4.3指数函数

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人教B版高中数学必修第二册4.3 指数函数与对数函数的关系

此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．
题型2 求函数的反函数
例2 求下列函数的反函数．
1 x
(1)y＝( )
3
(2)y＝5x＋1.
【解析】
1．判断函数是否单调．
2．求出x.
3．推导出f －1(x)的解析式．
1
3
1
3
(1)由y＝( )x得y＞0，对调其中的x和y，得x＝( )y，解得y＝log 1 x，所
象是下图中的(
)
答案：C
状元随笔 1.先求出f －1(x).
2．再求f －1(－x).
3．最后求出f －1(1－x).
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则
f(x)＝(
)
1
A．
B．log2x
2
C．log 1 x
D．2x－2
2
答案：B
解析：由于函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，则f(x)＝logax，
则f(2)＝loga2＝1，解得a＝2，因此，f(x)＝log2x.
限．
课堂探究·素养提升
题型1 判断函数是否有反函数(逻辑推理)
例1 下列函数中，存在反函数的是(
)
A．
B．
x
f(x)
x>0
1
x＝0
0
x<0
－1
C．
x
h(x)
【答案】
x x是有理数 x是无理数
g(x)
1
0
D．
1 2
－1 2
D
3
0
4
4
5
2

高中数学新教材人教B版必修第二册训练：4.3 指数函数与对数函数的关系

第四章 4.3请同学们认真完成 [练案8]A 级基础巩固一、选择题1．函数y ＝e x 与y ＝ln x 的图像( D ) A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称[解析] ∵函数y ＝e x 与y ＝ln x 是互为反函数， ∴其图像关于直线y ＝x 对称．2．函数y ＝f (x )的图像经过第三、四象限，则y ＝f －1(x )的图像经过( B ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第三、四象限D ．第一、四象限[解析] 因为第三、四象限关于y ＝x 对称的象限为第三、二象限，故y ＝f －1(x )的图像经过第二、三象限．3．函数y ＝f (x )的图像过点(1,3)，则它的反函数的图像过点( D ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(1,3)D ．(3,1)[解析] ∵互为反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴点(1,3)关于直线y ＝x 的对称点为(3,1)，故选D ．4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (8)＝( A ) A ．3 B ．13C ．－3D ．－13[解析] 由题意可知f (x )＝log a x ，f (2)＝log a 2＝1，a ＝2，即f (x )＝log 2x ，f (8)＝log 28＝3．5．(多选题)函数y ＝2|x |在下面的区间上，不存在反函数的是( AC ) A ．[－1,1] B ．(－∞，0] C ．[－2,4]D ．[2,4][解析] 函数若在区间上单调，则存在反函数，易知函数y ＝2|x |在[－1,1]，[－2,4]上不单调．二、填空题6．已知f (x )＝2x ＋b 的反函数为f －1(x )，若y ＝f －1(x )的图像经过点Q (5,2)，则b ＝__1__．[解析] 由互为反函数的图像关于直线y ＝x 对称可知，点Q ′(2,5)必在f (x )＝2x ＋b 的图像上，∴5＝22＋b ， ∴b ＝1．7．函数f (x )＝4－x 的反函数是__f －1(x )＝4－x 2(x ≥0)__． [解析] 函数的值域为[0，＋∞)，令y ＝4－x ，将其中的x ，y 对调得x ＝4－y ，解得y ＝4－x 2，所以反函数f －1(x )＝4－x 2(x ≥0)．8．若函数y ＝f (x )的反函数是y ＝－2－x 2(－1≤x ≤0)，则原函数的定义域是－1]__，f (－1)＝__－1__．[解析] 因为原函数的定义域为反函数的值域，又－1≤x ≤0，所以1≤2－x 2≤2，即y ∈[－2，－1]．令－2－x 2＝－1，解得x ＝±1，因为原函数的定义域为[－2，－1]，所以x ＝－1．三、解答题9．已知y ＝12x ＋a 与y ＝3－bx 互为反函数，求a 、b 的值．[解析] 由y ＝12x ＋a ，得x ＝2y －2a ，∴y ＝2x －2A ．即函数y ＝12x ＋a 的反函数为y ＝2x －2a ，由已知得函数y ＝2x －2a 与函数 y ＝3－bx 为同一函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝2－2a ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝－2．10．求下列函数的反函数． (1)f (x )＝12x ＋1； (2)f (x )＝1－1－x 2(－1≤x ＜0)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(0≤x ≤1)x 2(－1≤x ＜0)．[解析] (1)设y ＝f (x )＝12x ＋1．∵x ≠－12，∴y ≠0．由y ＝12x ＋1，解得x ＝1－y 2y ．∴f －1(x )＝1－x 2x (x ≠0)．(2)设y ＝f (x )＝1－1－x 2． ∵－1≤x ＜0，∴0＜y ≤1．由y ＝1－1－x 2，解得x ＝－2y －y 2． ∴f －1(x )＝－2x －x 2(0＜x ≤1)．(3)设y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(0≤x ≤1)x 2(－1≤x ＜0)，当0≤x ≤1时，－1≤y ≤0，由y ＝x 2－1，得x ＝1＋y ；当－1≤x ＜0时，0＜y ≤1，由y ＝x 2，得x ＝－y ．∴f －1(x )＝⎩⎨⎧1＋x (－1≤x ≤0)－x (0＜x ≤1)．B 级素养提升一、选择题1．若f (ln x ＋1)＝x ，则f (5)＝( C ) A ．log 5e B ．ln 4 C ．e 4D ．4e[解析] 解法一：令ln x ＋1＝t ，则x ＝e t －1，∴f (t )＝e t －1， ∴f (5)＝e 5－1＝e 4．解法二：令ln x ＋1＝5，则ln x ＝4， ∴x ＝e 4，∴f (5)＝e 4．2．若函数y ＝ax1＋x 的图像关于直线y ＝x 对称，则a 的值为( B )A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数[解析] 因为函数图像本身关于直线y ＝x 对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知点(1，a 2)与(a2，1)均在原函数图像上，故可得a ＝－1． 3．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图像与y ＝f (x )的图像关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为( C )A ．－eB ．－1eC ．1eD ．e[解析] ∵函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数， ∴f (x )＝ln x ，又∵函数y ＝g (x )的图像与y ＝f (x )的图像关于x 轴对称，∴g (x )＝－ln x ， ∴g (a )＝－ln a ＝1，∴ln a ＝－1，∴a ＝1e ．4．函数y ＝10x 2－1(0＜x ≤1)的反函数是( D ) A ．y ＝－1＋lg x (x ＞110)B ．y ＝1＋lg x (x ＞110)C ．y ＝－1＋lg x (110＜x ≤1)D ．y ＝1＋lg x (110＜x ≤1)[解析] 由y ＝10x 2－1(0＜x ≤1)，得x 2－1＝lg y ，即x ＝lg y ＋1．又∵0＜x ≤1，即－1＜x 2－1≤0， ∴110＜10x 2－1≤1，即原函数的值域为(110，1]． ∴原函数的反函数为y ＝lg x ＋1(110＜x ≤1)．二、填空题5．若点(1,2)既在y ＝ax ＋b 的图像上，又在其反函数的图像上，则a ＝__－3__，b ＝__7__． [解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y ＝ax ＋b 的图像上，∴⎩⎨⎧2＝a ＋b 1＝2a ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝7．6．已知函数f (x )的反函数为g (x )＝1＋2lg x (x ＞0)，则f (1)＋g (1)＝__2__． [解析] 令g (x )＝1，则2lg x ＝0，∴x ＝1． ∵f (x )与g (x )互为反函数， ∴f (1)＝1，g (1)＝1＋2lg 1＝1， ∴f (1)＋g (1)＝2．7．设a ＞0且a ≠1，若函数f (x )＝a x －1＋2的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是__(3,1)__．[解析] 因为函数f (x )＝a x －1＋2经过定点(1,3)，所以函数f (x )的反函数的图像经过定点P (3,1)．三、解答题8．已知函数f (x )＝log a (2－x )(a ＞1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；(3)判断f－1(x)的单调性．[解析](1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x＞0，即x＜2，故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R．(2)由y＝log a(2－x)得，2－x＝a y，即x＝2－a y．∴f－1(x)＝2－a x(x∈R)．(3)f－1(x)在R上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2，∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，∵a＞1，x1＜x2，∴ax1＜ax2即ax1－ax2＜0，∴f－1(x2)＜f－1(x1)，∴y＝f－1(x)在R上是减函数．9．已知f(x)＝log a(a x－1)(a＞0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．[解析](1)要使函数有意义，必须a x－1＞0，当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0．∴当a＞1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0＜a＜1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a＞1时，设0＜x1＜x2，则1＜ax1＜ax2，故0＜ax1－1＜ax2－1，∴log a(ax1－1)＜log a(ax2－1)，∴f(x1)＜f(x2)．故当a＞1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；类似地，当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．(3)令y＝log a(a x－1)，则a y＝a x－1，∴x＝log a(a y＋1)．∴f－1(x)＝log a(a x＋1)．由f(2x)＝f－1(x)，得log a(a2x－1)＝log a(a x＋1)，∴a2x－1＝a x＋1，解得a x＝2或a x＝－1(舍去)，∴x＝log a2．由Ruize收集整理。

指数函数ppt课件

04
指数函数的应用
在金融领域的应用
复利计算
股票和期货价格预测
在金融领域，复利计算是评估投资回报的重要方式。指数函数用于计算复利，通过复利公式，可以计算出投资的未来价值。
在股票和期货市场中，指数函数常用于价格预测模型。通过分析历史数据，利用指数函数可以预测未来的价格走势。
保险精算
在保险行业中，指数函数用于精算模型，例如生命表和风险评估。通过指数函数，保险公司可以预测未来的风险和损失。
指数函数和三角函数在某些方面具有相似性，例如在周期性和对称性方面。
三角函数的图像具有对称性，例如正弦函数和余弦函数的图像关于y轴对称，而指数函数的图像则关于y=1对称。
三角函数具有周期性，而指数函数在形式上也可以表示为具有周期性的形式。
06
练习题与答案解析
基础练习题
定义域和值域
指数函数的定Leabharlann 域和值域分别是什么？指数函数的起源与历史
起源
指数概念最早可以追溯到古代数学家和天文学家的著作中，但现代意义上的指数函数则是在17世纪由数学家约翰·纳皮斯和费马等人提出。
历史发展
随着数学和科学技术的不断发展，指数函数的概念和应用范围也在不断扩展和深化。在复数、微积分、线性代数等领域中，指数函数都扮演着重要的角色。
02
指数函数与幂函数的关系
指数函数和幂函数具有相似的形式，即y=a^x和y=x^a。
当a>0时，指数函数和幂函数的图像都是单调递增的；当 a<0时，指数函数和幂函数的图像都是单调递减的。
指数函数和幂函数的定义域都是全体实数集R，值域都是正实数集(0,+infty)。
指数函数与三角函数的关系

高中数学第四章对数运算和对数函数 4.3 对数函数 4.3.3 指数函数与对数函数的综合应用一课

第四章对数运算与对数函数§3对数函数课时3指数函数与对数函数的综合应用知识点1 利用指数、对数函数的性质比较大小1.☉%**9316%☉(2020·某某建平中学高一期中考试)若0<m <n ,则下列结论正确的是()。

A.2m>2nB.(12)m <(12)nC.lo g 12m >lo g 12n D.log 2m >log 2n答案：C解析：因为y =2x与y =log 2x 在(0,+∞)上均为增函数,又0<m <n ,所以2m<2n,log 2m <log 2n ,所以A,D 错误;因为y =(12)x与y =lo g 12x 在(0,+∞)上均为减函数,又0<m <n ,所以(12)m >(12)n,lo g 12m >lo g 12n ,所以B 错误,C 正确,故选C 。

2.☉%*797#3##%☉(2020·某某一中月考)若a =log 37,b =21.3,c =0.81.1,则()。

A.b <a <c B.c <a <b C.c <b <a D.a <c <b 答案：B解析：由函数y =log 3x 的单调性,可知a =log 37∈(1,2)。

由函数y =2x 的单调性,可知b =21.3>2。

由函数y =x 1.1的单调性,可知c =0.81.1∈(0,1),所以c <a <b ,故选B 。

3.☉%￥*98*96%☉(2020·某某七中月考)设a =lo g 129,b =log 32,c =log 57,则()。

A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <a <b 答案：A解析：因为a =lo g 129<lo g 121=0;函数y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增,所以log 31<log 32<log 33,即0<log 32<1;c =log 57>log 55=1。

高中数学必修一讲义专题4.3 指数函数-重难点题型精讲(学生版)

专题4.3 指数函数-重难点题型精讲1．指数函数的定义(1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：①的系数为1;②底数a是大于0且不等于1的常数.2．指数函数的图象与性质3．底数对指数函数图象的影响指数函数y=(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.(1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”.(2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴.(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.4．比较幂值大小的方法比较幂值大小的方法：【题型1 指数函数的解析式、定义域与值域】【例1】（2021秋•南宁期末）函数f（x）＝2x的定义域为（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．R【变式1-1】（2021秋•阎良区期末）函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【变式1-2】（2021秋•城区校级期中）指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值为（）A．4B．8C．16D．1【变式1-3】（2021秋•罗湖区校级期中）若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）a x是指数函数，则a的值是（）A．﹣1B．3C．3或﹣1D．2【题型2 比较幂值的大小】【例2】（2021秋•路南区校级期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，则（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞b ＞c【变式2-1】（2021秋•厦门期末）下列选项正确的是（） A ．0.62.5＞0.63B ．1.7−13＜1.7−12C ．1.11.5＜0.72.1D ．212＞313【变式2-2】（2021秋•怀仁市校级期末）设a ＝0.60.6，b ＝0.60.7，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b【变式2-3】（2021秋•天宁区校级期中）已知a ＝0.3﹣0.2，b =(13)0.3，c ＝3﹣0.2，则（）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【题型3 解指数不等式】 (2)隐含性质法：解形如>b 的不等式，可先将b 转化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助函数y =的【例3】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式a x ﹣3＞a 1﹣x （0＜a ＜1）中x 的取值范围是（） A ．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B ．（2，+∞） C ．（﹣∞，2）D ．（﹣2，2）【变式3-1】（2021秋•北碚区校级月考）不等式(13)x2−8＞3−2x 的解集是（）A ．（﹣2，4）B ．（﹣∞，﹣2）C ．（4，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【变式3-2】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝x a﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a 3x +1＞a ﹣2x中x 的取值范围是（）A ．（﹣∞，−15）B ．（−15，+∞）C ．（﹣∞，−15）∪（−15，+∞）D ．R【变式3-3】（2021秋•丰台区期中）已知指数函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）的图象过点（1，12）．（I）求函数y＝f（x）的解析式；（II）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围．【题型4 指数函数的图象及应用】【例4】（2021秋•临渭区期末）函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（）A．B．C．D．【变式4-1】（2021秋•微山县校级月考）若指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【变式4-2】（2021秋•中宁县校级期中）如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小是（）A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d【变式4-3】（2021•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，y=(12)x的一个是（）A．①B．②C．③D．④【题型5 指数型复合函数性质的应用】【例5】（2021秋•蚌埠月考）已知函数f （x ）＝a x ﹣1（a ＞0，a ≠1）的图象经过点（3，19）．（1）求a 的值；（2）求函数f （x ）＝a 2x ﹣a x ﹣2+8，当x ∈[﹣2，1]时的值域．【变式5-1】（2021秋•凌源市期中）设函数f （x ）＝（12）10﹣ax，其中a 为常数，且f （3）=116．（1）求a 的值；（2）若f （x ）≥4，求x 的取值范围．【变式5-2】（2021秋•钦州期末）已知函数f （x ）＝2x ﹣1+a （a 为常数，且a ∈R ）恒过点（1，2）．（1）求a 的值；（2）若f （x ）≥2x ，求x 的取值范围．【变式5-3】（2022秋•新华区校级月考）已知函数f （x ）＝a x +b 的图象如图所示．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若不等式c⋅10x +6x f(x)+3＞0对任意x ∈（﹣∞，2]成立，求实数c 的取值范围．【题型6 指数函数的实际应用】【例6】（2022春•殷都区校级期末）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k•a t（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）【变式6-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h（1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式；（2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）.【变式6-2】（2021秋•朝阳区期末）已知某地区现有人口50万．（I）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；20=1.009）（Ⅱ）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（√1.2【变式6-3】（2021秋•长丰县校级期末）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．（1）结合图，求k与a的值；（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？。

高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.235对数的运算(2)a高一第一册数学

12/9/2021
第九页，共二十七页。
答案
知识点二对数在实际中的应用 5.测定古植物的年代，可用放射性碳法．在植物内部含有微量的放射性元素 14C，在植物死亡后，新陈代谢停止，14C 就不再产生，且原有的 14C 会自动衰变，经过 5730 年(14C 的半衰期)它们的残余量就只有原始含量的12.经过科学测定，若 14C 的原始含量为 a，则经过 t 年后的残余量 a′与 a 之间满足关系式 a′＝a·e－kt.现有一出土古植物，其中的 14C 的残余量占原始含量的 87.9%，试推算出这个古植物生活的年代．(lg 2≈0.301，lg 0.879≈－0.056)
12/9/2021
第二十二页，共二十七页。
答案
解析
三、解答题 9．求值：(1)lg 5＋lg 20； (2)log89·log2732－( 3－1)lg 1＋log535－log57.
解 (1)lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1.
(2)log89·log2732－( 3－1)lg 1＋log535－log57＝llgg 98×llgg 2372－1＋log5375＝
解设经过 x 年国民生产总值为 2016 年的 2 倍．经过 1 年，国民生产总值为 a(1＋8%)，经过 2 年，国民生产总值为 a(1＋8%)2， …… 经过 x 年，国民生产总值为 a(1＋8%)x＝2a，
12/9/2021
第二十四页，共二十七页。
答案
∴1.08x＝2，两边取常用对数，得 x·lg 1.08＝lg 2. ∴x＝lglg1.208≈00..30031304≈9. 故约经过 9 年，国民生产总值是 2016 年的 2 倍．
6.log29×log34＝( )

使用指数函数性质求解指数方程

使用指数函数性质求解指数方程指数函数是高中数学中的一个重要概念，它具有独特的性质和运算规律。

在解决实际问题中，我们经常会遇到指数方程的求解。

本文将介绍如何利用指数函数的性质来解决指数方程，帮助读者更好地理解和应用指数函数。

1. 指数函数的性质回顾指数函数的一般形式为 y = a^x，其中 a 为常数且a ≠ 0。

在求解指数方程时，我们需要了解指数函数的以下性质：1.1 指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。

1.2 指数函数的图像是递增的，即 a > 1 时图像上升，0 < a < 1 时图像下降。

1.3 指数函数在 x 轴上的点 (0, 1)，即 a 的 0 次方等于 1。

1.4 指数函数是奇函数，即 a^(-x) = 1 / a^x。

1.5 指数函数存在反函数，即对于任意正实数 y，都存在唯一的正实数 x，使得 a^x = y。

2. 指数方程的基本解法指数方程是形如 a^x = b 的方程，其中 a 和 b 是已知实数，求解 x 的值。

为了解决指数方程，我们可以利用指数函数的性质进行变形和化简：2.1 变形：如果a^x = b，可以将方程两边取对数，得到x = loga(b)。

其中，loga 表示以 a 为底的对数函数。

2.2 化简：对于一些特殊的指数方程，转化成对数方程可以更好地求解。

例如，如果 a^x = a^y，则可以得到 x = y。

3. 求解指数方程的示例现在，我们通过几个实例来演示如何使用指数函数的性质求解指数方程。

例一：解方程 2^x = 8。

由于 8 = 2^3，所以原方程可变形为 2^x = 2^3。

根据指数函数的性质，我们得到 x = 3。

例二：解方程 3^(2x+1) = 1/27。

首先，可以将1/27写成3^(-3)的形式，即方程变为 3^(2x+1) = 3^(-3)。

根据指数函数的性质，我们得到 2x+1 = -3，进一步求解得到 x = -2。

2024版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算第2课时换底公式课件

题型 3 实际问题中的对数运算
例3 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋
S
)，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道
N
带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，
S
S
其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽
N
N
S
b
将本例条件改为“4 ＝5 ＝10”，求＋的值．

解析：由4a＝5b＝10，得a＝logபைடு நூலகம்10，b＝log510，
1
2
1
2
所以 + ＝
+
＝lg 4＋2lg 5＝lg (4×25)＝2.
a
b
log4 10
log5 10

学霸笔记：
利用等式运算性质与换底公式求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和
第2课时
换底公式
预学案
共学案
预学案
换底公式❶
1．换底公式
log
log
b＝________(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
loga
2．对数换底公式的重要推论
1
(1)logaN＝
(N＞0，且N≠1；a＞0，且a≠1)．
logN a

m
log an ＝ logab(a＞0，且a≠1，b＞0)．
的值吗？(lg 2，lg 3可利用计算器查得)
(2)把(1)一般化，由对数的定义，你能否用logca，logcb表示logab(a>0，
且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)吗？

中职数学第一册第4单指数、对数函数教案

二、合作讨论，构建新知
（一）、探究：
已知x n=a,填写下表并回答问题：
a 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、合作讨论，构建新知
1、如果某种生物分裂次数为
分裂次数
细胞个数
二、合作讨论，构建新知
1、探究：
某种细胞在分裂过程中，分裂次数与分裂后得到的细胞个数之间的函数关系式为y＝2x，那么该细胞在经过多少次分裂后得到的细胞
()0,+∞.
因为24x ->.
一、常用对数Nlg及自然对数Nln 例：求下列各对数值（精确到0.0001）（1）4.1lg （2）5
2
lg （3）7.0ln （4ln 二、一般底的对数Nalog
例：求下列各对数值（精确到0.0001）
（1）8.5log115 （2）7log2
（3）699log（4）3.10log9
4
三、问题解决
在解决实际问题中，有时用到式子）为正整数，，，1(acbacabx，那么如何求未知
数x呢？
例：已知83.0)501(400x，求x（精确到0.01）。

27
.25
.0lg)483.0lg()483.0lg(5.0lg,
483.05.083
.0)501(400
xxxxx用计算器求得：两边取对数，解：
四、课堂小结
谈谈你在本节课的收获
y x为这种候鸟在飞行过程中耗氧量的单位数。

（1）该种候鸟的耗氧量是。

人教B版高中数学必修第二册 4.3 指数函数与对数函数的关系【课件】

可知 f(x)∈12，1.故不等式－1≤f－1(x)≤12的解集为[－2，0)∪12，1.
5．[多选]已知函数 f(x)＝12x的图像与函数 g(x)的图像关于直线 y＝ x 对称，令 h(x)＝g(1－|x|)，则关于函数 h(x)的说法正确的是( )
A．函数 h(x)的图像关于原点对称 B．函数 h(x)为偶函数 C．函数 h(x)的最小值为 0 D．函数 h(x)在(0，1)上为减函数
解析 ∵y＝e2x>0，2x＝ln y，x＝12ln y，∴y＝e2x 的反函数为 y＝12ln
x，x>0.
2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( )
A．y＝3－3x(x≥0)
B．y＝3＋3x(x≤1)
C．y＝3＋3x(x≥0)
D．y＝3－3x(x≤1)
解析 ∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－ x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.
8．已知函数f(x)＝log2(1－2x)． (1)求函数f(x)的定义域和值域； (2)求证：函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．
解 (1)要使函数f(x)＝log2(1－2x)有意义，则1－2x>0，即2x<1.故x<0，此时0<1－2x<1，所以f(x)＝log2(1－2x)<0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)． (2)证明：由y＝f(x)＝log2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝log2(1－ 2y)，故原函数的反函数为y＝f(x)＝log2(1－2x)，与原函数相同，所以函数f(x)的图像关于直线y＝x对称．
B．(0，＋∞)
C．－

第4章-4.3.3-对数函数的图象与性质高中数学必修第一册湘教版

【解析】0,1, 1（【破题点】幂式或对数式比较大小时，常利用函数的单调性，借助中间值（0或1））且 , .
子题 (2024·江苏省镇江市期初)设,, ,则( )
A
A. B. C. D.
两头凑思维模型
求什么想什么
要比较,,的大小，而,,且为，因此比较与，与的大小即可.
【学会了吗丨变式题】
4.(2024·北京171中学调研)若函数在上是增函数，则实数的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】令，其图象的对称轴为直线，要使在上是增函数，则应满足解得 .故选B.
例15 (2024·广东省江门市期末)已知,, ,则( )
B
A. B. C. D.
6.已知函数在间上总有,求实数的取值范围.
【解析】, .当时，,即 . 对任意的, 恒成立,解得 .当时，,即 . 对任意的, 恒成立,解得 .综上可得，实数的取值范围是 .
题型4 对数型复合函数的奇偶性
例17 已知函数 .
（1）若为奇函数，求的值；
（2）在（1）的条件下，若在上的值域为，求, 的值.
高考帮丨核心素养聚焦
考向1 对数函数单调性的应用
例18（1） (2022·天津)已知，，，则( )
C
A. B. C. D.
【解析】，，因为在上为增函数，所以，故 .（【关键点】对于大小判断问题，很多时候会借助中间值0和1）
知识点2 指数函数与对数函数的图象与性质的比较
例2-2 已知函数，则的定义域为________；值域为___.
【解析】由，且得 .又在上为增函数，（【破题点】增函数增函数增函数）真数能取遍所有大于0的数，故值域为．
例2-3 已知，且，则函数与的图象可能是( )

新教材2020人教B版数学必修第二册教师用书：第4章 4.3 指数函数与对数函数的关系

4.3指数函数与对数函数的关系学习目标核心素养1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图像间的对称关系．(重点)2．利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异．3．利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题．(难点)1.通过反函数概念及指数函数与对数函数图像间的关系学习，培养直观想象素养．2．借助指数函数与对数函数综合应用的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.1．反函数的概念与记法(1)反函数的概念一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x 与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数，此时，称y＝f(x)存在反函数．(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示．思考：如何准确理解反函数的定义？[提示](1)反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域．(2)对于任意一个函数y＝f(x)，不一定总有反函数，只有当一个函数是单调函数时，这个函数才存在反函数．如y＝x2＋1(x∈R)就没有反函数，因为它在R 上不是单调函数．(3)反函数也是函数，因为它符合函数的定义．2．指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数．(2)指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x的图像关于直线y＝x对称．1．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于()A．log2x B.1 2xC．log12x D．2x－2A[y＝a x的反函数为f(x)＝log a x，则1＝log a2，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.]2．若函数y＝f(x)的反函数图像过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图像必过点() A．(1,1) B．(1,5)C．(5,1) D．(5,5)C[原函数与它的反函数的图像关于直线y＝x对称，因为y＝f(x)的反函数的图像过(1,5)，而(1,5)关于y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图像必过点(5,1)．]3．函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是()A．(0，＋∞) B．RC．(－∞，0) D．(0,1)A[由原函数与反函数间的关系知，反函数的值域为原函数的定义域．] 4．函数y＝x＋3的反函数为__________．y＝x－3(x∈R)[由y＝x＋3得x＝y－3，x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3.(x∈R)．]求函数的反函数【例1】求下列函数的反函数． (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；(2)y ＝5x ＋1；(3)y ＝x 2(x ≤0)．[思路探究] 根据原函数反解x ⇒x ，y 互换⇒原函数的定义域即为反函数的值域．[解] (1)由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，得x ＝log 13y ，且y >0，∴f －1(x )＝log 13x (x >0)．(2)由y ＝5x ＋1，得x ＝y －15， ∴f －1(x )＝x －15(x ∈R )．(3)由y ＝x 2得x ＝±y . 因为x ≤0，所以x ＝－y . 所以f －1(x )＝－x (x ≥0)．求反函数的一般步骤(1)求值域：由函数y ＝f (x )求y 的范围．(2)解出x ：由y ＝f (x )解出x ＝f －1(y )．若求出的x 不唯一，要根据条件中x 的范围决定取舍，只取一个．(3)得反函数：将x ，y 互换得y ＝f －1(x )，注意定义域得反函数．提醒：求反函数时，若原函数y ＝f (x )的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求．1．(1)已知函数y ＝e x 的图像与函数y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称，则()A．f(2x)＝e2x(x∈R)B．f(2x)＝ln 2·ln x(x>0)C．f(2x)＝2e x(x∈R)D．f(2x)＝ln 2＋ln x(x>0)(2)求函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数．(1)D[(1)由题意知函数y＝e x与函数y＝f(x)互为反函数，y＝e x>0，所以f(x)＝ln x(x>0)．则f(2x)＝ln(2x)＝ln 2＋ln x(x>0)．](2)[解]由y＝0.2x＋1得x＝log0.2(y－1)，对换x、y得y＝log0.2(x－1)．∵原函数中x≤1，y≥1.2，∴反函数的定义域为[1.2，＋∞)，因此y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞)．指数函数与对数函数图像之间的关系()aA B C D(2)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图像是图中的()A BC D(1)C (2)A [(1)y ＝a x 与y ＝log a x 的单调性一致，故排除A 、B ；当0＜a ＜1时，排除D ；当a ＞1时，C 正确．(2)因为a >1时，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x,0<1a <1是减函数，恒过(0,1)点，y ＝log a x 为增函数，恒过(1,0)点，故选A.]互为反函数的图像特点(1)互为反函数的图像关于直线y ＝x 对称；图像关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致. (3)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数.2．(1)已知函数f (x )＝a x ＋b 的图像过(1,7)，其反函数f －1(x )的图像过点(4,0)，则f (x )的表达式为( )A ．4x ＋3B ．3x ＋4C ．5x ＋2D ．2x ＋5(2)若函数y ＝ax1＋x的图像关于直线y ＝x 对称，则a 的值为________． (1)A (2)－1 [(1)∵f (x )的反函数图像过点(4,0)， ∴f (x )的图像过(0,4)，又f (x )＝a x ＋b 的图像过(1,7)，所以有方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 0＋b ＝4，a ＋b ＝7，∴a ＝4且b ＝3，故f (x )的表达式为4x ＋3，选A.(2)由y ＝ax1＋x可得x ＝ya－y，则原函数的反函数是y＝xa－x，所以xa－x＝ax1＋x，得a＝－1.]指数函数与对数函数的综合应用[1．观察函数y＝2x与y＝log2x的图像，指出两个函数的增长有怎样的差异？[提示]根据图像，可以看到，在区间[1，＋∞)内，指数函数y＝2x随着x 的增长，函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y＝log2x的增长速度逐渐变得很缓慢．2．你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？[提示]y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)图像定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R性质当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1；当x＝0时，y＝1；在R上是增函数当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0；当x＝1时，y＝0；在(0，＋∞)上是增函数【例3】已知f(x)＝2x＋1(a∈R)，f(0)＝0.(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函数；(3)对任意的k ∈(0，＋∞)，解不等式f －1(x )>log 21＋x k . [思路探究] (1)判断奇偶性⇒奇偶性定义． (2)求反函数⇒反解，改写，标注定义域．(3)对数不等式⇒构建不等式组⇒解不等式组⇒得出解集． [解] (1)由f (0)＝0，得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x＋1.因为f (x )＋f (－x )＝2x －12x ＋1＋2－x －12－x ＋1＝2x －12x ＋1＋1－2x1＋2x ＝0，所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数． (2)因为f (x )＝y ＝2x －12x ＋1＝1－22x＋1，所以2x＝1＋y1－y(－1<y <1)，所以f －1(x )＝log 21＋x1－x (－1<x <1)． (3)因为f －1(x )>log 21＋x k ，即log 21＋x 1－x >log 21＋x k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x>1＋x k ，－1<x <1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >1－k ，－1<x <1，所以当0<k <2时，原不等式的解集为{x |1－k <x <1}；当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1<x <1}．1．(变条件)本例变为“若f (x )为奇函数”，求a 的值． [解] 由奇函数定义可得f (－x )＝－f (x )，即a ·2－x －12－x ＋1＝－a ·2x －12x＋1，可变形为a －2x ＝1－a ·2x ，所以a ＝1.2．(变结论)本例中的条件不变，如何判断f －1(x )的单调性，并给出证明． [解]由原题解答知：f －1(x )＝log 21＋x1－x(－1<x <1)．任取－1<x 1<x 2<1，则令t (x )＝1＋x 1－x ＝－(－x ＋1)＋21－x ＝－1＋21－x ，所以t (x 1)－t (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－x 2 ＝21－x 1－21－x 2＝2(1－x 2)－2(1－x 1)(1－x 1)(1－x 2) ＝2(x 1－x 2)(1－x 1)(1－x 2).因为－1<x 1<x 2<1，所以1－x 1>0,1－x 2>0，x 1－x 2<0，所以t (x 1)－t (x 2)<0，t (x 1)<t (x 2)，所以log 2t (x 1)<log 2t (x 2)，即f －1(x 1)<f －1(x 2)，所以函数f －1(x )为(－1,1)上的增函数．解对数不等式的常见解法(1)借助对数函数的单调性，把对数不等式转化为真数的不等式，最后与定义域取交集即得原不等式的解集.(2)底数中若含有变量，一定要注意底数大于0且不等于1，并注意与1的大小的讨论.(教师独具)1．本节课的重点是反函数的概念及它们的图像间的关系，难点是指数函数、对数函数的综合应用．2．本节课要掌握的规律方法 (1)了解反函数的概念． (2)互为反函数的图像间的关系．(3)能够利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异．3．本节课的易错点是求反函数时忘记写反函数的定义域.1．思考辨析(1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数是y ＝log x 12.( )(2)函数y ＝log 3x 的反函数的值域为R .( )(3)函数y ＝e x 的图像与y ＝lg x 的图像关于y ＝x 对称．( ) (1)× (2)× (3)× [(1)×.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数是y ＝log 12x (x >0)．(2)×.函数y ＝log 3x 的反函数的值域是原函数的定义域，故y ＝log 3x 的反函数的值域为(0，＋∞)．(3)×.互为反函数的图像关于直线y ＝x 对称，所以函数y ＝e x 的图像与y ＝ln x 的图像关于直线y ＝x 对称，函数y ＝lg x 的图像与y ＝10x 的图像关于直线y ＝x 对称．]2．下列函数中，反函数是其自身的函数为( )A．f(x)＝x2，x∈[0，＋∞) B．f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞) C．f(x)＝e x，x∈(－∞，＋∞)D．f(x)＝1x，x∈(0，＋∞)D[f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的反函数为f－1(x)＝x，x∈[0，＋∞)；f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f－1(x)＝3x，x∈(－∞，＋∞)；f(x)＝e x，x∈(－∞，＋∞)的反函数为f－1(x)＝ln x，x∈(0，＋∞)；只有f(x)＝1x，x∈(0，＋∞)的反函数仍为f－1(x)＝1x，x∈(0，＋∞)．]3．已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像过点Q(5,2)，则b ＝________.1[f－1(x)的图像过Q(5,2)，则f(x)的图像过点(2,5)，则f(2)＝5，即22＋b＝5，解得b＝1.]4．已知函数y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，求a，b 的值．[解]由y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，说明它们互为反函数．又由y＝ax＋2，解得x＝y－2a(a≠0)，所求反函数为y＝1a x－2a，与函数y＝3x＋b表示同一函数，则有1a ＝3且－2a＝b，解得a＝13，b＝－6.。

指数函数的概念PPT课件

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数.
谢谢指Leabharlann 函数的概念PPT课件演讲人
指数函数是重要的基本初等函数之一。指数函数与对数函数，指数函数，定义，函数称，指数函数，函数的定义域为I。底数是变量，指数是常数的函数，称为幂函数。指数函数的概念一般的，函数叫做指数函数，其中，奇数x是自变量。相同数连乘的值，是一个运算结果。
在指数函数的定义表达式中，a^x前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则就不是指数函数。

《数学》第四章“指数函数与对数函数”教学建议-精选文档

《数学》第四章“指数函数与对数函数”教学建议在初中阶段学生已经掌握了正整数指数幂的定义及其运算性质，随着新知识学习的新要求，正整数指数幂已经不能满足学习的需要了。

本章将正整数指数幂的概念与运算推广到了实数范围，在对幂概念进一步理解的基础上，引入幂函数、指数函数、对数函数，学习其相关性质与应用。

通过探究、发现、感悟等形式，让学生体会指数函数与对数函数广泛的实际应用。

掌握本章内容，对学生今后的学习、实践将会产生重要的影响。

一、大纲分析数学课程任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。

通过教学发展学生的数据处理、工具运用等技能，培养学生观察、分析与解决问题等数学能力。

大纲建议指数函数与对数函数部分为12课时，本教材新授部分11课时，复习小结1课时。

大纲规定学习应达到的能级要求包括4项了解（幂函数、积商幂的对数、对数函数的图像和性质、指数函数与对数函数应用），3项理解（有理数指数幂、指数函数的图像和性质、对数的概念）以及2项掌握（实数指数幂及其运算法则、利用计算器求对数值）。

二、知识体系三、教学建议本章内容的学习基于已掌握的函数相关概念、性质以及幂的概念、运算等知识。

教学过程中应创设让学生主动探究、合作学习的教学氛围，注重运用类比、归纳等教学方法，将构建“知识体系”作为学习的策略和目标，切实激发学习的兴趣，提升学习的能力，达成教学目标。

下面，笔者按节就设计思路、教学目标、内容要点、教学建议（分课时）四个方面进行教材解读，给出教学建议。

（一）§4.1实数指数幂（2课时）设计思路：通过探究xn=a中a、n、x之间的关系，引导学生理解识记n次方根以及根式的概念及性质，引出分数指数幂的概念，将幂指数由正整数推广到有理数范围。

通过用计算器求幂的值及阅读“读一读”的内容，让学生体验到无理指数幂也有意义，进而将有理指数幂推广到无理指数幂的范围。

指数函数一般式

指数函数一般式指数函数是高等数学中的一种重要函数，它具有许多独特的特点和应用。

本文将详细介绍指数函数的一般式及其相关概念。

一、指数函数的一般式指数函数的一般式可表示为y=a^x，其中a为底数，x为指数，y为函数值。

底数a通常是正实数且不等于1。

指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。

指数函数图像呈现出一种特殊的指数增长或指数衰减趋势。

二、指数函数的性质1. 基本性质：指数函数在定义域内严格单调递增或递减，与底数a的大小有关。

2. 对称性：当底数a为负数时，指数函数呈现出关于y轴对称的特点。

3. 与指数幂函数的关系：指数函数是指数幂函数在指数为实数时的特殊情况。

4. 自然指数函数：底数为自然常数e的指数函数被称为自然指数函数，通常表示为y=e^x。

三、指数函数的图像特点1. a>1的情况：指数函数的图像在x轴的右侧由左下向右上增长，表现出指数增长的趋势。

2. 0<a<1的情况：指数函数的图像在x轴的右侧由左上向右下递减，表现出指数衰减的趋势。

3. a<0的情况：指数函数的图像在x轴的右侧由左上向右下递减，但具有对称性，关于y轴对称。

四、指数函数的应用1. 财经领域：指数函数可以用来描述资产或指数的增长与衰减规律，预测市场趋势。

2. 自然科学领域：指数函数常用于描述物质的衰变、细胞的增长、生态系统的变化等。

3. 统计学领域：指数函数可应用于统计分布模型，如指数分布、泊松分布等。

4. 工程领域：指数函数广泛运用于电路、信号处理、计算机科学等领域。

综上所述，指数函数是一种重要的数学函数，具有丰富的性质和广泛的应用领域。

通过深入了解指数函数的一般式及相关知识，我们能够更好地应用和理解指数函数在实际问题中的作用，为各个领域的发展和研究提供有力支持。

高中数学第4章指数函数与对数函数4.3对数4.3.1对数的概念教学案第一册数学教学案

4.3.1 对数的概念(教师独具内容)课程标准：通过具体实例，理解对数的概念，了解常用对数与自然对数．理解对数的简单性质．教学重点：1.对数的概念，指数式与对数式的互化.2.对数的简单性质．教学难点：对数概念的理解，指数式与对数式之间的熟练转化.【知识导学】知识点一对数的概念(1)对数的概念：如果□01a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数□02x 叫做以□03a 为底□04N 的对数，记作□05x ＝log a N ，其中□06a 叫做对数的底数，□07N 叫做真数． (2)两种特殊的对数①常用对数：通常□08以10为底的对数叫做常用对数，N 的常用对数log 10N 简记为□09lg_N ； ②自然对数：□10以e 为底的对数称为自然对数，N 的自然对数log e N 简记为□11ln_N (其中e ＝2.71828…)．知识点二对数与指数的关系 (1)对数的基本性质①□01零和负数没有对数，即真数N >0； ②1的对数为□020，即log a 1＝□030(a >0，且a ≠1)；③底数的对数等于□041，即log a a＝□051(a>0，且a≠1)．(2)两个重要的对数恒等式①a log a N＝□06N(a>0，且a≠1，N>0)；②log a a N＝□07N(a>0，且a≠1)．【新知拓展】在对数的概念中为什么规定a>0且a≠1(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．(2)若a＝0，①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值．(3)若a＝1，①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．因此规定a>0，且a≠1.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样．( )(3)对于同一个正数，当底不同时，它的对数也不相同．( )(4)等式log a 1＝0对于任意实数a 恒成立．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若5x＝2019，则x ＝________. (2)lg 10＝________；ln e ＝________. (3)将log 3a ＝2化为指数式为________．答案 (1)log 52019 (2)1 1 (3)32＝a 题型一对数的概念例 1 (1)使对数log 2(－2x ＋1)有意义的x 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12(2)在对数式b ＝log a －2(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4[解析] (1)要使对数log 2(－2x ＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x <12，所以x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12，故选C.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a －2≠1，5－a >0，解得2<a <3或3<a <5.[答案] (1)C (2)C 金版点睛对数有意义的条件对数有意义的两个条件：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零．[跟踪训练1] (1)函数f (x )＝lgx ＋1x －1中x 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)(2)若log (2x －1)(x ＋2)有意义，求x 的取值范围．答案 (1)C (2)见解析解析(1)要使函数有意义，必有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0，解得x >－1且x ≠1，故选C.(2)若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >12，且x ≠1.即x的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12，且x ≠1. 题型二指数式与对数式的互化例 2 (1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝132；34＝81；⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ；(2)将下列对数式改写成指数式：log 5125＝3；log 1216＝－4；ln a ＝b ；lg 1000＝3.[解] (1)log 216＝4；log 2132＝－5；log 381＝4；log 12n ＝m .(2)53＝125；⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16；e b ＝a ；103＝1000.金版点睛由指数式a b＝N 可以写成log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下：[跟踪训练2] (1)若a ＝log 23，则2a ＋2－a ＝________； (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： ①log 216＝4；②log 3x ＝6；③43＝64. 答案 (1)103(2)见解析解析 (1)因为a ＝log 23，所以2a＝3，则2a＋2－a＝3＋3－1＝103.(2)①24＝16；②(3)6＝x ；③log 464＝3. 题型三对数性质的应用例3 (1)给出下列各式：①lg (lg 10)＝0； ②lg (ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10； ④由log 25x ＝12，得x ＝±5.其中，正确的是________(把正确的序号都填上)； (2)求下列各式中x 的值：①log 2(log 5x )＝0；②log 3(lg x )＝1； ③log (2－1)(2－1)＝x ；④3x ＋3＝2.[解析] (1)∵lg 10＝1，∴lg (lg 10)＝lg 1＝0，①正确；∵ln e＝1，∴lg (ln e)＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误；由log 25x ＝12，得x ＝25 12 ＝5，④错误．故填①②.(2)①∵log 2(log 5x )＝0. ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.②∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000. ③∵log (2－1) (2－1)＝x ，∴(2－1)x＝2－1， ∴x ＝1.④∵x ＋3＝log 32，∴x ＝log 32－3. [答案] (1)①② (2)见解析金版点睛对数性质在计算中的应用(1)对数的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0(a >0，且a ≠1)． (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．[跟踪训练3] (1)若log 2(x 2－7x ＋13)＝0，求x 的值；(2)已知log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值．解 (1)因为log 2(x 2－7x ＋13)＝0，所以x 2－7x ＋13＝1，即x 2－7x ＋12＝0，解得x ＝4或x ＝3.(2)因为log 2[log 3(log 4x )]＝0，所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3.所以x ＝43＝64.同理求得y ＝16.所以x ＋y ＝80.题型四对数恒等式的应用例4 求下列各式的值：(1)5log 54；(2)3log 34－2；(3)24＋log 25.[解] (1)设5log 54＝x ，则log 54＝log 5x ，∴x ＝4. (2)∵3log 34＝4，∴3log 34－2＝3log 34×3－2＝4×19＝49.(3)∵2log 25＝5，∴24＋log 25＝24×2log 25＝16×5＝80. 金版点睛运用对数恒等式时的注意事项(1)对于对数恒等式a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．[跟踪训练4] 求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19log 34的值．解原式＝31×3log 36－24×2log 23＋(10lg 3)3＋3－2×log 34＝3×6－16×3＋33＋(3log 34)－2＝18－48＋27＋116＝－4716.1．若a >0，且a ≠1，c >0，则将a b＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝a D ．log c a ＝b 答案 B解析由对数的定义直接可得log a c ＝b . 2．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B．4 C ．256 D ．2 答案 B解析 ∵x 2＝16且x >0，x ≠1，∴x ＝4.故选B.3．若log 3181＝x ，则x ＝________.答案－4解析 ∵log 3181＝log 33－4，∴3x ＝3－4，∴x ＝－4.4．式子2log 25＋log 32 1的值为________．答案 5解析由对数性质知，2log 25＝5，log 32 1＝0，故原式＝5.5．求下列各式中x 的值：(1)若log 3 1＋2x3＝1，求x 的值；(2)若log 2019(x 2－1)＝0，求x 的值．解 (1)∵log 31＋2x 3＝1，∴1＋2x3＝3，∴1＋2x ＝9，∴x ＝4. (2)∵log 2019(x 2－1)＝0，∴x 2－1＝1，即x 2＝2.∴x ＝± 2.。

高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算课件新人教A版必修第一册

答案 C
解析
log512＝llgg152＝2l1g－2＋lgl2g
3 2a＋b ＝ 1－a ，故选
C.
10．设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝(
)
A. 10 B．10 C．20 D．100
答案 A
解析 ∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m.1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10 ＝2，∴m2＝10.又 m>0，∴m＝ 10，选 A.
解析由对数的运算性质知 A，B 错误，C 正确；D 中－2 不能作底数， ∴D 错误，故选 C.
2．若 lg x－lg y＝a，则 lg 2x3－lg 2y3＝(
)
A．3a
3 B.2a
C．a
a D.2
答案 A
解析由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.
－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5
＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12.
解法二：原式＝lg
4 7
2－lg
4＋lg
7
5＝lg
4
2×7 7×4
5＝lg (
2×
5)＝lg
10＝12.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
12．方程 log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．答案 4 解析由换底公式得 log9(x＋5)＝12log3(x＋5)． ∴原方程可化为 2log3(x－1)＝log3(x＋5)，即 log3(x－1)2＝log3(x＋5)， ∴(x－1)2＝x＋5. ∴x2－3x－4＝0，解得 x＝4 或 x＝－1.

高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数对数函数的图象与性质1学生用书湘教版必修第一册

4．3.3　对数函数的图象与性质最新课程标准1.通过具体实例，了解对数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．2．知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数(a ＞0且a ≠1)．学科核心素养1.了解对数函数的概念．(数学抽象)2．掌握对数函数的图象和性质，并会解决相关的问题．(数学抽象，逻辑推理)3．会解决对数型函数的定义域、值域、单调性等有关的问题．(逻辑推理、数学运算 )第1课时　对数函数的图象与性质(1)教材要点要点一　对数函数的概念对数运算y ＝____________________确定了一个函数，叫作(以a 为底的)对数函数．状元随笔　(1)因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a ＞0，且a≠1.(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)中，log a x 前边的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则就不是对数函数．要点二　反函数一般地，指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．要点三　对数函数的图象与性质表达式y ＝log a x (a ＞1)y ＝log a x (0＜a ＜1)图象性质定义域________值域R过点________，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是________在(0，＋∞)上是________状元随笔　底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)y＝log2x2是对数函数．( )(2)对数函数y＝log5x与y＝log15x的图象关于y轴对称．( )(3)对数函数的图象都在y轴的右侧．( )(4)函数y＝a x与函数y＝log a x的图象关于直线y＝x对称．( )2．(多选)若函数y＝log a x的图象如图所示，则a的值可能是( )A．0.3B．1 5C．32 D．π3．函数f(x)＝lg (2x－1)的定义域为( ) A．[12，+∞)B．(12，1) C．(12，+∞)D．[12，1]4．函数y＝log a(x－3)－2的图象过的定点是________．　对数函数的图象问题角度1　图象过定点问题例1　已知函数y＝log a(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．方法归纳解决与对数函数有关的函数图象过定点问题的方法：对任意的a＞0且a≠1，都有log a1＝0，例如，解答函数y＝m＋log a f(x)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点的问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．角度2　对数函数的底与图象变化的关系例2　如图所示的曲线是对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________.方法归纳当0＜a＜1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢．当a＞1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．角度3　图象的识别问题例3　函数y＝log a|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )方法归纳(1)对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点等求解．(2)根据函数解析式确定函数图象的问题，主要是通过不同的角度来确定函数解析式与函数图象的对应关系，如函数的定义域(值域)、单调性，图象是否过定点、图象的对称性等．跟踪训练1　(1)函数y＝x＋a与y＝log a x的图象只可能是下图中的( )(2)图中曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取√3，43，35，110四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )A．√3，43，35，110B．√3，43，110，35C．43，√3，35，110D．43，√3，110，35(3)函数y＝log a(2x－1)＋2的图象恒过定点P，点P在指数函数f(x)的图象上，则f(－1)＝________．题型2　对数型函数的定义域例4　求下列函数的定义域：(1)y＝logx2−2(x−2)；(2)f(x)＝0√||lg (x＋2)．方法归纳求函数的定义域，首先要分析自变量x 的约束条件，在与对数函数有关的问题中应注意真数大于零，底数大于零且不等于1；其次求解不等式时，要充分应用函数的性质．跟踪训练2　(1)函数y ＝√log 2(2x −1)的定义域为( )A ．(12，+∞) B ．[1，＋∞)C ．(12，1]D ．(－∞，1)(2)函数y ＝log a (x －1)＋log a (1＋x )的定义域为________．　对数型函数的值域与最值问题例5　求函数f (x )＝log 2(4x )log 14x 2，x ∈[12，4]的值域．方法归纳(1)利用对数运算性质化为关于log 2x 的一个二次函数，再通过二次函数的性质求最值．(2)求形如y ＝log a f (x )(a ＞0且a ≠1)的复合函数值域的步骤：①求函数的定义域；②将原函数拆分成y ＝log a u (a ＞0，且a ≠1)，u ＝f (x )两个函数；③由定义域求u 的取值范围；④利用函数y ＝log a u (a ＞0且a ≠1)的单调性求值域．跟踪训练3　已知函数f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．易错辨析　忽视对底数的讨论致误例6　若函数y＝log a x(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．解析：当a＞1时，函数y＝log a x在[2，4]上是增函数，所以log a4－log a2＝1，即log a 42＝1，所以a＝2.当0＜a＜1时，函数y＝log a x在[2，4]上是减函数，所以log a2－log a4＝1，即log a 24＝1，所以a＝12.综上可知a＝2或a＝12.答案：2或12易错警示易错原因纠错心得忽视对底数a的分类讨论，只考虑了a＞1底数的范围不同决定了对数函数的单调性不的情况，漏掉了0＜a＜1的情况．同，从而影响了在闭区间上的最值．所以一定要对底数进行讨论．课堂十分钟1．(多选)函数f(x)＝log a(x＋2)(0＜a＜1)的图象必过( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数f(x)＝√1−log2(x+2)的定义域为( )A．[－2，0] B．(－2，0)C．(－2，0] D．(－2，＋∞)3．函数f(x)＝x|x|log a x(0＜a＜1)的图象大致为( )4．若函数y＝(a2＋a－5)log a x为对数函数，则f(1)＝________．5．设a＞1，函数f(x)＝log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为12，求实数a的值．4．3.3　对数函数的图象与性质第1课时　对数函数的图象与性质(1)新知初探·课前预习要点一log a x(x>0，a>0且a≠1)要点三(0，＋∞)　(1，0)　增函数　减函数[基础自测]1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．解析：由图象可知函数y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，所以0<a<1.答案：AB3．解析：由对数函数的概念可知2x－1>0，即x>12，故选C.答案：C4．解析：因为对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)恒过定点(1，0)，所以令x－3＝1，即x＝4，此时y＝－2，所以函数y＝log a(x－3)－2过定点(4，－2).答案：(4，－2)题型探究·课堂解透例1　解析：依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝.答案：例2　解析：由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞1，b＞1，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜1，0＜d＜1.过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.答案：b>a>1>d>c例3　解析：函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1.答案：A跟踪训练1　解析：(1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝log a x为减函数，A 错；B中，0＜a＜1，而y＝log a x为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝log a x为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝log a x无意义，也不对．(2)已知图中曲线是对数函数y＝log a x的图象，由对数函数的图象和性质，可得C1，C2，C3，C4的a值从小到大依次为：C4，C3，C2，C1，由a取，，，四个值，故C1，C2，C3，C4的a值依次为，，，.(3)根据题意，令2x－1＝1，得x＝1，此时y＝2，所以定点P的坐标是(1，2)，所以f(x)＝2x，所以f(－1)＝.答案：(1)C　(2)A　(3)例4　解析：(1)由得，所以定义域为(2，＋∞).(2)由得，所以定义域为(－2，－1)∪(－1，0).跟踪训练2　解析：(1)由题意得{x−1>olog(2x−1)≥0即{x>12x≥1故函数的定义域为[1，＋2∞).(2)由题意知{x−1>01+x>0　解得x>1，∴函数y＝log a(x－1)＋log a(1＋x)的定义域为(1，＋∞).答案：(1)B　(2)(1，＋∞)例5　解析：f(x)＝log2(4x)·log\f(1,4＝(log2x＋2)·＝－.设log2x＝t.∵x∈，∴t∈[－1，2]，则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，因此二次函数图象的对称轴为t＝－，∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，∴当t＝－时，y有最大值，且y max＝；当t＝2时，y有最小值，且y min＝－2.∴f(x)的值域为.跟踪训练3　解析：(1)由题意得解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3).(2)因为f(x)＝log a[(1＋x)(3－x)]＝log a(－x2＋2x＋3)＝log a[－(x－1)2＋4]，若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值log a4，所以log a4＝－2，a－2＝4，又0＜a＜1，所以a＝.若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值log a4，f(x)无最小值．综上可知，a＝.[课堂十分钟]1．解析：f(x)＝log a(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示．所以必过第二、三、四象限．答案：BCD2．解析：要使函数有意义，则1－log2(x＋2)≥0得log2(x＋2)≤1，即0＜x＋2≤2，得－2＜x≤0，即函数的定义域为(－2，0].答案：C3．解析：在log a x中x>0，∴y＝x|x|log a x＝log a x(0<a<1)，故选B.答案：B4．解析：由对数函数的定义可知a2＋a－5＝1.解得a＝2或a＝－3(a＝－3舍去)，∴f(x)＝log2x，∴f(1)＝0.答案：05．解析：∵a>1，∴f(x)＝log a x在(0，＋∞)上是增函数．∴最大值为f(2a)，最小值为f(a).∴f(2a)－f(a)＝log a2a－log a a＝，即log a2＝.∴a＝4.11。