二阶微分方程的教案
微积分全套教案
微积分全套教案标题：微积分全套教案教案目标：1. 帮助学生理解微积分的基本概念和原理。
2. 培养学生运用微积分解决实际问题的能力。
3. 培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
教案内容：1. 单元一：导数与微分a. 概念引入：引导学生了解导数的概念和意义，以及微分的基本概念。
b. 导数的计算方法：介绍导数的计算方法，包括基本函数的导数、求导法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解导数在实际中的应用，如速度、加速度等概念。
2. 单元二：微分方程a. 概念引入：介绍微分方程的基本概念和分类。
b. 常微分方程的解法：讲解一阶和二阶常微分方程的解法，包括分离变量法、变量代换法等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生学会将实际问题转化为微分方程，并解决问题。
3. 单元三：积分与定积分a. 概念引入：引导学生了解积分的概念和意义，以及定积分的基本概念。
b. 积分的计算方法：介绍积分的计算方法，包括不定积分、定积分的计算法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解积分在实际中的应用，如面积、曲线长度等概念。
4. 单元四：微积分应用a. 最值与最优化问题：教授最值与最优化问题的求解方法，包括极值点判别法、拉格朗日乘数法等。
b. 曲线的图像与分析：引导学生学会通过微积分方法分析曲线的图像特征，如拐点、渐近线等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生将微积分应用于实际问题的求解，如经济学、物理学等领域。
教学方法与策略：1. 提倡启发式教学：通过引导学生思考和发现，培养他们的自主学习和解决问题的能力。
2. 实践性教学：注重将微积分的概念与实际问题相结合，让学生能够将所学知识应用于实际情境中。
3. 多元化评价：采用多种评价方式，如课堂小测、作业、项目等，全面评估学生的学习情况和能力发展。
教案评估：1. 学生的学习成绩：通过考试、测验等方式评估学生对微积分知识的掌握情况。
2. 学生的解决问题能力：观察学生在应用实例中的表现，评估他们解决实际问题的能力。
微分的概念教案首页
微分的概念教案首页教案作者：[你的名字]教学目标：1. 学生能够理解微分的定义和概念。
2. 学生能够运用微分的基本规则和性质进行计算。
3. 学生能够解决实际问题，应用微分的概念。
教学重点：1. 微分的定义和概念。
2. 微分的基本规则和性质。
3. 微分的应用。
教学难点：1. 微分的概念的理解和运用。
2. 微分的基本规则和性质的掌握。
教学准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 教案和教学资料。
3. 练习题和案例。
教学过程：第一章：微分的定义1.1 引入微分的概念通过实际例子引入微分的概念，如物体在某一时刻的瞬时速度。
引导学生思考微分的意义和作用。
1.2 微分的定义给出微分的定义，即函数在某一点的切线斜率。
解释微分的符号“d”表示微小变化的意思。
1.3 微分的性质强调微分的几何意义，即切线斜率。
引导学生理解微分的正负号表示函数在该点的增减性。
第二章：微分的计算规则2.1 基本函数的微分引导学生回顾基本函数的导数公式。
强调导数与微分的区别和联系。
2.2 导数的运算法则介绍导数的四则运算法则。
举例说明导数的运算法则的应用。
2.3 复合函数的微分引入链式法则，解释复合函数的微分计算方法。
引导学生理解复合函数微分的几何意义。
第三章：微分的应用3.1 微分与切线方程引导学生运用微分求解切线方程。
解释切线方程的求解过程和应用。
3.2 微分与函数的增减性引导学生运用微分判断函数的增减性。
举例说明函数的增减性与微分的关系。
3.3 微分与实际问题通过实际问题引入微分的应用，如最小值问题。
引导学生运用微分解决实际问题。
第四章：微分的进一步应用4.1 微分与曲线的切线引导学生运用微分求解曲线的切线方程。
解释曲线切线与微分的关系。
4.2 微分与函数的极值引导学生运用微分判断函数的极值。
举例说明函数的极值与微分的关系。
4.3 微分与实际问题的解决通过实际问题引入微分的应用，如最大值问题。
引导学生运用微分解决实际问题。
第五章：微分的综合应用5.1 微分在物理学中的应用引导学生回顾物理学中的微分应用，如速度和加速度。
高等数学教案各章的教学目的、重点、难点
一、前言教学目的：使学生了解高等数学的基本概念、方法和应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
重点：高等数学的基本概念、方法和应用。
难点：理解并掌握高等数学中的抽象概念和方法。
二、极限与连续教学目的：使学生了解极限的概念，掌握极限的计算方法，理解函数的连续性。
重点：极限的概念和计算方法，函数的连续性。
难点：理解极限的直观意义，掌握无穷小和无穷大的概念。
三、导数与微分教学目的：使学生了解导数的概念，掌握导数的计算方法，理解导数在实际问题中的应用。
重点：导数的概念和计算方法，导数在实际问题中的应用。
难点：理解导数的几何意义，掌握高阶导数的计算方法。
四、积分与不定积分教学目的：使学生了解积分的概念，掌握积分的计算方法，理解积分在实际问题中的应用。
重点：积分的概念和计算方法，积分在实际问题中的应用。
难点：理解积分的直观意义，掌握换元积分和分部积分的方法。
五、定积分与面积教学目的：使学生了解定积分的概念，掌握定积分的计算方法，理解定积分在实际问题中的应用。
重点：定积分的概念和计算方法，定积分在实际问题中的应用。
难点：理解定积分的性质，掌握定积分的计算技巧。
六、微分方程教学目的：使学生了解微分方程的基本概念，掌握一阶微分方程的解法，理解微分方程在实际问题中的应用。
重点：微分方程的基本概念，一阶微分方程的解法，微分方程在实际问题中的应用。
难点：理解微分方程的解的存在性定理，掌握高阶微分方程的解法。
七、线性代数基本概念教学目的：使学生了解线性代数的基本概念，掌握矩阵的运算，理解线性方程组的解法。
重点：线性代数的基本概念，矩阵的运算，线性方程组的解法。
难点：理解线性空间和线性变换的概念，掌握矩阵的特征值和特征向量。
八、线性方程组与矩阵教学目的：使学生了解线性方程组的基本概念，掌握线性方程组的解法，理解矩阵的应用。
重点：线性方程组的基本概念，线性方程组的解法，矩阵的应用。
难点：理解线性方程组的解的存在性定理，掌握矩阵的逆矩阵。
二阶齐次微分方程的常数变易法教案
二阶齐次微分方程的常数变易法教案一、引言微分方程是数学中的重要分支之一，在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
而二阶齐次微分方程是微分方程中的一类常见类型。
为了解决这种类型的微分方程，我们可以使用常数变易法，本教案将介绍二阶齐次微分方程的常数变易法及其应用。
二、常数变易法的基本概念常数变易法是求解齐次线性微分方程的一种常用方法。
对于形如y'' + p(x)y' + q(x)y = 0的二阶齐次微分方程，我们可以通过假设y =e^(mx)来求解，其中m为待定常数。
三、常数变易法的步骤常数变易法的求解步骤如下：1. 假设y = e^(mx)，其中m为待定常数；2. 求出y'和y''的表达式；3. 将y、y'和y''的表达式代入原微分方程中，消去e^(mx)并整理方程；4. 令方程等于零，并解出m的值；5. 根据m的值，确定y的表达式。
四、常数变易法的示例现以具体的二阶齐次微分方程为例，来演示常数变易法的应用过程。
例题：求解微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解：步骤如下：1. 假设y = e^(mx)，其中m为待定常数；2. 求出y'和y''的表达式：y' = me^(mx)，y'' = m^2e^(mx)；3. 将y、y'和y''的表达式代入原微分方程中：m^2e^(mx) - 4me^(mx) + 4e^(mx) = 0；4. 消去e^(mx)并整理方程：m^2 - 4m + 4 = 0；5. 令方程等于零，并解出m的值：(m - 2)^2 = 0，解得m = 2；6. 根据m的值，确定y的表达式：y = C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1、C2为待定常数。
五、常数变易法的应用举例常数变易法不仅可以用来解二阶齐次微分方程，还可以解决一些特殊形式的非齐次微分方程。
大学数学课程教案：研究微分方程
大学数学课程教案：研究微分方程1. 引言概述：在大学数学课程中，微分方程是一个非常重要的主题。
微分方程广泛应用于自然科学和工程学领域，如物理、化学、生物和工程等。
研究微分方程不仅有助于我们深入理解现实世界中的各种变化和现象，还为解决实际问题提供了一种有效的数学工具。
文章结构：本文将以以下几个部分来介绍微分方程及其应用。
首先在第二部分中，我们将回顾微积分的基本知识，以便更好地理解微分方程的概念和性质。
接着，在第三部分中，我们将探讨解微分方程的方法，并详细介绍变量可分离方程、线性一阶常微分方程和齐次线性二阶常系数微分方程的求解方法。
然后，在第四部分中，我们将关注数学建模中微分方程的应用，并说明复利问题与连续贬值问题、生物学中的增长模型和传染病模型，以及物理学中的运动问题和振动问题等案例。
最后，在结论部分，我们将总结本文的主要内容并讨论大学数学课程教案的意义和启示，同时提出未来研究的可能性。
目的：本文的主要目的是引导读者更加系统地学习和理解微分方程，并展示其在不同领域中的实际应用。
通过对微分方程基本概念和求解方法的介绍，读者将能够掌握解决实际问题所需的数学工具和技巧。
此外，本文还意在启发读者对于大学数学课程教案设计和未来研究方向的思考，以促进数学教育和科学研究的进步。
2. 微分方程的基本概念2.1 微积分回顾:微积分是数学的一个分支，涉及到导数和积分的概念。
在微积分中，我们研究函数的变化率和面积或曲线下的累计效应。
导数描述了函数在某一点上的变化率，而积分则表示了函数曲线下面积或累计效应。
2.2 微分方程的定义与分类:微分方程是描述未知函数和其导数（或偏导数）之间关系的方程。
它们广泛应用于自然科学、工程领域以及其他各个领域中，常用于建立模型来解释和预测各种现象。
根据方程中出现的未知函数和导数（或偏导数）的阶数，可以将微分方程分类为以下几类：- 常微分方程：只包含未知函数关于单变量（通常是时间）的导数。
- 偏微分方程：包含未知函数关于多个变量的偏导数。
第四章 微分方程讲稿
第四章 微分方程§4. 1 微分方程的基本概念导入：(8分钟)函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.引例 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解):y =x 2+1.几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 , y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x , y (n ) +1=0, 一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0. y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上, F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如 x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 . 一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.§4. 2 一阶微分方程导入：（8分钟）1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得y =x 2+C .一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.因为y 是未知的, 所以积分⎰dx xy 22无法进行, 方程两边直接积分不能求出通解.为求通解可将方程变为xdxdy y 212=, 两边积分, 得C x y +=-21, 或Cx y +-=21, 可以验证函数Cx y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=ϕ(x , y )能写成g (y )dy =f (x )dx形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G (y )=F (x )+C ,由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程:一阶微分方程有时也写成如下对称形式:P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有),(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有),(),(y x P y x Q dy dx -=. 一、可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=ϕ(x )ψ(y ))的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ⇒y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ⇒dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ⇒y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ⇒10-y dy =10x dx . (6)xyy x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dxdy2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得xdx dy y21=, 两边积分得⎰⎰=xdx dy y 21,即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2112x C C xe e e y ±=±=+.因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解2x Ce y =.例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律. 解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程M dtdM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0<dtdM . 由题意, 初始条件为M |t =0=M 0.将方程分离变量得dt MdM λ-=. 两边积分, 得⎰⎰-=dt M dM )(λ, 即ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt . 由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为kv mg dtdv m-=, 初始条件为v |t =0=0.方程分离变量, 得mdt kv mg dv =-, 两边积分, 得⎰⎰=-mdt kv mg dv ,1)ln(1C m t kv mg k +=--, 即t m k Ce k m g v -+=(ke C kC 1--=),将初始条件v |t =0=0代入通解得kmg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e km gv --=. 例4 求微分方程221xy y x dxdy+++=的通解. 解 方程可化为)1)(1(2y x dxdy++=, 分离变量得dx x dy y )1(112+=+, 两边积分得⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan .于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.例5 有高为1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面面积为1cm 2. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律. 解 由水力学知道, 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算:gh S dtdV Q 262.0==, 其中0. 62为流量系数, S 为孔口横截面面积, g 为重力加速度. 现在孔口横截面面积S =1cm 2, 故gh dtdV 262.0=, 或dt gh dV 262.0=. 另一方面, 设在微小时间间隔[t , t +d t ]内, 水面高度由h 降至h +dh (dh <0), 则又可得到dV =-πr 2dh ,其中r 是时刻t 的水面半径, 右端置负号是由于dh <0而dV >0的缘故. 又因222200)100(100h h h r -=--=,所以 dV =-π(200h -h 2)dh . 通过比较得到dh h h dt gh )200(262.02--=π,这就是未知函数h =h (t )应满足的微分方程.此外, 开始时容器内的水是满的, 所以未知函数h =h (t )还应满足下列初始条件:h |t =0=100.将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得dh h h gdt )200(262.02321--=π.两端积分, 得⎰--=dh h h g t )200(262.02321π,即 C h h g t +--=)523400(262.02523π,其中C 是任意常数. 由初始条件得C g t +⨯-⨯-=)100521003400(262.02523π,5101514262.0)52000003400000(262.0⨯⨯=-=g g C ππ.因此)310107(262.0252335h h gt +-⨯=π.上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系.二、一阶线性微分方程方程)()(x Q y x P dxdy=+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dxdy=+的齐次线性方程. 提问：下列方程各是什么类型方程？ (1)y dxdy x =-)2(⇒021=--y x dx dy是齐次线性方程.(2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程. (4)y x dxdy+=10, 不是线性方程.(5)0)1(32=++x dxdy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 1、齐次线性方程的解法: 齐次线性方程0)(=+y x P dxdy是变量可分离方程. 分离变量后得dx x P ydy)(-=, 两边积分, 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰,或 )( 1)(C dxx P e C Ce y ±=⎰=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例6 求方程y dxdyx =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy , 两边积分得ln|y |=ln|x -2|+lnC ,方程的通解为y =C (x -2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把⎰=-dxx P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dxx P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---, 化简得⎰='dxx P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dxx P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-,或 dx e x Q e Ce y dxx P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(.非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例7 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得12+=x dx y dy , 两边积分得ln y =2ln (x +1)+ln C ,齐次线性方程的通解为y =C (x +1)2.用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u21)1(+='x u ,两边积分, 得C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为])1(32[)1(232C x x y +++=. 例8 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dtdi L-. 由回路电压定律得出 0=--iR dtdi LE , 即LE i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得t LE i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为i |t =0=0.方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t LE t Q m s i n )(ω=.由通解公式, 得 ])([)()()(C dt e t Q et i dtt P dtt P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t LE e dt L Rm dt L R+⎰⎰=⎰-ω)sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ω t L R mCe t L t R LR E -+-+=) cos sin (222ωωωω. 其中C 为任意常数.将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 L R LE C mωω+=,因此, 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 总结：1、微分方程的相关概念a 、微分方程的阶b 、微分方程的通解与特解 2、可分离变量的微分方程a 、可分离变量的微分方程b 、可转化为可分离变量的微分方程 3、一阶线性微分方程a 、一阶线性齐次微分方程b 、一阶线性非齐次微分方程c 、常数变易法 教学后记：作业：。
高等数学(上册)-电子教案 6.4可降阶高阶微分方程
再一次积分, 得原方程的通解
y x, C1 d x C2
1 例4. 求方程 y y xe x x
解: 设 代入方程得
1 p p xe x x
解得 于是有 y x e x C1
x
C1 2 x C2 两端再积分得 y ( x 1)e 2
dt
即 初始条件为 s
t 0
0, s |t 0 v0
两次积分后，将初始条件代入，解得关系式：
1 s v0t (sin cos ) gt 2 2
二、 y f ( x, y) 型的微分方程
设 y p( x),
原方程化为一阶方程
设其通解为 则得
p x, C1 y x, C1
d2h R2 m 2 mg dt ( R h) 2
( R h)
初始条件 h
设
t 0
0, h |t 0 v0 d v dv dh dv h v dt d h d t dh
代入方程得
1 2 gR 2 分离变量积分得 v C, 2 Rh
将初始条件代入得 所以
1
,
两端再积分得 y x 3x C2
3
x 0
1, 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
三、y f y, y 型的微分方程
d p d p dy 令 y p y , 则 y dx d y d x
故方程化为 设其通解为 p y, C1 , 即得
当物体达到最高点时 v=0,于是
2 gRh v Rh
2 0
故最大高度 要脱离地球引力, 此时
(完整版)高等数学教案各章的教学目的、重点、难点
第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；闭区间上连续函数性质的应用.第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点:1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;3、基本初等函数的导数公式;4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
数学分析教案 (华东师大版)第五章 导数和微分
第五章导数和微分教学目的：1.使学生准确掌握导数与微分的概念。
明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。
教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。
教学时数：16学时§ 1 导数的概念（4学时）教学目的：使学生准备掌握导数的概念。
明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。
教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。
教学重点：导数的概念。
教学难点：导数的概念。
教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。
一、问题提出：导数的背景.背景：曲线的切线；运动的瞬时速度.二、讲授新课：1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式:例1 求例2 设函数在点可导, 求极限2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.考查在点的可导情况.例33.导数的几何意义:可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.例4求曲线在点处的切线与法线方程.4.可导与连续的关系:5.导函数:函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.注意:等具体函数的导函数不能记为应记为6.费马定理及达布定理§ 2 求导法则（4学时）教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。
教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。
电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter10
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至少有一个不恒为0，否则，就不能构成二阶偏微分方程．
首先考虑 A(x, y) 或 C(x, y) 不恒为0的情形．不妨设 A(x, y) 0 ．这时可作变换
(x, y), (x, y) 为了保证 和 仍然是独立变量，这一组变换的雅可俾式
必须满足
( ,) 0
(x, y)
在这一组变换下，有
2u 2u ( )2 2 2u 2u ( )2 u 2 u 2 ,
y2 2 y
y y 2 y y2 y2
由此方程(10.2.1)即为
a
2u
2
b
2u
c
2u
2
d
u
e
u
fu＝g
(10.2.2)
其中系数
a A( )2 B C( )2,
x
x y y
b 2A B( ) 2C ,
第十章 二阶线性偏微分 方程的分类
本章将介绍二阶线性偏微分方 程的基本概念、，分类方法和偏微分 方程的标准化. 特别对于常系数的二 阶线性偏微分方程的化简方法也进 行了详细讨论，这对后面的偏微分方 程求解是十分有用的.
10.1 基本概念
(1) 偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如
F (x, y,,u, u , u ,, 2u , 2u , 2u ,) 0 x y x2 y2 xy
并规定这个常微分方程的积分曲线族为特征曲线族. 这
个特征曲线族，根据判别式 的不同符号（正、零、负），
分别对应于（1）两个实函数族；（2）一个实函数族；（3）
一对共轭复函数族．在下面的讨论中我们会看到，特征
方程所对应的函数族能给出将原偏微分方程转化为标准
形式方程的自变量变换【13】．来自1.双曲型偏微分方程于是
高等数学常系数非齐次线性微分方程教案
其中之一可为零）
m maxl,n ，
0 i不是特征方程的根 k 1 i是特征方程的根
练习 ：1、求方程 y y 4x cos x 的通解． 解 特征方程为 r2 1 0 ，其根为 r1,2 i ， 故相应的齐次方程的通解为 Y C1 cos x C2 sin x ． 自由项 f (x) 4x cos x 属 e x[Pl (x) cosx Pn (x) sin x] 型 （ 0, 1;l 1, n 0 ），由于 i i 是特征方程的根，故可设原方程 的特解为 y* x[( Ax B) cos x (Cx D) sin x] ．将其代入原方程得 A 0, B 1,C 1, D 0 ， 故特解 y x cos x x2 sin x ．
Pm(x)3x1 0) 与所给方程对应的齐次方程为 y2y3y0
它的特征方程为 r22r30
由于这里 0 不是特征方程的根 所以应设特解为 y*b0xb1
把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x1
比较两端 x 同次幂的系数 得
32bb00
3 3b1
1
由此求得 b01
b1
1 3
于是求得所给方程的一个特解为 y*x 1 3
cx
dx dt
移项 并记 2n k2 c 则上式化为
m
m
这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程
d2x dt2
2n
dx dt
k
2x
0
如果振动物体还受到铅直扰力 FHsin pt
的作用 则有
d2x dt2
2n
dx dt
k2x
h s in
pt
其中 h H 这就是强迫振动的微分方程。 m
0 k 1
科学领域数学教案20篇
科学领域数学教案20篇在科学领域中，数学作为一门基础学科扮演着重要的角色，它不仅研究数的性质和规律，还被广泛应用于物理、化学、生物学、经济学等各个学科中。
为了帮助学生更好地理解和应用数学知识，教师们在教学中设计了一系列有针对性的数学教案。
本文将详细介绍其中的20篇教案，逐步为读者解答关于这些教案的问题。
1. 基础数学概念教案：这篇教案旨在帮助学生掌握基础数学概念，如数的性质、运算规则等。
同时，教案中还包含一些实际生活中的例子，帮助学生将抽象的概念与实际应用相结合。
2. 代数学教案：这篇教案将重点介绍代数学的基础知识，如方程、不等式等。
通过解决实际问题，学生可以掌握代数学的基本技巧，并将其应用于实际情境中。
3. 几何学教案：这篇教案将介绍几何学的基本概念和原理，如直线、角度、图形等。
通过探究几何形状之间的关系，学生可以培养空间思维和逻辑推理能力。
4. 统计学教案：这篇教案将引导学生了解统计学的基本概念和方法，如数据收集、分析和解释等。
通过实际案例，学生可以学会如何从数据中提取有用的信息并做出合理的推论。
5. 概率学教案：这篇教案将帮助学生理解概率的基本概念和原理，如事件、样本空间、概率分布等。
通过模拟实验和推理，学生可以掌握概率计算的基本技巧并应用于实际问题中。
6. 微积分教案：这篇教案将介绍微积分的基本概念和方法，如函数、导数、积分等。
通过解决实际问题，学生可以理解和应用微积分在科学研究和技术开发中的重要性。
7. 线性代数教案：这篇教案将重点介绍线性代数的基本概念和技巧，如矩阵、向量、线性变换等。
通过解决线性方程组和矩阵运算，学生可以理解线性代数在科学和工程领域的应用。
8. 数论教案：这篇教案将引导学生了解数论的基本概念和定理，如素数、整除性、同余等。
通过证明和推理，学生可以培养逻辑思维和数学证明能力。
9. 微分方程教案：这篇教案将介绍微分方程的基本概念和解法，如一阶方程、二阶方程等。
通过解决实际问题，学生可以理解微分方程在自然科学和工程学中的应用。
微分方程教案
第七章 微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。
2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4． 会用降阶法解下列微分方程：()()n yf x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和及积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程()()n yf x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和及积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和及积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
§7. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x, y)处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程.解设所求曲线的方程为y=y(x). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y=y(x)应满足关系式(称为微分方程). (1)此外, 未知函数y=y(x)还应满足下列条件:x=1时, y=2, 简记为y|x=1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdxy2, 即y=x2C, (3)其中C是任意常数.把条件“x=1时, y=2”代入(3)式, 得2=12C,由此定出C=1. 把C=1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x=1=2的解):y=x2 1.例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度0.4m/s2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式. (4)此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件: t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s|t =0=20. (5)把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6)再积分一次, 得 s =0.2t 2C 1t C 2,(7)这里C 1, C 2都是任意常数. 把条件v |t =0=20代入(6)得 20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2. 把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得 v =0.4t 20, (8) s =0.2t 220t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 504.020==t (s ).再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程 s =0.25022050=500(m ).几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间的关系的方程, 叫微分方程.常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶.x3 y x2 y4xy=3x2 ,y(4) 4y10y12y5y=sin2x,y(n) 1=0,一般n阶微分方程:F(x, y, y, , y(n) )=0.y(n)=f(x, y, y, , y(n1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y=j(x)在区间I上有n阶连续导数, 如果在区间I上,F[x, j(x), j(x), , j(n) (x)]=0,那么函数y=j(x)就叫做微分方程F(x, y, y, , y(n) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数及微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如 x =x 0 时, y =y 0 , y = y 0.一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 如求微分方程y =f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为.积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线. 例3 验证: 函数 x =C 1cos kt C 2 sin kt 是微分方程 的解. 解 求所给函数的导数: kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=,)sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=.将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 k 2(C 1cos kt C 2sin kt ) k 2(C 1cos kt C 2sin kt )0.这表明函数x =C 1cos kt C 2sin kt 满足方程, 因此所给函数是所给方程的解.例4 已知函数x=C1cos kt C2sin kt(k0)是微分方程的通解, 求满足初始条件x| t=0 =A, x| t=0 =0的特解.解由条件x| t=0 =A及x=C1 cos kt C2 sin kt, 得C1=A.再由条件x| t=0 =0, 及x(t) =kC1sin kt kC2cos kt, 得C2=0.把C1、C2的值代入x=C1cos kt C2sin kt中, 得x=A cos kt.作业：P298：4§7. 2 可分离变量的微分方程观察及分析:1. 求微分方程y=2x的通解. 为此把方程两边积分, 得y=x2+C.一般地, 方程y =f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数).2. 求微分方程y=2xy 2的通解.因为y 是未知的, 所以积分⎰dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解.为求通解可将方程变为, 两边积分, 得 , 或Cx y +-=21,可以验证函数Cx y +-=21是原方程的通解.一般地, 如果一阶微分方程y =j (x , y )能写成g (y )dy =f (x )dx形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C ,由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程:一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 及y 是对称的.若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )0时, 有.若把y看作自变量、x看作未知函数, 则当P(x,y)0时, 有.可分离变量的微分方程:如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx (或写成y(x)(y))的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy, 另一端只含x 的函数和dx, 那么原方程就称为可分离变量的微分方程.讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y=2xy, 是. y-1dy=2xdx .(2)3x2+5x-y=0, 是. dy=(3x2+5x)dx.(3)(x2+y2)dx-xydy=0, 不是.(4)y1x y2xy2是. y(1x)(1y2).(5)y10x y是. 10-y dy=10x dx.(6). 不是.可分离变量的微分方程的解法:第一步分离变量, 将方程写成g(y)dy =f(x)dx的形式;第二步两端积分:⎰⎰=dx(g))(, 设积分后得G(y)=F(x)+C;dyyxf第三步求出由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数y=(x)或x=(y)G(y)=F(x)+C , y= (x)或x=(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解.例1 求微分方程的通解.解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 , 两边积分得 ,即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2112x C C xe e e y ±=±=+.因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2x Ce y =.例2 铀的衰变速度及当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律. 解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM .由于铀的衰变速度及其含量成正比, 故得微分方程M dtdM λ-=,其中l (l >0)是常数, l 前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0<dtdM .由题意, 初始条件为 M |t =0=M 0. 将方程分离变量得dt MdM λ-=.两边积分, 得⎰⎰-=dtMdM )(λ即 ln M =-lt +ln C , 也即M =Ce -lt. 由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e-lt.例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力及速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度及时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为 kv mg dtdv m -=,初始条件为 v |t =0=0. 方程分离变量, 得 , 两边积分, 得1)ln(1C mt kv mg k+=--, 即 (),将初始条件v |t =0=0代入通解得,于是降落伞下落速度及时间的函数关系为. 例4 求微分方程的通解.解 方程可化为 , 分离变量得 , 两边积分得, 即C x x y ++=221arctan .于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.作业：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3§7. 3 齐次方程 齐次方程:如果一阶微分方程中的函数f (x , y )可写成xy的函数, 即, 则称这方程为齐次方程. 下列方程哪些是齐次方程？(1)022=---'x y y y x 是齐次方程1)(222-+=⇒-+=⇒xy x y dx dy x x y y dx dy(2)2211y y x -='-不是齐次方程(3)(x2y 2)dx xydy =0是齐次方程xyy x dx dy xy y x dx dy +=⇒+=⇒22(4)(2x y 4)dx (x y 1)dy =0不是齐次方程(5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xy x dx xy y xy x 是齐次方程x y x y dx dy xy x x y y x y x dx dy +=⇒+=⇒th 32ch 3ch 3sh 2 齐次方程的解法:在齐次方程中, 令xy u =, 即y =ux , 有 )(u dxdu x u ϕ=+,分离变量, 得 . 两端积分, 得 . 求出积分后, 再用xy代替u , 便得所给齐次方程的通解. 例1 解方程. 解 原方程可写成 ,因此原方程是齐次方程. 令u xy =, 则 y =ux , , 于是原方程变为 ,即 1-=u u dx du x .分离变量, 得xdx du u=-)11(.两边积分, 得u ln|u |C =ln|x |,或写成ln|xu |=uC .以xy 代上式中的u , 便得所给方程的通解 .例2 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都及旋转轴平行. 求这旋转曲面的方程.解 设此凹镜是由xOy 面上曲线L : y =y (x )(y >0)绕x 轴旋转而成, 光源在原点. 在L 上任取一点M (x , y ), 作L 的切线交x 轴于A . 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线. 由光学及几何原理可以证明OA =OM , 因为 x y yOP PM OP AP OA -'=-=-=αcot , 而 22y x OM +=. 于是得微分方程,整理得. 这是齐次方程. 问题归结为解齐次方程. 令v yx =, 即x =yv , 得,即 ,两边积分, 得 C y v v ln ln )1ln(2-=++, , , ,以yv =x 代入上式, 得)2(22C x C y +=.这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线, 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为)2(222C x C z y +=+.这就是所求的旋转曲面方程.例3 设一条河的两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从岸边点A 游向正对岸点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点O , 已知OA =h , 求鸭子游过的迹线的方程.解 取O 为坐标原点, 河岸朝顺水方向为x 轴, y 轴指向对岸. 设在时刻t 鸭子位于点P (x , y ), 则鸭子运动速度, 故有.另一方面, ),()0 ,(2222y x y y x x b a +-+-+=+=b a v ) ,(2222y x by y x bx a +-+-=v . 因此yx y x b a v v dy dx y x++-==1)(2, 即.问题归结为解齐次方程. 令u yx =, 即x =yu , 得,两边积分, 得 )ln (ln arsh C y ab u +-=,将yx u =代入上式并整理, 得])()[(2111b ab aCy Cy C x +--=.以x |y =h =0代入上式, 得hC 1=, 故鸭子游过的轨迹方程为, 0yh .将yx u =代入)ln (ln arsh C y ab u +-=后的整理过程:])()[(21a ba bCy Cy y x -=⇒-])()[(2a b a b Cy Cy y x -=⇒-])()[(2111a b a b Cy Cy C x +--=⇒.作业：P309：1（1）（3）（5），2§7.4 线性微分方程一、 线性方程 线性方程:方程叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程.方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程.下列方程各是什么类型方程？ (1)是齐次线性方程(2) 3x 25x 5y 0y3x25x 是非齐次线性方程(3) y y cos x e sin x是非齐次线性方程(4) 不是线性方程(5)或不是线性方程齐次线性方程的解法:齐次线性方程是变量可分离方程. 分离变量后得 , 两边积分, 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰, 或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=⎰=-,这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例1 求方程的通解.解 这是齐次线性方程, 分离变量得 , 两边积分得 ln|y |ln|x 2|lnC,方程的通解为y C (x 2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把 ⎰=-dx x P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得 )()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---, 化简得 ⎰='dx x P e x Q x u )()()(, C dx e x Q x u dx x P +⎰=⎰)()()(, 于是非齐次线性方程的通解为 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(.非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解及非齐次线性方程的一个特解之和.例2 求方程的通解.解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程的通解. 分离变量得 , 两边积分得ln y 2ln (x 1)ln C ,齐次线性方程的通解为 y C (x1)2.用常数变易法. 把C 换成u , 即令y u ×(x 1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u21)1(+='x u ,两边积分, 得 . 再把上式代入yu (x 1)2中, 即得所求方程的通解为])1(32[)1(232C x x y +++=.例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E E m sin t (E m 、都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dtdi L -. 由回路电压定律得出0=--iR dtdi L E ,即 LE i LR dt di =+.把E E m sin t 代入上式, 得.初始条件为 i |t0.方程为非齐次线性方程, 其中 LR t P =)(, .由通解公式, 得])([)()()(C dt et Q et i dtt P dtt P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t L E e dtL R m dt L R +⎰⎰=⎰-ω)sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ω t L R mCe t L t R LR E -+-+=) cos sin (222ωωωω.其中C 为任意常数. 将初始条件i |t0代入通解, 得,因此, 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R LR Ee L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-.二、伯努利方程 伯努利方程: 方程 (n0, 1)叫做伯努利方程.下列方程是什么类型方程？ (1) 是伯努利方程. (2)是伯努利方程.(3)11-=-'xy y xy 是伯努利方程. (4)是线性方程不是伯努利方程.伯努利方程的解法: 以y n除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dxdyy n n =+-- 令zy 1n , 得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+. 例4 求方程的通解. 解 以y 2除方程的两端, 得 , 即 , 令zy 1, 则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-. 这是一个线性方程, 它的通解为 ])(ln 2[2x a C x z -=.以y 1代z , 得所求方程的通解为 1])(ln 2[2=-x a C yx .经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程. 例5 解方程.解 若把所给方程变形为 ,即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 但这里用变量代换来解所给方程. 令xy u , 则原方程化为udxdu 11=-, 即uu dxdu 1+=. 分离变量, 得dx du u u =+1,两端积分得 u ln|u 1|x ln|C |.以ux y 代入上式, 得y ln|x y 1|ln|C |, 或xCe y y 1作业：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）§7. 5可降阶的高阶微分方程一、y (n )=f (x )型的微分方程解法: 积分n 次1)1()(C dx x f y n +=⎰-,21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-,.例1 求微分方程y =e2xcos x 的通解.解 对所给方程接连积分三次, 得 12sin 21C x e y x +-='',212cos 41C x C x e y x +++=',3221221sin 81C x C x C x e y x ++++=这就是所给方程的通解. 或 122sin 21C x e y x +-='',2122cos 41C x C x e y x +++=',32212sin 81C x C x C x e y x ++++=这就是所给方程的通解.例2 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数:F =F (t ). 在开始时刻t =0时F (0)=F 0, 随着时间t 的增大, 此力F 均匀地减小, 直到t =T 时, F (T )=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为.由题设, 力F (t )随t 增大而均匀地减小, 且t =0时, F (0)=F 0, 所以F (t )=F 0kt ;又当t =T 时, F (T )=0, 从而)1()(0Tt F t F -=.于是质点运动的微分方程又写为其初始条件为0|0==t x , 0|0==t dtdx . 把微分方程两边积分, 得 . 再积分一次, 得21320)621(C t C Tt t m F x ++-=.由初始条件x |t =0=0, 0|0==t dtdx ,得C 1=C 2=0.于是所求质点的运动规律为 , 0t T .二、y= f (x , y)型的微分方程解法: 设y =p 则方程化为p =f (x , p ).设p =f (x , p )的通解为p =(x ,C 1), 则. 原方程的通解为21),(C dx C x y +=⎰ϕ. 例3 求微分方程 (1x 2)y =2xy满足初始条件y |x =0=1, y |x =0=3的特解.解 所给方程是y =f (x , y )型的. 设y=p , 代入方程并分离变量后,有. 两边积分, 得 ln|p |=ln(1x 2)C ,即 p =y =C 1(1x 2) (C 1=e C ).由条件y|x =0=3, 得C 1=3,所以 y =3(1x 2).两边再积分, 得 y =x 33x C 2.又由条件y |x =0=1, 得C 2=1,于是所求的特解为y=x33x 1.例4 设有一均匀、柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受重力的作用而下垂. 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?三、y=f(y, y)型的微分方程解法设y=p,有.原方程化为.设方程的通解为y=p=(y, C1), 则原方程的通解为.例5求微分yy y2=0的通解.解设y=p, 则,代入方程, 得.在y0、p0时, 约去p并分离变量, 得.两边积分得ln|p|=ln|y|ln c,即p=Cy或y=Cy(C=c).再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为ln|y|=Cx ln c1,或y=C1e Cx(C1=c1).作业：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）§7. 6 高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例1设有一个弹簧, 上端固定, 下端挂一个质量为m的物体. 取x轴铅直向下, 并取物体的平衡位置为坐标原点.给物体一个初始速度v0¹0后, 物体在平衡位置附近作上下振动. 在振动过程中, 物体的位置x是t的函数: x=x(t).设弹簧的弹性系数为c, 则恢复力f=-cx.又设物体在运动过程中受到的阻力的大小及速度成正比, 比例系数为m,则dtdx R μ-,由牛顿第二定律得 .移项, 并记, mc k =2,则上式化为 ,这就是在有阻尼的情况下, 物体自由振动的微分方程. 如果振动物体还受到铅直扰力 F =H sin pt 的作用, 则有pt h x k dt dx n dtx d sin 2222=++,其中mH h =. 这就是强迫振动的微分方程.例2 设有一个由电阻R 、自感L 、电容C 和电源E 串联组成的电路, 其中R 、L 、及C 为常数, 电源电动势是时间t 的函数: E =E m sin wt , 这里E m 及w 也是常数.设电路中的电流为i (t ), 电容器极板上的电量为q (t ), 两极板间的电压为u c , 自感电动势为E L . 由电学知道, , dtdi L E L -=,根据回路电压定律, 得,即 t E u dt duRC dtu d LC m c c c ωsin 22=++,或写成t LC E u dt du dtu d m c c c ωωβsin 22022=++, 其中LR 2=β, . 这就是串联电路的振荡方程.如果电容器经充电后撤去外电源(E =0), 则上述成为022022=++c c c u dt du dtu d ωβ.二阶线性微分方程: 二阶线性微分方程的一般形式为 y ¢¢+P (x )y ¢+Q (x )y =f (x ),若方程右端f (x )º0时, 方程称为齐次的, 否则称为非齐次的. 二、线性微分方程的解的结构 先讨论二阶齐次线性方程 y ¢¢+P (x )y ¢+Q (x )y =0即0)()(22=++y x Q dx dyx P dxy d .定理1 如果函数y 1(x )及y 2(x )是方程 y ¢¢+P (x )y ¢+Q (x )y =0. 的两个解, 那么y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )也是方程的解, 其中C 1、C 2是任意常数.齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.证明 [C1y1+C2y2]C1y1C2y2[C1y1+C2y2]C1y1C2y2因为y1及y2是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0, 所以有y1¢¢+P(x)y1¢+Q(x)y1=0及y2¢¢+P(x)y2¢+Q(x)y2=0,从而 [C1y1+C2y2]¢¢+P(x)[ C1y1+C2y2]¢+Q(x)[ C1y1+C2y2]=C1[y1¢¢+P(x)y1¢+Q(x)y1]+C2[y2¢¢+P(x)y2¢+Q(x)y2]=0+0=0.这就证明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0的解函数的线性相关及线性无关:设y1(x), y2(x), , y n(x)为定义在区间I上的n个函数. 如果存在n个不全为零的常数k1, k2, , k n, 使得当xÎI时有恒等式k1y1(x)+k2y2(x)+ + k n y n(x)º0成立, 那么称这n个函数在区间I上线性相关; 否则称为线性无关.判别两个函数线性相关性的方法:对于两个函数, 它们线性相关及否, 只要看它们的比是否为常数, 如果比为常数, 那么它们就线性相关, 否则就线性无关.例如, 1, cos2x , sin2x在整个数轴上是线性相关的. 函数1, x, x2在任何区间(a, b)内是线性无关的.定理2如果如果函数y1(x)及y2(x)是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0的两个线性无关的解, 那么y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常数)是方程的通解.例3验证y1=cos x及y2=sin x是方程y¢¢+y=0的线性无关解, 并写出其通解.解因为y1¢¢+y1=-cos x+cos x=0,y2¢¢+y2=-sin x+sin x=0,所以y1=cos x及y2=sin x都是方程的解.因为对于任意两个常数k1、k2, 要使k1cos x+k2sin xº0,只有k1=k2=0, 所以cos x及sin x在(-¥, +¥)内是线性无关的.因此y1=cos x及y2=sin x是方程y¢¢+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1cos x+C2sin x.例4 验证y1=x及y2=e x是方程(x-1)y¢¢-xy¢+y=0的线性无关解, 并写出其通解.解因为(x-1)y1¢¢-xy1¢+y1=0-x+x=0(x-1)y2¢¢-xy2¢+y2=(x-1)e x-xe x+e x=0所以y1=x及y2=e x都是方程的解,因为比值e x/x不恒为常数, 所以y1=x及y2=e x在(-¥, +¥)内是线性无关的.因此y1=x及y2=e x是方程(x-1)y¢¢-xy¢+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1x+C2e x.推论如果y1(x)y2(x)y n(x)是方程y(n)+a1(x)y(n1)+ +a n1(x)y¢+ a n(x)y=0的n个线性无关的解, 那么此方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+ + C n y n(x)其中C1C2C n为任意常数二阶非齐次线性方程解的结构:我们把方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0叫做及非齐次方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程.定理3设y*(x)是二阶非齐次线性方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)的一个特解, Y(x)是对应的齐次方程的通解, 那么y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解.证明提示: [Y(x)+y*(x)]¢¢+P(x)[ Y(x)+y*(x)]¢+Q(x)[ Y(x)+y*(x)] =[Y ¢¢+P(x)Y ¢+Q(x)Y ]+[ y* ¢¢+P(x)y* ¢+Q(x)y*]=0+ f(x)= f(x).例如, Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y¢¢+y=0的通解, y*=x2-2是y¢¢+y=x2的一个特解, 因此y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y¢¢+y=x2的通解.定理4 设非齐次线性微分方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)的右端f(x)几个函数之和如y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f1(x)+ f2(x),而y1*(x)及y2*(x)分别是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f1(x)及y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f2(x)的特解, 那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.证明提示:[y1+y2*]+P(x)[ y1*+y2*]+Q(x)[ y1*+y2*]=[ y1*+P(x) y1*+Q(x) y1*]+[ y2*+P(x) y2*+Q(x) y2*]=f1(x)+f2(x).作业：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）§7. 7 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数.如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r, 使y=e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=e rx代入方程y+py+qy=0得 (r2+pr+q)e rx=0.由此可见, 只要r满足代数方程r2+pr+q=0, 函数y=e rx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程. 特征方程的两个根r1、r2可用公式求出.特征方程的根及通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r , 所以x r xe y 12=也是方程的解, 且不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=aib 时, 函数y =e (a +ib )x 、y =e (aib )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e ax cos bx 、y =e ax sin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1e (a +ib )x 和y 2e (aib )x都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (a +ib )x e x (cos x i sin x )y 2e (aib )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βαy 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα故e ax cos bx 、y 2=e axsin bx 也是方程解.可以验证, y 1=e axcos bx 、y 2=e axsin bx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e ax (C 1cos bx +C 2sin bx ). 求二阶常系数齐次线性微分方程y +py +qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程 r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 例1 求微分方程y-2y-3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为 r 2-2r -3=0, 即(r 1)(r 3)其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为 y =C 1e -x +C 2e 3x . 例2 求方程y+2y +y =0满足初始条件y |x =0=4、y| x =0=-2的特解.解 所给方程的特征方程为 r 2+2r +1=0, 即(r 1)2其根r1=r2=1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导, 得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=12i r2=12i是一对共轭复根因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程: 方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + + p n-1y+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程, 其中p1, p2 , , p n-1, p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n)y=0或L(D)y0注D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y yD n y y(n)分析令y e rx则L(D)y L(D)e rx(r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根及通解中项的对应:单实根r对应于一项: Ce rx;一对单复根r1, 2=a ib对应于两项: e ax(C1cos bx+C2sin bx);k重实根r对应于k项: e rx(C1+C2x+ +C k x k-1);一对k重复根r1, 2=a ib 对应于2k项:e ax[(C1+C2x+ +C k x k-1)cos bx+(D1+D2x+ +D k x k-1)sin bx].例4 求方程y (4)-2y +5y =0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0, 它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=12i . 因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程y (4)+b 4y =0的通解, 其中b 0. 解 这里的特征方程为 r 4+b 4=0. 它的根为, .因此所给微分方程的通解为)2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.作业：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）§7. 8 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y+py+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p、q是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)及非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和:y=Y(x)+ y*(x).当f(x)为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:一、f(x)=P m(x)e lx型当f(x)=P m(x)e lx时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y*=Q(x)e lx, 将其代入方程, 得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).(1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根, 则l2+pl+q0. 要使上式成立, Q(x)应设为m次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解 y*=Q m(x)e lx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的单根, 则l2+pl+q=0, 但2l+p0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=xQ m(x)e lx.(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根, 则l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=x2Q m(x)e lx.综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=P m(x)e lx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy =f(x)有形如y*=x k Q m(x)e lx的特解, 其中Q m(x)是及P m(x)同次的多项式, 而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2. 例1 求微分方程y-2y-3y =3x +1的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e lx型(其中P m (x )=3x +1, l =0).及所给方程对应的齐次方程为y -2y -3y =0,它的特征方程为r 2-2r -3=0.由于这里l =0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得-3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1, 比较两端x 同次幂的系数, 得-3b 0=3, -2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y .例2 求微分方程y -5y +6y =xe 2x 的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e lx 型(其中P m (x )=x , l =2).及所给方程对应的齐次方程为y -5y +6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于l =2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得 -2b 0x +2b 0-b 1=x . 比较两端x 同次幂的系数, 得-2b 0=1, 2b 0-b 1=0.由此求得210-=b , b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=.从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=.提示y *=x (b 0x +b 1)e 2x (b 0x 2+b 1x )e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x ][(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e2xy *5y *6y *[(b 0x 2+b 1x )e 2x]5[(b 0x 2+b 1x )e 2x]6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2x 5[(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e 2x6(b 0x 2+b 1x )e 2x [2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0x +b 1)]e 2x [2b 0x +2b 0b 1]e 2x方程y +py +qy =e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解形式应用欧拉公式可得e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]]2)(2)([ i e e x P e ex P e x i x i nx i xi l x ωωωωλ---++=x i n l x i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-= x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=,其中)(21)(i P P x P n l -=, )(21)(i P P x P nl +=. 而m =max{l , n }.设方程y +py +qy =P (x )e (l +iw )x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (l +iw )x ,则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解,其中k 按l iw 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y+py+qy =e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解为。
微分方程教案
微分方程教案
一、教学目标：
1. 理解微分方程的基本概念和解法；
2. 掌握常见微分方程的求解方法；
3. 能够应用微分方程解决实际问题。
二、教学重点和难点：
1. 重点：微分方程的基本概念和求解方法；
2. 难点：微分方程的应用解决实际问题。
三、教学内容：
1. 微分方程的基本概念：一阶微分方程和高阶微分方程；
2. 常见微分方程的求解方法：可分离变量、线性微分方程、齐次微分方程、常
数变易法等；
3. 微分方程的应用：生长衰减问题、物理问题、工程问题等。
四、教学过程：
1. 导入：通过引入实际问题引起学生兴趣，如生长衰减问题；
2. 概念讲解：介绍微分方程的基本概念和常见求解方法；
3. 案例分析：通过具体案例演示微分方程的求解过程；
4. 练习：布置练习题让学生巩固所学知识；
5. 拓展：引导学生思考微分方程在实际问题中的应用。
五、教学方法：
1. 讲授相结合：通过讲解基本概念和求解方法，引导学生理解微分方程的本质；
2. 案例分析：通过具体案例演示微分方程的求解过程，帮助学生掌握解题技巧；
3. 互动讨论：鼓励学生参与讨论，提高学生对微分方程的理解和应用能力。
六、教学工具：
1. 教科书、课件等教学资料；
2. 实例题目和练习题；
3. 多媒体设备。
七、教学评估：
1. 课堂表现：学生对微分方程的理解和应用能力；
2. 作业成绩：检验学生对微分方程的掌握程度；
3. 课后测验：检验学生对微分方程的理解和应用能力。
八、教学反思：
对教学过程进行总结和反思，根据学生的反馈和表现调整教学方法和内容，不断优化教学效果。
《二阶常系数齐次线性微分方程》教学设计——以智慧平台为依托
《二阶常系数齐次线性微分方程》教学设计——以智慧平台为依托摘要：从教学目标设定、教学对象分析、教学内容选取、教学保障、教学实施等方面，以《二阶常系数齐次线性微分方程》为例，着重针对学员的常见问题给出相应的对策，重点突出“学为中心、能力为本”的设计理念。
1.教学目标设定知识目标：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求法；能力目标：提升学员观察、分析以及解决实际问题的能力；素质目标：体验特征根法所蕴含的数学思想，培养从猜想到验证的思维品质。
2.教学对象分析教学对象是本科一年级学员。
知识储备：前期已经学习过不定积分的相关知识，对微分方程的通解和特解有了一定的认识；认知特点：在上大学之前，学员形成了以常量数学为对象的思维定势。
对方程有直观的认识，但对于如何求解微分方程有一定的障碍；学习态度：有进一步探究知识的求知欲，但部分学员有畏难情绪，缺乏学习积极性和主动性。
3.教学内容选取内容取自同济大学第七版教材《高等数学》第七章第七节。
高阶微分方程的求解通常都很难，除了第五节利用降阶法求解三类高阶微分方程，第六节对于高阶线性微分方程解的结构给我们二阶常系数齐次线性微分方程提供了方法指导。
本节课的教学重点是二阶常系数齐次线性微分方程的定义、解法、应用，二阶常系数齐次线性微分方程的解法与应用为教学难点。
4.教法设计以问题为导向，通过数形结合、合作探究、互动与启发引导相结合多措并举，引导学员找到微分方程的解法，同时鼓励学员运用所学知识解决实际问题，达到学以致用的目的。
5.教学保障智慧教室1间6.常见问题及解决方法具体实施中，着重介绍针对学员出现的常见错误，给出相应的解决办法。
常见问题1：学员学习积极性不高解决方法：（1）开篇以某次海上游泳训练引入，几名学员为称得一直径为的圆柱形浮标的质量，设计了如下实验：首先,一名学员将浮标铅直地放入水中，稍向下压后突然放开，浮标在水中开始上下振动；同时，另一名学员在一旁用秒表进行计时，测得浮标的振动周期为。