高中数学必修二：4.1.2圆的一般方程学案设计 新人教A版必修2
高中数学4.1.2圆的一般方程导学案新人教A必修2
浙江省温州市苍南县巨人中学高中数学 4.1.2 圆的一般方程导学案
新人教A 版必修2
一、【课前预案】 【学习目标】
1.掌握圆的一般方程，圆的一般方程和圆的标准方程之间的互化。
2.会用待定系数法求圆的一般方程。
【重点，难点】
重点：圆的一般方程与圆的标准方程互化。
难点：选择适当的方式求圆的方程。
1、已知圆的方程为4)1()
2(22=-++y x ，写出圆心坐标和半径；并将其展开。
二、【课中导案】
（一）、合作探究
归纳： 方程
满足的条件 暗示图形 022=++++F Ey Dx y x
（二）、当堂检测
1、判断下列二元二次方程是否暗示圆，若是，写出圆心与半径；反之说明理由
06420642320342220
34222222222=-+-+=-+-+=-+-+=-+-+y xy y x y x y x y x y x y x y x ④③②①
2、求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2)的圆的方程，并求出圆心和半径.
归纳求圆的方程的方式：
练习、△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程，并求出圆心和半径.
(三)课堂小结
1、知识点
2、方式
3、思想
三、【课后作业】
5、已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1,1)和B(1,3),求圆C的方程.。
高中数学 4.1.2 圆的一般方程学案 新人教A版必修2
课前预习学案一．预习目标回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．二．预习内容１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？３．圆的方程的求法有哪些？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．学习难点：圆的一般方程的特点．二．学习过程前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r，现将展开可得x+y-2ax-2by+a2+b-r=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x+y+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x+y+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的轨迹2．引出圆的一般方程的定义探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0．（２）与圆的一般方程x+y+Dx+Ey+F=0，(D+E-4F＞0)．（３）的系数可得出什么结论？例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x+y-8x+6y=0，(2)x+y+2by=0．变式训练１：１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0与x 轴切于原点，则有（ ）Ａ．F =0，DE ≠0 Ｂ．E 2＋F 2=0，D ≠0 Ｃ．D 2＋F 2=0，E ≠0 Ｄ．D 2＋E 2=0，F ≠0例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．变式训练２： 求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C1∶x+y-2x+10y-24=0和C2∶x+y+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．四．当堂检测 １．方程342-+-=x x y 表示的曲线是（ ）Ａ．在x 轴上方的圆 Ｂ．在y 轴右方的圆 Ｃ．x 轴下方的半圆 Ｄ．x 轴上方的半圆２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 .３．求经过两圆x+y+6x-4=0和x+y+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．参考答案：１．Ｄ ２．x+y-６x+８y=0 ３．x+y-x+7y-32=0课后练习与提高１．方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．－71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞71２．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（ ）Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0 ３．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（ ）Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =0４．方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 . ５．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 . ６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．。
高中数学(4.1.2圆的一般方程)示范教案新人教A版必修2
所以方程 4x2+4y2-4x+12y+9=0 表示圆的方程 , 其圆心坐标为 ( 1 ,- 3 ), 半径为 1 ；
22
2
(2) 由 4x2+4y2-4x+12y+11=0, 得
D=-1,E=3,F= 11 ,D2+E2-4F=1+9-11=-1 ＜0, 4
所以方程 4x2+4y2-4x+12y+11=0 不表示圆的方程 .
图1 解法一 : 如图 1, 作 MN∥OQ交 x 轴于 N,
则 N 为 OP的中点 , 即 N(5,0). 因为 |MN|= 1 |OQ|=2( 定长 ).
2 所以所求点 M的轨迹方程为 (x-5) 2+y2=4.
点评 : 用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件 , 然后再将条件 代数化 . 但在许多问题中 , 动点满足的几何条件较为隐蔽复杂 , 将它翻译成代数语言时也 有困难 , 这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法 . 转移法就是一种很重要的方法 . 用转移 法求轨迹方程时 , 首先分析轨迹上的动点 M的运动情况 , 探求它是由什么样的点控制的 . 解法二 : 设 M(x,y) 为所求轨迹上任意一点 Q(x0,y 0).
④把式子 (x － a) 2＋ (y －b) 2=r 2 与 x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较 , 得出 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件 .
⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较 , 看各自有什么特点 ? 讨论结果：①以前学习过直线 , 我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截
4.1.2 圆的一般方程
人教版高中数学全套教案导学案高中数学 (4.1.2 圆的一般方程)示范教案 新人教A版必修2
4.1.2 圆的一般方程整体设计教学分析教材通过将二元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方后化为(x+2D )2+(y+2F )2=4422F E D -+后只需讨论D 2+E 2-4F ＞0、D 2+E 2-4F=0、D 2+E 2-4F ＜0.与圆的标准方程比较可知D 2+E 2-4F ＞0时,表示以(-2D ,-2E )为圆心,21F E D 422-+为半径的圆；当D 2+E 2-4F=0时,方程只有实数解x=-2D ,y=-2E ,即只表示一个点(-2D ,-2E );当D 2+E 2-4F ＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.从而得出圆的一般方程的特点：(1)x 2和y 2的系数相同,不等于0；(2)没有x·y 这样的二次项；(3)D 2+E 2-4F ＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件,只有三条同时满足才是充要条件.同圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2含有三个待定系数a 、b 、r 一样,圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0中也含有三个待定系数D 、E 、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同样可以用待定系数法求得圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定.圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系,通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可避免解三元二次方程组.圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.三维目标1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件,通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.重点难点教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D 、E 、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.①说出圆心为(a,b),半径为r 的圆的标准方程.②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的标准方程展开并整理得x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2-r 2=0.③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a 2+b 2-r 2,得到方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.④能不能说方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师板书课题:圆的一般方程.思路2.问题：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程.推进新课新知探究提出问题①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?③给出式子x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x 和y 的一次项的式子.④把式子(x －a)2＋(y －b)2=r 2与x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.③把式子x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方得(x+2D )2+(y+2E )2=4422F E D -+. ④(x－a)2＋(y －b)2=r 2中,r ＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r ＜0时不表示任何图形. 因此式子(x+2D )2+(y+2E )2=4422F E D -+. (ⅰ)当D 2+E 2-4F ＞0时,表示以(-2D ,-2E )为圆心,21F E D 422-+为半径的圆； (ⅱ)当D 2+E 2-4F=0时,方程只有实数解x=-2D ,y=-2E ,即只表示一个点(-2D ,-2E ); (ⅲ)当D 2+E 2-4F ＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.综上所述,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D 2+E 2-4F ＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D 2+E 2-4F ＞0.我们把形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.⑤圆的一般方程形式上的特点:x 2和y 2的系数相同,不等于0.没有xy 这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.应用示例思路1例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x 2+4y 2-4x+12y+9=0;(2)4x 2+4y 2-4x+12y+11=0.解:(1)由4x 2+4y 2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=49, 而D 2+E 2-4F=1+9-9=1＞0,所以方程4x 2+4y 2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(21,-23),半径为21； (2)由4x 2+4y 2-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=411,D 2+E 2-4F=1+9-11=-1＜0, 所以方程4x 2+4y 2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.点评:对于形如Ax 2+By 2+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件D 2+E 2-4F 与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.变式训练求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0;(2)x 2+y 2+2by=0.解:(1)把x 2+y 2-8x+6y=0配方,得(x －4)2＋(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5；(2)x 2+y 2+2by=0配方,得x 2＋(y+b)2=b 2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.例2 求过三点O(0,0)、M 1(1,1)、M 2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.解:方法一：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由O 、M 1、M 2在圆上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=.02024,02.0F E D F E D F 解得D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6y=0,即(x －4)2＋(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.方法二：先求出OM 1的中点E(21,21),M 1M 2的中点F(25,23), 再写出OM 1的垂直平分线PE 的直线方程y-21=-(x-21), ① AB 的垂直平分线PF 的直线方程y-23=-3(x-25), ②联立①②得⎩⎨⎧=+=+,93,1y x y x 得⎩⎨⎧-==.3,4y x 则点P 的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径. 方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,即x 2+y 2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5为半径.方法四：设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2=r 2,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a 、b 、r 的方程组,即 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+=-+-.)2()4(,,)1()1(222222222r b a r b a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,4r b a 所以所求圆的方程为(x －4)2＋(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.例3 已知点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.图1解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N,则N 为OP 的中点,即N(5,0).因为|MN|=21|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即 (*)又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=16上,所以x 02+y 02=16.将(*)代入得(2x-10)2+(2y)2=16.故所求的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(002001y x f y y x f x (Ⅰ) ③从(Ⅰ)中解出⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(2010y x g y y x g x (Ⅱ)④将(Ⅱ)代入主动点Q 的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程. 这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用.变式训练已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)2+y 2=4上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解:设点M 的坐标是(x,y),点A 的坐标是(x 0,y 0).由于点B 的坐标是(4,3)且M 是线段AB 的中点,所以x=240+x ,y=230+y .于是有x 0=2x-4,y 0=2y-3. ①因为点A 在圆(x+1)2+y 2=4上运动,所以点A 的坐标满足方程(x+1)2+y 2=4,即(x 0+1)2+y 02=4.②把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-23)2+(y-23)2=1. 所以点M 的轨迹是以(23,23)为圆心,半径长为1的圆. 思路2例1 求圆心在直线l ：x+y=0上,且过两圆C 1:x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2:x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.活动:学生审题,教师引导,强调应注意的问题,根据题目特点分析解题思路,确定解题方法.由于两圆的交点可求,圆心在一直线上,所以应先求交点再设圆的标准方程.解:解两圆方程组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+-+.0822,024*******y x y x y x y x 得两圆交点为(0,2),(-4,0). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线l 上,所以得方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+=+--.0,)2(,)4(222222b a r b a r b a解得a=-3,b=3,r=10.故所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.点评：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程.例2 已知圆在x 轴上的截距分别为1和3,在y 轴上的截距为-1,求该圆的方程. 解法一:利用圆的一般方程.设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由已知,该圆经过点(1,0),(3,0)和(0,-1),则有⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++=++.0)1(,033,0122F E F D F D ,解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圆的方程为x 2+y 2-4x+4y+3=0. 解法二:利用圆的标准方程.由题意该圆经过P(1,0),Q(3,0),R(-1,0),设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,则圆心C(a,b)在PQ 的垂直平分线上,故a=2.因为|PC|=|RC|,所以2222)1()1(++=+-b a b a .将a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).而r=|PC|=5,故所求圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=5.例3 试求圆C:x 2+y 2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的曲线C′的方程.活动：学生先思考,然后解答,教师引导学生抓住本质的东西,即圆的圆心坐标变化、半径不变,另外可利用相关点法来求.解法一:设P′(x,y)为所求曲线C′上任意一点,P′关于l 的对称点为P(x 0,y 0),则P(x 0,y 0)在圆C 上. 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∙--=++-+,11,01220000x x y y y y x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=.1,100x y y x (*)因为P(x 0,y 0)在圆C 上,所以x 02+y 02-x 0+2y 0=0.将(*)代入得(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0,化简得x 2+y 2+4x-3y+5=0,即为C′的方程.解法二:(特殊对称)圆C 关于直线l 的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心C′,即求(21,-1)关于直线l:x-y+1=0的对称点C′(-2,23),因此所求圆C′的方程为(x+2)2+(y-23)2=45. 点评：比较解法一与解法二看出,利用几何性质解题往往较简单.知能训练课本练习1、2、3.拓展提升问题：已知圆x 2+y 2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P 、Q 两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求实数m 的值.解:设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+.062,0822y x m y x y x 消去y 得5x 2+4m-60=0. ① 由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m ＞0,m ＜15. 由韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧-==+.1254,02121m x x x x因为PR⊥QR,所以k PR k QR =-1.所以11112211--∙--x y x y =-1,即(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-1)(y 2-1)=0, 即x 1x 2-(x 1+x 2)+y 1y 2-(y 1+y 2)+2=0. ②因为y 1=3-21x ,y 2=322x -,所以y 1y 2=(3-21x )(322x -)=9-23(x 1+x 2)+421x x =9+421x x , y 1+y 2=6,代入②得45x 1x 2+5=0,即45(54m-12)+5=0. 所以m=10,适合m ＜15.所以实数m 的值为10.课堂小结1.任何一个圆的方程都可以写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有D 2+E 2-4F ＞0时,方程表示圆心为(-2D ,-2E ),半径为r=21F E D 422-+的圆.2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.作业习题4.1 A 组1、6,B 组1、2、3.设计感想这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计这节课时,力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”.在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被动接受,引导学生探索,重视探索过程.一方面,把直线一般方程探求过程进行回顾、类比,学生从中领会探求方法；另一方面,“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法.同时,通过类比进行条件的探求——“D 2+E 2－4F”与“Δ”(判别式)类比.在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”,并用它探求新知识.这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程.。
高中数学人教A版必修2导学案设计：4.1.2圆的一般方程(学生版)
章节4.1.2 课题圆的一般方程教学目标1.掌握圆的一般方程，会用配方法将其化为标准方程；2.会用代数法（待定系数法）和几何法求圆的一般方程；3.掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的等价条件．教学重点利用待定系数法、几何法求圆的一般方程。
教学难点解三元二次方程组；坐标转移法求轨迹方程。
【复习回顾】1.圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程是。
2.求圆的标准方程的方法有。
课前预习案【新知探究】探究一、圆的一般方程问题1：方程222410x y x y+-++=和222460x y x y+-++=分别表示什么图形？问题2：方程220x y Dx Ey F++++=在什么条件下表示圆？方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F+++++=在什么条件下表示圆？新知1：圆的一般方程为220x y Dx Ey F++++=（2240D E F+->）。
探究二、点与圆的位置关系的判断问题3：点000(,)M x y在圆220x y Dx Ey F++++=内的条件是什么？在圆外呢？新知2：点000(,)M x y在圆220x y Dx Ey F++++=内⇔；点000(,)M x y在圆220x y Dx Ey F++++=外⇔。
例4.已知线段AB 的端点B 的坐标是（3，4），端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.课后达标案【达标检测】A 组１.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为（ ） A ．2、4、4； B ．-2、4、4； C ．2、-4、4； D ．2、-4、-4２.已知方程x 2+y 2+k x +(1-k)y +134=0表示圆，则k 的取值范围 ( )A ．k>3B ．2-≤kC ．-2<k<3D ．k>3或k<-23.已知点)1,1(-A 和圆0964:22=+--+y x y x C ，一束光线从点A 经过x 轴反射到圆周的最短路程是（ ）A ．5B ．213-C ．21D ．3 4.由曲线围成的图形的面积是 。
必修2 4.1.2 圆的一般方程 教学设计
综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0表示的曲线不一定是圆.
只有当D2+E2– 4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F= 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.
整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.
让学生带着问题进行思考
设疑激趣导入课题.
概念形成与深化
请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2+ (y–b)2=r2，圆心(a，b)，半径r.
把圆的标准方程展开，并整理：
x2+y2–2ax– 2by+a2+b2–r2=0.
取D= –2a，E= –2b，F=a2+b2–r2得x2+y2+Dx+Ey+F= 0①
e.数学建模：待定系数法求圆的标准方程；
重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，
根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.
难点：.对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
课题引入
问题：求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程.
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.
解：设所求的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F= 0
∵A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元所求圆的方程为：x2+y2– 8x+ 6y= 0
高中数学 4.1.2圆的一般方程学案 新人教A版必修2
圆的一般方程1．圆的一般方程的特征 2．与标准方程的互化 3．用待定系数法求圆的方程 4．求与圆有关的点的轨迹例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径. （1）4x 2+ 4y 2– 4x + 12y + 9 = 0（2）4x 2+ 4y 2– 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x 2+ y 2– x + 3y +94= 0D = –1，E =3，F =94.∵D 2 + E 2 – 4F = 1＞0∴此方程表示圆，圆心（12，32-），半径r =12.（2）将原方程化为x 2 + y 2 – x + 3y +114= 0D = –1，E =3，F =114.D 2 + E 2 – 4F = –1＜0∴此方程不表示圆.例2 求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x 2+ y 2+Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D 、E 、F 的三元一次方程组：即02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解此方程组，可得：D = –8，E =6，F = 0∴所求圆的方程为：x 2 + y 2– 8x + 6y = 05r ==；4,322D F-=-=-.得圆心坐标为(4，–3).或将x 2+ y 2– 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x –4)2 + (y + 3)2= 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).例3 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4，3)，端点A 在圆上(x + 1)2+ y 2= 4运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)由于点B 的坐标是(4，3)且M 是线段AB 中重点，所以0043,22x y x y ++==，① 于是有x 0 = 2x – 4，y 0 = 2y – 3因为点A 在圆(x + 1)2+ y 2= 4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x + 1)2+ y 2= 4，即 (x 0 + 1)2+ y 02= 4 ②把①代入②，得(2x – 4 + 1)2+ (2y – 3)2= 4， 整理得2233()()122x y -+-=所以，点M 的轨迹是以33(,)22为圆心，半径长为1的圆.经典习题例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径. （1）x 2+ y 2+ x + 1 = 0；（2）x 2 + y 2 + 2ac + a 2= 0 (a ≠0)； （3）2x 2+ 2y 2+ 2ax – 2ay = 0 (a ≠0). 【解析】（1）因为D ＝ 1，E ＝ 0，F ＝ 1，所以D 2+ E 2 – 4F ＜0 方程（1）不表示任何图形； （2）因为D ＝ 2a ，E ＝ 0，F ＝ a 2，所以D 2+ E 2– 4F ＝ 4a 2– 4a 2= 0， 所以方程（2）表示点(–a ，0)； （3）两边同时除以2，得x 2+ y 2+ ax – ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2+ E 2– 4F ＞0， 所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a-，半径|r a =. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ①将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0，由①，得y 2+ Ey + F = 0 ④由已知|y 1 – y 2| = y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1 – y 2)2= (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2– 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2– 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ①②③∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为(a，a– 1)，又圆C的半径||r CP==②由已知圆C截y轴所得的线段长为C到y轴的距离为|a|.222r a=+代入②并将两端平方，得a2– 5a + 5 = 0，解得a1 = 1，a2 = 5.∴12r r==故所求的圆的方程为：(x– 1)2 + y2 = 13或(x– 5)2 + (y– 4)2 = 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x2 + y2– 2(t + 3)x + 2(1 –t2)y + 16t4 + 9 = 0表示一个圆，求（1）t的取值范围；（2）该圆半径r的取值范围.【解析】原方程表示一个圆的条件是D2 + E2– 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t2)2– 4(16t 4 + 9)＞0即7t2– 6t– 1＜0，∴117t-<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E Fr t t t t tt+-==++--+=-++=--+∴2160,07r r<≤<<。
高中数学人教A版必修2第四章4.1.2《圆的一般方程》表格式教案设计
4.1.2 圆的一般方程【教学目标】１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．【教学重难点】重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．难点：圆的一般方程的特点．【教学过程】教学环节教学内容师生互动设计意图情景导入、展示目标问题：求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2 + (y –b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2–r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2+ y2+Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得22224()()224D E D E Fx y+-+++=②(配方过程由学生去完成)这个方整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.程是不是表示圆？（1）当D 2 + E 2 – 4F ＞0时，方程②表示以(,)22D E--为圆心，22142D E F +-为半径的圆；（2）当D 2 + E 2 – 4F = 0时，方程只有实数解,22D E x y =-=-，即只表示一个点(,)22D E --；（3）当D 2 + E 2 – 4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D 2 + E 2 – 4F ＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.应用举例例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0（2）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 11 =解析：（1）将原方程变为x 2 + y 2 – x + 3y +94= 0D = –1，E =3，F =94.∵D 2 + E 2 – 4F = 1＞0∴此方程表示圆，圆心（12，32-），半径r =12.（2）将原方程化为x 2 + y 2 – x + 3y +114= 0D = –1，E =3，F =114.D 2 + E 2 – 4F = –1＜0∴此方程不表示圆.学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x 2 + 4y 2 – 4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D = –1，E = 3，94F =而不是D = –4，E = 12，F = 9.通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决问题的能力.例2 求过三点A (0，0)，B (1，例2 讲完后1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x 2 +y 2 + Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D 、E 、F 的三元一次方程组：即02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解此方程组，可得：D = –8，E =6，F = 0∴所求圆的方程为：x 2 + y 2 – 8x+ 6y = 0221452r D E F =+-=；4,322D F-=-=-.得圆心坐标为(4，–3).或将x 2 + y 2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1．根据题设，选择标准方程或一般方程.2．根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组；3．解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程.例3 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4，3)，端点A 在圆上(x + 1)2 + y 2 = 4运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)由于点B 的坐标是(4，3)且M 是线段AB 中重点，所以0043,22x y x y ++==，① 于是有x 0 = 2x – 4，y 0 = 2y – 3 因为点A 在圆(x + 1)2 + y 2 = 4上运动，所以点A 的坐标满足方程教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程(x + 1)2 + y 2 = 4.建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程.例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径. （1）x 2 + y 2 + x + 1 = 0；（2）x 2 + y 2 + 2ac + a 2 = 0 (a ≠0)； （3）2x 2 + 2y 2 + 2ax – 2ay = 0 (a ≠0).【解析】（1）因为D ＝ 1，E ＝ 0，F ＝ 1，所以D 2 + E 2 – 4F ＜0 方程（1）不表示任何图形； （2）因为D ＝ 2a ，E ＝ 0，F ＝ a 2，所以D 2 + E 2 – 4F ＝ 4a 2 – 4a 2 = 0， 所以方程（2）表示点(–a ，0)； （3）两边同时除以2，得x 2 + y 2 + ax – ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 + E 2 – 4F ＞0， 所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a -，半径|r a =. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩ 令x = 0，由①，得y 2 + Ey + F = 0④由已知|y 1 – y 2| = y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2 – 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2 – 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ①∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)， 又圆C的半径||r CP == ②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a|.222r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2 – 5a + 5 = 0， 解得a 1 = 1，a 2 = 5.∴12r r ==故所求的圆的方程为：(x – 1)2 + y 2 = 13或(x – 5)2 + (y – 4)2 = 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4 + 9 = 0表示一个圆，求 （1）t 的取值范围；（2）该圆半径r 的取值范围.【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0即7t 2 – 6t – 1＜0，∴117t -<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+② ③∴2160,07r r <≤<<。
人教版高中数学全套教案导学案高中数学 (4.1.2 圆的一般方程)示范教案 新人教A版必修2
4.1.2 圆的一般方程整体设计教学分析教材通过将二元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方后化为(x+2D )2+(y+2F )2=4422F E D -+后只需讨论D 2+E 2-4F ＞0、D 2+E 2-4F=0、D 2+E 2-4F ＜0.与圆的标准方程比较可知D 2+E 2-4F ＞0时,表示以(-2D ,-2E )为圆心,21F E D 422-+为半径的圆；当D 2+E 2-4F=0时,方程只有实数解x=-2D ,y=-2E ,即只表示一个点(-2D ,-2E );当D 2+E 2-4F ＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.从而得出圆的一般方程的特点：(1)x 2和y 2的系数相同,不等于0；(2)没有x·y 这样的二次项；(3)D 2+E 2-4F ＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件,只有三条同时满足才是充要条件.同圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2含有三个待定系数a 、b 、r 一样,圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0中也含有三个待定系数D 、E 、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同样可以用待定系数法求得圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定.圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系,通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可避免解三元二次方程组.圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.三维目标1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件,通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.重点难点教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D 、E 、F.教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.①说出圆心为(a,b),半径为r 的圆的标准方程.②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的标准方程展开并整理得x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2-r 2=0.③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a 2+b 2-r 2,得到方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.④能不能说方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师板书课题:圆的一般方程.思路2.问题：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程.推进新课新知探究提出问题①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?③给出式子x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x 和y 的一次项的式子.④把式子(x －a)2＋(y －b)2=r 2与x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.③把式子x 2+y 2+Dx+Ey+F=0配方得(x+2D )2+(y+2E )2=4422F E D -+. ④(x－a)2＋(y －b)2=r 2中,r ＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r ＜0时不表示任何图形. 因此式子(x+2D )2+(y+2E )2=4422F E D -+. (ⅰ)当D 2+E 2-4F ＞0时,表示以(-2D ,-2E )为圆心,21F E D 422-+为半径的圆； (ⅱ)当D 2+E 2-4F=0时,方程只有实数解x=-2D ,y=-2E ,即只表示一个点(-2D ,-2E ); (ⅲ)当D 2+E 2-4F ＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.综上所述,方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D 2+E 2-4F ＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D 2+E 2-4F ＞0.我们把形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.⑤圆的一般方程形式上的特点:x 2和y 2的系数相同,不等于0.没有xy 这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.应用示例思路1例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x 2+4y 2-4x+12y+9=0;(2)4x 2+4y 2-4x+12y+11=0.解:(1)由4x 2+4y 2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=49, 而D 2+E 2-4F=1+9-9=1＞0,所以方程4x 2+4y 2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(21,-23),半径为21； (2)由4x 2+4y 2-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=411,D 2+E 2-4F=1+9-11=-1＜0, 所以方程4x 2+4y 2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.点评:对于形如Ax 2+By 2+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件D 2+E 2-4F 与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.变式训练求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x+6y=0;(2)x 2+y 2+2by=0.解:(1)把x 2+y 2-8x+6y=0配方,得(x －4)2＋(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5；(2)x 2+y 2+2by=0配方,得x 2＋(y+b)2=b 2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.例2 求过三点O(0,0)、M 1(1,1)、M 2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.解:方法一：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由O 、M 1、M 2在圆上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=.02024,02.0F E D F E D F 解得D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x 2+y 2-8x+6y=0,即(x －4)2＋(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.方法二：先求出OM 1的中点E(21,21),M 1M 2的中点F(25,23), 再写出OM 1的垂直平分线PE 的直线方程y-21=-(x-21), ① AB 的垂直平分线PF 的直线方程y-23=-3(x-25), ②联立①②得⎩⎨⎧=+=+,93,1y x y x 得⎩⎨⎧-==.3,4y x 则点P 的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径. 方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,即x 2+y 2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5为半径.方法四：设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2=r 2,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a 、b 、r 的方程组,即 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+=-+-.)2()4(,,)1()1(222222222r b a r b a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,4r b a 所以所求圆的方程为(x －4)2＋(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.例3 已知点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.图1解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N,则N 为OP 的中点,即N(5,0).因为|MN|=21|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即 (*)又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=16上,所以x 02+y 02=16.将(*)代入得(2x-10)2+(2y)2=16.故所求的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(002001y x f y y x f x (Ⅰ) ③从(Ⅰ)中解出⎪⎩⎪⎨⎧==).,(),,(2010y x g y y x g x (Ⅱ)④将(Ⅱ)代入主动点Q 的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程. 这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用.变式训练已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)2+y 2=4上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解:设点M 的坐标是(x,y),点A 的坐标是(x 0,y 0).由于点B 的坐标是(4,3)且M 是线段AB 的中点,所以x=240+x ,y=230+y .于是有x 0=2x-4,y 0=2y-3. ①因为点A 在圆(x+1)2+y 2=4上运动,所以点A 的坐标满足方程(x+1)2+y 2=4,即(x 0+1)2+y 02=4.②把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-23)2+(y-23)2=1. 所以点M 的轨迹是以(23,23)为圆心,半径长为1的圆. 思路2例1 求圆心在直线l ：x+y=0上,且过两圆C 1:x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2:x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.活动:学生审题,教师引导,强调应注意的问题,根据题目特点分析解题思路,确定解题方法.由于两圆的交点可求,圆心在一直线上,所以应先求交点再设圆的标准方程.解:解两圆方程组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+-+.0822,024*******y x y x y x y x 得两圆交点为(0,2),(-4,0). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线l 上,所以得方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+=+--.0,)2(,)4(222222b a r b a r b a解得a=-3,b=3,r=10.故所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.点评：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程.例2 已知圆在x 轴上的截距分别为1和3,在y 轴上的截距为-1,求该圆的方程. 解法一:利用圆的一般方程.设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由已知,该圆经过点(1,0),(3,0)和(0,-1),则有⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++=++.0)1(,033,0122F E F D F D ,解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圆的方程为x 2+y 2-4x+4y+3=0. 解法二:利用圆的标准方程.由题意该圆经过P(1,0),Q(3,0),R(-1,0),设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,则圆心C(a,b)在PQ 的垂直平分线上,故a=2.因为|PC|=|RC|,所以2222)1()1(++=+-b a b a .将a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).而r=|PC|=5,故所求圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=5.例3 试求圆C:x 2+y 2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的曲线C′的方程.活动：学生先思考,然后解答,教师引导学生抓住本质的东西,即圆的圆心坐标变化、半径不变,另外可利用相关点法来求.解法一:设P′(x,y)为所求曲线C′上任意一点,P′关于l 的对称点为P(x 0,y 0),则P(x 0,y 0)在圆C 上. 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∙--=++-+,11,01220000x x y y y y x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=.1,100x y y x (*)因为P(x 0,y 0)在圆C 上,所以x 02+y 02-x 0+2y 0=0.将(*)代入得(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0,化简得x 2+y 2+4x-3y+5=0,即为C′的方程.解法二:(特殊对称)圆C 关于直线l 的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心C′,即求(21,-1)关于直线l:x-y+1=0的对称点C′(-2,23),因此所求圆C′的方程为(x+2)2+(y-23)2=45. 点评：比较解法一与解法二看出,利用几何性质解题往往较简单.知能训练课本练习1、2、3.拓展提升问题：已知圆x 2+y 2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P 、Q 两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求实数m 的值.解:设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+.062,0822y x m y x y x 消去y 得5x 2+4m-60=0. ① 由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m ＞0,m ＜15. 由韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧-==+.1254,02121m x x x x因为PR⊥QR,所以k PR k QR =-1.所以11112211--∙--x y x y =-1,即(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-1)(y 2-1)=0, 即x 1x 2-(x 1+x 2)+y 1y 2-(y 1+y 2)+2=0. ②因为y 1=3-21x ,y 2=322x -,所以y 1y 2=(3-21x )(322x -)=9-23(x 1+x 2)+421x x =9+421x x , y 1+y 2=6,代入②得45x 1x 2+5=0,即45(54m-12)+5=0. 所以m=10,适合m ＜15.所以实数m 的值为10.课堂小结1.任何一个圆的方程都可以写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有D 2+E 2-4F ＞0时,方程表示圆心为(-2D ,-2E ),半径为r=21F E D 422-+的圆.2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.作业习题4.1 A 组1、6,B 组1、2、3.设计感想这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计这节课时,力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”.在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被动接受,引导学生探索,重视探索过程.一方面,把直线一般方程探求过程进行回顾、类比,学生从中领会探求方法；另一方面,“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法.同时,通过类比进行条件的探求——“D 2+E 2－4F”与“Δ”(判别式)类比.在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”,并用它探求新知识.这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程.。
.4.1.2圆的一般方程教案新人教A版必修2
课题：241.2圆的一般方程课型：新授课教学目标：1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径•掌握方程X2+y2+ Dx + Ey + F=0表示圆的条件.2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程•能用待定系数法求圆的方程。
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用-教学过程：一、课题引入：问题：求过三点A ( 0 , 0) , B (1 , 1), C (4 , 2)的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，那么这个问题有没有其它的解决方法呢? 带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式一一圆的一般方程。
二、探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(x - a)2+ (y - b)2=r2，圆心(a, b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：2 2 2 2 2X + y - 2ax - 2by + a + b - r =0 .2 9 9取D 2a, E 2b, F a b r 得2 2x y Dx Ey F 0 ①这个方程是圆的方程.x2+ y2+ Dx + Ey + F=0的方程，它表示的曲线一定是圆反过来给出一个形如吗？把x2+ y2+ Dx + Ey+ F=0 配方得2 2/ D E 2 D E 4F - (x -)(y -)②4这个方程是不是表示圆?(1) 当D 2+ E 2 — 4F >0时，方程② 表示以(-D2径的圆;-E )；2(D 2 E 2 4F 0)的方程称为圆的一般方程。
如x 1我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1) ①X 和y 2的系数相同，不等于 0 .②没有xy 这样的二次项.(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ,因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.(3) 、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征比较明 显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
【人教A版】2015年秋高中数学必修二：4.1.2圆的一般方程学案设计 新人教A版必修2
第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.2 圆的一般方程学习目标1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程.3.体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力.能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、设计问题,创设情境我们已经学习了圆的标准方程,请同学们思考方程(x-1)2+(y+2)2=4表示什么图形?它与方程x2+y2-2x+4y+1=0是什么关系?问题1:把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后是什么形式?问题2:方程:x2+y2-6x+8y+20=0表示的曲线是什么图形?二、自主探索,尝试解决1.我们知道,圆的一般方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,它体现了圆心和半径.展开后是一个关于x,y的二元二次式:;2.圆的标准方程展开都是一个关于x,y的二元二次式x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,反之关于x、y的二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0都表示圆吗?三、信息交流,揭示规律3.圆的一般方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,它体现了圆心和半径.展开后是一个关于x,y的二元二次式:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.关于x,y的二元二次式x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆,通过对其进行配方得:;当,即时表示圆心为(-,-),半径为r=的圆.当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示.当D2+E2-4F<0时,x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形.四、运用规律,解决问题4.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长:(1)x2+y2-6x=0(2)x2+y2+2by=0(3)x2+y2-2ax-2ay+3a2=0总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)5.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.解:总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)五、变练演编,深化提高从所给的题目来看,题目主要涉及圆的一般方程的求解和利用圆的一般方程确定圆心和半径进行设计,而所涉及的条件主要是圆上的点,同学们仿照例题可以自己进行题目的编写.6.平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一个圆上?为什么?解:六、信息交流,教学相长请同学们把你编写的较为典型的题目选几个写在下面.七、反思小结,观点提炼1.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)2.求圆的一般方程的方法:待定系数法.3.求圆的一般方程需要三个条件:待定方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)中的D,E,F.参考答案二、1.x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0三、3.不都,(x+)2+(y+)2=>0,D2+E2-4F>0,一个点(-,-)四、4.(1)(x-3)2+y2=9 圆心(3,0) 半径r=3(2)x2+(y+b)2=b2圆心(0,-b) 半径r=|b|(3)(x-a)2+(y-a)2=a2圆心(a,a) 半径r=|a|5.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)则解得所求圆的方程为:x2+y2-8y+6x=0圆心为(4,-3),半径为r=5五、6.设经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A(0,1),B(2,1),C(3,4)的坐标分别代入圆的方程,得解得∴经过A,B,C三点的圆方程为x2+y2-2x-6y+5=0.再将点D的坐标(-1,2)代入上面方程的左边,得(-1)2+22-2×(-1)-6×2+5=0,所以点D也在经过A,B,C三点的圆上,即A,B,C,D这四点在同一个圆上.。
高中数学必修二 4.1.2 圆的一般方程学案 新人教A版必修2
第1页 共1页 4.1.2圆的一般方程
【问题设计】
1、圆心为（a,b ）,半径为r 的圆的标准方程是什么？
2、圆的一般方程的表达式是什么？
3、圆的一般方程与圆的标准方程的联系是什么？
4、知道圆的一般方程如何转化为标准方程（如何求圆心坐标及半径）
5、若已知三点求圆的方程,采用圆的哪一种方程求解？
6、求特殊曲线方程（特殊点的轨迹）的一般步骤。
【达标检测】
1、方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆时，m 的取值范围是（ ）
A 、1/4<m<1
B 、m>1
C 、m<1/4
D 、m<1/4 或m>1
2、方程 是圆的方程的等价条件是（ ）
3、已知点P （5，3），点M 在圆x 2+y 2-4x+2y+4=0上运动，
（1）求|PM|的最大值和最小值；
（2)求 y/x 的最值；
(3)求x 2+y 2的最值。
4、已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为1/2 的点的轨迹，
求此曲线的方程。
5、当a 取不同的非零实数时，由方程 可以得到不同的圆：
（1）这些圆的圆心是否都在某一条直线上？
（2）这些圆是否有公切线？
【学习反思】
03322222=+--+a ay ax y x 0222=+--+a y ax y x 21)(<a A 21)(>a B 21)(=a C 21)(≠a D。
[精品]新人教A版必修二高中数学4.1.2圆的一般方程导学案
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4. 1.2 圆的一般方程【教学目标】１．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．【教学重难点】教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．教学难点：圆的一般方程的特点．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．（二）检查预习、交流展示1.写出圆的标准方程.2.写出圆的标准方程中的圆心与半径.（三）合作探究、精讲精练探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程半径的圆；(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法．2．引出圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．(2) 与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．(3) 的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；(2)没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF＞0．它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出．强调指出：(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件．例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．解析：先配方，将方程化为标准形式，再求圆心和半径．解：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．点拨：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．变式训练１：１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0答案：１．Ａ２．Ｃ例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解析：已知圆上的三点坐标，可设圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程．解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0．点拨：1．用待定系数法求圆的方程的步骤：(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．变式训练２： 求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C 1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C 2∶x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．解：解方程组⎩⎨⎧=+++=++08-2y 2x y x 024-10y 2x -y x 2222，得两圆交点为（－４，０），（０，２）．设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l 上所以得方程组为⎪⎩⎪⎨⎧--ａ＋ｂ＝０＝ｒ＋（２－ｂ）ａ＝ｒ＋ｂａ２２２２２2)4( 解得ａ＝－３，ｂ＝３，ｒ＝10． 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． （四）反馈测试 导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程． 【板书设计】一：圆的一般方程的定义1．分析方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 2．圆的一般方程的定义二：圆的一般方程的特点(1)(2)(3)例1变式训练１：例2变式训练２：【作业布置】导学案课后练习与提高4. 1. 2 圆的一般方程课前预习学案一．预习目标回顾圆的标准方程，了解用圆的一般方程及其特点．二．预习内容１．圆的标准方程形式是什么？圆心和半径呢？２．圆的一般方程形式是什么？圆心和半径呢？３．圆的方程的求法有哪些？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．２．掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．学习重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．学习难点：圆的一般方程的特点．二．学习过程前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．探究一：圆的一般方程的定义1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹2．引出圆的一般方程的定义探究二：圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．（２）与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．（３）的系数可得出什么结论？例1 求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0．变式训练１：１．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8=0表示圆的充要条件是（）Ａ．k＞4或者k＜－1 Ｂ．－1＜k＜4 Ｃ．k=4或者k=－1 Ｄ．以上答案都不对２．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有（）Ａ．F=0，DE≠0 Ｂ．E2＋F2=0，D≠0 Ｃ．D2＋F2=0，E≠0 Ｄ．D2＋E2=0，F≠0例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．变式训练２： 求圆心在直线 l ：x+y=0上，且过两圆C1∶x 2+y 2-2x+10y-24=0和C2∶x 2+y 2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．三．反思总结四．当堂检测１．方程342-+-=x x y 表示的曲线是（ ）Ａ．在x 轴上方的圆 Ｂ．在y 轴右方的圆 Ｃ．x 轴下方的半圆 Ｄ．x 轴上方的半圆 ２．以（0，0）、（6，－8）为直径端点的圆的方程是 .３．求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．参考答案：１．Ｄ ２．x 2+y 2-６x+８y=0 ３．x 2+y 2-x+7y-32=0课后练习与提高１．方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4+9=0表示圆，则实数m 的取值范围是（ ） Ａ．－71＜m ＜1 Ｂ．－1＜m ＜71Ｃ．m ＜－71或m ＞1 Ｄ．m ＜－1或m ＞71２．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于直线x ＋y =0对称，则有（ ）Ａ．D ＋E =0 Ｂ．D ＋F =0 Ｃ．E ＋F =0 Ｄ．D ＋E ＋F =0３．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（ ） Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =0４．方程220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 的取值范围是 .５．过点A （－2，0），圆心在（3，－2）的圆的一般方程为 .６．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．。
4.1.2 圆的一般方程 学案(人教A版必修2)
4．1.2 圆的一般方程【课标要求】1．正确理解圆的一般方程及其特点． 2．会由圆的一般方程求其圆心、半径．3．初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用． 【核心扫描】1．依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．(重点) 2．会用配方法对圆的标准方程和一般方程进行互化．(难点)3．准确理解方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0及其表示的图形．(易混点)新知导学圆的一般方程二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F ＞0时，该方程叫做圆的一般方程．其中圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F . 温馨提示：圆的一般方程的形式特点：(1)x 2，y 2的系数相等且不为零(如果x 2，y 2的系数不是1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个数，系数就可变为1)；(2)没有xy 项； (3)D 2＋E 2－4F ＞0.互动探究探究点 (1)二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示圆的条件是什么？ (2)二元二次方程Ax 2＋By 2＋Cxy ＋Dx ＋Ey ＋F 表示圆的条件是什么？提示 (1)D 2＋E 2－4F ≤0当D 2＋E 2－4F ＝0表示点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2；当D 2＋E 2－4F ＜0不表示任何图形；(2)A ＝B ≠0，C ＝0，D 2＋E 2－4F ＞0.类型一 二元二次方程的曲线与圆的关系【例1】 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.[思路探索] 可以直接判断D 2＋E 2－4F 的符号，也可以通过配方得到“标准方程”形式，进而解决问题．解 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆． (2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项，∴它不能表示圆． (3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆．(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝⎛⎭⎫x －542＋y 2＝⎝⎛⎭⎫542， ∴它表示以⎝⎛⎭⎫54，0为圆心，54为半径的圆． [规律方法] 研究A 1x 2＋A 1y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0表示什么曲线，通常是等号两边先同除以A 1，转化为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，然后可以朝着圆的标准方程方向直接配方求解，也可以利用公式法研究D 2＋E 2－4F 的符号来判断方程表示圆、点或不表示任何图形．【活学活用1】 已知方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示一个圆． (1)求实数a 的取值范围；(2)求当圆的面积最大时，对应圆的方程．解 (1)原方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝－3a24－a ＋1. 因为原方程表示圆，则－3a 24－a ＋1＞0，即－3a 2－4a ＋4＞0，解得－2＜a ＜23，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，23. (2)∵半径r ＝12 －3a 2－4a ＋4＝12－3⎝⎛⎭⎫a ＋232＋163，a ∈⎝⎛⎭⎫－2，23， ∴0＜r ≤233，且当a ＝－23时，r max ＝233，此时面积最大．其对应方程为9x 2＋9y 2－6x －12y －7＝0. 类型二 求圆的一般方程【例2】 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[思路探索] 已知圆上三点求其圆的方程，常设一般方程，用待定系数法求解． 解 法一 设△ABC 的外接圆方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二 设△ABC 的外接圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(4－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0.法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形． ∴外心是线段BC 的中点，坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. [规律方法] 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .【活学活用2】 已知A (6,0)，B (－2,0)，C (－3,3)，D (6,3)，判断A ，B ，C ，D 四点是否共圆．解 设过A (6,0)，B (－2,0)，C (－3,3)的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，把A ，B ，C 三点的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧62＋02＋6D ＋E ×0＋F ＝0，(－2)2＋02－2D ＋E ×0＋F ＝0，(－3)2＋32－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－6，F ＝－12.故A 、B 、C 三点确定的圆的方程为x 2＋y 2－4x －6y －12＝0， 把D (6,3)代入上述方程的左端得 62＋32－4×6－6×3－12＝－9＜0∴点D 在该圆内，∴A 、B 、C 、D 四点不共圆． 类型三 求动点的轨迹方程【例3】 (1)求点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程．(2)已知一曲线是与两个定点O (0,0)，A (a,0)(a ≠0)距离的比为k 的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状．[思路探索] (1)用代入法；(2)用直接法．解 (1)设圆上任意一点(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2.代入x 2＋y 2＝4得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.(2)设M (x ，y )是曲线上的任意一点，即M 属于集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ⎪⎪|OM ||AM |＝k ，由两点间的距离公式知点M 所适合的条件可以表示为x 2＋y 2(x －a )2＋y2＝k ，化简得(k 2－1)x 2＋(k 2－1)y 2－2k 2ax ＋k 2a 2＝0. 当k ≠1，即k ＞1或0＜k ＜1时，k 2－1≠0，∴x 2＋y 2＋－2k 2a k 2－1x ＋k 2a 2k 2－1＝0.∵4k 4a 2(k 2－1)2－4k 2a 2k 2－1＝4k 2a 2(k 2－1)2＞0， ∴所求曲线的方程是x 2＋y 2＋－2k 2a k 2－1x ＋k 2a 2k 2－1＝0，曲线表示以⎝⎛⎭⎫k 2a k 2－1，0为圆心，以kak 2－1为半径的圆．当k ＝1，即k 2－1＝0时，方程(k 2－1)x 2＋(k 2－1)y 2－2k 2ax ＋k 2a 2＝0变成－2ax ＋a 2＝0，即x ＝a2，表示线段OA 的垂直平分线．[规律方法] (1)对于已知(或能判定)曲线类型或形状的曲线求方程常用直接法、待定系数法．(2)对于不能判定曲线类型或形状的曲线求方程主要有以下两类：(i)若所求轨迹的动点依赖于已知轨迹上的点的运动而运动，设出这两个动点，利用过两个动点坐标之间的关系，用代入法求解．(ⅱ)若不是(ⅰ)的情况时，常用直接法求曲线的方程，其一般步骤：①建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x ，y )；②列出点M 所满足的条件；③用坐标表示上述条件，列出方程f (x ，y )＝0；④将上述方程化简；⑤证明化简后以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．【活学活用3】 (1)已知点A (4,0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，则AP 的中点M 的轨迹方程．(2)等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解 (1)设AP 的中点M 的坐标为(x ，y )． 则点P 的坐标是(2x －4,2y )．又因为P 是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以P 点满足圆的方程，则(2x －4)2＋(2y )2＝1.即(x －2)2＋y 2＝14为所求．(2)设另一端点C 的坐标为(x ，y )． 依题意，得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，整理，得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示．又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线．即点B ，C 不能重合，所以C 点的横坐标x ≠3，而且点B 、C 不能为一直径的两端点，所以x ＋32≠4，点C 的横坐标x ≠5.故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(x ≠3，x ≠5)，即C 的轨迹是以A (4,2)为圆心、10为半径的圆，但除以(3,5)和(5，－1)两点．易错辨析 运用圆的方程因忽视隐含条件而 致错【示例】 若动点(x ，y )在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，求3x 2＋4y 2的最大值．[错解] 由x 2＋y 2－4x ＝0得，y 2＝4x －x 2，所以3x 2＋4y 2＝3x 2＋4(4x －x 2)＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，所以当x ＝8时，3x 2＋4y 2取得最大值64.[错因分析] 圆x 2＋y 2－4x ＝0即(x －2)2＋y 2＝4是一个封闭图形，表示以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以x 的取值范围不是R ，而是[0,4]．[正解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝4，∴y 2＝4x －x 2，x ∈[0,4]．所以3x 2＋4y 2＝3x 2＋4(4x －x 2)＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64.因为x ∈[0,4]， 所以当x ＝4时，3x 2＋4y 2取得最大值48.[防范措施] 用函数思想求与圆有关的最值问题时，一定注意不能忽略圆上的点(x ，y )中的x ，y 的限制条件，也就是说要注意自变量的取值范围．课堂达标1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )．A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析 －D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．答案 D2．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )．A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b ) 解析 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a y ＝－b 故方程表示的图形是一个点(－a ，－b )． 答案 D3．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________．解析 方程x 2＋y 2－2ay －4＝0表示圆，则x 2＋(y －a )2＝a 2＋4，a ∈R 时，a 2＋4＞0恒成立，又点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部且不包括边界，所以有(a ＋1)2＋(a －1)2－2a (a －1)－4＜0，解得a ＜1.答案 (－∞，1)4．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.解析 圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|5＝3.答案 35．已知M (－2,0)，N (2,0)，求以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程． 解 法一 设P (x ，y )，由条件知PM ⊥PN ，且PM ，PN 的斜率肯定存在，故k PM ·k PN ＝－1，即y －0x ＋2·y －0x －2＝－1，x 2＋y 2＝4， 又当P 、M 、N 三点共线时，不能构成三角形，所以x ≠±2， 即所求轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．法二 由直角三角形斜边中线的性质知|OP |＝12|MN |＝2，由圆的定义知，点P 的轨迹是圆去掉M 、N 两点，设点P 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．法三 由直径所对的圆周角为直角可知点P 的轨迹是以M 、N 为直径的圆去掉M 、N 两点，设P 点的坐标为(x ，y )故其方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．课堂小结1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并 掌握求轨迹方程的一般步骤.。
高中数学 第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程教案 新人教A版必修2
4.1.2圆的一般方程三维目标：知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 课题引入：问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D，-2E ）;（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
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第四章圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.
2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程.
3.体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力.能根据不同的条件,利用待定系数法求圆的标准方程.
学习过程
一、设计问题,创设情境
我们已经学习了圆的标准方程,请同学们思考
方程(x-1)2+(y+2)2=4表示什么图形?它与方程x2+y2-2x+4y+1=0是什么关系?
问题1:把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后是什么形式?
问题2:方程:x2+y2-6x+8y+20=0表示的曲线是什么图形?
二、自主探索,尝试解决
1.我们知道,圆的一般方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,它体现了圆心和半径.展开后是一个关于x,y的二元二次式:;
2.圆的标准方程展开都是一个关于x,y的二元二次式x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,反之关于x、y的二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0都表示圆吗?
三、信息交流,揭示规律
3.圆的一般方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,它体现了圆心和半径.展开后是一个关于x,y的二元二次式:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
关于x,y的二元二次式x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆,通过对其进行配方得:;当,即时表示圆心为(-,-),半径为r=的圆.
当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示.
当D2+E2-4F<0时,x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形.
四、运用规律,解决问题
4.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长:
(1)x2+y2-6x=0
(2)x2+y2+2by=0
(3)x2+y2-2ax-2ay+3a2=0
总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)
5.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.
解:
总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)
五、变练演编,深化提高
从所给的题目来看,题目主要涉及圆的一般方程的求解和利用圆的一般方程确定圆心和半径进行设计,而所涉及的条件主要是圆上的点,同学们仿照例题可以自己进行题目的编写.
6.平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一个圆上?为什么?
解:
六、信息交流,教学相长
请同学们把你编写的较为典型的题目选几个写在下面.
七、反思小结,观点提炼
1.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
2.求圆的一般方程的方法:待定系数法.
3.求圆的一般方程需要三个条件:待定方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
(D2+E2-4F>0)中的D,E,F.
参考答案
二、1.x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
三、3.不都,(x+)2+(y+)2=>0,D2+E2-4F>0,一个点(-,-)
四、4.(1)(x-3)2+y2=9 圆心(3,0) 半径r=3
(2)x2+(y+b)2=b2圆心(0,-b) 半径r=|b|
(3)(x-a)2+(y-a)2=a2圆心(a,a) 半径r=|a|
5.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)则解得
所求圆的方程为:x2+y2-8y+6x=0
圆心为(4,-3),半径为r=5
五、6.设经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
把A(0,1),B(2,1),C(3,4)的坐标分别代入圆的方程,得解得
∴经过A,B,C三点的圆方程为x2+y2-2x-6y+5=0.
再将点D的坐标(-1,2)代入上面方程的左边,得(-1)2+22-2×(-1)-6×2+5=0,
所以点D也在经过A,B,C三点的圆上,即A,B,C,D这四点在同一个圆上.。