2017年中考数学专题复习八几何证明题
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专题八:几何证明题
【问题解析】
几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力,几何证明题和计算题在中考中占有重要地位.根据新的课程标准,对几何证明题证明的方法技巧上要降低,繁琐性、难度方面要降低.但是注重考查学生的基础把握推理能力,所以几何证明题是目前常考的题型.
【热点探究】
类型一:关于三角形的综合证明题
【例题1】(2016·四川南充)已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
(1)求证:BD=CE;
(2)求证:∠M=∠N.
【分析】(1)由SAS证明△ABD≌△ACE,得出对应边相等即可
(2)证出∠BAN=∠CAM,由全等三角形的性质得出∠B=∠C,由AAS证明△ACM≌△ABN,得出对应角相等即可.
【解答】(1)证明:在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE;
(2)证明:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,
即∠BAN=∠CAM,
由(1)得:△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠C,
在△ACM和△ABN中,,
∴△ACM≌△ABN(ASA),
∴∠M=∠N.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键.
【同步练】
(2016·山东省菏泽市·3分)如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
(1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证:AD=BE;
②求∠AEB的度数.
(2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上的高,试证明:AE=2CM+BN.
类型二:关于四边形的综合证明题
【例题2】(2016·山东省滨州市·10分)如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.
(1)请判断四边形EBGD的形状,并说明理由;
(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,点H是BD上的一个动点,求HG+HC的最小值.
【考点】平行四边形的判定与性质;角平分线的性质.
【分析】(1)结论四边形EBGD是菱形.只要证明BE=ED=DG=GB即可.
(2)作EM⊥BC于M,DN⊥BC于N,连接EC交BD于点H,此时HG+HC最小,在RT△EMC 中,求出EM、MC即可解决问题.
【解答】解:(1)四边形EBGD是菱形.
理由:∵EG垂直平分BD,
∴EB=ED,GB=GD,
∴∠EBD=∠EDB,
∵∠EBD=∠DBC,
∴∠EDF=∠GBF,
在△EFD和△GFB中,
,
∴△EFD≌△GFB,
∴ED=BG,
∴BE=ED=DG=GB,
∴四边形EBGD是菱形.
(2)作EM⊥BC于M,DN⊥BC于N,连接EC交BD于点H,此时HG+HC最小,
在RT△EBM中,∵∠EMB=90°,∠EBM=30°,EB=ED=2,
∴EM=BE=,
∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,
∴EM∥DN,EM=DN=,MN=DE=2,
在RT△DNC中,∵∠DNC=90°,∠DCN=45°,
∴∠NDC=∠NCD=45°,
∴DN=NC=,
∴MC=3,
在RT△EMC中,∵∠EMC=90°,EM=.MC=3,
∴EC===10.
∵HG+HC=EH+HC=EC,
∴HG+HC的最小值为10.
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识,解题的关键是利用对称找到点H的位置,属于中考常考题型.
【同步练】
(2016·山东省济宁市·3分)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.(1)已知BD=,求正方形ABCD的边长;
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
类型三:关于圆的综合证明题
【例题3】(2016·山东潍坊)正方形ABCD内接于⊙O,如图所示,在劣弧上取一点E,连接DE、BE,过点D作DF∥BE交⊙O于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G,求证:
(1)四边形EBFD是矩形;
(2)DG=BE.
【考点】正方形的性质;矩形的判定;圆周角定理.
【分析】(1)直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出
∠BED=∠BAD=90°,∠BFD=∠BCD=90°,∠EDF=90°,进而得出答案;
(2)直接利用正方形的性质的度数是90°,进而得出BE=DF,则BE=DG.
【解答】证明:(1)∵正方形ABCD内接于⊙O,
∴∠BED=∠BAD=90°,∠BFD=∠BCD=90°,
又∵DF∥BE,
∴∠EDF+∠BED=180°,
∴∠EDF=90°,
∴四边形EBFD是矩形;
(2))∵正方形ABCD内接于⊙O,
∴的度数是90°,
∴∠AFD=45°,
又∵∠GDF=90°,
∴∠DGF=∠DFC=45°,
∴DG=DF,
又∵在矩形EBFD中,BE=D
【同步练】
(枣庄市 2015 中考 -24)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:BC2=CD•2OE;
(3)若cos∠BAD=3
5
,BE=6,求OE的长.