2.2_拉普拉斯变换
2第二章拉普拉斯变换及其应用
斜坡函数的定义式为：
f
(t)
0 Kt
(t 0) (t 0)
式中k为常数
在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。
在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。同理，
根据拉氏变换的定义式有：
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2.1 拉氏变换的概念
F (s) LKt Ktestdt 0
L
f
(t
)(dt
)2
F(s) s2
L
n
f
(t)(dt)n
F(s) sn
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2.2 拉氏变换的运算定理
上式同样表明，在零初始条件下，原函数的重积分的拉氏式等 于其象函数除以。它是微分的逆运算，与微分定理同样是十分 重要的运算定理。
五、位移定理 L et f (t) F(s )
即
0
(t)dt lim 0
0
(t)dt 1
（2.2）
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2.1 拉氏变换的概念
在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号。 它的变换式由式（2.1）有
F (s) L (t) (t)estdt 0
lim
0
0
(t
)e
st
dt
(t
)e
st
dt
存在（收敛），应满足下列条件：
当 t 0 ， f (t) 0 ；
当 t 0 ， f (t) 分段连续；
当 t ，est 较 f (t) 衰减得更快。
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2.1 拉氏变换的概念
由于
f (t)est dt
0
是一个定积分，t 将在新函数中消失。
因此， F(s) 只取决于s，它是复变数s的函数。拉氏变换将原
拉普拉斯变换
Lt tesd tt1tdest
0
s0
1 te s t 1 e sd tt 1e s t 1
s 0 s0
s2 0 s2
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(4) 指数函数
指数函数表达式：
式中：a是常数。
f (t)eat
其拉普拉斯变换为：
L e a t e ae tsd tt e (s a )td t1
2.2.4 拉普拉斯变换的根本性质
(3) 微分定理
推广到n阶导数的拉普拉斯变换：
L dn dftn (t) snF(s)sn 1f(0)sn2f(0) s(fn2-()0)f(n1-()0)
假如：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即
f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( n 2 ) ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 ) 0
解：
G(s)＝s2+1＝( +j)2 + 1 ＝ 2 + j(2 ) - 2 + 1
＝( 2 - 2 + 1) + j(2 )
复变函数的实部 u221
复变函数的虚部 v2
拉普拉斯变换
2.2.2 拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是控制工程中的一个根本数学方法，其
优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变
0f1(t)f2()df1(t)f2(t)
称为函数 f1(t)与f2(t) 的卷积
拉普拉斯变换
2.2.5 拉普拉斯反变换 (1) 拉普拉斯反变换的定义
将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之 为拉普拉斯反变换。其公式：
f(t) 1 ajF(s)eadt s 2πjaj
第2章 2.1拉普拉斯变换
注意：在某一域内复 变函数 F(s) 及其所有 导数皆存在，则称该 复变函数 F(s) 在该域 内是解析的。
∞ −( s +a )t
L[ f (t )] = ∫ Ae e dt = ∫ Ae
0
dt
A −(s+a )t ∞ A =− e = 0 s+a s+a
在复平面上 有一个极点
为使积分收敛，这里假设(s+a)的实部大于零
1 = s + 0.5
2.2 拉普拉斯变换
Laplace变换的主要定理 三. Laplace变换的主要定理 5. 微分定理
若
L[ f (t )] = F ( s )
∞
则
df (t ) L[ ] = sF (s) − f (0) dt
df (t ) df (t ) −st 证明 L[ ]=∫ e dt dt dt 0
1 jωt − jωt sin ωt = (e − e ) jωt 2j e = cos ωt + j sin ωt 1 jωt e − jωt = cos ωt − j sin ωt cos ωt = (e + e − jωt ) 2 ω 1 1 1 1 ( s + jω ) − ( s − jω ) L[ sin ωt ] = − = = 2 2 j s − jω s + jω 2 j ( s − jω ) ( s + jω ) s + ω2
− at
复频域位移-------时域指数乘积
2.2 拉普拉斯变换
Laplace变换的主要定理 三. Laplace变换的主要定理 4. 时间比例尺定理
若
L[ f (t )] = F ( s )
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号和系统分析中广泛应用的数学工具。
它将一个函数从时域转换到频率域，可以用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
拉普拉斯变换公式是拉普拉斯变换的基本公式之一，用于将函数从时域表示转换为频域表示。
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt其中，F(s)表示拉普拉斯变换后的函数，s是一个复数，而f(t)是原始函数。
在上述公式中，∫[0,∞]表示对t从0到正无穷之间的所有值进行积分。
e^(-st)是指数函数，s是一个复数参数，t是自变量。
f(t)是原始函数，也被称为拉普拉斯变换的原函数。
通过拉普拉斯变换公式，我们可以将一个函数从时域转换到频域。
这意味着我们将原始函数用复指数函数（e^(-st)）的积分来表示。
在复平面上，s可以表示为s = a + jb，其中a和b都是实数，a是实部，b是虚部。
拉普拉斯变换公式可以用于解决许多信号和系统分析的问题。
例如，我们可以使用拉普拉斯变换来解决线性微分方程。
通过将微分方程转换为拉普拉斯域，我们可以将微分方程转换为代数方程，从而更容易地解决。
此外，利用拉普拉斯变换可以方便地计算系统的冲激响应和频率响应。
在应用拉普拉斯变换时，有几点需要注意。
首先，原始函数f(t)必须满足一定的条件，如函数在一个有界的时间段内存在或函数在正向无穷大时的极限存在。
其次，拉普拉斯变换是线性的，即对于给定的常数a和b，拉普拉斯变换遵循以下性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。
此外，拉普拉斯变换公式还有许多相关的性质和定理，如初始值定理、最终值定理、微分定理和频移定理等。
这些性质和定理为我们在实际应用中提供了方便和灵活性。
总结起来，拉普拉斯变换公式是将一个函数从时域表示转换到频域表示的基本公式之一、它在信号和系统分析中广泛应用，用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
2.2 Laplace变换基础
3
2.2.3 拉氏变换的基本定理
（1）线性定理。两个函数和的拉氏变换等于两个函数 拉氏变换的和，即： L[ f 1 (t ) + f 2 (t )] = L[ f 1 (t )] + L[ f 2 (t )] = F1 ( s ) + F2 ( s ) （2-26） 函数放大倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的倍，即： L[ Kf (t )] = KF ( s ) （2-27） （2）微分定理。函数求导的拉氏变换，等于函数拉氏 变换乘以的求导次幂（初始条件需为零）。即当初始 L[ f ' (t )] = sF ( s ) 。 条件 f (0) = 0 时， 同理，若初始条件为： f (0) = f ' (0) = ⋯ = f ( n −1) (0) = 0 （2-28）
2.2 Laplace变换基础
控制系统的微分方程，是在时域中描述系统动态性能 的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分 方程可以得到系统的输出响应，这种方法比较直观， 尤其是借助于电子计算机，可迅速而准确地求解结果。 但是，如果系统中某个参数变化或者结构形式改变， 则需要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行 分析与设计。用拉氏变换将线性常微分方程转化为易 处理的代数方程，可以得到系统在复数域中的数学模 型，称为传递函数。它不仅可以表征系统动态特性， 而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影 响。经典控制理论广泛应用的频率法和根轨迹法，就 是在传递函数基础上建立起来的。因此，拉氏变换成 为自动控制理论的数学基础。
6/15/2011 3:02:58 PM
4
∫
∞ 0
f (t )e − st dt
6/15/2011常用函数的拉氏变换
实用中，常把原函数与象函数之间的对 应关系列成对照表的形式。通过查表， 就能够知道原函数的象函数，或象函数 的原函数，常用函数的拉氏变换的对照 表如表2-1所示。
拉普拉斯变换(上海大学课件教材)
则： Lf1(t) f2 (t) F1(s) F2 (s)
证明： Lf1(t) f2 (t)
0
f1
(t
)
f
2
(t
)
e
st
dt
0 f1
(t )e st dt
0
f
2
(t
)e
st
dt
上海大学 机电工程与自动化学院
F1(s) F2 (s)
如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即
f (0) f (0) f (0) f (n2) (0) f (n1) (0) 0
则：
L
d
nf dt
(t
n
)
s
n
F
(
s)
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2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质
(4) 积分定理
若： L f (t) F(s)
序号
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s) = L[f(t)]
13
1 a
(1-e -at )
1 s(s+a)
14
1
b-a
(e -at -e -bt )
1 (s+a) (s+b)
15
1
b-a
(be
-bt
-ae
–at
)
s (s+a) (s+b)
16
sin(t + )
cos + s sin s2+2
时域分析法
求解数学模型微分方程，获得系统 输出随时间变化的规律。
频域分析法
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号处理和控制系统中常用的数学工具，广泛应用于电路分析、线性系统分析、图像处理等领域。
拉普拉斯变换将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而方便对信号进行分析和处理。
在数学上，拉普拉斯变换可以理解为傅里叶变换的一种推广形式。
设函数f(t)在t≥0上有定义且满足一些条件，拉普拉斯变换定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt,其中，s为复频域变量，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的主要特点是将常微分方程和时间域中的卷积运算变换为代数运算和复频域中的乘法运算，从而简化了分析和求解的过程。
1. 线性性质：对于任意常数a和b，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s)+ bG(s)；2. 平移性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则e^(-at) f(t)的拉普拉斯变换为F(s+a)；3. 倍增性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则f(at)的拉普拉斯变换为F(s/a)；4. 初值定理：若f(t)在t=0时有界且存在有限初值f(0)，则F(s)= lim(s→∞) sF(s) + f(0)；5. 终值定理：若f(t)在t→∞时有界，则lim(t→∞) f(t) =lim(s→0) sF(s)。
1.线性系统分析：通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换成代数方程，从而便于对系统的稳定性、传递函数等进行分析；2.电路分析：拉普拉斯变换可以方便地求解电路的电压、电流等时间域特性，进一步可用于电路的设计和优化；3.信号处理：通过拉普拉斯变换，可以对信号的频域特性进行分析和滤波处理，如频率响应、系统传递函数等；4.控制系统设计：拉普拉斯变换可用于控制系统的传递函数分析、稳定性判断和控制器设计等方面；5.通信系统分析：拉普拉斯变换在调制、解调和信道等方面有广泛应用。
f(t) = L^(-1){F(s)} = (1/2πj) ∫[γ-j∞, γ+j∞] e^(st) F(s) ds,其中，γ为收敛路径，j为虚数单位。
拉普拉斯变换2.1-2.2
0
1 s jk
e
s 2 s k
Re
2
(s ) 0
4. 拉普拉斯变换的积分下限0满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处 有界时, 积分
st 中的下限取0(+t或0丌会影响其结果。但如果f(t)在t=0处 L [ f )] f (t ) e d t
L [-k2cos kt]=L [f ''(t)]= s2L [f(t)]- sf(0)- f '(0) 即 -k2L [cos kt]= s2L [cos kt]- s 移项化简得
L [c o s k t ] s s
2
k
2
(R e ( s ) 0 )
jω
0
α c
σ
收敛边界
收敛域
例1 求单位阶跃函数
0 u (t ) 1
t 0 t 0
的拉氏变换
解 根据拉氏变换的定义, 有
L [ u ( t )]
e
st
dt
0
j
这个积分在Re(s)>0时收敛, 而且有
e
0
st
dt
1 s
e
st
0
1 s
b a
u d v u v |a v d u
b a
b
L [ f ( t ) ] e
st
0
f ( t ) e
st
dt
st
e
0
st
d f (t )
f (t )
自动控制原理第2章 数学基础
2017/6/16
第2章 数学基础
6
2.1 拉普拉斯变换
2．微分性质
函数 函数之间有如下关系：
若：
df (t ) f ( t ) f (t ) 的象函数与其导数 dt
的象
L[ f (t )] F (s)
则有： L[ f (t )] sF (s) f (0 )
2017/6/16
即，两个原函数的卷积的拉氏变换等于两 个象函数的乘积。卷积性质在求解拉式反 变换的时候，起着十分重要的作用。
2017/6/16
第2章 数学基础
13
2.2 拉普拉斯反变换
2.2.1 拉普拉斯反变换的定义
拉式反变换的定义如下：
1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2j
t 0 s
2017/6/16
第2章 数学基础
11
2.1 拉普拉斯变换
7．卷积性质
卷积的定义为：若 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 可以进行 t 拉氏变换，称积分 0 f1 ( ) f 2 (t )d 为 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 的卷积。记为 f1 (t ) f 2 (t ) ，即
0
1 st st st f (t )e dt e dt e 0 s
st st 0
f (t ) (t )
0 0 0
0
1 s
F (s) L[ f (t )] f (t )e dt (t )e dt (t )e st dt e s (0) 1
第2章 数学基础
7
2.1 拉普拉斯变换
3．积分性质
控制系统第二章 拉普拉斯变换
（2.27）
式中，A为常数。 其拉氏变换为
A L[ At ] At e dt t 2e st 0 s 1 2A 3 s
2 2 st 0
2 te st dt 0
（2.28）
当 A 时的加速度函数称为单位加速度函数，如图2.6(a) 2 所示，用
脉动输入量值很大，而持续时间与系统的时间常数相比较非 常小时，可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。
第二章 拉普拉斯变换 当描述脉冲输入时，脉冲的面积大小是非常重要的，而脉 冲的精确形状通常并不重要。脉冲输入量在一个无限小的时 间内向系统提供能量。 单位脉冲函数 (t t0 ) 可以看作是单位阶跃函数 u(t t0 ) 在间 断点 t t0上的导数，即
(β＞0)
（2.1）
只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件， 即时间函数 (t ) 的傅立叶变换存在。
第二章 拉普拉斯变换 对式（2.1）取傅立叶变换，得
G ( ) (t )u (t )e t e jt dt
(t )u (t )e
第二章 拉普拉斯变换 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 为解析函数。 即：如果拉氏积分收敛，则时间函数 f (t ) 的拉氏变换存在。 1. 常用函数的拉氏变换
R e ( s) c
F ( s) 半平面内，
(1) 指数函数
0 f (t ) t Ae
t 0 t 0
（2.6）
式中，A和α为常数。 其拉氏变换为
a(t ) 表示。发生在t＝t
0时的单位加速度函数通常写
1
第二章 拉普拉斯变换 成 a(t t0 ) ，如图2.6(b)所示。
拉普拉斯变换
0
0
0
n
n
n1
n2
'
n1
'
n1
L f n t s n F s (2.2.18)
(5)积分性质
推论 L dt dt f t dt 1 F s . s
t t t 0 0 0 n n次
t 1 L f t dt F s 0 s
f lim f t lim sF s . (2.2.28)
t s 0
(11)相似性质（设a为正实数）
L f at 1 s F . a a (2.2.29)
[注]①Γ 函数具有如下的递推公式
mm m 1 (2.2.7)
当m是正整数时， m 1 m！ .
(2.2.8)
② 1 2 .
(6) (7) (8) L δt 1
(2.2.9)
Res
(2.2.10)
k Res k (2.2.11) Lshkt 2 2 s k s Res k (2.2.12) Lchkt 2 2 s k
第二章 拉普拉斯变换
§2.1 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义
设函数f(t)当ｔ 0时有定义，而且积分 0 （s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此 积分决定的函数可写为 F (s) 0 f (t )est dt, (2.1) 称F ( s)为f (t ) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或 象函数，记为 L f (t ) ，即 F(s) L f (t ) 又称 f (t ) 为 F ( s) 的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏 逆变换）或象原函数，记 L -1 F (s) 即 f (t ) L -1F (s)
拉普拉斯变换(上海大学)ppt课件
L sitn sitn e sd tt 1 e j t e -j te sd tt
复数的概念
复数 s= +j
j 1 称为虚数单位
（有一个实部 和一个虚部， 和 均为实数）
两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。
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2.2.1 复数和复变函数
复数的表示法
对于复数 s= +j
复平面：以 为横坐标(实轴)、 为纵坐标(虚轴)所构成
向量的长度称为复数的模：
s r 22
j
向量与 轴的夹角 称
为复数s的复角：
s1 s2
arcta/n()
1 2
o
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2.2.1 复数和复变函数
② 复数的三角函数表示法与指数表示法
根据复平面的图示可得： = r cos ， = r sin
复数的三角函数表示法：
s = r (cos + j sin )
2.2.1 复数和复变函数
例：
当s= +j时，求复变函数G(s) =s2+1的实部u和虚部v。
解：
G(s)＝s2+1＝( +j)2 + 1 ＝ 2 + j(2 ) - 2 + 1
＝( 2 - 2 + 1) + j(2 )
复变函数的实部 u221
复变函数的虚部 v2
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2.2 拉普拉斯变换
象函数
拉氏变换符号
原函数 复变量
拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变 换到复数域内与之等价的复变函数 F(s) 。
拉普拉斯变换及反变换
记号 ℒ [f(t)]表示取拉氏变换。
ℒ -1 [F(s)]表示取拉氏反变换。
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
lim f (t)存在时 ，则
t
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1
1
u(t)
t 0
lim s
s
s
1
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim s( 5 2 ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
机械工程控制基础 二、拉氏变换的优点
应用拉氏变换：
拉普拉斯变换及反变换
• （1）求解方程得到简化。 拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”
变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。
• （2）初始条件自动包含在 变换式里。
机械工程控制基础 拉氏变换已考虑了初始条件
拉普拉斯变换及反变换
LT f (t) F(s)
t
f ( ) d
0
s L
t
0
f
( ) d
t 0
f
( )d积 分上限也应为0-
t 0
S L
t 0
f
(
)
d
∴
L
t
f
0
( ) d
1 s
L
f
(t )
例
机械工程控制基础
信号拉普拉斯变换_相位角__解释说明以及概述
信号拉普拉斯变换相位角解释说明以及概述1. 引言1.1 概述信号处理是一门研究信号在不同时域和频域下的特性和变换的学科。
拉普拉斯变换是其中的一种重要方法，被广泛应用于信号和系统分析中。
在信号处理领域中，我们经常需要去了解信号的相位角，它是一个描述信号时序特性的重要指标。
1.2 文章结构本文将首先介绍信号拉普拉斯变换的基本概念、原理及其在实际应用中的重要性。
然后，我们将重点探讨相位角的定义、计算方法以及在实际应用中的意义和作用。
最后，文章会对前面内容进行总结，并提出对信号拉普拉斯变换和相位角进一步发展与研究方向的思考。
1.3 目的本文旨在向读者全面介绍信号拉普拉斯变换以及相位角，并阐明它们在信号处理领域中的应用。
通过深入理解这些概念和方法，读者们可以更好地掌握信号处理相关知识，并且能够运用于实际工程问题中。
以上内容为“1. 引言”部分，请根据需要调整格式或进行任何修改。
2. 信号拉普拉斯变换2.1 信号概念介绍信号是指随时间、空间或其他独立变量的变化而变化的某种物理量或信息。
在不同领域中，常见的信号有电信号、音频信号、图像信号等。
2.2 拉普拉斯变换原理拉普拉斯变换是一种将时域（时间域）中的函数转换为复频率域（拉普拉斯域）中表达的数学工具。
它由法国数学家Pierre-Simon Laplace于19世纪开发和引入。
在信号处理中，将时域函数f(t)通过拉普拉斯变换转化为复平面上的函数F(s)，其中s是一个复变量。
具体而言，对于一个连续时间域的函数f(t)，其对应的拉普拉斯变换为F(s)，可以表示为以下形式：F(s) = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt在实际应用中，使用拉普拉斯变换可以方便地分析和处理各种复杂系统，如电路和控制系统。
通过在频率域进行分析和计算，我们可以获取关于该系统性质、稳定性以及响应特性等有用信息。
2.3 拉普拉斯域分析方法在进行拉普拉斯变换后，我们可以利用复平面上的F(s)函数对信号进行进一步的分析和计算。
复变函数——拉普拉斯变换
f1(t) f2(t) F1(s) F2(s)
ℒ 1 F1(s) F2(s) f1(t) f2(t)
2.2.2 相似性质
若
ℒ[
f
(t)]
F(s)
，a
0则
ℒ[
f
(at)]
1 a
F(s) a
2.2.3平移性质 （1）象原函数的平移性质
若 ℒ[ f (t)] F(s), t0 为非负实数，则
若函数 f (t) 满足下列条件:
Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
Ⅱ 当 t 的 f (t) 增长速度不超过某一指数
函数,亦即存在常数 M 0,及 C 0 ,使得
f t Mec t 0 t
成立,则函数 f (t) 的拉氏变换F(s) f (t) estdt 0
在半平面 Res >C上一定存在.此时右端的积
n 1 s n 1
Res 0
当n
为正整数时,
ℒ tn
n! sn1
Res 0
例5 求正弦函数 f (t) sin k t (k R) 的拉氏变换
解 ℒ f (t)
sin k t estdt 1
0
s
sin k t dest
0
1 s
e s t
sin
k
t
0
k
0
est
cos
sin t
t dt]
1 s
(
2
arctans)
顺便可得， 0
sin t dt t
0
1
1 s2 ds arctan s 0 2
2.3 拉普拉斯逆变换
定义2.1 若 ℒ f (t) F(s), 则积分
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换表第一篇：拉普拉斯变换基础拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，在工程、物理、经济等领域都有重要的应用。
拉普拉斯变换可以将一个复杂的函数转换成另一个更易于处理的函数，从而为解决实际问题提供了便利。
1. 拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换是一种线性运算，它将一个函数f(t)转换成另一个函数F(s)，数学上可以表示成：F(s)=∫0^∞e^(-st)f(t)dt其中，s 是一个复数，称为变换参数。
实际上，s 的实部和虚部分别对应于指数函数e^(-st)中的衰减因子和频率。
2. 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换有很多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和使用拉普拉斯变换。
(1) 线性性质拉普拉斯变换是一种线性运算，即对于任意常数a和b，有：L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)(2) 平移性质拉普拉斯变换具有平移性质，即：L{f(t-a)}=e^(-as)F(s)(3) 尺度变换性质拉普拉斯变换还具有尺度变换性质，即：L{f(at)}=1/aF(s/a)(4) 求导性质拉普拉斯变换对时间的一阶和二阶导数的变换分别为：L{f'(t)}=sF(s)-f(0)L{f''(t)}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)(5) 初值定理和终值定理拉普拉斯变换有两个重要的极限定理，分别是初值定理和终值定理。
初值定理描述了原函数在t=0 时的值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→+∞)sF(s)=f(0)终值定理则描述了原函数在t 趋近于无穷时的极限值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→0)sF(s)=lim_(t→∞)f(t)3. 常见函数的拉普拉斯变换下面是几种常见函数的拉普拉斯变换：(1) 矩形波函数rect(t)L{rect(t)}=1/s(2) 单位阶跃函数u(t)L{u(t)}=1/s(3) 指数衰减函数e^(-at)L{e^(-at)}=1/(s+a)(4) 三角函数sin(at)L{sin(at)}=a/(s^2+a^2)(5) 三角函数cos(at)L{cos(at)}=s/(s^2+a^2)第二篇：拉普拉斯变换表1下面是一份拉普拉斯变换表，其中包含了一些常见函数的拉普拉斯变换。
2.2_拉普拉斯变换
2.2.5 拉普拉斯反变换
例 求F(s)的拉氏反变换，已知
F s
s2
s
3 3s
2
解
F s
s2
s3 3s
2
(s
s3 1)(s
2)
1
s 1
2
s2
由留数的计算公式，得
1
[( s
1)
(s
s3 1)(s
2) ]s1
2
2
[( s
推广到n阶导数的拉普拉斯变换：
L
dn f dt
(t)
n
sn
F
(s)
s n1
f
(0)
sn2
f
(0)
sf (n-2) (0) f (n-1) (0)
如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即
f (0) f (0) f (0) f (n2) (0) f (n1) (0) 0
a1 a2 an s p1 s p2 s pn
式中，ak(k=1,2,…,n)是常数，系数 ak 称为极点 s= -pk 处的留数。
2.2.5 拉普拉斯反变换
ak 的值可以用在等式两边乘以 (s+pk)，并把 s= -pk代入的方 法求出。即
ak (s pk )F (s) s pk
象函数 F(s) = L[f(t)]
5
t n (n=1, 2, …)
n! s n+1
6
e -at
7
sint
1 s+a
s2+2
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典型时间函数的拉普拉斯变换
(2) 单位脉冲函数
单位脉冲函数定义：
, t 0 (t ) 0, t 0
且：
(t )dt 1
(t ) f (t )dt f (0)
其拉普拉斯变换为：
L (t ) (t )e st dt e st
0
t 0
1
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典型时间函数的拉普拉斯变换
(3) 单位速度函数（单位斜坡函数）
单位速度函数定义：
0 t 0 f (t ) t , t 0
其拉普拉斯变换为：
1 st L f (t ) te dt tde 0 s 0 1 st 1 st 1 st te e dt 2 e 0 s s 0 s
sin(t + )
cos + s sin s2+2
典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (续4)
序号 17 原函数 f(t) (t >0) 象函数 F(s) = L[f(t)]
n -nt sin 1-2 t e n 1- 2
1 -nt sin 1-2 t e n n 1-2 1 -nt sin( 1-2 t - ) e n 1-2
at
f (t ) f (t )e e dt
at st 0
f (t )e ( s a )t dt
0
F ( s a)
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拉普拉斯变换的基本性质 (3) 微分定理 若： L f (t ) F (s)
则：
f(0)是 t =0 时的 f(t) 值
若：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有
(n)
1 f (t )dt n F ( s) s
注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利 用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。
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拉普拉斯变换的基本性质 (5) 终值定理 若： L f (t ) F (s)
-jt
cost jsin t
1 jt -jt st Lsin t sin t e dt e e e dt 0 2j 0 1 - ( s-j ) t -( s j ) t 1 1 1 e e dt 2 2j 0 2 j s-j s j s 2
F (s) L f (t ) f (t )e st dt
0
象函数
拉氏变换符号
原函数
复变量
拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变 换到复数域内与之等价的复变函数 F(s) 。
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拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变 换存在的条件： ① 当t≥0时，f(t) 分段连续，只有有限个间断点； ② 当t →∞时，f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即
拉普拉斯变换
系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关 系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。
时域分析法
求解数学模型微分方程，获得系统 输出随时间变化的规律。
借助于系统频率特性分析系统的性 能，拉普拉斯变换是其数学基础。
频域分析法
频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方 法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。
20
n2 s(s2+2ns+n2) 2 s(s2+2) 2 s(s2+2) 2s (s2+2)2
21 22 23
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1-cost
t - sint
t sint
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的基本性质 (1) 线性定理
若、是任意两个复常数，且：
L f1 (t ) F1 (s) ,
序号
9 10 11 12
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原函数 f(t) (t >0)
sint cost
象函数 F(s) = L[f(t)]
s2+2
s s2+2 (s+a)2+2 s+a (s+a)2+2
e -at e -at
sint cost
典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (续3)
0 0
d 2 f (t ) 2 df (0) L s F ( s) sf (0) 2 dt dt
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拉普拉斯变换的基本性质 (3) 微分定理
推广到n阶导数的拉普拉斯变换：
d n f (t ) n n 1 n2 L s F ( s ) s f ( 0 ) s f (0) n dt sf ( n- 2) (0) f ( n-1) (0)
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拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能 将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量 s的乘积，将时 间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。
设有时间函数 f(t)，当 t < 0 时，f(t)＝0；在 t≥0时定义函 数 f(t) 的拉普拉斯变换为：
df (t ) L sF ( s) f (0) dt df (t ) 证明： df (t ) st st L e d t e df (t ) 0 dt 0 dt
e
st
同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：
f (t ) s f (t )e st dt sF (s) f (0)
0, t 0 1(t ) 1, t 0
st st
1 st L1(t ) 1(t )e dt e dt e 0 0 s 1 st 1 0 1 lim e e t s s s
则： 函数 f(t) 积分的初始值
L
证明：
1 1 f (t )dt F ( s ) f (0)dt s s
st
L f (t )dt
f (t )dt e e f (t )dt s
0
dt
0
0
st
1 f (t )dt de st s
f1 (t )e dt f 2 (t )e st dt
0 0
F1 (s) F2 (s)
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拉普拉斯变换的基本性质
(2) 平移定理 若： L f (t ) F (s)
则： 证明：
L e at f (t ) F (s a)
Le
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1 sa
典型时间函数的拉普拉斯变换
(5) 正弦信号函数
正弦信号函数定义：
其拉普拉斯变换为：
1 jt -jt 由欧拉公式，正弦函数表达为：sin t e e 2j
st
t0 0 f (t ) sin t , t 0
两 式 相 减
e jt cost j sin t e
0
e st f (t )dt s
1 1 f ( 0) dt F ( s ) s s
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拉普拉斯变换的基本性质 (4) 积分定理
同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：
L
(n)
1 1 f (t )dt n F ( s ) n f (0)dt s s 1 ( 2) 1 (n) n 1 f (0)dt f (0)dt s s L
由欧拉公式，余弦函数表达为： cos t
1 jt e e -jt 2
1 jt Lcos t cos t e dt e e -jt e st dt 0 2 0 1 - ( s-j ) t -( s j ) t 1 1 1 s e e dt 2 2 0 2 s-j s j s 2
如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即
f (0) f (0) f (0) f ( n2) (0) f ( n1) (0) 0
则：
d n f (t ) n L s F ( s) n dt
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拉普拉斯变换的基本性质 (4) 积分定理 若： L f (t ) F (s)
序号
5 6 7 8
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原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s) = L[f(t)]
n! s n+1 1 s+a n! (s+a) n+1 1 Ts + 1
t n (n=1, 2, …) e -at tn e -at (n=1, 2, …)
1 e T
t T
典型时间函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简表 (续2)
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典型时间函数的拉普拉斯变换
(6) 余弦信号函数
余弦信号函数定义：
t 0 0 f (t ) cost , t 0
其拉普拉斯变换为：
st
两 式 相 加
e jt cost j sin t e
-jt
cost jsin t