2.8幂函数导学案

§2.8 幂函数课时:2课时主备课人：马富强导学目标1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况．1.幂函数的概念一般地，函数__________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.2.幂函数的图象与性质由幂函数y＝x、y＝12x、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在__________上都有定义；(2)幂函数的图象都过点__________；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点________与________，且在(0，＋∞)上是单调________；(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是单调________.3.五种幂函数的比较(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较函数性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域值域奇偶性单调性[难点正本疑点清源]1.在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.特征1.当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限.2.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.3.下列函数是幂函数的序号是________.①y ＝2x ；②y ＝2x －1；③y ＝(x ＋2)2；④y ＝3x 2；⑤y ＝1x.4.已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值等于( )A.16B.116C.2D.12➢ 题型一 幂函数的定义及应用例1 已知y ＝(m 2＋2m －2)·211m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值. 探究提高 (1)判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量；③幂系数为1.(2)若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征.已知f (x )＝(m 2＋2m )xm 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数. ➢ 题型二 幂函数的图象及性质的简单应用例2 已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，幂函数g (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14. (1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x ). 探究提高 求幂函数解析式的步骤：(1)设出幂函数的一般形式y ＝x α (α为常数)； (2)根据已知条件求出α的值； (3)写出幂函数的解析式. 已知幂函数y ＝243m m x--(m ∈Z )的图象与y 轴有公共点，且其图象关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图象.➢ 题型三 利用幂函数的性质比较幂值的大小 例3 比较下列各组数的大小： (1)13(0.95)-和13(0.96)-； (2)138--和1319⎛⎫-⎪⎝⎭； (3)0.20.5和0.40.3.探究提高 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题关键.比较下列各组数的大小：(1)30.8,30.7； (2)0.213,0.233； (3)122，131.8； (4)254.1，233.8-和35( 1.9)-.➢ 题型四 幂函数的综合应用 例4 已知幂函数f (x )＝223m m x--(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足3(1)m a -+<3(32)m a --的a 的取值范围.探究提高 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质.解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围. 已知幂函数f (x )＝21()m m x -+(m ∈N *).(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围.5.利用转化思想求参数范围试题：(12分)若函数f (x )＝324(42)mx x m -+++＋(x 2－mx ＋1)0的定义域为R ，求实数m 的取值范围.审题视角 (1)从幂函数的视角看，幂指数为－34.f (x )的定义域为R ，转化为mx 2＋4x ＋m ＋2>0恒成立，且x 2－mx ＋1≠0.(2)mx 2＋4x ＋m ＋2>0恒成立转化为y ＝mx 2＋4x ＋m ＋2开口向上，且与x 轴无交点. 规范解答解 设g (x )＝mx 2＋4x ＋m ＋2， ① h (x )＝x 2－mx ＋1，②原题可转化为对一切x ∈R 有g (x )>0且h (x )≠0恒成立.由①得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ1＝42－4m (m ＋2)<0.[3分]即⎩⎨⎧m >0m 2＋2m －4>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m <－1－5，或m >－1＋5，∴m >－1＋ 5.[5分] 由②得Δ2＝(－m )2－4<0，即－2<m <2.[10分]综上可得5－1<m <2. [12分]批阅笔记 (1)有关幂函数y ＝x α的定义域的确定，当α为分数时，可转化为根式考虑，当α＝0时，底是非零的，不可忽视.本题将原题转化为对一切x ∈R 有g (x )>0且h (x )≠0恒成立是解题的关键.(2)不等式恒成立问题，可利用数形结合思想，如g (x )>0和h (x )≠0在R 上恒成立作进一步转化.(3)易错分析：第一，不能将问题转化为mx 2＋4x ＋m ＋2>0恒成立问题，也就是缺乏转化的意识；第二，易忽略x 2－mx ＋1≠0的隐含条件，致使范围扩大.方法与技巧1.幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y ＝x ＋1，y ＝x 2－2x 等都不是幂函数.2.比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.3.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0，曲线下凸.失误与防范1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象.3.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型的问题.进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法.A 组 专项基础训练题组一、选择题1.幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f (8)的值为 ( ) A.2 6B.64C.24D.164 2.下图是函数y ＝mnx (m ，n ∈N *，m 、n 互质)的图象，则( )A.m ，n 是奇数，且mn <1B.m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D.m 是奇数，n 是偶数，且mn>13.(2011·陕西)函数y ＝13x 的图象是( )二、填空题4.若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·22m m x --的图象不经过原点，则实数m 的值为________.5.已知a ＝x α，b ＝2ax ，c ＝1ax ，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小顺序是________. 6.若12(1)a -+<12(32)a --，则a 的取值范围是__________.三、解答题7.设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数.当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点(12，18).求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式.8.已知f (x )＝2123nn x -++(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3).B 组 专项能力提升题组一、选择题1.设a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝352()5，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A.a >c >bB.a >b >cC.c >a >bD.b >c >a2.已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)27325t t x +-(t ∈N )是偶函数，则实数t 的值为( )A.0B.－1或1C.1D.0或13.若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x， x <0，⎝⎛⎭⎫13x， x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为( )A.[－1,2)∪[3，＋∞)B.(－∞，－3]∪[1，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞D.(1，3]∪[3，＋∞) 二、填空题4.函数y ＝(m 2－m －1)223m m x --是幂函数且在x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为________.5.已知函数f (x )＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x >1，则f (x )>1；②若0<x <1，则0<f (x )<1；③当x >0时，若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f (x 1)x 1<f (x 2)x 2.其中正确的命题序号是________.6.已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________.7.已知函数f (x )，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在f (x )的定义域内，就有f (a )，f (b )，f (c )也是某个三角形的三边长，则称f (x )为“保三角形函数”.在函数：①f 1(x )＝x ，②f 2(x )＝x ，③f 3(x )＝x 2中，其中________是“保三角形函数”(填上正确的函数序号). 三、解答题 8.已知函数f (x )＝22k k x-++(k ∈Z )满足f (2)<f (3).(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由.。