方法： ①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
②到圆心的距离等于半径的直线是远的切线。
③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
4、证明圆的切线的辅助线的方法：①连半径，证明垂直。
②做垂直，证半径。
例题1、如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，且AD=21BC ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，求证:以E 、F 为直径的的圆与BC 边相切。
【跟踪练习】1、已知：如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE，求证：DE与半圆O相切．2、如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O交CA于点E，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线；5、三角形的内切圆（1）内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外接三角形。
三角形的内心到三边的距离相等。
例题2．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，AC的长．例题3、如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是 DEF上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．【跟踪练习】1．图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．40°B．55°C．65°D．70°图1 图2 图32．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（）A．70°B．110°C．120°D．130°3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）A．112.5°B．112°C．125°D．55°6、切线长定理及切线长概念（1）切线长的概念：在经过员外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点倒圆的切线长。
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定(编)
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定【知识点一】：直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【典例分析】1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤52．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（﹣3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y＝x的图象相切时，点A的坐标变为（）A．（﹣2，0）B．（﹣，0）或（，0）C．（﹣，0）D．（﹣2，0）或（2，0）3．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（）A．40°或80°B．50°或100°C．50°或110°D．60°或120°第1题图第2题图第3题图4．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣2≤x≤2B．﹣2＜x＜2C．0≤x≤2D．﹣2≤x≤25．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．6．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．第4题图第5题图第6题图7．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且＝，连接DE．（1）若＝140°，求∠C的度数．（2）求证AB＝AP．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．【知识点二】：切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．【典例分析】1．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．B．C．D．52．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．第1题图第2题图第3题图4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，AD＝CD，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E ＝50°，则∠ACD等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC 相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）6．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A．2B．C．D．第4题图第5题图第6题图7．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．8．如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝．第7题图第8题图9．如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC．（1）求证：DE⊥AC；（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD 的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．13．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【知识点三】：切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．【典例分析】1．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E （1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．4．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CD⊥AB，联结OD、PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切线．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的平分线CO交AB边于点O，以点O为圆心，OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BO＝1，∠BAC＝30°，求△AOC的面积．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．8．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。
25.5直线和圆的位置关系(第二课时)切线的性质定理
.
O
l
A
推理 过程
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径 l是⊙ O 的切线,
切点是A,连接OA。 这时，如在直线l上任取 一点不同于A的点P， 连接OP， 因为点P在⊙ O 外，则 OP ＞OA。 也就是说OA是点O到直 线l的最短距离，根据垂 线段最短，所以ＯＡ⊥ｌ
.O
l
A
例：在Rt⊿ABC中,∠ACB=90o,D是边AB上一 点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E， 连结DE并延长,与BC的延长线交于点F． 求证：BD = BF
A
O
பைடு நூலகம்B D C
6、如图，⊙O的直径AB ＝4，C为圆周上一点， AC ＝2，过点C作⊙O的切线 l，过点B作l的 垂线BD，垂足为D，BD与⊙O 交于点E． ( 1) 求∠AEC的度数； （2）求证：四边形OBEC是菱形．
D C l A O B E
7、如图，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC 的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO 及延长线分别交AC、BC于点 G、F. (1) 求证：DF垂直平分AC； （2）求证：FC＝CE； （3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.
直线与圆的位置关系量化
r O ┐d r
●
●
O
r
●
O
l
d ┐
l
d
┐
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l 的距离为d,那么 (1)d＜r 直线l 与⊙O相交
l
(2) d=r
(3) d ＞ r
直线l 与⊙O相切
直线l 与⊙O相离
将前面思考中的问题 反过来,如果l是⊙O 的切线,切点为A,那么 半径OA与直线l是不 是一定垂直呢?
直线和圆的位置关系知识点归纳整理
直线和圆的位置关系知识点归纳整理直线和圆的位置知识点直线和圆有三种位置关系1.交点:当一条直线和一个圆有两个公共点时，称为直线和圆的交点。
此时直线称为圆的割线，公共点称为交点。
2.相切:当直线与圆有唯一的公共点时，称为直线与圆相切，然后直线称为圆相切。
3.分离:当一条直线和一个圆没有共同点时，称为直线和圆分离。
直线与圆的三种位置关系的判定与性质（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；(2)共点法:通过确定一条直线和一个圆的共点数来确定。
直线l与⊙O相交d<r2个公共点；直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；直线l与⊙O相离d>r无公共点。
切线知识点切线的定义:在平面中，与圆只有一个公共交点的直线称为圆的切线。
切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线为圆的切线。
切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。
切线长度:圆的切线上的点与切点之间的线段通过圆外一点的长度，称为该点到圆的切线长度。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.判断直线与圆位置关系的方法1、代数法:联立线性方程和圆方程，解方程，方程无解，直线与圆分离，方程有一组解，直线与圆相切，方程有两组解，直线与圆相交。
2、几何法:求出圆心到直线的距离d，半径为r。
d>r，则直线与圆相离，d=r，则直线与圆相切，d<r，则直线与圆相交。
如何判断直线和圆的位置关系平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1、由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
直线与圆的位置关系知识点总结
直线与圆的位置关系知识点总结在平面几何中，直线与圆的位置关系是一个重要且基础的知识点。
理解和掌握它们之间的关系，对于解决许多几何问题具有关键作用。
接下来，咱们就详细聊聊直线与圆的位置关系。
一、直线与圆的位置关系的定义直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。
当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交。
想象一下，就好像直线穿过了圆，与圆有两个交点。
当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。
这时候，直线就像是轻轻触碰了一下圆，只有那一个瞬间的接触点。
当直线与圆没有公共点时，就是直线与圆相离。
直线和圆仿佛处在两个完全不同的世界，没有任何交集。
二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。
若 d ＜ r，则直线与圆相交。
比如，圆的半径是 5，圆心到某条直线的距离是 3，因为 3 ＜ 5，所以直线与圆相交。
若 d ＝ r，则直线与圆相切。
比如半径为 6 的圆，圆心到某直线距离恰好为 6，那这条直线就与圆相切。
若 d ＞ r，则直线与圆相离。
比如圆半径 4，圆心到某直线距离 7，因为 7 ＞ 4，所以直线与圆相离。
2、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去其中一个变量（比如 y），得到一个关于另一个变量（比如 x）的一元二次方程。
通过判断这个一元二次方程的根的判别式Δ 的值来确定位置关系。
若Δ ＞ 0，则直线与圆相交，意味着有两个不同的交点。
若Δ ＝ 0，则直线与圆相切，只有一个交点。
若Δ ＜ 0，则直线与圆相离，没有交点。
三、直线与圆相交1、弦长公式当直线与圆相交时，所形成的线段称为弦。
弦长的计算可以通过勾股定理来推导。
设直线方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0，圆的方程为（x a)²＋（y b)²＝ r²，直线与圆的交点为 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)。
首先求出圆心（a, b) 到直线的距离 d ＝｜Aa ＋ Bb ＋ C| ／√（A²＋ B²) 。
直线与圆的位置关系与性质知识点总结
直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。
在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。
一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。
- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。
- 直线位于圆的内部，没有交点。
- 直线位于圆的外部，也没有交点。
2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。
与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。
- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。
通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。
二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。
定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。
2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。
3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。
4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。
三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。
- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。
2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。
3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。
24.2.3 直线和圆的位置关系(二)切线的判定和性质
24.2.3 直线和圆的位置关系（二）切线的判定和性质自主导学1．判定定理：过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
易错点睛如图，OC 平分∠AOB ，D 是OC 上任意一点．⊙D 和OA 相切于点E ，求证：OB 与⊙D 相切．OC【解答】过D 作DF ⊥OB 于F ，证DE ＝DF 即可。
【点睛】直线OB 与⊙D 尚不知有公共点时，不能“连半径，证垂直”，或“作垂直，证半径”。
FO CA 夯实基础知识点一 切线的判定1．如图，AB 是⊙O 的弦，BC 是过B 点的直线，∠OAB ＝20°，当∠ABC ＝70°时，BC 是⊙O 的切线．2．如图，点A 是⊙O 上一点，AB ＝2BC ＝8，⊙O 的半径为6．则AB 与⊙O 的位置关系是相切．A C OB3．如图，点A ，B ，D 在⊙O 上，∠A ＝25°，OD 的延长线与直线BC 交于点C ，且∠OCB ＝40°，则直线BC 与⊙O 的位置关系是___________．（相切）4．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 、E 分别是∠ACB 的平分线与⊙O ，AB 的交点，P 为AB 延长线上一点，且PC ＝PE .(1)试判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若PC ＝2，AB ＝25，求DE 的长．解：（1）PC 与⊙O 相切，连OC 、OD ，易证OD ⊥AB ，∴∠PCE ＋∠OCD ＝∠DEO ＋∠ODC ＝90°, ∴PC 与⊙O 相切。
（2）OP ＝,322=+OC PC ∵PC ＝PE ＝2, ∴DE ＝226OD OE +=知识点二 切线的性质5．（2016邵阳）如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C 、D 两点，且经过圆心O ．边AB 与⊙O 相切，切点为B ，已知∠A ＝30°，则∠C 的大小是30°6．(2016泰安改)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线，切点为F ．若∠ABF ＝65°，则么∠E ＝50°DOF AB7．如图．AB 是⊙O 的直径，圆周角∠BCD ＝120°，过D 点作⊙O 的切线交BA 的延长线于P ，则∠ABD ＝30°，∠P ＝30°． O PDC B AD AO P B C8．【经典必做题】如图，△ABC 中，∠ABC ＝ 90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，DE 切⊙O 于D ，交BC 于E ，求证：BE ＝ CE ＝DE ．O E DB A AD O证：连OD ，OE ，证△ODE ≌△OBE ,∴DE ＝BE ，连DB ，则∠BDC ＝90°，∵DE ＝BE ，∴DE＝CE，∴BE＝CEB综合运用9．【经典必做题】如图，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E (1)求证：DE是⊙O的切线；（2）求证：BD＝CD；(2)若AB＝10，BC＝，求OE的长．解：（1）方法一：连OD，∠B＝∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠ODE＝90°，∴DE⊙O的切线；方法二：连OD、AD，AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD∥AC，……以下同方法一（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD；(3)连AD，易证BD＝CD＝2，∴AD＝4，∴AD⋅CD＝AC⋅DE，∴DE＝4，∴OE＝10．【教材变式】（102页12题改）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF＝4，求AC的长．A解：（1）DE与⊙O相切，证OD∥AE即可；（2）作OG⊥AC于G，∴AG＝CG，∵∠BAD＝∠EAD，∴DF＝DE＝OG，∴△DOF≌△OAG，∴AG＝OF＝4，∴AC＝2AG＝8．G ECO AB F DC 拓广探究11．【教材变式】（102页12题及2016武汉元调改）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ．(1) 求证：AC 平分∠DAB ；(2) 连接CE ，若CE ＝6 ，AC ＝8，直接写出⊙O 直径的长解：（1）连接OC ，∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥OC ，又∵CD ⊥AD ，∴AD ∥OC ，∴∠CAD ＝∠ACO ，∵OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠ACO ，∴∠CAD ＝∠CAO ，即AC 平分∠DAB ；（2）解：∵∠CAD ＝∠CAO ，∴CE CB =，∴CE ＝BC ＝6，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，由勾股定理得：AB 22AC BC +2286+＝10，即⊙O 直径的长是10．。
直线和圆的位置关系切线的性质
直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半 径垂直于该直线。（有交点，连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再 证明这条垂线段等于圆的半径。（无交点，作垂直，证半径）
故AC平分∠DAB.
O
B
切线判定定理：
①过半径外端; ②垂直于这条半径.
切线性质定理：
①圆的切线; ②过切点的半径.
O
切线
l
A
切线垂直于半径
A
C
B
例2 如图，已知：O为∠BAC平分线上一
点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径
作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
A
DB O
EC
〖规范板书〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。
A
证明：过O作OE⊥AC于E。
∵ AO平分∠BAC，
D
B
O
E C
OD⊥AB于点D
∴ OE＝OD
∵ OD是⊙O的半径
∴ OE也是的切线,切点为A,那 么半径OA与直线L是不是一定垂直呢?
一定垂直
.O
L A
【切线的性质定理】
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
反证法
l
AM
证明：假设l与OA不垂直,
作OM⊥ l于M
因“垂线段最短”,
O
故OA>OM,
直线和圆位置关系“五注意”
直线和圆位置关系“五注意”1．一个规定直线和圆有两个公共点时，则直线和圆相交；直线和圆有唯一公共点时，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，则直线和圆相离．2．两种判断（1）与圆的距离等于半径的直线是圆的切线；（2）过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．3．三种关系直线与圆的三种位置关系：根据圆心O到直线的距离d与半径r的大小关系，可以得到直线与圆有相离、相交、相切三种位置关系，具体如下表：4．四个性质（1）圆的切线垂直于过切点的半径；（2）圆的切线和圆心的距离等于半径；（3）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（4）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．5．五点提示（1）理解位置关系时，可结合点与圆的三种位置关系进行类比，当某一条直线从已知圆的圆心出发，向圆外运动时，该直线与圆心的距离d是一个变量，变化到一定程度会导致直线与圆的位置关系的变化，应注意“相切”这一特殊位置．（2）判断位置关系时，要谱好以下“三步曲”“一看”：先看看直线和圆的公共点的个数；“二算”：算算圆心到直线的距离是否等于半径；“三证明”：方法1：当已知直线过圆上某一点时，要作出过该点的半径，证明直线垂直于这条半径，即连半径证垂直．方法2：当直线和圆的公共点没有确定时，要过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线距离等于半径，即过圆心做垂线，证明d=r．方法3：当能确定直线与圆有唯一公共点时，可直接应用定义进行判断．（3）注意几个重要概念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三个角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等；这个三角形叫做圆的外切三角形，同样，一个三角形有惟一的内切圆，但一个圆却有无数的外切三角形．还要特别注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；三角形的内切圆只有一个．（4）切线的判定方法有以下三种：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②与圆的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．其中①是切线定义，②和③的本质是相同的只是表达形式不同，解题时，可根据题目的特点选择适当的判定方法．（5）掌握直线和圆的三种位置关系，要注意数与形的巧妙结合．。
直线和圆的位置关系切线的判定与性质
1、判断： 判断： (1)过半径的外端的直线是圆的切线（ (1)过半径的外端的直线是圆的切线（×） 过半径的外端的直线是圆的切线 (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（ (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×） 与半径垂直的的直线是圆的切线 (3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的 (3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的 切线（ 切线（×）
C A O B D
O
切线判定定理： 切线判定定理：
①过半径外端; 过半径外端; ②垂直于这条半径. 垂直于这条半径.
切线
A
l
切线性质定理： 切线性质定理：
①圆的切线; 圆的切线;
切线垂直于半径
②过切点的半径. 过切点的半径.
PB于点B,PB=4,PA=2,则 于点B,PB=4,PA=2, 1、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O 如图, 的半径多少？ 的半径多少？
1、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O， 如图, ABC中,AB=AC,AO⊥BC于 ， OE⊥AC于E,以 为圆心,OE为半径作 为圆心,OE为半径作⊙ . OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O. 求证：AB是 的切线. 求证：AB是⊙O的切线. 的切线
F B O A E C
2、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线 如图,AB是 ,AB 的直径, AB的延长线 ∠CAB=30° 上,BD=OB,点C在⊙O上, ∠CAB=30°. ,BD=OB,点 求证:DC是 求证:DC是⊙O的切线. :DC 的切线.
α d
α ┓ A
D
图中直线l满足什么条件时是⊙ 图中直线 满足什么条件时是⊙O的切 满足什么条件时是 线？ O 方法1 直线与圆有唯一公共点 方法1：直线与圆有唯一公共点 l 方法2 直线到圆心的距离等于半径 方法2：直线到圆心的距离等于半径
直线与圆的位置关系知识点总结
直线与圆的位置关系知识点总结直线与圆的位置关系是几何学中一个重要的概念，涉及到直线和圆的交点、相切等不同情况。
本文将对直线与圆的位置关系进行总结，包括直线与圆的相交、相切以及不相交三种情况。
一、直线与圆的相交关系1. 直线与圆相交于两个交点：当直线与圆的位置关系是相交时，直线将穿过圆的两个交点。
这种情况通常出现在直线与圆的直径、弦或切线相交的情况下。
2. 直线与圆相交于一个交点：当直线与圆的位置关系是相切时，直线与圆仅有一个交点。
这种情况通常出现在直线是圆的切线的情况下。
二、直线与圆的相切关系1. 切线：当直线与圆的位置关系是相切时，直线与圆仅有一个交点，并且直线与圆的切点处的切线垂直于半径。
切线是圆上某一点的切线，它与半径的长度相等。
2. 外切线：当一条直线与圆的位置关系为外切时，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。
外切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。
3. 内切线：当一条直线与圆的位置关系为内切时，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。
内切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。
三、直线与圆的不相交关系当直线与圆的位置关系不相交时，即直线与圆没有交点。
总结：直线与圆的位置关系可以分为相交、相切以及不相交三种情况。
在相交的情况下，直线与圆相交于两个交点或一个交点。
在相切的情况下，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。
而不相交的情况下，直线与圆没有交点。
以上是对直线与圆的位置关系知识点的总结。
了解并掌握这些知识点对于解决相关几何问题非常重要。
希望本文能够帮助您更好地理解和应用直线与圆的位置关系。
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初中数学教学案例设计——直线与圆的位置关系
一、概述
九年制义务教育九年级数学(北师大版)下册第三章第五节“直线和圆的位置关系”。
本节是探索直线与圆的位置关系,课本通过操作、观察直线与圆的相对运动,提示直线与圆的三种位置关系，探索直线与的位置关系，和圆心到直线的距离与半径之间的大小关系的联系，并突出研究了圆的切线的性质和判定。
在本节的设计中，充分体现了学生已有经验的作用，用运动的观点研究直线与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律。
二、设计理念
鼓励学生从事观察、测量、折叠、平移、旋转、推理证明等活动，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验。
教学中应鼓励学生动手、动口、动脑和交流，充分展示“观察、操作——猜想、探索——说理（有条理地表达）”的过程，使学生能在直观的基础上学习说理，体现合情推理和演绎推理的融合，促进学生形成科学地、能动地认识世界的良好品质。
三、教学目标
（1）激发学生亲自探索直线和圆的位置关系。
（2）通过实践让学生理解直线与圆的三种位置关系——相交、相切、相离的含义。
（3）探索圆心到直线的距离与半径之间的数量关系和直线与圆的位置关系之间的内在联系。
（4）让学生们自主讨论通过学习“直线与圆的位置关系”有哪些收获？在现实生活中有哪些体现？
四、教学重点
直线与圆的三种位置关系——相交、相切、相离
从设置情景提出问题，到动手操作、交流，直至归纳得出结论，整个过程学生不仅得到了直线与圆的位置关系，更重要的是经历了知识过程，体会了一种分析问题的方法，积累了数学活动经验，这将有利于学生更好的理解数学、应用数学。
五、教学难点
探索圆心到直线的距离与半径之间的数量关系和直线与圆的位置关系之间的内在联系。
六、教学过程
教学步骤教师活动学生活动教学方式
复习过渡引入新知点与圆有哪几种位置
关系?设⊙O的半径为
r,点P到圆心的距离为
d,如何用d与r之间的
数量关系表示点P与
⊙O的位置关系?
在教师引导下回忆前
面知识，为探究新知
识作好准备。
由学生归纳总结
创设情景欣赏《海上日出》图
片，感受生活中反映
直线与圆的位置关系
的现象。
议一议：
学生分小组进行
讨论，可从直线与圆
交点的个数考虑：1
个交点，2 个交点，
没有交点。
学生分组讨论，师生
互动合作。
探索活动对学生分类中出现
的问题予以纠正，对
学生提出解决问题的
不同策略，要给予肯
活动一：操作、思
考
第一层次：动手操
作，并在操作中感受
经过对各种情况的
分析、归纳、总结，
对学生渗透分类讨论
的数学思想。
定和鼓励，以满足多样化的学生需要，发展学生个性思维。
按照公共点的个数进行分类（分三类）：直线与圆有两个公共点时叫做直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；直线与圆没有公共点时叫做直线与圆相离。
根据学生讨论的结果，教师板书，如果⊙O
的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么：
直线l与⊙O相交<==>d<r
直线l与⊙O相切<==>d=r
直线l与⊙O相离<==>d>r 直线与圆的位置关系的变化。
（1）直线与圆的公共点的个数有变化。
（2）圆心到直线的距离有变化。
第二层次：通过操作活动引导学生归纳直线与圆的三种位置关系。
活动二:探索圆心到直线的距离与半径之间的数量关系和直线与圆的位置关系之间的内在联系。
第一层次：观察垂足与⊙O的三种位置关系，使学生体会到：这三种位置关系分别同直线与圆的三种位置关系对应。
第二层次：探索圆心到直线的距离与半径之间的数量关系和直线与圆的位置关系之间的内在联系。
例题教学例在△ABC中：∠
A=45°，AC=4，以C
为圆心，r为半径的圆
与直线AB有怎样的
位置关系？为什么？
（1）r=1,（2）r=2,
（3）r=3。
关于直线与圆的位置
关系，不仅要理解它
的判定方法，还应掌
握如何运用该判定方
法判断直线与圆有怎
样的位置关系。
引导学生对问题
进行分析：要判定直
线AB与⊙C的位置
关系，就要比较圆心C
到直线AB的距离，
与⊙C的半径的大小。
因此，要作出点C到
直线AB的垂线段
CD，由CD与⊙C半
径之间的数量关系，
并可以判定直线AB
与⊙C的位置关系。
检测学生对知识掌
握情况及应用能力。
再次渗
透分类的数学思想，
体会分析的方法，积
累数学活动的经验。
巩固运用拓展提高
在Rt△ABC中，∠
C=90°，∠B=30°，
O是AB上一点，
OA=m，⊙O的半径为
r，当r与m满足怎样
的关系时，（1）AC与
⊙O相交？（2）AC
与⊙O相切？（3）AC
与⊙O相离？
鼓励学生自己举出
实例，体验数学在生
活中的应用。
反思小结提炼规律
教师带领学生回顾
反思本节课对知识的
研究探索过程，小结
方法及结论，提炼数
学生在教师引导下
回顾反思，归纳整理。
学思想，掌握数学规律。