第7章 非线性方程与方程组的数值解法

我们知道在实际应用中有许多非线性方程的例子 例如: （1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,我们 需要求 x-tanx=0 的根 （2）在行星轨道（planetary orbits）的计算中,对任意的a和b， 我们需要求 x-asinx=b 的根 （3） 在数学中，需要求n次多项式的根
③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？
| x * xk | | ( x*) ( xk 1 ) | | (ξk 1 ) | | x * xk 1 |
L | x * xk 1 | ...... Lk | x * x0 | 0
Else Set a=x;
Step 6 Set k=k+1; Compute x =(a+b)/2 ;Go To Step 3 ; Step 7 Output the solution of equation: x; STOP.
7
数值分析
由二分法的过程可知：
1、
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
Th
4
数值分析
§1
二分法
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
/* Bisection Method */
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) · (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上至 f 少有一实根。
基本思想：逐步将区间分半，通过判别区间端点函数值的符号，
进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求
a, b a1, b1 ak , bk f ak f bk 0, x ak , bk
1 1 2、 bk ak bk 1 ak 1 k b a 2 2
ak bk bk ak b a , 且 x xk k 1 , k 0,1, 2, 3、 xk 2 2 2 误差 分析 1 令 4、对分次数的计算公式： x xk k 1 b a 2
f(xk)符号 − + − + + − −
10
数值分析
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
优点
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
①无法求复根及偶重根 ②收敛慢
缺点
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大 概位置，或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一 个满足 f (ak)· (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出区 f 间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)· (b) < 0 。 f
11
数值分析
§2 不动点迭代法及其收敛性
等价变换
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
一、不动点迭代 /*Fixed-Point Iteration*/
f (x) = 0 x = φ(x)（迭代函数）
f (x) 的根 x

从一个初值 x0 出发，计算 x1 =φ(x0), x2=φ(x1), …, 思 xk+1 =φ(xk), … 若 x k k 0 收敛，即存在 x* 使得 路 lim x k x *，且 φ 连续，则由 lim x lim x 可 k 1 k k k k 知 x* = φ (x* )，即x* 是 φ 的不动点，也就是f 的根。
When to stop? 终止法则？ a a x1 x* b x2
b
xk 1 xk ε1
或
f ( x k ) ε2
不能保证 x 的精 度
2
x* x
6
数值分析
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
二分法算法
给定区间[a,b] ，求f(x)=0 在该区间上的根x. 输入: a和b; 容许误差 TOL; 最大对分次数 Nmax. 输出: 近似根 x. Step 1 Set k = 1; Step 2 Compute x=(a+b)/2; Step 3 While ( k Nmax) do steps 4-6 Step 4 If f(x)=0 or |b-a| < TOL , STOP; Output the solution x. Step 5 If x*f(a)<0 , Set b=x;
证明：① φ(x) 在[a, b]上存在不动点？
令 f ( x) ( x) x
f ( a) ( a) a 0 ,
f ( x ) 有根
a ( x) b
f (b) (b) b 0

② 不动点唯一？
反证：若不然，设还有 x ( x) ，则 ~ ~ x* x ( x*) ( x) (ξ ) ( x * x), 在 x * 和 x 之间。 ( x* x)(1 (ξ )) 0 而 | (ξ ) | 1 x* x
Lipschitz条件成 立的充分条件
( I ) 当 x[a, b] 时， φ(x)[a, b]；
( II ) 0 L < 1 使得 ( x ) L 1对 x[a, b] 成立。
则任取 x0[a, b]，由 xk+1 = φ(xk) 得到的序列 x k 0 收 k 敛于φ(x) 在[a, b]上的唯一不动点。并且有误差估计式： | x * xk |
2k 1 100
k 6
9
数值分析
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
k ak 0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203
bk 1.5 1.375 1.3438 1.3281
xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
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数值分析
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④ | x * xk |
1 | x k 1 x k | ? 1 L
| xk 1 xk | | x * xk | | x * xk 1 | | x * xk | L | x * xk | Lk 可用 | xk 1 xk |来 | x1 x0 | ? ⑤ | x * xk | 1 L 控制收敛精度 | xk 1 xk | | ( xk) x )| ξ x k )| ( k 1 | ( )( k x 1 k
2
数值分析
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
历史背景
代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上， 次代数方程在复数域内一定有
就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大 于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超
n个根(考虑重数)。早在16世纪
n
越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可 能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究
数值分析
Numerical Analysis
李小林
重庆师范大学数学学院
数值分析
第七章 非线性方程与方程组的数值解法
/* Numerical Solutions of Nonlinear Equations and Nonlinear Algebraic Systems*/
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
1 | x k 1 x k | 1 L
k
L | x1 x0 | | x * xk | 1 L
( k = 1, 2, … )
且存在极限
x * xk 1 lim x * k x * x k
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( x ) 连续时
数值分析
第7章 非线性方程与方程组的数值解法

p1 y= φ(x) x x1 y=x
p0 p1

x
13
p1

x
x1 x0 x*
x0 x*
x1
数值分析
例2： 已知方程 x 4 x 10 0在[1, 2]上有一个根（正根）
3 2
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
下面选取5种迭代格式：
1、x
x x 4 x 10
3 2
k
8
ln b a ln ln 2
1
数值分析
例1：用二分法求方程 x x 1 0在区间 [1, 1.5] 上的 根，精确到小数点后第2位，问至少需对分多少次？
3
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
解：
a 1, b 1.5， 0.005;
1 1.5 1 0.005 k 1 2
法2
x1 0.81650 x2 2.99691 x3 ( 8.65086)
1 2
法3
x1 1.34840 x2 1.36738 x3 1.36496 x4 1.36526 x4 1.37517 x5 1.365225 x11 1.365230013
法4

k L | xk xk 1 | ...... L| x1 x0 |

8
x4 1.0275 10
x1 1.37333 x2 1.36526

x3 1.365230014 x11 1.365137821 x4 1.365230013



15 x29 1.365230013
数值分析
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
Th
考虑方程 x = φ(x), 若
出满足给定精度的根
x 的近似值。
y f ( x)

[a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ]