指数函数及其图像 - 360文档中心

指数,对数,幂函数的图像和性质

指数函数的图像是一条向上开口的曲线，通常表示为y=a^x（a>0，a≠1）。

指数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为1。

2.对于不同的指数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。

如果改变指数函数的
指数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。

3.对于相同的指数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。

对数函数的图像是一条向右开口的曲线，通常表示为y=loga(x)（a>0，a≠1）。

对数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为0。

2.对于不同的对数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。

如果改变对数函数的
底数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。

3.对于相同的对数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。

幂函数的图像可以是一条向上开口的曲线，也可以是一条向右开口的曲线，通常表示为y=x^n（n为常数）。

幂函数的性质有：
1.当n>0 时，幂函数的图像是一条向上开口的曲线。

2.当n<0 时，幂函数的图像是一条向右开口的曲线。

3.当n=0 时，幂函数的图像是一条水平直线。

4.幂函数的图像在y 轴上的截距为1。

5.对于不同的幂函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。

如果改变幂函数的指数，
则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。

6.对于相同的幂函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生伸
缩。

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+∞) 增增增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xy Ox y =2x y =21xy =1-=xy 3x y = O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

3. 指数函数图像

x x 1 x 1 2 x 0 ,即x 1 ,或x 0 ，
当0 x 1 时，y 0 ;当x 1 时，y 0 , 故选B
4.翻折变化：
1 y f x 去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图 y f x 将y 轴右边的图像翻折到左边去
① f x ex f x = e x
② f x = e x f x 2 = e x-2
指数函数的图象
知识点
1.当当0a

1 a
时，底数a 越大，图象在x 1 时，底数a 越小，图象在x
0
时越接近y 轴，在x 0 0 时越接近x 轴，在x
时越接近x 轴 0 时越接近y 轴
2.平移变换：左加右减
1 f x 向左平移a 个单位 f x a 2 f x 向上平移 a个单位 f x a 3 f x 向右平移 a个单位 f x a 4 f x 向下平移a个单位 f x a

解析：① 有界性：由函数的定义域得x 0 , A错；当x 0 时，y 0 ,B错;
② 指数爆炸，当x , y 0 ,D错
例7 函数y x3 x 2 x 的图象大致是

解析：① 奇偶性：f x x3 x 2 x f x ,故函数为奇函数，C错； ② 有界性：令y 0 ,则 x3 x 2 x 0
D. a b 1 d c
例2 已知1 n m 0 ,则指数函数① y mx ,
② y nx 的图象为
例3 已知函数y ax b a 0且 a 1 的图象经过
第二、三、四象限，则有

A. 0 a 1 ,b 1

指数函数的图像和性质1

列表
x ... -2 -1 0 1 2 3 ... 10 ...
y=2x ... 0.25 0.5 1 2 4 8 ... 1 024 ...
y=3x ... 0.11 0.33 1 3 9 27 ... 59 049 ...
做一做
描点画出图像
y 3x
y 2x
(1)当x<0时,总有2x>3x;
指数函数的图像和性质
观察,归纳
指数函数在底数a＞1及0＜a＜1,两种情况的图象和性质如下:
a>1
0＜ a ＜ 1
图象
(1)定义域:R
性 (2)值域:( 0 ,+∞ )
(3)过点（0，1），即x=0时，
质 y(4=)当1 x>0时,y>1;x<0时0<y<1 (4)当x>0时,0<y<1;x<0时y>1
(2)当x>0时,总有2x<3x;
(3)当x>0时,y=3x比y=2x的函
数值增长得快.
a>b>1时,
(1)当x<0时,总有ax<bx<1;
(2)当x=0时,总有ax=bx=1;
(3)当x>0时,总有ax>bx>1;
(4)指数函数的底数越大,当x>0时,其函数值增
长得就越快.
y 3x
y 2x
(2)因为y=0.75x是R上的减函数,0.1>-0.1,所以 0.750.1<0.75-0.1.
练习:
比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.7 2.5, 1.7 3 (2) 0.8 –0.1, 0.8 –0.2 (3) 1.7 0.3, 0.9 3.1

指数函数的图像和性质

2 1 0.5 0.25 …
动手操作, 画出图像
y
y (1)x
2
4
y=2x
3
2
1
-3 -2 -1
01
23
x
-1
动手操作, 画出图像
y

1 2
x
y

1 3

x
y 3x
y2x
观察以上四个函数的图象,你发现了什么特征?有何异同?
观察图像, 得出性质
a>1
0<a<1
图
y
y=ax
(a>1)
y=1
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
(0,1)
象
0
x
0
x
定义域: R
性
值域: (0,+ ∞ )
过定点：( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
质在 R 上是增函数
在 R 上是减函数
的底数是多少？这个函数的
1 2
,

1 2
0

,

1 2
1

,

1 2

2
,

1 2

2
;
y

1 2
x

函数值？？什么函数？
引入概念
我们从两列指数式和一个实例抽象得到两个函数:
y

2x
与y

1 2

x
这两个函数有何特点?
1.指数函数的定义：

指数函数及图像.ppt

[规律方法] 1.求含有指数型的函数定义域时，要注意考虑偶次根式的被开方数大于等于0，分母不为0等限制条件．
2．求含有指数式的复合函数的值域时，要结合指数函数的单调性和定义域来考虑，不要遗漏了指数函数的值域大于0.
【活学活用 3】求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝
；(2)y＝ 1－3x.
解 (1)由 x－2≥0，得 x≥2.
R.因为5－x>0，所以5－x－1>－1，
所以函数的值域为(－1，＋∞)
课堂小结
1．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，
且f(0)＝1.
2．当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．当0<a<1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速
度越快．
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯的变化资料
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设，邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在架台设湾第一条电报线，成为中国自办电报的开端。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“

《指数函数》PPT课件

商的乘方
商的乘方等于乘方的商。如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指数的增大而趋于无穷大；当底数在0到1之间时，指数函数随着指数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的，即对于任意两个相邻的点，函数值之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的代谢过程，用于计算药物浓度随

指数函数的图像和性质-课件

，
0.80.2
；
（3）0.3 −0.3 ，, 0.2−0.3 ；
（4）1.70.3, 0.93.1 。
同底比较大小
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
或中间变量进行
比较
不同底但同指数
底不同，指数也不同
小结: 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1)同底数指数幂比大小,构造指数函数，利用
2
质
指数函数的性质
通过研究对比不同底数的指数函数图像，
整理出了，指数函数与底数的关系以及
函数性质。
2
4
指数函数的图像
1
通过比较 = 2 ， = 3 ， = （）
1
2
， = （）的图像，我们归纳出了指数
3
函数 = 的一般像。

应用和检测
看指数函数图像比底数
比较两个幂的形式的数大小
1.75 , 41.75
（4） 3
1 −2 −3
（6） ( ) 3 , 2 5
3
当堂检测：
如图4.2-7.某城市人口呈指数增长.
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人?
课堂小结
1
3
复习指数函数的概念
指数函数的定义
1
指数函数y = 2x ，y = （）x 的图像与性
函
数
( >
1) 与 x轴
下面的指数
函数有无公
有无公共点？
共点？
函数的定义
讨论函数的
域是什么？
单调性？

指数函数的图像与性质

X
细胞分裂问题：
任何有机体都是由细胞作为基本单位组成的，每个细胞每次分裂为2个，则1 个这样的细胞第一次分裂后变为2个细胞，第2次分裂后就得到4个细胞，第3次分裂后就得到8个细胞，…。那么，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x函数关系是什么？
观察细胞分裂过程图：
0 0.1 1, y 0.1x 是减函数，且-0.1 0.1,
0.10.1 0.10.1
巩固练习（P107习题第5题）
5、比较下列各题中两个值的大小：
(1)30.8
30.7
(2)0.ห้องสมุดไป่ตู้50.2
0.750.2
(3)0.91
0.91.1
(4)1.12
y 1 ax
自变量(R)
大于0，不等于1的常数
y 1 ax
练习：下列哪些函数是指数函数?
√ (1)y=2x,
√ (2)y=(1/2)x, × (3)y=x3,
× (4)y=2·3x, × (5)y=(-10)x, × (6)y=3x+1.
例题解释
例1 已知指数函数f (x) 2x，求f (2), f (1), f (0), f (1)的值。
例题解释
例3 利用指数函数的单调性，比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.60.1与1.60.2
(2)0.70.1与0.70.2
解：(1)考察函数y 1.6x
1.6 1, y 1.6x 是增函数，且0.1 0.2,
1.60.1 1.60.2
(2)考察函数y 0.7x
解：f (2)
22

1 22

1 4

指数函数的图像及性质

∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2. 【答案】 D
求与指数函数有关的函数的定义域与值域
求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝( 1 )2x－x2；(2)y＝9x＋2×3x－1.
2
思路点拨：这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法(如(2))．
素材2.1 设函数f x =a－ (a 0且a 1)，
x
若f 2 = 4，则a = f (2)与f 1的大小关系是；
，
xa x 2 函数y = 0 a 1的 | x| 图象的大致形状是

解析：
1由f 2 4，得a
－2
1 4，所以a ， 2
另一部分是：y=3x
(x<0)
向左平移
1个单位
y=3x+1 (x<-1).
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，
在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高
在作函数图象时,首先要研究函数与某一
基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
考点探究
点评：利用单调性可以解决与指数函数有关的值域问题．指数函数本身是非奇非偶函数，但是与指数函数有
关的一些函数则可能是奇函数或偶函数．要注意使用相关
的概念和性质解决问题．
考点探究
2 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，1)时，f(x)＝ x . 4 ＋1 (1)求 f(x)在(－1，1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0，1)上是减函数．

指数函数及其图像与性质_图文

小试牛刀
例2.判断下列函数在其定义域上的单调性
(1)y=4x; 解：
知识积累：
y
指数函数y=2x的性质 x
（1）函数的定义域为R，值域为(0，∞); （2）图像都在x轴的上方，向上无限延伸，
向下无限接近x轴；（3）函数图象都经过（0,1）点；（4）函数图像自左至右呈上升趋势。
动手试一试
列表：
x
…
-3
…
8
图像：
指数函数y= 的图像
-2
-1.5
-1
-0.5
指数函数及其图像与性质_图文.ppt
直观感知：核裂变
如果裂变次数为x ，裂变后的原子核为 y，则y与x之间的关系是什么？
y=2x
你还能举出一些类似的例子吗？（如细胞分裂……）
归纳结论
指数函数的概念：
一般地，设a>0且a≠1，形如y=ax的函数称为指数函数。定义域：R
学以致用
问题：对于其它a的值，指数函数的图像又是怎样的呢？
及时复习~~积沙成塔
指数函数的图像和性质：
y=ax
a
a>1
0<a<1
图
像
性质
(1)函数值都是正的； (2)x=0时，y=1； (3)当x>0时，y>1;当x<0时， 0<y<1； (4)f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
（1）函数值都是正的；（2）x=0时，y=1；（3）当x>0时， 0<y<1 ;当x<0时， y>1 ；（4）f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
0
0.5

指数函数及其图像.

数y与x的函数关系式是 y＝2x.
类似这样的函数就是我们今天将要学习的指数函数
一. 指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做
指数函数，其中x是自变量，函数定义域
是R.
系数为1
注意：
y＝1 ·ax
自变量
常数a>0且a≠1
练习：下列函数中，哪些是指数函数?
把它们放入集合A中．
⑴ y＝10x；
的图象如下图所示，则底数 a, b, c, d 与正整数 1
共五个数，从大到小的顺序是： 0 b a 1 d c.
y
y bx y ax
1
y cx y dx
1
x
0
指数函数图象的性质
(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.
②如果a<0，则对于一些函数，比如y＝(－4)x，
当x 1 , x 1 时，ax在实数范围内无意义 24
③如果a＝1，则y＝1x＝1是个常量，就没有研究的必要了．
二.指数函数的图象和性质：
作函数图象的步骤是什么？列表，描点，连线
作出函数y 2x的图象.
列表
x 3 2 1 0 1 2 3 y 2x 1 1 1 1 2 4 8
思考2: 底数a对指数函数y＝ax的图象有何影响?
(1) a＞1时，图象向右不断上升，并且无限靠近x轴的负半轴； 0＜a＜1时，图象向右不断下降，并且无限靠近x轴的正半轴．
(2) 指数函数
y

a
x与y

1

x
的图象
关于y轴对称.

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+∞) 增增增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xy Ox y =2x y =21xy =1-=xy 3x y = O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

指数函数及其图像与性质

应用题：（选自《财务管理》96页第2题）现在的股市是牛市，每天涨停板（增加10%），若现在投资一万元，每天把增加的钱继续投资，以天数为自变量x，每天的资金为函数y，请写出对应关系式。
试一试你是最棒的！
精选ppt
14
点滴收获： 1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义
指数函数的图像及性质
(6)y3x 1
精选ppt
6
设问2：得到函数图像一般用什么方法？
①求定义域、②列表(求对应的x和y 值)、③描点、④作图
用描点法绘制y 2x, y (1)x的草图：
用描点法绘制 y 3x,
y
12x
3
的草图：
精选ppt
7
用描点法绘制 y 2 x 的草图：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 ...
分析判定指数函数单调性的关键在于判断底a的情况：
当 a>1时，函数在 , 内是增函数；当 0<a<1时，函数在 , 内是减函数．
尝试解决
精选ppt
11
巩固知识典型例题
例2
已知指数函数
f
(x)
ax
的图像过点
2,
9 4
，
求 f (3) 的值．
分析
首先需要根据函数图像过点
2,
9 4
的条件确定底
，
向下无限接近于x轴；
2．函数图像都经过点（ 0 ，1）；
1
y 1 x 3．函数 y= 2 x 的图像自左至右呈上升趋势； 2
0 y 1 x 3
x 函数 y= (1)x 的图像自左至右呈下降趋势．

指数函数的图像及性质 PPT

面积是多少？（用y 表示面积）
知新益能
1．指数函数定义一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做__指__数__函__数___，其
中__x_为自变量，函数的定义域为_R__.
注意：
1.底数为常数，指数为自变量 2.三个“1”
小试牛刀
下列哪些是指数函数？
(1)y= 2x (3)y=(-2)x (5)y= 2-x (7)y= 2x+1
(2)y= x2 (4)y=-2x (6)y= 22x (8)y= 2x+1
新知 2
一下指数函数的图象。
新知提炼
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
定义域为_R_；值域为__(0_，__＋__∞__) __
性质
根据指数函数的概念，求函数解析式．例1 指数函数 f ( x) 的图象过点（3 , 27)，求 f (0) , f (1) , f (2) 的值
解：设 f ( x) a x (a 0且a 1)
因为函数 f (x) 过点( 3 , 27 ) 所以有 f (3) 27 ，即a3 27 解得 a 3, 于是 f (x) 3x
过定点__(0_,_1_) ，即_x_＝__0_时，__y＝__1_ 若x>0，则__y_＞__1_；若x>0，则_0_＜__y_＜__1_；若x<0，则_0_＜__y_＜__1_ 若x<0，则_y_＞__1__
在R上是__增__函_数___ 在R上是__减__函__数__
考点突破
指数函数的概念
所以 f (0) 30 1 , f (1) 3 ,
f (2) 32 1 9