用向量法求空间距离

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巧用向量法求空间距离

巧用向量法求空间距离核心知识点：点到平面距离的向量求法如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ，过点P作平面α的垂线PO ，记PA 和平面α所成的角为θ，则点P 到平面的距离||||||||sin ||||||||n PA n PA d PO PA PA n PA n θ••====说明：（1）运用向量法求解空间距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对应的向量，然后计算这个向量的模。

（2）对空间中的两种距离的认识a 面面距。

与两平行平面同时垂直的直线叫做两个平面的公垂线。

公垂线夹在两平行平面之间的部分叫两个平面的公垂线段。

两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面之间的距离。

b 空间中两条异面直线的距离、直线到平面的距离、两个平面的距离都可转化为点面距。

2，则AD 的长为（）A 4B 2C 3D 【答案】D【解析】方法一：建立如图所示的坐标系，据题意知，A （2，0，0），D （0，2，2），(AD (222)AD ∴=-∴=-=，，方法二：AD=AB+BC+CD ∵，2222()2+2+2122222AD =AB +BC +CD +AB BC+AB CD+BC CD =⋅⋅⋅＝，∴||23AD =∴方法三：如图所示，把AB ，BC ，CD 看成为一个正方体的三条棱，由勾股定理得：AD ==总结提升：求空间两点间距离的方法，且AS=AB=AC=2，D 是SA 的中点，则点D 到BC 的距离为____________。

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系A ，则D （0，0，1），B （2，0，0），C （0，2，0），()()BD 201BC 220∴=-=-，，，，，，∴BD 在BC 上的投影长为|BC BD |BC⋅==故D 到BC 的距离为(2BD 2-=总结提升：1 点到直线距离的求法如图，PB ⊥，垂足为B ，则PB 的长度即为P 到的距离，在不易确定垂足B 的情况下，可在上另取一点A ，则AB 为AP 在AB 上的投影，故|AP AB |AB .AB⋅=在Rt △PAB 中，有22BP AP AB =-，即P 到的距离2AP AP ||.AB-2 因此求点P 到直线的距离可分以下几步完成：（1）在直线上取一点A ，同时确定直线的方向向量n.，并求0n n .n=（2）计算直线上点A 与已知点P 对应的向量AP. （3）计算AP 在0n 的投影（4）由公式220d AP |AP n |=-⋅ 求距离。

向量距离公式

向量距离公式
向量距离公式是一个用于计算两个向量之间的距离的数学公式。

在机器学习和数据科学中，向量距离公式被广泛地应用于聚类、分类和回归等领域。

在向量空间中，两个向量之间的距离可以使用多种方法进行计算。

其中，欧几里得距离是最常用的方法之一。

欧几里得距离公式计算的是两个向量之间的几何距离，它的计算公式如下：
```
d(x,y) = sqrt(sum((x_i - y_i)^2))
```
其中，`x`和`y`是两个向量，`x_i`和`y_i`是它们对应的元素。

`sqrt`表示平方根运算，`sum`表示求和运算。

另外，曼哈顿距离也是常用的距离计算方法之一。

曼哈顿距离公式计算的是两个向量之间的城市街区距离，它的计算公式如下：
```
d(x,y) = sum(abs(x_i - y_i))
```
其中，`x`和`y`是两个向量，`x_i`和`y_i`是它们对应的元素。

`abs`表示绝对值运算，`sum`表示求和运算。

除了欧几里得距离和曼哈顿距离外，还有其他的向量距离公式，如闵可夫斯基距离、切比雪夫距离等。

根据具体应用场景和需求，选择不同的向量距离公式可以更好地满足需要。

用向量法求空间距离

用向量法求空间距离湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、求两点之间的距离用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是AD 1的中点，Q 是BD 上一点，DQ=41DB ，求P 、Q 两点间的距离.解如图1，以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则0)4141(Q )21021(，，、，，P ，所以)21－4141(－，，=.46=,即P 、Q 两点的距离为46. 二、求点到直线之间的距离已知如图2，P 为直线a 外一点，Q 为a 上任意一点，PO ⊥a 于点O ，所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d .则有><⋅=⋅cos ，所以cos >=<故><⋅=∠⋅==QP PQO PQ PO d sin sin=⋅==xa图2例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO 1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O 1(0，0，2).所以0)32－(AC 2)02－(AO 1，，，，，==. 故d =13286213168=-= 所以点O 1到直线AC 的距离为132862. 三、求点到平面的距离如图4设A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d，所以d ==><⋅=cos .例3 如图5，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点，N 为AC 与BD 的交点，求点B 到平面CMN 的距离. 解如图5，以CE CB CD 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz.因为AB=2，AF=1，所以)12222(CM ，，=，)02222(CN ，，=)02(0CB ，，=设平面CMN 的法向量为)(x z y ，，=，则有图4yxx⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n CM 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++0222202222y x z y x 令x=1,得y=-1，z=0，所以)01(1，，-=.所以点B 到平面CMN的距离1==d .四、求异面直线间的距离如图6，假设a 、b 是异面直线，平移直线a 至a ′且交b 于点A ，那么直线a ′和b 确定平面α，且直线a ∥α，设n ⊥a ,n ⊥b ，即n 为异面直线a 、b 的公垂线的方向向量.所以异面直线a 的b 的距离等于直线a 上任意一点至平面α的距离.若F ∈a ，E ∈b ，则异面直线a 、b之间的距离d =⋅=><⋅=cos ，即为异面直线a 、b 之间的距离.例4 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1C 1与B 1C 的距离. 解如图7所示，以1DD DC DA 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则有1)01－(C B 0)11－(C A 111－，，，，，==.设B C A 111与的公垂线的方向向量为)(x z y ，，=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0B 0111C n C A n 即⎩⎨⎧=--=+-00z x y x 令x=1,得y=1，z=-1，所以)11(1-=，，又)010(11，，=B A ，x所以A 1C 1与B 1C的距离3331===d . 五、求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离求直线与它平行平面及两个平行平面之间的距离可以转化为求点到平面的距离，即运用d =求它们之间的距离.例5 如图8，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 、N 、E 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1 C 1D 1的中点.求平行平面AMN 与平面EFDB 的距离. 解以1CC 、、所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ，则0)0(1)121(0)1021(，，，，，，，，=-=-=.设平面EFDB 的法向量为)(x n z y ，，=，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-021021z y z x 取1=z ,则2==y x ，所以)12(2，，=，所以平行平面AMN 与平面EFDB的距离32==d .x。

用向量法求空间距离

ABC Dmn1图向量法求空间距离向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。

1.异面直线n m 、的距离分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在上的射影长，即||n d =证明：如图1，设CD 为公垂线段，取b a ==,||||)(⋅=⋅∴⋅++=⋅∴++=||||||n n AB d ⋅==∴2平面外一点P 到平面α的距离如图2，先求出平面α的法向量，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长，即||n d =因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。

再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。

一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。

[例 1] 如图3，已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离。

图2A BC M N1A 1B1C 图3几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法：解：当1AB MN ⊥时，如图4 ，、)0,0,0(A)81,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ，则)2,0,0(),0,43,43(),81,41,43(1==-=AA AM MN ，设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直，则有)0()1,1,3(8),81,83(81830434********>-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+=++-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥z zz z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是5521)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||22201011011=+-+-⋅==><⋅=AA n AA AA d [例2]如图5，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知2=AB ，,51=AA E 、F 分别为D D 1、B B 1上的点，且.11==F B DE （Ⅰ）求证：⊥BE 平面ACF ；（Ⅱ）求点E 到平面ACF 的距离.分析：题中几何体易找到共点且相互垂直的三个基向量，故可通过建立空间直角坐标系来达到解题目的。

高二数学空间向量解决空间距离问题

a
b
P
AP ?
n?

A
n 是与 a, b 都垂直的向量
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：直线到平面的距离：平面到平面的距离：
d
| AP n | n
异面直线的距离：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (1) 求B1到面A1BE的距离；
A x
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。
z
D1
E
C1
A1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (2) 求D1C到面A1BE的距离；
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
C
x
A M
B
y
练习6：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点， z G 求点B到平面GEF的距离。
x
F
D
C
A
E
B
y

立体几何中的向量方法(距离问题)

n
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
A O
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
总结：平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点
3、点到直线的距离：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
点P与直线l的距离为d , 则
d AP sin AP, a
a
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
1 3
EG
2x 2y 2x 4
0 y 2Z
,1) ,BE (2,0,0)
F
0
A
E
d | n BE| 2 11 .
B
y
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
11
例 2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，
E为D1C1的中点，(1)求点E到直线A1B的距离.
解 : 建立坐标系.
A1E
=
(-1,
1 2
,
0),
A1B
=
(0,1,
-1)
cos A1E, A1B
1 10
z
sin A1E, A1B
3 10
D1
E
C1
点E到直线A1B的距离为 A1
B1
d
A1E sin A1E,

向量法求空间的距离和角

所以异面直线BD与D1A间的距离为
3 。 3
(2) A1 B1 = (0,1, 0), 设n = ( x, y, z )是平面A1DB的一个法向量，因为DA1 = (1, 0,1), DB = (1,1, 0)， ì ì x +z = 0 nDA1 = 0 镲由眄即取x = - 1, 镲 î x+y =0 î nDB = 0 | nA1 B1 | 1 2 于是n = (-1,1,1, )，且 = = 。 2 |n| 2 2 所以点B1到平面A1 BD的距离为。 2
例1：如图1所示：三棱柱ABC - A1 B1C1中，CA=CB， AB = AA1， ? BAA1 60o，（ 1）求证：AB^ A1C （2）若平面ABC ^ 平面AA1 B1 B， AB =CB，求直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值。
C C1
B A A1
B1
图1
C
C1
O
B A1
Z
解：由(1)知OC ^ AB，OA1 ^ AB，又平面ABC ^ 平面AA1 B1 B，交线为AB，所以OC ^ 平面AA1 B1 B，故OA、OA1、OC两两相互垂直。建立如图所示的空间直角坐标系 A
O
C
C1
B A1
B1 图1-2
X o - xyz 设AB = 2,由题设知A(1, 0, 0)、B(- 1, 0, 0)、C (0, 0, 3)、A1 (0, 3, 0), 则BC = (1, 0, 3)、 BB1 = AA1 = (- 1, 3, 0)、 A1C = (0, - 3, 3). 设n = ( x, y, z )是平面BBCC的法向量，则 ì x + 3z = 0 ì nBC = 0 镲即可取n = ( 3,1, -1)，眄镲 î nBB1 = 0 î - x + 3y = 0 nA1C 10 故 cos < n, A1C >= =. 5 | n | ×| A1C |

向量法求空间距离课件

x
A
于是点C1到平面A1BD的距离为d=
C1D n n
2 3 = 3
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
D
y
FB 0, 2,0
d FB n n
2 11 11
C E （2,0,0） A
x
（4,4,0） B F （4,2,0）
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
4.总结：点到平面距离的求解步骤
第一步：找最佳原点，建立空间直角坐标系。第二步：在坐标系下找到对应点的坐标：（1）点B的坐标（或直线或平面上任一点的坐标）；（2）平面α 内任意一点A的坐标；（3）平面α 内最少其他任意两点的坐标（为了求平面α 的法向量）。第三步：连接BA,求出 BA 的坐标。第四步：求平面α的法向量：（1）求出平面α内两条相交直线所在向量的坐标；（2）令这两个向量分别与未知的法向量相乘并得0；（3）得到两个三元一次不定方程组，令其中一个变量为1，求出另两个变量，即可得到平面α的法向量。第五步：将向量 BA 与法向量 n 代入公式： x BA n d n
以上都可以转化为：点到平面的距离的求解问题。
P

A
高中数学系列微课的理论与实践研究课题组
2.点到平面距离的向量计算公式如图 A ,空间一点 P 到平面的距离为 d PA 已知平面的一个法向量为，且 n
与 n 不共线，能否用 PA 与 n 表示 d ？
分析：过 P 作 PO 于O , 则d PO PA cos APO.
则E 2， 0， 0 , F 4, 2， 0，G 0， 4， 2
B(4, 4,0), FB 0， 2， 0
D

《空间向量及其运算》距离

AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的角为，则点P到平面的距离 n
P
d PO PA sin
1
A
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6倍。
思考： (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
A1 B1 D C
D1
C1Βιβλιοθήκη (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离）
补充作业：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点， z G 求点B到平面GEF的距离。
x
F
D
C
A
E
B
y
4.异面直线的距离:
①作直线a、b的方向向量a、 b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量； ②在直线a、b上各取一点 A、B，作向量AB； ③求向量AB在n上的射影 d，则异面直线a、b间的距离为
1 解:∵ D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 设 n ( x , y , z )是与 A1 E , D1 B都垂直的向量， A1 1 则 n A E 0, 1 x y 0, y 2 x , 2 即 z 3 x, n D1 B 0, x y z 0, 取x＝1，得其中一个n (1, 2, 3) A 选A1 E与BD1的两点向量为 D1 A1 1, 0, 0 , D1 A1 n 14 得A1 E与BD1的距离 d 14 n

空间向量的两个距离公式

空间向量的两个距离公式在空间向量的表示方法中，距离是一个重要的概念，它能够衡量两个空间点之间的距离。

因此，空间向量的距离公式及其计算方法一直是空间知识的重要组成部分。

本文将重点介绍空间向量的两个距离公式，即欧几里得距离公式和曼哈顿距离公式，以及这两个距离公式的的应用。

一、欧几里得距离公式欧几里得距离公式又称欧氏距离公式，是由意大利数学家欧几里德提出的一种距离度量方法。

欧几里得距离公式表示两个空间点之间的距离为它们之间每个坐标轴上的距离平方和的根号，它具有以下形式：d(x1, x2) =((x1-x2) + (y1-y2) + (z1-z2)).在欧几里得距离公式中，x1, x2, y1, y2, z1, z2代表两个空间点在坐标轴上的坐标值，一般在二维空间中，只用到x，y轴的坐标；在三维空间中，参与计算的坐标值有三个：x，y，z；在更高维的空间中，需要用到多个轴的坐标值。

欧几里得距离公式最常用的应用就是用来计算向量空间中的所有点到原点之间的距离，可以说欧几里得距离公式是一种最简单、最有效的距离度量方法，它广泛应用于统计学、机器学习等领域。

二、曼哈顿距离公式曼哈顿距离公式是欧几里得距离公式的一个变种，它是将欧几里得距离改为曼哈顿距离，曼哈顿距离也被称为曼哈顿距离和布尔曼距离，它表示两个空间点之间的距离为每个坐标轴上的距离的绝对值之和。

曼哈顿距离公式具有以下形式：d(x1, x2) = |x1-x2|+|y1-y2|+|z1-z2|曼哈顿距离公式和欧几里得距离公式在表达上有较大区别，它们两个的计算结果也有较大差异，曼哈顿距离的形式更加简洁，实用性更强。

它的应用最广泛的用途就是用来描述两个点之间的中心距离，比如说二维坐标系中的两个点之间的中心距离，曼哈顿距离能够准确的表达出其实际的距离，而不用像欧氏距离那样考虑每个坐标轴的距离平方和。

曼哈顿距离公式主要应用于模式识别领域，它定义了特征空间中两个特征向量之间的相似性，以及类之间或者对象之间的距离，它更多的用于处理图像识别、语音识别、视觉编程等。

向量法求解空间距离与空间角

向量法求解空间距离与空间角要求能掌握用向量法解决空间距离与空间角问题。

一、空间向量与空间距离由向量的数量积||||cos AB b AB b θ⋅=⋅可知，向量AB 在向量b （直线l 的方向向量）方向上的射影（投影）是||cos ||AB b AB b θ⋅=，也就是说向量AB 在向量b （直线l 的方向向量）方向上的射影（投影）是线段AB 在直线l 上射影线段的长。

1、点面距离公式：平面α的法向量为n ，P 是平面α外一点，点M 为平面α内任一点，则P 到平面α的距离d 就是MP在向量n 方向上射影的绝对值，即||||n MP d n ⋅=。

2、线面距离公式：平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，P ∈直线l ，点M 为平面α内一点，则直线l 与平面α的距离d 就是MP 在向量n 方向上射影的绝对值，即||||n MP d n ⋅=。

3、面面距离公式：平面α∥平面β，平面α的法向量为n，点M 为平面α内一点，点P 为β平面β内一点，则平面α与平面β的距离d就是MP 在向量n 方向上射影的绝对值，即||||n MP d n ⋅=。

4、向量法求解距离问题的步骤： ① 建立适当的空间直角坐标系；② 将相应线段及平面的法线等用向量或坐标表示出来； ③ 利用向量的相应距离公式求解。

5、典例评析：例1、（03广东）已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AA 1=2，点E 是CC 1的中点，F 是BD 1中点。

（1）证明：EF 是BD 1与CC 1的公垂线；（2）求点D 1到面BDE 的距离。

二、空间向量与空间的角 1、异面直线所成的角：异面直线a 、b 的方向向量分别为m 、n，其向量的夹角为θ，直线a 、b 的所成的角为α，(0,]2πα∈，则||cos |cos |||||m n m n αθ⋅== ，即||cos ||||m n arc m n α⋅=。

高二数学空间向量解决空间距离问题

z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
z
D1
A1
C1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (4) 求异面直线D1B与A1E的距离.
P
n
d
O
| AP n | d n

A
其中 AP 为斜向量， n 为法向量。
二、直线到平面的距离
| AP n | d n
A
l
P
d
O
n
其中 AP 为斜向量， n 为法向量。
三、平面到平面的距离
n
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平面DBEF的距离。 z D1 F C
1
A1 D
B1
E C y B
A x
练习2：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。 z D1 A1 D B B1 C y C1
D1
C1
B1
C
B
y
x
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴， DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示 1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 z 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 E D1 C1 设 n ( x, y , z )是与 A1 E , D1 B都垂直的向量， 1 A1 则 B1 n A E 0, x y 0, 1 2 n D1 B 0, x y z 0, D y 2 x, C 即取 x＝1，得其中一个 n (1, 2, 3) z 3x, B 选 A1 E与 BD1的两点向量为D1 A1 1, 0, 0 , A D1 A1 n 14 得A1E与BD1的距离 d 14 n

3.2.3空间距离的向量求法

DB (2,2,0), DN (0,1,2),
设平面BDMN的一个法向量为
z
n ( x, y, z), 则
2 x 2 y 0 n (2, 2,1), y 2z 0
x
O
y
| AB n | | 2 (2) | 4 d . 2 2 2 n 3 2 (2) 1
P d O
n

PA n ( PO OA) n PO n,
| PA n || PO n || PO || n |
| PA n | | PA n | PO ，即d n n
例1.已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF 的距离。
n
| PA n | ★所以计算公式还是: d n
例2.
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F,M,N 分别为A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点. 求平面AEF和平面BDMN的距离.
解： (2)如图建立空间直角坐标系,则A(2,0,0), B(2, 2,0), N (0,1, 2), AB (0, 2,0),
解:∵BD//平面C1MN, ∴只需求点B与平面C1MN的距离，如图建立直角坐标系,则B(2,2,0), M (1, 2,0), N (0,1,0), C1 (0, 2, 2),
NM (1,1, 0), NC1 (0,1, 2) BM (1, 0, 0)
z
y x
x y 0 x 2z , 令z 1, 则n (2, 2,1), y 2 z 0 y 2 z | n BM | | (1) 2 | 2 d . |n| 22 (2) 2 12 3

立体几何中的向量方法-—求空间距离

立体几何中的向量方法------距离问题一、求点到平面的距离 1．（一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离.在PAO Rt ∆中，θθsin ||||sin AP d AP =⇒=又|||||sin n AP n AP =θ||n d =∴（其中AP 为斜向量，n 为法向量）二、直线到平面的距离转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为斜向量，n 为法向量）三、平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：||n d =AP 为斜向量，n 为法向量）四、异面直线的距离如图，异面直线也是转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为两条异面直线上各取一点组成的向量，n 是与b a ,都垂直的向量）例1．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 为11D C 的中点，求下列问题：（1）求1B 到面BE A 1的距离；解：如图，建立空间直角坐标系xyz D -，则•αOP),1,1,0(),0,21,1(11-=-=∴B A E A ，设),,(z y x n =为面BE A 1的法向量则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0210011z y y x B A n E A n 取1=x ，得2,2==z y ，)2,2,1(=∴n选点1B 到面BE A 1的斜向量为)0,1,0(11=B A 得点1B 到面BE A 1的距离为32||11==n d （2）求C D 1到面BE A 1的距离；)2,2,1()1(:1=n BE A 的法向量知平面由解)0,0,1(11=A D 斜向量 311111==∴nn A D d BE A D 的距离为到面点 (3) 求面DB A 1与面11CB D 的距离；)1,1,1(:11-==AC n BD A 的法向量为由图知平面解)0,0,1(11=A D 又斜向量 311111==∴nn A D d BD A D 的距离为到面点 33111的距离为与即面CB D BD A (4) 求异面直线B D 1与E A 1的距离.xyz D -系如图建立空间直角坐标解:)1,1,1(),0,21,1(11-=-=∴B D E Axxxx111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)2D B AE 则B D E A z y x n 11,),,(是与设=都垂直的向量，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅x z x y B D n E A n 320011，取1=x ，得一个法向量为)3,2,1(=n 选11BD E A 与的两点向量)0,0,1(11=A D得11BD E A 与的距离为1414||11==n n A D d 练习1：1．如图在直三棱柱111C B A ABC -中，1==BC AC ,∠ACB 面BC A 1的距离.2．已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求平面11C DA 和平面C AB 1间的距离3．已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求直线1DA 和AC 间的距离。

用向量方法求空间中的距离

ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究四
【典型例题 1】如图,正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD,ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< 2). (1)求 MN 的长; (2)当 a 为何值时,MN 的长最小? 思路分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,利用向量的模求出两点间的距离,再用函数的性质来求最值.
探究一
探究二
探究四
探究一求两点间的距离
计算两点间的距离的基本方法: (1)把线段用向量表示,然后利用|a|2=a·a,通过向量运算求|a|. (2)求解的图形适宜建立空间直角坐标系时,可用坐标法求向量的长度 (或两点间距离).
-5-
1.1 DNA重组技术的基本工具
探究三
首页
J 基础知识 Z 重点难点
|PA·��| . |��|
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
思考 1 如何求线面距离和面面距离? 提示:线面距离、面面距离都可以转化为点到面的距离. 思考 2 如果 n 与 l 垂直,且 l 过点 A,如何求点 P 到直线 l 的距
离? 提示:点 P 到 l 的距离为��在 n 上的投影的绝对值,即 d=
|PA·��| . |��|
-4-
1.1 DNA重组技术的基本工具

空间向量解决空间距离问题

一、求点到平面的距离
P
一般方法：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
d
sin
AP
d | AP | sin
P
n
| AP n |
sin
d
AP n
d | AP n | n
O
A
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
二、直线到平面的距离
(4) 求异面直线D1B与A1E的距离.
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平面DBEF的距离。
z
D1 F
C1
A1
E B1
D A
x
C y
B
练习2：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。
l
d | AP n | n
P
n
d
O A
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
d | AP n |
n
A
n
P
d O
四、异面直线的距离
d | AP n | a n
AP ?
b
n?
A
n 是与 a, b 都垂直的向量
n
P
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
z
D1