初二数学-实数分类型经典例题

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实数知识点及典型例题

实数知识点及典型例题一、实数知识点。

（一）实数的分类。

1. 有理数。

- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。

例如：5，0，-3。

- 分数：正分数、负分数统称为分数。

分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。

例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。

- 有理数：整数和分数统称为有理数。

2. 无理数。

- 无理数是无限不循环小数。

例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。

3. 实数。

- 有理数和无理数统称为实数。

（二）实数的相关概念。

1. 数轴。

- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。

2. 相反数。

- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

a的相反数是-a，0的相反数是0。

例如：3与-3互为相反数。

- 若a、b互为相反数，则a + b=0。

3. 绝对值。

- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。

- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。

例如：| 5| = 5，| -3|=3。

4. 倒数。

- 乘积为1的两个数互为倒数。

a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。

例如：2的倒数是(1)/(2)。

（三）实数的运算。

1. 运算法则。

- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。

- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。

- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。

2. 运算律。

- 加法交换律：a + b=b + a。

- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。

- 乘法交换律：ab = ba。

八年级数学上册第4章实数4-3实数第1课时实数及其分类习题课件新版苏科版

第4章
4.3
第1课时
实数
实数
实数及其分类
CONTENTS
目
录
01
1星题
夯实基础
02
2星题
提升能力
03
3星题
发展素养
1. [2023巴中]下列各数为无理数的是(
A. 0.618

B.

C.
D. −
C
)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 下列各数为有理数的是(

A
)
A.
B. 3.232 232 223…
10
11
D. 0
12
13
14
10. [2024常州武进区期中]如图，在由边长为1的小正方形组
成的网格中，有四条线段 AB ， AC ， AD 和 AE ，点
A ， B ， C ， D ， E 都是小正方形的顶点，在上面四条
线段中，长度是无理数的有(
A. 4条
B. 3条
C. 2条
D. 1条
1
2
3
4
5
6
7
8
B
9
10
)
11
12
13
14
11. [2024江阴期末]如图，在数轴上，点 A ， B 表示的数分别
为0，2， BC ⊥ AB 于点 B ，且 BC ＝1，连接 AC ，在 AC
上截取 CD ＝ BC ，以 A 为圆心， AD 的长为半径画弧，
－1
交线段 AB 于点 E ，则点 E 表示的实数是

实数典型例题和解析

实数典型例题和解析
实数是数学中非常重要的概念，涉及到实数的典型例题和解析
有很多种，我会从不同的角度给出一些例题和解析。

1. 实数的基本性质：
例题，证明实数a和b满足交换律，即a + b = b + a。

解析，根据实数加法的定义，a + b = b + a恒成立。

因为实
数加法满足交换律，所以这个命题成立。

2. 实数的大小比较：
例题，已知a = 3和b = 5，求证a < b。

解析，根据实数大小比较的定义，当a和b是实数且a < b时，必有b a > 0。

所以，5 3 = 2 > 0，因此a < b成立。

3. 实数的运算性质：
例题，计算(√2 + 3)(√2 3)的值。

解析，利用实数的乘法分配律，展开式子得到(√2 + 3)(√2 3) = (√2)^2 3^2 = 2 9 = -7。

4. 实数的绝对值：
例题，求实数-5的绝对值。

解析，实数-5的绝对值记作|-5|，根据绝对值的定义，当x <
0时，|x| = -x。

所以|-5| = -(-5) = 5。

5. 实数的分段函数：
例题，设f(x) = |x 2|，求f(x)的图像。

解析，根据绝对值函数的图像特点，当x < 2时，f(x) = -(x 2)，当x ≥ 2时，f(x) = x 2。

因此，f(x)的图像在x = 2处有转
折点。

以上是一些关于实数的典型例题和解析，涉及到实数的基本性
质、大小比较、运算性质、绝对值和分段函数等方面。

希望这些例题和解析能够帮助你更好地理解实数的概念和性质。

八上实数全章节题型分类知识点+例题+练习(分类全面)

教学主题实数复习巩固教学目标巩固实数相关题型重要知识点1.平方根2.立方根3.实数易错点教学过程知识点一：平方根一．平方根平方根的定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．平方根的表示方法：若，则就叫做的平方根．一个非负数的平方根可用符号表示为“”．平方根的特征：1．正数有两个平方根，且互为相反数；2．0的平方根是它本身；3．负数没有平方根．二．算术平方根算术平方根的概念: 如果一个非负数x的平方等于a，即，那么非负数x是a的算术平方根．算术平方根的表示方法：a的算术平方根用表示．a叫做被开方数．算术平方根的性质：双重非负性，在中有，．三．开平方开平方的概念：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．开平方运算的性质：1．当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n倍（）．2．平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：（1）若，则；（2）不管为何值，总有注意二者之间的区别及联系．题模一平方根例1.1.1、±3是9的（）A、平方根B、相反数C、绝对值D、算术平方根例1.1.2、4的平方根是（）A、2B、±2C、2D、±2例1.1.3、若2a-1和a-5是一个正数m的两个平方根，则a＝__________，m＝__________．练习：1.的平方根为（）A、-8B、8C、D、2.若，，则（）A、8B、C、8或-2D、2或-83.的平方根为( )A、B、2C、D、4.已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是．题模二算术平方根例1.2.1、4的算术平方根是（）A、2B、-2C、±2D、2例1.2.2、29的算术平方根是__________例1.2.3、下列说法正确的是（）A、的算术平方根是2B、0和1的相反数都是它本身C、2的平方根是D、42是分数例1.2.4、一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）A、a+1 B、a2+1C、D、例1.2.5、若有意义，则x的取值范围是__________．练习：1.81的算术平方根是________．2.一个数的算术平方根是2，则这个数是____．3.如果a是121的平方根，那么的算术平方根的相反数的倒数的是__________．4.如果(2－x)2＋(x－3)2＝（x－2）＋（3－x），那么x的取值范围是（）。

实数的分类练习题

实数的分类练习题题目一：将下列数按所属的数集分类。

1. -5，√2，0，3/4，11/3，-10.5，π，√(-1)，5/7解答：实数可分为有理数和无理数两个数集。

有理数：能用两个整数的比表示的数，包括整数、分数和小数。

在给定的数中，下列数为有理数：-5，0，3/4，11/3，-10.5，5/7无理数：不能用两个整数的比表示的数，包括无限不循环小数和无理数。

在给定的数中，下列数为无理数：√2，π，√(-1)题目二：将下列数按大小顺序排列。

1. -5，√2，0，3/4，11/3，-10.5，π，√(-1)，5/7解答：按大小顺序排列给定的数：-10.5 < -5 < 0 < 3/4 < 5/7 < √2 < 11/3 < π < √(-1)题目三：将下列数按所属的数集分类，并找出其中的最大值和最小值。

1. -5，√2，0，3/4，11/3，-10.5，π，√(-1)，5/7解答：按所属的数集分类给定的数：有理数：-5，0，3/4，11/3，-10.5，5/7无理数：√2，π，√(-1)最大值为：11/3最小值为：-10.5题目四：判断下列说法的正确性，并简要说明理由。

1. √(-4)是一个实数。

2. 0.3333...是一个无理数。

3. π是一个有理数。

解答：1. √(-4)是一个实数。

正确。

虽然√(-4)是一个虚数，但实数包括有理数和无理数，虚数是无理数的一种，因此虚数也属于实数的范畴。

2. 0.3333...是一个无理数。

错误。

0.3333...是一个循环小数，可以表示为1/3，因此是有理数而不是无理数。

3. π是一个有理数。

错误。

π是一个无限不循环小数，无法通过两个整数的比来表示，因此是无理数而不是有理数。

题目五：将下列数表示为无理数的最简形式。

1. 2√32. √323. 3√(-2)解答：1. 2√3。

最简形式为无理数。

2. √32 = √(16 * 2) = 4√2。

八上数学第二章实数知识点归纳+易错例题精选(含答案)

八年级数学上册第二章实数知识点+易错题精选一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数概念：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= —b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算逐步逼近法的正确使用三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a 的平方根记做“a”，读作“正、负根号a ”。

4.3实数(十大题型)(解析版) 八年级数学上学期

八年级上册数学《第4章实数》4.3实数◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.◆2、实数的分类：（1）按定义分类．（2）按性质分类.◆1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.◆2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.◆3、实数的大小比较①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；②两个正实数，绝对值大的数较大；③两个负实数，绝对值大的数反而小.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．◆1、数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.◆2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设a表示任意一个实数，则|a|=o＞0)0(=0)−o＜0)◆1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.◆2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.◆3、实数的运算律.①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③乘法交换律：ab＝ba；④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)⑤分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.①被开方数一定是非负数，即a≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即a≥0.【例题1】（2022秋•丽水期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：①﹣3.14，②2π，③−13，④0.618，⑤−16，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨227，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）．整数集合：{……}；分数集合：{……}；无理数集合：{……}．【分析】利用整数、分数、无理数的定义分类填空．【解答】解：整数有：⑤−16=−4，⑥0，⑦﹣1，⑧+3；分数有：①﹣3.14，③−13，④0.618，⑨227；无理数有：②2π，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1），故答案为：⑤⑥⑦⑧；①③④⑨；②2⑩．【点评】本题考查了实数的定义，解题的关键是掌握整数、分数、无理数的定义．【变式1-1】（2022秋•社旗县期末）实数−13，−6，0，﹣1中，为负整数的是（）A．﹣1B．−6C．0D．−13【分析】根据实数的分类进行解答即可．【解答】解：这一组数中的负整数是﹣1．故选：A．【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题的关键．【变式1-2】（2022秋•宁波期中）下列实数：2，39，1，2，−73，0.3⋅，分数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据实数的分类及分数的定义进行解答即可．−73，0.3⋅共3个．故选：B．【点评】本题考查的是实数，熟知所有的分数都是有理数是解题的关键．【变式1-3】（2022春•宜秀区校级月考）下列说法正确的是（）A．实数包括有理数、无理数和零B．有理数包括正有理数和负有理数C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D．无论是有理数还是无理数都是实数【分析】灵活掌握实数分类以及有理数和无理数概念，注意容易混淆的知识点．【解答】解：有理数和无理数统称为实数，0属于有理数，故A错误，有理数包括正有理数、负无理数和0，0既不是正数也不是负数，故B错误，无限不循环的小数是无理数，故C错误，实数分为有理数和无理数，故D正确．故选：D．【点评】考查了实数的概念，以及有理数和无理数概念及分类．【变式1-4】下列判断：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；③2的算术平方根是2；④无理数是带根号的数．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B；【分析】直接利用有关实数的性质分别分析得出答案．【解答】解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，故原题说法错误；②实数包括无理数和有理数，故原题说法正确；③2的算术平方根是2，故原题说法正确；④无理数是无限不循环小数，故原题说法错误，例如4=2是有理数．故选：B．【变式1-5】（2022春•夏津县期末）下列说法中错误的是（）A．3−27是整数B．−1713是有理数C．33是分数D．9的立方根是无理数【分析】根据立方根，算术平方根，有理数，无理数的意义，即可解答．【解答】解：A、∵3−27=−3，∴3−27是整数，故A不符合题意；B、−1713是有理数，故B不符合题意；C、33是无理数，不是分数，故C符合题意；D、∵9=3，3的立方根是33，33是无理数，∴9的立方根是无理数，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数，无理数的意义是解题的关键．【变式1-6】（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：33，−4，−34，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）【分析】根据无理数以及正实数的定义，在给定实数中分别挑出无理数以及正实数，此题得解．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【变式2-7】（2023秋•滨湖区期中）将下列各数的序号填入相应的括号内：①﹣2.5；②313；③0；④2；⑤﹣8；⑥10%；⑦−27；⑧﹣1.12121112…；⑨2；⑩−0.345⋅⋅．整数集合：{…}；负分数集合：{…}；正有理数集合：{…}；无理数集合：{…}．【分析】根据实数的分类，即可解答．【解答】解：整数集合：{③⑤⑨…}；负分数集合：{①⑦⑩…}；正有理数集合：{②⑥⑨…}；无理数集合：{④⑧…}．故答案为：③⑤⑨；①⑦⑩；②⑥⑨；④⑧．【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．【例题2】（2022•海淀区校级模拟）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＜0B．a＜b C．b+5＞0D．|a|＞|b|【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．【变式2-1】（2022春•南岸区期中）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜2，则b的值可以是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．3【分析】先判断b的范围，再确定符合条件的数即可．【解答】解：∵1＜a＜2，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∵﹣a＜b＜a，∴b只能是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围．【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．【变式2-2】（2023秋•昌黎县期中）如图，在数轴上，点A表示实数a，则a可能是（）A．−12B．−10C．−8D．−3【分析】根据数轴可得−9＜＜−4，再逐一分析各选项的数据即可．【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，∴−9＜＜−4，∵9＜12，9＜10，∴−12＜−9，−10＜−9，故A，B不符合题意；∵3＜4，∴−3＞−4，故D不符合题意；∵4＜8＜9，∴−9＜−8＜−4，即−3＜−8＜−2，故选：C．【点评】本题考查的是实数与数轴，实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．【变式2-3】（2023秋•新吴区校级期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2020将与正方形上的哪个字母重合（）A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D【分析】正方形滚动一周的长度为4，从﹣2到2020共滚动2022，由2022÷4＝505......2，即可作出判断．【解答】解：∵正方形的边长为1，∴正方形的周长为4，∴正方形滚动一周的长度为4，∵正方形的起点在﹣2处，∴2020﹣（﹣2）＝2022，∵2022÷4＝505......2，∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合，故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，根据正方形的特点找出滚动规律是解题的关键．【变式2-4】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，2．【分析】先计算﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，再利用数轴表示数的方法表示所给的6个数，然后写出它们的大小关系．【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，用数轴表示为：，它们的大小关系为﹣|﹣4|＜﹣1.5＜0＜﹣（﹣1）＜2＜3．【变式2-5】（2022春•海安市校级月考）7、如图：数轴上表示1、5的对应点分别为A、B，且点A为线段BC的中点，则点C表示的数是（）A．5−1B．1−5C．5−2D．2−5【分析】设C点表示的数为x，再根据中点坐标公式求出x的值即可．【解答】解：设C点表示的数为x，则r52=1，解得x＝2−5．故选：D．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．【变式2-6】（2023•市南区一模）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（）A．1＜|a|＜b B．1＜﹣a＜b C．|a|＜1＜|b|D．﹣b＜a＜﹣1【分析】根据相反数的意义，绝对值的性质，有理数的大小比较，可得答案．【解答】解：由题意，得1＜|a|＜b，1＜﹣a＜b，﹣b＜a＜﹣1，故C符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，利用相反数的意义，绝对值的性质，数轴上的点右边的总比左边的大是解题关键．【变式2-7】（2023春•岳池县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为1+【分析】根据正方形的面积求出正方形的半径，即圆的半径为5，所以E点表示的数为OE的长度，即1+5．【解答】解：∵正方形的面积为5，∴AB为5；∵以A点为圆心，AB为半径，和数轴交于E点，∴AE＝AB=5；∵A点表示的数为1，∴OE＝OA+AE＝1+5故答案为：1+5【点评】本题主要考查了实数与数轴的位置关系，结合正方形面积以及圆的半径考查．解题关键是求出OE的长度．【变式2-8】（2022秋•西安月考）如图，已知实数−5，﹣1，5，3，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D．（1）求点C与点D之间的距离；（2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值．【分析】（1）根据数轴上两点间距离的计算方法进行计算即可得出答案；（2）先根据数轴上两点间距离的计算方法计算出a的值，再求a﹣b即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，点C与点D之间的距离为3−5；（2）根据题意可得，a＝|﹣1+5|=5−1，b＝3−5，a﹣b=5−1﹣（3−5）＝25−4．【点评】本题主要考查了实数与数轴及数轴上两点间距离，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及数轴上两点间距离的计算方法进行求解是解决本题的关键．【例题3】实数−3的绝对值是（）A．3B．C．−3D．33【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：实数−3的绝对值是：3．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．【变式3-1】−2的相反数是（）A．−2B．2CD．2【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得−2的相反数是：2．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．【变式3-2】（2023春•潮南区期中）5−2的相反数是（）A．﹣0.236B．5+2C．2−5D．﹣2+5【分析】根据相反数的定义即可得出结论．【解答】解：5−2的相反数是2−5．故选C．【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．【变式3-3】（2023春•京山市期中）下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣2与(−2)2B．﹣2与3−8C．﹣2与−12D．2与|﹣2|【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、(−2)2=2，﹣2与(−2)2是互为相反数，故本选项正确；B、3−8=−2，﹣2与3−8相等，不是互为相反数，故本选项错误；C、﹣2与−12是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，对各项准确计算是解题的关键．【变式3-4】（2023秋•秦都区校级月考）下列说法正确的是（）A．2的绝对值是22B．2的倒数是22C．2的相反数是22D．4的平方根为±2【分析】根据绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识分别对四个选项进行分析．【解答】解：2的绝对值是2，所以A选项不正确；2的倒数是22，所以B选项正确；2的相反数是−2，所以C选项不正确；4的平方根是±2，所以D选项不正确．故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识．【变式3-5】填空：（1）5的相反数是，绝对值是；（2）3−1的相反数是，绝对值是；（3）若|x|=3，则x＝．【分析】根据相反数和绝对值的定义即可得出答案．【解答】解：（1）5的相反数是−5，绝对值是5；（2）3−1的相反数是1−3，绝对值是3−1；（3）∵|x|=3，∴x=±3．故答案为：（1）−5，5；（2）1−3，3−1；（3）±3．【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，掌握绝对值等于3的数有2个是解题的关键．【变式3-6】（2022秋•余姚市校级期中）a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是15的倒数．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）求o+p+2−的值．【分析】（1）直接利用算术平方根的概念以及立方根的概念、倒数的概念分别分析得出答案；（2）直接利用绝对值的性质、立方根的性质、算术的性质分析得出答案．【解答】解：（1）∵a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是15的倒数，∴a＝2，b＝3，c＝5；故答案为：2，3，5；（2）原式=2(3+5)+22−2×5=6+25+4−25=10．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．【变式3-7】（2022秋•芗城区校级月考）31−2与33−2互为相反数，求代数式6x﹣9y+5的值．【分析】由题意得方程1﹣2x+3y﹣2＝0，求得2x﹣3y＝﹣1，再将其代入求解即可．【解答】解：由题意得1﹣2x+3y﹣2＝0，整理，得2x﹣3y＝﹣1，∴6x﹣9y+5＝3（2x﹣3y）+5＝3×（﹣1）+5＝﹣3+5＝2．【点评】此题考查了运用立方根和相反数进行化简、求值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识和整体思想．【变式3-8】（2022春•如皋市校级月考）已知|x|=5，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值．【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案．【解答】解：∵|x|=5，∴x＝±5，∵y是11的平方根，∴y＝±11，∵x＞y，∴当x=5，则y=−11，故x+y=5−11，当x=−5，则y=−11，故x+y=−5−11，综上所述：x+y的值为5−11或−5−11．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键．【例题4】（2023•潍坊）在实数1，﹣1，0，2中，最大的数是（）A．1B．﹣1C．0D．2【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜2，∴在实数1，﹣1，0，2中，最大的数是2，故选：D．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．【变式4-1】（2022•沂源县一模）在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是（）A．3B．−3C．0D．2【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小即可求解．【解答】解：在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是−3．故选：B．【点评】此题考查了实数大小比较，可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．【变式4-2】三个数﹣π，﹣3，−3的大小顺序是（）A．﹣3＜﹣π＜−3B．﹣π＜﹣3＜−3C．﹣π＜−3＜−3D．﹣3＜−3＜−π【分析】先对无理数进行估算，再比较大小即可．【解答】解：﹣π≈﹣3.14，−3≈−1.732，因为3.14＞3＞1.732．所以﹣π＜﹣3＜−3．故选：B．【点评】本题考查了同学们对无理数大小的估算能力及比较两个负数大小的方法，即两个负数相比较，绝对值大的反而小．【变式4-3】（2023秋•农安县期中）将数“22，5，−2，0，﹣1.6”按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来是：．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵22=8＞5，−2≈−1.57＞﹣1.6，∴﹣1.6＜−2＜0＜5＜22，故答案为：﹣1.6＜−2＜0＜5＜22．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数比较时绝对值大的反而小．【变式4-4】设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，，1这四个数中（）A．1＞＞＞2B．2＞＞＞1C．＞＞1＞2D．1＞＞＞2【分析】根据正数比较大小的法则进行解答即可．【解答】解：∵0＜a＜1，∴0＜a2＜a＜＜1，1＞1，∴1＞＞a＞a2．故选：D．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．【变式4-5】比较2，5，37的大小，正确的是（）A．2＜5＜37B．2＜37＜5C．5＜37＜2D．37＜2＜5【分析】把2转化为4，38，即可比较大小．【解答】解：∵2=4，∴5＞2，∵2=38，∴2＞37，∴5＞2＞37，即37＜2＜5，故选：D．【点评】本题考查了实数大小的比较，解决本题的关键是把2转化为4，38．【变式4-6】比较大小：− 1.5．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：(−3)2=3，（﹣1.5）2＝2.25，∵3＞2.25，∴−3＜−1.5．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小，两个负数平方大的反而小．【例题5】已知：x＜21＜y（x，y是两个连续整数），则x，y的值为（）A．x＝2，y＝3B．x＝3，y＝4C．x＝4，y＝5D．x＝5，y＝6【分析】根据16＜21＜25，即可得出x、y的值．【解答】解：∵16＜21＜25，∴x＝4，y＝5；故选：C．【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，解题的关键是用有理数逼近算术平方根．【变式5-1】（2023秋•郁南县期中）估算57的值应在（）A．6～7之间B．7～8之间C．8～9之间D．不能确定【分析】利用无理数的估算即可求得答案．【解答】解：∵49＜57＜64，∴7＜57＜8，即57的值在7～8之间，故选：B．【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．【变式5-2】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9＝18，则大正方形的边长为：18，∵16＜18＜ 4.52，∴4＜18＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．【变式5-3】（2022春•江津区校级月考）若x、y为两个连续的整数，且x＜39＜y，则x+y＝．【分析】通过36＜39＜49求解．【解答】解：∵36＜39＜49，∴6＜39＜7，∴x＝6，y＝7，∴x+y＝13．故答案为：13．【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．【变式5-4】（2023秋•青龙县期中）估算2+14的值在（）A．4到5之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间【分析】先估算出14的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵9＜14＜16，∴3＜14＜4，∴5＜2+14＜6．故选：B．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．【变式5-5】（2023秋•秦都区期中）估计23−2的值在（）A．2到3之间B．1到2之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】先估算出23的大小，进而估算23−2的范围．【解答】解：∵16＜23＜25，∴4＜23＜5，∴2＜23−2＜3，∴23−2的值在2和3之间．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．【变式5-6】（2022•南关区校级开学）已知x，y为两个连续的整数，且x＜20＜y，则5x+y的值为．【分析】先求出20的范围，求出x、y的值，求出5x+y的值，根据平方根的定义求出即可．【解答】解：∵4＜20＜5，∴x＝4，y＝5，∴5x+y＝5×4+5＝25，∴5x+y的平方根是±5，故答案为：±5．【点评】本题考查了算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．【变式5-7】（2023秋•二七区校级月考）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将2减去其整数部分，差就是2的小数部分．请解答：（1）23的整数部分是，小数部分是；（2）如果7+1的小数部分为，9−17的整数部分为b，求+−7的平方根；（3）已知10+7=+，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数23的大小即可；（2）根据算术平方根的定义估算无理数7+1，9−17的大小即可确定a、b的值，再代入计算即可；（3）根据算术平方根的定义估算无理数10+7的大小确定整数部分x，小数部分是y，再求出x﹣y的相反数即可．【解答】解：（1）42＝16，52＝25，而16＜23＜25，∴4＜23＜5，∴23的整数部分是4，小数部分为23−4，故答案为：4，23−4；（2）∵22＝4，32＝9，而4＜7＜9，∴2＜7＜3，∴3＜7+1＜4，∴7+1的整数部分是3，小数部分为7+1﹣3=7−2，即a=7−2；∵4＜17＜5，∴﹣5＜−17＜−4，∴4＜9−17＜5，∴9−17的整数部分是4，即b＝4，∴a+b−7=7−2+4−7=2，∴+−7的平方根是±2；（3）∵2＜7＜3，∴12＜10+7＜13，∴10+7的整数部分是12，小数部分是10+7−12=7−2，又∵10+7=+，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝12，y=7−2，∴x﹣y的相反数是y﹣x=7−14．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、平方根的定义是正确解答的前提．【例题6】通过估算，比较下列各组数的大小：（1）6（2（3）5−121；（4）3+12112．【分析】（1）利用平方运算，比较大小即可解答；（2）根据算术平方根的意义，比较大小即可解答；（3）先估算出5的值的范围，再估算出5−1的值的范围，进行计算即可解答；（4）先估算出3的值的范围，再估算出3+1的值的范围，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵62＝36，（35）2＝35，∴36＞35，∴6＞35，故答案为：＞；（2）∵8＜10，∴8＜10，故答案为：＜；（3）∵4＜5＜9，∴2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，故答案为：＜；（4）∵1＜3＜4，∴1＜3＜2，∴2＜3+1＜3，∴132，故答案为：＜．【点评】本题考查了数的大小比较，熟练掌握估算算术平方根的值的大小是解题的关键．【变式6-1】（2023春•西城区校级期中）比较大小：（1；（2）5−11．【分析】（1）先把4写成算术平方根的形式，然后根据算术平方根的被开方数越大，那个数就越大进行解答；（2）先估算5的大小，然后进行判断即可．【解答】解：（1）∵4=16，17＞16，∴17＞4；（2）∵2＜5＜3，∴5−1＞1，故答案为：（1）＞；（2）＞．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是能够正确的估算无理数的大小．【变式6-2】（2022秋•新津县校级月考）比较大小：3−1212，23．【分析】（1）比较出两个数的差的正负，即可判断出它们的大小关系．（2）首先比较出两个数的平方的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出原来的两个数的大小关系即可．【解答】解：（1）∵3−12−12=32−1＜0，∴3−12＜12．（2）(32)2=18，(23)2=12，∵18＞12，∴32＞23．故答案为：＜、＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．【变式6-3】（2023春•前进区月考）比较2，5，37的大小，正确的是（）A．2＜5＜37B．2＜37＜5C．37＜2＜5D．37＜5＜2【分析】先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小．【解答】解：∵26＝64，(5)6=[(5)2]3=125，(37)6=[(37)3]2=49，而49＜64＜125，∴(37)6＜(5)6＜26，∴37＜2＜5．故选：C．【点评】此题考查的是实数的比较大小，根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数，然后比较大小是解决此题的关键．【变式6-4】比较下列各组数的大小：（1）120与11．（2）5+12与2．【分析】（1）根据11=121，即可进行比较；（2）先通分，可得2=42，再比较分子5+1与4的大小即可求解．【解答】解：（1）∵11=121，120＜121，∴120＜11．（2）∵2=42，5+1＜4，∴5+12＜2．【点评】此题主要考查了算术平方根的估算能力，两个正数的算术平方根的比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大．【变式6-5】比较下列各组数的大小（1）8与10；（2）65与8；（3）5−12与0.5；（4）5−12与1．【分析】（1）根据8＜10，即可解答；（2）根据8=64，即可进行比较；（3）求出2＜5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可；（4）求出2＜5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可．【解答】解：（1）∵8＜10，∴8＜10；（2）∵64=8，64＜65，∴65＞64，∴65＞8；（3）∵2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，∴5−12＞12．（4）∵2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，∴5−12＜1．【点评】本题考查了数的大小比较的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小．【例题7】（2022秋•大竹县校级期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|−2的结果是（）A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b【分析】首先由数轴可得a＜b＜0，然后利用算术平方根与绝对值的性质，即可求得答案．【解答】解：根据题意得：a＜b＜0，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|−2=|a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b．故选：C．【点评】此题考查了数轴、算术平方根与绝对值的性质．此题难度适中，注意2=|a|．【变式7-1】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|3−b|+|a+3|+2的值．【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：a＜−3，0＜b＜3，故|3−b|+|a+3|+2=3−b﹣（a+3）﹣a=3−b﹣a−3−a＝﹣2a﹣b．故答案为：﹣2a﹣b．【点评】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式7-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简(−p2−|a+c|+(−p2−|b|【分析】利用数轴首先得出各式的符号，进而化简得出答案．【解答】解：如图所示：a﹣b＜0，a+c＜0，c﹣b＜0，b＞0，则原式＝b﹣a+a+c+b﹣c﹣b＝b．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确判断出各式的符号是解题关键．【变式7-3】（2021春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：2+|a+b|+3(+p3−|b﹣c|．【分析】直接利用数轴得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化简求解．【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）＝b．【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式7-4】实数a，b，c表示在数轴上如图所示，完成下列问题，试化简：(−p2−|−U+3(−p3．【分析】根据题意可得：b＜0＜a＜c，从而可得a﹣c＜0，b﹣a＜0，然后利用二次根式的性质，绝对值，立方根的意义进行化简计算，即可解答．【解答】解：由题意得：b＜0＜a＜c，∴a﹣c＜0，b﹣a＜0，∴(−p2−|−U+3(−p3＝c﹣a﹣（a﹣b）+b﹣c＝c﹣a﹣a+b+b﹣c＝2b﹣2a．【点评】本题考查了整式的加减，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式7-5】（2022秋•保定月考）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B 表示3，设点A所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求（m+2）2+|m+1|的值．【分析】（1）根据实数与数轴上的点是一一对应关系进行计算即可得出答案；（2）把（1）中m的值代入进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，m=3−2；故答案为：3−2；（2）m+1=3−2+1=3−1，∵1＜3＜2，∴0＜3−1＜1，（m+2）2+|m+1|＝（3−2+2）2+|3−1|＝（3）2+3−1＝3+3−1＝2+3．故答案为：2+3．【点评】本题主要考查了实数与数轴及绝对值，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键．【变式7-6】（2022秋•青龙县月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A 表示−2，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求（m+1）（1﹣m）的值；（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且|c+3|与−5互为相反数，求c+3d的平方根．【分析】（1）根据点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，即可得到m的值；（2）根据（1）的结果求值即可；（3）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案．【解答】解：（1）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，∴m=−2+2，故答案为：−2+2；（2）（m+1）（1﹣m）＝1﹣m2＝1﹣（−2+2）2＝1+42−6＝42−5；（3）∵|c+3|与−5互为相反数，∴|c+3|+−5=0，∵|c+3|≥0，−5≥0，∴c+3＝0，d﹣5＝0，∴c＝﹣3，d＝5，∴c+3d＝（﹣3）+3×5＝﹣3+15。

实数经典例题+习题(最全)

经典例题类型一．有关概念的识别1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用,其中,1。

010010001…，3π，是无理数故选C举一反三:【变式1】下列说法中正确的是（)A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．∵1的立方根是1,=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（)A、1B、1。

4C、D、【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知｜AO|=，∴A表示数为，故选C．【变式3】【答案】∵π= 3。

1415…,∴9＜3π＜10因此3π—9＞0，3π-10＜0∴类型二．计算类型题2．设，则下列结论正确的是（）A. B。

C. D。

解析：（估算）因为,所以选B举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）—27立方根是__________。

3）___________，___________，___________.【答案】1）；。

2）—3。

3），,【变式2】求下列各式中的（1)（2)（3)【答案】（1)（2)x=4或x=—2（3）x=-4类型三．数形结合3. 点A在数轴上表示的数为,点B在数轴上表示的数为，则A,B两点的距离为______解析：在数轴上找到A、B两点，举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1,的对应点分别为A，B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是( ）．A．－1 B．1－C．2－D．－2【答案】选C［变式2］已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简【答案】:类型四．实数绝对值的应用4．化简下列各式：(1) ｜—1。

实数练习题及答案

实数练习题及答案实数是数学中非常重要的概念，它们包括有理数和无理数。

掌握实数的概念和运算是解决许多数学问题的基础。

下面是一些实数的练习题，以及相应的答案，供学习者练习和参考。

练习题1：判断下列数中哪些是有理数，哪些是无理数。

- √2- π- 1/3- 0.5- √3- √8答案1：- √2（无理数）- π（无理数）- 1/3（有理数）- 0.5（有理数，即1/2）- √3（无理数）- √8（无理数，因为8可以分解为2^3，而√8 = 2√2）练习题2：计算下列表达式的值。

- √4 + √9- √16 - √25- (√2)^2- √(1/4)答案2：- √4 + √9 = 2 + 3 = 5- √16 - √25 = 4 - 5 = -1- (√2)^2 = 2- √(1/4) = 1/2练习题3：解下列方程。

- √x = 4- x^2 = 16- √(x - 3) = 2答案3：- √x = 4，两边平方得 x = 16- x^2 = 16，解得x = ±4- √(x - 3) = 2，两边平方得 x - 3 = 4，解得 x = 7练习题4：将下列无理数化为最简二次根式。

- √48- √75答案4：- √48 = √(16 * 3) = 4√3- √75 = √(25 * 3) = 5√3练习题5：求下列表达式的值。

- √(√3 + 1)^2- √(√2 - 1)^2答案5：- √(√3 + 1)^2 = √3 + 1- √(√2 - 1)^2 = √2 - 1练习题6：判断下列表达式是否正确。

- √(-4) 是否有实数解？- √(-9) 是否有实数解？答案6：- √(-4) 没有实数解，因为负数没有实数平方根。

- √(-9) 同样没有实数解。

通过这些练习，可以帮助学习者更好地理解实数的概念和运算规则。

希望这些练习题和答案对学习者有所帮助。

在数学学习中，不断的练习和思考是提高解题能力的关键。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》章末综合知识点分类练习(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》章末综合知识点分类练习（附答案）一．平方根1．已知一个数的平方根是2a +5与﹣3a +25，求这个数．2．（1）若5a +1和a ﹣19是数m 的两个不同的平方根，求m 的值．（2）如果y ＝+3，试求2x +y 的值．二．算术平方根3．已知实数a ，b ，c 满足：b ＝+4，c 的平方根等于它本身．求的值．4．若一正数x 的平方根是2a ﹣1和﹣a +2，是5的算术平方根，求x +5y 的平方根．三．非负数的性质：算术平方根 5．已知：（x +2）2与互为相反数，求（x +y ）2018的平方根．6．若+（1﹣y ）2＝0．（1）求x ，y 的值；（2）求+++…+()()202220221++y x 的值．四．立方根 7．已知M ＝是m +3的算术平方根，N ＝是n ﹣2的立方根，求：M ﹣N 的值的平方根．五．计算器—数的开方8．（1）观察下表，你能得到什么规律？n 0.008 8 8000 80000000.2220200（2）请你用计算器求出精确到0.001的近似值，并利用这个近似值根据上述规律，求出和的近似值．六．无理数9．在实数：3.14159，，1.010010001…，，0，，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个七．实数10．把下列各数填在相应的大括号里：﹣（﹣2）2，，﹣0.101001，﹣|﹣2|，﹣0.，0.202002…，，0，负整数集合：（…）；负分数集合：（…）；无理数集合：（…）．八．实数的性质11．若|a|＝，则﹣的相反数是．12．已知|x﹣1|＝，求实数x的值．九．实数与数轴13．如图1，已知在数轴上有A、B两点，点A表示的数是﹣6，点B表示的数是9．点P 在数轴上从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点Q在数轴上从点B出发，以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）AB＝；t＝1时，点Q表示的数是；当t＝时，P、Q两点相遇；（2）如图2，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长；（3）如图3，若点M为线段AP的中点，点T为线段BQ中点，则点M表示的数为；点T表示的数为；MT＝．（用含t的代数式填空）十．实数大小比较14．先填写表，通过观察后再回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…（1）表格中x＝，y＝；（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈；②已知＝8.973，若＝897.3，用含m的代数式表示b，则b＝；（3）试比较与a的大小．十一．估算无理数的大小15．阅读下面文字，然后回答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用﹣1表示．由此我们得到一个真命题：如果＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y＝﹣1．请解答下列问题：（1）如果＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝，b＝；（2）如果﹣＝c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，那么c＝，d＝；（3）已知2+＝m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值．十二．实数的运算16．（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|5﹣|﹣2．17．（1）计算：（2）求x的值：（x﹣5）3＝﹣8十三．二次根式的定义18．已知是整数，则满足条件的最小正整数n是．十四．二次根式有意义的条件19．使在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．十六．最简二次根式21．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有个．十七．二次根式的乘除法22．化简：（b＜0）．十八．化简分母中的二次根式23．计算：＝．24．阅读下面计算过程：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．求：（1）的值．（2）（n为正整数）的值．（3）+++…+的值．十九．可以合并的二次根式25．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值为．26．若最简二次根式和是可以合并的二次根式．（1）求x，y的值；（2）求的值．二十．二次根式的加减法27．计算：+的结果为．28．化简．29．化简：（）2﹣＝．二十二．二次根式的化简求值30．若x，y是实数，且y＝++，求（x+）﹣（+）的值．参考答案一．平方根1．解：∵一个数的平方根是2a+5与﹣3a+25，∴2a+5+（﹣3a+25）＝0，解得a＝30，∴2a+5＝2×30+5＝65，∴这个数是：652＝4225．2．解：（1）∵5a+1和a﹣19是数m的两个不同的平方根，∴5a+1+a﹣19＝0，解得a＝3，所以，5a+1＝3×5+1＝16，m＝162＝256；（2）由题意得，x2﹣4≥0且4﹣x2≥0，所以，x2≥4且x2≤4，所以，x2＝4，解得x＝±2，又∵x+2≠0，∴x≠﹣2，所以，x＝2，y＝3，所以，2x+y＝2×2+3＝7．二．算术平方根3．解：∵﹣（a﹣3）2≥0，∴a＝3把a代入b＝+4得：∴b＝4∵c的平方根等于它本身，∴c＝0∴＝．4．解：∵一正数x 的平方根是2a ﹣1和﹣a +2， ∴2a ﹣1﹣a +2＝0，解得：a ＝﹣1． ∴2a ﹣1＝﹣3， ∴x ＝（﹣3）2＝9． ∵是5的算术平方根，∴3×9﹣2y ﹣9＝2，解得：y ＝8． ∴x +5y ＝49．∴x +5y 的平方根是±7．三．非负数的性质：算术平方根 5．解：因为：（x +2）2与互为相反数，所以：（x +2）2+＝0，又因为：（x +2）2≥0，≥0，所以 x +2＝0，x +2y ＝0，所以x ＝﹣2，y ＝1，所以（x +y ）2018＝1，所以（x +y ）2018的平方根是±1． 6．解：（1）根据题意得，解得；（2）原式＝+++…+202320241＝1﹣+﹣+﹣+…+20231﹣20241＝1﹣20241＝20242023．四．立方根 7．解：∵M ＝是m +3的算术平方根，∴m ﹣4＝2，解得m＝6，∴M＝＝3；∵N＝是n﹣2的立方根，∴2m﹣4n+3＝3，即12﹣4n+3＝3，解得n＝3，∴N＝＝1，∴M﹣N＝3﹣1＝2，∴M﹣N的值的平方根是±．五．计算器—数的开方8．解：（1）被开方数的小数点每向右（左）移动3位，立方根的小数点向相同的方向移动1位；（2）∵，∴，．六．无理数9．解：3.14159，＝4，0，是有理数，1.010010001…，﹣，是无理数，共有3个，故选：C．七．实数10．解：在﹣（﹣2）2，，﹣0.101001，﹣|﹣2|，﹣0.，0.202002…，，0，中，负整数集合是：（﹣（﹣2）2，﹣|﹣2|，…）；负分数集合是：（﹣0.101001，﹣0.，…）；无理数集合是：（0.202002…，，…）．八．实数的性质11．解：∵|a|＝，∴a2＝6，∴﹣＝﹣＝﹣2，﹣2的相反数是2．故本题的答案是2．12．解：∵|x﹣1|＝，∴x﹣1＝±．解得：x＝+1或x＝﹣+1．∴x的值为1﹣或1+．九．实数与数轴13．解：（1）AB＝9﹣（﹣6）＝15，t＝1时，BQ＝3，OQ＝6，设t秒后相遇，由题意（2+3）t＝15，t＝3，故答案为15，6，3（2）答：MN长度不变，理由如下：∵M为AP中点，N为BP中点∴MP＝AP，NP＝BP，∴MN＝MP+NP＝（AP+BP）＝AB＝7.5．（3）则点M表示的数为t﹣6；点T表示的数为9﹣t；MT＝15﹣t；故答案为t﹣6，9﹣t，15﹣t；十．实数大小比较14．解：（1）x＝0.1，y＝10；（2）①根据题意得：≈31.6；②根据题意得：b＝10000m；（3）当a＝0或1时，＝a；当0＜a＜1时，＞a；当a＞1时，＜a，故答案为：（1）0.1；10；（2）①31.6；②10000m十一．估算无理数的大小15．解：（1）∵＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，2＜＜3，∴a＝2，b＝﹣2；（2）∵﹣＝c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，2＜＜3，﹣3＜﹣＜﹣2，∴c＝﹣3，d＝3﹣；（3）∵2+＝m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，∴m＝4，n＝﹣2，则|m﹣n|＝|4﹣+2|＝6﹣．故答案为：2，﹣2；﹣3，3﹣，6﹣．十二．实数的运算16．解：（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|5﹣|﹣2＝1﹣2+3﹣5﹣2＝﹣6+．17．解：（1）原式＝5﹣4+2＝3；（2）开立方得：x﹣5＝﹣2，解得：x＝3．十三．二次根式的定义18．解：∵8＝22×2，∴n的最小值是2．故答案为：2．十四．二次根式有意义的条件19．解：由题意，得3﹣x≥0，且x≠0，解得x≤3且x≠0，故答案为：x≤3且x≠0．十五．二次根式的性质与化简20．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式＝|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）＝a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c＝3a+b﹣c．十六．最简二次根式21．解：，是最简二次根式，故答案为：2．十七．二次根式的乘除法22．解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式＝•（﹣b）•（a）÷3＝﹣3a2b÷3＝﹣3a2b×（﹣）＝a2b2×＝ab．十八．化简分母中二次根式23．解：原式＝＝＝3．故答案为：3．24．解：（1）＝＝﹣；（2）＝＝﹣；（3）+++…+＝（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+…+（10﹣）＝10﹣1＝9．十九．可以合并的二次根式25．解：∵最简二次根式与是可以合并的二次根式，∴2a﹣3＝5，解得：a＝4．故答案为：4．26．解：（1）根据题意知，解得：；（2）当x＝4、y＝3时，＝＝＝5．二十．二次根式的加减法27．解：原式＝+＝+2＝．故答案为：．28．解：＝﹣＝﹣＝﹣＝+4﹣﹣1＝3．二十一．二次根式的混合运算29．解：根据题意得3﹣x≥0，解得x≤3，所以原式＝3﹣x﹣＝3﹣x﹣（3﹣x）＝0．故答案为0．二十二．二次根式的化简求值30．解：∵x，y是实数，且y＝++，∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x＝，∴y＝，∴（x+）﹣（+）的值．＝2x+2﹣x﹣5＝x﹣3＝﹣3＝﹣．。

实数习题库(分类清晰)用

实数概念1.下列命题中，正确的是（）。

A 、无理数包括正无理数、0和负无理数B 、无理数不是实数C 、无理数是带根号的数D 、无理数是无限不循环小数2.下列命题中，正确的是（）。

A 、两个无理数的和是无理数B 、两个无理数的积是实数C 、无理数是开方开不尽的数D 、两个有理数的商有可能是无理数4.下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。

正确的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、45.在实数中－23，0，－3.14 ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A 、1B 、2C 、3D 、47.下面5个数：13.1416,1ππ-，其中是有理数的有（） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个8.代数式12+x ，x ，y ,2)1(-m ,33x 中一定是正数的有（）。

A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个平方根与立方根1.下列说法错误．．的是( ) A ．无理数没有平方根； B ．一个正数有两个平方根；C ．0的平方根是0；D ．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数． 3. 4925的平方根是；81的算术平方根是 . 4. 3的算术平方根是；8116的平方根 . 7. ()26-的算术平方根是__________. 8. 2的平方根是_________.10.若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 .11.下列命题中,正确的个数有( )①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零；④-4没有算术平方根.A.1个B.2个C.3个D.4个12.下列各式中，无意义的是( )A ．41B ．2)2(-C ．41- D ．2- 14.下列说法中，错误的是（）。

实数重难点题型分类(八大题型)(解析版)—2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型高分突破》

实数重难点题型分类（八大题型）【题型01：无理数的概念】【题型02：平方根、算术平方根与立方根的概念和性质】【题型03：实数大小比较、无理数的估算】【题型04：无理数在数轴上的表示】【题型05：实数与数轴的简单运用】【题型06：算术平方根与绝对值的非负性综合】【题型07：实数的运算综合】【题型08：实数的综合应用】【题型01：无理数的概念】1.下列实数中，无理数是（　）B．0.2C．3.14159DA．222．下列各数是无理数的是（）B C D．0.23A．13．在实数―1，12， 3.14中，无理数是（）A ．―1B ．12C D ．3.144．下列实数227，，13，π―3.14中，无理数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【题型02：平方根、算术平方根与立方根的概念和性质】5 ）A ．―3B ．3C ．±3D ．136．9的算术平方根是（）A．―3B．3C．9D．±3【答案】B【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：9的算术平方根是3，故选：B．7．一个正数的两个不同的平方根是a+1和a―15，则这个正数是（）A．64B．49C．14D．7【答案】A【分析】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数建立方程，解方程可得a的值，由此即可得．【详解】解：由题意得：a+1+a―15=0，解得a=7，则这个正数是(a+1)2=(7+1)2=64，故选：A．8．―8的立方根是（）D．―4 A．2B．―2C．―129．下列计算正确的是（）=±3B=―1C=―1D．=2A10）A．―9B．3C．―3D．±311．在1.5，﹣1.4，，0这四个数中，最小的数是（）A．1.5B．C．0D．﹣1.4【答案】D【解答】解：在1.5，﹣1.4，，0这四个数中，最小的数是﹣1.4，故选：D．12．下列各式比较大小正确的是（）A．B．C．﹣π＜﹣3.14D．【答案】C【解答】解：A、∵，∴﹣，故本选项正确；B、∵，，6＝，5＝，∴＞，∴﹣＜﹣，故本选项错误；C、∵π＞3.14，∴﹣π＜﹣3.14，故本选项正确；D、∵＞＝3，∴﹣＜﹣3，故本选项错误．故选：C．13．在哪两个整数之间（）A．5与6B．6与7C．7与8D．8与9【答案】C【解答】解：∵72＝49，82＝64，而49＜50＜64，∴7＜＜8；故选：C．14．估计的值在（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间【答案】B【解答】解：∵4＜7＜9，∴，∴，故选：B．15．整数a满足，则a的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解答】解：∵18＜25＜28，∴＜5＜，∴a＝5，故选：C．16．设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则＝（）A．32B．46C．64D．65【答案】D【解答】解：∵1.52＝2.25，2.52＝6.25，3.52＝12.25，4.52＝20.25，[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），∴；；；；，∴＝1×2+2×4+3×6+4×8+5＝2+8+18+32+5＝65，故选：D．17．比较大小：．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵≈1.7，∴﹣1＜1，∴＜．故答案为：＜．18．比较大小： ﹣1（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵≈1.414，≈2.236，∴﹣1≈2.236﹣1＝1.236，∴＞﹣1，故答案为：＞．【题型04：无理数在数轴上的表示】19．已知点A，B，C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是﹣2，点B是AC的中点，线段AB＝+1，则点C表示的数是．【答案】2．【解答】解：∵点A表示的数是﹣2，线段AB＝+1，∴点B表示的数是﹣1，∵点B是AC的中点，∴线段BC＝AB＝1，∴点C表示的数是：＝2，故答案为：．20．如图，将数表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图可知，1＜被覆盖的数＜3，∵﹣、、只有在此范围内，∴被墨迹覆盖的数是．故答案为：21．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和1，则点C所对应的实数是．【答案】．【解答】解：数轴上两点关于某一点对称，这两点到对称点的距离相等，设点C表示实数x，由此可得，解得，故答案为：．【题型05：实数与数轴的简单运用】22．实数a，b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣|a+b|＝．【答案】﹣2a．【解答】解：由数轴可得：a＜b，|a|＜|b|，∴|a﹣b|﹣|a+b|＝b﹣a﹣a﹣b＝﹣2a．故答案为：﹣2a．22．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|＝．【答案】2a．【解答】解：根据图示，可得：a＜0＜b，﹣a＜b，∴a+b＞0，∴|a+b|﹣|a﹣b|＝a+b﹣（b﹣a）＝2a．故答案为：2a．23．实数a，b，c在数轴上的位置如图，那么|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a|＝．【答案】﹣c﹣b．【解答】解：由数轴可知：b＜c＜﹣1＜0＜1＜a，∴|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a|＝﹣c﹣a﹣b+a＝﹣c﹣b，故答案为：﹣c﹣b．24．实数a、b在数轴上如图所示，化简|a|﹣|a﹣b|＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：观察函数图象，可知：a＜0＜b，∴a﹣b＜0，∴|a|﹣|a﹣b|＝﹣a+a﹣b＝﹣b．故答案为：﹣b．25．已知实数a、b在数轴上的对应点如图，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝．【答案】c．【解答】解：由图可知，a＜0，a＜b＜0＜c，且|a|＞|b|，所以，a+b＜0，c﹣b＞0，所以|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝﹣a+a+b+c﹣b＝c，故答案为：c【题型06：算术平方根与绝对值的非负性综合】26．若|3﹣a|+＝0，则a+b的值是（）A．2B．1C．0D．﹣1【答案】B【解答】解：由题意得，3﹣a＝0，2+b＝0，解得，a＝3，b＝﹣2，a+b＝1，故选：B．27．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵＝7，∴b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：D．28．若+|y+3|＝0，则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【答案】C【解答】解：∵+|y+3|＝0，∴2x+1＝0，y+3＝0，解得x＝﹣，y＝﹣3，∴原式＝＝．故选：C．29．已知|b﹣4|+（a﹣1）2＝0，则的平方根是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：根据题意得，b﹣4＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝4，所以，＝，∵（±）2＝，∴的平方根是±．30．若实数m，n满足（m﹣1）2+＝0，则（m+n）5＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知，m，n满足（m﹣1）2+＝0，∴m＝1，n＝﹣2，∴（m+n）5＝（1﹣2）5＝﹣1．故答案为：﹣1．31．已知，则x+y＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵，∴，解得，则x+y＝﹣1+2＝1，故答案为1．32．若，则（x+y）2023＝　1　．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，所以（x+y）2023＝（2﹣1）2023＝1．故答案为：1．33．若a，b为实数，且，则（a+b）2023＝．【答案】﹣1．【解答】解：∵|a﹣1|+＝0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1，故答案为：﹣1．【题型07：实数的运算综合】34．计算：．【答案】10．【解答】解：＝7+6﹣3＝10．35．计算：（1）；（2）．【答案】（1）7；（2）．【解答】解：（1）＝2+2+3＝7；（2）＝4+2﹣﹣3＝．36．计算：．【答案】．【解答】解：＝＝．37．计算：．【答案】2．【解答】解：＝3+（﹣3）+2＝2．38．计算：（1）4﹣|﹣7|+；（2）﹣23×（﹣6）﹣（﹣3）2．【答案】（1）﹣5；（2）39．【解答】解：（1）原式＝4﹣7﹣2＝﹣5；（2）原式＝﹣8×（﹣6）﹣9＝48﹣9＝39．39．计算：．【答案】1．【解答】解：原式＝2×（﹣3）+4﹣2+5＝﹣6+4﹣2+5＝4+5﹣6﹣2＝1．【题型08：实数的综合应用】40．小明的爸爸打算用如图一块面积为1600cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为1350cm2的桌面．（1）求正方形木板的边长；（2）若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．【答案】（1）40cm；（2）不能，见解析．【解答】解：（1）设正方形木板的边长为a（a＞0）cm，则a2＝1600，∵402＝1600，∴a＝40，即正边形边长为40cm．（2）设长方形的长、宽分别为3kcm，2kcm，则：3k⋅2k＝1350，k2＝225，∴k＝15．∴3k＝15×3＝45＞40．∴不能裁出符合要求的长方形．41．小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2）．（1）如图1，S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1边长为；如图2，S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2边长为；如图3，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3边长为．（2）若将（1）中的图3沿正方形A3B3C3D3边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．【答案】（1），，；（2）不能，理由详见解答．【解答】解：（1）如图1，当S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1＝2，因此其边长为；如图2，当S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4＝5，因此其边长为；如图3，当S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16＝17，因此其边长为；故答案为：，，；（2）不能，理由如下：设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x•3x＝14.52，所以x2＝1.21，即x＝1.1（x＞0），因此长方形的长为4x＝4.4，宽为3x＝3.3，因为（4.4）2＝19.36＞17，所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．42．综合与实践【问题发现】如图1，把两个面积都为1cm2的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为 cm．【知识迁移】若一个圆与一个正方形的面积都是2πcm2，设这个圆的周长为C这个正方形的周长为C圆，则C圆 C正（填“＝”或“＜”或“＞”）．【拓展延伸】李明想用一块面积为400cm2的正方形纸片（如图2所示），沿着边的方向截出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：4．李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【答案】（1）；（2）＜；（3）能，理由详见解答．【解答】解：（1）由题意得，大正方形的面积为2cm2，因此边长为cm，故答案为：；（2）设圆的半径为r cm，则πr2＝2π，∴r＝，∴圆的周长为2π×＝2π（cm），设正方形的边长为a，则a2＝2π，∴a＝，∴正方形的周长为4a＝4（cm），∵2π＝＝，4＝＝，而π＜4，∴＜，即2π＜4，也就是C圆＜C正方形，故答案为：＜；（3）能，理由如下：设长方形的长为5x cm，则宽为cm，由题意可得，5x•4x＝300，∴x＝，即长为5cm，宽为4cm，而面积为400cm2的边长为cm，∵5＝＜，∴能裁出一块面积为300cm2的长方形纸片．。

初二实数练习题及答案

初二实数练习题及答案本文为初二实数练习题及答案的整理，旨在帮助初二学生提升实数概念和运算能力。

以下将给出一系列的实数练习题，并附上详细的解答过程和答案，供大家参考。

练习题一：计算下列各式的结果：1. $\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$2. $(-7) \times (-3)$3. $\frac{1}{5} \div (-\frac{2}{3})$4. $\frac{2}{3} - (-\frac{3}{4})$解答：1. $\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} =\frac{19}{12}$2. $(-7) \times (-3) = 21$3. $\frac{1}{5} \div (-\frac{2}{3}) = \frac{1}{5} \times (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{10}$4. $\frac{2}{3} - (-\frac{3}{4}) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} =\frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}$练习题二：化简下列各式：1. $-2 + (-5) - (-3)$2. $\frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \div \frac{3}{4}$3. $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \div (\frac{2}{3} - \frac{1}{2})$4. $3 + (-2) \times 5$解答：1. $-2 + (-5) - (-3) = -2 - 5 + 3 = -4$2. $\frac{4}{5} \times \frac{2}{3} \div \frac{3}{4} = \frac{8}{15} \div \frac{3}{4} = \frac{8}{15} \times \frac{4}{3} = \frac{32}{45}$3. $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \div (\frac{2}{3} - \frac{1}{2}) = (\frac{3}{6} + \frac{2}{6}) \div (\frac{4}{6} - \frac{3}{6}) = \frac{5}{6} \div \frac{1}{6} = 5$4. $3 + (-2) \times 5 = 3 - 10 = -7$练习题三：求解下列方程：1. $2x + 5 = -3$2. $3(x - 1) = 5x - 1$3. $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} - \frac{5}{6} = \frac{4x}{5} +\frac{1}{2}$4. $\frac{2}{3}(x - 4) = \frac{1}{2}(x - 2)$解答：1. $2x + 5 = -3$将常数项移到右侧，得到 $2x = -8$再将系数化简，得到 $x = -4$2. $3(x - 1) = 5x - 1$展开括号得到 $3x - 3 = 5x - 1$移项化简得到 $3 = 2x$解得 $x = \frac{3}{2}$3. $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} - \frac{5}{6} = \frac{4x}{5} +\frac{1}{2}$通分得到 $\frac{4x-3x}{12} - \frac{5}{6} = \frac{16x+6}{10} +\frac{6}{12}$化简得到 $\frac{x}{12} - \frac{5}{6} = \frac{8x+3}{5} + \frac{1}{2}$继续整理得到 $\frac{x}{12} - \frac{8x}{5} = \frac{19}{10}$合并同类项得到 $\frac{-7x}{60} = \frac{19}{10}$解得 $x = -\frac{114}{7}$4. $\frac{2}{3}(x - 4) = \frac{1}{2}(x - 2)$展开括号得到 $\frac{2}{3}x - \frac{8}{3} = \frac{1}{2}x - 1$移项化简得到 $\frac{2}{3}x - \frac{1}{2}x = \frac{8}{3} - 1$合并同类项得到 $\frac{1}{6}x = \frac{5}{3}$解得 $x = 10$练习题四：计算下列各式的结果（保留根式形式）：1. $\sqrt{50} + \sqrt{32}$2. $\sqrt{200} - \sqrt{8}$3. $(\sqrt{18} + \sqrt{32}) \div \sqrt{2}$解答：1. $\sqrt{50} + \sqrt{32} = \sqrt{25 \times 2} + \sqrt{16 \times 2} =5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$2. $\sqrt{200} - \sqrt{8} = \sqrt{100 \times 2} - \sqrt{4 \times 2} =10\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$3. $(\sqrt{18} + \sqrt{32}) \div \sqrt{2} = \frac{\sqrt{9 \times 2} +\sqrt{16 \times 2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 7$以上为初二实数练习题及答案，希望能对大家的实数运算能力提升有所帮助。

(专题精选)初中数学实数分类汇编含答案解析

（专题精选）初中数学实数分类汇编含答案解析一、选择题1．2在哪两个整数之间( )A ．4和5B ．5和6C ．6和7D ．7和8【答案】C【解析】【分析】222== 1.414≈，即可解答．【详解】222== 1.414≈，∴2 6.242≈，即介于6和7，故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及 1.414≈．2．下列各数中最小的数是( )A ．1-B ．0C ．D ．2-【答案】D【解析】【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】根据实数比较大小的方法，可得-2＜-1＜0，∴各数中，最小的数是-2．故选D ．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．3．已知,x y 为实数且10x +=,则2012x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．0B ．1C ．-1D ．2012 【答案】B【解析】利用非负数的性质求出x、y，然后代入所求式子进行计算即可.【详解】由题意，得x+1=0，y-1=0，解得：x=-1，y=1，所以2012xy⎛⎫⎪⎝⎭=（-1）2012=1，故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.4．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是±4；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】【详解】①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；②无理数是开方开不尽的数，错误；③负数没有立方根，错误；④16的平方根是±4，用式子表示是，错误；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确．错误的一共有3个，故选D．5．下列各数中比3大比4小的无理数是（）A B C．3.1 D．10 3【答案】A【解析】【分析】由于带根号的且开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．【详解】＞4，3＜4∴选项中比3大比4．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．6．25的平方根是（）A．±5 B．5 C．﹣5 D．±25【答案】A【解析】【分析】如果一个数 x的平方是a，则x是a的平方根，根据此定义求解即可．【详解】∵（±5）2=25，∴25的立方根是±5，故选A．【点睛】本题考查了求一个数的平方根，解题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，这两个互为相反数．7．王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示－1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”.则数轴上点A所表示的数是（）A2－1 B2＋1 C2D2【答案】A【解析】【分析】先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数-较小的数，便可求出-1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．【详解】22+=-1和A2．112∴点A2．故选A．【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．8．如图，数轴上的A 、B 、C 、D 四点中，与数﹣3表示的点最接近的是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】B【解析】【分析】 3 1.732-≈-，计算-1.732与-3，-2，-1的差的绝对值，确定绝对值最小即可.【详解】3 1.732-≈-，()1.7323 1.268---≈ ，()1.73220.268---≈，()1.73210.732---≈，因为0.268＜0.732＜1.268，所以3- 表示的点与点B 最接近，故选B.9．已知直角三角形两边长x 、y 满足224(2)10x y -+--=，则第三边长为（） A ． B ．13 C ．5或13 D ．513【答案】D【解析】【分析】【详解】解：∵|x 2-4|≥02(2)1y --，∴x 2-4=0，2(2)1y --=0，∴x=2或-2（舍去），y=2或3，分3种情况解答：①当两直角边是2时，三角形是直角三角形，22222+=②当2，3222313+=③当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角，22325-=．故选D ．考点：1．非负数的性质；2．勾股定理．10．下列说法正确的是（）A．任何数的平方根有两个B．只有正数才有平方根C．负数既没有平方根，也没有立方根D．一个非负数的平方根的平方就是它本身【答案】D【解析】A、O的平方根只有一个即0，故A错误；B、0也有平方根，故B错误；C、负数是有立方根的，比如-1的立方根为-1，故C错误；D、非负数的平方根的平方即为本身，故D正确；故选D．11．下列命题中，真命题的个数有（）①带根号的数都是无理数；②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；③0.01是0.1的算术平方根；④有且只有一条直线与已知直线垂直A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】【分析】开方开不尽的数为无理数；立方根等于本身的有±1和0；算术平方根指的是正数；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直.【详解】仅当开方开不尽时，这个数才是无理数，①错误；立方根等于本身的有：±1和0，②错误；12．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．13．( )A．3 B．3-C．3±D．4.5【答案】A【解析】分析：本题只需要根据算术平方根的定义，求9的算术平方根即可．．故选A．点睛：本题考查了算术平方根的运算，比较简单．14．下列运算正确的是（）A =-2 B．|﹣3|=3 C=± 2 D【答案】B【解析】【分析】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据绝对值的定义即可判定；C、根据算术平方根的定义即可判定；D、根据立方根的定义即可判定．【详解】解：A、C2=，故选项错误；B、|﹣3|=3，故选项正确；D、9开三次方不等于3，故选项错误．【点睛】此题主要考查了实数的运算，注意，正数的算术平方根是正数．15．已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[]3.93=，[]1.82-=-．记1()44k k f k +⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（k 是正整数）．例：3133144()f ⎡⎤⎡⎤+=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．则下列结论正确的个数是（）（1）()10f =；（2）()()4f k f k +=；（3）()()1f k f k +≥；（4）()0f k =或1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据题中所给的定义，依次作出判断即可．【详解】解：111(1)00044f +⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，正确； 41411(4)11()444444k k k k k k f k f k +++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-=+-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，正确；当k=3时，414(31)11044f +⎡⎤⎡⎤+=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而(3)1f =，错误；当k=3+4n （n 为自然数）时，f （k ）=1，当k 为其它的正整数时，f （k ）=0，正确；正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，函数值．能理解题中新的定义，并根据题中的定义进行计算是解决此题的关键．16．若225a =，3b =，且a ＞b ，则a b +=( )A ．±8或±2B ．±8C ．±2D ．8或2【答案】D【解析】【分析】结合已知条件，根据平方根、绝对值的含义，求出a ，b 的值，又因为a ＞b ，可以分为两种情况：①a=5，b=3；②a=5，b=-3，分别将a 、b 的值代入代数式求出两种情况下的值即可．∵225a =，|b|=3，∴a=±5，b=±3，∵a ＞b ，∴a=5，a=-5(舍去) ，当a=5，b=3时，a+b=8；当a=5，b=-3时，a+b=2，故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，本题用到了分类讨论的思想，关键在于熟练掌握平方根、绝对值的含义．17．下列说法：①36的平方根是6； ②±9的平方根是3； 164±； ④ 0.01是0.1的平方根； ⑤24的平方根是4； ⑥ 81的算术平方根是±9.其中正确的说法是（）A ．0B ．1C ．3D ．5 【答案】A【解析】【分析】依据平方根、算术平方根的定义解答即可．【详解】①36的平方根是±6；故此说法错误；②-9没有平方根，故此说法错误； 16=4164±说法错误；④ 0. 1是0. 01的平方根，故原说法错误；⑤24的平方根是±4，故原说法错误；⑥ 81的算术平方根是9，故原说法错误.故选A.18．10最接近的整数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】由于91016<<91016<10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．【详解】由于91016<<91016<10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．解：∵2239,416==， ∴3104<<， 10与9的距离小于16与10的距离， ∴与10最接近的是3．故选：A ．【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．19．实数,a b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A ．a b <B ．a b <C ．0a b +>D ．0a b -> 【答案】A【解析】【分析】根据数轴得a<0<b ，且a b >，再根据实数的加法法则，减法法则依次判断即可.【详解】由数轴得a<0<b ，且a b >，∴a+b<0，a-b<0，故A 正确，B 、C 、D 错误，故选：A.【点睛】此题考查数轴，实数的大小比较，实数的绝对值的性质，加法法则，减法法则.20．如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为-1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（）A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】A【解析】【分析】由于A ，B 两点表示的数分别为-13OC 的长度，根据C 在原点的左侧，进而可求出C 的坐标．【详解】∵对称的两点到对称中心的距离相等，∴CA=AB，，∴C点在原点左侧，∴C表示的数为：故选A．【点睛】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离，同时也利用对称点的性质及利用数形结合思想解决问题．。

实数典型例题(含答案)

（3）注意到，当 x=0 时， 0，所以当 x=2 时，x
，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故 x≠
深于专业 ● 信于人
（4）错在对实数的概念理解不清. 11、（1）已知
形如分数，但不是分数，它是无理数.
的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2-b2 的值. ② 得 ③ 的小数部分， ∴
2
（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a b 3 b=_______；
(m n 3 )
2
，用含 m、n 的式子分别表示 a、b，得：a=______，
（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空：___+___ 3 =(___+___ 3 )2；（3）若 a+ 4 3 =
（1+
2 ）2．善于思考的小明进行了以下探索：设 a+b 2 =(m+n 2 )2（其中 a、b、m、n 均为整数），则有
a+b 2 =
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
m
2
2 n 2mn 2 。∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似 a+b 2 的式子化为平方式的方法．
(m n 3 )
Байду номын сангаас
2
，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值？
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深于专业 ● 信于人
答案：（1）a=m2+3n2 b=2mn (2) 4;2;1;1 (3)由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn ∵4=2mn，且 m、n 为正整数，∴m=2，n=1 或者 m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或 a=12+3×22=13．

初二实数的分类练习题

初二实数的分类练习题1. 将下列数分成有理数和无理数两类：a) 1.5b) √2c) 0.333...d) -5e) πf) 0.75g) 3/4h) √9i) -√16j) 02. 将下列数分成正数、负数和零三类：a) 7b) -2.5c) 0d) -√5e) 9/4f) -0.2g) √3h) -10i) 1.8j) -√73. 分类整数、自然数、有理数和无理数：a) -6b) 3/2c) √10d) 5e) 0f) -√3g) 2.7h) 100i) πj) -1/3解答：1. 有理数：a) 1.5, c) 0.333..., d) -5, f) 0.75, g) 3/4, h) √9无理数：b) √2, e) π, i) -√162. 正数：a) 7, e) 9/4, g) √3, i) 1.8负数：b) -2.5, d) -√5, f) -0.2, h) -10, j) -√7零：c) 03. 整数：a) -6, d) 5, e) 0, h) 100, j) -1/3自然数：d) 5, h) 100有理数：a) -6, b) 3/2, d) 5, e) 0, h) 100, i) π, j) -1/3无理数：c) √10, f) -√3, g) 2.7, i) π通过以上练习题，我们可以更好地理解实数及其不同类别。

有理数是可以表示为两个整数的比值，包括整数、分数、小数（有限小数和循环小数）。

无理数是不能精确表示为两个整数的比值，例如根号下的数和圆周率π。

整数是不带小数部分的有理数，包括正整数、负整数和零；自然数是正整数，即大于0的整数。

因此，实数可以被划分为整数、自然数、有理数和无理数四个不同的类别。

需要注意的是，这些分类是相互包含的，即自然数和整数是有理数的一部分，有理数又是实数的一部分。

因此，在这些练习题中，有些数可以同时归为多个类别。

通过对实数进行分类的练习，我们可以更好地理解实数的性质和特点，并可以更灵活地运用实数进行数学计算和问题解决。