2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (47)
2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (46)
2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (46)一、选择题1．P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( )A ．－aB ．aC ．－cD ．c【答案】B【解析】设圆与x 轴的切点为H ，由于圆内切于三角形，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝|F 1H |－|F 2H |，同时|F 1H |＋|F 2H |＝2c ，较容易得到x H ＝a ，该值也就是圆心的横坐标．故选择B.2．设F 1、F 2是双曲线y 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→²PF 2→＝0，则|PF 1→|²|PF 2→|的值等于( )A ．8B ．4C ．2 2D ．2 【答案】D【解析】设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ， 则由双曲线方程可得|m －n |＝2³2＝4，m 2＋n 2＝4³(4＋1)＝20，∴|PF 1→|²|PF 2→|＝12[m 2＋n 2－(m －n )2]＝2.3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)【答案】B【解析】由题意知在双曲线上存在一点P ， 使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ， 即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ， 即|AF 2|≤2a .∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ，∴c ≤3a . 又∵c >a ，∴a <c ≤3a ，∴1<c a≤3，即1<e ≤3.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)【答案】C【解析】由双曲线的几何性质知，只有过F 的直线的斜率小于等于渐近线的斜率时才能与右支有一个交点，即3≤b a.两边平方得3a 2≤b 2,3a 2≤c 2－a 2. ∴e 2≥4，∴e ≥2.故选择C.5．P 是双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】由于两圆心恰好为双曲线焦点， |PM |≤|PF 1|＋r 1＝|PF 1|＋2， |PN |≥|PF 2|－r 2＝|PF 2|－1， ∴|PM |－|PN |≤|PF 1|＋2－(|PF 2|－1) ≤|PF 1|－|PF 2|＋3 ＝2a ＋3＝9.故选择D.二、填空题6．(2011江西卷²文)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝ .【答案】48【解析】由题知a 2＝16，即a ＝4， 又e ＝2，所以c ＝2a ＝8，则m ＝c 2－a 2＝48.7．过双曲线x 24－y 23＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为 .【答案】8【解析】由双曲线的定义得|MF 2|－|MF 1|＝2a ，|NF 2|－|NF 1|＝2a ， ∴|MF 2|＋|NF 2|－|MF 1|－|NF 1|＝4a ， 即|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝4a ， ∵a 2＝4，∴a ＝2，∴结果为8.8．椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，那么cos∠F 1PF 2的值是 .【答案】13【解析】由题意可知，点P 既在椭圆上又在曲线上．根据椭圆和双曲线的定义可得⎩⎨⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝26|PF 1|－|PF 2|＝23∴⎩⎨⎧|PF 1|＝6＋3|PF 2|＝6－3|F 1F 2|＝2c ＝4，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝6＋32＋6－32－4226＋36－3＝13.三、解答题9．已知三点P (5,2)、F 1(－6,0)、F 2(6,0)． (1)求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点P 、F 1、F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′、F 1′、F 2′，求以F 1′、F 2′为焦点且过点P ′的双曲线的标准方程．【解析】由题意可设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其半焦距c ＝6.2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝112＋22＋12＋22＝6 5. ∴a ＝35，b 2＝a 2－c 2＝9. 所以所求椭圆的标准方程为x 245＋y 29＝1.(2)点P (5,2)、F 1(－6,0)、F 2(6,0)关于直线y ＝x 的对称点分别为点P ′(2,5)、F 1′(0，－6)、F 2′(0,6)．设所求双曲线的标准方程为y 2a 12－x 2b 12＝1(a 1>0，b 1>0)． 由题意知，半焦距c 1＝6， 2a 1＝||P ′F 1′|－|P ′F 2′|| ＝|112＋22－12＋22|＝4 5. ∴a 1＝25，b 12＝c 12－a 12＝36－20＝16. 所以所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.10．已知双曲线方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1、F 2是双曲线左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|²|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2. 【解析】(1)已知方程化为双曲线的标准方程得x 29－y 216＝1，则a ＝3，b ＝4，c ＝5.∴焦点坐标为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为x 3＋y 4＝0，或x 3－y4＝0.(2)设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，由⎩⎪⎨⎪⎧d 1²d 2＝32 ①|d 1－d 2|＝6 ②中①³2＋②2，解出d 12＋d 22＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理， cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|²|PF 2|＝d 12＋d 22－2c 22d 1d 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.11．设声速是a m/s ，在相距10a m 的A 、B 两个哨所，听到一炮弹爆炸声的时间相差6s ，且B 处的声强是A 处声强的4倍，试确定炮弹爆炸点P 的位置，即确定P 点到AB 中点M 的距离及tan∠PMB 的值．(注：声强与距离的平方成反比)【解析】以M 点为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，如下图，A (－5a,0)，B (5a,0)，设P (x ，y )，依题意有：||PA |－|PB ||＝6a ，∴P 点在双曲线x23a 2－y 24a 2＝1上，∴B 处的声强为：kx －5a 2＋y2，A 处的声强为：k x ＋5a 2＋y2，k x －5a 2＋y 2＝4kx ＋5a 2＋y2 ∴(x ＋5a )2＋y 2＝4[(x －5a )2＋y 2]，解⎩⎪⎨⎪⎧16x 2－9y 2＝144a 2x ＋5a 2＋y 2＝4[x －5a 2＋y 2]得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝275a y ＝8145a∴P (275a ，8145a )∴|PM |＝65a ，tan∠PMB ＝y x ＝81427，即P 点到AB 中点的距离为65a ，且tan∠PMB ＝82714.12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，点P (3，7)在双曲线C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为22，求直线l 的方程．【解析】(1)依题意得，双曲线的半焦距c ＝2. 2a ＝|PF 1|－|PF 2| ＝3＋22＋72－3－22＋72＝22，∴a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2. ∴双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.(2)依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入双曲线C 的方程并整理， 得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.①∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝－4k 2＋4³61－k 2>0，⇔⎩⎨⎧k ≠±1，－3<k < 3.∴k ∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．② 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由①式得x 1＋x 2＝4k 1－k 2，x 1x 2＝61－k2，于是 |EF |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2x 1－x 22＝1＋k 2²x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2²223－k2|1－k 2|. 而原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2，∴S △OEF ＝12d ²|EF |＝12²21＋k 2²1＋k 2²223－k 2|1－k 2| ＝223－k 2|1－k 2|. 若S △OEF ＝22，即223－k 2|1－k 2|＝22⇔k 4－k 2－2＝0， 解得k ＝±2，故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y ＝2x ＋2和y ＝－2x ＋2.。
2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (58)
2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (58)一、填空题1．如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝ .【答案】3 3【解析】连接OC ，PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°. ∵∠CPA ＝30°，OC ＝AB2＝3，∴tan 30°＝3PC，即PC ＝3 3.2．(2011高考北京卷·理)如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ； ②AF ·AG ＝AD ·AE ； ③△AFB ∽△ADG .其中正确结论的序号是 . 【答案】①②【解析】∵CF ＝CE ，BF ＝BD ，∴BC ＝CE ＋BD .∴AB ＋BC ＋CA ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝AD ＋AE ，故结论①正确． 连接DF ，则∠FDA ＝∠DGA . 又∵∠A ＝∠A ，∴△ADF ∽△AGD . ∴AD AG ＝AF AD，∴AD 2＝AF ·AG . 又AE ＝AD ，∴AD ·AE ＝AF ·AG .故结论②正确，容易判断结论③不正确．3．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，则∠AQP 的大小为 .【答案】135° 【解析】如图，连结OC ，则OC ⊥PC ， 设∠OAC ＝α，则∠AOC ＝π－2α，故∠APC ＝∠AOC －∠OCP ＝π－2α－π2＝π2－2α，从而∠APQ ＝12∠APC ＝π4－α.在△APQ 中，有∠AQP ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－α＝3π4＝135°.4．如图，AB 为半圆的直径，DE 为半圆的一条切线，点C 为切点，AD ⊥DE 于D ，BE ⊥DE 于E 交半圆于F ，若AD ＝3，BE ＝7，那么线段DE 的长为 .【答案】221【解析】如图，连结OC ，则OC ⊥DE ，得OC 是梯形ABED 的中位线， ∴OC ＝12(AD ＋BE )＝5，而AB ＝2OC ＝10；连结AF ，则∠AFB ＝90°， 四边形AFED 为矩形，得EF ＝3， ∵BE ＝7，得BF ＝4，于是DE ＝AF ＝AB 2－BF 2＝102－42＝221.5．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝ ，AD ＝ .【答案】52，5【解析】∵BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝10. 设半径为r ，则10－r r ＝106，∴r ＝154.∴AE ＝10－2r ＝52，AD 2＝52×10＝25.∴AD ＝5.6.如图，⊙M 和⊙O 交于A 、B 两点，点M 在⊙O 上，⊙O 的弦MC 分别与弦AB 、⊙M 交于D 、E 两点，若MD ＝1，DC ＝3，则⊙M 的半径为 .【答案】2【解析】设⊙M 半径|ME |＝r ，延长DM 交⊙M 于N ， 则|DE |＝r －1.在⊙O 中，由相交弦定理，AD ·DB ＝MD ·DC ＝3. 在⊙M 中，由相交弦定理，AD ·DB ＝DE ·DN ＝(r －1)(r ＋1)＝3.∴r 2＝4，r ＝2.7．如图，已知两个同心圆，大圆的直径AB 交小圆于C 、D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于G ，若小圆的半径为2，EF ＝43，则EG 的值为 .【答案】677【解析】如图，连结GC ，则GC ⊥ED ，由于EF 切小圆于C ，得EF ⊥CD ，EC ＝12EF ＝23，又CD ＝4，那么在Rt△ECD 中有ED ＝EC 2＋CD 2＝232＋42＝27，∵EC 2＝EG ·ED ，得EG ＝EC 2ED ＝23227＝677. 8．如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3.过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 .【答案】30°，3 【解析】如图，连结OC ，∵BC ＝OB ＝OC ＝3，∴∠CBO ＝60°. 由于∠DCA ＝∠CBO ，即∠DCA ＝60°. 又AD ⊥DC ，得∠DAC ＝30°. 又∵∠ACB ＝90°，得∠CAB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，从而∠ABE ＝30°， ∴AE ＝12AB ＝3.二、解答题9．如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP 垂直于直线OM ，垂足为P .(1)证明：OM ·OP ＝ OA 2；(2)N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直于直线ON ，且交圆O 于B 点．过B 点的切线交直线ON 于K .证明：∠OKM ＝ 90°.【证明】(1)因为MA 是圆O 的切线，所以OA ⊥AM . 又因为AP ⊥OM ，在Rt△OAM 中，由射影定理知，OA 2＝OM ·OP .(2)因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ， 同(1)，有OB 2＝ON ·OK ，又OB ＝OA ， 所以OP ·OM ＝ON ·OK ，即ON OP ＝OMOK.又∠NOP ＝∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM ＝∠OPN ＝90°.10.如图，⊙O 1和⊙O 2内切于点P ，且⊙O 1过点O 2，PB 是⊙O 2的直径，A 为⊙O 2上的点，连结AB ，过O 1作O 1C ⊥BA 于C ，连结CO 2.已知PA ＝43，PB ＝4.(1)求证：BA 是⊙O 1的切线； (2)求∠BCO 2的正切值．【证明】∵O 1C ⊥BA ，∴∠O 1CB ＝90°. ∵⊙O 1和⊙O 2内切于点P ，PB 是⊙O 2的直径， ∴PB 过O 1，∠PAB ＝90°， ∴O 1C ∥PA ，∴PA ：PB ＝O 1C ：O 1B .∵⊙O 1过点O 2，PB ＝4，∴O 1B ＝3，O 1P ＝1. 又PA ＝43，∴O 1C ＝1，∴BA 是⊙O 1的切线．(2)连结PC ，由BA 是⊙O 1的切线知BC 2＝BO 2·BP ，∠BCO 2＝∠BPC .∵PB ＝4，BO 2＝2，∴BC ＝22，BC ＝－22(舍去)． 又∠B ＝∠B ，∴△BCO 2∽△BPC ， ∴CO 2PC ＝BC BP. 又△PCO 2是直角三角形， ∴tan∠BCO 2＝tan∠BPC ＝CO 2PC ＝BC BP ＝22. 11．已知如图，⊙O 1和⊙O 2内切于点T ，⊙O 2的弦CD 切⊙O 1于点E ，连结TC ，TD 分别交⊙O 1于点A 、B ，TE 的延长线交⊙O 2于F ，连结AB 、FD .求证：①AB ∥CD ； ②∠CTF ＝∠DTF ； ③DF 2－EF 2＝CE ·DE .【解析】过T 作两圆的公切线MN ，因为MN 是两圆的公切线， 所以∠MTC ＝∠ABT ，∠MTC ＝∠CDT ， 所以∠ABT ＝∠CDT ，所以AB ∥CD .(2)连结BE .因为CD 切⊙O 1于E .所以∠DEB ＝∠DTE . 因为AB ∥CD ，所以∠DEB ＝∠ABE ， 因为∠ABE ＝∠ATE ，所以∠ATE ＝∠DTE ， 即∠CTF ＝∠DTF .(3)因为TF 、CD 是⊙O 2的两条相交弦，所以CE ·DE ＝EF ·TE ＝EF ·(TF －EF )＝EF ·TF －EF 2. 因为∠FDE ＝∠CTF ＝∠DTF ，∠F 是公共角， 所以△FDE ∽△FTD ， 所以EF ∶DF ＝DF ∶TF ， 所以DF 2＝EF ·TF ， 所以CE ·DE ＝DF 2－EF 2， 即DF 2－EF 2＝CE ·DE .12．已知△ABC 内接于⊙O ，BT 为⊙O 的切线，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F .(Ⅰ)如图甲，求证：当点P 在线段AB 上时，PA ·PB ＝PE ·PF ；(Ⅱ)如图乙，当点P 在线段AB 的延长线上时，上述结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．【解析】(Ⅰ)证明：因为BT 切⊙O 于点B ，所以∠EBA ＝∠C . 因为EF ∥BC ，所以∠AFP ＝∠C . 所以∠EBA ＝∠AFP .因为∠BPE ＝∠FPA ，所以△PBE ∽△PFA . 所以PB PF ＝PEPA，所以PA ·PB ＝PE ·PF .(Ⅱ)当P 为AB 延长线上一点时，(Ⅰ)中的结论仍成立． 因为BT 切⊙O 于点B ，所以∠ABM ＝∠ACB . 因为∠ABM ＝∠PBE ，所以∠PBE ＝∠ACB . 因为EF ∥BC ，所以∠F ＝∠ACB . 所以∠PBE ＝∠F .因为∠P 是公共角，所以△PBE ∽△PFA .所以PB PF ＝PEPA，所以PA ·PB ＝PE ·PF .。
2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (4)
【KS5U原创】2014届高三一轮“双基突破训练"（详细解析+方法点拨）（4)一、选择题1．若f（x）＝错误!的定义域为M,g(x）＝|x|的值域为N,令全集I＝R，则M∩N＝( ）A．M B．NC．∁I M D．∁I N【答案】A【解析】由题意知M：错误!>0⇒x〉0,N：|x｜≥0,所以M∩N＝M.故选择A.2．已知函数y＝f（x）（a≤x≤b）,则集合｛（x，y)｜y＝f(x）,a≤x≤b｝∩｛(x,y）｜x＝0｝中含有元素的个数为( )A．0 B．1或0C．1 D．1或2【答案】B【解析】M＝{(x，y）｜y＝f（x)，a≤x≤b}表示y＝f(x）在x∈［a，b］时的图像，N＝｛(x，y)｜x＝0}表示y轴，根据函数的定义，至多有一个交点．故选择B。
3．用min｛a，b}表示a,b两数中的最小值．若函数f（x）＝min{｜x|，｜x＋t|｝的图像关于直线x＝－错误!对称，则t的值为( ）A．－2 B．2C．－1 D．1【答案】D【解析】方法1:由图像关于直线x＝－错误!对称得，错误!＝错误!，解得t＝0或t＝1，当t＝0时，f（x)＝|x｜，不符合题意，故t＝1，选D.方法2：验证答案,将四个答案分别代入题中，通过数形结合,作出函数y＝｜x｜与y＝｜x＋t｜的图像，得出函数f(x)的图像，然后由对称性排除A,B,C,故选D。
4．已知U＝｛y｜y＝log2x，x〉1｝，P＝错误!，则∁U P＝( ）A.错误!B。
错误!C．(0，＋∞) D．（－∞，0)∪错误!【答案】A【解析】因为函数y＝log2x在定义域内为增函数,故U＝｛y|y〉0}，函数y＝错误!在（0,＋∞）内为减函数，故集合P＝错误!，所以∁U P＝错误!.故选择A。
二、填空题5．已知f(x）＝3（［x]＋3）2－2，其中［x]表示不超过x的最大整数，如[3.1]＝3，则f（－3。
5）＝.【答案】1【解析】∵［－3.5]＝－4，∴f(－3。
2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (9)
2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (9)一、选择题1．在区间[3,5]上有零点的函数是( ) A ．f (x )＝2x ln(x －2)－3 B ．f (x )＝－x 3－3x ＋5 C ．f (x )＝2x－4 D ．f (x )＝－1x＋2【答案】A【解析】对于A ，根据f (3)＝－3<0，f (5)＝10ln 3－3>0，判断f (x )在区间[3,5]上必有零点，其他选项由单调性知在[3,5]上无零点．2．方程x －1＝lg x 有一个根必属于的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，15B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，310C.⎝⎛⎭⎪⎫310，25D.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12 【答案】A【解析】设f (x )＝lg x －x ＋1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝lg 110－110＋1＝－110<0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝lg 15－15＋1＝－lg5－15＋1>0，∴在⎝⎛⎭⎪⎫110，15上必有一根．3．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈ ，第二次应计算 .以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.125) 【答案】A【解析】本题考查利用二分法寻求函数的零点，由定义可知选A. 4．我们可以用以下方法来求方程x 3＋x －1＝0的近似根：设f (x )＝x 3＋x －1，根据二分法，此方程必有一根所在的区间是( ) A ．(0.5,0.6) B ．(0.6,0.7) C ．(0.7,0.8) D ．(0,8.0.9)【答案】B【解析】f (0.6)＝0.63＋0.6－1＝0.216－0.4<0， 而f (0.7)＝0.73＋0.7－1＝0.343－0.3>0， 且函数f (x )＝x 3＋x －1在定义域内单调递增．5．若f (x )和g (x )都是定义在实数集R 上的函数，且方程x －f [g (x )]＝0有实数解，则g [f (x )]不可能是( )A ．x 2＋x －15B ．x 2＋x ＋15C ．x 2－15D. x 2＋15【答案】B【解析】 ∵备选答案所给的是二次函数．可设f (x )与g (x )中必有一个为一次函数，另一个为二次函数．若g [f (x )]＝x 2＋x ＋15＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－120.可令f (x )＝x ＋12，g (x )＝x 2－120，则f [g (x )]＝x 2－120＋12＝x 2＋920＝x ，此时Δ<0不合题意，∴此时x －f [g (x )]＝0无实解，故选择B. 二、填空题6．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有 个零点，这几个零点的和等于 .【答案】3,0【解析】因为f (x )是定义在R 上的奇函数，有性质f (0)＝0， 又∵f (－x )＝－f (x )，f (－2)＝0， ∴f (－2)＝－f (2)＝0，即f (2)＝0，即2也是函数的一个零点． ∴函数有3个零点，为－2,0,2，它们的和为0.7．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是 .【答案】[2,2.5]【解析】由计算器可算得f (2)＝－1，f (3)＝16，f (2.5)＝5.625，f (2)·f (2.5)<0，所以下一个有根区间是[2,2.5]．8．(2012名校联考优化卷)根据表格中的数据，可以判定方程f (x )＝g (x )的一个根所在的区间为 .x －1 0 1 2 3 f (x ) 0.37 1 2.72 7.39 20.09 g (x )12345【答案】(1,2)【解析】构造函数M (x )＝f (x )－g (x )，当M (x 1)·M (x 2)<0时，方程f (x )＝g (x )在(x 1，x 2)内有一根．令M (x )＝f (x )－g (x )，且M (1)＝2.72－3<0，M (2)＝7.39－4>0， 从而M (1)·M (2)<0，即方程f (x )＝g (x )在(1,2)内有一根． 三、解答题9．判断方程2x －1x＝0 是否有实数解，若有，指出其中一个存在区间．【解析】设函数f (x )＝2x －1x，其定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，其整个图像不是连续曲线，但在(0，＋∞)和(－∞，0)上分别是连续曲线．在区间(0，＋∞)上，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上有零点，即方程2x －1x ＝0 有实数解，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1就是它的一个存在区间；同理可知⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12也是方程有实数解的一个存在区间．10．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有 f (1)＝f (3)＝0.(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求函数f (x )在闭区间[－2 005,2 005]上的零点的个数，并证明你的结论． 【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f 2－x ＝f 2＋x f 7－x ＝f 7＋x⇒⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝f 4－x f x ＝f 14－x ⇒f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)，从而知函数y ＝f (x )的周期为T ＝10. 又f (3)＝f (1)＝0，而f (7)≠0，f (－3)＝f (－3＋10)＝f (7)≠0，所以f (－3)≠±f (3)．故函数y ＝f (x )是非奇非偶函数．(2)又f (3)＝f (1)＝0，f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0，故f (x )＝0在[0,10]和[－10,0]上均有有两个解，从而可知函数f (x )＝0在[0，2 005]上有402个解，在[－2 005，0]上有400个解，所以函数y ＝f (x )在[－2 005，2 005]上有802个零点．11．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求实数a 的取值范围．【解析】法1：若a ＝0，则函数f (x )＝2x －3在区间[－1,1]上没有零点，下面就a ≠0时分三种情况讨论：(1)方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有重根． 此时Δ＝4(2a 2＋6a ＋1)＝0，解得a ＝－3±72.当a ＝－3－72时，f (x )＝0的重根x ＝3－72∈[－1，1]；当a ＝－3＋72时，f (x )＝0的重根x ＝3＋72∉[－1，1]． 故当方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有重根时，a ＝－3－72.(2)f (x )在区间[－1,1]只有一个零点且不是f (x )＝0的重根．此时有f (－1)f (1)≤0. ∵f (－1)＝a －5，f (1)＝a －1， ∴(a －5)(a －1)≤0⇒1≤a ≤5.∵当a ＝5时，方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有两个相异实根．故当方程f (x )＝0在区间[－1,1]上只有一个根且不是重根时，1≤a <5.(3)方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有两个相异实根． 因为函数f (x )＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2－12a －a －3，其图像的对称轴方程为x ＝－12a，a 应满足：①⎩⎪⎨⎪⎧a >0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a <1，f 1≥0，f －1≥0，Δ>0，或②⎩⎪⎨⎪⎧a <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a <1，f 1≤0，f －1≤0，Δ>0.解不等式组①得a ≥5. 解不等式组②得a <－3－72.故当方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有两个相异实根时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3－72∪[5，＋∞)． 注意到当1≤a <5时，f (－1)f (1)≤0，方程f (x )＝0在区间[－1,1]上有根； 当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3－72∪[5，＋∞)时，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a f (1)<0，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12a <1，方程f (x )＝0在[－1，1]上有根；当a ＝－3－72时，方程f (x )＝0在区间[－1,1]有根．综上所述，函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，则a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3－72∪[1，＋∞)．法2：若a ＝0，则函数f (x )＝2x －3在区间[－1,1]上没有零点．下面讨论a ≠0时的情况：(1)若f (－1)f (1)≤0，则f (x )必在[－1,1]上有零点． ∵f (－1)＝a －5，f (1)＝a －1， ∴(a －5)(a －1)≤0⇒1≤a ≤5.即1≤a ≤5时，函数f (x )在区间[－1,1]上有零点． (2)若f (－1)f (1)>0，下面分两种情况讨论： ①当f (－1)＝a －5>0，f (1)＝a －1>0，即a >5时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a <1，抛物线y ＝f (x )的对称轴x ＝－12a 必在直线x ＝－1和x ＝1之间，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝－12a－3－a <0，于是f (－1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a <0，f (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a <0， 所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，1内各有一个零点．故当a >5时，函数f (x )在区间[－1,1]上有零点． ②当f (－1)＝a －5<0，f (1)＝a －1<0，即a <1时， 当0<a <1时f (x )＝0的两根 x 1,2＝－1±1＋6a ＋2a22a.由于1＋6a ＋2a 2－(1＋2a )2＝2a (1－a )>0， 所以，1＋6a ＋2a 2>1＋2a . 于是x 1＝－1＋1＋6a ＋2a22a >1，x 2＝－1－1＋6a ＋2a 22a<－1.故当0<a <1时，函数f (x )在区间[－1,1]没有零点．当a <0时，若函数f (x )在区间[－1,1]有零点，则f (x )的最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ≥0. 否则由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a 是最大值，函数f (x )在区间[－1,1]没有零点． 此时抛物线y ＝f (x )的对称轴x ＝－12a在直线x ＝－1和x ＝1之间，即a 满足⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝－12a －3－a ≥0，a <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a ≤1，解得a ≤－3－72.即当a ≤－3－72时，函数f (x )在区间[－1,1]有零点．综上所述，若函数y ＝f (x )在区间[－1,1]有零点，则a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3－72∪[1，＋∞)．12．已知f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx . (1)若k ＝2，求方程f (x )＝0的解；(2)若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明1x 1＋1x 2<4.【解析】(1)当k ＝2时，f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋2x ＝0. 分两种情况讨论：①当x 2－1≥0时，即x ≥1或x ≤－1时， 方程化为2x 2＋2x －1＝0，解得x ＝－1±32.因为0<－1＋32<1，舍去，所以x ＝－1－32.②当x 2－1<0时，即－1＜x ＜1时， 方程化为1＋2x ＝0，解得x ＝－12.由①②得，当k ＝2时，方程f (x )＝0的解是x ＝－1－32或x ＝－12. (2)不妨设0＜x 1＜x 2＜2，因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋kx －1， |x |>1，kx ＋1， |x |≤1，所以f (x )在(0,1]是单调函数， 故f (x )＝0在(0,1]上至多一个解，若1＜x 1＜x 2＜2，因为x 1x 2＝－12＜0，故不符题意，因此0＜x 1≤1＜x 2＜2.由f (x 1)＝0，得k ＝－1x 1，所以k ≤－1；由f (x 2)＝0，得k ＝1x 2－2x 2，所以－72<k <－1.故当－72<k <－1时，方程f (x )＝0在(0,2)上有两个解．方法1：因为x 1∈(0,1]，所以x 1＝－1k，而方程2x 2＋kx －1＝0的两根是－k ±k 2＋84.因为x 2∈(1,2)，所以x 2＝－k ＋k 2＋84，则1x 1＋1x 2＝－k ＋4k 2＋8－k ＝12(k 2＋8－k )， 而y ＝k 2＋8－k 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－1上是减函数，则k 2＋8－k <⎝ ⎛⎭⎪⎫－722＋8＋72＝8， 因此1x 1＋1x 2<4.方法2：因为x 1∈(0,1]，所以kx 1＋1＝0， ① 因为x 2∈(1,2)，所以2x 22＋kx 2－1＝0， ②由①②消去k 得2x 1x 22－x 1－x 2＝0，即1x 1＋1x 2＝2x 2，因为x 2∈(1,2)，所以1x 1＋1x 2<4.。
高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析 方法点拨) (2)
2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (2)一、选择题1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝± 2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．故选择A.2．（2011大纲全国卷）下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3【答案】A【解析】由a>b＋1得a>b＋1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b＋1；因此，使a>b成立的充分不必要条件是a>b＋1.故选择A.3．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( )A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数【答案】A【解析】由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．故选择A.4．(2011上海卷·理)设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件为( )A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n…均是等比数列，且公比相同【答案】D【解析】∵A i＝a i a i＋1，若{A n}为等比数列，则A n＋1A n＝a n＋1a n＋2a n a n＋1＝a n＋2a n为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列．故选择D.5．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件； ③r 是q 的必要条件而不是充分条件； ④綈p 是綈s 的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是( ) A ．①④⑤ B ．①②④ C ．②③⑤ D ．②④⑤【答案】B【解析】s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，①正确，排除C 、D.因为q 是r 的充分条件，q 是s 的必要条件，所以s 是r 的充分条件，又因为s 是r 的必要条件，所以s 是r 的充分必要条件，⑤错，排除A.故选择B.二、填空题6．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图像不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 个．【答案】1【解析】原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题错误，故否命题错误．7．(2011陕西卷·理)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝ .【答案】3或4【解析】由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n ≥0得“1≤n ≤4”，逐个分析，当n ＝1、2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1、3；当n ＝4时，方程有正整数解2.8．下列小题中，p 是q 的充要条件的是 .①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点． ②p ：f －xf x＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数．③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β. ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A . 【答案】①④【解析】在①中，函数有两个零点，则Δ＝m 2－4m －12>0，解得m >6或m <－2，所以p是q 的充要条件；②中p 是q 的充分不必要条件；③中p 是q 的既不充分也不必要条件；④中p 是q 的充要条件．三、解答题9．设T ＝x ＋y ＋xy ，其中x ，y 为非零实数，则命题“若1x ＋1y>0，则T ≠0”的否命题是否正确？为什么？【解析】否命题：若1x ＋1y≤0，则T ＝0，不正确．这是因为：若1x ＋1y≤0，∴x ＋yxy≤0， 即x ＋y ＝0或x ＋y 与xy 异号． 此时T ＝x ＋y ＋xy 不一定为0.10．指出下列命题中p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”中选一种)，并写出判断过程．(1)p ：a 2>b 2，q ：a >b .(2)p ：{x |x >－2，或x <3}，q ：{x |x 2－x －6<0}． (3)p ：a 与b 都是奇数，q ：a ＋b 为偶数．(4)p ：0<m <13，q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根．【解析】(1)∵a 2>b2a >b ，又a >b a 2>b 2，∴p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)∵{x |x >－2，或x <3}＝R ， {x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，∴x ∈{x |x >－2，或x <3}⇒/ x ∈{x |－2<x <3}． 而x ∈{x |－2<x <3}⇒x ∈{x |x >－2，或x <3}． ∴p 是q 的必要而不充分条件． (3)因为a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数， 而a ＋b 为偶数a 、b 都是奇数，所以p 是q 的充分不必要条件．(4)当m ＝0时，方程化为－2x ＋3＝0，仅有一个实根x ＝32.当m ≠0且Δ＝4－12m >0，即m <13且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根，设两根为x 1，x 2，若0<m <13时，方程有两个不相等的实数根，且x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝3m >0，故方程有两个同号且不相等的实数根．即0<m <13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根．若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实数根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，x 1x 2＝3m >0⇒0<m <13.即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根⇒0<m <13，所以p 是q 的充要条件．11．已知函数f (x )在区间(－∞，＋∞)内是增函数，a ，b ∈R . (1)证明命题：如果a ＋b ≥0，那么f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中的逆命题是否正确？并证明你的结论． 【证明】(1)由a ＋b ≥0，得a ≥－b . 又f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )．同理由b ≥－a ， 得f (b )≥f (－a )故f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题正确 .逆命题：如果f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，那么a ＋b ≥0. 证明：假设a ＋b <0，则a <－b .由f (x )在(－∞，＋∞)上递增，得f (a )<f (－b )． 同理得f (b )<f (－a )． 即f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ) 这与已知条件矛盾． 故判断(1)中逆命题成立． 12．若f 1(x )＝3|x －p 1|，f 2(x )＝2·3|x －p 2|，x ∈R ，p 1，p 2为常数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ， f 1x f 2x ，f 2x ， f 1xf 2x(1)求f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件(用p 1，p 2表示)；(2)设a ，b 为两实数，a <b 且p 1，p 2∈(a ，b )，若f (a )＝f (b )，求证：f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度和为b －a2(闭区间[m ，n ]的长度定义为n －m )．【解析】(1)f (x )＝f 1(x )恒成立 ⇔f 1(x )≤f 2(x )⇔|x －p 1|－|x －p 2|≤log 32. ①若p 1＝p 2，则①⇔0≤log 32，显然成立；若p 1≠p 2，记g (x )＝|x －p 1|－|x －p 2|. 当p 1>p 2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧p 1－p 2， x <p 2，－2x ＋p 1＋p 2， p 2≤x ≤p 1，p 2－p 1， x >p 1.所以g (x )max ＝p 1－p 2，故只需p 1－p 2≤log 32.当p 1<p 2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧p 1－p 2， x <p 1，2x －p 1－p 2， p 1≤x ≤p 2，p 2－p 1， x >p 2.所以g (x )max ＝p 2－p 1，故只需p 2－p 1≤log 32.综上所述，f (x )＝f 1(x )对所有实数x 成立的充要条件是|p 1－p 2|≤log 32. (2)分两种情形讨论．①如果|p 1－p 2|≤log 32，由(1)知f (x )＝f 1(x )(对所有实数x ∈[a ，b )，则由f (a )＝f (b )及a <p 1<b 易知p 1＝a ＋b2，再由f 1(x )＝的单调性可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度为 b －a ＋b 2＝b －a 2.②当|p 1－p 2|>log 32时，不妨设p 1<p 2，则p 2－p 1>log 32.于是， 当x ≤p 1时，有f 1(x )＝3p 1－x<3p 2－x<f 2(x )，从而f (x )＝f 1(x )．当x ≥p 2时，f 1(x )＝3x －p 1＝3p 2－p 1·3x －p 2 >3log32·3x －p 2＝f 2(x )，从而f (x )＝f 2(x )．当p 1<x <p 2时，f 1(x )＝3x －p 1及f 2(x )＝2·3p 2－x ，由方程3x 0－p 1＝2·3p 2－x 0，解得f 1(x )与f 2(x )图像交点的横坐标为x 0＝p 1＋p 22＋12log 32. ①显然p 1<x 0＝p 2－12[(p 2－p 1)－log 32]<p 2，这表明x 0在p 1与p 2之间．由①易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ， p 1≤x ≤x 0，f 2x ， x 0<x ≤p 2.综上可知，在区间[a ，b ]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ， a ≤x ≤x 0，f 2x ， x 0<x ≤b .故由函数f 1(x )与f 2(x )的单调性可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度之和为(x 0－p 1)＋(b －p 2)，由于f (a )＝f (b )，即3p 1－a＝2·3b －p 2，得p 1＋p 2＝a ＋b ＋log 32. ②故由①②得(x 0－p 1)＋(b －p 2)＝b －12(p 1＋p 2－log 32)＝b －a2.综合①②可知，f (x )在区间[a ，b ]上的单调增区间的长度之和为b －a2.。
高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (1
2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (10)一、选择题1．客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图像中，正确的是()【答案】C【解析】由题意可知1≤t≤1.5时，没有行程，即s＝0，据此排除A、B、D.故选择C.2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是()【答案】A【解析】汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图像上是一条直线．减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．故选择A.A．11010 B．01100C．10111 D．00011【答案】C【解析】由题意知A的原信息为101，B的原信息为110，D的原信息为001，C的原信息若为011，则传输信息为10110，则不应该是10111，C错误．故选择C.4．某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )A.v1＋v2＋v33B.1v1＋1v2＋1v33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3【答案】D【解析】设三个连续时间段的时长分别为t 1，t 2，t 3， 依题意有v 1t 1＝v 2t 2＝v 3t 3＝l ，总的增长量为3l ，则t 1＋t 2＋t 3＝l ⎝ ⎛⎭⎪⎫1v 1＋1v 2＋1v 3.故该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为 3lt 1＋t 2＋t 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3.故选择D.5．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对其生产的某种型号的彩电降价销售，现有四种方案①先降价a %，再降价b %；②先降价b %，再降价a %；③先降价a ＋b2%，再降价a ＋b2%；④一次性降价(a ＋b )%.其中a >0，b >0，a ≠b ，上述四种方案中，降价幅度最大的是( )A ．方案①B ．方案②C ．方案③D ．方案④【答案】D【解析】设原价为A 元，降价销售时的价格为： 方案1：A (1－a %)(1－b %)方案2：A (1－b %)(1－a %)＝[1－(a %＋b %)＋a %·b %]A 方案3：A ⎝⎛⎭⎪⎫1－a %＋b %22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a %＋b %＋14a %＋b %2A 方案4：A [1－(a %＋b %)] 显然，应选择D. 二、填空题6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b ,2008年产生的垃圾量为a 吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2013年的垃圾量为________吨．【答案】a (1＋b )，a (1＋b )5【解析】下一年的垃圾量为a (1＋b )，从2008年开始经过5年到20013年时该区的垃圾量应为a (1＋b )5吨．7．(2012徐州市检测卷)一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系如图所示，则该汽车在前3小时内行驶的路程为 km ，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 006 km ，那么在t ∈[1,2]时，汽车里程表读数S 与时间t 的函数解析式为 .【答案】220,1 976＋80t【解析】该汽车在前3个小时内行驶的路程为50×1＋80×1＋90×1＝220 km ；由于这辆汽车在行驶这段路程前的里程表的读数为2 006 km ，所以当t ∈[1,2]时，汽车里程表的读数S 与时间t 的函数关系式是S ＝2 006＋50×1＋80(t －1)＝1 976＋80t .8．制造印花机的成本y 元与印花机的生产能力每分钟印花布x (米)之间有函数关系y ＝a ·x b，b 称为经济尺度指数．已知制造印花机的经济尺度指数为23，又知印花机的生产能力达到每分钟印花布1 000米时需投入成本50 000元，要使生产能力达到每分钟印花布1 331米时，需投入成本 元．【答案】60 500【解析】由题意可得50 000＝＝a ·(1 000)23，解得a ＝500，每分钟印花布1 331米时，需投入成本y ＝500×(1 331)23＝60 500元．三、解答题9．中国绕月探测工程已顺利展开，2007年10月24日成功发射了中国第一颗月球卫星“嫦娥一号”．已知在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg 、火箭(除燃料外)的质量m kg 的函数关系是v ＝2 000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s?【解析】根据题意，2 000ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000. ∴ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m＝6，即1＋M m＝e 6，M m≈402.答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.10．家用电器(如冰箱等)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q 呈指数函数型变化，且满足关系式Q ＝Q 0e－0.002 5t，其中Q 0是臭氧的初始量．(1)随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ (2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？(精确到1年) 【解析】(1)Q ＝Q 0e －0.002 5t.因为e>1，所以e－0.002 5<e 0＝1，所以(e－0.002 5)t随着t 的增大而减小．故随着时间的增加，臭氧含量将会减少．(2)令Q ＝12Q 0，则有12Q 0＝Q 0e －0.002 5t，所以－0.002 5t ＝ln 0.5，得 t ≈277.答：随时间的增加，臭氧含量将会减少；约经过277年以后将会有一半臭氧消失． 11．焰火表演绚烂多彩，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造烟花时一般是期望在它达到最高点时爆裂，如果烟花距地面高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1 m)?【解析】作出函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的图像，显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识，对于函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，我们有：当t ＝－14.72×－4.9＝1.5时，函数有最大值h ＝4×－4.9×18－14.724×－4.9≈29.于是，烟花冲出后1.5 s 是爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.12．设2000年世界人口为60亿，目前世界人口增长率为1.84%，试问：若每年均按此增长率增长，到哪一年世界人口将达到120亿？若将地球上的陆地和水面的面积加在一起计算，大约为1.73× 1015m 2，一个人站在地上要占有0.09 m 2，如果每年均按此增长率计算，到哪一年地球上将站满了人？(精确到1年)【解析】设x 年后世界人口将达到y 人，依题意得 则y ＝60×108×1.018 4x.当y ＝120×108时，1.018 4x＝2，解得x ＝log 1.018 42≈38.若将地球上的陆地和水面加在一起全站满人，则 y ＝1.73×10150.09≈1.922 222×1016，则1.018 4x＝1.922 222×101660×108≈3 203 703， 所以x ＝log 1.018 43 203 703≈822.答：到2038年世界人口将达到120亿．如果增长率不变，到2822年地球上将站满了人．。
2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (60)
2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (60)一、选择题1．若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b2≥1【答案】D【解析】因为点M (cos α，sin α)在以原点为圆心的单位圆上，即点M 满足x 2＋y 2＝1.由于直线x a ＋y b＝1通过点M ，即直线x a ＋y b＝1与x 2＋y 2＝1有公共点，即原点O 到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离应小于等于1， ∴|－ab |a 2＋b2≤1，∴1a 2＋1b2≥1.2．(2010重庆卷·理)直线y ＝33x ＋2与圆心为D 的圆⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ∈[0,2π))交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )A.76π B.54π C.43π D.53π 【答案】C【解析】由已知得圆D ：(x －3)2＋(y －1)2＝3， 则圆心D 到直线y ＝33x ＋2距离等于 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪33×3－1＋213＋1＝62， 故cos 12∠ADB ＝d 3＝22，12∠ADB ＝π4，∠ADB ＝π2； 又AD ＝BD ，因此有∠DBA ＝π4. 而直线y ＝33x ＋2的倾斜角是π6，因此结合图形可知，在直线AD ，BD 中必有一条直线的倾斜角等于π6＋π4，另一条的直线的倾斜角等于π6＋π4＋π2.因此直线AD ，BD 的倾角之和等于2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＋π2＝4π3.故选择C. 二、填空题3．(2009高考广东卷·理)若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝ .【答案】－1【解析】把两直线化为普通方程分别为l 1：kx ＋2y ＝k ＋4；l 2：2x ＋y ＝1.∵两直线垂直，∴－k2·(－2)＝－1，解得k ＝－1.4．(2010天津卷·理)已知圆C 的圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋t ，(t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切．则圆C 的方程为 .【答案】(x ＋1)2＋y 2＝2【解析】由题意可得圆心C 的坐标为(－1,0)， 圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离 d ＝|－1＋3|2＝2， 因此圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.5．圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4cos θ，y ＝－2＋4sin θ(θ为参数)的圆心坐标为 ，和圆C 关于直线x－y ＝0对称的圆C ′的普通方程是 .【答案】(3，－2)，(x ＋2)2＋(y －3)2＝16(或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0) 【解析】将参数方程化为标准方程得 (x －3)2＋(y ＋2)2＝16. 故圆心坐标为P (3，－2)．点P (3，－2)关于y ＝x 的对称点P ′(－2,3)， 则圆C 关于y ＝x 对称的圆C ′的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝16(或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0)． 6．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)没有公共点，则实数m的取值范围是 .【答案】(－∞，0)∪(10，＋∞)【解析】由圆的参数方程可知其标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，直线与圆无公共点，即圆心(1，－2)到直线的距离大于半径，即d ＝|3×1＋4×－2＋m |32＋42＝|m －5|5>1， ∴m <0或m >10.7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t ，(t 为参数)被圆 (x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为 .【答案】82【解析】把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t ，代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25得(－5＋t )2＋(2－t )2＝25，t 2－7t ＋2＝0， |t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝41，弦长为2|t 1－t 2|＝82.8．已知OP →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，(O 为坐标原点)，向量OQ →满足OP →＋OQ →＝0，则动点Q 的轨迹方程是 .【答案】(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4 【解析】设Q (x ，y )，则OQ →＝(x ，y )，代入OP →＋OQ →＝0中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α消去参数α，可得动点Q 的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y的最大值．【解析】由椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ，(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ<2π. 因此，S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ ＝2·⎝⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3. 所以当φ＝π6时，S 取得最大值2.10．(2010辽宁卷·理)已知P为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．【解析】(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t .(θ为参数)11．(2010福建卷·理)在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－ 22t ，y ＝ 5 ＋ 22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝2 5 sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，且若点P 的坐标为(3， 5 )，求|PA |＋|PB |. 【解析】(1)由ρ＝2 5 sin θ，得x 2＋y 2－2 5 y ＝0，即x 2＋(y － 5 )2＝5.(2)方法1：将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ⎝⎛⎭⎪⎫3－ 2 2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2 2t 2＝5，即t 2－3 2 t ＋4＝0.由于Δ＝(3 2 )2－4×4＝2>0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3 2 ，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3， 5 )，故由上式及t 的几何意义得 |PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2 .方法2：因为圆C 的圆心为(0， 5 )，半径r ＝ 5 ，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎨⎧x 2＋y －52＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1， y ＝2＋ 5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋ 2 ＝3 2 .12．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t .(t为参数)(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′.写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．【解析】(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0,0)，半径r ＝1. C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1， 所以C 2与C 1只有一个公共点． (2)压缩后的参数方程分别为C 1 ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)；C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t .(t 为参数)．化为普通方程为C 1 ′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22， 联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点个数相同．。
2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (28)
2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (28)一、选择题1．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }各项都是正数，且a 1＝b 1，a 2n ＋1＝b 2n ＋1，那么一定有( )A ．a n ＋1≤b n ＋1B ．a n ＋1≥b n ＋1C ．a n ＋1>b n ＋1D ．a n ＋1<b n ＋1【答案】B【解析】由已知条件并借助等差数列和等比数列的变形公式，可得a n ＋1＝a 2n ＋1＋a 12，b n ＋1＝b 2n ＋1×b 1＝a 2n ＋1×a 1，易得a n ＋1≥b n ＋1，故选择B.2．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b 2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】依题意得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，故 a ＋b 2cd＝x ＋y 2xy＝x 2＋y 2＋2xy xy≥2xy ＋2xyxy＝4.故选择D.3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤3【答案】C【解析】由a ＋b ＝2得ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，排除A 、B.又a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可得a 2＋b 2≥2. 故选择C.4．若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A.3－1 B.3＋1 C ．23＋2 D ．23－2【答案】D【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23得a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－2 3.而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c ) ≥2a ＋b a ＋c＝24－23＝23－2.当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立．故选择D.5．某金店用一不准确的天平(两臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g 黄金，售货员先将5 g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5 g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )A ．大于10 gB ．小于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g【答案】A【解析】设第一次称的黄金为a 1克，第二次称的黄金为a 2克，天平左侧长度为l 1，右侧长度为l 2.由杠杆原理知：a 1·l 1＝5l 2，a 2·l 2＝5l 1， 则a 1·a 2＝25.又由均值不等式：a 1＋a 2≥2a 1a 2(a 1>0，a 2>0)得a 1＋a 2≥2×5＝10，又∵a 1≠a 2，∴a 1＋a 2>10.故选择A. 二、填空题6．(2010重庆卷·文)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为 .【答案】－2【解析】∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2.7．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a ，恒成立，则a 的取值范围是 .【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 【解析】本题考查了恒成立问题和基本不等式问题，在求解过程中，可以先求得x x 2＋3x ＋1的最大值，然后要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x >0)恒成立，只要x x 2＋3x ＋1(x >0)的最大值小于等于a 即可．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可．因为x >0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 8．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为 . 【答案】212【解析】在a n ＋1－a n ＝2n 中，令n ＝1，得a 2－a 1＝2； 令n ＝2得，a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)． 把上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝2＋2n －2n －12＝n 2－n .∴a n ＝n 2－n ＋33，∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n－1≥233－1， 当且仅当n ＝33n，即n ＝33取等号，而n ∈N *，∴“＝”取不到．∵5<33<6，∴当n ＝5时，a n n ＝5－1＋335＝535，当n ＝6时，a n n ＝6－1＋336＝636＝212，∵535>212，∴a n n 的最小值是212. 三、解答题9．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，求1m ＋2n的最小值．【解析】函数y ＝log a (x ＋3)－1的图像所经过的定点为A (－2，－1)，A 在直线mx ＋ny ＋1＝0，于是2m ＋n ＝1，mn >0，∴m >0，n >0.1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n＝2＋n m＋4mn ＋2≥4＋2n m ·4mn＝8.当且仅当1m ＝2n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．故1m ＋2n的最小值为8.10．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin x，－1sin x ，b ＝(2，cos 2x )．(1)若x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，试判断a 与b 能否平行？(2)若x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，求函数f (x )＝a ·b 的最小值． 【解析】(1)若a 与b 平行， 则有1sin x ·cos 2x ＝－1sin x·2，因为x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，sin x ≠0，所以得cos 2x ＝－2，这与|cos 2x |≤1相矛盾，故a 与b 不能平行． (2)由于f (x )＝a ·b ＝2sin x ＋－cos 2xsin x＝1＋2sin 2x sin x ＝2sin x ＋1sin x，又因为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，所以sin x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32，于是2sin x ＋1sin x≥22sin x ·1sin x＝22，当2sin x ＝1sin x ，即sin x ＝22时取等号．故函数f (x )的最小值为2 2.11．在西部，待开发的某地B 所需要的汽油要由地处A 地的炼油厂从公路运输，已知A 、B 两地的运输距离为S 千米，汽车从A 地运汽油到B 地往返一次的油耗恰好等于其满载汽油的千克数w ，故无法将汽油直接运到B 地，为解决问题，决定在途中选定C 地建设临时中转油库，先由往返于A 、C 之间的汽车将油运至C 地，再由往返于C 、B 之间的汽车将油运至B 地．(1)问汽车每千米耗油多少千克？(2)设A 、C 两地的运输距离为x 千米，问一辆汽车往返于A 、C 之间一次可为中转油库运去多少千克油？(3)在(2)条件下，问中转油库设在A 、B 之间何处时，运油率P 最大，最大值是多少？(运油率P ＝(B 地收到的油)÷(A 地运出的油))．【解析】(1)因为AB ＝S 千米，每车载油量为w 千克， 所以汽车每千米油耗为w2S千克．(2)因为AC ＝x ，所以CB ＝S －x ，所以自A 地往返C 地一次，汽车油耗为w 2S ·2x ＝wxS 千克．所以一辆汽车自A 地到C 地余下的油量为w －wx S ＝wS(S －x )千克． (3)由(2)结论可知，为使中转油库得到一车油，必须从A 地运出SwS －x千克油，从中转油库满载一车油到B 地，B 地可收到的油为w －2·(S －x )·w 2S ＝wxS千克．所以P ＝wx S Sw S －x＝x S －x S 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋S －x 22S 2＝14.当且仅当x ＝S －x ， 即x ＝12S 时，P max ＝14.所以当油库设在两地运输道路的中点时，运油率P 最大，最大值为14.12．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？【解析】方法1：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ， 则ab ＝9 000.①广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ·40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75.即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500.故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．方法2：设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x ＞20，y ＞25.两栏面积之和为2(x －20)y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000x x －20＋25x ，整理得S ＝360 000x －20＋25(x －20)＋18 500.因为x －20＞0，所以S ≥2360 000x －20×25x －20＋18 500＝24 500. 当且仅当360 000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14 400(x ＞20)，解得x ＝140，代入y ＝18 000x －20＋25，得y ＝175，即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．。
2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (28)
【KS5U原创】2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨) （28)一、选择题1．已知等差数列{a n}和等比数列{b n｝各项都是正数，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，那么一定有（)A．a n＋1≤b n＋1B．a n＋1≥b n＋1C．a n＋1>b n＋1D．a n＋1〈b n＋1【答案】B【解析】由已知条件并借助等差数列和等比数列的变形公式，可得a n＋1＝错误!，b n＋1＝b2n＋1×b1＝错误!,易得a n＋1≥b n＋1，故选择B。
2．已知x〉0,y>0，x,a，b，y成等差数列，x，c,d，y成等比数列，则错误!的最小值是（）A．0 B．1C．2 D．4【答案】D【解析】依题意得a＋b＝x＋y，cd＝xy，故错误!＝错误!＝错误!≥2xy＋2xyxy＝4。
故选择D。
3．已知a≥0，b≥0,且a＋b＝2，则（)A．ab≤错误!B．ab≥错误!C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3【答案】C【解析】由a＋b＝2得ab≤错误!2＝1，排除A、B。
又错误!≥错误!2,可得a2＋b2≥2.故选择C。
4．若a,b，c〉0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2错误!，则2a＋b＋c的最小值为( )A。
错误!－1 B.错误!＋1C．23＋2 D．2错误!－2【答案】D【解析】由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2错误!得a（a＋b)＋（a＋b）c＝（a＋b）(a＋c)＝4－2错误!.而2a＋b＋c＝（a＋b)＋(a＋c）≥2错误!＝2错误!＝2错误!－2.当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立．故选择D。
5．某金店用一不准确的天平(两臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )A．大于10 g B．小于10 gC．大于等于10 g D．小于等于10 g【答案】A【解析】设第一次称的黄金为a1克,第二次称的黄金为a2克，天平左侧长度为l1,右侧长度为l2。
高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (3)
2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (3)一、选择题1．给出以下命题：①∀x ∈R ，有x 4>x 2；②∃α∈R ，使得sin 3α＝3sin α；③∃a ∈R ，对∀x ∈R 使x 2＋2x ＋a <0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】①中当x ＝0时，x 4＝x 2，故为假命题；②中当α＝k π(k ∈Z )时，sin 3α＝3sin α成立；③中由于抛物线开口向上，一定存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋a ≥0，显然为假命题． 故选择B.2．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q ) 【答案】D【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有(綈p )∨(綈q )为真命题．故选择D.3．设p ：x <－1或x >1，q ：x <－2或x >1，则綈p 是綈q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】q ⇒p ⇔綈p ⇒綈q ；反之p q ⇔綈q 綈p .故选择A.4．a <0是方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】一方面，由a <0得方程ax 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4a >0，此时方程有两个不等实根，且两个实根的积等于1a<0，方程恰有一正、一负的实根，可知方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根；另一方面，由方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根不能推知a <0，如当a ＝1时，方程ax 2＋2x ＋1＝0，即(x ＋1)2＝0满足至少有一个负数根．综上所述，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．故选择B.5．(2009高考海南卷·理)有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin yp 3：∀x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝sin x p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2其中的假命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 3 【答案】A【解析】p 1应该是∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1； p 2当y ＝0时结论成立；p 3显然1－cos 2x 2＝|sin x |，由于x ∈[0，π]，所以结论恒成立； p 4显然，x ＋y ＝π2＋2k π，k ∈Z 时成立．所以p 1，p 4错误．故选择A.二、填空题6．p 是q 的充分条件，则綈p 是綈q 的 条件．【答案】必要【解析】根据充分条件与必要条件与四种命题之间的关系．p ⇒q 的逆否命题应为綈q ⇒綈p ，所以綈p 是綈q 的必要条件．7．命题p ：正方形ABCD 是菱形，命题q ：正方形ABCD 是圆外切四边形，则命题“p ∨q ”，命题“p ∧q ”，命题“綈q ”中，真命题是 ，假命题是 .【答案】p ∨q ，p ∧q ；綈p【解析】因为p 是真命题，q 也是真命题，由真值表可知p ∨q ，p ∧q 是真命题，綈p 是假命题．8．(2010福建卷)已知定义域为(0，＋∞)的函数f (x )满足：(1)对任意x ∈(0，＋∞)，恒有f (2x )＝2f (x )成立；(2)当x ∈(1,2]时，f (x )＝2－x ，给出如下结论：①对任意m ∈Z ，有f (2m )＝0；②函数f (x )的值域为[0，＋∞)；③存在n ∈Z ，使得f (2n ＋1)＝9；④“函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得(a ，b )⊆(2k,2k ＋1)”．其中所有正确结论的序号是 .【答案】①②④【解析】∵当x ∈(1,2]时f (x )＝2－x ，∴当x ∈(2,4]时，1<x 2≤2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝2－x 2， ∴f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝4－x ； 当x ∈(4,8]时，1<x 4≤2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＝2－x 4，∴f (x )＝4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＝8－x ；…， 当x ∈(2n,2n ＋1]，n ∈N 时，1<x 2n ≤2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n ＝2－x 2n ，∴f (x )＝2n f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n ＝2n ＋1－x . 因此，可判断①②④都是正确的．对于③，假设∃n ∈Z ，使得f (2n ＋1)＝9，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋12n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝1－12n ， ∴f (2n ＋1)＝2n f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋12n ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2n －1， ∴2n －1＝9,2n＝10，∴n ∉Z ，这与n ∈Z 相矛盾，故假设不成立．因此结论③不正确．三、解答题9．分别写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”，“綈p ”形式的复合命题．(1)p ：2是6的约数，q ：2是8的约数；(2)p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分．【解析】(1)“p ∨q ”：2是6的约数或2是8的约数．“p ∧q ”：2是6的约数且是8的约数“綈p ”：2不是6的约数(2)“p ∨q ”：菱形的对角线互相垂直或互相平分“p ∧q ”：菱形的对角线互相垂直且互相平分“綈p ”：菱形的两条对角线不互相垂直10．判断下列存在性命题的真假：(1)∃x ∈R ，x ≤0；(2)至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；(3)∃x ∈{x |x 是无理数}，x 2是无理数；(4)∃x ∈Q ，x 2＝5.【解析】(1)由于x ＝0时，x ≤0成立．所以，存在性命题“∃x ∈R ，x ≤0”是真命题．(2)由于整数1既不是合数，也不是素数．所以，存在性命题“至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数”是真命题．(3)由于π是无理数，π2仍是无理数．所以，存在性命题“∃x ∈{x |x 是无理数}，x 2是无理数”是真命题．(4)由于使x 2＝5成立的数只有±5，而±5不是有理数，因此不存在有理数x ，使得x 2＝5成立．所以，存在性命题“∃x ∈Q ，x 2＝5”是假命题．11．写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式的命题，并判断其真假：(1)p ：1是质数，q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等，q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：N ⊆Z ，q ：0∈N .【解析】(1)因为p 假q 真，所以 p ∨q ：1是质数或是方程x 2＋2x －3＝0的根，为真；p ∧q ：1是质数且是方x 2＋2x －3＝0的根，为假；綈p ：1不是质数，为真．(2)因为p 假q 假，所以p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p ∧q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；綈p ：平行四边形的对角线不一定相等，为真．(3)因为p 真q 真，所以p ∨q ：N ⊆Z 或0∈N ，为真；p ∧q ：N ⊆Z 且0∈N ，为真；綈p ：N Z ，为假．12．(2010北京卷·文)已知集合S n ＝{X |X ＝(x 1，x 2，…，x n )，x i ∈{0,1}，i ＝1,2，…，n }(n ≥2)．对于A ＝(a 1，a 2，…，a n )，B ＝(b 1，b 2，…，b n )∈S n ，定义A 与B 的差为A －B ＝(|a 1－b 1|，|a 2－b 2|，…，|a n －b n |)．A 与B 之间的距离为d (A ，B )＝∑i ＝1n|a i －b i |.(1)当n ＝5时，设A ＝(0,1,0,0,1)，B ＝(1,1,1,0,0)，求A －B ，d (A ，B )；(2)证明：∀A ，B ，C ∈S n ，有A －B ∈S n ，且d (A －C ，B －C )＝d (A ，B )．(3)证明：∀A ，B ，C ∈S n ，d (A ，B )，d (A ，C )，d (B ，C )三个数中至少有一个是偶数．【解析】(1)A －B ＝(|0－1|，|1－1|，|0－1|，|0－0|，|1－0|)＝(1,0,1,0,1)． d (A ，B )＝|0－1|＋|1－1|＋|0－1|＋|0－0|＋|1－0|＝3.(2)设A ＝(a 1，a 2，…，a n )，B ＝(b 1，b 2，…，b n )，C ＝(c 1，c 2，…，c n )∈S n .因为a i ，b i ∈{0,1}，所以|a i －b i |∈{0,1}(i ＝1,2，…，n )．从而A －B ＝(|a 1－b 1|，|a 2－b 2|，…，|a n －b n |)∈S n .又d (A －C ，B －C )＝∑i ＝1n||a i －c i |－|b i －c i ||.由题意知a i ，b i ，c i ∈{0,1}(i ＝1,2，…，n )．当c i ＝0时，||a i －c i |－|b i －c i ||＝|a i －b i |，当c i ＝1时，||a i －c i |－|b i －c i ||＝|(1－a i )－(1－b i )|＝|a i －b i |.所以d (A －C ，B －C )＝ i ＝1n|a i －b i |＝d (A ，B )．(3)设A ＝(a 1，a 2，…，a n )，B ＝(b 1，b 2，…，b n )， C ＝(c 1，c 2，…，c n )∈S n ，d (A ，B )＝k ，d (A ，C )＝l ，d (B ，C )＝h .记O ＝(0,0，…，0)∈S n ，由(2)可知d (A ，B )＝d (A －A ，B －A )＝d (O ，B －A )＝k ，d (A ，C )＝d (A －A ，C －A )＝d (O ，C －A )＝l ，d (B ，C )＝d (B －A ，C －A )＝h .所以|b i －a i |(i ＝1,2，…，n )中1的个数为k ，|c i －a i |(i ＝1,2，…，n )中1的个数为l .设t 是使|b i －a i |＝|c i －a i |＝1成立的i 的个数，则h ＝l ＋k －2t . 由此可知，k ，l ，h 三个数不可能都是奇数，即d (A ，B )，d (A ，C )，d (B ，C )三个数中至少有一个是偶数．。
2014届高考数学基础知识突破训练试题(附答案和解释)
2014届高考数学基础知识突破训练试题（附答案和解释）2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨）(5)一、选择题1．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝fx＋3x＋4的所有x之和为()A．－3B．3C．－8D．8【答案】C【解析】因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)＝fx＋3x＋4，只有两种情况：①x＝x＋3x＋4；②x＋x＋3x＋4＝0.由①知x2＋3x－3＝0，故两根之和为x1＋x2＝－3.由②知x2＋5x＋3＝0，故两根之和为x3＋x4＝－5.因此满足条件的所有x之和为－8.故选择C.本题考查函数的性质及推理论证能力，易错之处是只考虑x＝x＋3x＋4，而忽视了x＋x＋3x＋4＝0，误选了A.2．已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是a，b](a，b∈Z)，值域是0,1]，那么满足条件的整数数对(a，b)共有()A．2个B．3个C．5个D．无数个【答案】C【解析】f(x)在0，＋∞)递减，在(－∞，0]上递增，且f(0)＝1，f(－2)＝f(2)＝0，故(a，b)可以是(－2，0)，(－2，1)，(－2,2)，(－1,2)，(0,2)，共5个．故选择C.3．对于函数①f(x)＝lg(|x－2|＋1)，②f(x)＝(x－2)2，③f(x)＝cos(x＋2)．判断如下三个命题的真假：命题甲：f(x＋2)是偶函数；命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；命题丙：f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是()A．①③B．①②C．③D．②【答案】D【解析】本题考查函数的增减性、奇偶性、考查真假命题的概念，考查分析问题的能力．方法1：函数①、②使命题甲为真，函数③使命题甲为假，排除A、C选项；根据函数图像分析，函数①、②使命题乙为真；函数②使命题丙也为真，但函数①使命题丙为假，因此选D.方法2：由命题甲f(x＋2)是偶函数，可知①、②满足条件，排除③；作出①②函数的图像，可知②满足命题乙的条件，①不满足乙的条件，排除①.因此选D.4．函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，又a∈R，则()A．f(a)>f(2a)B．f(a2)C．f(a2＋a)【答案】D【解析】法1：取a＝0，由f(x)在R上是减函数，去A、B、C，∴选D.法2：∵f(x)是R上的减函数，而a>0时，a2a，∴f(a)与f(2a)大小不定，同样a2与a，a2＋a与a的大小关系不确定，从而f(a2)与f(a)，f(a2＋a)与f(a)的大小关系不定，但a2＋1－a＝(a－12)2＋34>0，∴a2＋1>a，从而f(a2＋1)5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是()A．2，＋∞)B．2，＋∞)C．(0,2]D．－2，－1]∪2，3]【答案】A【解析】当t＝1时，x∈1,3]，若x＝3，则f(x＋t)＝f(4)＝15,2f(x)＝2f(3)＝18，故f(x＋t)≥2f(x)不恒成立，故答案C、D错误；当t＝32时，x∈32，72，令g(x)＝f(x＋t)－2f(x)＝x＋322－2x2＝－x2＋3x＋94，g(x)在32，72上是减函数，g(x)≥g72＝12，g(x)≥0在32，72上恒成立，即f(x＋t)≥2f(x)在32，72上恒成立．故t＝32符合题意，答案B错误．故选择A.二、填空题6．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝.【答案】－1【解析】∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)＝x2＋(a＋1)x＋a，由函数为偶函数得a＋1＝0，解得a＝－1.【答案】1＋22【解析】由x2－2x≥0，x2－5x＋4≥0得x≤0或x≥2，x≤1或x≥4，∴函数的定义域为x≤0或x≥4，而原函数在(－∞，0]上为减函数，在4，＋∞)上是增函数，当x＝0时f(x)＝4，而当x＝4时，f(x)＝1＋22，故f(x)的最小值为1＋22.8．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝.【答案】－2x2＋4【解析】∵f(－x)＝f(x)且f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，∴b(－x)2＋(2a＋ab)(－x)＋2a2＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，∴－(2a＋ab)＝2a＋ab，即2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.当a＝0时，f(x)＝bx2，∵f(x)值域为(－∞，4]，而y＝bx2值域不可能为(－∞，4]，∴a≠0.当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2，值域为(－∞，2a2]．∴2a2＝4，∴a2＝2，∴f(x)＝－2x2＋4.三、解答题9．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，求不等式－－【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，∴－－＝，或，x因为f(x)是奇函数且在(0，＋∞)上是增函数，故f(x)在(－∞，0)上是增函数．由f(1)＝0知f(－1)＝0，∴，可化为，∴，－，x∴原不等式的解集为{x|－110．设函数f(x)＝x2－2x－1在区间t，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的解析式．【解析】f(x)＝(x－1)2－1.当t＋1≤1，即t≤0时，f(x)在t，t＋1]上是减函数，∴最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2－2；当t≥1时，f(x)在t，t＋1]上是增函数，∴最小值g(t)＝f(t)＝(t－1)2－2；当t最小值g(t)＝f(1)＝－2，∴g(t)＝t2－2t≤0－2011．函数f(x)＝－x2＋2tx＋t在－1,1]上的最大值为g(t)，求函数g(t)的解析式；画出其图像，据图像写出函数g(t)的值域．【解析】f(x)＝－x2＋2tx＋t＝－(x－t)2＋t2＋t，(－1≤x≤1)当－1≤t≤1时，函数f(x)的最大值为f(t)＝t2＋t.当t∴最大值为f(－1)＝－1－t.当t>1时，函数f(x)在－1,1]上是增函数，∴最大值为f(1)＝－1＋3t.综上可得g(t)＝t2＋－－1－图像如下：∴g(t)的值域为：－14，＋∞.12．设二次函数f(x)＝x2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的两根x1和x2满足0(1)求实数a的取值范围；(2)试比较f(0)f(1)－f(0)与116的大小，并说明理由．【解析】方法1：(1)令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a，则由题意可得Δ>0，00，，⇔a>0，－13＋22，⇔0故所求实数a的取值范围是(0,3－22)．(2)∵f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a2，令h(a)＝2a2.∵当a>0时，h(a)单调增加，∴当00＝2(17－122)＝2•117＋122即f(0)f(1)－f(0)方法2：(1)同方法1.(2)f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a2，由(1)知0∴42a－1又42a＋1>0，于是2a2－116＝116(32a2－1)＝116(42a－1)(42a＋1)即2a2－116故f(0)f(1)－f(0)方法3：(1)方程f(x)－x＝0⇔x2＋(a－1)x＋a＝0.由韦达定理得x1＋x2＝1－a，x1x2＝a，于是00，x1＋x2>0，x1x2>0，－x＋－，－－，⇔a>0，a3＋22，⇔0故所求实数a的取值范围是(0,3－22)．(2)依题意可设g(x)＝(x－x1)(x－x2)，则由0f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝x1x2(1－x1)(1－x2)＝x1(1－x1)]x2(1－x2)]故f(0)f(1)－f(0)<116.。
高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (1
2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (19)一、选择题1．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝ ( ) A.53 B.54 C.55 D.56 【答案】B【解析】由正弦定理得a b ＝sin A sin B ， ∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A【解析】由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32， 于是A ＝30°.故选择A.3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A.518 B.34 C.32 D.78【答案】D【解析】方法1：设三角形的底边长为a ，则周长为5a .∴等腰三角形腰的长为2a ，由余弦定理可知cos α＝2a 2＋2a 2－a 22×2a ×2a ＝78.方法2：如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，则AC ＝2a ，CD ＝a 2. ∴sin α2＝14， ∴cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×116＝78. 4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a ＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2【答案】D【解析】∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin B cos A ＝ 2. 故选择D.5．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )A.1627 B.23 C.33 D.34【答案】D【解析】设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23， 由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos 45°＝53， 所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45， 所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45245＝34. 故选择D.二、填空题6．(2011高考福建卷·文)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于 .【答案】2【解析】由正弦定理可知：S △ABC ＝12BC ×CA ×sin 60°＝3，又因为BC ＝2，所以CA ＝2，即BC ＝CA ，又∠ACB ＝60°，所以三角形ABC 是正三角形，所以AB ＝2，故答案为2.7．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝ ；a ＝ . 【答案】255，210 【解析】因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin A cos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝b sin B， 代入数据解得a ＝210.8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为 .【答案】27【解析】在△ABC 中，AB sin C ＝AC sin B ＝BCsin A ， 得AB ＝AC sin B ·sin C ＝332sin C ＝2sin C ， 同理BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A＝2sin C ＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－C ＝4sin C ＋23cos C＝27sin(C ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝32， 因此AB ＋2BC 的最大值为27.三、解答题9．(2011江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．【解析】(1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A ， 从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3. (2)由cos A ＝π3，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2. 所以sin C ＝cos A ＝13. 10．(2011大纲全国卷·文)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .【解析】(1)由正弦定理可得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. 11．(2011安徽卷·文)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．【解析】由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，所以cos A ＝12，所以sin A ＝32. 再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22. 由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而cos B ＝1－sin 2B ＝22. 由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12. 设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12. 12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b.(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B ，所以cos A －2cos Ccos B ＝2sin C －sin Asin B ，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14.解得a ＝1，从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.。
2014届高三数学一轮复习 抛物线双基限时训练 理(含解析)
2014届高三数学一轮复习 抛物线双基限时训练 理（含解析）巩固双基,提升能力一、选择题1．(2012·某某)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2解析：如图，设A (x 0，y 0)，不妨设y 0＜0，由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线 焦点F (1,0)，抛物线准线方程为x ＝－1， 故|AF |＝x 0－(－1)＝3，可得x 0＝2，y 0＝－22，故A (2，－22)，直线AB 的斜率为k ＝－22－02－1＝－22，直线AB 的方程为y ＝－22x ＋22，联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧y ＝－22x ＋22y 2＝4x，可得2x 2－5x ＋2＝0，得x ＝2或x ＝12，所以B 点的横坐标为12，可得|BF |＝12－(－1)＝32，|AB |＝|AF |＋|BF |＝3＋32＝92，O 点到直线AB 的距离为d ＝223，所以S △AOB ＝12|AB |d ＝322.答案：C2．(2012·某某)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．22B ．2 3C ．4D ．2 5解析：由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， 则2＋p2＝3，∴p ＝2.∴y 2＝4x ，∴y 20＝4×2＝8， ∴|OM |＝22＋y 20＝4＋8＝2 3. 答案：B3．(2013·某某调研)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：设抛物线方程为x 2＝ay 或y 2＝ax (a ≠0)，把圆心(1，－3)代入方程得a ＝－13或a ＝9，∴抛物线方程是y ＝－3x 2或y 2＝9x .答案：D4．(2013·某某诊断)抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D ．3 解析：设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线相切的直线为4x ＋3y ＋t ＝0，与抛物线y ＝－x 2联立得3x 2－4x －t ＝0，由Δ＝16＋12t ＝0，得t ＝－43，两条平行线的距离为所求最小距离，由两条平行线的距离公式得所求距离为43.答案：A5．(2013·某某考试)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±8x解析：由题意得|OF |＝|a |4，tan ∠AFO ＝2，∴|OA |＝|a |2，S △AOF ＝12|OF ||OA |＝a216＝4，∴a ＝±8.答案：D6．(2013·某某联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A 在y 轴上，若线段FA的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为324，则点A 的坐标为( ) A ．(0，±2) B．(0,2) C ．(0，±4) D．(0,4)解析：在△AOF 中，点B 为边AF 的中点，故点B 的横坐标为p 4，因此324＝p 4＋p2，解得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝22x ，可得点B 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫24，±1，故点A 的坐标为(0，±2)．答案：A 二、填空题7．(2012·某某)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝__________.解析：设|AF |＝x ，|BF |＝y ，由抛物线的性质知1x ＋1y ＝2p ＝2，又x ＋y ＝2512，∴x ＝56，y＝54，即|AF |＝56. 答案：568．(2012·某某)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．解析：y ′＝x ，y ′|x ＝4＝4，y ′|x ＝－2＝－2，∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴过P ，Q 的切线方程分别为：y ＝4x －8，y ＝－2x －2，联立方程解得y ＝－4.答案：－49．(2013·某某联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a2－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则正实数a的值为__________．解析：由抛物线的定义知1＋p2＝5，∴p ＝8，故m ＝4，又左顶点A (－a,0)，M (1,4)，因此直线AM 的斜率为k ＝4a ＋1＝1a ，解得a ＝13. 答案：13三、解答题10．(2013·某某检查)已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，准线为l . (1)求经过点F 的与直线l 相切，且圆心在直线x ＋y －1＝0上的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点M ，求点M 横坐标的取值X 围．解析：(1)设圆心为(a ，b )，由抛物线y 2＝－4x 得其焦点坐标为(－1,0)，准线l 的方程为x ＝1，根据题意得⎩⎨⎧a ＋12＋b 2＝|1－a |，a ＋b －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝－4a ，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.∴所求圆的方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝4.(2)依题意可设直线AB 的方程为x ＝my －1(m ≠0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为P .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝－4x消去x 整理得y 2＋4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝－4m ，∴y P ＝y 1＋y 22＝－2m ，∴x P ＝my P －1＝－2m 2－1，即线段AB 的中点为P (－2m 2－1，－2m )，∴线段AB 的垂直平分线方程是y ＋2m ＝－m (x ＋2m 2＋1)， 令y ＝0，得x M ＝－3－2m 2＜－3， ∴点M 横坐标的取值X 围是(－∞，－3)．11．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解析：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.12．(2013·某某联考)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y 2＝8x 的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点．(1)求抛物线焦点F 的坐标及准线l 的方程；(2)若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP |－|FP |cos2α为定值，并求此定值.解析：(1)由已知得2p ＝8，∴p2＝2，∴抛物线的焦点坐标为F (2,0)，准线方程为x ＝－2.(2)证明：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，直线AB 的斜率为k ＝tan α，则直线方程为y ＝k (x －2)，将此式代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0， 故x A ＋x B ＝4k 2＋2k 2， 记直线m 与AB 的交点为E (x E ，y E )，则x E ＝x A ＋x B 2＝2k 2＋2k 2，y E ＝k (x E －2)＝4k， 故直线m 的方程为y －4k ＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎫x －2k 2＋4k2，令y ＝0，得点P 的横坐标x P ＝2k 2＋4k2＋4，故|FP |＝x P －2＝4k 2＋1k 2＝4sin 2α， ∴|FP |－|FP |cos2α＝4sin 2α(1－cos2α)＝4·2sin 2αsin 2α＝8，为定值.。
2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (51)
2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (51)一、选择题1．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】由题意可得：x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x 、y ，只要求出|x －y |，设x ＝10＋t ，y ＝10－t ，|x －y |＝2|t |＝4.2．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )分数 5 4 3 2 1 人数2010303010A.3B.2105C ．3 D.85【答案】B 【解析】平均数是5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10100＝3，标准差是s ＝20×5－32＋10×4－32＋30×3－32＋30×2－32＋10×1－32100＝80＋10＋30＋40100＝85＝2105. 故选择B.3．甲、乙两名同学在五次《基本能力》测试中的成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙两人的平均成绩分别x －甲、x －乙，则下列结论正确的是( )甲乙 9 8 6 3 8 9 9 2 1 071A.x －甲>x －乙；甲比乙成绩稳定 B.x －甲>x －乙；乙比甲成绩稳定 C.x －甲<x －乙；甲比乙成绩稳定D.x －甲<x －乙；乙比甲成绩稳定 【答案】A【解析】甲的成绩是：68,69,70,71,72，x －甲＝70； 乙的成绩是：63,68,69,69,71，x －乙＝68.通过方差公式计算得S 乙2>S 甲2，所以甲比较稳定．4．对于一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i －c (i ＝1,2,3，…，n )，其中c ≠0，则下面结论中正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，而方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化 【答案】B 【解析】x ＝1n ∑i ＝1nx i ， x ′＝1n ∑i ＝1n(x i －c )＝1n ∑i ＝1nx i －1n·nc ＝x －c ， 而s 2＝1n ∑i ＝1n (x －x i )2，s ′2＝1n ∑i ＝1n[x ′－(x i －c )]2＝1n∑i ＝1n[x －c －(x i －c )]2＝1n∑i ＝1n(x －x i )2＝s 2， ∴其平均数变了，而方差保持不变．故选择B.5．选择薪水高的职业是人之常情，假如X 伟和李强两人大学毕业有甲、乙两个公司可供选择，现从甲、乙两个公司分别随机抽取了50名员工的月工资的资料．统计如下：众数 1 200 中位数 1 200 平均数 1 320 标准差433.128 2乙公司 最大值 20 000 最小值 700 极差 19 300 众数 1 000 中位数 1 000 平均数 1 000 标准差2 906.217根据以上的统计信息，若X 伟想找一份工资比较稳定的工作，而李强想找一份有挑战性的工作，则他俩分别选择的公司是( )A ．甲、乙B ．乙、甲C ．都选择甲D ．都选择乙 【答案】A【解析】由表中的信息可知，甲公司的工资标准差远小于乙公司的工资标准差，这表示甲公司的工资比较稳定，X 伟想找一份工资比较稳定的工作，会选择甲公司；而乙公司的工资最大值和极差远大于甲公司的工资最大值和极差，李强想找一份有挑战性的工作，会选择乙公司．故选择A.二、填空题6．下图是2011年在某地举行的少数民族春运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为、方差为.【答案】85；1.6【解析】5个有效分为84,84,86,84,87；其平均数为85.利用方差公式可得方差为1.6. 7．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是.【答案】a ＝b ＝10.5【解析】∵总体中位数为10.5， ∴a ＋b2＝10.5，即a ＋b ＝21，∴总体平均数x －＝2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋2010＝10.总体的方差s 2＝2－102＋3－102＋…＋20－10210＝13.758＋110(a 2＋b 2)，∵7≤a ≤b ≤12且a ＋b ＝21， ∴a 2＋b 2≥a ＋b22＝220.5.当且仅当a ＝b ＝10.5时，(a 2＋b 2)min ＝220.5. ∴a ＝b ＝10.5时，s min 2＝13.758＋220.510＝35.808. 8．为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为：Z ＝x －x －s(其中x 是某位学生的考试分数，x －是该次考试的平均分，s 是该次考试的标准差，Z 称为这位学生的标准分)．转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z 分数作线性变换转化成其它分数．例如某次学业选拔考试采用的是T 分数，线性变换公式是：T ＝40Z ＋60.已知在这次考试中某位学生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T 分数是.【答案】84【解析】Z ＝x －x －s ＝85－7025＝0.6，T ＝40×0.6＋60＝84.三、解答题9．某工厂人员及工资构成如下表：人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 周工资 2 200 250 220 200 100 人数 1 6 5 10 1 23 合计2 2001 5001 1002 0001006 900(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？ 【解析】由表格可知：众数＝200.中位数＝220. 平均数＝(2 200＋1 500＋1 100＋2 000＋100)÷23 ＝6 900÷23＝300.虽然平均数为300元/周，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下．故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．10．在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17； 在某报纸的一篇文章中，每个句子的字数如下：27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22(1)将这两组数据用茎叶图表示；(2)将这两组数据进行比较分析，你能得到什么结论？【解析】(1)电脑杂志报纸文章9 8 7 7 5 5 4 1 01 2 3 8 98 7 7 7 6 5 4 4 3 2 02 2 2 3 4 7 7 7 86 13 1 1 64(2)电脑杂志上每个句子的字数集中在10～30之间，中位数为23；而报纸上每个句子的字数集中在20～40之间，中位数为28，还可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少．11．一次数学竞赛，两组学生成绩如下表：已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由．【解析】方法一：甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．方法二：s甲2＝12＋5＋10＋13＋14＋6[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝150(2×900＋5×400＋10×100＋13×0＋14×100＋6×400)＝172.s乙2＝150(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256.∵s甲2<s乙2，∴甲组成绩较乙组成绩好．方法三：甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，从这一角度看甲组的成绩总体较好．方法四：从成绩统计表看，甲组成绩高于90分的人数为14＋6＝20(人)，乙组成绩高于90分的人数为12＋12＝24(人)．∴乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好．12．对甲乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表.甲273830373531乙332938342836(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适．【解析】(1)画出茎叶图，中间数为数据的十位数.从这个茎叶图上可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5，甲的中位数是33.因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．(2)根据公式得：x －甲＝33，x －乙＝33；S 甲＝3.96，S 乙＝3.35；甲的中位数是33，乙的中位数是33.5.综合比较选乙参加比赛较为合适．。
2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (12)
2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (12)一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】由导函数f′(x)在(a，b)内的图像及其几何意义知，函数在极小值点左边单调递减，右边单调递增，则函数f(x)在开区间(a，b)内只有2个极小值点．2．如果函数y＝f(x)的图像如图，那么导函数y＝f′(x)的图像可能是( )【答案】A【解析】由y＝f(x)的图像可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y＝f′(x)的函数值依次为正负正负，由此可排除B、C、D.3．(2010某某卷·文)已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0【答案】B【解析】∵f(x)＝2x＋11－x，∴f′(x)＝2x ln 2＋11－x2>0.∴f(x)在区间(－∞，1)、(1，＋∞)上都是增函数．又∵x0是f(x)的一个零点，且x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，∴f(x1)<0，f(x2)>0.故选择B.4．(2011新课标全国卷·文)在下列区间中，函数f(x)＝e x＋4x－3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 【答案】C【解析】∵f (x )＝e x＋4x －3，∴f ′(x )＝e x＋4>0. ∴f (x )在其定义域上是严格单调递增函数．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 故选择C.5．设p ：f (x )＝e x＋ln x ＋2x 2＋mx ＋1在(0，＋∞)内单调递增，q ：m ≥－5，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】综上所述，由f (x )在(0，＋∞)内单调递增不能推出m ≥－5； 反之，由m ≥－5可知f (x )在(0，＋∞)内单调递增． 二、填空题6．如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)，且y ＝f (x )在区间(0,1)上单调递增，并且方程f (x )＝0的根都在区间[－2,2]内，则b 的取值X 围是____________．【答案】[3,4]【解析】∵f ′(x )＝－3x 2＋b >0(0<x <1)，b >3x 2(0<x <1)，故b ≥3.又f (x )＝0⇔x ＝0，±b ∈[－2,2]， ∴b ≤2，b ≤4，∴3≤b ≤4.7．(2010某某卷)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是.【答案】21【解析】∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a k 2)处的切线方程为y －a k 2＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.8．f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]，总有f (x )≥0成立，则a ＝. 【答案】4【解析】若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝31－2xx4， 所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4. 综上所述a ＝4. 三、解答题9．(2010某某卷·文)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．【解析】由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π， 知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，于是f ′(x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令f ′(x )＝0，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，x ＝π或x ＝3π2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.10．(2011某某卷·文)已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R . (1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当t ≠0时，求f (x )的单调区间；(3)证明：对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】(1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x . (2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.因为t ≠0，以下分两种情况讨论： ①若t <0，则t2<－t .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，t 2，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，－t .②若t >0，则－t <t2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ，t2. (3)由(2)可知，当t >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，＋∞内单调递增．以下分两种情况讨论：①当t2≥1，即t ≥2时，f (x )在(0,1)内单调递减．f (0)＝t －1>0，f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.所以对任意t ∈[2，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．②当0<t 2<1，即0<t <2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2内单凋递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，1内单调递增．若t ∈(0,1]，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－74t 3＋t －1≤－74t 3<0，f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≥－6t ＋4t ＋3＝－2t ＋3>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，1内存在零点．若t ∈(1,2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－74t 3＋(t －1)<－74t 3＋1<0， f (0)＝t －1>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2内存在零点．所以，对任意t ∈(0,2)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 综上，对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点． 11．(2010某某卷·文)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)．令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，所以当x ∈(0,1)时，g (x )>0， 此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0， 此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1.a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． b ．当0<a <12时，1a－1>1，x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞时，g (x )>0， 此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． c ．当a <0时，由于1a－1<0，x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞上单调递减．12．(2011某某卷)已知a ，b 是实数，函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝x 2＋bx ，f ′(x )和g ′(x )分别是f (x )和g (x )的导函数．若f ′(x )g ′(x )≥0在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性一致．(1)设a >0，若f (x )和g (x )在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b 的取值X 围； (2)设a <0且a ≠b ，若f (x )和g (x )在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a －b |的最大值．【解析】f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2x ＋b .(1)由题意知f ′(x )g ′(x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立．因为a >0，故3x 2＋a >0.进而2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在区间[－1，＋∞)上恒成立，所以b ≥2.因此b 的取值X 围是[2，＋∞)． (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a3. 若b >0，由a <0得0∈(a ，b )．又因为f ′(0)g ′(0)＝ab <0，所以函数f (x )和g (x )在(a ，b )上的单调性是不一致的，因此b ≤0.由此得，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－－a 3时，f ′(x )>0， 因此，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－－a 3时，f ′(x )g ′(x )<0， 故由题设得a ≥－－a3且b ≥－－a3， 从而－13≤a <0，于是－13≤b ≤0.因此|a －b |≤13，且当a ＝－13，b ＝0时等号成立．又当a ＝－13，b ＝0时，f ′(x )g ′(x )＝6x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－19，从而当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0时，f ′(x )g ′(x )>0，故函数f (x )和g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0上单调性一致．因此|a －b |的最大值为13.。
2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (11)
【KS5U原创】2014届高三一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨）(11)一、选择题1．设f(x）＝x ln x，若f′（x0)＝2,则x0＝（）A．e2B．eC。
错误!D．ln 2【答案】B【解析】∵f（x)＝x ln x，∴f′（x）＝x·错误!＋ln x＝1＋ln x。
又∵f′(x0)＝2，∴1＋ln x0＝2.∴ln x0＝1,∴x0＝e.2．函数y＝f（x)的图像过原点且它的导数为y＝f′（x)的图像是如图所示的一条直线，则y＝f(x)图像的顶点在（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】设f（x）＝ax2＋bx，∴f′(x)＝2ax＋b，由图像知a<0,b>0，∴错误!在第一象限．故选择A。
3．设双曲线y＝错误!在点（3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．2B 。
错误!C ．－12D ．－2 【答案】D【分析】本题求y ＝错误!的导数应先将函数化为y ＝错误!＝1＋错误!，这样求导比直接利用商的导数法则求导简单．【解析】∵y ＝错误!＝错误!＝1＋错误!,∴y ′＝－2x －12，∴曲线y ＝错误!在点(3，2)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝3＝－错误!。
由题意知ax ＋y ＋1＝0的斜率为k ′＝2，∴a ＝－2。
4．设气球以每秒100立方厘米的常速注入气体．假设气体压力不变，那么当球半径为10厘米时，气球半径增加的速度为( ）A.错误!厘米/秒B 。
错误!厘米/秒C 。
错误!厘米/秒D.错误!厘米/秒【答案】A5．曲线y＝x ln x的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程是（) A．x－y－1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y＝0 D．y＝（ln x－1）x【答案】A【解析】从所述切线平行于直线x－y＋1＝0出发，可以排除B、D，但无法辨析A、C,还应从函数的导数的角度去解决此题．设该切线与曲线相切的切点为（x0,y0)∵y′＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋x·错误!＝ln x＋1∴曲线在(x0,x0ln x0）点的切线斜率为ln x0＋1，已知该切线斜率为1，∴ln x0＋1＝1,即x0＝1,切点坐标为(1，0)，∴所求切线方程为y＝x－1即x－y－1＝0，∴应选A。
2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (30)
【KS5U原创】2014届高三一轮“双基突破训练"(详细解析+方法点拨）(30)一、选择题1．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：) A．6E B．72C．5F D．B0【答案】A【解析】A×B＝10×11＝110＝16×6＋14＝6E.2．有一个游戏：将分别写有数字1、2、3、4的四张卡片随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请4个人进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中;丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲，乙、丙、丁4个人预测都不正确．那么甲、乙,丙、丁4个人拿到的卡片依次为( )A．3124 B．4123C．4321 D．4213【答案】D【解析】解析时可以将各人的预测用图表的形式表示出来或抓住关键判断句，进行逻辑推断即可得结论．由甲，丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片；又由乙的预测不正确，可得乙拿到标有2的卡片，由此可得答案D.3．数列｛a n｝中，已知a1＝2，a n＋1＝错误!（n∈N＊),通过计算a2、a3、a4后,猜想a n的表达式是（)A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!【答案】B【解析】∵错误!＝错误!＋3，∴a2＝错误!，a3＝错误!，a4＝错误!,利用归纳推理,可以猜想：a n＝错误!.4．对于问题：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n）部分．”我们由归纳推理：得到f（10）＝( ）A．54 B．55C．56 D．57【答案】C【解析】本题以归纳猜想数列的通项为知识点，考查了数列递推关系、归纳推理的数学思想方法，解题时可以通过到数列中各项间的关系入手探究，找准问题的突破口．f(2)－f(1）＝2，f(3)－f(2)＝3，，由此可推测f(4)－f(3）＝4，…，f（10）－f(9）＝10，这九个等式相加可得f(10)－f(1)＝2＋3＋4＋…＋10＝54，∴f(10)＝54＋f(1）＝56.故选择C。
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2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (47)一、选择题1．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线【答案】B【解析】由题意可知P 点在空间中的轨迹应是以AB 为旋转轴的圆柱面，又P 点在平面α内，所以P 点的轨迹应是该圆柱面被平面α所截出的椭圆．故选择B.2．点P 到点F (3,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小2，则点P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝－12x B ．y 2＝6x C ．y 2＝12x D ．y 2＝－6x【答案】C【解析】由题意知点P 到点F (3,0)的距离与它到直线x ＋3＝0的距离相等，则点P 的轨迹是以(3,0)为焦点，x ＝－3为准线的抛物线．由此可知轨迹方程为y 2＝12x .故应选C.3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y【答案】A【解析】将方程分离参数a 可得a (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0，可知直线恒过两直线的交点⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，即(－2,3)，设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，或x 2＝by (b ≠0)，将(－2,3)代入方程即得a ＝－92，b ＝43，从而抛物线方程可求．故选择A.4．在△ABC 中，已知A (－4,0)、B (4,0)，且sin A －sin B ＝12sin C ，则点C 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 212＝1 B.x 24－y 212＝1(x >2) C.x 212－y 24＝1 D.x 212－y 24＝1(y ≠0) 【答案】B【解析】由sin A －sin B ＝12sin C 知a －b ＝12c .即|BC |－|AC |＝12|AB |，又∵|AB |＝8，∴|BC |－|AC |＝4.由双曲线的定义知C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线(除去顶点)右支，且2a ＝4,2c ＝8，∴a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝12， ∴所求方程是x 24－y 212＝1(x >2)．故应选B.5．抛物线y 2＝2px 的一组斜率为k (k ≠0)的平行弦的中点轨迹方程为( ) A ．y ＝p k B ．y ＝－p k C ．x ＝p kD ．x ＝－p k【答案】A【解析】设平行弦方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝kx ＋b ，得k 2x 2＋2kbx ＋b 2＝2px ， 即k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0， 令弦的端点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2p －2kbk 2x 1·x 2＝b2k2，令弦的中点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22＝p －kb k2，y ＝y 1＋y 22＝k x 1＋x 22＋b＝p －kb k ＋b ＝p k，消去b ，得：y ＝pk. 故应选A. 二、填空题6．已知平面内有一固定线段AB ，其长度为4，O 为线段AB 的中点，动点P 满足|PA |－|PB |＝3.则|PO |的最小值为 .【答案】32【解析】易知点P 的轨迹为双曲线右支，当P 为其顶点时，|PO |min ＝a ＝32.7．设点P (a ，b )是圆x 2＋y 2＝1上的动点，则动点Q (a 2－b 2，ab )的轨迹方程是 . 【答案】x 2＋4y 2＝1【解析】由已知得a 2＋b 2＝1，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－b 2y ＝ab ，得x 2＋4y 2＝(a 2＋b 2)2＝1.8．已知双曲线C 的中心在原点，抛物线y 2＝8x 的焦点是双曲线C 的一个焦点，且双曲线C 过点(2，3)，则双曲线C 的方程为 .【答案】x 2－y 23＝1【解析】由题意设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，把(2，3)代入得2a 2－3b2＝1.①又抛物线y 2＝8x 的焦点是(2,0)，故c 2＝a 2＋b 2＝4② 由①、②得a 2＝1，b 2＝3. 所以所求双曲线方程为x 2－y 23＝1.三、解答题9．△ABC 的底边BC 固定，其他两边斜率之积等于m (m ≠0)，求顶点A 的轨迹方程，并由m 的取值讨论轨迹图形．【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 边的中点为原点建立平面直角坐标系．设顶点A 的坐标为(x ，y )，|BC |＝2a ， 则B (－a,0)、C (a,0)． ∴k AB ·k AC ＝yx ＋a ·yx －a＝m (m ≠±a )，即x 2a 2－y 2ma2＝1(y ≠0)， ∴所求轨迹方程为x 2a 2－y 2ma2＝1(y ≠0)．当m >0时，它表示焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)，特别是m ＝1时，表示等轴双曲线(除去顶点)．当－1<m <0时，它表示焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)． 当m ＝－1时，它表示以原点为圆心，半径是a 的圆(除去与x 轴的交点)． 当m <－1时，它表示焦点在y 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)． 10．已知A (－2,0)，B (2,0)，点C 、D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)．(1)求点D 的轨迹方程；(2)过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程． 【解析】(1)设C 、D 点坐标分别为C (x 0，y 0)，D (x ，y )，则 AC →＝(x 0＋2，y 0)，AB →＝(4,0)，则AB →＋AC →＝(x 0＋6，y 0)，故AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02＋3，y 02.又AD →＝(x ＋2，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x02＋3＝x ＋2y2＝y解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2y 0＝2y代入|AC →|＝x 0＋22＋y 02＝2得x 2＋y 2＝1，即为所求点D 的轨迹方程．(2)易知直线l 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)①又设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a 2>4)②因为直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切， 故|2k |k 2＋1＝1，解得 k 2＝13.将①代入②整理得(a 2k 2＋a 2－4)x 2＋4a 2k 2x ＋4a 2k 2－a 4＋4a 2＝0， 而k 2＝13，即(a 2－3)x 2＋a 2x －34a 4＋4a 2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－a 2a 2－3，由题意有a 2a 2－3＝2×45(a 2>3)，求得a 2＝8.经检验，此时Δ>0.故所求的椭圆方程为x 28＋y 24＝1.11．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)、B (6,0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解析】(1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，由题意可知，0＝a ·64＋647，∴a ＝－17.∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，y ＝－17x 2＋647，得4y 2－7y －36＝0，y ＝4或y ＝－94(舍去)．∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．∴C 点的坐标为(6,4)，此时|AC |＝25，|BC |＝4.答：当观测点A 、B 测得AC 、BC 距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令． 12．(2011天津卷)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．【解析】(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． 由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即a －c 2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12，所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ， 可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2， 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理得5x 2－8cx ＝0， 解得x 1＝0.x 2＝85c ，得方租组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c .或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x .BM →＝(x ，3x )．由AM →·BM →＝－2， 即⎝⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2－163xy －15＝0， 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x>0，所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．。