投影体系的建立

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2 投影的基本知识

建筑识图与构造
图2.16 三面投影图的规律建筑识图与构造
2.3.4 三面投影图的方位
形体在三面投影体系中的位置确定后，形体在三面投影体系中的位置确定后，相对于观察者，它的空间就有上、于观察者，它的空间就有上、下、左、右、前、后六个方位，如图2.17所示。所示。后六个方位，如图所示 • 水平面上的投影反映形体的前、水平面上的投影反映形体的前、后、左、右关系，正面投影反映形体的上、右关系，关系，正面投影反映形体的上、下、左、右关系，侧面投影反映形体的上、后关系。侧面投影反映形体的上、下、前、后关系。
图2.12 形体的三面投影建筑识图与构造
图2.13 三面投影体系的建立建筑识图与构造
图2.14 三面投影图的形成建筑识图与构造
2.3.2 三面投影图的展开
• 三个投影面分别位于三个互相垂直的平面为了作图方便，将水平投影面绕OX轴向上，为了作图方便，将水平投影面绕轴向下旋转90° 与正立投影面在一个平面内；下旋转 °，与正立投影面在一个平面内；将侧立投影面绕OZ轴向后旋转轴向后旋转90° 侧立投影面绕轴向后旋转 °，使其与正立投影面也在一个平面内。立投影面也在一个平面内。 • 这样，这样，三个投影面被摊开在一个平面内的方法，叫做三面投影图的展开如图2.15所示。三面投影图的展开，所示。方法，叫做三面投影图的展开，如图所示
2 投影的基本知识
本章提要
本章主要介绍投影的概念与分类、本章主要介绍投影的概念与分类、正投影的特性、三面投影体系的建立及形体在投影的特性、三面投影体系中的投影规律以及形体在三面投影体系中投影的作图方法。投影体系中投影的作图方法。
建筑识图与构造
本章内容

第二讲-投影体系和基本视图

Z
a'
b' Z
b'
a''(b'')
A
B
W a''(b'')
x
X
0
o
YW
a
a
b
Y
b
YH
• 与直线垂直旳投影面上旳投影积聚成一点。 • 在另外两个投影面上旳投影平行于相应旳投影轴反应真长。
例题2-6：鉴定直线AB、CD旳名称。
a’ X
c’ b’
OX
a
b
c
d’ O
d
2.3.2.4 两直线旳相对位置
（1）平行两直线（2）相交两直线（3）交叉两直线（4）交叉两直线重影点旳可见性鉴别
S
平面P称为投影面，S称为投射中心，
需作出点ABC在平面P上旳图象。
将S与A连成直线，作出SA与平面 P旳交点a ，即为点A旳图象。直线SA 称为投射线，点a称为点A旳投影，这种产生图象旳措施称为投影法。
A
C
B
a
c
b 投影面 P
投影法分为两类：中心投影法和平行投影法。
（1）中心投影法
前例即是中心投影法，即投射线都从投射中心出发旳，所得旳投影称为中心投影。
C
Ac
B D
o
a
k
b
d
鉴别措施：
交点是两直线旳共有点
d’ b’
k’
a’
x c’
o
c b
k a
d
若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点旳
投影必符合空间一点旳投影规律。
例2-9：过C点作水平线CD与AB相交。

建筑制图第四章讲义

O
Z p"
O
YW
p
p
H Y
YH
正平面：正面投影反映实形；水平投影和侧面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。
Z
V
Z
p'
P X
p' p"
WX
O
p"
O
YW
p
p
H
YH
Y
侧平面：侧面投影反映实形；水平投影和正面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。
Z V
p'
Z
p'
p"
P
p" W X
X
O
p
p
H Y
O
a
b
YH
Ha
b
侧面投影积聚为一点；水平投影
Y 及正面投影平行于OX轴，且反映实
长。
§4—3 直线上的点
直线上的点的特性：
1、直线上的点的投影，必落在该直线的同面投影上； 2、一直线上两线段长度之比，等于他们的投影长度之比。
C
B
C
B
A
A
AC ac
CB cb
a
a
c
b
c
b
从属性
定比性
例1：判断点K是否在线段AB上。
最为简便、快捷。
直角三角形法(求直线的实长及对水平投影面的夹角α)
a' X
b' m
α
A
AB0=ab BB0=AB两点的高度差
b'
AB
B
mα
m
a'
ab
B0
X
O
O
b
b

投影法概念.点的投影

点、直线和平面>> 点>> 点在两投影面体系中的投影1 点1.1 点在两投影面体系中的投影1.1.1 两投影面体系的建立两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图1所示，其中一个为水平投影面（简称水平面），以H表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V表示。

两投影面的交线称为投影轴，以OX表示。

水平投影面H与正立投影面V将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、第二分角、第三分角、第四分角。

(1) 投影如图2所示，空间点A处于第一分角，按正投影法将点A向正面和水平面投射，即由点A向正面作垂线，得垂足a′，则a′称为空间点A的正面投影；由点A向水平面作垂线，得垂足a ，则a称为空间点A的水平投影。

画出点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′与V、H面的交线a′a x和aa x 。

图2 点在两投影面体系中的投影(2) 注写规定空间点用大写字母表示，如A、B、C…；点的水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′…。

(3) 投影面展开为了把空间点A的两个投影表示在一个平面上，保持V面不动，将H 面的前半部分绕OX轴向下旋转90°、后半部分绕OX轴向上旋转90°与V面重合。

则得到点A的两面投影图。

(4) 擦去边界,得到点的两面投影图投影面可以看作是没有边界的平面，故符号V、H及投影面的边界线都不需画出。

1.1.3 点在两投影面体系中的投影规律(a) (b)图3 点在两投影面体系中的投影规律(1) 一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴。

在图3(a)中，点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′垂直于V 和H平面。

根据初等几何知识，若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有aa x⊥a′a x、aa x⊥OX和a′a x⊥OX。

当a随H面旋转重合于V面时，aa x⊥OX的关系不变。

画法几何与土木建筑制图第6章投影变换

b d c
b d c
b1
a1(d1)
c1
4、投影面垂直面变换为投影面平行面
换H面
正垂面
“水平面”（实形）
换V面
b
铅垂面
“正平面”（实形）
V V1
a1
X1
b1
c1
A a
b
a
B
V X
a
H
c
C
X
a
b(c)
H
c
b(c) c1
b1
a1
实形
5、一般位置线变换为投影面垂直线:二次换面
b a
a2 (b2) H2
（2）轨迹圆在旋转轴所平行面上的投影，为平行于投影轴的直线。
三、换面法的投影规律
1. 换面法的投影规律（1）以点的一次变换为例-替换V面
替换投影面
V a
新投影面
V a 替换投影
A
a1 V1
X ax
新投影
旧轴
X ax
新投影
a1
a
ax1
X1 H
a
ax1
保留投影面
H
保留投影
新轴
X1
新投影到不变投影连线垂直于新投影轴:a1a ⊥ X1
新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距
V1称为新投影面；V称为被更换的投影面；H称为被保留的投影面。 X1称为新投影轴；X称为被更换的投影轴。
二、新投影面的选择原则
V1
a1
X1
b1
c1
A a
V
b
B
a
c
C
b(c) H
V1∥ABC
V1┴H
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： (1) 新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置(平行或垂直) (2) 新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个被保留的投影面。

《机械制图》点的三面投影

机械制图
MECHANICAL DRAWING
点的投影二、点的三面投影
1
三投影面体系的建立
2
点的三面投影
3
点的三面投影规律
4 由点的两面投影求第三投影
2
点的投影
1. 三投影面体系的建立
Z
O
Y
三投影面体系是在两投影面体系的基础上，加上一个与H面、V面都垂直的侧立投影面W（简称侧面）所组成。三个投影面互相垂直相交，它们的交线称为投影轴。V面和H面的交线称为OX轴，H面和W面的交线称为OY轴，V面和W面的交线称为OZ轴。三个投影轴互相垂直相交于一点O，称为原点,
a
X
ax
a
6
Z a z a
O
YW
ay
ay
YH
a a z
A ax
a
a
ay
aa X轴， a a Z轴， a a z = a ay a ax =aa y a ax = a a z
点的投影
二、点的三面投影
4、由点的两面投影求第三投影
例1：已知点A的正面与侧面投
a
影，求点A的水平投影。
X
Z a
O
YW
a
YH
规定，不可见点的重合投影加一圆括号。
点的投影Za’Fra bibliotek例.点A在水平面上的投影可见。
b’
X
O
a” b”
YW
a(b)
YH
17
谢谢观看
Thanks for looking
7
点的投影
二、点的三面投影
Z
4、由点的两面投影求第三投影
例2.已知点A的正面与水
a
a
平面投影，求点A的侧面

微课——三面投影体系的建立与名称

四、例图分析
三、知识点内容
1、投影面体系的设置
如图所示，设置三个相互垂直的平面作为三个投影面，水平投影面用字母“H”表示，简称为H面；正对观察者的平面称为正立投影面，用字母“V”表示，简称为V面；观察者右侧的平面称为侧立投影面，用字母“W”表示，简称为W面。
2、三面投影图的形成
在H面上所得的投影图，称为水平投影图，简称H面投影；在V面上所得的投影图，称为正立面投影图，简称V面投影；
课程名称——工程制图与CAD
适用专业——道路与桥梁工程技术（三学习任务二投影的基本知识
知识点三面投影体系的建立与名称
一、回顾上一知识点——正投影法
二、新课导入
如图所示，三个不同的形体，在一个投影面上的投影却是相
同的。这说明根据形体的一个投影，一般是不能确定空间形体的形状和结构的，故工程制图中一般采用三面正投影的画法。
在W面上所得的投影
图，称为(左)侧立面投影图，简称W面投影。
3、投影面的展开
为了使三个投影图能画在一张图纸上，就必须把三个垂直相交的投影面展开摊平在同一个平面上，其方法如图4-12a所示：V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，使它们转至与V面同在一个平面上，展开后的三个投影面就在同一平面上，如图所示。

《画法几何》第2章点、直线、平面的投影

相交（或交叉）成直角的两直线，只要其中有一条直线平行于某投影面，则它们在该投影面上的投影仍反映直角
水平线
Ｂ
b a
ＡＣ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4）（
1
b
判断重影点重合投影的可见性时，要在其他投影中比较它们坐标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角（直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α

工程制图第三章-点、直线、平面投影

物体的三面投影体系

从形体的三视图的形成和展开的过程可以看出，形体的三面投影之间有一定的关系。设轴向X，Y，Z分别表示形体的长、宽、高方向，在绘制图形时规定：将物体左右方向定为长，前后定为宽，上下定为高。水平投影图反映出形体的长和宽，即左右、前后关系；正面投影图反映出形体的长和高，即左右、上下关系；侧面投影图反映出形体的宽和高，即前后、上下关系，如图（a）所示。
（a）三面投影体系（b）三面投影展开方式（c）三视图
展开后，俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方。为了作图简便，投影图中不必画出投影面的边框，如图（c）所示。展开后的三面投影图称为三视图。由于绘制三视图时主要依据投影规律，所以投影轴也可以进一步省略。
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1.3 三视图投影规律
从上述分析可以看出：水平投影和正面投影都能反映出形体的长度，且左右是对齐的，简称“长对正”；正面投影和侧面投影都能反映出形体的高度，且上下是对齐的，简称“高平齐”；水平投影和侧面投影都能反映出形体的宽度，简称“宽相等”。因此，三视图的三个投影之间的关系可以归结为“长对正、高平齐、宽相等”，简称“三等关系”，如图（b）所示。
不同形状形体的投影相同
2 of 46
1.1 三面投影体系的建立
如图（a）所示，用三个相互垂直的投影面构成的空间体系称为三面投影体系。
在三面投影体系中，把处于水平位置的投影面称为水平投影面，简称水平面或H面；把处于正立位置的投影面称为正立投影面，简称正立面或V面；把处于侧立位置的投影面称为侧立投影面，简称侧立面或W面。
在工程图纸上，形体的三个投影是画在同一平面上的。绘图时必须将相互垂直的三个投影面展开在同一平面上。其展开方法为：正立投影面V保持不动，将水平投影面H绕OX轴向下旋转90°，将侧立面投影面W绕 OZ轴向右旋转90°，即可得到在同一平面上的三面投影图，如图（b）所示。这时OY轴分为两条，一条为 OYH轴，一条为OYW轴。

机械制图点、、面的投影

表示。投影长分别是：
a b = AB cosα
ab = AB cosβ
ab=AB cosγ
回本章回本讲
一般位置直线投影特性
各投影的长度均小于直线本身的实长。直线的各投影均不平行于各投影轴。
回本章回本讲
一般位置直线的实长
直角三角形法
求直线的实长与倾角.swf
第三节两直线的相对位置两直线平行
aYH
a0
H
YH
YH
YH
点的三面投影与坐标的关系：AAaa’=’=aa’a’ax=z=aa’’aayy==aaxzOO==XZAA
Aa’=aax=a’’az=ayO=YA
点的正面投影和水平投影的连线垂直于X轴，即a’a⊥OX
点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z轴，即a’a’’⊥OZ
点的水平投影到X轴的距离等于点的侧面投影到Z轴的距离，
即a’a⊥OX。
回本章回本讲
例：已知C点的两面投影c’和c’’，求作第三投影c。
作法：
Z
（1）从原点O做YW、YH的45°分角线；
c’
（2）过c’作OX轴垂线c’c；
（3）过c’’作YW轴的垂线与45°分角线相 X
O
交；
（4）过交点作YH轴的垂线与cc’方向的连
线相交即得c。
c
YH
c’’
YW
回本章回本讲
两直线平行
两直线平行
两直线相交
两直线相交
两直线相交
两直线交叉
第三章平面的投影
第一节平面投影的表示方法
不在同一直线上的三个点
直线及线外一点
两相交直线
两平行直线
平面图形
回本讲

第二章工程制图投影理论

1.平行
d′ V c′ a′ C X d′ A D O X a b c d (b)
图2-23 两直线的平行
b′
c′ B a′
b′
O
a
c H (a) d
b
[例2-3] 判断两直线是否平行？
e′ e′ e″ d′ f′ c′ O e c X e c c″ f″ d″
d′
f′ X
c′
o
YW
f
d
f d
YH
W
z
x
ax
x y
a
o
aY
W
YW
ay
Y
Y
YH
aY
H
4. 根据点的两投影求第三投影
Z a′
X ax
O
方法一：直接量取法
方法二：45º斜线法
YW
a
YH
z
az
z a″
X
a′
X ax
a′
ax
az
a″
YW
YW
a
YH
a
YH
5.点的投影与坐标之间的关系
Z
V
a'(XA,ZA) a'
A(XA,YA,ZA)
Z
az a" o a ay
正平线
实长
b b
水平线
a
侧平线
铅垂线
⑵垂直线正垂线
侧垂线
V
c′ C d′ c" W
V
V c′(b') B A b H a b" W a" E e′
f′
e′(f')
F
e H
W
D c(d)

投影面体系及点的投影基本知识

YW
a
a
Y
YH
投影特点：三个坐标都不是零，三个投影都不在投影轴上。
（2）投影面上的点：只在一个投影面上的点。
Z
V Aa'
a"
Z a'
a"
c'
W
X
b' a
O Cc"
c'
b' Xa
O
c" b" Yw
c b" H Bb
Y
c b
YH
投影特点：投影面上的点必有一个坐标为零，也就是
点与该投影面的距离为零，在该点所在的投影面上的投影三来自向度。左-右O
B
b"
b
a
Y
每个投影面只能反映两个向度。
a'
左-右上 b' 下
X
-
Z a"
后-前上
-
b" 下
O
YW
两点间的相对位置可用它们同方向的坐标差值来判断
两点中X值大的点——在左
后
-
b 左-右
前 a
YH
B点在A点之左、之后、之下
两点中Y值大的点——在前两点中Z值大的点——在上
若已知两个点的相对位置以及其中一个点的投影，就能作出另一点的投影。
b' 7 b"
17 7
O
例：已知空间点D的坐标(15,10,20)，试作其投影图和直观图。
Z
d'
d"
Z V d'
D d" W
X
O
YW X
O
d YH
d H