解一元二次方程复习学案(打印版)
一元二次方程单元复习学案
一元二次方程单元复习学案-(2)(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一元二次方程单元复习知识点一概念：像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.练习：将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0应用拓展例2．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．练习：方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程在什么条件下此方程为一元一次方程知识点二一元二次方程解法配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．复习引入请同学们完成下列各题问题1．填空2（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1练习：用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0 （3）9y2-18y-4=0公式法：推导求根公式：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1x2这个方程一定有解吗什么情况下有解)例1．用公式法解下列方程．（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2x+12=0 （4）4x2-3x+2=0因式分解法例1．解方程（1）10x-4.9 x2 =0 （2）x（x-2）+x-2 =0 (3)5x2-2x-14=x2-2x+34(4)(x-1) 2 =(3-2x) 234我们知道x 2-（a+b ）x+ab=（x-a ）（x-b ），那么x 2-（a+b ）x+ab=0就可转化为（x-a ）（x-b ）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x 2-3x-4=0 （2）x 2-7x+6=0 （3）x 2+4x-5=0知识点三：根与系数的关系1．重点：b 2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；b 2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．2．ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根ax2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是X1 , X2 ．那么X1+x2=- , X1x2=如果方程x2+px+q=0的两根是X1 ，X2，那么X1+X2= -p X1X2=q 例1．不解方程，判定方程根的情况（1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0（3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2-7x-18=0应用拓展 例2．若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a 的式子表示）．提升训练：（1）已知非零实数a ，b 满足a ab b a b b a 221010+-=+-=+，，则的值是多少。
_一元二次方程复习学案
《一元二次方程》复习导学案》考点分析：必考点：一元二次方程的解法及应用常考点：一元二次方程的概念及根的情况 本节重难点知识及体系构建3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 【基础知识提前整理】---------课前预习1、只含 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫一元二次方程。
2、一元二次方程的常见解法有 、 、配方法、 。
3、一元二次方程的求根公式是 。
4、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，Δ= ，Δ＞0，方程 ， Δ=0，方程 ，Δ＜0，方程 ，Δ≥0，方程 。
5、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，x 1 、x 2是方程的两个实数根，则x 1 +x 2= ， x 1 x 2= 。
应用问题中常用的数量关系及题型： 6、数字问题： （1）设个位数字为c ，十位数字为b ，百位数字为a ，则这个三位数为 ； （2）日历中前后两日差 ，上下两日差 。
7、体积变化问题： 8、打折销售问题（1）利润= -成本；（2）利润率=利润×100％. 9、行程问题10、教育储蓄问题（1）利息= ；（2）本息和= =本金х（1+利率х期数）；（3）利息税= ；（4）贷款利息=贷款数额х利率х期数考点、易错点探究：二、课内探究探究一：一元二次方程的基本概念典例1：已知方程24(2)(3)50m m m x m x --++++=是一元二次方程，求你M 的值。
变式训练：关于x 的方程是一元二次方程，则a=__________典例2：已知关于X 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2变式训练：若0是关于x 的方程（m-2）x 2+3x+ m 2+2m-8=0的解，求实数m 的值，并讨论方程解的情况。
一元二次方程复习 数学学案
时，方程有两个不相等的实数根; 时，方程有两个相等的实数根; 时，方程没有实数根.
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自我检测 7.已知等式（x 2 + y 2 ）（x 2 + y 2 -1）=2,则 x 2 + y 2 = . .
8.已知方程 x 2 + bx + a = 0 有一根为-a,则下列代数式恒为常数的是 A. ab B.
重点：一元二次方程的解法与应用 . 难点：寻找应用问题中的等量关系. 批注
[学习流程]
一.导入.
某种商品原价是 120 元，经过两次降价后的价格是 100 元，求平均每次降价的 百分率.设平均每次降价的百分率为 x，可列方程为 . 此方程为 元 次方程.
二．自学中归纳 ， 归纳中升华.
（一）一元二次方程的概念及一般形式. 小试身手 1.下列等式是一元二次方程的是 A. ax 2 +bx+c=0 C.2(x+1) 2 =2x 2 +2 2. 若(m-1) x 归纳
a C. a+b D.a-b b 9.已知关于 x 的一元二次方程（m-1）x 2 +x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围
是
. 10.关于 x 的方程（a-5）x 2 -4x-1=0 有实数根，则 x 满足（ A. a≥1 C. a≥1 且 a 5 B. a＞1 且 a 5 ）.
D. a 5 . .
2a 2a
求：（1） x1 + x 2 ;
x1 • x 2 .
（2）设方程 x 2 + 3x -1 = 0 的根是 α 、β ， 根据（1）的结论计算:
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《一元二次方程》复习导学案
A课 题教学目 标重点、难点考点及 考试要 求一元二次方程综合复习1.熟练掌握一元二次方程的解法2.能列一元二次方程解应用题一元二次方程的解法及其实际应用一元二次方程的解法及其实际应用教学内容考点一、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知 2 y 2 + y - 3 的值为 2，则 4 y 2 + 2 y + 1 的值为。
例 2、关于 x 的一元二次方程 (a - 2)x 2 + x + a 2 - 4 = 0 的一个根为 0，则 a 的值为。
例 3 已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的系数满足 a + c = b ，则此方程必有一根为。
针对练习：★1、已知方程 x 2 + kx - 10 = 0 的一根是 2，则 k 为，另一根是 。
★2、已知关于 x 的方程 x 2 + kx - 2 = 0 的一个解与方程方程的另一个解。
x + 1x - 1= 3 的解相同。
⑴求 k 的值； ⑵★3、已知 m 是方程 x 2 - x - 1 = 0 的一个根，则代数式 m 2 - m =。
★★4、已知 a 是 x 2 - 3x + 1 = 0 的根，则 2a 2 - 6a = 。
★★5、方程 (a - b )x 2 + (b - c )x + c - a = 0 的一个根为（） - 1B 1 Cb - cD- a★★★6、若 2 x + 5 y - 3 = 0, 则 4 x • 32 y =。
, x x x2 2变式 1： a 2 + b 2() (2考点二、解法⑴ 方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵ 关键点：降次 类型一、直接开方法： x 2 = m (m ≥ 0) ⇒ x = ± m※※对于 (x + a )2 = m ， (ax + m )2 = (bx + n )2 等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、若 9(x - 1)2 = 16(x + 2)2 ，则 x 的值为。
一元二次方程复习学案
《一元二次方程》复习学案学 习目 标1、一元二次方程的相关概念；2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；知识梳理：一元二次方程的概念，一元二次方程的根，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、 分解因式法），一元二次方程根的判别式. 实际问题与一元二次方程.考点一、一元二次方程的概念一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0)1．以下方程中①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y ,一元二次程是（ ）A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ①和③2．关于x 的方程(a 2-a-2)x 2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ）A ．a≠-2且a=1B ．a≠2C ．a≠2且a≠-1D ．a=-1考点二、一元二次方程的根1．已知关于x 的一元二次方程（k+4）x 2+3x+k 2+3k-4=0的一个根为0，求k 的值．2．已知t 是方程x 2－x －1=0的一个解，则－t 3＋2t 2＋2 002的值为（ ）．A ．2 001B ．2 002C ．2 003D ．2 0043．设t 是一元二次方程20ax bx c ++=的一个实数根，则24N b ac =-与2(2)M at b =+的大小关系是（ ）．A ．N M <B ．N M =C ．N M >D ．不能确定考点三、一元二次方程的解法直接开平方法:x 2=p(p ≥0) (mx+n)2 =p(p ≥0)配方法公式法:因式分解法:(ax+b)(cx+d)=01．开平方法解下列方程：（1）012552=-x （2）289)3(1692=-x2．用配方法解下列各方程：（1）2280x x --= （2）0152=++y y3．用公式法解下列各方程：（1）2220x x --= （2）2227x x +=4．用因式分解法解下列各方程：（1）04542=-+y y （2）2(1)2(1)3x x +-+=考点四、一元二次方程根的判别式知识梳理：1．判别式应用的前提，把一元二次方程化为一般形式且0≠a ，注意分类讨论；2. 不解方程，由根的判别式判断一元二次方程实数根的情况；3．依据根的情况求方程中字母的值或取值范围；4．解决一元二次方程的整数根问题.5．进行有关的证明,1．已知关于x 的二次方程0962=+-x kx ，那么：（1）当k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）当k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）当k 满足 时,方程无实数根.2．关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是 ． 3．已知关于x 的方程0)21(4)12(2=-++-k x k x ．（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；4．已知a b c 、、是三角形的三条边长，且关于x 的方程2()2()()0c b x b a x a b -+-+-=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．知识点五：实际问题与一元二次方程:审,设,列.解,验,答,①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验根是否符合实际情况；⑥作答。
一元二次方程的复习学案
FED CB A 一元二次方程（复习课）导学案一、学习目标了解一元二次方程及相关概念，会用适当的方法解一元二次方程，能以一元二次方程为工具解决一些简单的实际问题。
二、课前准备：（一）梳理知识点一元二次方程的概念及解法程的概念 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系⇔一元二次方程 一元二次方程的应用列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的．在此过程中往往要借助示意图等手段帮助分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理．（二）基础巩固1.下列关于x 的方程：其中是一元二次方程的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个2.解下列方程：（选择合适的方法解）（1） 2（x-1)2=32 （2） -3x 2+4x=23. 不解方程，判别方程3x 2+2x-9=0根的情况.4. 某超市10月份的利润为25000元，要使12月份的利润达到36000元，平均每月的增长率是多少？5. 用7m 长的铝合金做成透光面积（矩形ABCD 的面积）为2 m 2的“日”型窗框（AB>BC)，求窗框的宽度？（铝合金的宽度忽略不计）综合运用：1．某种品牌运动服经过两次降价，每件售价由560元降为315元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是( ) A ．560(1＋x)2＝315 B ．560(1－x)2＝315 C ．560(1－2x)2＝315 D ．560(1＋x 2)＝3151)4(,02)3(,53)2(,032)1(223222=+=+-=+=--y x x x xx x x2. (2015·中考)方程22310x x -+=经配方为()2x a b +=的形式,正确的是 ( )A ．23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．以上都不对 3．一元二次方程x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2的值是( )A ．4B ．－4C ．3D ．－3 4.已知关于x 的方程()()012342=-++---m x m xm m m 是一元二次方程，则m =_ _5．(2015·中考)若关于x 的一元二次方程ax 2＋3x －1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是________________． 6.解方程：(1) 2（x-1)2=32 (2)3(x －2)2＝(x －2) (3)(y ＋2)2＝(3y －1)2（4）x 2－2x －3＝0 （5）x 2－4x ＋1＝07.（1）关于x 的一元二次方程x 2-4x+2m=0无实数根，求m 的取值范围（2）关于x 的一元二次方程mx 2-4x+2=0有实数根，求m 的取值范围.（3）关于x 的方程mx 2-4x+2=0有实数根，求m 的取值范围.8．(2014·中考)已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 的三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．应用题分类训练：1、传播问题（树枝开叉）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人；(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？2、循环问题 （可分为单循环问题，双循环问题）(1)参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？(2)若两队之间进行两场比赛，又该怎样列？3、平均率问题（平均增长率或降低率）类型a(1±x)n=M，n为增长或降低次数M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率某电脑公司2014年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2016年经营总收入要达到2160万元，且计划从2014年到2016年，每年经营总收入的年增长率相同，求增长率？4、面积问题如图，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?5、商品销售问题常用关系式：售价—进价=利润，一件商品的利润×销售量=总利润，单价×销售量=销售额某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？。
一元二次方程(复习课导学案)
初三数学 班级 姓名一元二次方程（复习课导学案）复习目标1．了解一元二次方程的有关概念。
2．能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
3．会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
4．掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
5． 通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。
重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
复习流程考点呈现考点1：一元二次方程的概念例1 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.3（x+1）2=2(x+1)B.02112=-+x xC.ax 2+bx+c=0D.x 2+2x=x 2-1 解析：构成一元二次方程（一般形式）必须同时满足以下条件：①整式方程；②二次项系数不为0；③只含有一个未知数；④未知数的最高次数是2.选项B 不满足①，C 不满足②，D 不满足④.故选Ａ.考点2：一元二次方程的根例2已知x=-1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则222-n mn m +的值为 ．解析：把x ＝-1代入一元二次方程，得m-n ＝1, 则m 2-2mn+n 2＝(m-n) 2＝1．考点3：一元二次方程的解法例3 方程x(x －1)＝2的解是（ ）A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x 1＝1，x 2＝－2D ．x 1＝－1，x 2＝2解析：将原方程化为一般形式为x 2-x-2＝0，用公式法解得x 1＝-1，x 2＝2. 故选D.例4方程（x ﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ．解析：方法一：去括号，整理得 x 2－x －6＝0.用公式法解得x 1＝－2，x 2＝3.方法二：移项，提取公因式x ＋2，得 (x ＋2)(x －3)＝0.解得x 1＝－2，x 2＝3．点评：解一元二次方程要根据方程的特点灵活选用，讲究解法技巧，准确、迅速．考点4：一元二次方程根的判别式例5已知关于x 的一元二次方程01)12=++-x x m （有实数根，则m 的取值范围是 ．解析：一元二次方程有实数根，即满足b 2-4ac ≥０且a ≠0.由题意，得1-4(m-1)≥0且m-1≠0.解得m ≤54且m ≠1. 例6若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.解析：∵关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，∴b 2-4ac=244121680k k -⨯⨯=-≥.解得2k ≤.∴k 的非负整数值为0,1,2.考点5: 一元二次方程的应用问题例7 20XX 年5月，中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到20XX 年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元.（1）求从20XX 年至20XX 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率.（2）若20XX 年至20XX 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元.解析：（1）设从2010至20XX 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x ，由题意，得 ()2518.45x +=.解得x 1=0.3=30%,x 2=-2.3(不合题意,舍去).答略.（2）这三年共投资()5518.45x +++=5+5×(1+0.3)+8.45=19.95(亿元). 答略.误区点拨一、概念理解不清致错例1 关于x 的方程（m +2）22m x -+2（m -1）x-1=0，当m= 时，该方程是一元二次方程.错解：当m ²-2=2， 即m=±2时，原方程是一元二次方程.剖析：错解忽视了一元二次方程定义中二次项系数不等于0这一条件.正解：m=2.二、解方程出错例2用公式法解方程4722=+x x ．错解：∵a=2,b=7,c=4,b 2-4ac=72-4×2×4=17,∴x=22177⨯±-. 4177,417721--=+-=∴x x .剖析：用公式法解方程时应先将方程化为一般形式，错解忽视了这一点，出现常数项c 错误.正解：原方程化为.04-722=+x x∵a=2,b=7,c=-4,b 2-4ac=72-4×2×（-4）=81,∴x=22817⨯±-. ∴12142x x =-=，． 三、思维定势例3若关于x 的方程（m 2－1）x 2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m 的取值范围.错解：由 m 2－1≠0 ， 解得 m ≠±1，b 2-4ac =［－2（m+2）］2－4（m 2－1）≥0 ， m ≥ 54-. 所以m 的取值范围是m ≥54-且m ≠±1. 剖析：题设中的方程没有明确指出是一元二次方程，因此方程也有可能为一元一次方程，此时有 m 2－1=0且－2（m+2）≠0， 解得m=±1 .正解：m ≥54- 时，原方程有实数根. 四、忽视检验根是否符合题意致错例4 新华中学八年级同学参加“手拉手”活动，甲班同学（人数不超过60人）全体都参加此项活动，共捐书300本；乙班同学有30人参加此项活动，共捐书260本，这两个班参加此活动的同学人均捐书比甲班人均捐书多1本，甲班有多少名同学？错解：设甲班有x 名同学.依题意,得300300260130x x +=-+．化简整理，得 223090000x x -+=．解得 1250180x x ==，．所以，甲班有50名或180名同学．剖析：方程的根没有检验是否符合题意，忽视了“甲班同学（人数不超过60人）”这个已知条件．正解：在错解的基础上，求得x 1=50,x 2=180.由于甲班同学人数不超过60人，所以50=x ，即甲班有50名同学．跟踪训练1．方程（k+2）x |k|+3kx+1=0是关于x 的一元二次方程，那么k 的值是（ ）A ．k=±2 B．k=2 C ．k=－2 D ．k≠±22.用配方法解下列方程时，配方错误的是 （ ）A. x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100B. x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25C. 2t 2-7t-4=0化为1681)47(2=-t D. 3y 2-4y-2=0化为910)32(2=-y3．如果方程x 2＋mx ＋12=0的一个根是4，则另一个根和m 的值分别是( )A ．3 -7B ．3 7C ．-3 7D ．-3 -74．用公式法解方程x 2－3x －1=0，正确的解为（ ）A ．x 1=2133+-，x 2=2133--B ．x 1= 253+-，x 2= 253-- C ．x 1= 253+ ，x 2= 253- D ．x 1=2133+，x 2=2133- 5.如果关于x 的方程220x x a -+=有两个相等的实数根，那么a= .6．定义新运算“*”，规则：()()a ab a b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，如122*=，(=若x 2+2x-3=0 的两根为12,x x ，则12x x *＝ ．7．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场.设共有x•个队参加比赛，则可列方程为__________．8．等腰△ABC 中，BC=8，AB ，AC 的长是关于x 的方程x 2－10x+m=0的两根，求m 的值．解：（1）当AB 或AC 的长为8时，64－10×8+m=0，所以m=_____；（2）当AB=AC 时，方程x 2－10x+m=0有两个相等的实数根，则b 2－4ac=0，即______，所以m=____．9．阅读下列解题过程，并解答后面的问题．用配方法解方程2x 2－5x －8=0．解：原方程化为x 2－5x －8=0． ①配方，得x 2－5x+（－52）2=8+（－52）2． ② 所以（x －52）2=574． ③解得x 1，x 2④ （1）指出每一步的解题根据：①______；②______；③_______；④_______．（2）上述解题过程有无错误，如有，错在第______步，原因是_________．（3）写出正确的解答过程．10. 一块矩形耕地大小尺寸如下图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？中考零距离1.(20XX 年芜湖市)关于x 的方程（a-5）x 2-4x-1=0有实数根，则a 满足（ ）A.a ≥1B.a>1且a ≠5C. a ≥1且a ≠5D. a ≠52.（20XX 年毕节市）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人3.（20XX 年眉山市）一元二次方程2260x -=的解为_______．4.（20XX 年清远市）方程2x(x-3)=0的解是 .5.（20XX 年新疆维吾尔自治区）解方程：2x 2－7x ＋6＝0.6.（20XX 年武汉市）解方程:x 2+x-1=0.7.（20XX 年天津市）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻20XX 年平均每公顷产8 000 kg ，20XX 年平均每公顷产9 680 kg ，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率.解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x.（Ⅰ）用含x 的代数式表示：① 20XX 年种的水稻平均每公顷的产量为 ；② 20XX 年种的水稻平均每公顷的产量为 ；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程 ；（Ⅲ）解这个方程，得 ；（Ⅳ）检验： ；（Ⅴ）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %.8.（20XX 年安徽省）在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/m 2 ,下降到5月份的12600元/m 2.1）问：4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：95.09.0≈）（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m 2？请说明理由．跟踪训练答案1.B2.B3.A4.D5.16. 1 7．x （x －1）=90 8. （1）16 （2）100－4m=0 259．（1）①二次项系数化为1 ②移项，方程的两边都加上一次项系数一半的平方 ③方程左边化为完全平方式 ④用直接开平方法解方程（2）① 常数项和一次项系数未同时除以2（3）x 1，x 2（过程略） 10. 解：设水渠应挖x 米宽.根据题意，得(162-2x)(64-4x)=9600 ,即x 2-97x+96=0.解得 x 1=1,x 2=96(不合题意，舍去) .答：水渠应挖1米宽.中考零距离答案1.A2.B3.x=4.x 1=0，x 2=35.21=x ,232=x .6.251-1+=x , 25-1-2=x . 7.解：（Ⅰ）①8000(1)x + ②28000(1)x +（Ⅱ）28000(1)9680x += （Ⅲ）10.1x =，2 2.1x =- （Ⅳ）10.1x =，2 2.1x =-都是原方程的根，但2 2.1x =-不符合题意，所以0.1x = （Ⅴ）108.解：（1）设4、5两月平均每月降价的百分率为x.根据题意，得12600)1(140002=-x . 化简，得9.0)1(2=-x . 解得95.1,05.021≈≈x x （不合题意，舍去）.因此，4、5两月平均每月降价的百分率约为5%（2）如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为10000113409.012600)1(126002>=⨯=-x ,所以7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m 2.。
一元二次方程复习导学案
解一元二次方程复习一、知识回顾1.一元二次方程的概念：形如：()002≠=++a c bx ax2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b aac b b x1、按要求解下列方程：①9)12(2=-x （直接开平方法） ②0432=-+x x （用配方法）③0822=--x x （用因式分解法） (4) 3x 2+5(2x+1)=0（用公式法）3.一元二次方程的根的判别式：（1）当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； （2）当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； （3）当 时，方程没有实数根．．．．．。
如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,b c x x x x a a+=-=. 这是一元二次方程根与系数的关系二、基础训练一元二次方程的概念1.下列关于x 的方程： 其中是一元二次方程的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个2、关于x 的方程（m+3)x |m|-1-2x+4=0是一元二次方程，则m=解下列方程（1）(2x ＋3)2－25＝0. （2） 02722=--x x .（3）()()2322+=+x x 1)4(,02)3(,53)2(,032)1(223222=+=+-=+=--y x x x x x x x（4）0)52()13(22=+--x x （5）2232)2(y y y =-+根的判别式（1）关于x 的一元二次方程x 2-4x+2m=0无实数根，求m 的取值范围（2）关于x 的一元二次方程mx 2-4x+2=0有实数根，求m 的取值范围.（3）关于x 的方程mx 2-4x+2=0有实数根，求m 的取值范围.。
因式分解法解一元二次方程【学案】
学习过程复习预习1．复习提问如果a×b=0，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．即a=0或者b=0。
2．复习：将下列各式分解因式。
(1)5X2-4X (2)X2-4X+4 (3)4X(X-1)-（X-1）(4) X2-4 (5)X2+4X+3(6）X2-3X+2一、知识讲解考点1提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．考点2运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．考点3平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)三例题精析【例题1】【题干】解方程x-2＝x（x-2）【答案】 x1＝2，x2＝1．【解析】解：原方程可化为x-2-x（x-2）＝0．（x-2）（1-x）＝0∴ x-2＝0或1-x＝0．∴ x1＝2，x2＝1．【题干】（2011•泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=﹣2【答案】C【解析】考点：解一元二次方程－因式分解法。
专题：计算题。
分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．解答：解：∵x2=2x，∴x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．【题干】（2011湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x－1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x－2）2+3B、（x+2）2－4C、（x+2）2－5D、（x+2）2+4【答案】C．【解析】考点：配方法的应用．专题：配方法．分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．解答：解：x2+4x－1=x2+4x+4－4－1=x+22－5，故选C．点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．【题干】（2011•柳州）方程x2﹣4=0的解是（）A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4【答案】C．【解析】考点：解一元二次方程－直接开平方法。
一元二次方程复习导学案
一元二次方程复习导学案一、知识梳理1、概念部分一元二次方程的定义中强调了哪几点？一般形式是什么？一般形式中的a 、b 、c 的取值范围各是多少？2、方程的解法你学过哪些解一元二次方程的方法？一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式3、根的判别式及应用一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式是怎样利用根的判别式判断方程根的情况？（1）（2）（3）4、根与系数的关系及应用如果X 1 ，X 2是方程 ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则如果X 1 ，X 2是方程 x 2+px+q=0的两根，则二、基础练习1、将方程2x(x-1)=3(x-5)-4化为一般形式 ，则二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。
2、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
3、已知方程（k+3）x K2-7+x-3=0是关于x 的一元二次方程，求k 的值。
4、用适当的方法解下列方程（并结合下列各题说明你怎样灵活应用这些方法的？）（1）、x 2+8x+16=3（2）、x 2-6x -11=022222(1)10(3)23x 10x x(5)(3)(3)x x -==+=-22 ｘ (2)2(x -1)=3y12 ｘ－－ (4)－=0 (6)9x =5－4x（3）、(x-2)(3x-5)=1（4）、x （3x ＋2）=6(3x ＋2)5、不解方程直接判断下列方程根的情况(1)x (2x-5)=-4 (2)10)1)(2(=-+x x(3)x 2–kx-(k+2) =0三、拓展应用1、已知关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个相等的实数根，则a 的值。
2、已知32+是方程042=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根及c 值。
3、已知二次方程x 2-3x ＋1=0的两根为α，β，求：（1）βα11+ （2）22βα+4、已知关于x 的一元二次方程x 2-(m+1)x+m+2=0 的两个实数根的平方和等于6，求m 的值。
《一元二次方程》复习导学案
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★1、下列说法中：
①方程 x2 px q 0 的二根为 x1 ， x2 ，则 x2 px q ( x x1 )(x x2 ) ② x2 6x 8 ( x 2)(x 4) .③ a 2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) ④
x 2 y 2 ( x y)( x y )( x y ) ⑤ 方 程 (3x 1) 2 7 0 可 变 形 为
(3x 1 7 )(3x 1 7 ) 0
正确的有（
）A.1 个
B.2 个 B． x 2 2 x 6 0
C.3 个
D.4 个
★2、以1 7 与 1 7 为根的一元二次方程是（） A． x 2 2 x 6 0 D． y 2 2 y 6 0 ★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为 倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为 相反数： ★★4、若实数 x、y 满足 x y 3x y 2 0 ，则 x+y 的值为（ A、-1 或-2 或2 5、方程： x 2
★3、已知 m 是方程 x 2 x 1 0 的一个根，则代数式 m 2 m ★★4、已知 a 是 x 2 3x 1 0 的根，则 2a 2 6a ★★5、 方程 a bx 2 b cx c a 0 的一个根为 （ C
bc
。
1
x 1 3 的解相同。 x 1
一元二次方程综合复习 1.熟练掌握一元二次方程的解法 题 一元二次方程的解法及其实际应用 2.能列一元二次方程解应用
一元二次方程的解法及其实际应用
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例 2、关于 x 的一元二次方程 a 2x 2 x a 2 4 0 的一个根为 0，则 a 的 例 3 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 的系数满足 a c b ， 则此方程必有一根为 针对练习： ★ 1 、已知方程 x 2 kx 10 0 的一根是 2 ，则 k 为 是 。 ★2、已知关于 x 的方程 x 2 kx 2 0 的一个解与方程 ⑴求 k 的值； ⑵方程的另一个解。
一元二次方程复习学案
一元二次方程复习学案知识回顾1.一元二次方程的概念：形如 。
2.一元二次方程的解法：（1） （2） （3） 求根公式：3.一元二次方程的根的判别式：（1）当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根；（2）当 时，方程有两个相等．．．．的实数根；（3）当 时，方程没有实数根．．．．．。
如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,b c x x x x a a+=-=. 这是一元二次方程根与系数的关系4、一元二次方程应用：（1）一般步骤： （2）验根：一元二次方程的意义1、下列列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？①250x -= ②330x x -= 2x -= ④ 21230x x+-= ⑤ 230x xy +-= 2、①关于x 的方程032)4()16(22=++++-m x m x m 当m______时，是一元二次方程，当m______时，是一元一次方程。
②关于x 的方程（m+3)x|m|-1-2x+4=0是一元二次方程，则m= 3、若x=0是一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的一个根，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．04、如果a 是方程x 2+x －1=0的一个根，那么代数a a a -+23的值是（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．05、若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2 = .6、已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列各式的值恒为常数的是（ ） A ．ab B ．ba C ．b a + D ． b a - 解方程 1、方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ）A ．x=0 B ．x=3 C ．x=3或x=-1 D ．x=3或x=02、x 的一元二次方程21(1)420m m x x ++++=的解为（ ）A ．x 1=1，x 2=2，B ．x 1=x 2=1C ．x 1=x 2=-1 D ．无解3、若（x+y ）（1-x-y ）+6=0，则x+y 的值是（ ）A ．2 B ．3 C ．-2或3 D ．2或-34、解方程：22(32)(23)x x -=- 2420x x ++= 014212=+--x x （用配方法） 2230x x --=一元二次方程根的判别式1、不解方程，判断下列方程实数根的情况：04322=--x x 0962=+-x x 0432=++x x2、x 方程0122=++x k x 有两个不相等的实数根，则k ( ) A.k ＞-1 B.k ≥-1 C.k ＞1 D.k ≥03、关于x 的方程0-2=+k x x 没有实数根，则（ ）A.k ＜41 B.k ＞41 C. k ≤41 D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程022-2=+x kx 有实数根，则k 得范围是（ ）A.k ＜21且k ≠0B.k ＞21且k ≠0C.k ≤21且k ≠0D.k ≥21且k ≠0 5、k 取何值时，关于x 方程()01-2-42=++k x k x 有两个相等的实数根？求出这时方程的根.6、关于x 的方程()02-2-22-22=++m m x m x ，m 取什么值时，没有实数根？7、关于x 的一元二次方程()011-2=++x x m 有实数根，求m 的取什范围。
《一元二次方程的解法》复习学案
《一元二次方程的解法》——复习学案[知识要点]1． 一元二次方程的概念:首先是 “整式方程”，其次是“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是“2”。
一元二次方程为一般形式 （ ），尤其要注意“系数”是包括它们的正负号在内的。
“0≠a”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分。
因为方程02=++c bx ax 只有当0≠a 时，才叫做一元二次方程。
反之，如果明确指出方程是一元二次方程，那就隐含了0≠a 这个条件。
2．解一元二次方程的几种方法（1）直接开平方法：是建立在“数的开方”的基础上。
形如()()02≥=-b b a x 的方程，可用直接开平方法，求得方程的根为：()0≥±=b b a x 。
（2）配方法：是将一般一元二次方程配成完全平方后转化成直接开平方法来求解的方法。
它实质上是直接开平方法的延伸。
一般步骤：①化二次项系数为1，②移项，③配方，④化原方程为2()x m n +=的形式， ⑤如果0n≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. （3）求根公式法：是求出一元二次方程解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的求根公式为：()042422≥--±-=ac b a ac b b x（4）分解因式法：其实质是“降次”求解。
将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，分别设两个一次因式为0，从而得到两个一次方程，使原方程达到“降次”的目的。
具体方法有①提公因式法②平方差公式法③完全平方公式法④十字相乘法[典型例题]例1．(1)用不同的方法解方程0862=+-x x 。
（公式法） （十字相乘法） （配方法）(2)用不同的方法解方程02522=+-x x例2． 用适当的方法解方程：（1）()()y y 213122-=- （2）12=-x x（3）042312=+-x x （4）()()03051752=+---x x类题练习：用适当的方法解方程：（1）75102=+x x （2）223422=+x x（3）()3222=-x （4）()()04323322=----x x（5）04232=+--t t[小测试]1．下列方程是一元二次方程的是：（1）12=-y x （2）12-=x y （3）()()()()1121122-+-=++-x x x x x x （4）12-=x x （5）1142=+x （6）()0212=-++k x k （k 是常数） 2．写出下列各方程的二次项、一次项和它们的系数以及常数项： （1）1232=+x x （2）x x 22= （3）()()5612122-=--+x x x5．用配方法解方程：01842=+--x x 6．用公式法解方程：02322=--x x7．用因式分解法解下列一元二次方程：（1）03072=--x x （2）()()1314-=-x x x3．当实数k 满足什么条件时，关于x 的方程58222+=+x kx x k 是一元二次方程．4．用直接开平方法解一元二次方程：()()22112+=-x x。
一元二次方程复习学案
一元二次方程复习学案
学习目标
1、了解一元二次方程的概念，能由一元二次方程的概念确定二次项系数中
所含字母的取值范围
2、能选择适当方法解一元二次方程
（一）一元二次方程的概念
1、已知关于x的方程(m²-1)x² +（m -1）x -2m+1=0，当m时是一元二
次方程，当m=时是一元一次方程。
2、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则（）
A.m=±2
B.m=2
C.m= -2
D.m≠±2
3、已知关于x的一元二次方程(m-2)x² + m²-4=0的一个根为0，则m的值是
归纳小结：一元二次方程的概念
一般形式：
归纳小结：一元二次方程的概念
一般形式：
（二）一元二次方程的解法
练习一解下列方程
１、用直接开平方法：(x+2)2=3
2、用配方法：x2＋６x-1=0 2x2 -x -1=0
3、用公式法：x2-４x-10=０3x2 = 4x+7
4、用分解因式法：（y+2)2=3 (y+2）
练习二：选用适当方法解下列一元二次方程
1、(2x+1)2=64 ( 法）
2、x(x+3)=(x+3) ( 法）
3、(2x-1)2=(x+１)2 ( 法）
4、x(x+3)=(x+3) ( 法）
5、x2-６x+2=0 ( 法）
6、2x2-8x+1=0 ( 法）
一元二次方程的解法直接开平方法：适用于
配方法：适用于
公式法：适用于
因式分解法：适用于。
一元二次方程单元复习学案
学案一元二次方程单元复习（一）学习目标： 1. 进一步理解一元二次方程的意义。
2. 熟练掌握一元二次方程的解法，会根据一元二次方程的特点灵活地选择解法。
3. 理解并掌握一元二次方程知识在数学中和生活中的应用，养成建立数学模型解决实际问题的思想方法。
4、培养和提高分析问题、解决问题的能力。
体会数学的价值学习过程：一、【我预习我会学】：（一）、阅读教材试编写知识结构图，并与教材所编图作比较。
（二）、梳理本章知识：１、一元二次方程的定义及一般形式：理解一元二次方程的定义须抓住哪三个要素？一元二次方程的一般形式是什么？应注意什么？要确认一元二次方程的各项系数须注意些什么？2、一元二次方程有哪四种解法？其中哪几种解法属特殊解法？哪属一般解法？（1）直接开平方法：什么形式的方程可用直接开平方法求解？（２）因式分解法：如果一元二次方程经过因式分解能化成（x＋a）（x＋b）＝０的形式，它就可以化为哪两个一元一次方程来求解？这种方法体现了怎样的数学思想？你能小结因式分解法的步骤吗？（3）配方法：通过配方把一元二次方程ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０变形为（ｘ+ ）2＝的形式，再利用直接开平方法解之，这就是配方法。
请你小结配方法解一元二次方程的一般步骤：①移②化③配④用直接开平方法解变形后的方程。
（注“将二项系数化为１”是配方的前提条件，配方是关键）（４）公式法：你会写出求根公式吗？注意的条件是什么？你会推导这个“万能公式”吗？用公式法解一元二次方程的一般步骤：①化方程为一般形式，即（ａ≠０）；②确定ａ、ｂ、ｃ的值，并计算的值（注意符号）；③当ｂ2－４ａｃ≥０时，将ａ、ｂ、ｃ及ｂ2－４ａｃ的值代入求根公式，得出方程根：ｘ＝；当ｂ2－４ａｃ０时，原方程实数解。
3. 解一元二次方程的应用题基本步骤有：（1）审。
（2）设（3）列（4）解方程。
（5）检验，结果是否符合实际意义。
二、[我疑惑我解惑]三、【我探究我敢试】用适当的方法解下列一元二次方程。
0一元二次方程复习学案
一元二次方程复习学案【知识回顾】1.一元二次方程的概念：形如：()002≠=++a c bx ax2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac baac b b x3.一元二次方程的根的判别式：（1）当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； （2）当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； （3）当 时，方程没有实数根．．．．．。
4.用方程解决实际问题：略 【基础训练】 1．解下列方程（1）(2x ＋3)2－25＝0.（直接开平方法） （2） 02722=--x x （配方法）（3）()()2322+=+x x （因式分解法） （4）2260x x +-=（公式法）2.（08，温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．，并选择你认为适当的方法解这个方程． ①2310x x -+=； ②2(1)3x -=； ③230x x -=； ④224x x -=．3.（08，遵义）一元二次方程2210x x -+=的解是 ． 4.（08，兰州）方程24x x =的解是A ．4x =B ．2x =C ．4x =或0x =D ．0x =5．（08，南昌）方程(1)x x x -=的解是 ．6. (08，丽水) 一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是65x +=，则另一个一次方程是 ． 7.用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -=8.（07，成都）下列方程中，有两个不相等实数根的是Ａ．240x +=Ｂ．24410x x -+= Ｃ．230x x ++=Ｄ．2210x x +-=9．一元二次方程0442=+-x x 的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根10．（08，宿迁）已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ．11.（08，潜江）关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为 。
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解一元二次方程复习学案知识要点：（一）一元二次方程1、一元二次方程定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 。
其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数a 一定不能为0；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
B,c 为任意实数（二）一元二次方程的解法 直接开平方法：1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
适用范围：（1）形如x 2=p （p ≥0），那么x=（2）形如（x+n ）2=p （p ≥0），那么x+n=p n x ±-=．若p ＜0则方程无解 2.例题：(1)4x 2－1＝8 ； (2) (2x+1)2=25 (3) 4(2x+1)2-36=0 (4) 22)32()2(+=-x x ；3.随堂练习(1)81(x-2)2=16 ； (2).063)4(22=--x （3）(5－2x )2=9(x ＋3)2 （4）2(x ＋3)2－4=0．配方法1、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ， 222)(2b x b bx x ±=+±。
适用范围：任何一元二次方程，)0(02≠=++a c bx ax ，（1）若a=1,则02=++c bx x ， 移项：c bx x -=+2，配方：c b b bx x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++22222，（两边同时加上一次项系数的一半） 写成标准形式：044222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+c b b x ，开方：4422c b b x -±=+，4422c b b x -±-= （2）若a ≠1,则a 02=++c bx x ， 移项系数变为1：a c x a b x -=+2，配方：a c a b a b bx x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++22222，（两边同时加上一次项系数的一半），写成标准形式：0442222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a ac b a b x ，开方：22442a c b a b x -±=+，22442a c b a b x -±-= 2.例题：（1）x 2－2x =1 （2） x 2-32x-32=0. （3）x x 6132=- （4）04722=--t t3.随堂练习（1）x 2＋4x ＝－3．（2）5x 2＋4x =1 （3）3x 2－4x =2． （4）2x 2-4x+1=0公式法1、公式法：用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 适用范围：任何一元二次方程，)0(02≠=++a c bx ax ， a 02=++c bx x 0442222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a ac b a b x 22442a c b a b x -±-=将a 、b 、c 代入式子x=2b a-±就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
)2.例题：(1) 3 y 2-y-2 = 0 (2)02322=--x x (3)4x 2-3x-1=x-2 （4）3x(3x-2)+1=0.3.随堂练习（1）x 2-2x-8=0； （2）x 2 （3）0.4x 2-0.8x=1 （4）23y 2+13y-2=1因式分解法1.因式分解法：利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
适用范围：)0(02≠=++a c bx ax ，能因式分解 立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)平方差公式：完全平方公式：2.例题： （1）x 2+16x=0 （2）5x 2-10x=-5 （3）x （x-3）+x-3=0 （4）2(x-3)2=9-x 23.随堂练习（1）（x+2）2=3x+6 （2）4(x ＋3)2－(x －2)2=0 （3）5（2x-1）=(1-2x)(x+3) （4）2（x-3）2+(3x-x 2)=0.（5）3x (x －2)=2(x －2)（6） x 2－bx －2b 2=0． （7）(2x －1)2－2(2x －1)=3 （8）x 2－3x －28=0．1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=- 3、2260x y -+=4、01072=+-x x5、()()623=+-x x6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x 8、22244a b ax x -=- 9、03072=--x x10、 ()()213=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122=-+x13、x 2+4x -12=0 14、()b a x a b x +-=-2322 15、022=-+-a a x x16、3631352=+x x 17、()1126=+x x 18、x 2+4x -12=019、1252+=y y 20、(x ＋1)2＝(1－2x )2． 21、x 2－(2a －b )x ＋a 2－ab ＝0．（三）一元二次方程根的判别式，根与系数的关系 根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ 1、对于任意一个一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式是： △ =b 2－4ac2、一元二次方程的根与根的判别式的三种关系：①当△=b 2－4ac ＞0时，方程有 个 实数根。
②当△=b 2－4ac=0时，方程有 个相等的实数根。
③当△=b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根。
注：△=b 2－4ac ≥0时，方程有 根。
3、反之，①若方程有两个不相等的实数根，则一定有△=b 2－4ac ＞0②若方程有两个相等的实数根，则一定有△=b 2－4ac=0。
③若方程没有实数根，则一定有△=b 2－4ac ＜0。
注：若方程有实数根，则一定有△=b 2－4ac ≥0。
根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，ac x x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
例题例1已知x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.例2 k 为何值时，方程kx 2－6x ＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．例3设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x （3）112112+++x x x x（4）||21x x - （5）)31)(31(1221x x x x ++（6）3231x x + （7）21x x例4、已知：α、β是关于x 的方程x 2+(m －2)x+1=0的两根，求(1+m α+α2)(1+m β+β2)的值。
3.随堂练习1求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-m x m x 都有两个不相等的实根．2若m 是方程012=-+x x 的一个根，试求代数式2014223++m m 的值。
3三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程862+-x x =0的一个根。
求这个三角形的周长。
4已知2-5是方程042=+-c x x 的一个根，求：（1）c 的值，（2）方程的另一个根。
5若关于X 的一元二次方程X 2+kX+1=0有两个相等的实数根，求k 的值，并求出此进方程的根。
6、当K 取何值时，关于x 的一元次方程012)14(222=-++-k x k x 有两个不相等的实数根？ 7、已知关于x 的方程,022=-+-m mx x 求证：无论m 取何值时，该方程总有两个不相等的实数根。
9、已知a 、b 、c 、分别为△ABC 的三边长，当m ＞0时，关于X 的一元二次方程2(x c +m ）+b （x 2-m ）-20=ax m 有两个相等的实数根。
求证：△ABC 是直角三角形。
10．求证：不论k 取任何值，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)=0都没有实根．11．如果关于x 的一元二次方程2x (ax －4)－x 2＋6=0没有实数根，求a 的最小整数值．12．已知方程x 2＋2x －m ＋1=0没有实根，求证：方程x 2＋mx =1－2m 一定有两个不相等的实根．已知m ，n 是一元二次方程0522=--x x 的两个实数根，求m n m 23222++的值。
已知关于x 的一元二次方程.的值求且的两个根是m x x x x x x m x m x 12,,02)21(22221212122=+-=-+--已知a 2＋a －3＝0，那么a 2(a ＋4)的值是多少？。