3.1 刚体模型
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第三章 刚体的转动
M
o
r
F
M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F
※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
刚体力学 (17)
注意：定轴转动 定点转动瞬时转轴的方向
五、线速度
v v v dr dn × r v v v= = = ω ×r dt dt
注意：角速度为刚体共有， 线速度应是刚体上某一点的线速度
图
返回
表示绕转轴的转动，3 个独立的角度表示刚体的转动
二、刚体运动的分类
1. 2. 3. 4. 5.
平动
独立坐标数：3 独立坐标数：1 独立坐标数：2＋1
定轴转动
平面平行运动
Байду номын сангаас
定点转动独立坐标数：3 一般运动独立坐标数：3＋3 定点转动
学习重点：定轴转动 平面平行运动
§3.2 角速度矢量
一、矢量 ♥ 有大小、有方向 v v v v ♥ 满足对易律 A + B = B + A
第三章 刚体力学
刚体：理想模型. 任何两质点间的距离 不因力的作用而改变. 刚体力学的内容： 刚体运动学 刚体动力学 刚体静力学
§3.1 刚体运动的分析
一、描述刚体的独立变量
一个质点 一个点 二个点 三个点 3个独立坐标 ； n个质点 3个坐标能否确定刚体？ 6个坐标能否确定刚体？ 3个不在一条直线上的点 3点间距是常数 9－3＝6 9个坐标？ 3n?
位移、速度等线量满足对易律
二、有限转动
图
角位移、角速度不满足对易律
三、无限小转动的矢量性
无限小转动角位移、角速度满足对易律 角位移、角速度可用矢量描述 证明
四、角速度矢量 定义：
v v ∆n dn v = ω = lim ∆t → 0 ∆ t dt
dθ ω的大小：ω = ω dt
ω的方向：沿转动瞬轴
结论：刚体的独立坐标数是 6 .
如何用 6 个坐标？
五、线速度
v v v dr dn × r v v v= = = ω ×r dt dt
注意：角速度为刚体共有， 线速度应是刚体上某一点的线速度
图
返回
表示绕转轴的转动，3 个独立的角度表示刚体的转动
二、刚体运动的分类
1. 2. 3. 4. 5.
平动
独立坐标数：3 独立坐标数：1 独立坐标数：2＋1
定轴转动
平面平行运动
Байду номын сангаас
定点转动独立坐标数：3 一般运动独立坐标数：3＋3 定点转动
学习重点：定轴转动 平面平行运动
§3.2 角速度矢量
一、矢量 ♥ 有大小、有方向 v v v v ♥ 满足对易律 A + B = B + A
第三章 刚体力学
刚体：理想模型. 任何两质点间的距离 不因力的作用而改变. 刚体力学的内容： 刚体运动学 刚体动力学 刚体静力学
§3.1 刚体运动的分析
一、描述刚体的独立变量
一个质点 一个点 二个点 三个点 3个独立坐标 ； n个质点 3个坐标能否确定刚体？ 6个坐标能否确定刚体？ 3个不在一条直线上的点 3点间距是常数 9－3＝6 9个坐标？ 3n?
位移、速度等线量满足对易律
二、有限转动
图
角位移、角速度不满足对易律
三、无限小转动的矢量性
无限小转动角位移、角速度满足对易律 角位移、角速度可用矢量描述 证明
四、角速度矢量 定义：
v v ∆n dn v = ω = lim ∆t → 0 ∆ t dt
dθ ω的大小：ω = ω dt
ω的方向：沿转动瞬轴
结论：刚体的独立坐标数是 6 .
如何用 6 个坐标？
力学中四种模型的比较与例析
力学中四种模型的比较与例析
力学中常见的四种模型是：质点模型、刚体模型、弹性体模型和连续介质模型。
下面是它们的比较与例析：
1. 质点模型：
- 简化模型：将物体近似为质点，忽略物体的形状和大小，只考虑质点的位置和质量。
- 适用范围：适用于研究物体在非常短时间内的运动，或者物体的形状和大小对问题解答没有影响的情况。
- 例子：一个小球从斜面上滑下，可以用质点模型来分析小球的运动，忽略小球的大小和形状，只考虑小球的位置和质量。
2. 刚体模型：
- 简化模型：将物体看作刚体，忽略物体内部的形变和变形，只考虑物体整体的平移和旋转运动。
- 适用范围：适用于研究物体的平移和旋转运动，特别是对于刚体之间的碰撞和相互作用有很好的描述。
- 例子：两个碰撞的小球可以看作刚体，通过刚体模型可以分析它们之间的碰撞过程，例如碰撞后的速度和动量变化。
3. 弹性体模型：
- 简化模型：考虑物体内部的形变和变形，将物体看作具有弹性的材料，可以发生弹性变形。
- 适用范围：适用于研究物体的弹性变形和弹性力学性质，如弹簧的
拉伸和压缩等。
- 例子：一个弹簧被拉伸或压缩时，可以用弹性体模型来分析弹簧的形变和恢复力。
4. 连续介质模型：
- 简化模型：将物体视为连续的介质，假设物体的性质在空间上是连续变化的。
- 适用范围：适用于研究物体的流体力学性质，如流体的流动、压力和密度等。
- 例子：水流动时可以用连续介质模型来分析水流的速度和压力分布，忽略水分子的个体运动。
这些模型在不同情况下有不同的适用范围，选择合适的模型可以简化问题，使问题更容易解决。
理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
§3-1 刚体模型及其运动
二．平动和转动
平动：刚体运动时，若刚体内任意一条直线在 各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动 叫做平动。
特征： 1.运动学特征：平动时刚体中各质点的位移，
速度，加速度相等。刚体内任何一个质点的运动， 都可代表整个刚体的运动。
2.动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距 离保持不变的质点组。
对刚体中的每一个质元应用牛顿运动定律
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
பைடு நூலகம்
0
0t
1 2
t
2
v2 v02 2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0)
角量与线量的关系
d
dt
d
dt
d 2
d2t
v ret
at r an r 2
a
an
同 学 们 好
第三章 刚体的运动
出发点：牛顿运动定律
§3-1 刚体模型及其运动
刚体的运动形式：平动、转动。 （平动，定轴转动，定点转动， 平面平行运动，一般运动）
刚体是实际物体的一种理想的模型
一．刚体（理想模型）：在外力作用下，形状 和大小都不发生变化的物体 。（任意两质 点间距离保持不变的特殊质点组）
r
at
e v
t
a ret r 2en
刚体平动
质点运动
转动：刚体的各个质点在运动中都绕同一直线圆周 运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。 转动又分定轴转动和非定轴转动。 定轴转动：转轴固定不动的转动。
刚体定轴转动的运动学特征：质点在垂直转轴的 平面内作圆周运动，用角量度描述，刚体中各质 点的角位移 、角速度、角加速度均相等。
平动：刚体运动时，若刚体内任意一条直线在 各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动 叫做平动。
特征： 1.运动学特征：平动时刚体中各质点的位移，
速度，加速度相等。刚体内任何一个质点的运动， 都可代表整个刚体的运动。
2.动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距 离保持不变的质点组。
对刚体中的每一个质元应用牛顿运动定律
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
பைடு நூலகம்
0
0t
1 2
t
2
v2 v02 2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0)
角量与线量的关系
d
dt
d
dt
d 2
d2t
v ret
at r an r 2
a
an
同 学 们 好
第三章 刚体的运动
出发点：牛顿运动定律
§3-1 刚体模型及其运动
刚体的运动形式：平动、转动。 （平动，定轴转动，定点转动， 平面平行运动，一般运动）
刚体是实际物体的一种理想的模型
一．刚体（理想模型）：在外力作用下，形状 和大小都不发生变化的物体 。（任意两质 点间距离保持不变的特殊质点组）
r
at
e v
t
a ret r 2en
刚体平动
质点运动
转动：刚体的各个质点在运动中都绕同一直线圆周 运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。 转动又分定轴转动和非定轴转动。 定轴转动：转轴固定不动的转动。
刚体定轴转动的运动学特征：质点在垂直转轴的 平面内作圆周运动，用角量度描述，刚体中各质 点的角位移 、角速度、角加速度均相等。
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
第3章-刚体3.24
Liz mi ri vi mi ri
2
刚体对Oz轴的角动量为
Lz Liz mi ri ( mi ri )
2 2 i i i
令
J z mi ri
i
2
kg m
2
J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量。
Lz J z
2、转动惯量：（单位
kg m )
（2）转动惯量 J 是刚体转动惯性的量度
（3）瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。
(4)在定轴转动中，M z 和 的方向均在转轴方位， 可用代数表示。
例4.一质量为m，长为l 的均质细杆，转轴在o点，距 A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动， 求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直 位置时的角速度和角加速度。
J J c md
2 2
同样得
1 l 2 J ml m ml 12 3 2 1
例二 求质量为 m，半径为 R 的细圆环和均匀 薄圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动 时的转动惯量。 解：（1）在圆环上取一质量元为
dm dl m 2 R dl
dl
x
任意点P(r,)的转动可代表整个刚体的转动.
在p点的转动平面内进行研究. 1 描述点P转动的物理量为:
(1). 角坐标 (t) 一般规定逆时针转动为正. (2).角速度 定义:
d dt
o
• P
r
• P
单位:
rad/s
x
>0
一般规定逆时针转动时 > 0 顺时针转动时 < 0 方向用右手法则确定.
W
z
刚体力学优质课件
解 根据定义，飞轮的角速度为 d 2π 0t dt
飞轮的角加速度为 b d 20π dt
距转轴r处质点的切向加速度 at rb 2π 0r
法向加速度
an r2 40π20r2t
例 船用螺旋桨的正常转速为120r/min。从静止启动均匀地到
此转速需时40s。当转速为84r/min时运动系统出现振动，
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
解 根据题意，设 b kt2（k为比例常量）
由角加速度的定义，有
b dkt2
dt
分离变量并积分，有
d tkt2dt
➢ 说明
刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线； 刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，
各点的运动轨迹都相同； 刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律； 刚体质心的运动代表平动刚体的运动。
3. 刚体的转动 转动: 刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式。 转动轴: 刚体转动围绕的那条直线(转轴可以是固定的或变化的)。
y
确定刚体绕瞬时轴转过的角度j 。
O
当刚体受到某些限制——自由度减少。
x i = 3+2+1= 6
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
主要内容：
1. 描述刚体定轴转动的物理量 2. 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系 3. 刚体定轴转动运动学的两类问题
3.2.1 描述刚体定轴转动的物理量
角坐标
任选刚体上的任意点P点为参考点
刚体定轴转动的运动方程
(t)
角位移
若P在t 和t 后的角坐标为1和2，则
角速度
21
平均角速度
t
瞬时角速度 d dt
飞轮的角加速度为 b d 20π dt
距转轴r处质点的切向加速度 at rb 2π 0r
法向加速度
an r2 40π20r2t
例 船用螺旋桨的正常转速为120r/min。从静止启动均匀地到
此转速需时40s。当转速为84r/min时运动系统出现振动，
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
解 根据题意，设 b kt2（k为比例常量）
由角加速度的定义，有
b dkt2
dt
分离变量并积分，有
d tkt2dt
➢ 说明
刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线； 刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，
各点的运动轨迹都相同； 刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律； 刚体质心的运动代表平动刚体的运动。
3. 刚体的转动 转动: 刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式。 转动轴: 刚体转动围绕的那条直线(转轴可以是固定的或变化的)。
y
确定刚体绕瞬时轴转过的角度j 。
O
当刚体受到某些限制——自由度减少。
x i = 3+2+1= 6
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
主要内容：
1. 描述刚体定轴转动的物理量 2. 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系 3. 刚体定轴转动运动学的两类问题
3.2.1 描述刚体定轴转动的物理量
角坐标
任选刚体上的任意点P点为参考点
刚体定轴转动的运动方程
(t)
角位移
若P在t 和t 后的角坐标为1和2，则
角速度
21
平均角速度
t
瞬时角速度 d dt
刚体运动
z
A
角位移
r1
A
o1 o2
B r2
B
d 角速度 dt d 角加速度 dt
刚体的定轴转动
例：
一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀
地减速，经t=50 s后静止。
（1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过
的转数N；
（2）求制动开始后t=25s 时飞
0
轮的角速度 ； （3）设飞轮的半径r=1m，求在
t=25s 时边缘上一点的速
O a
an
v r at
度和加速度。
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀变 速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在 t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+at 得
（2）t=25s 时飞轮的角速度为
0 t 50 25rad / s 25rad / s 78.5rad / s
（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。 由
v r
v v r sin r sin 900 r 78.5m / s
J O J DO J dO
2 1 R 2 1 R 2 MR md md ( ) 2 2 2 2 2
1 3 R 2 MR md 2 2 2
M R 2 md
R
2
m
2 R R 4 2
c
a b
刚体的平动过程
c
a b b
刚体的平动过程
c
a b
刚体的平动过程
c
a b
第3章-1刚体汇总
2π
R
r
0
3dr
π
R4
0
Jz
1 2
mR2
2
非均匀圆盘呢？
o r dr R
dS rdrd (r,)
Jz r2 dS
d
o rr dr
R
x
质量为m，长为l 的均匀细棒绕质心且垂直于棒的
轴的转动惯量
JC
1 ml2 12
质量为m，长为l 的均匀细棒绕一端且垂直于棒的
轴的转动惯量
Jz
刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质 量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。
J mrG2
z
刚体对该转轴的回转半径rG为：
J rG m
三、刚体对Oz轴的角动量
m rG
Lz Jz
Lz J
Lz J
3-1-3 刚体对定轴的角动量定理 和转动定律
一、转动定律
质点系：
M
dL
dt
Mz
d Lz dt
JC r2dm
dm dx, m
z
l
O dm
r2 x2
x dx
x
JC
l/2 x2dx 1 x3 l/2
l / 2
3
l / 2
JC
1 12
ml 2
非均匀的棒绕质心且垂直于棒的轴的转动惯量呢？
例2: 一质量为m，半径为r的均匀圆环，求对通过 环中心并与环面垂直的轴的转动惯量。
解： Jz r2dm
1 ml2 3
Jz
1 3
ml 2
1 12
ml 2
m( l )2 2
平行轴定理
若刚体对过质心的轴的转动惯量为JC ，则刚 体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是
高二物理竞赛刚体模型及其运动课件
1. 平面机构的组成
固定件（机架） 从 原动 动件 件（ 活动件）
17
机构
机构：具有确定运动的运动链。 组成：机构＝机架＋原动件＋从动件
1个
1个或几个
若干
机 架 －作为参考系的构件，
如机床床身、车辆底盘、飞机机身。
原（主）动件－按给定运动规律运动的构件。 从 动件－其余可动构件。
18
2.机构运动简图的绘制 2.1 运动副的表示方法
经运动副相联后，构件自由度会有变化： 2、接触面为曲面——不便于加工和润滑。 已知：AB＝CD＝EF，计算图示平行四边形机构的自由度。
2.2 (translation) 机构具有确定运动的条件
机构的原动件数应 = 机构的自由度数
30
例题分析
例1-3 试计算下列机构的自由度， 并判断其运动是否确定。
约束：附加在构件上对构件自由度的限制。 11
1-1 运动副及其分类
运动副：使两构件 直接接触并能产生一定 相对运动的联接。
12
运动副的分类
高副
平面副 低副回移转动副副 高副
回转副
移动副
13
空间副
球面副 螺旋副
球面副
螺旋副
14
运动副的特点
转动副 低副移动副
两个构件间只能作相对 旋转运动的运动副；
两个构件间只能作相对
移动运动的运动副。
1、面接触——接触比压低，承载能力大。
2、接触面为平面或柱面——便于加工，成本 低，便于润滑。
3、引入2个约束，剩1个自由度。 15
高副
1、点、线接触——接触比压高， 承载能力小。 2、接触面为曲面——不便于加工和润滑。 3、引入1个约束，剩2个自由度。
运动生物力学刚体模型名词解释
运动生物力学刚体模型名词解释
①建立人体力学模型在生物力学研究中起到了由“生物学——力学”的桥梁作用；
②力学的研究对象是物体，其内部结构清晰明朗，对它的研究结果要求准确化；而生物学的研究对象是活体，其自身包括许多运动器系系统，内部结构复杂多变，很难将其准确量化。
③在运动生物力学学科中将两者结合为一门学科进行研究，便体现了两者的矛盾，人体力学模型的出现，从中起到了由“生物学——力学”的桥梁作用，它将人体或人体的某些环节简化为力学模型，使其简单化，符合力学研究原理，解决了两者之间的矛盾。
种类：
①质点：只有质量的大小，而无形状的大小的模型。
②刚体：在任何条件下都不变形的物体称之为刚体。
③实体模型：把人体的200多个环节简化为15个环节的模型。
刚体-1
Z ω,β
fi
O
θi
Fi
ϕi
ri P
ai为P质元作圆周运动的加速 度，其切向和 法向的分量式为
法向力的作用线穿过转 轴，力矩为零。切向方 程 两边乘以ri , 得
Fi ri sin ϕ i + f i r i sin θ i = ∆mi ri β
2
外力矩
内力矩
对所有质量元求和，且它们的角加速度β均 相同，有
平动定律 转动定律
dv F =m dt dω
Mz = J dt dt
质量是平动中惯性大小的量度。 质量是平动中惯性大小的量度。 转动惯量是转动中惯性大小的量度。 转动惯量是转动中惯性大小的量度 转动惯量反映转动状态ω改变的难易程度
四、转动惯量的计算
影响 J的 （二）J与体密度 有关； 与体密度ρ有关 与体密度 有关； 因素 与转轴的位置有关。 （三）J与转轴的位置有关。 与转轴的位置有关 对转轴的分布有关； （一）J与M及M对转轴的分布有关； 与 及 对转轴的分布有关
转动惯量的计算：点→线→面→体
dm
= λ dl = σ dS = ρ dV
平行轴定理
J = J c + md
2
d
c
m
Z
正交轴定理
O
yi
X
ri xi
∆mi
Y
例一 求一质量为 m，长为 l 的均匀细棒的转动 惯量。（1）轴通过棒的中心并与棒垂直。（2）轴 通过棒的一端并与棒垂直。 解：（1）在棒上 取质量元，长为 dx， 离轴 O 为 x，棒的线 密度为 m
当不计滑轮质量m和摩擦阻力矩M f 时，有 2m1m2 g T1 = T2 = m1 + m2 m2 − m1 a= g m1 + m2
DK-3-1
v r 均相同， 2） 任一质点运动 ∆θ , ω , β 均相同， ） vr
但
v ,a
不同； 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 . ） 运动描述仅需一个坐标
3 – 1 刚体模型及其运动
3、自由度
所谓自由度就是决定这个系统在空间的位置所 需要的独立坐标的数目。 需要的独立坐标的数目。 z 考虑到刚体既有平动又有 转动， 转动 ， 其独立坐标数由质心坐 标 ， 转轴的方位角与刚体绕转 轴的转动角度决定。 轴的转动角度决定。 C(x,y,z) 首先确定质心位置。 首先确定质心位置 。 空间 任何一个点需要三个独立坐标 来确定位置， 来确定位置，因此用三个坐标 来决定质心位置。 如C(x,y,z)来决定质心位置。 来决定质心位置 x o y
在平动时刚体中所有点的运动轨迹 在平动时刚体中所有点的运动轨迹 刚体中 都一样，而且在同一时刻刚体中所有点 都一样，而且在同一时刻刚体中所有点 刚体中 的速度和加速度都相等。通常可用质心 的速度和加速度都相等。通常可用质心 的运动来代表整个刚体的平动。 的运动来代表整个刚体的平动。 来代表整个刚体的平动
z
O
(He) ( x, y, z)
故单原子分子自由 度为3（ ） 度为 （i=3），称 为平动自由度 ，如 He、Ne等。 、 等
x
y
(2) 刚性哑铃型双原子分子，确 刚性哑铃型双原子分子， 定其空间位置需分步进行： 定其空间位置需分步进行： 首先确定一个质点的位置需 首先确定一个质点的位置需 确定一个质点 三个独立坐标； 三个独立坐标； 再确定两原子连线的方位； 再确定两原子连线的方位； 两原子连线的方位 可用其与三个坐标轴的夹角 来确定， (α, β, γ)来确定，但
3 – 1 刚体模型及其运动
3-1刚体模型
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一、刚体
刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体
----物体内任意两点的距离始终不变 刚体运动研究的基础：刚体是由无数个连续分布的 质点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量 元dm。每个质点运动都服从质点力学规律。刚体的 运动是这些质量元运动的总和。
二、平动和转动
1.平动
当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线， 在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。
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特点：各点位移、速度、加速度均相同----可视为质点
刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质元的运动
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2.转动 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕 同一直线作圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直
线就叫做转轴。
（1）定轴转动：转轴相对参考系静止。 （2）定点转动：转轴上只有一点相对参考系静止， 转轴方向不断变化。
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(3)一般运动：可看成平动和转动的叠加。如车轮的转动
三、自由度——i
自由度：确定一个物体在空间的
位置所需的独立坐标的数目。它反 映了运动的自由程度 火车：被限制在轨道上运动，自由度为1
§3- 1刚体模型及其运动
一般的力学分析方法可归纳为： (1)突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型；
(2)将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象， 作为突破口； (3)根据受力情况，正确地画出受力图； (4)根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原 理、定律，列出方程式； (5)根据要求，求解方程，统一变量，积零为整， 用积分法求出结果.积分上下限的选取要特别注意 (6)讨论分析所得结果，检验是否正确． 现在将这些方法用之于刚体的研究．
一、刚体
刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体
----物体内任意两点的距离始终不变 刚体运动研究的基础：刚体是由无数个连续分布的 质点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量 元dm。每个质点运动都服从质点力学规律。刚体的 运动是这些质量元运动的总和。
二、平动和转动
1.平动
当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线， 在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。
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特点：各点位移、速度、加速度均相同----可视为质点
刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质元的运动
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2.转动 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕 同一直线作圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直
线就叫做转轴。
（1）定轴转动：转轴相对参考系静止。 （2）定点转动：转轴上只有一点相对参考系静止， 转轴方向不断变化。
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(3)一般运动：可看成平动和转动的叠加。如车轮的转动
三、自由度——i
自由度：确定一个物体在空间的
位置所需的独立坐标的数目。它反 映了运动的自由程度 火车：被限制在轨道上运动，自由度为1
§3- 1刚体模型及其运动
一般的力学分析方法可归纳为： (1)突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型；
(2)将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象， 作为突破口； (3)根据受力情况，正确地画出受力图； (4)根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原 理、定律，列出方程式； (5)根据要求，求解方程，统一变量，积零为整， 用积分法求出结果.积分上下限的选取要特别注意 (6)讨论分析所得结果，检验是否正确． 现在将这些方法用之于刚体的研究．
物理学教学课件-3-1 刚体运动的基本形式精品文档
第3章 刚体的定轴转动
2019/10/13
1
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．)
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
3-1 刚体运动的基本形式
刚体的运动形式：平动、转动．
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
特点：各点运动
状态一样，如：v、a
等都相同．
刚体平动 质点运动
转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
刚体的一般运动可看作：
随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
刚体作定轴转动时，其上各质量元都绕同一 轴线在各自的平面内作半径不同的圆周运动， 它们的位移、速度、加速度不同，但由于各质 量元的相对位置保持不变，所以，描述质量元 运动的角参量——角位移、角速度和角加速度 则相等。因此，对刚体的定轴转动来讲，像前 述对圆周运动的描述一样，引入角参量描述是 最为方便的。
v , a 不同；
(3) 运动描述仅需一个坐标．
刚体定轴转动的角量描述
角坐标 (t )
角位移 (t t)(t)
角速度 lim d
t0 t dt
角加速度 d d 2 dt dt2
方向: 右手螺旋方向
z
ω
r P’(t+dt)
.. O d P(t)
x
刚体定轴转动 (一维转动)的转动 方向可以用角速度 的正、负来表示.
角加速度 d dt
z
0
z
0
角参量和线参量的关系
s R
dsRd
vdsRdR
dt dt
an
v2 R
2019/10/13
1
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．)
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
3-1 刚体运动的基本形式
刚体的运动形式：平动、转动．
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
特点：各点运动
状态一样，如：v、a
等都相同．
刚体平动 质点运动
转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
刚体的一般运动可看作：
随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
刚体作定轴转动时，其上各质量元都绕同一 轴线在各自的平面内作半径不同的圆周运动， 它们的位移、速度、加速度不同，但由于各质 量元的相对位置保持不变，所以，描述质量元 运动的角参量——角位移、角速度和角加速度 则相等。因此，对刚体的定轴转动来讲，像前 述对圆周运动的描述一样，引入角参量描述是 最为方便的。
v , a 不同；
(3) 运动描述仅需一个坐标．
刚体定轴转动的角量描述
角坐标 (t )
角位移 (t t)(t)
角速度 lim d
t0 t dt
角加速度 d d 2 dt dt2
方向: 右手螺旋方向
z
ω
r P’(t+dt)
.. O d P(t)
x
刚体定轴转动 (一维转动)的转动 方向可以用角速度 的正、负来表示.
角加速度 d dt
z
0
z
0
角参量和线参量的关系
s R
dsRd
vdsRdR
dt dt
an
v2 R
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刚体模型
目录
为什么需要刚体概念
什么是刚体
刚体的运动方式一：平动
刚体的运动方式二：转动
01
02
03
04
一、为什么需要刚体概念？
（1）真实世界不存在质点。
（2）刚体便于处理，无数质点组成的系统根本无法用牛顿力学处理每一个质点的运动及受力情况。
（3）刚体是一种合理的近似。
无近似，不物理！
二、什么是刚体？
（1）生活语言描述：刚体就是刚性不形变的物体。
（2）物理语言描述：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体，任意两质点间距离保持不变的
特殊质点组。
（3）常见的刚体：桌子，房子...
易拉罐可以当成刚体吗？
气球可以当成刚体吗？
定义：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线。
位置矢量之间 AB
r r A B += 两边对时间求导得： dt AB d dt r d dt r d A B += 0=dt
AB d B B A A v dt r d dt r d v ===∴ B B A A a dt r d dt r d a ===2222 o x
y z
B r A r A B 1A 1B 2A 2B n A n B
四、刚体的运动方式二：转动
定义：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。
转动又分定轴转动和非定轴转动。
Thanks!。