3圆的认识(圆的对称性3课时)

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(3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧
B (2)垂直于弦
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C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C
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C D O
百度文库
B
A
B
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C
练3:如图,已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G,AE⊥CD于E, BF⊥CD于F,且圆O的半径为 A 10㎝,CD=16 ㎝,求AE-BF的长。
A
O
D
B
E
C
练习:在圆O中,直径CE⊥AB于 D,OD=4 ㎝,弦AC= 10 ㎝, 求圆O的半径。
O
D A B
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C
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F
A
E
. O
B
A
E
. O
B
思路:(由)垂径定理——构造Rt△—— (结合)勾股定理——建立方程 构造Rt△的“七字口诀”:
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半径半弦弦心距
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例2.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形 ADOE是正方形.
(1)是轴对称图形.直径CD所在的 直线是它的对称轴
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·
E A D
O
B
(2)线段:AE=BE
弧:AC=BC


,AD=BD

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直径CD平分弦AB,并且 平分AB


ACB

C
即AE=BE
AD=BD,AC=BC




E A
·
B D
O
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. 思考:
垂直于圆的直径平分圆,并且平分 圆所对的两条弧。
因 为 AB CD于 E, AB为 O的 直径 CE=DE, AC=AB, BC=BD.
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O
C
E
D
B
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分析
条件
C
结论
CD平分弦 AB
点C平分弧 ACB
CD为直径, CD⊥AB
O
}{
} {
点D平分弧 ADB
(1)过圆心
A E D
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下列哪些图形可以用垂径定理,你能说明理由吗?
C O A E B A O E D B A 图3
C
C O E
B
D C
图1 D
图2
O A
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O B A 图5
O B
E D 图4
D
A
图6
E D 12
B
M
练习2、按图填空:在⊙O中,
(1)若MN⊥AB,MN为直径,
则________,________,________; (2)若AC=BC,MN为直径,AB不是直径, 则________,________,________;
7.2米
37.4米
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解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ 表示主桥拱,设 AB所在圆的圆心为 ⌒ 如图,用 AB O,半
AB
径为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC,D为垂足,OC与AB 相交于点D,根据前面的结论,D 是AB 的中点,C是 ⌒ 的中点,CD 就是拱高. AB
C D R
27.1 圆的认识
二、圆的对称性
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实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折, 重复几次,你发现了什么?由此你能得到 什么结论?
可以发现:
圆是轴对称图形,任何一条直径所
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在直线都是它的对称轴.
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O
判断对错并说明理由 圆是轴对称图形,它有无数条对称轴, 它的对称轴是它的直径( )
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平分弦的直径垂直于这条弦吗?
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平分弦的直径垂直于弦(

平分弦(不是直径)的直径垂 直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
1.被平分 的弦不是 直径 O A

C
CD是直径
CD⊥AB,
可推 得
AE=BE AB不是直径
B
AC=BC,
⌒ ⌒
⌒ ⌒
AD=BD. C
B O
E D
2.被平分的弦是直径
O A N C B
(3)若MN⊥AB,AC=BC,则________,________,________;
(4)若AN = BN ,MN为直径,则________,________,________.
⌒ ⌒
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例1.判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线一定经过圆心 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦, 必平分此弦所对的弧
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探究二: 动手操作:
如何将圆两等分?四等分?八等分?
你还可以将圆 多少等分呢?
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A
问题:左图中AB为圆O的直径, CD为圆O的弦。相交于点E,当弦 CD在圆上运动的过程中有没有特 殊情况?
O C E B D
直径AB和弦CD互相垂直
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运动CD
E
G O F
D
A
练习:如图,CD为圆O的直径,弦 AB交CD于E, ∠ CEB=30°, DE=9㎝,CE=3㎝,求弦AB的长。
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D
E O
B
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1300多年前,我国隋朝建造的赵州石 拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧 所对是弦的长)为 37.4 m,拱高为7.2m,求 桥拱的半径(精确到0.1m).
C
E
·
D
B
18
O
A
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挑战自我画一画

如图 ,M 为⊙ O 内的一点 , 利用尺规作一条弦 AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
M ●O

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1.已知:⊙O的半径为5 ,弦AB∥CD , AB = 6 ,CD =8 . 求: AB与CD间的距离
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A
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D
垂径定理:
C O A M D B
CD是直径 CD⊥AB
AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD.
AC=BC,
垂径定理的推论:
CD是直径
CD⊥AB,
可推得
AM=BM
AB不是直径
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AC=BC,
⌒ ⌒
⌒ AD=BD.
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1.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的两条弧.(会用数学符号表示) 2.推论: ①平分弦(非直径)的直径垂直于弦。 ②弦的垂直平分线必过圆心,也平分弦所对的 弧。 ③圆中两平行弦所夹得弧相等。
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例题解析
练1:如图,已知在圆O中,弦AB的长为8㎝, 圆心O到AB的距离为3 ㎝,求圆O的半径。
A
E
O
B
练习:在半径为50㎜的圆O中,有长50㎜的 弦AB,计算: ⑴点O与AB的距离; ⑵∠AOB的度数。
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E
练2:如图,圆O的弦AB=8 ㎝ , DC=2㎝,直径CE⊥AB于D, 求半径OC的长。
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2.已知:如图,在同心圆O中,大⊙O的弦AB 交小⊙O于C,D两点 求证:AC=DB
O A C B
E
D
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某地有一座圆弧形拱桥圆心为O,桥下水面宽度为 7.2 m ,过O 作OC ⊥ AB 于D, 交圆弧于C, CD=2.4m, 现有一艘宽3m,船舱顶部为方形并高出 水面(AB)2m的货船要经过拱桥,此货船能否顺利 通过这座拱桥?
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活动二
如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E. (1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?
C
把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半 圆重合,点A与点B重合,AE与BE重合, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合,AD和BD重合.
A
B
倍 速 课 时 学 练
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O
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思考题
B O
.
D F
已知:AB是⊙O直径, CD是弦,AE⊥CD, BF⊥CD 求证:EC=DF
A E
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C
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结束寄语
• 不学自知,不问自晓,古
今行事,未之有也.
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C M H A D F B O
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N
E
例:如图9,有一个拱桥是圆弧形,他的跨度为60m, 拱高为18m,当洪水泛滥跨度小于30m时,要采取 紧急措施.若拱顶离水面只有4m时,问是否要采取 紧急措施?
M
E
N
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o
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总结
3、图形语言
A
垂径定 1、文字语言 理
2、符号语言
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