高二数学人教B版选修2-1同步教学案：3.1两个向量的数量积

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人教B版选修2-1 高中数学第三章 3.1.3两个向量的数量积教学课件

这时候我们发现平面向量的数量积运算已经无法解决三维空间中的长度和夹角问题了,这时我们需要寻求空间向量的运算来求解空间中的夹角和长度.
教学目标
知识目标
（1）掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式;
（2）运用公式解决立体几何中的有关问题.
能力目标
（1）比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力;
g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n
继续
∵ l·m=0, l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l⊥ .
例题2
已知空间四边形ABCD的每条边和对
角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、
CD的中点.
求证：MN⊥AB，MN⊥CD .
反向时,
r
a·b=-|a|·|b|;特别地，a
r a
=
r a
2
或
r a
=
rr a a
用于计算向量的r 模r ;
（3）cosθ =
a b
rr
用于计算向量的夹角.
a b
3.平面向量数量积满足的运算律
rr rr （1）交换律: a·b = b·a
（2）对数乘的结合律:
ur r (λa)·b
=
λ(
rr a·b
A
M
D B
N C
证明
因为
uuuur uuur uuur uuur MN = MA+ AD + DN
所以
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur AB·MN = AB·( MA + AD + DN )

人教B版高中数学选修2-1课件两个向量的数量积

例4．已知长方体ABCD－A’B’C’D’， AB=AA’=2，AD=4，E为侧面AB’的中心, F为A’D’的中点，计算下列数量积：
BC ED ' 16
A'
c B' E a
BF AB ' 0 EF FC ' 2
F D'
A
C' b D
B
•
C
练习题 1、下列命题： ① 若 a b 0 ，则 a ， b 中至少一个为 0 ； ② 若 a 0 且 a b a c ，则 b c ③ (a b) c a (b c) ；
' '
如何求AE与CF的数量积？
D'
F
C'
B' E
A'
D A B
C
•
3．向量的数量积：
已知向量 a, b ，则 | a | | b | cos a, b 叫做 a, b 的数量积，记作 a b ，即 a b | a | | b | cos a, b ．
AB ( AC AB BD) AB DC 0 ．
•
证二：选取一组基底，设 AB a, AC b, AD c ， ∵ AB CD ，∴ a (c b) 0 ，即 a c b a ，同理： a b b c ，， ∴ ac bc ， ∴ c (b a) 0 ，
30°
7、已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线，求使 a b 与 a b 的夹角是锐角时的取值范围。
(－2，2)
•
小结
知识上：空间向量夹角和数量积的概念；利用空间向量性质、运算率计算和证明几何问题的方法与步骤方法上：数形结合，等价转化，类比等，注意“向量法”解决立体几何问题的优势

高中数学人教B版选修2-1配套课件：3.1.3两个向量的数量积

0≤<a，b>≤π ，显然有<a，b>＝<b，a>；规定_______________ a⊥b ．如果<a，b>＝90° ，则称 a 与 b 互相垂直，记作________
名师点拨：两个向量同向时，其夹角为0；反向时，其夹角为π.
2．异面直线任何一个平面内的两条直线； (1)定义：不同在___________ 平移到一个平 (2) 两条异面直线所成的角：把异面直线 ________ 锐角或直角叫做两条异面直线面内，这时两条直线的夹角 _____________ 直角，则称两条异面直线互所成的角；如果所成的角是 ________ 相垂直．
确的给出理由．
(1)a·b＝0，则a＝0或b＝0； (2)p2·q2＝(p·q)2； (3)|p＋q||p－q|＝|p2－q2|； (4)若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直．
[思路分析] 只需考虑数量积的概念与性质．
[解析] (1)此命题不正确．
∵a·b＝0有两种情况： ①当a，b均不为零向量时，则a与b垂直，此时a·b＝0； ②当a与b至少有一个为0向量时，
[分析] 结合图形，利用空间向量的夹角定义求．
[ 解析]
→ → → → (1)∵CC′＝AA′，∴<AB，CC′>＝90° .
→ → (2)在 BA 的延长线上作AE＝CD，易知∠EAC＝135° ， → → ∴<AC，CD>＝135° .
课堂典例讲练
求向量的数量积的概念与性质
下列命题是否正确？正确的给出证明，不正
2 2
2 4．已知|a|＝2 2， |b|＝ 2 ， a· b＝－ 2，则<a， b>＝________.

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 3.1.3 两个向量的数量积》6

《两个向量的数量积》教学设计——民办大连阳光学校张艳艳一、教学内容解析【教材分析】《两个向量的数量积》是人教B版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2—1第三章空间向量与立体几何中节空间向量及其运算第三课时的内容，这部分内容在教材中起着承上启下的作用。

一方面，巩固空间向量的线性运算及在空间向量基本定理中的建立基底的方法。

另一方面，为后续学习空间向量的坐标运算解决几何问题做铺垫。

【内容分析】①教材中直接从空间向量夹角概念及范围开始。

在教材的注释中，提到“一条直线在空间有自己固定位置，而一个向量在空间可平行移动，没有固定位置”。

这也就是在说，空间向量平移后成为平面向量，任意两个空间向量都是共面的，因此学习空间向量数量积可以类比平面向量的数量积。

②教材中的三道例题设计的目的，分别是巩固夹角概念，应用空间向量数量积解决几何问题以及在建立基底的方法上，应用数量积运算。

【学情分析】学生在必修四中学习了平面向量的数量积运算，掌握了应用平面向量数量积解决夹角，长度等问题。

是从平面向量向空间向量推广的过程，通过类比的方式，得出空间向量数量积的相关概念、运算律。

在例题中体会建立基底的方法的应用，体会数量积运算在处理立体几何中垂直关系的重要性。

学生在做题中，公式的代入及运算比较容易，准确的找到一组基底将立体几何问题等价转化为向量问题成为了解题障碍。

二、教学目标【知识与技能目标】（1）理解空间向量的夹角概念。

（2）会空间向量的数量积运算。

（3）会利用空间向量数量积解决例题几何中的简单问题。

【过程与方法目标】引导学生运用类比平面向量的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

【情感态度与价值观目标】通过空间向量在立体几何中的应用，学生的空间想象力得到锻炼，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）能力，体会解决问题逐步提高的成功感。

【教学重点】空间向量数量积的运算。

【教学难点】将立体几何问题等价转化为向量问题。

三、教学过程四、教学反思本节课从已学过的平面向量数量积运算开始，先让学生从“形”和运算公式的角度开始，体会从平面到立体的“形”的变化，抓住“空间向量可以平移成为平面向量”的本质，引导学生类比平面向量的夹角定义，数量积定义，性质，运算律，学习空间向量的相关知识。

高中数学选修2-1精品教案1：3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计

3.1.3 空间向量的数量积运算教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程一.复习引入平面向量的数量积及运算律.二.思考分析2008年5月12日，四川汶川发生特大地震．为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件．已知它的质量为5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°(其中g＝10 N/kg)．问题1：向量F1和－F2夹角为多少？提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？提示：每个力大小为|F0|，合力为|F|，∴|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)＝(F1＋F2＋F3)2＝6|F0|2，∴|F|＝6|F0|，∴|F0|＝5 00066×10＝2 50063×10＝25 00063(N)．三.抽象概括1．空间向量的夹角2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b ) 交换律 a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c两个向量数量积的性质(1)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0(2)若a 与b 同向，则a ·b ＝|a |·|b |若反向，则a ·b ＝－|a |·|b |特别地：a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a(3)若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a |·|b |(4)|a ·b |≤|a |·|b |应用(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点间的距离或两直线所成角 (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直角为π.2．两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零．3．数量积a ·b 的几何意义是：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．四.例题分析及练习[例1] 如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为1，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点．求下列向量的数量积：(1) OA u u r ·OB u u u r； (2) EF u u u r ·BC u u u r ； (3)( OA u u r ＋OB u u u r )·(CA u u r ＋CB u u r )．[思路点拨] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．[精解详析] (1)正四面体的棱长为1，则|OA u u r |＝|OB u u u r|＝1.△OAB 为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：OA u u r ·OB u u u r ＝|OA u u r ||OB u u u r |cos 〈OA u u r ，OB u u u r 〉＝|OA u u r ||OB u u u r |cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)因为E ，F 分别是OA ，OC 的中点，所以EF 平行且等于12AC ，于是E EF u u u r ·BC u u u r ＝|EF u u u r ||BC u u u r |cos 〈EF u u u r ，BC u u u r 〉＝12|CA u u r |·|BC u u u r |cos 〈AC u u u r ，BC u u u r 〉＝12×1×1×cos 〈CA u u r ，CB u u r 〉＝12×1×1×cos 60°＝14. (3)( OA u u r ＋OB u u u r )·(CA u u r ＋CB u u r )＝(OA u u r ＋OB u u u r )·(OA u u r －OC u u u r ＋OB u u u r －OC u u u r )＝(OA u u r ＋OB u u u r )·(OA u u r ＋OB u u u r －2OC u u u r ) ＝OA u u r 2＋OA u u r ·OB u u u r －2OA u u r ·OC u u u r ＋OB u u u r ·OA u u r ＋OB u u u r 2－2OB u u u r ·OC u u u r ＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.[感悟体会] 在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．训练题组11.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA u u r ·AC u u u rB ．2AD u u u r ·BD u u u rC ．2FG u u u r ·CA u u rD ．2EF u u u r ·CB u u r解析：2BA u u r ·AC u u u r ＝－2 AB u u u r ·AC u u u r ＝－2a 2cos 60°＝－a 2，2 AD u u u r ·BD u u u r ＝2DA u u u r ·DB u u u r＝2a 2cos 60°＝a 2,2FG u u u r ·CA u u r ＝AC u u u r ·CA u u r ＝－a 2，2EF u u u r ·CB u u r ＝BD u u u r ·CB u u r ＝－BD u u u r ·BC u u u r ＝－12a 2. 答案：B2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积：(1) BC u u u r ·1ED u u u r ； (2) BF u u u r ·1AB u u ur .解：如图所示，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u r ＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1) BC u u u r ·1ED u u u r ＝BC u u u r ·(1EA u u u r ＋11A D u u u u r )＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16. (2) BF u u u r ·1AB u u u r ＝(1BA u u u r ＋1A F u u u r )·(AB u u u r ＋1AA u u u r )＝(c －a ＋12b )·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.[例2] 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[思路点拨] 先求1BA u u u r ·AC u u u r ，再由夹角公式求cos 〈1BA u u u r ，AC u u u r 〉，并由此确定异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．[精解详析] ∵1BA u u u r ＝BA u u r ＋1AA u u u r ＝BA u u r ＋1BB u u u r ，AC u u u r ＝BC u u u r －BA u u r ，且BA u u r ·BC uuu r ＝1BB u u u r ·BA u u r ＝1BB u u ur ·BC u u u r ＝0， ∴1BA u u u r ·AC u u u r ＝－2BA u u u r ＝－1.又|AC u u u r |＝2，|1BA u u u r |＝1＋2＝3，∴cos 〈1BA u u u r ，AC u u u r 〉＝1BA u u u r ·AC u u ur |1BA u u u r ||AC u u u r |＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. [感悟体会] 利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：训练题组23．已知a ，b 是异面直线，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( ) A ．30° B ．45°C ．60° D ．90°解析：设〈AB u u u r ，CD u u u r 〉＝θ，∵AB u u u r ·CD u u u r ＝(AC u u u r ＋CD u u u r ＋DB u u u r )·CD u u ur ＝|CD u u u r |2＝1，∴cos θ＝AB u u u r ·CD u u u r |AB u u u r ||CD u u u r |＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝60°.答案：C4．已知空间四边形OABC 各边及对角线长相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求OE uuu r与BF uuu r所成角的余弦值．解：如图，设OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，且|a |＝|b |＝|c |＝1，易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.因为OE u u u r ＝12(a ＋b )，BF u u u r ＝12c －b ，|OE u u u r |＝|BF u u u r |＝32，∴OE u u u r ·BF u u u r ＝12(a ＋b )·(12c －b )＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12.∴cos 〈OE u u u r ，BF u u u r 〉＝OE u u u r ·BF u u u r|OE u u u r |·|BF u u u r |＝－23. ∵异面直线所成的角为直角或锐角，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.[例3] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC 1和BD 1的长．[思路点拨] 把向量AC 1u u u u r 和BD 1u u u r 用已知向量AB u u u r ，AD u u u r ，AA 1u u ur 表示出来，再用数量积的定义运算．[精解详析] ∵AC 1u u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 1u u u r ，∴|AC 1u u u u r |2＝AC 1u u u u r 2＝(AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 1u u ur )2＝AB u u u r 2＋AD u u u r 2＋AA 1u u u r 2＋2(AB u u u r ·AD u u u r ＋AB u u u r ·AA 1u u u r ＋AD u u u r ·AA 1u u ur )＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos60°＋cos 60°)＝6.∴|AC 1u u u u r|＝6，即对角线AC 1的长为 6.同理，|BD 1u u u r |2＝BD 1u u u r 2＝(AD u u u r ＋AA 1u u u r －AB u u u r)2＝AD u u u r 2＋AA 1u u u r 2＋AB u u u r 2＋2(AD u u u r ·AA 1u u u r －AB u u u r ·AA 1u u u r －AD u u u r ·AB u u u r )＝1＋1＋1＋2(cos 60°－cos60°－cos 60°)＝2.∴|1BD u u u r|＝2，即对角线BD 1的长为 2.[感悟体会] 求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离．训练题组35.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：∵PC u u u r ＝PA u u r ＋AB u u u r ＋BC u u u r ， ∴PC u u u r 2＝PA u u r 2＋AB u u u r 2＋BC u u u r 2＋2AB u u u r ·BC u u u r ＋2PA u u r ·AB u u u r ＋2PA u u r ·BC u u ur ＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144，∴|PC u u u r|＝12.答案：C6．在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC u u u r ·CD u u u r ＝0，同理，AC u u u r ·BA u u r＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA u u r ，CD u u ur 〉＝60°或120°.又BD u u u r ＝BA u u r ＋AC u u u r ＋CD u u u r ，∴BD u u u r ·BD u u u r ＝|BA u u r |2＋|AC u u u r |2＋|CD u u u r |2＋2BA u u r ·AC u u u r ＋2BA u u r ·CD u u ur ＋2AC u u u r ·CD u u u r ＝3＋2×1×1×cos 〈BA u u r ，CD u u u r 〉＝⎩⎨⎧4 〈BA u u r ，CD u u ur 〉＝60°，2 〈BA u u r ，CD u u ur 〉＝120°，∴|BD u u u r |＝2或2，即B ，D 间距离为2或 2.[例4] 已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC .[思路点拨] 先将已知条件转化为AB u u u r ·CD u u u r ＝0，AC u u u r ·BD u u u r ＝0，再证明AD u u u r ·BC u u u r ＝0.[精解详析]∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，∴AB u u u r ·CD u u u r ＝0，AC u u u r ·BD u u u r＝0. ∴AD u u u r ·BC u u u r ＝(AB u u u r ＋BD u u u r )·(AC u u u r －AB u u u r ) ＝AB u u u r ·AC u u u r ＋BD u u u r ·AC u u u r －AB u u u r 2－AB u u u r ·BD u u u r＝AB u u u r ·AC u u u r －AB u u u r 2－AB u u u r ·BD u u u r＝AB u u u r ·(AC u u u r －AB u u u r －BD u u u r )＝AB u u u r ·DC u u ur ＝0. ∴AD u u u r ⊥BC u u ur ，从而AD ⊥BC .[感悟体会] 用向量法证明垂直的方法：把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明．训练题组47．已知向量a ，b 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0，且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若l ⊥平面α，则c ⊥a ，c ·a ＝0，c ⊥b ，c ·b ＝0；反之，若a ∥b ，则c ⊥a ，c ⊥b ，并不能保证l ⊥平面α. 答案：B8．已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点．求证：OG ⊥BC .证明：连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG u u u r ＝12(OM u u u r ＋ON u u u r )＝12[12OA u u r ＋12(OB u u u r ＋OC u u u r )]＝14(a ＋b ＋c )，BC u u u r ＝c －b ，∴OG u u u r ·BC u u u r ＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14·(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c )＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG u u u r ⊥BC u u u r，即OG ⊥BC .五.课堂小结与归纳1．求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量的夹角．在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到与另一个向量的起点相同．2．利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题．其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3．利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．六.当堂训练1．已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( ) A ．12 B ．8＋13C ．4 D ．13解析：(2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a ||b |cos 120°＝2×4－2×5×(－12)＝13.答案：D2．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°解析：∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°. 答案：D3．已知a ，b 是异面直线，a ⊥b ，e 1，e 2分别为取自直线a ，b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝ke 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( ) A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(ke 1－4e 2)＝0. ∵e 1·e 2＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6. 答案：B4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB u u u r ·AC u u u r ＝0，AC u u u r ·AD u u u r ＝0，AB u u u r ·AD u u u r ＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：BC u u u r ·BD u u u r ＝(AC u u u r －AB u u u r )·(AD u u u r －AB u u u r )＝AC u u u r ·AD u u u r －AC u u u r ·AB u u u r －AB uu u r ·AD uuu r ＋AB u u u r 2＝AB u u u r 2>0.同理，可证CB u u r ·CD u u u r >0，DB u u u r ·DC u u ur >0. ∴三角形的三个内角均为锐角．答案：B5．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________.解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22. 答案：226．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则对角线AC 1的长度等于________．解析：1AC u u u r 2＝(AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u r )2＝AB u u u r 2＋AD u u u r 2＋1AA u u u r 2＋2AB u u u r ·AD u u u r ＋2AB u u u r ·1AA u u u r ＋2AD u u u r ·1AA u u ur＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60° ＝50＋20＋15＝85，∴|1AC u u u r|＝85.答案：857.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长．解：(1) 1AB u u u r ＝AB u u u r ＋1BB u u ur ，1BC u u u r ＝1BB u u u r ＋BC u u u r .∵BB 1⊥平面ABC ，∴1BB u u u r ·AB u u u r＝0，1BB u u u r ·BC u u u r ＝0.又△ABC 为正三角形， ∴〈AB u u u r ·BC u u u r 〉＝π－〈BA u u r ·BC u u u r 〉＝π－π3＝2π3. ∵1AB u u u r ·1BC u u u r ＝(AB u u u r ＋1BB u u ur )·(1BB u u u r ＋BC u u u r )＝AB u u u r ·1BB u u u r ＋AB u u u r ·BC u u ur ＋1BB u u u r 2＋1BB u u u r ·BC u u u r＝|AB u u u r |·|BC u u u r |·cos 〈AB u u u r ，BC u u ur 〉＋1BB u u u r 2＝－1＋1＝0， ∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知1AB u u u r ·1BC u u u r ＝|AB u u u r |·|BC u u u r |·cos 〈AB u u u r ，BC u u ur 〉＋1BB u u u r 2＝1BB u u u r 2－1. 又|1AB u u u r |＝AB u u u r2＋1BB u u u r 2＝2＋1BB u u u r 2＝|1BC u u u r |，∴cos 〈1AB u u u r ，1BC u u u r 〉＝1BB u u u r2－12＋1BB u u u r 2＝12， ∴|1BB u u u r|＝2，即侧棱长为2.8．在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是D ′D ，DB 的中点，G 在棱CD 上，CG ＝14CD ，H 为C ′G 的中点．(1)求EF ，C ′G 所成角的余弦值； (2)求FH 的长．解：设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，AA 'u u u r＝c ，则a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，|a |2＝a 2＝1，|b |2＝b 2＝1，|c |2＝c 2＝1.(1)∵EF u u u r ＝ED u u u r ＋DF u u u r －12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，'C G u u u r ＝'C C u u u r ＋CG u u u r ＝－c －14a ，∴EF u u u r ·'C G u u u r ＝12(a －b －c )·(－c －14a )＝12(－14a 2＋c 2)＝38，|EF u u u r |2＝14(a －b －c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2)＝34，|'C G u u u r |2＝(－c －14a )2＝c 2＋116a 2＝1716，∴|EF u u u r |＝32，|'C G u u u r |＝174，cos 〈EF u u u r ，'C G u u u r 〉＝EF u u u r ·'C G u u u r |EF u u u r ||'C G u u u r |＝5117，所以EF ，C ′G 所成角的余弦值为5117. (2)∵FH u u u r ＝FB u u r ＋BC u u ur ＋'CC u u u r ＋'C H u u u u r＝12(a －b )＋b ＋c ＋12'C G u u ur人教版高中数学选修2-1教学设计11 ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12(－c －14a ) ＝38a ＋12b ＋12c ， ∴|FH ―→|2＝(38a ＋12b ＋12c )2＝964a 2＋14b 2＋14c 2＝4164， ∴FH 的长为418.。

高中数学选修2-1教案：3.1.3空间向量的数量积(集智备课)教案

集智备课教案年级高二学科数学时间2019.11.28 地点高二11班集备课题 3.1.3空间向量的数量积教材分析空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，空间向量的数量积运算是继空间向量的加、减、数乘运算后的又一种运算，是从平面到空间推广的实例，学生在学习过程中将充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标下的向量法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础。

教学目标1.会识别空间向量的夹角；2.能够由平面推广到空间；3.掌握空间两向量数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的简单问题；4.强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力.教学重点难点重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用；难点：如何将立体几何问题转化为向量的计算问题教学思路设计内容与方法选择教学工具的使用和说明类比归纳法PPT演示辅助教学步骤相关说明一、回顾引入根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.回顾平面向量数量积相关知识点：由平面向量的数量积发现过程引入二、新课讲授任意两个向量都共面，平间向量数量积可推广到空面向量数量积。

1. 两个向量的夹角的定义：如图,已知两个非零向量、a b ,在空间任取一点O ,作OA a =,OB b =,则角AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作:,a b .问1：和是同一个角么？（1）是。

两个向量的夹角是唯一确定的！问2：空间向量夹角的范围是什么？（2）（3）,0a b <>=时a 与b 同向 ,a b π<>=时a 与b 反向 ,2a b π<>=时a b ⊥2. 两个向量的数量积已知空间两个非零向量、a b ,则cos ,a b a b 〈〉叫做、a b 的数量积,记作a b ⋅.即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉.注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量;将表格中平面向量数量积逐条推广到空间向量数量积②规定:0与任意向量的数量积等于0； ③问题：类比平面向量，你能说出a b ⋅的几何意义么？数量积的几何意义数量积a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b <>的乘积3. 空间两个向量的数量积性质显然,对于非零向量、a b ,e 是单位向量有下列性质: ①cos ,a e a a e ⋅=； ②0;a b a b ⊥⇔⋅= ③2a a a =⋅也就是说2a a =.4. 空间向量的数量积满足的运算律⑴ ()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵ a b b a ⋅=⋅(交换律)⑶ ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律)注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。

高中数学人教B版选修2-1第三章3 .1.3 两个向量的数量积课件

例 2：已知平面平面， l , 点 A ， B 在内，并且它们在 l上的正射影
分别为 A '， B '；
点 C ， D 在内，并且它们在 l上的正射影
分别为 C '， D '，
求证：AB CD A ' B ' C ' D '
B
A
l
C’
D’
A’ B’
C
D
例3：已知长方A体BCDA'B'C'D', AB AA'2, AD 4, E为侧面AB'的中心, F为A' D'的中点，计算下列数量积BC： ED ', BF AB ', EF FC '.
叫做两个空间向量 a , b的数量积（或内积）
练习2：对于非零向量 a , b 和单位向量 e
（1） a e
（2） ab ab0
（3） a a
（4）比较| ab|与| a||b|的大小关
四、空间两个向量的数量积性质
对于非零向量 a , b 和单位向量 e
(1)aeacosa,e (2)ab ab0
2
(3)a aa
或|a|
aa
4 a b a b a ,b 共线时取等号
五、空间两个向量的数量积运算律
（1） aba b
（2） abba （交换律）
（3） a b c ac bc （分配律）
六：空间向量的投影：
ababcos a,b
O Aa,O Bb.则 AO B叫做向量 a与 b的夹角 ,
记作a,b.
范围： 0 a ,b

【B版】人教课标版高中数学选修2-1《两个向量的数量积》教案1-新版

3.1.3两个向量的数量积一、教学目标1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3.掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．二、教学重点两个向量的数量积的计算方法及其应用．三、教学难点两个向量数量积的几何意义．四、教学过程（一）复习引入：1.空间向量的概念：2.空间向量的运算：（1）加法；（2）减法；（3）数乘3.共线向量定理：空间任意两个向量a //b （b ≠0 ）<=>存在实数λ，使a ＝λb .4.共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面<=>存在实数,x y 使p xa =+5.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底（二）讲解新课这节课我们来学习向量的第四种运算，两个向量的数量积。

首先请同学们回忆，在平面向量中，如何定义两个平面向量的数量积的？已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．由于两个空间向量,a b 总可以平移到同一个平面内，因此平面向量的数量积a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>就是两个空间向量的数量积.但如何定义空间中两个向量的夹角呢？想想我们是如何定义平面向量的夹角的？由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号，两个向量的数量积的意义等，都与平面向量是相同的．1.空间向量的夹角：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>； (1)范围：规定0,a b π≤<>≤；(2)显然有,,a b b a <>=<>；(3)若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.2.空间向量的数量积：已知向量,a b ，则||||c o s ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．说明：两个向量的数量积是一个实数.3.空间向量数量积的性质：(1)||cos ,a e a a e ⋅=<>．(2)0a b a b ⊥⇔⋅=．(3)2||a a a =⋅．≤4.空间向量数量积运算律：(1)()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．(2)a b b a ⋅=⋅（交换律）．(3)()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．（三）讲解范例：例1.在正方体AC /中，求下列各对向量的夹角：（1）><//,C A ；（2）><//,A C ；（3）><//,D A ；（4）><//,A B ；例2.已知平面βα⊥，l =βα ，点A 、B 在α内，它们在l 上的正射影分别为//B A ，；点C 、D 在β内，它们在l 上的正射影分别为//D C ，，求证：////D C B A CD AB ⋅=⋅例 3.如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC解：∵BC AC AB =-，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅ ||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=- ∴243cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅，所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为35-．说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=，切记！例4．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥．证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB ⋅=+⋅-2A B A C B D A C A B A B B D =⋅+⋅--⋅ ()0A B A C A B B D A B D C =⋅--=⋅=．（法二）选取一组基底，设,,AB a AC b AD c ===，∵AB CD ⊥，∴()0a c b ⋅-=，即a c b a ⋅=⋅，同理：a b b c ⋅=⋅， ∴a c b c ⋅=⋅，∴()0c b a ⋅-=，∴0AD BC ⋅=，即AD BC ⊥．说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明五、教学总结由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号，两个向量的数量积的意义等，都与平面向量是相同的．A。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-1-3两个向量的数量积

3.1.3两个向量的数量积一、选择题1．若a ，b 均为非零向量，则“a·b ＝|a ||b |”是“a 与b 共线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 共线包括同向和反向，只有a 、b 同向时，才有a·b ＝|a ||b |成立．2．下列结论中正确的是( )A ．(a·b )·c ＝(b·c )·aB ．a·b ＝－|a ||b |，则a ∥bC ．a ，b ，c 为非零向量，a·c ＝b·c ，则a ∥bD ．a·a ＝b·b ，则a ＝b[答案] B[解析] a·b ＝－|a ||b |，说明a 与b 夹角为π，所以共线．3．已知非零向量a ，b 不共线，且其模相等，则a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．垂直B ．共线C ．不垂直D ．以上都可能 [答案] A[解析] ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0，∴a ＋b 与a －b 垂直．4．下列结论正确的是( )A ．a·e ＝a cos<a ，e >B ．a ⊥b ⇔a·b ＝0C ．|a |2＝|a |·aD ．(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3[答案] B5．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么( )A.AE →·BC →<AE →·CD →B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →不能比较大小[答案] C6．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |( ) A.7 B.10 C.13D ．4 [答案] C[解析] |a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝|a |2＋6|a ||b |cos<a ，b >＋9|b |2，∵|a |＝|b |＝1，<a ，b >＝60°，∴|a ＋3b |2＝13，∴|a ＋3b |＝13.7．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则<A ′B →，B ′C →>＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° [答案] B[解析] A ′B →·B ′C →＝(a －c )·(b －c )＝a·b －a·c －b·c ＋c 2＝0－0－0＋c 2＝c 2＝1.∴cos 〈AB →，B ′C →〉＝A ′B →·B ′C →|A ′B →||B ′C →|＝12·2＝12， ∴〈A ′B →，B ′C →〉＝π3. 8．若|a|＝|b|＝4，<a ，b>＝60°，则|a －b|等于( )A ．4B ．8C ．37D ．13 [答案] A[解析] |a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝|a |2＋|b |2－2·|a|·|b|cos<a ，b >＝42＋42－2×4×4cos60°＝42，∴|a －b |＝4.9．已知四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，则下列结论中不成立的是( )A ．|AB →＋AC →＋AD →|＝|AB →＋AC →－AD →|B ．|AB →＋AC →＋AD →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＋|AD →|2C ．(AB →＋AC →＋AD →)·BC →＝0D.AB →·CD →＝AC →·BD →＝AD →·BC →[答案] C[解析] 因为AB 、AC 、AD 两两垂直，则可得AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，AD ⊥BC ，且AB →·AC→＝0，AB →·AD →＝0，AC →·AD →＝0，AC →·BD →＝0，AD →·BC →＝0，所以得到A 、B 、D 均正确．10．已知空间四边形每条边和对角线的长等于a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于( )A ．2BA →B ．2AD →·BD →C ．2FG →·CA →D ．2EF →·CB → [答案] B[解析] 2BA →·AC →＝－a 2,2AD →·BD →＝a 2,2FG →·CA →＝－a 2,2EF →·CA →＝－a 2,2EF →·CB →＝－12a 2. 二、填空题11．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则对角线AC 1的长是______________．[答案] 2 6[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .|AC 1→|2＝A 1C 1→·A 1C 1→＝(a ＋b ＋c )(a ＋b ＋c )＝a 2＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c ＋b 2＋c 2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24所以|AC 1→|＝2 6.12．已知|a |＝22，|b |＝22，a·b ＝－2，则<a ，b >＝________. [答案] 34π 13．|a |＝1，|b |＝2，|c|＝3，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，则|a ＋b ＋c |＝________.[答案] 14 14．如图所示，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面α，AC ⊥面α，BD ⊥AB ，BD 与面α成30°，则点C 与D 之间的距离为________．[答案] 2[解析] ∵AC ⊥α，BD 与α成30°角，∴AC 与BD 所成角为60°.又∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，|CA →|＝|AB →|＝|BD →|＝1，〈CA →，AB →〉＝〈AB →，BD →〉＝90°，〈CA →，BD →〉＝120°，∴CD 2→＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝3－1＝2.∴C ，D 两点间距离为 2.三、解答题15．已知三棱锥O —ABC 的各个侧面都是正三角形，且棱长为1，求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|.[解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝60°，CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，(1)OA →·OB →＝|a ||b |·cos60°＝12. (2)由(1)知，a·b ＝a·c ＝b·c ＝12，则(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(a ＋b )·(a ＋b －2c )＝a 2＋b 2＋2a·b －2a·c －2b·c ＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c ＝ 6.16．如图所示，在正方体ABCD —A1B 1C 1D 1中，M ，M 1分别是DC ，B 1C 1的中点，求MM 1→·AB →.[解析] 选AB →，AD →，AA 1→为基向量，且AB →，AD →，AA 1→两两互相垂直，|AB →|＝|AD →|＝|AA 1→|＝1，则MM 1→＝MC →＋CC 1→＋C 1M 1→＝12AB →＋AA 1→－12AD →.∴MM 1→·AB →＝12AB 2→＋AA 1→·AB →－12AD →·AB →＝122→＝12.17．如图，在正四面体OABC 中，G 是△ABC 的中心，D 是OG 中心，M 是OC 中点．求证：DA →⊥CB →；[解析] 令OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由于是正四面体，∴a·b ＝b·c ＝c·a ＝|a|·|b|cos<a ，b >＝12(设|a|＝|b|＝|c|＝1)如图AD →＝12(AO →＋AG →)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →2＝－12a ＋16[(b －a )＋(c －a )]＝－56a ＋16b ＋16c ，CB →＝b －c ，∴AD →·CB →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ＋16c (b －c )＝－16(－5a·b ＋5a·c ＋b 2－b·c ＋c·b －c 2)＝0，∴AD →⊥CB →.18．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长都为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，E 是DC 的中点，F 是B 1C 的中点．(1)证明：向量BD →，BB 1→，EF →共面；(2)求|D 1F →|.[解析] (1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BB 1→＝c ，BD →＝b －a ，EF →＝AF →－AE →＝AB →＋12BC 1→－(AD →＋12DC →)＝a ＋12(b ＋c )－(b ＋12)＝12[(a －b )＋c ]＝121→－12BD →，由共面向量定理知，向量BD →，BB 1→，EF →共面．(2)由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，<a ，b>＝＝<a ，c>＝60°.又D 1F →＝AF →－AD 1→＝a ＋12(b ＋c )－(b ＋c ) ＝a －12b －12， |D 1F →|2＝(a －12b －12c )·(a －12b －12c ) ＝a 2＋14b 2＋14c 2－a·b －a·c ＋12b·c ＝4＋1＋1－2－2＋1＝3.∴|D 1F →|＝ 3.。

人教课标版高中数学选修2-1：《空间向量的数量积运算》教案-新版

3.1.3 空间向量的数量积运算一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值．（二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律．2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题．（三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律．2．空间向量的模长公式和夹角公式．3．空间向量数量积在立体几何中的应用．（四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，的夹角，记作><,．如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥．已知两个非零向量，，则><,cos ||||2||=．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？ ①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？ ①若为单位向量，则⋅=><,cos ||； ②若，⊥⇔⋅0=； ③==a ||；④若，为非零向量，则>=<,cos ||||a ba b ⋅； ⑤||||||≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）． 2．预习自测（1）已知向量，满足：3||=，2||=，⋅6-=，则>=<,（）A ．0B ．3πC ．2πD ．π 【知识点】空间向量的夹角公式．【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯rr r r r r ，∴>=<b a ,π．【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式．【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（）A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴C AB 11⋅)()(11C BB +⋅+=C BB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ，故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0．【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ．【知识点】空间向量的模长．【解题过程】=21||AC 2121)(AA AC ++=112122222AA AA AA ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算．【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为．【知识点】空间向量的模长．【解题过程】222)(||++==⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算．【答案】222c b a ++．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律；（2）共线向量定理的两种表达形式；（3）共面向量定理的两种表达形式．2．问题探究探究一由平面向量类比空间向量的数量积运算★●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a r ，b r 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答）已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备．●活动② 巩固理解，深入探究同样的，那数量积的定义呢？（抢答）已知两个非零向量a ，b ，则><,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner product ），记作a b ⋅r r ．零向量与任何向量数量积为0．特别地，2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=r r r r r r r ．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义．●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答） ①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入．探究二探究空间向量数量积的性质★▲●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答） ①若为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>r r r r r ；（解释：1||=，转化为投影） ②若，为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；（解释：,cos 022a b ππ<>==r r ，）③||==；（解释：,0cos 01a b <>==r r ，） ④若，为非零向量，则||||,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式） ⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-r r r r ，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ，可用于证明空间向量垂直；第③条，||=，是空间向量的模长公式；第④条，||||,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础．探究三探究空间向量数量积的具体应用★▲●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ；②=||22a b b a =r r r r ； ④22||4||9)23()23(-=-⋅+．正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；，不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．【答案】D ．同类训练已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（）A ．⋅2B ．⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】由已知可得3,π>=<，所以><=⋅,cos ||||22223cos 2a a ==π．【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算．【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练．活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（）A ．0B ．21C ．22D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<，且||||=．所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅uu r uu u r r r r r r r r 3cos ||||3cos ||||ππ-=0|)||(|||21=-=，所以0||||,cos =>=<BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．【答案】A ．同类训练已知空间向量，，两两夹角为 60，其模都为1，则|2|+-等于（）A ．5B ．5C ．6D ．6【知识点】空间向量的模长公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅， ∴2|2|+-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|+-5=．【思路点拨】先计算⋅，⋅，⋅，再利用模长公式展开计算．【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线l 的方向向量，同时取向量PA ，，∵OA l ⊥，∴0=⋅．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅．又∵=⋅)(+⋅0=⋅+⋅=，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量用，来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥．【答案】见解题过程．同类训练已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ．【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，，． ∵m 与n 相交，∴向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对),(y x ，使y x +=． ∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴y x ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥．∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量表示为，的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度．3. 课堂总结知识梳理（1）已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作=，=，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<,cos ||||叫做，的的数量积（inner product ），记作⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，⋅=><,cos ||||2||=．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ，②交换律：⋅=⋅，③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||==a ，b 为非零向量，则||||,cos b a >=<；⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛．（三）课后作业基础型自主突破1．下列命题中正确的是（）A ．222)(⋅=⋅ B ．||||||≤⋅C ．)()(⋅⋅=⋅⋅D ．若)(-⊥，则0=⋅=⋅【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】对于A 项，><=⋅,cos )(222222≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅，所以⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】B ． 2．已知，为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-)2(（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵1||||==，>=<, 60， ∴=⋅-)2(22-⋅0||60cos ||||22=-= ．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则．【答案】B ． 3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅（）A ．2-B ．2C ．32-D ．32 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】=⋅)(-⋅⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=．【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算.【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵)()2(-⋅-+)()(-⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形．【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若+=与的夹角为．【知识点】空间向量的夹角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵+=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,> 90=．【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角．【答案】 90． 6．已知，，中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||++的值．【知识点】向量模长公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵2||++⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||++10=．【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型师生共研7．已知23|=a ，4|=b ，+=，λ+=，43,π>=<，若⊥，则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵⊥，∴0=⋅，即⋅+)(0)(=+λ，则0)1(22=⋅+++λλ，即043cos 234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ．【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=．=，CC =1，1||||||===，∴0=⋅=⋅=⋅，∵BM +=，+=，∴BM ⋅432=+=，又∵26||=BM ，25||=AN ，∴<cos ⋅>||||AN BM =1030252643=⨯=．【思路点拨】将与用．，表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥．【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=，=，BB =1，m ==||||，n =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=+-=，=1BC +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)()(+2+⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴A AB 11⋅⋅+-=)()(1BC AB A A ++⋅+-=)()(+--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥．【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用，，表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化．【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设n BB m +=1，则)(n m -+=m n n ++-=，而+=m n n ++-=)1(，∴11AA A -=m n n )1()1(-++-=，要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅A ，0)(1=-⋅A ， ∴])1()1[(m n n -++-0=⋅c ，])1()1[(m n n -++-0)(=-⋅，解得43=m ，21=n ，+=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将表示为n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||m m ⋅=⋅)()(λλ；③⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=．其中真命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为与的方向不一定相同，故不一定相等．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】C ．2．已知向量，满足2||=，2||=，且与-2互相垂直，则>=<, ．【知识点】向量数量积的运算，夹角公式．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵与a b -2互相垂直，∴0)2(=-⋅，即022=-⋅，∴2=⋅b a ，∴22||||,cos =>===，∴0||||,cos >>=<BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角．【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定．【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵++=，∴⋅++=⋅)(12==，故21||||,cos =>=<CD AB ，即 60,>=<CD AB ．【思路点拨】先求出⋅，再利用向量夹角公式．【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为．【知识点】向量模长的计算．【数学思想】转化思想．【解题过程】∵++=，∴22)(++=⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式．【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与A 1所成角的大小为．【知识点】向量夹角公式的运用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵A B 11⋅()(1AA ⋅+-=2=1=，由题意得211==C B PA ，则21||||,cos 1111=>==<P A C B ．【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出A B 11⋅．【答案】 60．。

2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.1.3 两个向量的数量积

()
A.1
B.2
C.4
D.8
2.已知正四面体O-ABC的棱长为1. 求:(1) OA OB. (2) (OA＋OB) (CA＋CB).
【解题探究】 1.典例1中向量 APi (i=1,2,…)在向量 AB 方向上的投影是多少? 提示:向量 A(Pi=i 1,2,…)在向量方A向B上的投影就是AB的长,|AB|=1.
3.已知|a|=3,|b|=2,a·b=-3,则<a,b>=
.
【解析】因为|a|=3,|b|=2,a·b=-3,
所以cos<a,b>= a b 3 1 ,
| a || b | 3 2 2
又因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>= 2 .
3的夹角为60°,那么|3a
(3)注意点:①数量积的符号由夹角的余弦值决定. ②当a≠0时由a·b=0可得a⊥b或b=0. ③空间向量没有除法运算:即若a·b=k,则没有a= k .
b
(4)a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 |b|cos θ的乘积.
4.对空间向量数量积性质的三点说明 (1)向量模的应用:式子|a|= a a 可以解决有关空间长度问题. (2)向量夹角的应用:空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角,可以通过求出这两个向量的夹角而求得.
【思考】判断: (1)对于非零向量a,b,<a,b>与<a,-b>相等. ( ) (2)对于任意向量a,b,c,,都有(a·b)c=a(b·c).
() (3)若a·b=b·c,且b≠0,则a=c. ( ) (4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. ( )

高中数学选修2-1精品教案2-3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计

3.1.3 空间向量的数量积运算一、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.二、新课讲授1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作＝a ，＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．说明：⑴规定：＜a ，b ＞．当＜a 、b ＞＝０时，a 与b 同向；当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；当＜a 、b＞＝时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a ＞．⑶注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②＜a ,b ＞(a ,b )2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞.说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；⑵符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.3. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律： ⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵a ·b ＝b ·a (交换律)；⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)4. 教学例题：OA u u u r OB u u u r 0≤π≤2π≠例1：已知：在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，求证：OC ⊥AB例 2.如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =，3CD =，30ABD ∠=o ，60ABC ∠=o ，求AB 与CD 的夹角的余弦值5.巩固练习： 1．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC 、BD 、PB 、PC 、PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD →与AB →D.P A →与CD →2．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( )A ．m ∥nB ．m ⊥nC ．m ，n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况都可能3．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 4．已知向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 是直线l 的一个方向向量，则c ·a ＝0且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于________．6．已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|.三、小结：、我们今天学习的内容：1、空间向量的夹角、模、数量积、运算律；2、求两点之间的距离或线段长度；3、求两直线所成角；4、证明：垂直问题.答案例1.【答案】AC OB C B OA ⊥⊥，证明：由已知)(0)(0,0所以=-⋅=-⋅=⋅=⋅OA OC OB OB OC OA AC OB BC OA OAOB OC OB OB OA OC OA ⋅=⋅⋅=⋅所以 00)(0所以=⋅=⋅-=⋅-⋅OC BA OC OB OA OC OB OC OA0)(0所以=⋅=⋅-=⋅-⋅OC BA OC OB OA OC OB OC OA例2.【答案】解：∵CD BD BC =-u u u r u u u r u u u r ，∴AB CD AB BD AB BC ⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos ,AB BD AB BD =⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r ||||cos ,AB BC AB BC -⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r2cos15023cos120633==-⨯-⨯+-⨯=o o ∴31cos ,232||||AB CD AB CD AB CD ⋅-<>===-⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AB 与CD 的夹角的余弦值为12．巩固练习：1．【答案】A.【解析】由图分析可知(图略)，选项B 、C 、D 中两向量的夹角均为90°，∴数量积都为0.2．【答案】B.【解析】因为m ·n ＝m ·(λa ＋μb )＝λm ·a ＋μm ·b ＝0，所以m ⊥n .3．【答案】B.【解析】∵DB →＋DC →－2DA →＝(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)＝AB →＋AC →，∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|.4．【答案】B.【解析】当a 与b 不共线时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，可推出l ⊥α；当a 与b 为共线向量时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，不能够推出l ⊥α；l ⊥α一定有c ·a ＝0且c ·b ＝0，故选B.5．【解析】a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2.【答案】－26．【答案】解：(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝12. (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC →2＝12＋12＋12＋21×1×cos 60°×3＝ 6.。

辽宁省高级中学高中数学(人教B版)选修2-1教案：3.1.3向量的数量积2

让学生明确下节课所学，有的放矢进行自主学习。
2分钟
(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：
①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b)．
跟踪训练1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()
A. B.
C. D．4
跟踪训练2已知正四面体OABC的棱长为1，求：
(1)( ＋ )·( ＋ )；(2)| ＋＋ |.
1、巡视学生作答情况。
2、公布答案。
3、评价学生作答结果。
1、小考本上作答。
2、同桌互批。
3、独立订正答案。
检查学生对本课所学知识的掌握情况。
5分钟
6
布置下节课自主学习任务
7.
板书
8.课后反思
完成优化学案，整理错题
两个向量的数量积
知识点1例1
2例2
学生分类归纳能力有了明显提高，但计算能力和知识的综合运用能力还需提升
①( ＋＋ )2＝3 2；
② ·( － )＝0；
③ 与的夹角为60°.
其中真命题的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．0
4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2 ，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.
5．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
2、改正错误
明确本节课听课重点
3分钟
2.承接结果
类型一空间向量的数量积运算
命题角度1空间向量数量积的基本运算
例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明．
①p2·q2＝(p·q)2；
②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；

高中数学两个向量的数量积教案新人教B版选修2

《两个向量的数量积》说课教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学B版〔选修2-1〕我将通过教材分析、学情分析、目标设计、方法手段、过程设计和教学评价六个部分，阐述本课的教学设计．一、教材分析1．教学内容《两个向量的数量积》是新课标人教版选修2-1第三章第一大节里第三小节的内容，根据教学大纲，本节共1课时，主要内容是空间两个向量的夹角的概念和空间两个向量的数量积的概念、性质、运算率及简单应用．2．地位与作用空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容.从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础，起到承上启下的作用.同时，用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性，而且在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高.二、学情分析1．知识准备高二年级学生在掌握了平面向量夹角、数量积以及平面向量数量积的性质、运算率的基础上，又学习了空间向量的线性运算及空间向量的基本定理等有关知识，具有了一定的知识储备.但用向量解决立体几何问题时，要将几何问题等价转化为向量问题，这是本小节的一个难点.2．能力储备学生经过初中以及高一的数学学习，已具有一定的推理能力，数学思维也逐步向理性层次跃进，逐步形成了辩证思维体系．但学生自主探究问题的能力，由特殊到一般的归纳能力普遍还不够理想．3．学生情况考虑到任课实验班级学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，加深了对概念的理解，并对例题的选择进行了适当的调整和延展，为向量在立体几何中的综合应用打好基础．根据新课程标准的理念以及对教材、学情的分析，我进行了如下目标设计．三、目标设计１．教学目标[知识与技能]〔1〕掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；〔2〕初步掌握空间向量数量积的用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.[过程与方法]经历概念的形成过程、经历用向量方法解决某些简单的几何问题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用，体会向量是一种解决几何问题的有利工具，并鼓励学生灵活选择运用向量法解决立体几何问题，使学生亲身体验数学发现和创造的历程.[情感态度价值观]通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生领略数学严谨、基础、系统、实用的魅力.2．教学重点、难点为更好地完成教学目标，本课教学重、难点设置为：[重点]空间两个向量的夹角、数量积的概念、计算方法及其应用．[难点]空间两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题.为达到教学目标，突出重点、突破教学难点．阐述方法手段：四、方法手段1.教学方法根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，引导学生独立自主地开展思维活动，并让学生展示相应的数学思维过程，深入探究，并合作交流，创造性地解决问题，最终获得方法，培养能力.2.教学手段教学中使用多媒体投影和计算机来辅助教学．目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．五、过程设计根据课改的精神，本着“以学生发展为本〞的教学理念，结合学生实际，对教学过程作了如下的设计：首先，通过步步设问引导学生掌握教材所要求的基本面：空间向量夹角的概念和空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；其次，鉴于向量兼容了代数、几何的特色，有着其独特的魅力和发展前景，为进一步让学生感受“向量法〞的优势，安排了可以分别运用“几何法〞和“向量法〞来处理空间几何问题的例题.同时，为日后解决空间的度量、位置关系问题寻求一种新的方法，进一步拓展了学生的思维渠道.我把教学过程设计为四个阶段：创设情境，引入课题；类比探究，获得新知；回味建构，应用拓展；归纳小结，提高认识.时间安排如下：(一)创设情境，引入课题概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本阶段的教学中，我从分析具体例子出发，而不是从抽象语言入手来引入空间向量的相关概念.引例：〔设计意图：以学生熟悉的正方体做为教学背景，预计学生应联想到平面向量的夹角和数量积，由此类比猜想引入新课，温故知新从而有效调动学生的学习积极性．〕(二)类比探究，获得新知在本阶段的教学中，为使学生加深对空间向量的夹角和空间向量的数量积概念的本质的认识，我设计了三个环节，引导学生分别完成对空间向量夹角、数量积概念的三次认识，形成并掌握空间向量的夹角和空间向量的数量积概念，以及掌握空间两个向量数量积的性质、计算方法及运算率.1．回顾旧知，类比猜想在本环节的教学中，我主要设计了两个问题：问题1：平面向量的夹角和平面向量的数量积的概念？〔设计意图：是从学生的已有认知出发，即从学生已具备的平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念做铺垫，以备完成对空间向量夹角和数量积概念的第一次认识.〕问题2：能否根据自己的理解说说什么是空间向量的夹角、数量积？教学中，我引导学生用自己的语言描述空间向量的相关概念.至此，学生对空间向量的夹角和数量积的概念就有了第一次直观、描述性的认识．〔设计意图：对于概念教学，假设学生能用自己的语言来表述概念，那么能更好的理解和掌握概念.〕2．探究原因，理性认识在此环节中，我设计了两个问题，通过对两个问题的研究、交流、讨论，使学生对空间两个向量夹角概念的认识由感性认识上升到理性认识的高度，使学生完成对概念的第二次认识．问题1：引例中如何确定的夹角？为什么？问题2：还有其它平移向量的方法吗？〔设计意图：对于问题1中确定两个空间向量的夹角，学生易根据空间向量相等的定义通过平移向量来解决，困难是如何选择平移向量所到的确切位置．再通过问题2的讨论，使学生感受到空间向量平移的任意性，从而将对空间向量夹角的描述性认识过渡到理性的高度.〕3．抽象思维，形成概念本环节在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出空间两个向量夹角的概念：使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程，完成对概念的第三次认识.在本环节我设计了如下问题：问题1：异面直线的概念和异面直线所成的角：我们把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角〔锐角或直角〕叫做两条异面直线所成的角.问题2：如何解决引例中？〔设计意图：学生们在掌握了空间向量夹角概念的基础上容易把空间向量的数量积用平面向量数量积来定义，从而形成空间两个向量数量积的概念.〕空间两个向量，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量数量积叫做两个空间向量的数量积〔或内积〕，记作，即．问题3：空间向量数量积的性质？空间向量数量积满足的运算率？〔设计意图：学生们在掌握了空间向量的数量积概念的基础上，会自主探究得到空间向量数量积的性质及其满足的运算率与平面向量数量积的性质及其满足的运算率相同的结论.〕性质：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.运算率：〔1〕；〔2〕；〔3〕．〔三〕回味建构，应用拓展本阶段的教学，主要是通过对教材例题的讲解并延展，引导学生思考交流、分析探究、归纳反思，体会向量在立体几何中的作用.例1.正方体ABCD-A1B1C1E1的棱长为1，设求：(1)；(2)；(3)；(4).〔设计意图：使学生们通过空间向量数量积的性质及其运算率掌握向量数量积的计算方法，同时为例题2的解决打好基础.〕例2.平面平面，=l，点A，B在内，并且它们在l上的正射影分别为A，B；点C，D在内，并且它们在l上的正射影分别为C，D，求证：.证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳方法.1．难点突破对于该题的证明，问题主要集中在两个方面：一方面部分学生不知道该如何处理，不敢动笔；另一方面部分学生处理方法不科学，陷入困境.困难出现在如果直接使用空间向量数量积的概念证明等式成立，向量的夹角不易求，同时向量模的关系不易找.针对这两方面的问题，教学中，我组织学生讨论：〔1〕如何把的几何条件转化为向量表示？〔2〕引导学生回顾例1，并考虑一些未知的向量能否用基向量或其他向量表示？〔3〕如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2．详细板书3．归纳方法在解决三个问题以及板书的基础上，我引导学生体会、归纳解决问题的方法.“传统解法〞需作辅助线，有时不易作出；而使用“向量解法〞，程序化强，便于操作.〔设计意图：目的在于说明用向量解决立体几何中一些典型问题的基本思考方法，同时为后续借助向量坐标运算法那么及公式解决立体几何问题做了一定的铺垫.〕〔四〕归纳小结，提高认识由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．1．课堂小结在知识层面上，总结空间向量夹角和数量积的概念；利用空间向量性质、运算率计算和证明几何问题的方法与步骤.在方法层面上，引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等，强调用“向量法〞解决立体几何问题的优势，同时引导学生对学习过程作必要的反思，为后续的学习做好铺垫.〔设计意图：通过学生自主归纳、总结，对本节所学的知识系统化、条理化，可进一步巩固知识，明确方法．〕2．布置作业板书设计(设计意图：本课内容一览无遗，且具有启发性，突出重点.)六、教学评价通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价；。

高二数学选修2-1(B版)_《两个向量的数量积》参考学案2

3.1.3两个向量的数量积一、学习目标1.掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；2.运用公式解决立体几何中的有关问题。

二、学习难点1.空间向量数量积公式及其应用。

2.如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。

三、学习过程（一）复习引入1.平面向量的数量积定义:2.平面向量的数量积的几何意义:3.平面向量的数量积的主要性质:4.平面向量数量积满足的运算律: 问题:如图,线段,AB BD在平面α内,,,,,,BD AB AC AB a BD b AC c α⊥⊥===求,C D 之间的距离以及异面直线CD 与AB 所成的角θ的余弦值.（二）新知学习1.两个空间向量的夹角2.两个空间向量数量积的定义:3.空间向量的数量积的几何意义:4.空间向量的数量积的主要性质:设,a b 是两个非零向量(1) . (2) . (3) . 5．空间向量数量积满足的运算律(1) . (2) . (3) . 注意:数量积不满足结合律,即:()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅ 回到开头的问题上来如图,线段,AB BD 在平面α内,,,,,,BD AB AC AB a BD b AC c α⊥⊥=== 求,C D 之间的距离以及异面直线CD 与AB 所成的角θ的余弦值.αlAO P6.空间向量数量积在立体几何中的应用:例 1.如图:,PO PA 分别是平面α的垂线、斜线,AO 是PA 在平面α内的射影,,l l OA α⊂⊥,求证:l PA ⊥.例2.如图:,m n 是平面α内的两条相交直线,如果,l m l n ⊥⊥,求证:l α⊥. 证明:在α内任作一直线g ,分别在,,,l m n g 上取非零向量,,,l m n g →→→→.四、知识总结:1.空间向量的数量积运算公式,以及相关的主要性质和运算律.2.利用空间向量的数量积知识,证明了立体几何中的两个定理(即:三垂线定理及线面垂直的判定定理),解决了立体几何中关于长度与夹角的求解问题,了解了立体几何问题代数化的基本思考方法.。

人教新课标版-数学-高二-数学人教B版选修2-1素材课堂导学 3.1.3两个向量的数量积

课堂导学三点剖析一、利用数量积公式求两个向量的夹角的余弦值【例1】如右图，在空间四边形OABC 中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求OA 与BC 夹角的余弦值.思路分析：要求夹角的余弦值，可先利用公式求OA·BC 的数量积.解：∵AB AC BC -= ∴AB OA AC OA BC OA •-•=• =|OA ||AC |cos 〈OA ,AC 〉-|OA ||AB AB|cos 〈OA ,AB 〉=8×4×cos135°-8×6×cos120° =24-162.∴cos 〈OA ,BC 〉=52235821624||||-=⨯-=BC OA . ∴OA 与BC 夹角的余弦值为5223-. 温馨提示由数量积公式可知cos 〈a ·b 〉=||||b a b a •因此要求角的余弦值可先求a ·b . 二、利用数量积的性质解决问题【例2】如下图，已知平行四边形ABCD 中，AD ＝４，CD ＝３，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，并且PA ＝6，求PC 的长．思路分析：可将表示成几个向量相加的形式,再由数量积的性质a 2=|a |2求出长度. 解:∵DC AD PA PC ++=,∴|PC |2＝PC ·PC=(++)2 ＝•+•+•+++222||||||222＝62＋42＋32＋2｜｜||cos120°＝61-12＝49．∴PC ＝7．温馨提示求PC 的长，先把PC 转化为向量表示，然后自身点积根据已知向量的模及向量间的夹角得其模的平方，再开方即为所求．三、证明垂直问题【例3】在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点.求证：EF ⊥平面B 1AC.思路分析:要证EF ⊥平面B 1AC,可证EF 与平面B 1AC 内的两条相交直线垂直,因此只需证·1AB =0及·B 1B 1C=0,即可.证明：设AB=a,=c,1=b,则EF =1EB +B 1 =21(1BB +11D B ) =21(+1) =21(AA -+1) =21(-a+b+c), 11AB +==a+b. ∴1AB FF • =21(-a+b+c)5(a+b) =21(b 2-a 2+c·a+c·b) =21(|b 2|-|a|2+0+0)=0. ∴1AB ⊥,即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C.又AB 1∩21B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.温馨提示要证明垂直问题，在平行六面体内或在四面体内，一般先选一组基底，然后用向量数量积的性质，证明数量积为零，即可说明两向量垂直.各个击破类题演练 1四面体ABCD 的各棱长都相等，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，求异面直线AE 、CF 所成角的余弦值.解析：如右图，设边长为a.∵AE =21(AC AB +), CF =AC AF - =21AC AD -, ∴AE ·CF=21（AC AB +）（21AC AD -） =21（21a 2cos60°-a 2cos60°+21a 2cos60°-a 2） =221a -. 又|AE |=|CF |=a 23,∴cos 〈AE ·CF 〉=32432122-=-a a . ∴余弦值为32-. 变式提升 1在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，边长为e,求向量11D B 与向量1C B 的夹角.解：设基向量DA =a ,DC =b ,1DD =c ,则1111B D D B -==-a -b ，11AA AD BC += =-a +c ， ∴111BC D B •=(-a -b )·(-a +c )=e 2 ∴cos 〈11D B ,1BC 〉=e e e 222•=21. ∴夹角为60°.类题演练 2 已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,以顶点A 为端点的三条棱长都是1,且两两夹角为60°.则AC 1长是多少?解析：11AC ++=∴|1AC |2=（1AA AD AB ++）2=22AD AB +21AA ++AB 2·AD +AB 2·1AA +2AD ·1AA=1+1+1+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°=6.∴|1AC |=6.变式提升 2已知在平行六面体ABCD —A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°，求AC′的长.解析：A A AD AB C A ++='，则|C A |=|A A AD AB ++|2=85，则|C A |=85.类题演练 3已知空间四边形ABCD ，连AC 、BD ，若AB=CD ，AC=BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，试用向量方法证明EF 是AD 与BC 的公垂线.解析：EF ，AD ，BC 均可用AB ，AC ，AD 表示，只要证EF ·AD =0，EF ·BC =0即可.变式提升 3如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，求证：B 1O ⊥平面PAC.证明：连接DB ，取=a ,=b ,1AA =c , 且|a |=|b |=|c |=1.则有AC =+=a +b ,1OB =+1BB =21+1BB =21(AD AB )+1BB =21a -21b +c , ∴·1OB =（a +b ）·（21a -21b +c ） =21|a |2+21a ·b -21a ·b -21|b |2+a ·c +b ·c =21-21=0. ∴⊥1OB ,即AC ⊥OB 1.又AP =AD +211DD =b +21c , ∴1OB ·AP =（21a -21b +c ）·（b +21c ） =21a ·b -21|b |2+c ·b +41a ·c -41b ·c +21|c |2 =-21+21=0， ∴1OB ⊥，即OB 1⊥AP.∴OB 1⊥平面ACP.。

人教版高中选修(B版)2-13.1.3两个向量的数量积教学设计

人教版高中选修(B版)2-13.1.3两个向量的数量积教学设计教学目标1.理解两个向量的数量积的基本定义；2.掌握求解两个向量的数量积的方法；3.运用两个向量的数量积求解相关问题。

教学内容分析前置知识回顾在学习本课前，要求学生已经掌握以下知识点：1.向量的基本概念；2.向量的加减法；3.向量的数量积和其性质。

重点难点1.理解两个向量的数量积的概念；2.掌握数量积的计算方法以及其性质；3.运用数量积解决相关问题。

教学步骤与方法步骤一：导入1.上板书或PPT呈现“两个向量之间存在数量积的概念”；2.引导学生通过前置知识与日常生活经验，联想向量的数量积；3.引导学生思考：如何用向量表示实际问题中的物理量？步骤二：概念讲解1.讲解向量的数量积的定义及其性质；2.呈现有关向量的数量积的公式及其意义，引导学生理解；3.通过PPT或板书加深学生对向量的数量积概念的理解。

步骤三：计算方法1.分步介绍两个向量的数量积的计算方法；2.引导学生认识如何通过向量的坐标进行数量积计算；3.简单的数量积实例讲解，以帮助学生掌握计算方法。

步骤四：例题演练1.给出例题，通过PPT或板书呈现向量的坐标；2.指导学生运用所学的知识进行数量积计算；3.引导学生通过数量积的计算结果，分析意义。

步骤五：拓展思路1.引导学生思考向量与物理量之间的关系；2.提供实际例子，帮助学生更深入地理解向量的数量积；3.引导学生思考如何通过向量的数量积计算实际问题；4.提供实际问题，帮助学生运用所学的知识进行练习。

步骤六：归纳总结1.回顾本课学习的内容，引导学生总结所学；2.通过小结，帮助学生加深对向量的数量积概念的理解；3.让学生思考如何在实际问题中应用所学的知识。

教学评估1.在课程中穿插小测验，检查学生掌握情况；2.分配作业，以检查学生对向量的数量积的掌握程度；3.在下一次授课前，进行集体讨论，帮助学生归纳总结本课的重点内容。

教学资源1.PPT或黑板、粉笔；2.教科书；3.小测验和作业。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 3.1.3 两个向量的数量积》2

《两个向量的数量积》教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学B版（选修2-1）大连市第三十六中学数学组王昕一、课型：新授二、教学目标：【知识与技能】（1）掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；（2）初步掌握空间向量数量积的用途，会用它解决立体几何中的一些简单的长度与角度的计算问题【过程与方法】经历概念的形成过程、经历用向量方法解决某些简单的几何问题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用，体会向量是一种解决几何问题的有利工具，并鼓励学生灵活选择运用向量法解决立体几何问题，使学生亲身体验数学发现和创造的历程【情感态度价值观】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生领略数学严谨、基础、系统、实用的魅力三、教学重点、难点【重点】空间两个向量的夹角、异面直线及异面直线所成角、空间两个向量数量积的概念，数量积计算方法以及简单应用．【难点】空间两个向量数量积的应用：把立体几何问题转化为向量计算问题四、方法手段1 教学方法根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，引导学生独立自主地开展思维活动，并让学生展示相应的数学思维过程，深入探究，并合作交流，创造性地解决问题，最终获得方法，培养能力2 教学手段教学中使用多媒体投影和白板来辅助教学．目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．五、教学过程：一创设情境，引入课题通过电影《哈利波特》的图片，把小哈利和其他魔法学院学生骑的飞天扫帚理想化抽象成空间向量，引入空间向量成角问题构建数学模型:在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,如何确定11,AD A B 的夹角？（设计意图：从学生感兴趣的问题出发，并以学生熟悉的正方体做为教学模型，使学生能愉快融入课堂，消除对新知的陌生感，进而顺利接受新知）二类比探究，获得新知预测学生回答：方法1平移向量11,AD A B ；方法2平移向量11,AD A B 提问：还有其它平移向量的方法吗？（设计意图：对于确定两个空间向量的夹角，学生易根据空间向量相等的定义通过平移向量来解决，困难是如何选择平移向量所到的确切位置．再通过讨论，使学生感受到空间向量平移的任意性，从而将对空间向量夹角的描述性认识过渡到理性的高度）强调向量始点重合1．空间两个向量夹角的概念：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<> 若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥；（设计意图：对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念，则能更好的理解和掌握概念）例1：判断题:在正方体中ABCD -A 1B 1C 1D 1中：①,''4AB C A π<>=．②,''0AB B A <>=③向量''AB C A 与为共面向量，它们的基线为共面直线．ABA 1 C 1（设计意图：通过三个判断题，加深学生对概念理解的同时指出：①求向量的夹角注意向量的方向性；②两个共线向量的夹角为0或π；③空间任意两个向量必共面，但是基线不一定共面，进而引出异面直线以及异面直线所成的角的概念） 2异面直线的概念及异面直线所成的角：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角）叫做两条异面直线所成的角例1变式训练：在正方体中ABCD -A 1B 1C 1D 1中：求（1）直线AB 与直线C 1A 1所成的角；（2）直线BD 与直线直线C 1A 1所成的角指出：①求两条异面直线所成的角的步骤；②异面直线所成角的取值范围；③什么叫两条异面直线互相垂直；④两条异面直线成角和向量夹角的区别与联系思考：我们在解决了引例中11,AD A B 后，如何求11,AD A B ？（设计意图：学生们在掌握了空间向量夹角概念的基础上容易把空间向量的数量积用平面向量数量积来定义，从而形成空间两个向量数量积的概念） 3空间两个向量的数量积的概念：已知空间两个向量,a b ，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量数量积||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做两个空间向量,a b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>． 4．性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>；（2）0a b a b ⊥⇔⋅=；（3）2||a a a =⋅；（4）a b a b ⋅≤B1AA5．运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）；（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．（设计意图：学生们在掌握了空间向量的数量积概念的基础上，会自主探究得到空间向量数量积的性质及其满足的运算率与平面向量数量积的性质及其满足的运算率相同的结论）（三）回味建构，应用拓展1的棱长为1, 1,,,AB a AD b AA c ===求: 1 1()AB AD AA •+;2 1AB AC •（设计意图：使学生们通过空间向量数量积的性质及其运算率掌握向量数量积的计算方法，同时为例题3的解决打好基础）例3已知平面α⊥平面β,α⋂β=,点A,B 在α内,并且它们在上的正射影分别为A ',B '; 点C,D 在β内,并且它们在上的正射影分别为C ',D ',求证:''''AB CD A B C D •=• 组织学生讨论：（1）如何把已知的几何条件转化为向量表示？（2）引导学生回顾例1，并考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示？（3）如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？证明：∵A ' B ' 和C 'D '分别为 AB 和CD 在上的正射影，且α⊥β，∴A A '''0,'''0,''0,''0,'''0,''0,'''0,'''0AA CC AA C D AA D D B B CC B B C D B B D D A B CC A B D D ∴⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=('''')('''')AB CD AA A B B B CC C D D D ⋅=++⋅++''''A B C D ⋅’B’C’D’,AB=AA’=2,AD=4,E 为侧面AB’的中心,F 为A’D’的中点,求:（1）长方体对角线AC ‘的长；（2）异面直线EF 与MC 所成的角（设计意图：巩固方法，鼓励学生选择运用向量方法解决立体几何问题，形成并提高解题能力；通过学生板演、学生讲解进行随堂反馈。

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3.已知，，且与的夹角为，，，求当m为何值时
4.已知，点分别是点A,B在OB，OA上的正射影，
求证：
当堂检测
1、下列命题：①若 =0，则，中至少一个为 ②若且，则 ③
正确个数（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
2、在中，设，，，若，则（）
直角三角形锐角三角形钝角三角形无法判定
2）空间向量数量积的性质：
(1)____________________(2)___________________(3)______________(4)______________
3)空间向量数量积运算律：
（1）_____________________(2)_________________________(3)______________________-
3、已知中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1,C=30°,则 =。
4、已知，且与的夹角为，则在上的投影为。
5、已知，，，则。
6、已知和是非零向量，且 = = ，则与的夹角为______.
规律总结
课堂小结
本节课学了哪些重要内容？试着写下吧
本反思
反思一下本节课，你收获到了什么啊
自学指导：预习课本选修2-1 P85-88页，然后回答下列问题：
问题1：何谓空间向量的夹角,它的范围是什么？何谓两条异面直线所成的夹角，它的范围是什么？
问题2：两个空间向量的数量积是什么？它有什么样的性质与运算律？
填空：
1）定义：①设< >= ,则 =（的范围为）
注：① 不能写成，或 ② 的结果为一个数值。
注：①没有结合律
自学检测
1.在长方体中，
（1）哪些棱所在直线与直线成异面直线，且互相垂直？
（2）已知的夹角。
2.已知正方体的棱长为1，设求：
（1）
合作探究
1.已知正方体的棱长为1，设求：
（1）
2.已知四面体的每条棱长都等于，点E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点，求下列向量的内积
人教B版2—1第三章3.1两个向量的数量积（12）月（）日
编者:张晓燕审稿人：全组人员星期授课类型：新授
教学目标
1.明确空间向量的夹角的概念，空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；
2.知道空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。
课堂内容展示