【冀教版】2019年春九年级数学下册优秀教案30.2 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质
冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》教学设计2
冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》是学生在初中阶段最后一节关于二次函数的课程。
在前面的学习中，学生已经掌握了二次函数的基本形式、图象和性质。
本节课的主要内容是利用二次函数解决实际问题，进一步巩固学生对二次函数的理解和应用。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的应用，培养学生的解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的基本概念和性质有一定的了解。
但在解决实际问题时，部分学生可能会遇到理解困难，无法将理论知识与实际问题相结合。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和解答。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数解决实际问题的方法，提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次函数在实际问题中的应用。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生了解二次函数在实际问题中的应用。
2.案例教学法：分析典型例题，让学生学会将实际问题转化为二次函数模型。
3.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
4.引导发现法：引导学生自主探究二次函数的性质，提高学生的学习能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的图象和性质。
2.练习题：挑选合适的练习题，巩固学生对二次函数的应用。
3.教学视频：准备相关教学视频，帮助学生更好地理解二次函数的实际应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线形状的篮球架，引导学生了解二次函数在实际问题中的应用。
冀教版数学九年级下册30.1《二次函数》教学设计
冀教版数学九年级下册30.1《二次函数》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级下册30.1《二次函数》是本学期的重要内容，主要让学生了解二次函数的定义、性质及图像。
本节内容为后续学习二次方程、二次不等式等知识打下基础。
教材通过实例引入二次函数，让学生从实际问题中抽象出二次函数模型，培养学生的抽象思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已具备一定的函数知识，如一次函数、正比例函数的概念和性质。
但在学习二次函数时，仍需从实际问题出发，引导学生正确列出函数关系式，并理解二次函数的图像特点。
此外，学生需要掌握如何运用二次函数解决实际问题，提高解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的定义、性质及图像特点，能运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例引入二次函数，培养学生从实际问题中抽象出二次函数模型的能力；引导学生运用数形结合的方法，理解二次函数的图像特点。
3.情感态度与价值观：激发学生学习二次函数的兴趣，培养学生积极参与数学学习的习惯，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质及图像特点。
2.难点：如何从实际问题中抽象出二次函数模型，以及运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入二次函数，让学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
2.数形结合法：引导学生运用数形结合的方法，理解二次函数的图像特点。
3.问题驱动法：设计富有启发性的问题，激发学生思考，提高学生解决问题的能力。
4.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.课件：制作二次函数的图像、实例等课件，以便进行生动讲解。
2.练习题：准备适量练习题，巩固学生对二次函数知识的理解。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如抛物线运动、几何图形等，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
同时，提出问题：“什么是二次函数？”让学生思考。
冀教版数学九年级下册30.2《二次函数的图象和性质》教学设计
冀教版数学九年级下册30.2《二次函数的图象和性质》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级下册30.2《二次函数的图象和性质》这一节主要让学生了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质，包括顶点坐标、开口方向、对称轴等。
通过学习，学生能运用二次函数的性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的概念、一次函数和二次函数的解析式，对函数有一定的认识。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还比较陌生，需要通过具体的实例和活动，让学生深化对二次函数图象和性质的理解。
三. 教学目标1.知识与技能：了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质，能运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象特征，二次函数的性质。
2.难点：二次函数性质的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，让学生在实践中学习，提高学生的动手能力和思维能力。
六. 教学准备1.教师准备：二次函数图象和性质的相关教学材料，如PPT、案例、习题等。
2.学生准备：九年级下册数学课本，一次和二次函数的相关知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
例如：一个抛物线形的水池，已知水池的深度和底面半径，如何求出水池的体积？2.呈现（10分钟）用PPT展示二次函数的图象，引导学生观察图象，发现二次函数的性质。
如：顶点坐标、开口方向、对称轴等。
3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，绘制二次函数的图象，并标注出其性质。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）让学生运用二次函数的性质解决实际问题。
如：已知一个二次函数的顶点坐标和对称轴，求该二次函数的解析式。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：二次函数的性质在实际生活中有哪些应用？教师举例说明，并与学生互动交流。
冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》教学设计2
冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》是学生在学习了初中阶段函数知识的基础上，进一步研究二次函数的性质和图象。
这一章节内容丰富，包括二次函数的定义、标准式、顶点式、图象及其性质等。
通过学习，学生可以更深入地了解函数的概念，掌握二次函数的基本性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，了解了函数的性质和图象。
但二次函数相对较为复杂，学生可能在学习过程中存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解，帮助学生克服学习障碍。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的定义、标准式、顶点式及其相互转化；了解二次函数的图象及其性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探究二次函数的性质，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用价值。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的定义、标准式、顶点式及其相互转化；二次函数的图象及其性质。
2.难点：二次函数的图象及其性质的理解和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引发学生对二次函数的兴趣，激发学生的学习热情。
2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生主动思考、探究，培养学生的抽象思维能力。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论、交流，共同完成任务，提高学生的团队合作精神。
4.归纳总结法：在教学过程中，引导学生总结二次函数的性质，加深学生对知识的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学，提高课堂效果。
2.教学素材：准备相关的生活实例和练习题，以便在课堂上进行实践操作和练习。
3.板书设计：提前准备好二次函数的相关板书内容，以便在课堂上进行展示。
冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》教学设计2
冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》是学生在初中阶段学习函数知识的最后一部分，也是较为重要的一部分。
本节课主要介绍二次函数的定义、性质及图像。
教材通过实例引入二次函数的概念，使学生能够理解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用能力。
教材内容安排由浅入深，循序渐进，有利于学生掌握知识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数、一次函数和二次函数的基本概念，具备一定的数学基础。
但九年级学生刚接触二次函数，对其性质和图像可能难以理解。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生从实际问题中发现二次函数，并通过例题让学生感受二次函数的性质和图像特点。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解二次函数的定义，掌握二次函数的性质，能够绘制二次函数的图像，并运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索二次函数的性质，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质和图像。
2.难点：二次函数的图像特点，以及如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.启发式教学法：引导学生观察、分析、归纳二次函数的性质，培养学生的数学思维能力。
3.小组合作学习：让学生在团队合作中探讨二次函数的性质，提高学生的沟通能力。
4.实践操作法：让学生动手绘制二次函数的图像，提高学生的动手能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、例题及练习题。
2.准备黑板、粉笔等教学用具。
3.准备计算机、投影仪等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例引入二次函数的概念，如抛物线形状的拱桥，使学生感受二次函数在实际生活中的应用。
【教育资料】冀教版九年级下册数学名师培训课例30.2_二次函数的图像和性质学习精品
30.2二次函数图像和性质（2）二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质河北任丘四中王春娜教学内容：《义务教育课程标准实验教科书·数学》冀教版九年级下册第三十章第二节“二次函数的图像和性质（第二课时）”。
一、教材分析1.教材的地位及作用函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具之一，二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位。
学习了正比例函数、一次函数、反比例函数以后，学生进一步学习的二次函数，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通。
二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生的基本数学思想和素养的形成起推动作用。
它既是前面所学知识的应用和提高，又是高中进一步学习数学的基础，另外教学中所渗透的数形结合从特殊到一般的思想方法，对学生今后观察问题、研究问题和解决问题是十分有益的。
2.教学目标（一）知识与技能：能够准确绘制二次函数图像；通过图像进一步了解二次函数y=a(x-h)²+k (h≠0，k≠0)与二次函数y=ax²（a≠0）图象的位置关系。
（二）过程与方法：向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，使学生经历探索和发现二次函数图像的特点和性质的过程；进一步培养学生数形结合的思想和动手操作能力。
（三）情感、态度与价值观：经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识。
3、教学重难点教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索顶点式二次函数的图像特点和性质。
教学难点：顶点式二次函数的图像特点和性质的得出过程。
二、学情分析二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质，是在学生学习了二次函数的基本概念及y=ax2的图像和性质之后引入的新内容。
冀教版九年级数学下册说课稿：30.2二次函数图象
冀教版九年级数学下册说课稿：30.2 二次函数图象一. 教材分析冀教版九年级数学下册第30.2节“二次函数图象”，是在学生已经掌握了二次函数的定义、性质的基础上，进一步引导学生研究二次函数图象的特点和规律。
教材通过实例分析，让学生了解二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点、零点等概念，并学会如何根据二次函数的性质判断图象的特点。
本节课的内容对于学生形成完整的二次函数知识体系，培养学生分析问题、解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的基本概念和性质有所了解。
但是，对于二次函数图象的判断和分析，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习差异，针对不同程度的学生给予适当的引导和帮助，使全体学生都能掌握本节课的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点、零点等概念，学会根据二次函数的性质判断图象的特点。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点、零点等概念及判断方法。
2.教学难点：如何根据二次函数的性质分析图象的特点，以及在不同情况下如何判断二次函数图象的形状。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、案例分析、小组讨论、教师引导等教学方法，让学生在实践中掌握知识。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生直观地理解二次函数图象的特点。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出二次函数图象的概念，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点、零点等概念，并通过实例进行分析。
3.课堂互动：学生分组讨论，分析不同二次函数图象的特点，教师引导学生总结规律。
冀教版九年级下册 30.2 二次函数的图像和性质 教案设计
30.2 二次函数的图像和性质(顶点式) 一．预习交流互助探究一：二次函数 y=a(x-h)2的图像和性质如图，在同一坐标系中，对二次函数y=x2、y=(x-3)2、y=(x+2)2从形状上看，二次函数y=(x-3)2 、y=(x+2)2 的图像与y=x 2 的图像是 但它们的 不同。
1）y=(x-3)2的图像可由y=x 2的图像沿 方向平移 单位长度得到，对称轴是 （2）y=(x+2)2的图像可由y=x 2的图像沿 方向平移 单位长度得到，对称轴是 知识点归纳：二次函数 y=a(x-h)2的图像可以由y=ax 2的图像做如下平移得到：当h ＞0时，向 平移 单位长度;当h ＜0时，向 平移 单位长度.所以画抛物线要想画出对称图像必须先找到函数的 ，才能在列表时对称取点。
跟踪训练一：1.函数y=-2（x+1）2的图像是 ，开口 ，对称轴是 ___________，当x= 时，y 有最____ 值，是 .2.函数y=-2（x-4）2的图像是由抛物线y= -2x 2向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y 有最 值，是 .3.次函数y=2x 2的图像向右平移3个单位后得到函数__________________的图像，其对称轴是 ，顶点坐标为 _____，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小.互助探究二：二次函数k h x a y +-=2)(的图像和性质 请在同一坐标系中画出二次函数y=x 2、y=(x-2)2、1)2(2+-=x y 的图像。
（1） 列表（3）连线1.观察画出的图像它是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴。
2.怎样列表才能保证描出的点具有对称性？3.这个图像有最高（或最低）点吗？如果有，它的坐标是什么？4.对于二次函数2)1(2＋＋＝－x y ，就上述三个问题谈谈你的看法。
知识点归纳：一般地，二次函数k h x a y +-=2)(（a ≠0）的图像是抛物线，画图像时，关于h x ＝左右两端对称地取的值。
冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》教学设计2
冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》教学设计2一. 教材分析冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》是学生在学习了初中阶段函数知识的基础上，进一步研究二次函数的性质和图象。
这一节内容主要让学生了解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，以及会利用二次函数解决实际问题。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探究二次函数的性质，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了函数的基本概念和一次函数的知识，具备了一定的数学思维和探究能力。
但九年级学生的抽象思维能力仍处于发展中，对于二次函数的理解和应用还需教师的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，以学生为主体，发挥教师的引导作用，帮助学生理解和掌握二次函数的知识。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，学会利用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，让学生亲身参与二次函数的学习过程，培养学生的数学思维和探究能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的一般形式，二次函数的图象特征。
2.难点：二次函数的图象特征，利用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的实例，引导学生进入学习情境，激发学生的学习兴趣。
2.探究教学法：学生进行小组合作，引导学生主动探究二次函数的性质，培养学生的探究能力。
3.案例教学法：通过分析实际问题，让学生学会将数学知识应用到生活中，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.教材和教辅：冀教版数学九年级下册教材，相关教辅资料。
2.教学工具：黑板、粉笔、多媒体设备。
3.学习资料：与二次函数相关的文章、实例等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入二次函数的概念，让学生初步了解二次函数的应用。
【冀教版】2019年春九年级数学下册优秀教案30.2 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质
30.2 二次函数的图像和性质第 1 课时 二次函数 y=ax2 的图像和性质1．会用描点法画出 y＝ax 的图像，理解抛物线的概念． 2 2．掌握形如 y＝ax 的二次函数图像和性质，并会应用．2一、情境导入 1 2 自由落体公式 h＝ gt (g 为常量)，h 与 t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图像是什么形状呢？ 2二、合作探究 2 探究点一：二次函数 y＝ax 的图像 【类型一】图像的识别 2 已知 a≠0，在同一直角坐标系中，函数 y＝ax 与 y＝ax 的图像有可能是()解析：本题进行分类讨论：(1)当 a＞0 时，函数 y＝ax 的图像开口向上，函数 y＝ax 图像经过一、三象 2 限，故排除选项 B；(2)当 a＜0 时，函数 y＝ax 的图像开口向下，函数 y＝ax 图像经过二、四象限，故排除 2 选项 D；又因为在同一直角坐标系中，函数 y＝ax 与 y＝ax 的图像必有除原点(0，0)以外的交点，故选择 C. 方法总结：分 a＞0 与 a＜0 两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法” ． 【类型二】实际问题中图像的识别 1 2 已知 h 关于 t 的函数关系式为 h＝ gt (g 为正常数，t 为时间)，则函数图像为( 2 )21 2 1 2 解析：根据 h 关于 t 的函数关系式为 h＝ gt ，其中 g 为正常数，t 为时间，因此函数 h＝ gt 图像是受 2 2 一定实际范围限制的，图像应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选 A. 方法总结：在识别二次函数图像时，应该注意考虑函数的实际意义． 2 探究点二：二次函数 y＝ax 的性质 【类型一】利用图像判断二次函数的增减性 2 作出函数 y＝－x 的图像，观察图像，并利用图像回答下列问题： (1)在 y 轴左侧图像上任取两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，使 x2<x1<0，试比较 y1 与 y2 的大小；(2)在 y 轴右侧图像上任取两点 C(x3，y3)，D(x4，y4)，使 x3＞x4＞0，试比较 y3 与 y4 的大小； (3)由(1)、(2)你能得出什么结论？ 解析：根据画出的函数图像来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法． 解：(1)图像如图所示，由图像可知 y1＞y2，(2)由图像可知 y3<y4；(3)在 y 轴左侧，y 随 x 的增大而增大， 在 y 轴右侧，y 随 x 的增大而减小．方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观 察和分析以免解题时产生错误． 【类型二】二次函数的图像与性质的综合题 2 已知函数 y＝(m＋3)xm ＋3m－2 是关于 x 的二次函数． (1)求 m 的值； (2)当 m 为何值时，该函数图像的开口向下？ (3)当 m 为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． m ＋3m－2＝2， 解析：(1)由二次函数的定义可得 故可求 m 的值． m＋3≠0， 2(2)图像的开口向下，则 m＋3＜0； (3)函数有最小值，则 m＋3＞0； (4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． 解： (1)根据题意， 得m ＋3m－2＝2， m＋3≠0，2解得m1＝－4，m2＝1， m≠－3.∴当 m＝－4 或 m＝1 时， 原函数为二次函数．(2)∵图像开口向下，∴m＋3＜0，∴m＜－3，∴m＝－4.∴当 m＝－4 时，该函数图像的开口向下． (3)∵函数有最小值，∴m＋3＞0，m＞－3，∴m＝1，∴当 m＝1 时，原函数有最小值． 2 (4)当 m＝－4 时，此函数为 y＝－x ，开口向下，对称轴为 y 轴，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小． 2 当 m＝1 时，此函数为 y＝4x ，开口向上，对称轴为 y 轴，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大． 方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当 a＞0 时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值； 当 a＜0 时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两 方面的因素，因此最好画图观察． 2 探究点三：确定二次函数 y＝ax 的表达式 2 【类型一】利用图像确定 y＝ax 的解析式 2 一个二次函数 y＝ax (a≠0)的图像经过点 A(2，－2)关于坐标轴的对称点 B，求其关系式． 解析：坐标轴包含 x 轴和 y 轴，故点 A(2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点 A(2， －2)关于 x 轴的对称点 B1(2，2)，点 A(2，－2)关于 y 轴的对称点 B2(－2，－2)． 2 解：∵点 B 与点 A(2，－2)关于坐标轴对称，∴B1(2，2)，B2(－2，－2)．当 y＝ax 的图像经过点 B1(2， 1 1 2 1 2 2 2 2)时，2＝a×2 ，∴a＝ ，∴y＝ x ；当 y＝ax 的图像经过点 B1(－2，－2)时，－2＝a×(－2) ，∴a＝－ ， 2 2 21 2 1 2 1 2 ∴y＝－ x .∴二次函数的关系式为 y＝ x 或 y＝－ x . 2 2 2 方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答 案． 2 【类型二】二次函数 y＝ax 的图像与几何图形的综合应用 2 已知二次函数 y＝ax (a≠0)与直线 y＝2x－3 相交于点 A(1，b)，求： (1)a，b 的值； 2 (2)函数 y＝ax 的图像的顶点 M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点 B 的坐标． 2 解析：直线与函数 y＝ax 的图像交点坐标可利用方程求解． 2 解：(1)∵点 A(1，b)是直线与函数 y＝ax 图像的交点，∴点 A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴ b＝a×1 ， a＝－1， ∴ b＝2×1－3， b＝－1. 2(2)由(1)知二次函数为 y＝－x ，顶点 M(即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x ＝2x－3，解得 x1＝1，x2 ＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点 B 的坐标为(－3，－9)． 2 【类型三】二次函数 y＝ax 的实际应用 如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离 OM 为 3m，跨度 AB＝6m. (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长 3m，宽 2m 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最 高可堆放多少米？22解析：可令 O 为坐标原点，平行于 AB 的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关 2 系式为 y＝ax .由题意可得 B 点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线 的函数关系式去探究其他问题． 解：(1)以 O 点为坐标原点，平行于线段 AB 的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线 1 2 2 的函数关系式为 y＝ax .由题意可得 B 点坐标为(3，－3)，∴－3＝a×3 ，解得 a＝－ ，∴抛物线的函数关系 3 1 2 式为 y＝－ x . 3 1 1 1 8 2 (2)当 x＝1 时，y＝－ ×1 ＝－ .∵OM＝3，∴木板最高可堆放 3－ ＝ (米)． 3 3 3 3 方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想． 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数 y＝ax2 的图像与性质，体会数学建模的 数形结合的思想方法.。
冀教版数学九年级下册30.2《二次函数的图象和性质》教学设计
冀教版数学九年级下册30.2《二次函数的图象和性质》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级下册30.2《二次函数的图象和性质》这一节主要让学生了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质。
教材通过具体的例子引导学生观察、分析、总结二次函数的图象和性质，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了函数、一次函数和二次函数的概念，对函数有一定的认识。
但二次函数的图象和性质较为抽象，需要通过具体的例子和实践活动来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的性质，能运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、实践，培养学生的动手操作能力和归纳总结能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象特征，二次函数的性质。
2.难点：二次函数性质的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.启发式教学法：引导学生观察、分析、总结二次函数的图象和性质。
3.合作学习法：分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作意识。
4.实践操作法：让学生动手绘制二次函数的图象，加深对二次函数性质的理解。
六. 教学准备1.准备一些关于二次函数的图片和实例，用于导入和新课讲解。
2.准备课件，展示二次函数的图象和性质。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入二次函数，如抛物线运动、抛物线形状的物体等，让学生感受二次函数的实际应用。
同时，引导学生回顾一次函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用课件展示二次函数的图象，引导学生观察二次函数的顶点、开口方向、对称轴等特点。
同时，让学生绘制一些二次函数的图象，加深对二次函数图象特征的理解。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，共同探究二次函数的性质，如顶点坐标、开口大小、对称轴等。
初中数学冀教版九年级下册30.2第1课时二次函数y=ax2的图像和性质公开课优质课课件.ppt
初中数学优质课件
第三十章 二次函数
30.2 二次函数的图像和性质
第1课时 二次函数y=ax²的图像和性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念；（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图像，概括出图像的特点 ；
(难点) 3.掌握形如y=ax²的二次函数图像的性质，并会应用.（难点）
1.一般地，抛物线 y = ax 2 的对称轴是 y 轴，顶点是原点； 2.当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点； 3.对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小； 4.对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
有什么共同点和不同点．
y
y x2
y 2x2
8
6
归纳： 相同点：开口都向上，顶 点是原点而且是抛物线的
4 2
－4 －2 o
y 1 x2 2
最低点，对称轴是 y 轴 不同点：a 越大，抛物线的
2 4 x 开口越小．
2.在同一坐标系中，画出函数y=-x2,y=-2x2,
y=
1 2
x2
的图像，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
3
x
二次函数 y x2 路线,我
对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点. 的图像形如物体抛射时所经过的
典例精析
例1：画二次函数 y 1 x2 的图像.
4
解：列表
x
0
1
y 1 x2 4
冀教版九年级数学下册《【教案】 二次函数y=ax
2．函数y＝－4(x－2)2＋1图像与函数y＝－4x2的图像有什么关系?
(函数y＝－4(x－2)2＋1的图像可以看成是将函数y＝－4x2的图像向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)
3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?
5．你能画出函数y＝－ x2＋x－ 的图像，并说明这个函数具有哪些性质吗?
二、解决问题
由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－ x2＋x－ 的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－ x2＋x－ 的图像，进而观察得到这个函数的性质。
说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。
(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图像美观。
让学生观察函数图像，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2
教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；
y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋ x)＋c＝a[x2＋ x＋( )2－( )2]＋c＝a[x2＋ x＋( )2]＋c－ ＝a(x＋ )2＋
当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标是(－ ， )
四、课堂练习：
情感
态度
价值观
教学重点
用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标
30.2 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质
第二十页，编辑于星期六：四点 十一分。
知识要点
y＝ax2 图像
位置开
口方向 对称性
顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
第八页，编辑于星期六：四点 十一分。
议一议
根据你以往学习函数图像性质的经验，说说二次函数
y=x2的图像有哪些性质，并与同伴交流. 1.y＝x2是一条抛物线;
y y=x2
2.图像开口向上;
3.图像关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图像有最低点．
o
第十九页，编辑于星期六：四点 十一分。
思考2 从二次函数 y1x2,yx2, y2x2开口大小与 2
a的大小有什么关系？
当a<0时，a越小（即a
的绝对值越大），开口
越小.
y
－4 －2 －2 －4
－6
－8
y x2
x
O
24
y 1 x2 2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
2
第三十三页，编辑于星期六：四点 十一分。
课堂小结
以对称轴为中 画 法 描点法 心 对 称 取 点
二次函数y=ax2
的图像及性质
图像 性质
抛物线 轴 对 称 图 形
开口方向及大小
九年级数学下册 第三十章 二次函数 30.2《二次函数的图像和性质(2)》教案 (新版)冀教版-(新
二次函数的图像和性质（2）教学目标【知识与技能】1.能够画出y=a(x-h)2的图像，并能够理解它与y=ax2的图像的关系，理解a，h对二次函数图像的影响.2.能正确说出y=a(x-h)2的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】经历探索二次函数y=a(x-h)2的图像的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想. 【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性.，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识.教学重点掌握y=a(x-h)2的图像及性质.教学难点理解y=a(x-h)2与y=ax2图像之间的位置关系，理解a，h对二次函数图像的影响.教学过程一、情境导入，初步认识1.在同一坐标系中画出y=x2与y=(x-1)2的图像，完成下表.2.二次函数y=(x-1)2的图像与y=x2的图像有什么关系？y=(x-1)2，当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？二、思考探究，获取新知归纳二次函数y=a(x-h)2的图像与性质并完成下表.三、典例精析，掌握新知教材P33 做一做【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”. 例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2，y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图像.例（补充）已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合.①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且-12＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小.解:①∵y=x+1，∴令y=0，则x=-1，∴A（-1，0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2.②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1，∵a=-2＜0，∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又-12＜x1＜x2，∴y1＞y2.【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图像取点时以顶点为分界对称取点.四、运用新知，深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（）2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（）A.第一、二象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第二、三象限中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图像大致是（）4.（1）抛物线y=x2向平移个单位得抛物线y=(x-1)2;(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2.5.（某某某某中考）已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2，且过点（1，-3）.(1)求抛物线的解析式;(2)画出函数的大致图像;(3)从图像上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑.【答案】1.C 2.A 3.B 4.(1)右，1 (2)y=-2x25.解：(1)略 (x+2)2 (2)略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0.五、师生互动，课堂小结？还有哪些疑惑？，教师点评:(1)y=a(x-h)2的图像与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图像的关系.教学反思通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图像是由y=ax2的图像左右平移得到的，初步认识到a，h对y=a(x-h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想.。
冀教版九年级数学下册教学设计：30.2 二次函数图象 (3份打包)
冀教版九年级数学下册教学设计：30.2 二次函数图象 (3份打包)一. 教材分析冀教版九年级数学下册第30.2节二次函数图象，是在学生已经掌握了二次函数的定义、性质的基础上，进一步引导学生通过绘制函数图象来深化对二次函数的理解。
教材通过例题和练习题的形式，使学生能够熟练掌握二次函数图象的特点，以及如何通过观察图象来解决相关问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念和性质有了初步的了解。
但是，对于如何绘制二次函数的图象，以及如何通过图象来分析二次函数的性质，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，循序渐进地引导学生掌握二次函数图象的知识。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数图象的绘制方法。
2.使学生能够通过观察二次函数图象，分析其性质。
3.培养学生运用二次函数图象解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数图象的绘制方法，以及如何通过观察图象分析二次函数的性质。
2.难点：二次函数图象在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数图象的知识。
2.利用数形结合的方法，使学生直观地理解二次函数图象的性质。
3.通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示二次函数图象的知识。
2.准备一些实际问题，用于巩固学生的学习成果。
3.准备黑板，用于板书关键知识点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何通过绘制二次函数图象来解决问题。
例如，某商店进行打折活动，打折力度与顾客购买金额有关，假设打折力度为二次函数，如何通过图象来表示这个打折力度？2.呈现（10分钟）利用PPT展示二次函数图象的绘制方法，以及如何通过观察图象来分析二次函数的性质。
引导学生理解二次函数图象的特点，如开口方向、顶点位置等。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用PPT中的函数图象绘制工具，绘制一些二次函数图象，并分析其性质。
初中数学冀教版九年级下册30.2 二次函数的图像和性质 第1课时
第1课时
教学目标
1.能够利用描点法画出函数y＝±x2的图像,并根据图像认识和理解二次函数y＝±x2的性质,比较两者的异同.
2.让学生全身心地投入到数学活动中,能够积极与同伴合作交流,并进行探索活动,发展实践能力与创新精神.
教学重难点
二次函数y＝x2与y＝－x2的图像特点.
1.教材第31页练习第1,2题.
2.已知抛物线y＝ax2经过点A(－2,－8).
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)判断点B(－1,－4)是否在此抛物线上；
(3)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标.
四、课堂小结,提炼观点
本节课你发现自己还存在哪些不足？
五、布置作业,巩固提升
教材第31页习题A组、B组.
【教学难点】二次函数y＝x2源自图像特点的探索过程.课前准备
无
教学过程
教学过程
设计意图
一、设置问题,导入新课
1.同学们可以回想一下,一次函数的性质是如何研究的？(先画出一次函数的图像,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)
2.我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以,应先研究什么？(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图像)
对于1,在学生画函数图像的同时,教师要指导中下水平的学生,讲评时,要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点.对于两个函数图像的共同点以及它们的区别,可分组讨论、交流,让学生发表不同的意见,达成共识.两个函数的图像都是抛物线,都关于y轴对称,顶点坐标都是(0,0),区别在于函数y＝x2的图像开口向上,函数y＝－x2的图像开口向下.
3.一次函数的图像是什么？猜想二次函数的图像是什么？
冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》教学设计1
冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级下册《30.1 二次函数》是学生在学习了函数、方程、不等式的基础上，进一步探讨二次函数的性质、图像和应用。
本节课的内容主要包括二次函数的定义、一般式、顶点式、图像特点等。
教材通过丰富的例题和练习题，使学生能够熟练掌握二次函数的基本知识，并能够运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了函数、方程、不等式的基础知识，具备一定的逻辑思维能力和问题解决能力。
但对于二次函数的图像和性质的理解，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的定义、一般式、顶点式、图像特点等基本知识；2.过程与方法：培养学生运用二次函数解决实际问题的能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和一般式；2.二次函数的顶点式和图像特点；3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、讨论和实践，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的教学课件，包括图片、动画、例题等；2.练习题：准备适量的练习题，包括基础题、提高题和拓展题；3.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现二次函数的一般式、顶点式和图像特点，引导学生直观地感受二次函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给定的二次函数的性质，并进行实际操作，加深对二次函数的理解。
4.巩固（10分钟）让学生解答练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
5.拓展（10分钟）引导学生运用二次函数解决实际问题，培养学生的应用能力。
九年级数学下册第三十章二次函数30.2《二次函数的图像和性质(3)》教案(新版)冀教版
二次函数的图像和性质（3）教学目标知识与技能1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图像.2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.过程与方法1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.在学习y=ax2+bx+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想.情感态度进一步体由特殊到一般的化归思想，形成积极参与数学活动的意识.教学重点①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图像并能说出图像的性质.教学难点能利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像.教学过程一、情境导入，初步认识请同学们完成下列问题.1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式.2.写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标.3.画y=-2x2+6x-1的图像.4.抛物线y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的图像.5.二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何？【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k 的转化过程.二、思考探究，获取新知探究1 如何画y=ax2+bx+c图像，你可以归纳为哪几步？学生回答、教师点评：一般分为三步：1.先用配方法求出y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.2.列表，描点，连线画出对称轴右边的部分图像.3.利用对称点，画出对称轴左边的部分图像.探究2 二次函数y=ax2+bx+c图像的性质有哪些？你能试着归纳吗？探究3 二次函数y=ax2+bx+c在什么情况下有最大值，什么情况下有最小值，如何确定？学生回答，教师点评：三、典例精析，掌握新知例1 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴.∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为（6，12），对称轴是x=6.②y=-3x2-18x-22=-3(x2+6x)-22=-3(x2+6x+9-9)-22=-3(x+3)2+5.∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为（-3，5)，对称轴是x=-3.【教学说明】第②小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.例2 用总长为60m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l 是多少时，场地的面积S最大？①S与l有何函数关系？②举一例说明S随l的变化而变化？③怎样求S的最大值呢？解:S=l (30-l)=- l2+30l (0＜l＜30)=-( l2-30l)=-( l-15)2+225画出此函数的图像，如图.∴l=15时，场地的面积S最大（S的最大值为225)【教学说明】二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图像只能是抛物线的一部分.四、运用新知，深化理解1.（北京中考）抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为（）A.(3，-4)B.(3，4)C.(-3，-4)D.(-3，4)2.（贵州贵阳中考）已知二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图像如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A.有最小值5、最大值0B.有最小值-3、最大值6C.有最小值0、最大值6D.有最小值2、最大值63.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，图像经过点（-1，2）和（1，0），且与y 轴相交于负半轴.(1)给出四个结论：①a＞0;②b＞0;③c＞0；④a+b+c=0.其中正确结论的序号是 .(2)给出四个结论:①abc＜0;②2a+b＞0;③a+c=1;④a＞1.其中正确结论的序号是 .【教学说明】通过练习，巩固掌握y=ax2+bx+c的图像和性质.【答案】1.A 2.B 3.(1)①④ (2)②③④五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评：（1）用配方法求二次y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴；（2）由y=ax2+bx+c的图像判断与a，b，c有关代数式的值的正负；（3）实际问题中自变量取值范围及函数最值.。
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30.2二次函数的图像和性质
第1课时二次函数y=ax 2的图像和性质
1．会用描点法画出y ＝ax 2
的图像，理解抛物线的概念．
2．掌握形如y ＝ax 2的二次函数图像和性质，并会应用．
一、情境导入
自由落体公式h ＝12
gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图像是什么形状呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数y ＝ax 2的图像【类型一】图像的识别
已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图像有可能是()
解析：本题进行分类讨论：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2
的图像开口向上，函数y ＝ax 图像经过一、三象
限，故排除选项B ；(2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2的图像开口向下，函数y ＝ax 图像经过二、四象限，故排除
选项D ；又因为在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图像必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.
方法总结：分a ＞0与a ＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”．【类型二】实际问题中图像的识别
已知h 关于t 的函数关系式为h ＝1
2gt 2(g 为正常数，t 为时间)，则函数图像为()
解析：根据h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2，其中g 为正常数，t 为时间，因此函数h ＝12
gt 2图像是受一定实际范围限制的，图像应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.
方法总结：在识别二次函数图像时，应该注意考虑函数的实际意义．
探究点二：二次函数y ＝ax 2的性质【类型一】利用图像判断二次函数的增减性
作出函数y ＝－x 2的图像，观察图像，并利用图像回答下列问题：
(1)在y 轴左侧图像上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比较y 1与y 2的大小；
(2)在y 轴右侧图像上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与y 4的大小；
(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？
解析：根据画出的函数图像来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．
解：(1)图像如图所示，由图像可知y 1＞y 2，(2)由图像可知y 3<y 4；(3)在y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，
在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小．
方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】二次函数的图像与性质的综合题
已知函数y ＝(m ＋3)xm 2＋3m －2是关于x 的二次函数．
(1)求m 的值；
(2)当m 为何值时，该函数图像的开口向下？
(3)当m 为何值时，该函数有最小值？
(4)试说明函数的增减性．
解析：(1)m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，
故可求m 的值．(2)图像的开口向下，则m ＋3＜0；
(3)函数有最小值，则m ＋3＞0；
(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．
解：(1)根据题意，m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，m 1＝－4，m 2＝1，m ≠－3.
∴当m ＝－4或m ＝1时，原函数为二次函数．(2)∵图像开口向下，∴m ＋3＜0，∴m ＜－3，∴m ＝－4.∴当m ＝－4时，该函数图像的开口向下．
(3)∵函数有最小值，∴m ＋3＞0，m ＞－3，∴m ＝1，∴当m ＝1时，原函数有最小值．
(4)当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2，开口向下，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x
＞0时，y 随x 的增大而减小．
当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2，开口向上，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，
y 随x 的增大而增大．
方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a ＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a ＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．
探究点三：确定二次函数y ＝ax 2的表达式
【类型一】利用图像确定y ＝ax 2的解析式
一个二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像经过点A (2，－2)关于坐标轴的对称点B ，求其关系式．
解析：坐标轴包含x 轴和y 轴，故点A (2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A (2，－2)关于x 轴的对称点B 1(2，2)，点A (2，－2)关于y 轴的对称点B 2(－2，－2)．
解：∵点B 与点A (2，－2)关于坐标轴对称，∴B 1(2，2)，B 2(－2，－2)．当y ＝ax 2的图像经过点B 1(2，
2)时，2＝a ×22，∴a ＝12，∴y ＝12x 2；当y ＝ax 2的图像经过点B 1(－2，－2)时，－2＝a ×(－2)2，∴a ＝－12
，∴y ＝－12x 2.∴二次函数的关系式为y ＝12x 2或y ＝－12
x 2.
方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．
【类型二】二次函数y ＝ax 2的图像与几何图形的综合应用
已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求：
(1)a ，b 的值；
(2)函数y ＝ax 2的图像的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标．
解析：直线与函数y ＝ax 2的图像交点坐标可利用方程求解．
解：(1)∵点A (1，b )是直线与函数y ＝ax 2图像的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴
b ＝a ×12，b ＝2×1－3，a ＝－1，b ＝－1.
(2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2
＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)．
【类型三】二次函数y ＝ax 2的实际应用
如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM 为3m，跨度AB ＝6m.
(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；
(2)一艘小船上平放着一些长3m，宽2m 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？
解析：可令O 为坐标原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关
系式为y ＝ax 2.由题意可得B 点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线
的函数关系式去探究其他问题．
解：(1)以O 点为坐标原点，平行于线段AB 的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线
的函数关系式为y ＝ax 2.由题意可得B 点坐标为(3，－3)，∴－3＝a ×32，解得a ＝－13
，∴抛物线的函数关系式为y ＝－13
x 2.(2)当x ＝1时，y ＝－13×12＝－13.∵OM ＝3，∴木板最高可堆放3－13＝83
(米)．方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想．三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2的图像与性质，体会数学建模的
数形结合的思想方法.。