解直角三角形2
解直角三角形(2)
45°
O
B
O
B
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（2）
解直角三角形 常用关系：
知新
B
a
a2+b2=c2
解直角 三角形
三角函数 关系式
A
a b sin A ,sin B c c
b
┌ C
b a cos A , cos B c c a b tan A , tan B b a
视线
仰角 水平线
俯角 视线
合作与探究
【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、 B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角 分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
PAO 30, PBO 45 PO PO tan 30, tan 45 P OA OB
P
答案: (200 3 200) 米
45° 30°
O
B
400米
A
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
30°
A
200米
答案: (100 3 300) 米
45°
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
图2
当堂反馈
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高 AB等于 100( 3 1)m（根号保留）．
第七章第6课时 解直角三角形(2)
BCD第6课时 解直角三角形（2）班级 姓名 学号 ［学习目标］1、能综合应用直角三角形边角关系的知识解直角三角形，进一步体会三角函数的意义与作用；2、经历研讨直角三角形边角关系以及利用这些关系解直角三角形的过程，发展归纳整理知识的能力和计算能力。
［学习过程］问题1、（1）如图，AB 表示地面上一段斜坡的坡面，BC 表示斜面上点B 相对于水平地面AC 的垂直高度，∠A ＝30°，AB=240m ，（1）求sinA 和cosA 的值；（2）求点B 相对于水平地面的高度。
练习：如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知：CD ⊥AB ，CD ＝33m ，∠CAD ＝∠CBD ＝60°，求拉线AC 的长。
问题2、小明正在放风筝，风筝线与水平线成30°角时，小明的手离地面1m ，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m ，求风筝此时的高度。
（精确到1m ）问题3、如图，求半径为10的圆的内接正五边形的边长（结果精确到0.1）。
（sin36°=0.59, cos 36°=0.81, tan36°=0.73）练习：求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积（结果保留根号）．问题4、在△ABC 中，∠B=30°，AB=10，BC=63，求AC 的长。
练习：在△ABC 中，∠A=75°，∠B=45°， BC=3+1，求AC 和AB 的长。
问题5、在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=23，DC=2，∠DAB=30°，∠C BA=60°，求AB 的长。
练习：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，BC=8，面积为A DB 三、课后作业：1．正三角形边长为a ，则其外接圆半径等于 （ ）A ．a 3 B.a 33 C.a 23 D.a 21第七章 锐角三角函数BAAOBH D E CA CBB C2．如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ ）m 2A ．αsin 1600 B 。
1.4解直角三角形(2)
3.如图3,一灯柱AB被一钢缆CD固定. CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再 在CD上方2m处加固另一根钢缆ED, 那么,钢缆ED的长度为多少? (结果精确到0.01m).源自C图2图3
在直角三角形BCD和直角三角形 BED中，
点拔（10分钟）
h 坡度 i tan l
东
一.坡度（坡比）、坡角 如图，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（坡比）
在直角三角形ACD和直角三角形 BCD中，
7.（2012湖北黄冈）新星小学门口有一直线马路，为方便 学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马 线的宽度为4米，为安全起见，规定车头距斑马线后端 的水平距离不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯 刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为 ∠FAE＝15°和∠FAD=30°.司机距车头的水平距离为 0.8 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、 D、C、B 四点在平行于斑马线的同一直线上.)
当堂训练（15分钟）
2 x 5.（2010 四川南充）如果方程 4 x 3 0 的两个根分
别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为∠A，那 1 2 或 么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿． 3 4 6.（2011山东）校车安全是近几年社会关注的重大问题， 安全隐患主要是超载和超速.某中学数学活动小组设计 了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路l 旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与 l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、 B，使∠CAD=30°，∠CBD =60° (1)求AB的长（精确到0.1米， 参考数据： 3 1.73 ， 2 1.41 ）； (2)已知本路段对校车限速为 40千米/小时，若测得某辆校车从 A到B用时2秒，这辆校车是否超 速？说明理由.
解直角三角形的应用2
B
（一）
30°
45°
A
D
C
已知：BC=2，求线段CD,AD的长。 已知：AD=1，求线段BC的长。
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题 如下：(1）沿着水平地面向前300米到达D点， 在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
45° 60°
C
D
x B
例1、学校操场上有一根旗杆，上面有一
A A
D
300
60
0
B
8
600 4m
B
3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o， 已知塔高BD=30米，求山高CD。 B α
D
β
C
A
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察 旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为 45°,求旗杆的高度(精确到0.1m) NhomakorabeaA
B
D
40
C
课本85页 第3题
苏科版九上 解直角三角形应用(2) 练习2
九年级数学家庭作业（06-09-26） 姓名⒈精亚·新天地为方便顾客购物，准备在一至二楼之间安装电梯，如图所示，楼顶与地面平行。
要使身高2米以下的人在笔直站立的情况下搭乘电梯时，在B 处不碰到头部。
请你帮该集团设计，则电梯与一楼地面的夹角α最小为 度。
⒉课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度. 如图，在A 处用测角仪（离 地高度1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B 处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，则旗杆EG 的高度为 .⒊一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图所示的技术要求。
试求出改造后坡面的坡度是多少？⒋如图，山脚下有一棵树AB ，小强从点B 沿山坡向上走50m 到达点D ，用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高（精确到0.1m ）BC PD A10°15°⒌如图，我校九（4）班的一个学习小组进行测量孤山高度的实践活动。
部分同学在山脚点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°。
请你帮助他们计算出小山的高度BC （计算过程和结果都不取近似值）。
⒍如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心、500m 为半径的圆形区域为居民区。
取MN 上的另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°。
已知MB ＝400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区。
⒎如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i ＝1: 0.5，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)。
河南省濮阳市南乐县张果屯乡中学数学 第28章 解直角三角形课件2 (新人教版九年级下)
160 3 120 3.8小时内卸完 40
2.如图所示，挂着“庆祝国庆”条幅的氢气球升在广场 上空，已知气球的半径为2m，在地面A点测得气球中心O的 仰角为60°，测得气球的视角 ∠BAC=2°(B、C是⊙O上的点, 且OB⊥AB,OC⊥AC)，则气球 B 中心O离地面的高度OD为( C ) o (sin 1°=0.0175， 3 1.732 结果精确到1m) C A.94m B.95m C.99m D.105m
解直角三角形的依据
三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）；
锐角之间的关系
边角之间的关系 sinA＝ a
∠ A＋ ∠ B＝ 90º
Ｂ
c
cosA＝ b c b cotA＝ a
Ａ
c
a
a tanA＝ b
b
Ｃ
运用解直角三角形知识解决与生活、生产有关 的问题，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域. 在测量时,须掌握仰角和俯角;方向角的概念.
在Rt⊿BCD中，CD=BD· tan∠CBD
=X· tan600= 3x 在Rt⊿ACD中，AD=CD· cot∠DAC A =
0= · cot45 3x
450 600
B
D
∵AD-BD=AB=20,即：3x x 20 x 10 10 3 ∴气球离地面的高度为： (30 10 3 )m
3 20 3 3 3
∴BC=AC· tanA=20· tan300=20× 而: CE=AF=1.5
20 3 1 .5 （ m） 3
∴ 旗杆高BE=
（二）你行吗? 【例1】天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C 的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°，已知 AB=20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面 C 的高度?(结果保留根号） 解：作CD⊥AB，垂足为D。设BD=x
25.3解直角三角形2-仰角与俯角
1 图25.3.3图25.3.425.3解直角三角形2----仰角与俯角课时学习目标1．通过自学掌握仰角与俯角概念, 能利用解直角三角形解决有关仰角与俯角实际问题。
2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型.学习重点难点重点: 灵活应用解直角三角形知识解决实际问题。
难点:由实际问题转化为几何问题(建模)。
课前预习导学1、如图25．3．3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做___________；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做___________．2、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地面控制点B 的俯角α＝30°，求飞机A 到控制点B 的距离．（精确到1米）已知:sin20°＝ , cos20°＝ ， tg20°＝课堂学习研讨例1 如图25．3．4，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆22米的D 处，用高1．5米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角α＝30°，求电线杆AB 的高．（精确到0．1米）例2 两座建筑AB 与CD ，其地面距离AC 为50米，从AB 的顶点B 测得CD 的顶部D 的仰角β＝30°，测得其底部C 的俯角α＝45°，求两座建筑物AB 与CD 的高．（精确到0．1米）2 （第4题）课堂达标检测1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则sinB 的值为 。
2. 若30α= ∠，则α∠的余角是 °，cos α= ．3.小明在地面一点A 处测得对面大楼楼顶点C 处的仰角为52 , 则小明从楼楼顶点C 处看地面点A 的俯角为 °.4.如图，飞机A 在目标B 的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，求地面目标B 、Ｃ之间的距离．（结果保留根号）1.两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高35米，那么乙楼的高为多少米？（精确到1米）2.如图，一个古代棺木被探明位于点A 地下24米处．由于点A 地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距点A 8米的点B 挖掘．考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？（角度精确到1′，距离精确到0．1米）课堂小结：这节课我的收获是 。
2022年青岛版九年级上《解直角三角形的应用2》精品课件
x
、
1
x
2
2a
2. 关于x的二次三项式x2 +4x+k是一个 完全平方式。求k的值。
课时小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值，值的范围为实数 。
3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b24ac0则方程无解
4、代入求根公式 : xb b2 4ac
5、写出方程的解：
解直角三角形的应用（2）
1.进一步掌握解直角三角形的方法。
2.能熟练地应用解直角三角形的知 识解决有关方位角的实际问题。
精讲点拨
例3 住宅的采光是建楼和购房时 人们所关心的问题之一。如图，住 宅小区南、北两栋楼房的高度均为。 已知当地冬至这天中午12时太阳光 线与地面所成的角是35°。
（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的 距离元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值。
3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b24ac0则方程无解
4、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
5、写出方程的解：
x
、
1
x
2
复习巩固 公式法解方程： （1）x2-7x-18=0
（2） 9x2+6x+1=0
（2）如果两栋楼房之间的距离为20m，那么这时南楼的影 子是否会影响北楼一楼的采光？
跟踪训练
如图，在海岸边有一港口O，已知小岛A在港口 O北偏东30°的方向，小岛B在小岛A正南方向， OA=60海里，OB=20 海里．计算： (1)小岛B在港口O的什么方向； (2)求两小岛A，B的距离．
1.3 解直角三角形(2)
S= ab sina
探究活动
如图, ABC中 ∠A为锐角 为锐角,sina= 如图, △在ABC中, ∠A为锐角,sina= 2 , AB+AC=6cm,设AC=xcm, △ABC的面积为ycm . AB+AC=6cm,设 ABC的面积为ycm 的面积为 (1)求 关于x的函数关系式和自变量x的取值范围; (1)求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围; C (2)何时 ABC的面积最大 最大面积为多少? 何时△ 的面积最大, (2)何时△ABC的面积最大,最大面积为多少?
i1＝1∶3 ∶ i2=1∶2.5 ∶
E F
如图所示，某水库大坝的横断面 如图所示， 是等腰梯形，坝顶宽6 m，坝高1 0m， 是等腰梯形，坝顶宽6 m，坝高1 0m， 斜坡AB的坡度为 的坡度为1 现要加高2m， 斜坡AB的坡度为1：2．现要加高2m， 在坝顶宽和斜坡坡度均不变的情况下， 在坝顶宽和斜坡坡度均不变的情况下， 加高一条长为50 m的大坝 的大坝， 加高一条长为50 m的大坝，需要多少 土方? 土方?
水平面的夹角叫做坡角， 坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记 作a，有 ， h tan a＝ ＝ｉ.
l
铅垂 高水平长度
坡角
显然，坡度越大，坡角 就越大 坡面就越陡. 就越大， 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡
一水库大坝的横断面为梯形ABCD， ， 一水库大坝的横断面为梯形 坝顶宽6米 斜坡CD 坝顶宽 米，斜坡 长为60米，斜坡 的 米 斜坡AB的 坡度i 的坡度i ∶ 求 坡度 1＝1∶3，斜坡 的坡度 2=1∶2.5.求： ∶ ，斜坡CD的坡度 的坡角与坝底AD的宽度 （1）斜坡 的坡角与坝底 的宽度；(长 ）斜坡CD的坡角与坝底 的宽度； 长 度精确到0.1米 度精确到 米） 若堤坝长150米 。 问建造这个堤坝需用 （ 2)若堤坝长 若堤坝长 米 多少土石方(精确到 立方米)？ 精确到1立方米 多少土石方 精确到 立方米 ？
人教版九年级下册数学作业课件 第28章解直角三角形 (2)
(2)∠A＝22°，AB＝10.(sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40，其中结果精确到 0.1) 解：在 Rt△ABC 中，∠B＝90°－∠A＝90°－22°＝68°. ∵∠A＝22°，AB＝10， ∴AC＝cosA·AB＝cos22°·10≈0.93×10＝9.3， BC＝AB·sinA＝10·sin22°≈0.37×10＝3.7.
又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝CD，∠E＝30°， CE
∴CE＝sCinDE＝sin430°＝41＝8. 2
∴BC＝BE－CE＝6 3－8.
(2)若 sinA＝45，求 AD 的长． 解：∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝45＝BAEE， ∴设 BE＝4x，AE＝5x，则 AB＝3x. ∴3x＝6，得 x＝2. ∴BE＝8，AE＝10.
10．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝2，BC＝CD＝ 2 3 ， ∠B ＝ 90°， ∠C ＝ 120°， 则 线 段 AD 的 长 为 7. 解析：如图，连接 AC. 在 Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝2 3， ∴tan∠ACB＝BACB＝223＝ 33.
∴∠ACB＝30°. ∴AC＝2AB＝4. ∵∠BCD＝120°. ∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝120°－30°＝90°. 在 Rt△ADC 中， ∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝2 3， ∴AD＝ AC2＋CD2＝ 42＋（2 3）2＝2 7.
解：在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，tanA＝
3， 3
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°.
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°.
又∵CD＝ 3， ∴BC＝taCn3D0°＝3. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝siBn3C0°＝6.
28.2.2解直角三角形(2)
B 900 A B 900 A
在Rt△ABC中, ∠ C=Rt ∠，根据 下列条件，解直角三角形．
350 6400 6400
课堂小结：
解直角三角形时，运用直角三角形有关知识，通 过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角 的大小．在分析问题时，最好画出几何图形，按 照图中的边角之间的关系进行计算．这样可以帮 助思考、防止出错．
老师提示:当从低处观察高处的目标时.视线与水 平线所成的锐角称为仰角.当从高处观察低处的目 标时.视线与水平线所成的锐角称为俯角.
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
解直角三角形
(1)三边关系：
a2+b2=c2；
∠A+∠B=90°；
(2)锐角之间关系：
(3)边角之间关系
• 解三角形
回味无穷 驶向胜利
的彼岸
B
C
60
D
45
A
3、山顶上有一旗杆，在地面上一点A处测得杆顶B 的仰角为 600，杆底C的仰角为450，已知旗杆高 BC=20米，求山高CD。
B 20
C
x
60
D
45
A
4、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°.问题如下： 1.沿着水平地面向前300m到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为60 °，求山高AB. 2.沿着坡角为30 °的斜坡前进300m到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为60 ° ，求山高AB.
解直角三角形（2）
回顾与思考 1
直角三角形的边角关系
a2+b2=c2.
直角三角形三边的关系: 勾股定理
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=900. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 a a b sin A cos B , cos A sin B , tan A = b c c 互余两角之间的三角函数关系:
《解直角三角形》2教学设计
《解直角三角形》教学设计教学案例基本信息课程说明（信息技术与学科教学内容结合方面的指导思想与理论依据）：利用西沃技术与ppt结合，通过paid实现互动信息技术环境软硬件要求及搭建环境情况Seewo EasiNote seewo link教学背景分析本节课是解直角三角形第一课时，前面学生已经学习了三角函数的知识，通过与之前学过的直角三角形的知识整合，形成了新的知识体系。
本节课围绕知识的形成过程，通过教师的引领，学生对解直的依据进行归纳，引导学生对解直条件的细化进行探究，注重新旧知识的联系，注重思维的训练，提炼最简方法、优化解题方案，注重一题多解，探究活动起点低，以先发散再聚焦的方式进行学法指导，不断的明确问题，体现知识的系统性。
明确具体问题，知道要干什么，怎么解决问题，对于表格的探究，注重师生互动，梳理各种类型，渗透数形结合的思想，关注学生的学习感受，体现了学生学习的主体作用。
教学目标教学目标：1．会结合具体图形理解解直角三角形的概念，掌握已知一边一角解直角三角形的方法；2．通过探究，逐步培养学生分类讨论的数学思想；3．通过小组合作交流、展示逐步培养学生表达能力，发挥学生的主动性。
教学重点：已知一边、一角的直角三角形的解法教学难点：探究活动中，对解直不同条件的分类教学过程教学教师活动学生活动设置意图技术应用时间安排阶段一、引导学生对课前测进行分析前测中的问检测基础抓拍学生5分钟a bc C B A 课前测 二、合作探究反馈和分析： 1.sin60°= ，cos45°= ，tanA=33，则∠A = ；2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=32，a=4，则c= ；3. 直角三角形都除直角外还包含哪些元素?在Rt △ABC 中∠C=90°，除直角外,其余元素之间都存在哪些关系？探究活动：在直角三角形中，除直角外，至少已知几个元素,可以利用元素之间的三种等量关系求出其余所有元素？试举例说明。
2.4解直角三角形(2)
第二单元
第4课
导入新课
1.解直角三角形的概念？ 2. 在直角三角形ABC中，∠C﹦90°,由下列条件解 直角三角形。 （1）已知a﹦2,b﹦2,则c﹦＿, ∠A﹦＿, ∠B﹦＿. （2）已知b﹦1,c﹦2,则∠A﹦＿，∠B﹦＿，a﹦＿.
新课学习
例3：如图2-9，在△ABC中，已知∠A=60°， ∠B=45°，AC=20，求AB的长.
课本P.52第1、2题
板书设计
2.4解直角三角形 第二课时
1．构造直角三角形的方法： 例3
课堂练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠A=900，AD⊥BC，垂足为D， ∠B=600，AD=3，求BC的长
A
BD
C
课堂练习
2．在△ABC中，∠ACB=118°，BC=4， 求BC边上的高
课堂练习
3．在等腰三角形中，AB=AC，且一腰长与底边的比 为5：8，求sinB，cosB的值。
作业布置
新课学习
新课学习
解 过点C作CD⊥AB，垂足为点D（图2-10）. 在Rt△ACD中，AC=20，∠A=60°.
新课学习
挑战自我 在图2-9中，∠B=45°，BC=2，试用含∠A的三角比 的式子表示AB的长.
结论总结
通过本节课的内容，你有哪些收获？ 1.把一些非直角三角形的图形转化成直角三角形的方 法？ 2.如何添加辅助线。
解直角三角形(2.仰角)
航海中，仰角用于确定航向、航速和船只的位置。
详细描述
在航海过程中，仰角的应用非常重要。船长需要根据仰角来确定船只的航向和 航速，以确保能够安全、准时地到达目的地。同时，利用仰角还可以确定船只 的位置，这对于海上救援和搜寻工作来说至关重要。
06
结论
解直角三角形(2.仰角)的总结
仰角在解直角三角形中的应用
总结词：利用仰角可以方便地求解直角三角形中的其他角度，特别是当已知一个 锐角和一个邻边时。
利用仰角求边长
在解直角三角形中，仰角不仅可以用于求角度，还可以用于求边长。通过三角函数和已知的仰角，可 以求解直角三角形中的对边或斜边长度。例如，已知一个锐角和对应的对边长度，可以使用正切函数 或余切函数来求解斜边长度。
实例
已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，邻边为3，斜边为5，利用相 似性求另一个直角三角形的斜边长 度。
04
仰角在解直角三角形中的应用
利用仰角求角度
仰角是观测点到目标点的视线与水平线之间的夹角。在解直角三角形中，可以利 用仰角和三角函数来求解其他角度。例如，如果已知一个锐角和一个邻边，可以 使用正弦函数或余弦函数来求解另一个锐角。
通过学习更多实际应用案例，了解解直角三角形在各个领域中的应用，提高解决实际问 题的能力。
注重实践和实验
解直角三角形需要大量的实践和实验来提高技能和经验。建议多进行实际测量和计算， 熟悉各种测量仪器和方法，提高自己的实践能力和计算精度。
THANKS
感谢观看
02
仰角的概念
仰角的定义
01
仰角的定义：在直角三角形中，与直角相邻的锐角叫做仰角。
02
仰角是相对于直角而言的，是直角三角形的一个重要组成部分。
解直角三角形(2)
A
B
4、如图，为了测量高速公路的保护石堡坎与 地面的倾斜角∠BDC是否符合建筑标准，用一 根长为的铁管AB斜靠在石堡坎B处，在铁管AB 上量得AF长为1.5m，F点离地面的距离为0.9m， 又量出石堡坎顶部B到底部D的距离为 ， 4 3m 这样能计算出∠ BDC吗？若能，请计算出∠BDC 的度数，若不能，请说明理由。
视线 铅 直 线
仰角 水平线 俯角 视线
例1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离 电线杆22.7米的C 处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B的仰角a＝22°， 求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
α＝22°
1.20 22.7
E
图 19.4.4
例2:热气球的探测器显 示,从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°, 看这栋高楼底部的俯角 为60°,热气球与高楼 的水平距离为120m,这 栋高楼有多高?
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理） c (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º ；
(3)边角之间的关系:
Ｂ
a
a sinA＝ c
cosA＝
b c
1、建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为 45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
A
B
D
40
C
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。 沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶 A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
45° 60°
1.3解直角三角形第2课时+练习课件++2023—2024学年浙教版数学九年级下册
答：此次改造符合电力部门的安全要求．
9．如图，某水渠的横断面是梯形，已知 其斜坡AD的坡度为1∶1.2，斜坡BC的坡度 为1∶0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8 米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6 米．则放水后水面上升的高度是__1_._1_____ 米．
10．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当 前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)， 其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼 房底层窗台至地面高度．
DH∶CH＝1∶1＝1，∴α＝45°.
答：斜坡 CD 的坡角 α 为 45°；
(2)由(1)可知：CH＝DH＝12，α＝45°.∴∠PCH
＝∠PCD＋α＝26°＋45°＝71°，在 Rt△PCH 中，∵
tan∠PCH Nhomakorabea＝
PH CH
＝
PD＋12 12
≈ 2.90 ， ∴ PD ＝
22.8(米).22.8＞18，
解：(1)在 Rt△EFH 中，∵∠H＝90°，∴tan ∠EFH ＝i＝1：0.75＝43 ＝EFHH ，设 EH＝4x，则 FH＝3x，∴EF ＝ EH2＋FH2 ＝5x，∵EF＝15，∴5x＝15，x＝3，∴FH ＝3x＝9.即山坡 EF 的水平宽度 FH 为 9 m；
(2)∵L＝CF＋FH＋EA＝CF＋9＋4＝CF＋13，H＝ AB＋EH＝22.5＋12＝34.5，H1＝0.9，∴日照间距系数＝L： (H－H1)＝3C4.F5＋－103.9 ＝CF33＋.613 ，∵该楼的日照间距系数
(1)求斜坡CD的坡角α；
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全 距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力 部门的安全要求？
(参考数据：sin 26°≈0.44， tan 26°≈0.49， sin 71°≈0.95，tan 71°≈2.90)
北师大版初三(下)数学第81讲：解直角三角形(2)(学生版)(著名机构讲义)
解直角三角形（2）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用；2、掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解决简单的实际应用问题；3、认识到数学是解决现实问题的重要工具，强化利用三角函数解决问题的自信心．1．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做_____，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是_____的视线与水平线的夹角；俯角是_____向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．4．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．1.解直角三角形的应用-方向角问题．【例1】（2014•四川自贡中学期末）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）A．250m B．250m C．m D．250m练1.如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（）A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D．a•cotα练2.如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（）A．15km B．15km C．15（+）km D．5（+3）km2.解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【例2】（2015•承德第一中学月考）如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）练3.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为．3.解直角三角形的应用-求长度问题．【例3】（2014•辽宁旅顺八中期中）一棵树因雪灾于A处折断，测得树梢触地点B到树根C处的距（答离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米．案保留根号）练4.．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC=3米，cos∠BAC=，则梯子AB的长度为米．4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【例4】（2014•山东费县中学期末）如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30度．求楼CD的高（结果保留根号）．练5.如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3 m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α．（1）用含α的式子表示h（不必指出α的取值范围）；（2）当α=30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？5．解直角三角形的应用-方案问题．【例5】（2015•云南腾冲中学期末）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.6米，请你计算树（AB）的高度．（精确到0.1米）实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架．请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工具的序号填写）；（2）在图中画出你的测量方案示意图；（3）你需要测得 示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、α等表示测得的数据：；（4）写出求树高的算式：AB= ．练6．为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2m的标杆；④高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案上，选用的测量工具是；（2）在下图中画出你的测量方案示意图；（3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α等字母表示测得的数据；（4）写出求树高的算式：AB= m．1．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A．m B．100m C．150m D．m2．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55度．要使A，C，E成一直线．那么开挖点E离点D的距离是（）A．500sin55°米 B．500cos55°米C．500tan55°米 D．500cot55°米3．如图，为了测量一河岸相对两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A，B间的距离应为（）A．15sin50°米 B．15tan50°米 C．15tan40°米 D．15cos40°米4．如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．7海里 B．14海里 C．7海里D．14海里5．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB=4米，∠BAC=30°，∠C=90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为米．2．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．3．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高BE为米．4．如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山破BC 行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD等于m．（结果用根号表示）5．如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA=1m，OB=3m，O′A′=0.5m，O′B′=3m（点A，O，O′A′在同一条水平线上），则该山谷的深h为m．6．如图，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°，∠BCA=90°，台阶的高BC为2米，那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m，取=1.414，=1.732）．7．小刘同学为了测量雷州市三元塔的高度，如图，她先在A处测得塔顶C的仰角为32°，再向塔（小的方向直行35米到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，请你帮助小刘计算出三元塔的高度．刘的身高忽略不计，结果精确到1米）8．如图，某建筑物BC的楼顶上有一避雷针AB，在距此建筑物12米的D处安置一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为60°．又知建筑物共有六层，每层层高为3米．求避雷针AB的长度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）9．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测角仪（离地高度为1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．10．为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A北偏西45°并距该岛20海里的B处待命．位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确到个位．参考数据：≈1.4，≈1.7）11．如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1．414）课程顾问签字： 教学主管签字：。
解直角三角形实际应用2优秀教学案例人教版九年级数学下册
3.学生能够养成良好的学习习惯，自主探究、积极参与。在教学过程中，学生养成了主动思考、积极参与的习惯，提高了学习效果。
4.学生在小组合作中，学会了尊重他人、倾听他人的意见。通过合作学习，学生培养了良好的团队精神，学会了与人相处。
（二）问题导向
1.教师提出具有引导性的问题，启发学生思考。通过提问，引导学生关注问题的关键点，激发学生的思维活力。
2.学生主动提出问题，培养问题意识。鼓励学生敢于质疑，勇于提出问题，培养学生的独立思考能力。
3.问题导向贯穿整个教学过程。教师引导学生从问题中发现问题，解决问题，从而达到对知识的理解和应用。
2.学生能够在小组合作中，互相交流、讨论，共同解决问题。通过小组合作，学生提高了沟通协作能力，学会了分享和倾听他人的意见。
3.学生能够运用多媒体技术，获取和处理信息。在解决实际问题的过程中，学生学会了使用多媒体工具，提高了信息处理能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够认识到数学在实际生活中的重要作用，增强学习数学的兴趣。通过解决实际问题，学生体会到了数学的价值，激发了对数学学习的热情。
（三）小组合作
1.合理分组，优化组合。根据学生的学习特点和兴趣，将学生分成若干小组，保证小组成员之间的互补性。
2.明确小组合作的目标和任务。在解决实际问题的过程中，引导学生明确合作的目标，确保小组合作的有效性。
3.教师参与小组合作，发挥引导和辅导作用。教师在小组合作过程中，关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助。
解直角三角形实际应用2优秀教学案例人教版九年级数学下册
一、案例背景
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基于以上分析，本节课复习解直角三角形知识主要通过几个典型例题的教学，达到教学目标．
教学用具
执教者
教学内容
共 案
个 案
一、新课引入：
1、什么是解直角三角形？
2、在Rt△ABC中，除直角C外的五个元素间具有什么关系？
请学生回答以上二小题，因为本节课主要是运用以上关系解直角三角形，从而解决一些实际问题．
学生回答后，板书：
(1)三边关系：a2+b2=c2；
(2)锐角之间关系：∠A+∠B=90°；
2、出示例题2．
在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB．此题一方面可引导学生复习仰角、俯角的概念，同时，可引导学生加以分析：
如图6-39，根据题意可得AB⊥BC，得∠ABC=90°，△ABD和△ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直线上，由∠ADB=45°，AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在Rt△ABC中，∠C=30°，可得AB与BC之间的关系，因此山高AB可求．学生在分析此题时遇到的困难是：在Rt△ABC中和Rt△ABD中，都找不出一条已知边，而题目中的已知条件CD=20米又不会用．教学时，在这里教师应着重引
首先请学生分析：过B、C作梯形ABCD的高，将梯形分割成两个直角三角形和一个矩形来解．
教师可请一名同学上黑板板书，其他学生笔答此题．教师在巡视中为个别学生解开疑点，查漏补缺．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，则BE=23m．
在Rt△ABE中，
∴AB=2BE=46(m)．
∴FD=CF=23(m)．
②，通过①，②两式，可得AB长．
解：根据题意，得AB⊥BC，∴∠ABC=Rt△．
∵∠ADB=45°，∴AB=BD，
∴BC=CD+BD=20+AB．
在Rt△ABC中，∠C=30°，
通过此题可引导学生总结：有些直角三角形的已知条件中没有一条已知边，但已知二边的关系，结合另一条件，运用方程思想，也可以解决．
二、新课讲解：
1、首先出示，通过一道简单的解直角三角形问题，为以下实际应用奠定基础．
根据下列条件，解直角三角形．
教师分别请两名同学上黑板板演，同时巡视检查其余同学解题过程，对有问题的同学可单独指导．待全体学生完成之后，大家共同检查黑板上两题的解题过程，通过学生互评，达到查漏补缺的目的，使全体学生掌握解直角三角形．如果班级学生对解直角三角形掌握较好，这两个题还可以这样处理：请二名同学板演的同时，把下面同学分为两部分，一部分做①，另一部分做②，然后学生互评．这样可以节约时间．
四、布置作业
板书设计
教学反思
小结与复习(二)
一、新课引入
二、新课讲解
三、课堂小结
四、布置作业
1.4解直角三角形
课题
解直角三角形
教学目标
1、使学生综合运用有关直角三角形知识解决实际问题．
2、培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想方法．
教学重点
归纳直角三角形的边、角之间的关系，利用这些关系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．
教学难点
利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．
(3)边角之间关系
第二大节“解直角三角形”，安排在锐角三角函数之后，通过计算题、证明题、应用题和实习作业等多种形式，对概念进行加深认识，起到巩固作用．
同时，解直角三角形的知识可以广泛地应用于测量、工程技术和物理之中，主要是用来计算距离、高度和角度．其中的应用题，内容比较广泛，具有综合技术教育价值．解决这类问题需要进行运算，但三角的运算与逻辑思维是密不可分的；为了便于运算，常常先选择公式并进行变换．同时，解直角三角形的应用题和实习作业也有利于培养学生空间想象能力，要求学生通过观察，或结合文字画出图形，总之，解直角三角形的应用题和实习作业可以培养学生的三大数学能力和分析问题、解决问题的能力．
3．例题3(出示投影片)
如图6-40，水库的横截面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB
坝底宽AD(精确到0.1m)．
坡度问题是解直角三角形的一个重要应用，学生在解坡度问题时常遇到以下问题：
1．对坡度概念不理解导致不会运用题目中的坡度条件；
2．坡度问题计算量较大，学生易出错；
3．常需添加辅助线将图形分割成直角三形和矩形．因此，设计本题要求教师在教学中着重针对以上三点来考查学生的掌握情况．
答：斜坡AB长46m，坡角α等于30°，坝底宽AD约为68.8m．
引导全体同学通过评价黑板上的板演，总结解坡度问题需要注意的问题：
①适当添加辅助线，将梯形分割为直角三角形和矩形．
③计算中尽量选择较简便、直接的关系式加以计算．
三、课堂小结：
请学生总结：解直角三角形时，运用直角三角形有关知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小．在分析问题时，最好画出几何图形，按照图中的边角之间的关系进行计算．这样可以帮助思考、防止出错．