数学：1.2.1几个常用函数的导数教案
《1.2.1几个常用函数的导数》教学案
《1.2.1几个常用函数的导数》教学案教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用. 教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式. 教学过程：新课讲授1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 0y '=表示函数y c =图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 1y '=表示函数y x =图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 2y x '=表示函数2y x =图像(图3.2-3)上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x ==的导数 5．函数()y f x ==的导数(2)推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=四．回顾总结五．教后反思：。
1.2导数的计算(4课时)
作业： P18习题1.2A组：1.
1.2
导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则 第一课时
问题提出 1.如何求函数f(x)的导数？
y= 2.函数y＝c，y=x，y=x2，
，
f (x + Vx ) - f (x ) f¢ (x ) = lim Vx ® 0 Vx 1
x 的导数分别是什么？.
思考3：若y＝c表示路程关于时间的函数， 则y′＝0的物理意义如何解释？
物体的瞬时速度始终为0，即物体处于静 止状态.
探究（二）：函数y＝f(x)＝x的导数 思考1：函数f(x)＝x的图象是什么？相 对于x的函数值增量△y等于什么？ y y ＝x
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) 0.5 - 0
f¢ (x ) = k
思考5：函数f(x)＝kx(k≠0)的图象是什 么？其导数表示什么？ y＝kx的图象是过原点的一条直线
f¢ (x ) = k 表示直线y＝kx的斜率.
思考6：函数f(x)＝kx(k≠0)增(减)的快 慢与k的取值有什么关系？ k＞0时，k越大，f(x)增加得越快； k＜0时，k越大，f(x)减少得越慢.
= ln x 的
导数是什么？
1 (loga x )¢= x ln a
1 (ln x )¢= x
探究（二）：导数的四则运算法则
[f (x ) + g(x )]¢ (x ) + g (x ) 相等吗？ 思考1： 与 fⅱ 为什么？
[f (x ) + g(x )]ⅱ = f (x ) + g (x )
(x ), g (x ) 有什么关 [f (x ) - g(x )]¢与 f ⅱ 思考2： 系？ [f (x ) - g(x )]ⅱ = f (x ) - g (x )
高中数学导数及其应用导数的计算几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
2021/12/8
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[规律方法] 1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解 2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原 则，避免不必要的运算失误 3.要特别注意“1x与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
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第一章 导数及其应用(yìngyòng)。谢谢观看
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其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－
2 x3
，∴y′|x＝3＝－
2 27
，
故②正确；显然③，④正确，故选C.]
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2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝14，则α等于(
(4)若y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
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2．若函数y＝10xn 10
D．10l1n 10
C [∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.]
)
A．13
B．12
C．18
D．14
D [∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝14.]
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3．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
【导学号：31062023】
《几种常见函数的导数》教案完美版
《几种常见函数的导数》教案完美版第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的定义解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以用来描述函数在某一点的增减性、极值等性质。
1.2 导数的计算方法讲解导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数、指数函数、对数函数的导数公式。
示例讲解：计算常见函数在某一点的导数，如f(x) = x^2, f(x) = e^x, f(x) = ln(x)。
第二章：线性函数和多项式函数的导数2.1 线性函数的导数引入线性函数的导数：线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其导数为f'(x) = a。
强调线性函数导数的简洁性：线性函数的导数恒为一个常数。
2.2 多项式函数的导数引入多项式函数的导数：多项式函数的一般形式为f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + + a_1x + a_0，其导数为f'(x) = na_nx^(n-1) + (n-1)a_(n-1)x^(n-2) + + a_1。
示例讲解：计算多项式函数在某一点的导数，如f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4。
第三章：指数函数和对数函数的导数3.1 指数函数的导数引入指数函数的导数：指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其导数为f'(x) = a^x ln(a)。
强调指数函数导数的性质：指数函数的导数恒为一个正数。
3.2 对数函数的导数引入对数函数的导数：对数函数的一般形式为f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。
强调对数函数导数的性质：对数函数的导数在定义域内为正数。
第四章：三角函数的导数4.1 正弦函数的导数引入正弦函数的导数：正弦函数的一般形式为f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。
强调正弦函数导数的周期性：正弦函数的导数也是一个周期函数。
4.2 余弦函数的导数引入余弦函数的导数：余弦函数的一般形式为f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。
高中数学1.2.1几个常见函数的导数教案新人教版选修2_2
第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
1.2.1几个常用函数的导数
e (3) f ( x) e x ,则f ' ( x)等于 ____x__;
f ' (1)等于 ___e___
1
(4) (1ogax )' __x_l_n_a___
三.典例分析 题型：求曲线的切线方程
例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点， (1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。 (2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。 (3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。
公式6.若f (x) ex , 则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 x ln a
(a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
练习:
1、求下列函数的导数
(1) y sin t (4)u cos v (7) y 2
x
lim C C x0 x
lim 0 0 x0 x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：f '(x) C 0 (C为常数)
归纳总结：
常函数y=f（x）=c的导数等于 0 它表示函数y=c图象上各点切线的 斜率都是0；
事实上，各点切线就是 原来的直线。
二、几种常见函数的导数
切线的斜率k y ' |xx0 2x0 1,
x0
1 2
,
切点M (1 , 1)
24
与PQ平行的切线方程:y 1 x 1 ,即：4x 4 y 1 0。 42
1
1
练习解1：：∵求y双′曲＝线－yx1＝2，x在∴点y′(2|，x＝22)＝处－的14切. 线方程．
16-17版：1.2.1 几个常用函数的导数~1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算 法则(
1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标] 1.能根据定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 几个常用函数的导数思考 (1)函数f (x )＝c ，f (x )＝x ，f (x )＝x 2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？ (2)函数f (x )＝1x 导数的几何意义是什么？知识点二基本初等函数的导数公式思考由函数y＝x，y＝x2的导数，你能得到y＝xα(α∈Q*)的导数吗？如何记忆该公式？题型一运用求导公式求常见的基本初等函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝1x5；(2)y＝12log x；(3)y＝cos π4；(4)y＝22x.反思与感悟 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (3)y ＝x x ；(4)y ＝12log x .题型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．反思与感悟 导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，两条直线互相垂直时，其斜率之积为－1(在其斜率都存在的情形下)． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．在利用求导公式时，因没有进行等价变形出错例3 求函数y ＝3x 2的导数． 错解 ∵y ＝3x 2，∴y ＝x 32，故y ′＝3212x .错因分析 出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形，从而导致得到错误的结果． 正解 ∵y ＝3x 2＝23x ，∴y ′＝2313x -.防范措施 准确把握根式与指数幂的互化：nx m ＝m nx ，1n x m＝m nx-.1．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B ．0 C.12xD.323．给出下列结论：①⎝⎛⎭⎫cos π6′＝－sin π6＝－12； ②若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3；③若f (x )＝3x ，则[f ′(1)]′＝3； ④若y ＝5x ，则y ′＝155x .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．5．求下列函数的导数：(1)y＝1x3；(2)y＝3 x.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．提醒：完成作业 1.2.1～1.2.2(一)答案精析知识梳理 知识点一0 1 2x －1x 2 12x思考 (1)常数函数f (x )＝c ：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y 轴，斜率为0；当y ＝c 表示路程关于时间的函数时，y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．一次函数f (x )＝x ：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当y ＝x 表示路程与时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动；一般地，一次函数y ＝kx ：导数y ′＝k 的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为k ，|k |越大，函数变化得越快．二次函数f (x )＝x 2：导数y ′＝2x ，几何意义为函数y ＝x 2的图象上点(x ，y )处的切线斜率为2x ，当y ＝x 2表示路程关于时间的函数时，y ′＝2x 表示在时刻x 的瞬时速度为2x . (2)反比例函数f (x )＝1x ：导数y ′＝－1x 2，几何意义为函数y ＝1x 的图象上某点处切线的斜率为－1x 2. 知识点二0 αx α－1 cos x －sin x a x ln a e x1x ln a 1x思考 因y ＝x ，得y ′＝1；y ＝x 2，得y ′＝2x ，故y ＝x α的导数y ′＝αx α－1，结合该规律，可记忆为“求导幂减1，原幂作系数”． 题型探究例1 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 5′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6； (2)y ′＝1x ln 12＝－1x ln2；(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos π4′＝0； (4)y ′＝(22x )′＝(4x )′＝4x ·ln 4. 跟踪训练1 解 (1)y ′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12；(4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.例2 解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是： y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6， 即2x ＋3y －32－π3＝0. 跟踪训练2 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1. 又∵f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)．又∵切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)． 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1.当x 0＝2时，f ′(x 0)＝1，此时所求切线方程为x －y －4＝0； 当x 0＝1时，f ′(x 0)＝0，此时所求切线方程为y ＋2＝0. 故经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0. 当堂检测1．D [令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.]2．A [∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.]3．A [cos π6＝32为常数，则⎝⎛⎭⎫cos π6′＝0，所以①错误；y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以②正确；因为f (x )＝3x ，所以f ′(x )＝3，所以[f ′(1)]′＝0，所以③错误；y ′＝(5x )′＝⎝⎛⎭⎫x 15′＝15x －45，所以④错误．] 4.12e 2 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.5．解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －3－1＝－3x －4. (2)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x －23.。
1.2 导数的计算 导学案(教师版)
§1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内容要求 1.能根据定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 3.会使用导数公式表.知识点1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x【预习评价】思考根据上述五个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？提示y＝xα的导数是y′＝αxα－1.知识点2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln__a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f (x )＝ln xf′(x )＝1x求下列函数的导数：(1)f (x )＝4x 5；(2)g (x )＝cos π4；(3)h (x )＝3x . 解 (1)f (x )＝x 54，∴f ′(x )＝54x 14； (2)g (x )＝cos π4＝22，∴g ′(x )＝0； (3)h ′(x )＝3x ln 3.题型一 利用导数定义求函数的导数【例1】 利用导数的定义求函数f (x )＝2 019x 2的导数. 解 f ′(x )＝0limx ∆→2 019（x ＋Δx ）2－2 019x 2x ＋Δx －x＝0lim x ∆→2 019[x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2]－2 019x 2Δx＝0lim x ∆→4 038x ·Δx ＋2 019（Δx ）2Δx ＝0lim x ∆→(4 038x ＋2 019Δx )＝4 038x .规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.(2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )，(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 【训练1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数. 解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋b －（x 2＋ax ＋b ）Δx＝0lim x ∆→x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －bΔx＝0lim x ∆→2x ·Δx ＋a ·Δx ＋（Δx ）2Δx＝0lim x ∆→ (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a .题型二 利用导数公式求函数的导数 【例2】 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 13； (2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12； (2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ； (4)y ′＝(15x 2)′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75.方向1 利用导数求曲线的切线方程【例3－1】 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与在这点处的切线垂直的直线方程.解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23(x －π6)，即2x ＋3y －32－π3＝0. 方向2 切线方程的综合应用【例3－2】 设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解 如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小.设与直线y ＝x 平行的直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0). 因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0. 代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0，1). 所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.【训练3】 (1)求曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程；(2)求曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线方程.解 (1)∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，y ′|x =π6＝－sin π6＝－12.∴曲线在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即6x ＋12y －63－π＝0. (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .∴曲线在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线的斜率为k ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝32.∴切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即33x －6y ＋3π＋3＝0.课堂达标1.已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A.0B.2xC.6D.9解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 答案 C2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B.0C.12xD.32解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.答案 A3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B.[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案 A4.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 答案 12e 25.已知f(x)＝52x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.解析因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－13，x2＝2.答案－13或2课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y＝1－2sin2x2的导数.因为y＝1－2sin 2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.基础过关1.函数y＝3x在x＝2处的导数为()A.9B.6C.9ln 3D.6ln 3解析y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3.答案 C2.下列结论中，不正确的是()A.若y＝1x3，则y′＝－3x4B.若y＝3x，则y′＝3x3C.若y＝1x2，则y′＝－2x－3D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析由(x n)′＝nx n－1知，选项A，y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；选项B ，y ＝3x ＝x 13，则y ′＝13x －23≠3x3；选项C ，y ＝1x 2＝x －2，则y ′＝－2x －3； 选项D ，由f (x )＝3x 知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3.∴选项A ，C ，D 正确.故选B. 答案 B3.已知f (x )＝cos x ，f ′(x )＝－1，则x 等于( ) A.π2B.－π2C.π2＋2k π，k ∈ZD.－π2＋2k π，k ∈Z解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，则sin x ＝1， ∴x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 答案 C4. 曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________． 解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋15.若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 解析∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a ).令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 答案 646.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1. 由f ′(x )＋g ′(x )≤0， 得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1， 但sin x ∈[－1，1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 能力提升8.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处分别有斜率为1的切线.答案 B9.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B.－1e C.－eD.e解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e. 答案 D10.曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 解析 ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1. ∴a ＝1. 答案 111.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________. 解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 答案 10ln 1012.已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728， 所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.创新突破13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 019(x ). 解 ∵f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，∴f n ＋4(x )＝f n (x )，可知f (x )的周期为4，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝-cos x .。
几个常用函数的导数(教案)
几个常用函数的导数(教案)章节一：导数的基本概念1.1 引入：解释导数的定义强调导数的重要性1.2 导数的定义：引入极限的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率1.3 导数的计算：强调导数的计算方法介绍导数的计算规则章节二：常数函数的导数2.1 常数函数的导数：解释常数函数的导数是0通过实例进行验证章节三：幂函数的导数3.1 幂函数的导数：引入幂函数的概念解释幂函数的导数规则3.2 幂函数的导数计算：强调幂函数的导数计算方法通过实例进行计算和验证章节四：指数函数的导数4.1 指数函数的导数：引入指数函数的概念解释指数函数的导数是它本身的导数4.2 指数函数的导数计算：强调指数函数的导数计算方法通过实例进行计算和验证章节五：对数函数的导数5.1 对数函数的导数：引入对数函数的概念解释对数函数的导数是它本身的导数5.2 对数函数的导数计算：强调对数函数的导数计算方法通过实例进行计算和验证强调学生需要掌握的导数概念和计算方法几个常用函数的导数(教案)章节六：三角函数的导数6.1 三角函数的导数：引入三角函数的概念解释三角函数的导数规则6.2 三角函数的导数计算：强调三角函数的导数计算方法通过实例进行计算和验证章节七：反三角函数的导数7.1 反三角函数的导数：引入反三角函数的概念解释反三角函数的导数规则7.2 反三角函数的导数计算：强调反三角函数的导数计算方法通过实例进行计算和验证章节八：复合函数的导数8.1 复合函数的导数：引入复合函数的概念解释复合函数的导数规则8.2 复合函数的导数计算：强调复合函数的导数计算方法通过实例进行计算和验证章节九：高阶导数9.1 高阶导数的概念：解释高阶导数的定义强调高阶导数的重要性9.2 高阶导数的计算：介绍高阶导数的计算方法通过实例进行计算和验证回顾整个教案的重点内容强调学生需要掌握的导数概念和计算方法10.2 练习：提供一些相关的习题供学生练习鼓励学生进行自主学习和思考参考资料：提供一些参考资料供学生进一步学习鼓励学生进行深入研究和探索对教案的一些补充和说明强调学生需要积极参与课堂讨论和实践活动重点和难点解析章节一：导数的基本概念补充和说明：引导学生通过图形直观理解导数表示的是函数在某一点的切线斜率，而非曲线本身的信息。
《1.2.1几个基本函数的导数(1)——常见幂函数的导数》教学设计
《1.2.1几个基本函数的导数（1）——常见幂函数的导数》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
用导函数的定义推导函数3,
==的导数公式。
y x y
【教学目标】
1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.
2.掌握常见幂函数的导数公式.
3.灵活运用公式求某些函数的导数.
【学情与内容分析】
本节课在导数概念学习的基础上，本节课进一步运用导数定义推导出几个常用的幂函数导数公式，引导学生从运用导数定义解决问题向运用导数公式解决问题的思路转化，训练学生直接运用导数公式来计算导数和解决具体问题，感受求导公式的便利性，降低思维难度，进一步提升数学能力和素养.
【教学准备】希沃课件。
【难重点】
重点：掌握几个常用的幂函数的导数公式，并能进行简单的应用.
难点：用定义推导函数3,
==的导数公式.
y x y
【教学过程】
【板书设计】
【评价设计】
【作业设计】
1、完成导学案内容
2、教材P26 2、
3、4【教学反思】。
导数的计算专业知识
活页规范训练
【变式 3】 求曲线 y＝cos x 在点 A6π， 23处的切线方程． 解 ∵y′＝(cos x)′＝－sin x， ∴y′|x＝π6＝－sinπ6＝－12， ∴在点 A 处的切线方程为 y－ 23＝－12x－6π， 即 x＋2y－ 3－π6＝0.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
1．2 导数旳计算
1．2.1 几种常用函数旳导数 1．2.2 基本初等函数旳导数公式及导数旳运算法则
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
第1课时 基本初等函数旳导数公式
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1．理解各个公式旳证明过程，进一步了解利用定义求导数旳措
施． 2．掌握常见函数旳导数公式． 3．灵活利用公式求某些函数旳导数． 【关键扫描】 1．基本初等函数旳导数公式．(要点) 2．能利用导数定义推导几种常用旳函数旳导数公式，应用公式计
算有关导数．(重难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
1．几种常用函数旳导数
自学导引
原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝1x f′(x)＝－x12 f(x)＝ x f′(x)＝21 x
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
对于给定的点 M，要验证与曲线的位置关系， 若已知点是切点，可采用错解中的方法，否则，就需要照本 题的正解进行．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
[正解] 设切点坐标为 N(x0,2x30－3x0)，由导数的几何意义知切线的 斜率 k 就是切点处的导数值，而 f′(x)＝6x2－3，所以切线的斜率 k＝f′(x0)＝6x02－3，所以切线方程为 y＝(6x20－3)x＋32，又点 N 在 切线上，所以有 2x03－3x0＝(6x20－3)x0＋32，解得 x0＝－2，故切线 方程为 y＝21x＋32.
数学：1.2.1几个常用函数的导数教案
§1.2.1几个常用函数的导数教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数、、、的导数公式及应用教学难点：四种常见函数、、、的导数公式教学过程：一．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．新课讲授1．函数的导数根据导数定义，因为所以函数导数表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数的导数因为所以函数导数表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数的导数因为所以函数导数表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．4．函数的导数因为所以函数导数（2）推广：若，则三．课堂练习1．课本P13探究12．课本P13探究24．求函数的导数四．回顾总结函数导数五．布置作业。
人教版高中数学教案-几个常用函数的导数教案
§1.2.1幾個常用函數的導數教學目標：1．使學生應用由定義求導數的三個步驟推導四種常見函數y c =、y x =、2y x =、1y x =的導數公式； 2．掌握並能運用這四個公式正確求函數的導數． 教學重點：四種常見函數y c =、y x =、2y x =、1y x =的導數公式及應用 教學難點： 四種常見函數y c =、y x =、2y x =、1y x =的導數公式 教學過程：一．創設情景我們知道，導數的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．那麼，對於函數()y f x =，如何求它的導數呢？由導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，但由於導數是用極限來定義的，所以求導數總是歸結到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數的導數，這一單元我們將研究比較簡捷的求導數的方法，下面我們求幾個常用的函數的導數．二．新課講授1．函數()y f x c ==的導數根據導數定義，因為()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函數 導數y c = 0y '=0y '=表示函數y c =圖像（圖3.2-1）上每一點處的切線的斜率都為0．若y c =表示路程關於時間的函數，則0y '=可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處於靜止狀態．2．函數()y f x x ==的導數因為()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆y x = 1y '=1y '=表示函數y x =圖像（圖3.2-2）上每一點處的切線的斜率都為1．若y x =表示路程關於時間的函數，則1y '=可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動．3．函數2()y f x x ==的導數因為22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 函數 導數2y x = 2y x '=2y x '=表示函數2y x =圖像（圖3.2-3）上點(,)x y 處的切線的斜率都為2x ，說明隨著x 的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導數作為函數在一點的暫態變化率來看，表明：當0x <時，隨著x 的增加，函數2y x =減少得越來越慢；當0x >時，隨著x 的增加，函數2y x =增加得越來越快．若2y x =表示路程關於時間的函數，則2y x '=可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻x 的瞬時速度為2x ．4．函數1()y f x x==的導數 因為11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆（2）推廣：若*()()n y f x x n Q ==∈，則1()n f x nx -'=三．課堂練習1．課本P 13探究12．課本P 13探究24．求函數y =四．回顧總結五．佈置作業。
1.2.1几个常用的导函数4
佳木斯十一中高二下学期理科学案 第一章导数及其应用 编号：1-4 制作人：王贵春 审核人：康慧凤 班级： 姓名：_____________________________________________________________________§1.2.1几个常用函数导数学习目标1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 一、预习与反馈（预习教材P 12~ P 14，找出疑惑之处）复习：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率yx ∆=∆（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x yx ∆∆→∆0lim =二、典型例题1利用导数的定义求下列函数的导数例1. 函数()y f x c ==的导数. 变式：求函数()y f x x ==的导数。
例2. 求函数1()y f x x ==的导数 变式： 求函数2()y f x x ==的导数例3.求函数()y f x == 变式：求出曲线1y x =在点(1,2)处的切线方程.三、归纳总结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.四、当堂检测1.()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)24 4. 过曲线1y x =上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .6.求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.熟记下列导数公式0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x s i n )'(cos -=； ()ln (0)x x a a a a '=>； ()x x e e '=； x x c o s)'(sin =1()(0,ln log a x a x a'=>且1)a ≠； 1(ln )x x '=。
1.2.1《导数的计算》省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
x
xx
x x xx
x2
1 x
•
， x
所以
y'
lim
x0
y x
lim x0
x2
1 x
•
x
1 x2
.
11/32
探究
画出函数
y
1 x
图象.依据图象,描述它改变情况,并求出
曲线在点(1,1)处切线方程.
y
2 1
-2 -1
12
x
-1
-2
12/32
5.函数 y = f (x) = x 导数
因为 y f x x f x x x x
f ' (1)等于 ___e___
1
(4) (1oga x )' ___x_l_n_a__
20/32
4.求以下函数导数
(1) y x12 (2) y x x (3) y 1 (4) y 5 x3
x4
1
(5) y x (6) y x3
21/32
小结、基本初等函数导数公式 （1）若f(x)=c,则f′ (x)=___0__;
f (x)g(x) f (x)g(x)
g ( x)2
3:求以下函数导数
(1)y=tanx
sin x cos2 x sin2 x 1
y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x
(2) y
x3 x2 3
y'
x2 6x (x2 3)2
3
27/32
堂上练习 求以下函数导数：
1y 2x4 20x2 40x 1
2y 3 2x 4x2 5x3 1 x4
6
3y (2x3 1)(3x2 x)
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§1.2.1几个常用函数的导数
教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x
=的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x
=
的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式 教学过程：
一．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
二．新课讲授
1．函数()y f x c ==的导数
根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x
∆+∆--===∆∆∆ 所以00
lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===
0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数()y f x x ==的导数
因为()()1y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00
lim lim 11x x y y ∆→∆→∆'===
1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数2()y f x x ==的导数
因为22
()()()y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-==∆∆∆ 222
2()2x x x x x x x x
+∆+∆-==+∆∆ 所以00
lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆
2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．
4．函数1()y f x x
==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x
-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x
-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x y y x
∆→∆→∆'==-=-∆
（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=
三．课堂练习
1．课本P 13探究1
2．课本P 13探究2
4．求函数y 的导数
四．回顾总结
五．布置作业。