第1章线性空间与线性变换

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矩阵分析引论--第一章线性空间与线性变换-线性空间的概念、基变换与坐标变换

二、线性空间的定义 1、数域
复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1；有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间）设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.

第1章线性空间与线性变换

ka = 0 k = 0 or a = 0 -a = ( -1)a
维数，基与坐标
定义: 设V 是一个线性空间，a1, a2, … an∈V 若 (1) a1, a2, … an 线性无关， (2) a∈V , a 可由a1, a2, … an 线性表示， a = x1a1+ x2a2+ … +xnan 则称a1, a2, … an 为V 的一组基，称 x1, x2 , …, xn为a 在基a1, a2, … an 下的坐标，称 n 为V 的维数，记作 dimV = n 。
【基变换公式】
即 ( b 1 , b 2 , ，b n ) = (a 1 , a 2 , , a n ) P 【基变换公式】
则 P 称为由基 a1 , a 2 ,
p11 p21 P= p n1 p12 p22 pn 2
, a n 到基 b 1 , b 2 ,
p1n p2 n pnn
R
m n
= { A | A = (aij ) mn , aij R }
Amn + Bmn = C mn R m n ,
l Amn = Dmn R mn ,
∴ Rm×n是一个线性空间。
6
例3 次数小于n 的多项式的全体，记作 P[x]n
P[ x ]n = { an -1 x n-1 + + a1 x + a0 an -1 , , a0 R }
定义加法：
a + b = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 , , x n + y n )T
定义数乘：
ka = ( kx1 , kx 2 , , kx n )T ,

第1章线性空间与线性变换

请双面打印/复印(节约纸张)工程矩阵理论主讲: 张小向第一章线性空间与线性变换第一节线性空间的基本概念第二节基, 维数与坐标变换第三节子空间的和与交第四节线性映射第五节线性映射的矩阵第六节线性映射的值域与核第七节几何空间线性变换的例子第八节线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念§1.1 线性空间的基本概念一. 几个具体的例子 1.n= {(a1, …, an)T | a1, …, an ∈ }.2, 3).1. n. 2. [x]. 3. Mm×n( ). 4. { f(x) | f: → }. 5. = {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ 6. V = {α}.+, +非空集合(特例: 2. [x] ={a0+a1x+…+anxn a11 a21 … am1| a1, …, an ∈ }. .3. Mm×n( ) =a12 … a1n a22 … a2n 诸aij ∈ … …… am2 … amn共同点系数域两种运算八条规则∀k∈ .α +α = α, kα = α, ∀k∈ .第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念二. 线性空间的定义与性质定义1.1.1 线性空间V(F). V——非空集合 F——数域加法交换律结合律有零元素每个元素都有负元素 1α = α k(lα) = (kl)α (k+l)α = kα + lα k(α+β) = kα + kβ定理1.1.1. (1) 零向量唯一; (2) 任一向量的负向量唯一; (3) 0α = θ; (4) kθ = θ; (5) (−1)α = −α, (−k)α = −(kα); (6) kα = θ ⇒ k = 0或α = θ.数乘272365083@1请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念三. 线性组合, 线性表示 1. 设α1, …, αk ∈V(F), x1, …, xk ∈F, 则称 x1α1 + … + xkαk 为α1, …, αk的一个线性组合. 2. 设α1, …, αk, β ∈ V(F). 若∃ x1, …, xk ∈ F s.t. β = x1α1 +…+ xkαk 则称β能由向量组α1, …, αk线性表示. 3. 若β1, …, βl都能由α1, …, αk线性表示,则称向量组β1, …, βl能由α1, …, αk线性表示.四. 形式矩阵设α1, …, αk , β1, …, βk ∈V(F). 1. 若α1 = β1, …, αk = βk , 则记(α1, …, αk) = (β1, …, βk). 2. 规定 (α1, …, αk) + (β1, …, βk) = (α1+β1, …, αk+βk). 3. 若a ∈F, 则规定 a(α1, …, αk) = (aα1, …, aαk).第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念4. 若x1, …, xk ∈F, 则记 x1α1 +…+ xkαk = (α1, …, αk) x1 . xk 5. 若A = (A1, …, As) ∈ Mk×s(F), 则规定 (α1, …, αk)A = ((α1, …, αk)A1, …, (α1, …, αk)As). …注: 设α1, …, αk , β1, …, βk ∈V(F). a, b ∈ F, A, B ∈ Mk×s(F), C ∈ Ms×t(F). 记α = (α1, …, αk), β = (β1, …, βk), 则可以验证下列等式成立: ① a(α + β) = aα + aβ, ② (a+b)α = aα + bα, ③ a(bα) = (ab)α. ④ (α + β)A = αA + βA, ⑤ α(A+B) = αA + αB, ⑥ (αA)C = α(AC), ⑦ (aα)A = a(αA) = α(aA).第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间的基本概念五. 线性空间的子空间定义1.1.2 子空间, W ≤ V(F) 定理1.1.2. 设∅ ≠ W ⊆ V(F), 则 W ≤ V(F) ⇔ W关于的加法和数乘封闭. 注: V(F)的两个平凡的子空间. {θ}, V(F)六. 由子集合{α1, α2, …, αk}生成的子空间 {α1, α2, …, αk}——生成系, 生成元集i=1 k∑ xiαi —— α1, α2, …, αk的一个线性组合组合系数 W = { ∑ xiαi | ∀xi∈ F}.k记为L[α1, α2, …, αk]或span{α1, α2, …, αk}.i=1272365083@2请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换§1.2 基, 维数与坐标变换一. 向量组的线性相关性定义1.2.1 线性相关, 线性无关. 定理1.2.1 设(I) α1, α2, …, αs线性无关, 且能由 (II) β1, β2, …, βt线性表示, 则s ≤ t. 推论1 设(I)与(II)都线性无关, 且等价, 则s = t. 推论2 设(I)能由(II)线性表示, 且s > t, 则(I)必线性相关.二. 基、维数定义1.2.2 基, 维数. 例子. 1. n. 2. [x], [x]n = {a0+a1x+…+an−1xn−1 | …}. 3. Mm×n( ). 4. { f(x) | f: → }. 5. = {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ +, ∀k∈ . 6. V = {θ}.+第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换定理1.2.2 若dimV = n, 则V中任意 n 个线性无关的向量都构成V的一组基. 定理1.2.3 若W ≤ V, dimV = n, α1, …, αr 为W 的一组基, 则∃αr+1, …, αn∈ V 使得 α1, …, αr, αr+1, …, αn构成V的一组基.三. 坐标定义1.2.3 设α1, …, αn为V的一组基, ξ ∈ V. 若ξ = x1α1 + … + xnαn, 则称有序数组(x1, …, xn)为ξ在基 α1, …, αn下的坐标, (x1, …, xn)T称为ξ的坐标向量.第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换定理1.2.4 设α1, …, αn为V的一组基, (β1, …, βr) = (α1, …, αn)x11 … x1r x11 … x1r xn1 … xnr … …四. 坐标变换 V的两组基 , P, 可逆X=xn1 … xnr,p11 … p1n (β1, …, βn) = (α1, …, αn) … … … , pn1 … pnn 称P为从基α1, …, αn到β1, …, βn的过渡矩阵.…则β1, …, βr线性无关 ⇔ 秩(X) = r.272365083@…3请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.2 基, 维数与坐标变换第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交四. 坐标变换 V的两组基 P, 可逆§1.3 子空间的和与交一. 基本概念与结论定义1.3.1 设V1, V2 ≤ V. V1与V2的和: V1 + V2 = {α1 + α2 | α1∈V1, α2∈V2}. V1与V2的交: V1∩V2 = {α∈V | α∈V1且α∈V2}. 定理1.3.1 V1, V2 ≤ V ⇒ V1 + V2, V1∩V2 ≤ V.p11 … p1n (β1, …, βn) = (α1, …, αn) … … … , pn1 … pnnξ = (α1, …, αn)X = (β1, …, βn)Y,(α1, …, αn)PY ⇒ X = PY, Y = P−1X. ——坐标变换公式 =第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交注: ① 子空间V1∩V2与集合V1∩V2是一致的. ② 一般情况下, V1+V2 ≠ V1∪V2. 例如V =3,zOV1 = xOy平面, V2 = yOz平面, V1+V2 = V, V1∩V2 = y轴.定理1.3.2 (维数定理) 设V1, V2是V的两个有限维子空间, 则 dimV1 + dimV2 = dim(V1+V2) + dim(V1∩V2). 证明: (关键步骤) y(1) 取V1∩V2的一组基α1, …, αr ; (2) 把α1, …, αr扩充成V1的一组基 α1, …, αr, βr+1, …, βs ; (3) 把α1, …, αr扩充成V2的一组基 α1, …, αr, γr+1, …, γt ; (4) 验证α1, …, αr, βr+1, …, βs, γr+1, …, γt 线性无关(从而构成V1+V2的一组基).x③ V1+V2 = V1∪V2 的充分必要条件是 V1⊆V2 或 V2⊆V1.第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交k1α1+…+krαr+kr+1βr+1+…+ksβs+lr+1γr+1+…+ltγt = 0 ⇒ lr+1γr+1+…+ltγt = −k1α1−…−krαr−kr+1βr+1−…−ksβs ∈ V1∩V2 ⇒ ∃l1, …, lr s.t. lr+1γr+1+…+ltγt = l1α1+…+lrαr i.e. l1α1+…+lrαr −lr+1γr+1−…−ltγt = 0 ⇒ l1 = … = lr = lr+1 = … = lt = 0 ⇒ k1α1+…+krαr+kr+1βr+1+…+ksβs = 0 ⇒ k1 = … = kr = kr+1 = … = ks = 0dimV1 + dimV2 = dim(V1+V2) + dim(V1∩V2) 例1(1) V = 3, V1 = xOy平面, V2 = yOz平面, V1+V2 = V, V1∩V2 = y轴, dimV1 = dimV2 = 2, dim(V1+V2) = 3, dim(V1∩V2) = 1. zOyx272365083@4请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交例1(2) V = V2 =2×2,V1 =x y z tx = y ≤ V,例1(3) V = V2 =2×2,V1 =x −x y −yx, y ∈ ≤ V,≤ V,x y z tx + y + z = 0 ≤ V,x y z tx y x yx, y ∈0 0V1+V2 = ______. V1∩V2 =x=y且x+y+z=0 ,则 0 0 , 构成V1的一组基, 1 −11 0 0 1 , 构成V2的一组基, 1 0 0 11 −1dimV1 = dimV2 = 3, dim(V1∩V2) = 2, 故dim(V1+V2) = 3 + 3 − 2 = 4 = dimV, 可见V1+V2 = V.故dimV1 = dimV2 = 2.x −x y −y ∈V2 ⇔ x = y. x −x 故V1∩V2 = x −x x ∈.第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交可见1 −1 构成V1∩V2的一组基, 1 −1dim(V1∩V2) = 1. 故dim(V1+V2) = dimV1 + dimV2 − dim(V1∩V2) = 2 + 2 − 1 = 3. 事实上,1 0 0 1 1 −1 0 0 , , 1 0 , 0 1 线性相关, 0 0 1 −1二. 子空间的直和定义1.3.2 设V1, V2 ≤ V. 若对于∀α∈V1+V2, ∃| α1∈V1, α2∈V2, s.t. α = α1 + α2, 则称V1 + V2为V1与V2的直和, 记为V1⊕V2.其中任意3个都线性无关, 因而构成V1+V2的一组基.α = α1 + α2, α1∈V1, α2∈V2 ⇒ α = β1 + β2, β1∈V1, β2∈V2 α1 = β1, α2 = β2.第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交定理1.3.3 设V1, V2 ≤ V, 则下列条件等价: (1) V1 + V2是直和; (2) V1 + V2中0分解式唯一, 即 0 = α1+α2 (αi∈Vi) ⇒ α1 = α2 = 0; (3) V1∩V2 = {0}; 当dimV1, dimV2 < ∞时, 上述条件还等价于 (4) dim(V1+V2) = dimV1 + dimV2.定理1.3.4 设V1 ≤ V, dimV = n, dimV1 = r, 则存在V的n−r维子空间V2使得 V = V1⊕V2. 定义1.3.3 设V1, …, Vs ≤ V, 则V1, …, Vs的和 V1 + … + Vs = {α1 +…+ αs | αi∈Vi}. 若对于∀α ∈ V1 + … + Vs , ∃| αi∈Vi (i = 1, …, s) s.t. α = α1 + … + αs , 则称V1 +…+ Vs为V1, …, Vs的直和, 记为V1⊕…⊕Vs .272365083@5请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交定理1.3.5 设Vi ≤ V (i = 1, …, s), 则TFAE: (1) V1 + … + Vs是直和; (2) V1 + … + Vs中0分解式唯一; (3) Vk∩Σi≠kVi = {0}, k = 1, …, s; 当dimVi < ∞ (i = 1, …, s)时, 上述条件还等价于 (4) Σ dimVi = dim( Σ Vi).i=1 i=1 s s例2. 设A2 = A ∈ Fn×n, V1 = {X ∈ Fn | AX = 0}, V2 = {X∈Fn | AX = X}. 证明: Fn = V1⊕V2. 证明: (1) 容易验证V1, V2 ≤ Fn. (2) ∀α∈Fn, 有α = (α − Aα) + Aα, A(α − Aα) = Aα − A2α = 0, A(Aα) = A2α = Aα. 可见α ∈ V1+V2. 这就证明了Fn ⊆ V1+V2. 又因为V1+V2 ⊆ Fn, 所以Fn = V1+V2.第一章线性空间与线性变换§1.3 子空间的和与交第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射例2. 设A2 = A ∈ Fn×n, V1 = {X ∈ Fn | AX = 0}, V2 = {X∈Fn | AX = X}. 证明: Fn = V1⊕V2. 证明: (1) 容易验证V1, V2 ≤ (2) Fn = V1+V2. (3) 若α∈V1∩V2, 则α = Aα = 0. Fn. 可见V1∩V2 ⊆ {0}. 又因为{0} ⊆ V1∩V2, 所以V1∩V2 = {0}. 综上所述, Fn = V1⊕V2.§1.4 线性映射一. 映射定义1.4.1 像原像 • • • 映射 • • • • • • 满射 • •第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射• • 单射注:• • •• • • 双射• • •f:→; a → |a| ;a→ √a2(∀a∈ ) (∀a∈ )g: →f = g —— ∀a∈ , f(a) = g(a) 一般地, 若映射f, g: A → B满足 f(a) = g(a) (∀a∈A) 则称映射f与g相等, 记为f = g.• • •• • •• •• • •不是映射不是映射272365083@6请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射• • • f • • •• • •• • • g • • • gf• • •注① 映射的复合运算满足结合律: f: A → B, g: B → C, h: C → D (hg)f = h(gf). A B f b• g C c• h D d•• • •a•[(hg)f](a) = (hg)[f(a)] = (hg)(b) = h[g(b)] = h{g[f(a)]} = h[(gf)(a)] = [h(gf)](a)f: A → B与g: B → C的乘积 gf: A → C定义为 ( gf )(a) = g[ f(a)] (∀a∈A).第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② 1A: A → A, f: A → B, 1B: B → B f⋅1A = f, A a• 1A A a• f 1B⋅f = f. B b• 1B B b• • • • 双射f • • • • • • • • •f的逆映射( f⋅1A)(a) = f [1A(a)] = f(a) (1B⋅f )(a) = 1B[ f(a)] = f(a)若映射f: A → B, g: B → A满足 gf = 1A, fg = 1B, 则称g为f 的逆映射, 记为g = f −1. 注① g = f −1 ⇒ f = g−1. 注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.证明: (⇒) 设f: A → B有逆映射g: B → A, 则 (1) ∀x, y ∈ A, 由 f(x) = f(y)可得 x = 1A(x) = gf(x) = gf(y) = 1A(y) = y. 可见 f: A → B为单射. (2) ∀b ∈ B, ∃a = g(b) ∈ A s.t. f(a) = f[g(b)] = fg(b) = 1B(b) = b. 可见 f: A → B为满射. 所以 f: A → B为双射.注② f: A → B有逆映射⇔ f: A → B为双射.证明: (⇐) 设 f: A → B为双射, 则 ∀b ∈ B, ∃| a ∈ A s.t. f(a) = b. 令g(b) = a, 可得映射g: B → A. 而且 (1) ∀b ∈ B, 有 fg(b) = f[g(b)] = f(a) = b. 这就是说, fg = 1B. (2) ∀a ∈ A, 令b = f(a) ∈ B, 按g的定义, gf(a) = g[ f(a)] = g(b) = a. 这就是说, gf = 1A, 可见 f: A → B有逆映射g: B → A.272365083@7请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射例1. 设A为数域F上的n阶方阵, Fn = {(a1, …, an)T | a1, …, an∈F}. 映射f: Fn→ Fn定义为 f(x) = Ax. 证明下列条件等价: (1) f: Fn→ Fn为单射; (2) f: Fn→ Fn为满射; (3) A可逆.证明: (1)⇒(3) 假设A不可逆, 则|A| = 0, 故r(A) < n, 因而Ax = 0有非零解, 即存在x ≠ 0使得Ax = 0, 于是f(x) = Ax = 0 = A0 = f(0). 这与“f: F n→ F n为单射”矛盾. 所以A可逆. (3)⇒(1) 对于任意的x, y ∈ F n, 若f(x) = f(y), 即Ax = Ay, 因为A可逆, 所以x = A−1Ax = A−1Ay = y. 可见 f: F n→ F n为单射.第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射证明: (2)⇒(3) 因为f: F n→ F n是满射, 所以存在n阶方阵B = (ξ1, …, ξn)使得 AB = (Aξ1, …, Aξn) = ( f(ξ1), ..., f(ξn)) = (e1, …, en) = I. 从而|A|×|B| = |AB| = |I| = 1, 故|A| ≠ 0, 因而A可逆. (3)⇒(2) 对于任意的y ∈ F n, 令x = A−1y, 则x ∈ F n, 而且f(x) = Ax = AA−1y = y. 可见f: F n→ F n为满射.二. 线性映射与线性变换定义1.4.2 设U, V为数域F上的线性空间. 若映射 f: V → U保持加法和数乘, 即 f(α+β) = f(α) + f(β), f(kα) = kf(α), ∀α, β ∈ V, k ∈ F, 则称 f 为线性映射. 特别地, 当U = V时, 称线性映射 f: V → V为V上的线性变换. 注① f(kα+lβ) = kf(α) + lf(β), ∀α, β ∈ V, k ∈ F.第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射注② Hom(V, U) = { f: V → U | f为线性映射}. 注③ 若 f ∈ Hom(V, U), 则 f(0V) = 0U; f(−α) = −f(α); f(x1α1+…+xsαs) = x1 f(α1) +…+ xs f(αs); α1, …, αs线性相关 ⇒ f(α1), …, f(αs)线性相关. 注④ 若 f: V → U 满足 f(α) = 0, ∀α∈V, 则 f ∈ Hom(V, U), 称为零映射, 记为0.注⑤ 若 f: V → V 满足 f(α) = α, ∀α∈V, 则 f ∈ Hom(V, V), 称为V上的恒等变换, 记为 I 或 IdV . 注⑥ 对于 f ∈ Hom(V, U), 可以把 ( f(α1), …, f(αs))记为f(α1, …, αs). 相应地, 可以把 f(x1α1+…+xsαs) = x1 f(α1) +…+ xs f(αs) 改写成 ( α1, ), …, f(α f((α1, …, αs)X) = f(f(α1…, αs)X. s))X272365083@8请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射三. 线性映射的运算定义1.4.3 (1) 线性运算设 f, g ∈ Hom(V, U), k ∈ F. 定义 ( f + g)(α) = f(α) + g(α), (kf )(α) = kf(α), ∀α∈V. (2) 复合运算设 f∈Hom(V, U), g∈Hom(U, W). 定义 (gf )(α) = g[ f(α)], ∀α∈V.注: 对于V上的线性变换 f 及正整数s, 定义 f 0 = I, f 1 = f, f 2 = ff, …, f s = ff s−1. 定理1.4.1(1) 设 f, g ∈ Hom(V, U), k ∈ F, 则 f + g, kf ∈ Hom(V, U). (2) 设 f∈Hom(V, U), g∈Hom(U, W), 则 gf∈ Hom(V, W). 证明: (2) (gf )(kα+lβ) = g[ f(kα+lβ)] = g[kf(α) + lf(β)] = kg[ f(α)] + lg[ f(β)] = k(gf )(α) + l(gf )(β).第一章线性空间与线性变换§1.4 线性映射第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵定理1.4.2 设 f ∈ Hom(V, U). 若 f 可逆, 则 f −1 ∈ Hom(U, V). 证明: ∀ξ, η ∈ U, k, l ∈ F, 令α = f −1(ξ ), β = f −1(η)∈ V, 则 f [ f −1(kξ + lη)] = kξ + lη = kf(α) + lf(β) = f(kα + lβ), 故 f −1(kξ + lη) = kα + lβ = kf −1(ξ ) + lf −1(η).§1.5 线性映射的矩阵一. 线性映射在给定的基偶下的矩阵设α1, …, αn为V的一组基, β1, …, βs为U的一组基, f ∈ Hom(V, U), 则存在A = (aij)s×n使得 ( f(α1), …, f(αn)) = (β1, …, βs)a11 … a1n as1 … asn,简记为 f(α1, …, αn) = (β1, …, βs)A. 称为 f 在基偶{α1, …, αn}与{β1, …, βs}下的矩阵表示. A —— f 在基偶…下的矩阵.……第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵特别地, 设α1, …, αn为V的一组基, f ∈ Hom(V, V), 则存在A = (aij)n×n使得 ( f(α1), …, f(αn)) = (α1, …, αn)a11 … a1n an1 … ann注① 零映射在任意基偶下的矩阵都是O; 恒等变换在任一组基下的矩阵都是I. 注② 设α1, …, αn为V的一组基, ,…简记为 f(α1, …, αn) = (α1, …, αn)A. 称为 f 在基{α1, …, αn}下的矩阵表示. A —— f 在基{α1, …, αn}下的矩阵.…β1, …, βs为U的一组基, f(α1, …, αn) = (β1, …, βs)A. 若ξ = x1α1 + … + xnαn = (α1, …, αn)X, 则 f(ξ) = f(x1α1 + … + xnαn) = x1 f(α1) + … + xn f(αn) = ( f(α1), …, f(αn))X = f(α1, …, αn)X = (β1, …, βs)AX.272365083@9请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵例2. 在 [x]n中, D[p(x)] = p′(x), D(1, x, x2, …, xn−2, xn−1)0 0 0 . 0 … 0 1 0 … 0 0 0 2 … 0 … 2, …, xn−2, xn−1) 0 0 0 = (1, x, x n−2 0 0 0 … 0 0 0 0 … 0 … … …例3. D: [x]n → D(1, x, x2,[x]n−1, D[p(x)] = p′(x), …, xn−2, xn−1)0 0 0 . …0 1 0 … 0 0 0 2 … 0 = (1, x, x2, …, xn−2) 0 0 0 … … … ……n−1…0 0 0 … 0 n−1n−2例4. 设A ∈F s×n, f: F n → F s, f(X) = AX. f(e1, …, en) = (Ae1, …, Aen) = AIn = A = IsA = (ε1, …, εs)A.第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵二. 线性映射在两对基偶下的矩阵间的联系定理1.5.1 设 f ∈ Hom(V, U), 其中 V的一组基α1, …, αn到另一组基 β1, …, βn的过渡矩阵为P; U的一组基ξ1, …, ξs到另一组基 η1, …, ηs的过渡矩阵为Q. 若 f(α1, …, αn) = (ξ1, …, ξs)A, f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B, 则B = Q−1AP.证明: (β1, …, βn) = (α1, …, αn)P (η1, …, ηs) = (ξ1, …, ξs)Q f(α1, …, αn) = (ξ1, …, ξs)A f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B⇒(ξ1, …, ξs)AP = f(α1, …, αn)P = f((α1, …, αn)P) = f(β1, …, βn) = (η1, …, ηs)B = (ξ1, …, ξs)QB ⇒ AP = QB ⇒ B = Q−1AP.第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵定理1.5.2 设 f ∈ Hom(V, V), 其中 V的一组基α1, …, αn到另一组基 β1, …, βn的过渡矩阵为P. 若 f(α1, …, αn) = (α1, …, αn)A, f(β1, …, βn) = (β1, …, βn)B, 则B = P−1AP.三. 线性变换运算的矩阵设V的一组基为α1, …, αn , 线性变换 f: V→V在这组基下的矩阵记为 [ f ]. 定理1.5.3 设 f, g ∈ Hom(V, V), k ∈ F, 则 (1) [ f + g] = [ f ] + [g]. (2) [kf ] = k[ f ]. (3) [ fg] = [ f ][g]. (4) f 可逆⇒[ f −1] = [ f ]−1.272365083@10请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵证明: (1)( f + g)(α1, …, αn) = (( f + g)(α1), …, ( f + g)(αn)) = ( f(α1)+g(α1), …, f(αn)+g(αn)) = ( f(α1), …, f(αn)) + (g(α1), …, g(αn)) = f(α1, …, αn) + g(α1, …, αn) = (α1, …, αn)[ f ] + (α1, …, αn)[g] = (α1, …, αn){[ f ]+[g]}.证明: (2)(kf )(α1, …, αn) = ((kf )(α1), …, (kf )(αn)) = (kf(α1), …, kf(αn)) = k( f(α1), …, f(αn)) = kf(α1, …, αn) = k{(α1, …, αn)[ f ]} = (α1, …, αn){k[ f ]}.第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵证明: (3)( fg)(α1, …, αn) = (( fg)(α1), …, ( fg)(αn)) = ( f(g(α1)), …, f(g(αn))) = f(g(α1), …, g(αn)) = f(g(α1, …, αn)) = f((α1, …, αn)[g]) = f(α1, …, αn)[g] = ((α1, …, αn)[ f ])[g] = (α1, …, αn)([ f ][g]).证明: (4) 设[ f −1] = B, 即 f −1(α1, …, αn) = (α1, …, αn)B, 则(α1, …, αn) = ( ff −1)(α1, …, αn) = f( f −1(α1, …, αn)) = f((α1, …, αn)B) = f(α1, …, αn)B = ((α1, …, αn)[ f ])B = (α1, …, αn)([ f ]B), 由此可得[ f ]B = I, 因而[ f −1] = B = [ f ]−1.第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵例5. 设dimV = n, f ∈ Hom(V, V), f 2 = I. 证明: [ f ]相似于 Ir O (0 ≤ r ≤ n). O −In−r证明: 令V1 = {α∈V | f(α) = α}, V2 = {α∈V | f(α) = −α}, 则V1, V2 ≤ V 且V1∩V2 = {0}. 1 1 ∀α∈V, 令β = −(α +f(α)), γ = −(α −f(α)), 2 2 则由f 2 = I 可得 f(β) = β, f(γ) = γ, 故β ∈V1, γ ∈V2, α = β + γ ∈V1 + V2. 可见V1 + V2 ⊆ V ⊆ V1 + V2.因而V = V1 + V2 = V1⊕V2 . 设V1的一组基为α1, …, αr , V2的一组基为βr+1, …, βn , f 在V的基α1, …, αr , βr+1, …, βn下的矩阵为 Ir O . O −In−r 由定理1.5.2可知, [ f ]相似于 Ir O . O −In−r272365083@11请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵四. 不变子空间定义1.5.1 设 f ∈ Hom(V, V), W ≤ V. 若∀α∈W, 有 f(α)∈W, 则称W为V的关于 f 的不变子空间, 简称为 f 的不变子空间. 此时, 定义 f |W: W → W; α → f(α), 则 f |W ∈ Hom(W, W), 称为f 在W上的限制.例如: ① 例5中, f ∈ Hom(V, V), f 2 = I, 则 V1 = {α∈V | f(α) = α}, V2 = {α∈V | f(α) = −α} 都是 f 的不变子空间. ② ∀ f ∈ Hom(V, V), {0}和V都是 f 的不变子空间.第一章线性空间与线性变换§1.5 线性映射的矩阵第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核注: 设dimV = n, f ∈ Hom(V, V), V = U⊕W, 其中U, W都是 f 的不变子空间, U的一组基为α1, …, αr , W的一组基为βr+1, …, βn , 则 f |U(βi) = 0, i = r+1, …, n, f |W(αi) = 0, i = 1, …, r. 设 f |U在U的基α1, …, αr下的矩阵为A, f |W在W的基βr+1, …, βn下的矩阵为B, 则 f 在V的基α1, …, αr , βr+1, …, βn下的矩 A O 阵为 O B .§1.6 线性映射的值域与核一. 定义设 f ∈ Hom(V, U), 则称 f(V) = { f(α) |α∈V}为 f 的值域, 记为R( f ); 称K( f ) = {α∈V | f(α) = 0}为 f 的核. VK( f )U f → f(V) 0U第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核二. 性质定理1.6.1 设 f ∈ Hom(V, U), 则 (1) R( f ) ≤ U. (2) K( f ) ≤ V. (3) 当U = V时, R( f )和K( f )都是 f 的不变子空间. VK( f )U f → f(V) 0U例1. 设A ∈ Fs×n, f: Fn→ Fs定义为 f(X) = AX. 则R( f ) = {AX | X ∈ Fn} ≤ Fs, 这是A的列空间, 也称为A的值域, 记为R(A); K( f ) = {X ∈ Fn | AX = 0}, 这是AX = 0的解空间, 也称为A的核, 记为K(A).272365083@12请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核定理1.6.2 设 f ∈ Hom(V, U), dimV < ∞, 则 dimR( f ) + dimK( f ) = dimV. VK( f )U f → f(V) 0U ...... ...证明: 设α1, …, αk为K( f )的一组基, α1, …, αk, αk+1, …, αn为V的一组基, 则R( f ) = span{ f(αi) | i = 1, …, n} = span{ f(αi) | i = k+1, …, n}. 若ck+1 f(αk+1) + … + cn f(αn) = 0, 则 f(ck+1αk+1 + … + cnαn) = 0, 即ck+1αk+1 + … + cnαn ∈ K( f ), 故存在c1, …, ck使得 ck+1αk+1 + … + cnαn = c1α1 + … + ckαk , 即c1α1 + … + ckαk − ck+1αk+1 − … − cnαn = 0, 由此可得ck+1 = … = cn = 0. 可见 f(αk+1), …, f(αn) 线性无关, 故dimR( f ) + dimK( f ) = dimV.第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核例2. 设A = 1 1 , f(X) = AX, ∀X∈ 2×2. (1) 分别求R( f )及K( f )的一组基, (2) R( f ) + K( f )是否为直和. 解: 取 2×2的一组基E11, E12, E21, E22. 则R( f ) = span{ f(E11), f(E12), f(E21), f(E22)}, 其中 f(E11) = f(E21) = E11 + E21, f(E12) = f(E22) = E12 + E22, 且E11 + E21, E12 + E22线性无关, 因此, E11 + E21, E12 + E22构成R( f )的一组基.1 1设X = x1 x2 , 则 3 4 AX ⇔ x1 + x3 = x2 + x4 = 0 ⇔ X = x1(E11 − E21) + x2(E12 − E22). 又因为E11 − E21, E12 − E22线性无关, 可见E11 − E21, E12 − E22构成K( f )的一组基. (E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22)1 0 1 0x x= (E11, E12, E21, E22) 0 1 0 1 ,1 0 −1 0 0 1 0 −1第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核(E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22)1 = (E11, E12, E21, E22) 0 1 0 1 0 1 0 0 其中r 0 1 −1 1 = 4. 1 0 0 0 1 0 −1 0 1 0 1 1 0 −1 0 0 1 , 0 −1故E11 + E21, E12 + E22, E11 − E21, E12 − E22线性无关, 因而R( f ) + K( f )为直和.事实上, 若B ∈ R( f ) ∩ K( f ), 则存在X∈ 2×2 使得B = AX, 而且AB = O. 于是可得 2AX = A2X = A(AX) = AB = O, 故B = AX = O. 可见R( f ) ∩ K( f ) = {O}, 因此R( f ) + K( f )为直和.272365083@13请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核第一章线性空间与线性变换§1.6 线性映射的值域与核例3. 设A = 0 0 , f(X) = AX, ∀X∈ 2×2. (1) 分别求R( f )及K( f )的一组基, (2) R( f ) + K( f )是否为直和. 解: 取 2×2的一组基E11, E12, E21, E22. 则R( f ) = span{ f(E11), f(E12), f(E21), f(E22)}, 其中 f(E11) = f(E12) = O, f(E21) = E11, f(E22) = E12, 且 E11, E12 线性无关, 因此, E11, E12构成R( f )的一组基.0 1设X = x1 x2 , 则 3 4 AX ⇔ x3 = x4 = 0 ⇔ X = x1E11 + x2E12. 又因为E11, E12 线性无关, 可见E11, E12构成K( f )的一组基. 因为R( f ) = span{E11, E12} = K( f ), 因此R( f ) + K( f )不是直和.x x第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子§1.7 几何空间线性变换的例子一. 辐射相似变换 f:3二. 平行于某矢量的投影变换对于任意的OP ∈P e23,e3→3OP → kOP (k > 0).设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3, 令 f(OP) = x1e1 + x2e2, 则 f ∈ Hom(3, 3),e3 P O e1 1 0 0 0 0 0 e2O e1f在3的任意一组基下的矩阵都是kI.OP − f(OP) // e3,→ 0<k<1 压缩→ k>1 放大f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 , R( f ) = span{e1, e2}, K( f ) = span{e3}.第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子三. 平行于某一方向的压缩(或延伸) 对于任意的OP ∈3,四. 平行于某一方向的推移对于任意的OP ∈P e23,e3e3P e2设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3,f(OP) = x1e1 + x2e2 + ax3e3, O (a > 0).e13, 3),设OP = x1e1 + x2e2 + x3e3,O e1f(OP) = (x1+ax2)e1 + x2e2 + x3e3, (a ≠ 0). 则 f ∈ Hom(3, 3),则 f ∈ Hom(OP − f(OP) // e3,1 0 0 0 0 a→OP − f(OP) // e1, f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 .0 0 1 1 a 0f 在e1, e2, e3下的矩阵为 0 1 0 .272365083@14请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子五. 旋转变换见下一章. 六. 镜像变换见下一章.平面上的例子:0 • 7 • 5 7 0 • 7 • 5 6• 0 5 x 7 0 y5 0 1 0 −0.2 1 0 5 x 7 0 y • 5 −1第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子平面上的例子:平面上的例子:β αAβ = 0.5β2 0 A = 0 0.5β αcosφ sinφ B = −sinφ cosφ π/6Aα = 2 α第一章线性空间与线性变换§1.7 几何空间线性变换的例子第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构平面上的例子: Cβ = β§1.8 线性空间的同构一. 定义设V, U都是数域F上的线性空间. 若∃双射σ∈ Hom(V, U), 则称V与U同构, 记为V ≅ U. 并且称σ为V到U的一个同构映射.βCα = − αα0 C = −1 1 0272365083@15请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构→二. 性质定理1.8.1 设σ为线性空间V到U的同构映射, 则中向量α1, …, αk线性无关 ⇔ σ(α1), …, σ(αk)线性无关. 证明: (⇒) 设α1, …, αk线性无关, 则 c1σ(α1) + … + ckσ(αk) = 0 ⇒ σ(c1α1 + … + ckαk) = 0 = σ(0) ⇒ c1α1 + … + ckαk = 0 ⇒ c1 = … = ck = 0. 可见σ(α1), …, σ(αk)线性无关.→→第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构二. 性质定理1.8.1 设σ为线性空间V到U的同构映射, 则中向量α1, …, αk线性无关 ⇔ σ(α1), …, σ(αk)线性无关. 证明: (⇐) 设σ(α1), …, σ(αk)线性无关, 则 c1α1 + … + ckαk = 0 ⇒ c1σ(α1) + … + ckσ(αk) = σ(c1α1 + … + ckαk) = σ(0) = 0 ⇒ c1 = … = ck = 0. 可见α1, …, αk线性无关.三. 判定定理1.8.2 设V与U是数域F上的有限维线性空间, 则V ≅ U ⇔ dimV = dimU. 证明: (⇒) 设σ为V到U的一个同构映射, 则R(σ) = U, K(σ) = {0}. 故dimV = dimR(σ) + dimK(σ) = dimU.第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构(⇐) 设dimV = dimU = n, α1, …, αn为V的一组基, ξ1, …, ξn为U的一组基. 对于任意的α = a1α1 + … + anαn ∈ V, 令σ(α) = a1ξ1 + … + anξn, 则 (1) σ : V → U为单射. 事实上, … (2) σ : V → U为单射. 事实上, … (3) σ ∈ Hom(V, U). 事实上, … 故V ≅ U.(1) σ : V → U为单射. 事实上, 若α = a1α1 +…+ anαn, β = b1α1 +…+ bnαn, 且σ(α) = σ(β), 则 a1ξ1 + … + anξn = b1ξ1 + … + bnξn, 故(a1−b1)ξ1 + … + (an−bn)ξn = 0, 由此可得 a1−b1 = … = an−bn = 0, 即(a1, …, an) = (b1, …, bn), 因而α = a1α1 +…+ anαn = b1α1 +…+ bnαn = β.272365083@16请双面打印/复印(节约纸张)第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构(2) σ : V → U为满射. 事实上, ∀ξ∈U, 设ξ = a1ξ1 + … + anξn, 于是令α = a1α1 +…+ anαn, 则α ∈ V 且σ(α) = a1ξ1 + … + anξn = ξ.(3) σ ∈ Hom(V, U). 事实上, ∀α = a1α1 +…+ anαn, β = b1α1 +…+ bnαn, k, l ∈ F, 有 σ(kα + lβ) = σ((ka1+ lb1)α1 +…+ (kan+ lbn)αn) = (ka1+ lb1)ξ1 + … + (kan+ lbn)ξn = k(a1ξ1 +…+ anξn) + l(b1ξ1 +…+ bnξn) = kσ(α) + lσ(β).第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构四. 例子 1. [x]n = {a0+…+an−1xn−1 | a0, …, an−1x∈ }. dim [x]n = n = dim 事实上, 容易验证n,2. dimM2×3( ) = 6, 故M2×3( ) ≅ 事实上, 容易验证6.故 [x]n ≅n;n.σ : M2×3( ) →a11 a12 a13 a21 a22 a236;σ : [x]n →a0+…+an−1xn−1 → 为同构映射.a0 an−1 …a11 a12 a → a13 21 a22 a23为同构映射.第一章线性空间与线性变换§1.8 线性空间的同构3.= {x∈ | x > 0}. a⊕b = ab, ∀a, b∈ +; k⊗a = ak, ∀a∈ +, ∀k∈ . dim + = 1, 故 + ≅ . 事实上, 容易验证 → ; x → logax++为同构映射.272365083@17。

线性空间与线性变换

线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。

本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。

一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，满足以下条件：1. 加法运算闭合性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于该集合。

2. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。

3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w =u+(v+w)。

4. 存在零向量：存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v，有v+0 = v。

5. 对于任意向量v，存在其负向量-u，使得v+(-u) = 0。

6. 数乘运算闭合性：对于任意标量c和向量v，它们的乘积cv仍然属于该集合。

7. 数乘结合律：对于任意标量c和d以及向量v，有(c+d)v = cv+dv。

8. 数乘分配律1：对于任意标量c以及向量u和v，有c(u+v) =cu+cv。

9. 数乘分配律2：对于任意标量c和d以及向量v，有(cd)v = c(dv)。

线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。

它们满足上述定义中的所有条件。

二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，满足以下条件：1. 对于任意向量v和w以及标量c，线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。

2. 线性变换T保持向量的线性组合关系，即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn，有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。

3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。

线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。

它们保持向量空间的线性结构和线性关系。

三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。

给定一个线性空间V，定义一个线性变换T：V→W，其中W是另一个线性空间。

矩阵论第一章线性空间和线性变换

而开方运算则不是，因为显然有
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271）参考目录……………………………………………………………（275）
第一章线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）

工程硕士矩阵论第一章

n 例 n维向量空间 R（及其子空间）按照向量的加法以及向量与实数的加法及数乘两种运算下构成一个实线性空间，记为 R mn .
例区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为 C[a,b].
定理1.2 设W是线性空间V的非空子集，则W是V的子空间的充要条件是： W对V 中的线性运算封闭.
例函数集合 f x C a, b f a 0是线性空间C[a,b] 的子空间.
例函数集合 f x C a, b f a 1 不是线性空间 C[a,b]的子空间.
例
22 R 求
中
1 1 2 2 1 1 2 0 A1 0 1 , A2 0 2 , A3 1 0 , A4 1 1 ,
的秩和极大无关组.
第三节线性子空间
一.子空间的概念定义设V为数域P上的线性空间，W是V 的非空子集，若 W关于 V中的线性运算也构成数域 P 上的线性空间，则称 W 是 V 的线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V ,显然由V中单个零向量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平凡子空间.
• 若ka=0，则k=0或a=0
第二节基、坐标与维数
一.向量组的线性相关性 1．有关概念定义设V为数域P上的线性空间，对V 中的向 , 1 , 2 ,, m ，如果存在一组数量（元素） k1 , k 2 ,, k m P ，使得
则称或可由向量组 1 , 2 ,, m 线性表示. k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数（或表示系数）

矩阵论学习-(线性空间与线性变换)

ka1 ,
kb1 +
k( k 2
1 ) a21
ka2 ,
kb2
+
k(
k2
1)
a22
=
ka1
+
ka2 ,
kb1
+
kb2
+
k( k 2
1) (
a21
+
a22 )
+
k2 (
a1 a2 )
.
4
矩阵论学习辅导与典型题解析
故有 k⊙ ( α β) = ( k⊙α) ( k⊙β) , 即八条运算法则皆成立 , V 在实域 R 上构
第一章线性空间与线性变换
线性空间是某一类事物从量方面的一个数学抽象, 线性变换则是反映线性空间元素之间最基本的线性函数关系 , 它们是研究线性代数的理论基础 .理解本章的主要概念 , 掌握基本定理、结论和方法 , 对学好矩阵论起着关键的作用 .
§1 .1 线性空间 , 基、维数及坐标
一、线性空间与子空间
mn
mn
mn
∑ ∑ ( aij + bij ) = ∑∑ aij + ∑ ∑ bij = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 A + B∈ W4 , 同样由于 kA = ( kaij ) m × n ,
mn
mn
∑∑ kaij = k∑∑ aij = k0 = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 kA∈ W4 .加法运算和数乘运算封闭 , 故 W4 是一个子空间 .
⑥ ( kl ) ⊙α=

第1章_线性空间与线性变换

图1.2.1中直线 l ，平面是 R3 的两个线性子空间，而在图1.2.2中由于直线 m 和平面不含原点所以不能形成 R3 的子空间。
图1.2.1
图1.2.2
由于零子空间不含线性无关的向量，因此没有基，它的维数规定为零。而对于 V 的其它的子空间，由于它的线性无关的向量个数不可能比整个线性空间线性无关的向量个数多，所以子空间的维数比原空间的维数小，即
W { k11 k22 kmm,i V, ki P 1 i m}
容易验证，W 对 V 中定义的加法和数乘运算是封闭的，所以 W 是 V 的线性子空间.这个子空间称为由 V 中向量 S {1, 2 ,, m} 生成的线性子空间，记为
W L(1,2,,m ) Span{1,2,,m} (1.2.2)
（2） T(k ) kT( ) V , k P
称作V 的一个线性变换或线性算子。特别当 V W 时，称 T :Vn Vn 是 Vn 上的线性变换.
注:定义中两个条件可以用一个表达式来表示，即T 是线性变换的充要条件是：
T (k l ) kT() lT( )
例：两个特殊线性变换 (1) 如果对任意 V ，恒有 T() 0，则
例1.2.4
dim(V1 V2 ) 1
定义1.2.2 如果 V1 V2 中任一向量只能唯
一的表示成子空间 V1 的一个向量和子空间
V2 中的一个向量的和，则称 V1 V2 是 V1,V2
的直和，记为 V1 V2（或
）. •
V1 V2
定理1.2.5 两个子空间的和是直和的充分必要条件是：
V1 V2 L(0)
定义1.1.4 设 S {1, 2 ,, n} 是线性空间 Vn 的一个基（底），是 Vn 中的一个向量，而且

01_矩阵论_第一章线性空间与线性变换

则有
1 0 0 1 0 0 0 0 A a11 0 0 a12 0 0 a21 1 0 a22 0 1
因此 R22 中任何一个向量都可写成向量组
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 0 0 , E12 0 0 , E21 1 0 , E22 0 1
Pn [ x] { ai xi | ai R}
i 0 n 1
在通常多项式加法和数乘多项式运算下构成线性空间 Pn[x]。值得指出的是次数等于 n 1 的多项式集合
V { ai x | ai R, an1 0}
i i [a, b] = {f (x) | f (x) 是区间 [a, b] 上实连续函数 } ，对于函数的加法与数乘运算构成实数域上的线性空间。
定义 1.3 设 1, 2, …, n 是线性空间 Vn(F) 的一组基，若 V,
xi i (1 2
i 1 n
x1 x2 n ) x n
(1.1)
则称数 x1, x2, …, xn 是在基 {1, 2, …, n} 下的坐标，(1.1) 式中向量 (x1, x2, …, xn)T 为的坐标向量，也简称为坐标。
从上述线性空间例子中可以看到，许多常见的研究对象都可以在线性空间中作为向量来研究。另外应理解加法和数乘分别是 V 中的一个二元运算和数域 F 和 V 中元素间的运算，要求运算满足定义 1.1 中的八条性质，它们已不再局限在数的加法、乘法的概念中。
一个数学例子取集合为正实数集合 R+，F 为实数域 R，加法“”和数乘“”如下定义：a, bR+，ab = ab，：kR(i.e. F )，aR+，k a = ak。在此运算下，R+ 是 R 上的一个线性空间，其中加法零元素是 R+ 中的数 1，R+ 中元素 a 的负元素是 a1。

矩阵理论课件第一章线性空间与线性变换

a1n
a2n
ann
前述关系可以表示为 AT 或 T T A
则称矩阵 A 为基到基的过渡矩阵（唯一且可逆）
定义2 （坐标变换）
设x V L(P) ，向量 x 在基和基下的
坐标之间的关系，称之为坐标变换。
坐标变换与过渡矩阵的关系：
设 x k1x1 k2 x2 kn xn 和 x t1 y1 t2 y2 tn yn
和 W W1 W2 为直和，记为 W W1 W2 。
例6 设 R4的3个子空间：
① V1 (a, b, 0, 0)T a, b R ② V2 (0,0,c, 0)T c R ③ V3 (0,d,e, 0)T d,e R
容易验证V1 是V2直和， V1 V3不,V是2 直 V和3。
事实上不妨设简单基为 (III )e1, e2 , , en ( x1, x2 , , xn ) (e1, e2 , , en )C1 ( y1, y2 , , yn ) (e1, e2 , , en )C2
( x1, x2 , , xn )C11C2
C C11C2
例4 设线性空间P3[t] 的两个基为： (I ) f1(t) 1, f2(t) 1 t, f3(t) 1 t t 2,
表示，不妨记
y1 a11x1 a21x2
y2
a12 x1
a22 x2
yn a1n x1 a2n x2
称上述关系为两组基的基变换。
an1xn an2 xn
ann xn
x1
y1
a11 a12
若记
x2
,
y2
A
a21
a22
xn
yn
an1 an2

矩阵论第一章

k1 , k2 ,L, kr ∈ P ，使得
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
线性相关的则称向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 为线性相关的；
不是线性相关的（4）如果向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 不是线性相关的，即）
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
上零多项式作成的集合，上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘上的一个线性空间，表示．法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．上的一个线性空间
P [ x ]n = { f ( x ) = a n − 1 x n − 1 + L + a 1 x + a 0 a n − 1 ,L , a 1 , a 0 ∈ P }
+ ∀a ∈ R + , ∀k ∈ R, k o a = a k ∈ R,且 ak 唯一确定．唯一确定．
其次，其次，加法和数量乘法满足下列算律 ① a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a ② (a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕(bc) = a ⊕(b ⊕ c)
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
证明：假设线性空间有两个零元素有两个零元素0 证明：假设线性空间V有两个零元素 1、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 α ∈V ，的负元素是唯一的，记为- α ．、的负元素是唯一的，记为∀
证明：证明：假设α 有两个负元素 β、γ ，则有
k ,α 的数量乘积并记做 kα , 如果加法和数量乘法的数量乘积,并记做

第1,2章线性空间与线性变换

§1·4 线性变换(Linear Transformations)
一、线性变换的概念
1. 线性变换的来历；
Definition：（i）T是V上的映射：T：VV。 (ii) T具有线性性：
T（＋）=T（）＋T（）
(保持加法的三角形法则)
T（k）=kT（）
(保持比例关系)
2 线性变换的性质：
2 坐标变换公式
已知 ➢空间中两组基：
{1, 2,..., n} {1, 2 ,..., n}
满足:(1, 2 ,..., n ) (1,2 ,..., n )Cnn
➢: (12...n )X ; (12...n )Y
讨论X和Y的关系
X=CY
例已知空间R中两组基（I）{Eij}
（II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0 } 0 0 1 0 3 1 0 3
Rmn ；Cmn 。
F[t]n ={f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 ：aiR}
运算：多项式的加法和数乘
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算（运算之后的结果跑不出去） • 八条运算律（能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）
常见的线性空间
F=R或C
Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：x F}
运算：向量加法和数乘向量
Fmn = {A=[aij]mn：a ijF}；运算：矩阵的加法和数乘矩阵

第1章线性空间与线性变换

i 1 n
所以 {e x , e 2x , e3x , , e nx }线性无关 .
二、线性空间的基和维数
• 基与维数的概念：
定义1.2 设V是线性空间 , 若存在一组线性无关的向量
1 , 2 ,, n , 使得空间中任一向量可由它们线性表出 , 则称向量组 {1 , 2 ,, n }为V的一组基.基所含向量个数
因此R 22中任何一个向量都可以写成向量组 0 0 0 , E 22 0 1 0 k1 k 2 的线性组合 .又k1 E11 k 2 E12 k3 E21 k 4 E22 k 0, k 4 3 得ki 0, i 1,2,3,4, 故E11 , E12 , E21 , E22 线性无关, 因此{E11 , E12 , E21 , E22 }是R 22的一组基, dim R 22 4. 推广 : {Eij , i 1,2, , m; j 1,2, , n}是矩阵空间 R mn的一组基, dim R mn m n 问题 : 矩阵空间R nn : A A T R nn的维数和基?
11
三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n n } 是空间 xi i ，则 Vn ( F ) 的一组基， Vn ( F ) ， = i 1 x1 ，x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
要点：坐标与基有关
坐标的表达形式
例1：求 R22中向量
– V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 – 只研究有限维线性空间。
二、线性空间的基和维数
例5 : 求矩阵空间 R 22的维数与一组基 . a 11 解 : 任取矩阵A a 21 1 0 0 A a11 a 12 0 0 0 1 E11 0 0 0 , E 12 0 0 a 12 , 有 a 22 1 0 a 21 1 0 1 0 , E 21 1 0 0 0 a 22 0 0 0 , 1

矩阵理论第一章线性空间与线性变换精品PPT课件

对、、 V，k、l F 或F C, 成立
(A1) 加法交换律：， (A2) 加法结合律：( ) ( )，
(A3) 具有加法单位元（零向量） V ，使得
(A4) 具有加法逆元（负向量） V
( )
，使得
(M1) 数乘的结合律：k(l ) (kl)
例3 闭区间 [a,b]上的所有实值连续函数按通常函
数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C[a, b]
例4 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常多项
式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P[ x]n
例5 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，

构成线性空间
。l
例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间，
或矩阵的A核空间或零空间，即
N ( A) { x Rn | Ax , A Rmn}
Ker( A)
例7 所有矩阵向量积 Ax 的集合构成数域 R 上的
线性空间 R( A) ，称为矩阵 A 的列空间或值域，也称为矩阵 A 的像，即
R( A) { y Rm | y Ax, x Rn, A Rmn}
(M2) 数乘的单位元：1 (D1) 分配律1: k( ) k k (D2) 分配律2:(k l) k l
注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘）的具体形式。
例2 所有 m n 阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和
数乘，构成线性空间 Rmn (C mn ) 。
中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949 年诺贝尔物理奖获得者）。
几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。

矩阵分析引论--第一章线性空间与线性变换-子空间与维数定理、线性空间的同构

(2) W W .
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第一章第三四节子空间与维数定理、线性空间的同构
子空间举例
零子空间{0}与线性空间V 本身称为平凡子空间.
例1 线性空间V 的子集：(1,2 ,,m V )
m
L(1,2 ,,m ) { | kii , ki P} i 1
是V的子空间，称为由
称为子空间 V1 与 V2 的交；
（2）集合 V1 V2 { | V1, V2 }
称为子空间 V1 与 V2 的和；
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第一章第三四节子空间与维数定理、线性空间的同构
定理1-3：线性空间V 的两个子空间V1与V2的交W=V1∩V2也是V 的子空间.
证 (1) W 是非空集合， 0 W ；
生成的子空间.
例2 在n维线性空间V=Pn 中，子集
W { | A 0, Pn}
是V 的一个n-r 维子空间，r是的ຫໍສະໝຸດ .目录上页下页返回结束
第一章第三四节子空间与维数定理、线性空间的同构
二、子空间的运算
定义：设V1, V2是线性空间V 的两个子空间，则
（1）集合 V1 V2 { | V1且 V2 }
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第一章第三四节子空间与维数定理、线性空间的同构
推论：若n维线性空间V 的两个子空间的维数之和
大于n，则其交V1∩V2必含非零向量. dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
定义1-5：设V1, V2是线性空间V 的两个子空间，若和 W V1 V2 具有性质：
（4） dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) .
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第1章线性空间与线性变换讲义.ppt

12
a b A= c d = aE11 + bE12 + cE 21 + dE 22
例2 设
1 0 0 a1 = 2 , a 2 = 1 , a 3 = 0 3 2 1
例2. 设A为m×n 矩阵，向量的集合
N ( A) = { x | Ax = 0, x R n }
则N ( A) 是 R n 的子空间, 并称为A的零空间( 或核空间 ) 。
22
, a , , a V , 例3. 设V 是数域F上的线性空间，a 1 2 m
W = { x1a1 + x 2a 2 + + x ma m | x1 , x 2 , , x m F }
( 2 ) a W , k F ,则 k a W
则称W 是V 的子空间。
21
( 1 ) a , b W ,则 a + b W
例1. 实数域上 n 维向量的集合
W = { ( 0, x 2 , , x n ) T | x 2 , , x n R }
则W是 R n 的子空间。
1 m1 n
a , , a , b , , b V
若向量组 { ,2 , ,m } 与 { ,2 , ,n } 等价 1 1
则W 1= W 2
a aa b bb
定义: 设W1, W2 是线性空间V 的子空间，称集合
{ a + b | a W , b W } 1 2
为W1与 W2 的和，记作 W1+ W2 称集合
是 R 3 中的两组基，求由基 a 1 , a 2 , a 3 到基 b 1 , b 2 , b 3 的转移矩阵P ；

矩阵分析引论--第一章线性空间与线性变换-线性变换的概念、线性变换的矩阵、不变子空间

的变换T 满足：对于 , V 及 k P ,均有： (1) T( ) T( ) T( );
(2) T(k ) kT( ).
则称T 是线性空间V 的一个线性变换.
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第一章第五六七节线性变换的概念及其矩阵、不变子空间
若′T ( ) , 则T ( )或′称为向量 ∈V 在线性变换T 下的象,而称为T ()或′的原象.
第一章线性空间与线性变换
第五节线性变换的概念第六节线性变换的矩阵第七节不变子空间
第一章第五六七节线性变换的概念及其矩阵、不变子空间
第五节线性变换的概念
一、线性变换的定义
设V 是数域P上的线性空间,从V 到V 的映射称为V 的变换. 定义1-7：设V 是数域P上的线性空间，若V 上
R[a,b]:实连续函数空间
t
T ( f (t)) a f (u)du (a t b).
5. V , T ( ) 0.
零变换 0
6. V , T ( ) .
单位变换 I
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第一章第五六七节线性变换的概念及其矩阵、不变子空间
二、线性变换的性质
1、若T是线性变换，则 T(0) 0, T( ) T( ).
2、线性变换T保持向量的线性组合与线性关系式,
即
m
m
kii T ( ) kiT (i );
i 1
i 1
m
m
kii 0
kiT (i ) 0 .
i 1
i 1
3、线性变换T 把线性相关的向量组变换成线性
相关的向量组.
注：线性变换不能保持线性无关的关系.
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第一章第五六七节线性变换的概念及其矩阵、不变子空间

第一章线性空间与线性变换

是 n 维线性空间 V 的两组基底，它们之间的关系为
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
é a11 êa 21 ê b , b , , b = a , a ××× , a L [ 1 2 [ 1 2 n ] êL n] ê ë an1
é a11 a12 êa a22 21 ê P= L êL ê ë a n1 a n 2 L L L L a1n ù a2 n ú ú L ú ú ann û
线性空间的例子
例1：全体实函数集合 RR构成实数域 R上的线性空间。例2：复数域 C上的全体 m×n 阶矩阵构成的集合Cm×n 为 C 上的线性空间。例3：实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项式集合 Pn 构成实数域 R上的线性空间。例4：全体正的实数 R+ 在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：对任意 k∈R, a,b∈R+
于是有：
é x1 ù é y1 ù êx ú êy ú ê 2ú = Pê 2ú êM ú ê Mú ê ú ê ú ë xn û ë yn û
该式被称为坐标变换公式。
例1 在4维线性空间
R
2´2
中，向量组
é0 e1 = ê ë1 é1 e3 = ê ë0
1ù é1 ,e2 = ê ú 1û ë1 1ù é1 ,e4 = ê ú 1û ë1
都是 R
2´2
的基。R 2´2 是4维线性空间。
基底的例子（续）
例 3 实数域 R上的不超过n次多项式的全体Pn中的向量组 1, x, x 2 , ×××, x n
2 n 1, x 2,( x 2) , ××× ,( x 2) 与向量组
都是 Pn 的基底，Pn的维数为 n+1。注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。

第1章 线性空间与线性变换

矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换

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