2018线性代数第一章综合例题

线性代数第一章习题

线性方程组的应用举例
经济学
在经济学中，线性方程组常被用于描述市场均衡条件，如供求平
衡等。
工程学
在工程学中，线性方程组可用于解决电路设计、结构力学等问题。
计算机科学
在计算机科学中，线性方程组可用于图像处理、机器学习等领域。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义和性质
特征值定义：设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A
特征值与特征向量的应用举例
判断矩阵是否可对角化
若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。
求解微分方程
对于某些线性微分方程，可以通过求解其特征值和特征向量来得到微分方程的通解。
矩阵的相似对角化
若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP为对角矩阵。
主成分分析（PCA）
递推法
根据已知的低阶行列式的结果，推导出高阶行列式的结果。
克莱姆法则
克莱姆法则的内容
如果线性方程组Ax=b的系数矩阵A的行列式|A|不等于零，则该方程组有唯一解，且解向量x的每个分量xi可以通过系数矩阵A和常数向量b的元素构成的n+1个n阶行列式之比来表示。
克莱姆法则的应用
克莱姆法则提供了一种求解线性方程组的方法，尤其适用于系数矩阵A的行列式|A|容易计算的情况。同时，克莱姆法则也可以用于判断线性方程组的解的存在性和唯一性。
行列式的性质
行列式具有以下性质
行列式的定义和性质
• 互换行列式的两行（列），行列式变号。 • 行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。 • 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。 • 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的这一列（行）的元素

《线性代数复习资料》第一章习题答案与提

详细描述：本题主要考察学生对矩阵运算的掌握程度，包括矩阵的加法、数乘、乘法等基本运算。
详细描述：本题主要考察学生对线性方程组解法的理解，通过给定的线性方程组，要求学生判断其解的情况，并求解当有解时的解向量。
习题二解析
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总结词：向量空间
在此添加您的文本16字
详细描述：本题主要考察学生对向量空间的定义和性质的理解，要求学生判断给定的集合是否构成向量空间，并说明理由。
线性变换与矩阵表示
线性变换是线性代数中的重要概念，理解如何用矩阵表示线性变换以及其性质是解决相关问题的关键。
向量空间的维数与基底
向量空间的维数与基底的概念较为抽象，理解其定义和性质有助于更好地解决相关问题。
04
典型例题解析
例题一解析
总结词
矩阵的乘法
详细描述
本题考查了矩阵乘法的规则和计算方法。首先，我们需要明确矩阵乘法的定义，即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。然后，我们按照矩阵乘法的步骤，逐一计算结果矩阵的元素。在计算过程中，需要注意矩阵元素的位置和计算方法。
导致在解题时无法正确应用它们。
THANK YOU
感谢聆听
例题二解析
总结词
行列式的计算
详细描述
本题考查了行列式的计算方法和性质。首先，我们需要明确行列式的定义，即由n阶方阵的元素按照一定排列顺序构成的二阶方阵。然后，我们根据行列式的性质，逐步展开并化简计算结果。在计算过程中，需要注意行列式的展开顺序和符号的变化。
例题三解析
总结词
向量的线性组合
详细描述
习题三解析
总结词：行列式计算总结词：矩阵的秩总结词：特征值与特征向量
详细描述：本题主要考察学生对行列式的计算能力，通过给定的矩阵，要求学生计算其行列式的值。

线性代数章节练习题

bc
b b2 ac
c
a
c2 a2
ab abc
b b2 abc
c c2 abc
abc
111
(a b c) a2 b2 c2 (a b c) a b c
111
a2 b2 c2
(a b c)(b a)(c a)(c b)
246 427 327 1000 427 327 1000 100 327 （2） 1014 543 443 2000 543 443 2000 100 443
D 2 0
2 7
2 0
2 0
5 3 2 2
求第四行各元素的余子式之和的值。
8 计算 n 阶行列式
x y 00 0 0 x y0 0 Dn 0 0 0x y y 0 00 x
3 1 1 9 计算行列式 D 1 5 1 。
1 1 3
3 2 2 10 计算三阶行列式 D k 1 k 。
（C） C PT AP
（D） C PAPT
13 计算
0 1 0 2007 1 2 3 0 1 0 2006 1 0 0 4 5 61 0 0 0 0 1 7 8 9 0 0 1
14 设 A 为 n 阶可逆阵，交换 A 的第 i 行与第 j 行后得到 B。（1）证明 B 可逆；（2）求 AB-1
（C）当 n m 时，必有 AB 0
（D）当 n m 时，必有 AB 0 18 证明 R( A B) R( A) R(B)
4 1 41 则
R(BA 2A)
19 A 为 m p 矩阵，B 为 p n 矩阵，若 AB=0 证明： R( A) R(B) P
20 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2=A，若 R( A) . 证明 R( A E) n r ，其中 E 为 n 阶单位阵

线性代数第一章习题参考答案

解：4234231142342311)1342(4432231144322311)1324()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a a =--=-ττ4.计算abcdef abcdef abcdef abcdef efcf bfde cd bdae ac ab r r r r c c c r f r d r a c ec c c b 420020111111111111111111111)1(12133213213211,1,11,1,1-=--=--=---=-----++5．求解下列方程10132301311113230121111112121)1(12322+-++-++=+-++-+=+-+-+++x x x x x x x x x x x x c c r r 1132104201)3(113210111)3(21+-+--++=+-+-++=-x x x x x x x x x r r 3,3,30)3)(3(11421)3(3212-==-==-+=+---++=x x x x x x x x x 得二列展开cx b x a x b c a c a b x c x b x a c b a x c b a x c b a x ====------=32133332222,,0))()()()()((1111)2(得四阶范得蒙行列式6.证明322)(11122)1(b a b b a a b ab a -=+右左证明三行展开先后=-=-=-----=----=+=+--323322222)(11)()()()1(100211122)1(:2132b a b a b a ba ba b a b b a a b b a b a b b ab ab a b b a ab ab ac c c c1432222222222222222222222222(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369(3))(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369c c c ca a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d --++++++++++++==++++++++++++二三列成比例))()()()()()((1111)4(44442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a dcbad c b a D +++------==44444333332222211111)(x d c b a xdcbax d c b a x d c b a x f 五阶范得蒙行列式解考虑函数=（5）))()()()()()(())()()()()()(()()())()()()()()()()()((454545453453d c d b c b d a c a b a d c b a A M D d c d b c b d a c a b a d c b a A ，A x x f ，Ｍx x f D a b b c a b c d b d a d d x c x b x a x ------+++-==------+++-=----------=于是的系数是中而对应的余子式中是（5）n n a a a a a xx x x 12101000000000100001----解：nn n n n n n n n n nn x a x a a x a x a a a a a a a xx x x D +++=-++--+--=---=+++-++++-10)1()1(1211110121)1()1()1()1()1(1000000000100001按最后一行展开7、设n 阶行列式)det(ij a D =把D 的上下翻转、或逆时针旋转090、或依副对角线翻转、依次得111131111211111,,a a a a D a a a a D a a a a D n n nn n nn n nnnn=== 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(证明：将D 上下翻转，相当于将对D 的行进行)1(21-n n 相邻对换得1D ，故D D n nn 2)1(1)1(--=将D 逆时针旋转090相当于将T D 上下翻转，故D n n D n n D T 2)1(2)1(2-=-=D 依副对角线翻转相当于将D 逆时针旋转090变为2D ，然后再2D 左右翻转变为3D ，故D D D D n n n n n n =--=-=---2)1(2)1(22)1(3)1()1()1(8、计算下列行列式（k D 为k 阶行列式）（1）aa D n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；解：)1()1(0100)1(1122211111-=-+=-+==--++-+a a a a a aa a a D n n n n n n n n n n 列展开按行展开按（2）x a a a x a a a x D n=解：xaa x a a a n x x a aa x a a a x D nc c c n111])1([21-+==+++12)]()1([0001])1([1--≥--+=---+=n r r k a x a n x ax a x a a a n x k(3)111111)()1()1()()1()1(11111n a n a a a n a n a a a n a n a a a D n n n n n nnm n -+---+---+--=----+解：11111(1)(1)22111111(1)(1)()(1)(1)()111111111111()()()((1)(1)()(1)(1)()n nnn n n n n n n n n n n j i n n n n mnnna a a n a n a a a n a n D a a a n a n a a a n a n j i a a a n a n a a a n a n ----++++≥>≥------+---+-=--+---+-=-=--=--+---+-∏上下翻11)n j i i j +≥>≥-∏（4）n n nnn d c d c b a b a D11112=（未写出的均为0）解：)1(2)1(211112)(02232--↔↔-===n n n n n n n nnn r r c c nnnnn D c b d a D d c b a d c d c b a b a D mn得递推公式)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D ，而11112c b d a D -=递归得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)det(),||n ij ij D a a i j ==-解111,2,,1120121111110121111210311111230123010001200(1)(1)211201231i i j r r n i n c c n n n n D n n n n n n n n n n n n +-=-+-------==-------------==---------解:11211*222,3,,1111111(6)1111111111101111000111100:01111i n nr r n i n nna a D a a a a a D D a a -=+++=++-+-===+-解111211121,2,,12111(1)1110001(1)0000i inc c na n i ni ina a a a a a a a a a ++==++++==+∑9．设3351110232152113-----=D ，D 的),(j i 元的代数余子式为ij A ，求44333231223A A A A +-+解：24335122313215211322344333231=-----=+-+A A A A。

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题

《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题基础课程教学资料第1章矩阵习题一(B)1、证明：矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A 为n 阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。

若矩阵A 为n 阶对角矩阵. 即令n 阶对角矩阵为：A =??n a a a 00000021,任何对角矩阵B 设为n b b b0000021，则AB=??n n b a b a b a000002211，而BA =??n n a b a b a b000002211，所以矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换。

再证充分性，设 A =??nn n n n n b b b b b b b b b 212222111211，与B 可交换，则由AB=BA ，得：nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122222111122111=nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212222221211121111，比较对应元素，得0)(=-ij j i b a a ，)(j i ≠。

又j i a a ≠，)(j i ≠，所以0=ij b ，)(j i ≠，即A 为对角矩阵。

2、证明：对任意n m ?矩阵A ，T AA 和A A T均为对称矩阵. 证明：(TAA )T =(A T )T A T =AA T，所以，TAA 为对称矩阵。

(A A T)T =A T (A T )T =A T A ，所以，A A T 为对称矩阵。

3、证明：如果A 是实数域上的一个对称矩阵，且满足O A =2 ，则A =O . 证明：设A =??nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，其中，ij a 均为实数，而且ji ij a a =。

由于O A =2，故A 2=AA T =nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211nn nnn n a a a a a a a a a 212221212111=0。

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

(C)0, 2
(D)0,1
解按三阶行列式的对角线法则得 D1 = (λ + 1)(λ − 1)2 , D2 = 0 . 若 D1 = D2 ，则
(λ + 1)(λ −1)2 = 0 ，于是 λ = 1,−1，故正确答案为（B）．
例 1.5
方程组 ⎪⎨⎧λx1x1++λxx22
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B）．
例 1.2 下列排列中（）是偶排列.
(A)54312 (B)51432
(C) 45312
(D) 654321
解按照例 1 的方法计算知：排列 54312 的逆序数为 9；排列 51432 的逆序数为 7；排列
例17分析如果行列式的各行列数的和相同时一般首先采用的是将各列行加到第一列行提取第一列行的公因子简称列行加法这个行列式的特点是各列4个数的和为10于是各行加到第一行得10101010分析此类确定系数的题目首先是利用行列式的定义进行计算
第一章行列式
1.1 目的要求
1．会求 n 元排列的逆序数； 2．会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 3．深入领会行列式的定义； 4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质； 7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．
（2） A34 + A35 = （）, （3） A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = （）．
分析此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，

线性代数第一章习题答案

习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。

《线性代数》第一章行列式精选习题及解答

第一章行列式1.1 目的要求1．会求n 元排列的逆序数；2．会用对角线法则计算2阶和3阶行列式； 3．深入领会行列式的定义；4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质；7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．1.2 重要公式和结论1.2.1 n 阶行列式的定义n 阶行列式 nnn n n n a a a a a a a a a D (2122221)11211=n n np p p tp p p a a a ...)1(212121)...(∑−=.其中是n 个数12…n 的一个排列，t 是此排列的逆序数，∑表示对所有n 元排列求和，故共有n ！项． n p p p ...211.2.2 行列式的性质1．行列式和它的转置行列式相等；2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）；4．行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零；5．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即nn n n in i i nnn n n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a L MMM L M M M L LMM M L MM M L21211121121221111211=++++nnn n ini i na a ab b b a a a L MMM L M M M L 2121112116．把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变． 1.2.3 行列式按行（列）展开设D 为n 阶行列式，则有=∑=nK jkika A 1⎩⎨⎧≠==+++j i ji D A a A a A a jn in j i j i 0...2211=∑=nK jkika A1⎩⎨⎧≠==+++j i ji D A a A a A a jn in j i j i 0 (2211)其中是的代数余子式. st A st a 1.2.４克拉默法则１．如果线性非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L M M M M M L L 22112222212111212111的系数行列式，则方程组有唯一解0≠D DD x 11=（ i=1，2，…，n ），其中是D 中第i 列元素（即的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式．i D i x 2．如果线性齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L M M M M M L L的系数行列式，则方程组只有唯一零解．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式．0≠D 0=D 1.2.5 一些常用的行列式1．上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积.2．设 kk k k a a a a D L M M ML 11111=，nnn nb b b b D L M M M L 11112=，则 211111*********D D b bc c b b c c a a a a nn n nkn n k kkk k =L L M M M MM ML L L MMM L .3．范德蒙行列式)(..................1 (11)11121121i j nj i n nn n n a a aaaa a a −=∏≤<≤−−−.1.2.6 计算行列式的常用方法1．利用对角线法则计算行列式，它只适用于2、3阶行列式； 2．利用n 阶行列式定义计算行列式； 3．利用行列式的性质化三角形法计算行列式； 4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式； 5．利用数学归纳法计算行列式； 6．利用递推公式计算行列式；7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式； 8．利用加边法计算行列式； 9．综合运用上述方法计算行列式.1.3 例题分析例1.1 排列14536287的逆序数为 ( )(A) 8 (B) 7 (C) 10 (D) 9解在排列14536287中，1排在首位，逆序数为0；4、5、6、8各数的前面没有比它们自身大的数，故这四个数的逆序数为0；3的前面比它大的数有2个（4、5），故逆序数为2； 2的前面比它大的数有4个（4、5、3、6），故逆序数为4；7的前面比它大的数有1个（8），故逆序数为1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B ）．例1.2 下列排列中（）是偶排列.(A)54312 (B)51432 (C) 45312 (D) 654321解按照例1的方法计算知：排列54312的逆序数为9；排列51432的逆序数为7；排列45312的逆序数为8；排列654321的逆序数为15；故正确答案为（C ）．例1.3 下列各项中，为某五阶行列式中带正号的项是（）． (A) (B) (C)(D) 5541324413a a a a a 5415413221a a a a a 5214432531a a a a a 5344223115a a a a a 解由行列式的定义知，每一项应取自不同行不同列的五个元素之积，因此(A)、(B)不是五阶行列式的项，但(C)应取负号，故正确答案为（D ）．例1.4 行列式351232113,010101021=−=D D λλλ, 若21D D =，则λ的取值为（） (A) 2, —1 (B) 1, —1 (C)0, 2 (D)0,1解按三阶行列式的对角线法则得.若，则，于是0,)1)(1(221=−+=D D λλ21D D =0)1)(1(2=−+λλ1,1−=λ，故正确答案为（B ）．例1.5 方程组有唯一解，则（）.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321x x x x x x x x x λλλ(A)1−≠λ且2−≠λ (B) 1≠λ且2−≠λ (C) 1≠λ且2≠λ (D) 1−≠λ且2≠λ解由克拉默法则知，当所给非齐次线性方程组的系数行列式不等于0时，该方程组有唯一解，于是令行列式0)1)(2(1111112≠−+=λλλλλ 即1≠λ且2−≠λ，故正确答案为（B ）．例1.6 ==2006200420082006D （）．分析对于2、3阶行列式的计算，元素的数值较小时，可以直接采用对角线法则进行计算；但元素的数值较大时，一般不宜直接采用对角线法则进行计算，而是用行列式的性质进行计算．解此题是一个2阶行列式，虽然可以直接用对角线法则计算，但因数值较大，计算较繁，因此要仔细观察分析，用行列式的性质求解．402221003200622008220062004200820061221=−−+−−−=c c c c D ，故答案为4.例1.7 ==3214214314324321D （）．分析如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法) ．解这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得===321421431432101010103214214314324321D 101230121012101111103214214314321111−−−−−−= 160400004001210111110=−−−=．例1.8设xx x x x x f 111123111212)(−=，则的系数为（），的系数为（）． 4x 3x 分析此类确定系数的题目，首先是利用行列式的定义进行计算．如果用定义比较麻烦时，再考虑用行列式的计算方法进行计算．解从的表达式和行列式的定义可知，当且仅当的主对角线的4个元素的)(x f )(x f积才能得出，其系数显然是2. 当第一行取4x )1(13=a 或)2(14=a ，则含或的行列式的项中是不出现，含的行列式的项中是不出现，于是含的项只能是含，，，的积，故的系数为13a 14a 3x )2(11x a =3x 3x 12a 21a 33a 44a 3x 1−．故答案为2 ，1−．例1.9 设0123411222641232211154321=D ，则（1）=++333231A A A （），（2）=+3534A A （）, （3）=++++5554535251A A A A A （）．分析此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，充分利用按行（列）展开的计算方法来进行技巧计算．解 00123411222221112211154321)(23534333231==++++A A A A A （第2，3行相同）即 =0．同理 )(2)(3534333231A A A A A ++++)()(23534333231A A A A A ++++=0 于是 0， =++333231A A A =+3534A A 0．011111333336412322111543211111111222641232211154321245554535251=+=++++r r A A A A A 故答案为0，0，0．例1.10 2007000000002006000200500020001000L L L MM MM M M L =D .分析当行列式中有较多零元素时，一般可以采用行列式的定义或按行(列)展开来计算.解此行列式刚好只有n 个非零元素，故非零项只有一项：nn n n n a a a a ,,,,112211−−−L nn n n n t a a a a 112211)1(−−−−L ，其中 2)2)(1(−−=n n t ，因此 !2007!2007)1(2)22007)(12007(−=−=−−D ．此题也可以按行(列)展开来计算．例1.11 计算n 阶行列式2111121111211112L M M M M L L L =n D解法1 （行（列）加法）因为这个行列式的每一行的n 个元素的和都为n+1, 所以将第2,3,…,n 列都加到第一列上，得),3,2(,2111121111211111)1(21111211112111111n i r r n n n n n D i n L L M M M ML L L L M M M M L L L =−+=++++=1101000101111)1(+=+n n L M M M M L L L解法2 （加边法）)1,,3,2(211111211111211111210000111+=−==+n i c c D D i n n L L M M M M M LL L L11000101001010100011000011000101001001010001111111121+=++++−−−−+n n r r r n L M M M M M LL L L L L M M M M M L L L L . 解法3 （利用行列式的性质）101010100111112),,3,2(21111211112111121L M M M M L L L L L M M M M L L L −−−=−=n i r r D i n11000100010111121+=++++n n c c c n L M M M M L L L L ．例 1.12 计算nn n n nn n y x y x y x y x y x y x y x y x y x D +++++++++=111111111212221212111L MM M L L . 解当n=2时，))((11111212221221112y y x x y x y x y x y x D −−=++++=当n≥3时，111212112122111121111()()()0()()()n nn n n n x y x y x y x x y x x y x x y D x x y x x y x x y +++−−−==−−−L L M M M L n．例1.13 计算nn n n nn n n x x x x x x a a a a a x a D 1122112321100000000000−−−−−−−−+=L L M M M M M M LL其中．),,2,1(0n i x i L ≠≠解因 )1(11111111x a x x a x a D +=+=+=， 1(221121212112x ax a x x x x a x a D ++=−+=，归纳推得 )1(1121nn n n x a x a x x x D +++=L L ．用数学归纳法证明上式, 假设当k=n-1时结论成立，即)1(11111211−−−−+++=n n n n x a x a x x x D L L . 则当k=n 时，将按第n 列展开，得n D ))(())(()1(122111−−+−−−−−−+=n n n n n n n x x x x a D x D L 1221111)1()1(−−−+−−−+=n n n n n n n x x x x a D x Ln n nn n n n x a x x x x x D x 12211−−−+=L 1(1121nn n x a x ax x x +++=L L 即当k=n 时结论也成立，故对一切自然数结论都成立．例1.14 计算222111222333n nn nD n n n =L L L M M M L 解（利用范德蒙行列式计算）1113213211111!−−−==n n n Tnn n n n D D L MMM M LL )]1([)2()24)(23)(1()13)(12(!−−−−−−−−=n n n n n L L L !2)!2()!1(!L −−=n n n ．例 1.15 计算 βαβαβαβαβαβαβαβα+++++=L L MM M M ML LL 000000000000n D .解按第一列把D n 分成两个行列式的和+++++=βαβαβαβαβαβαααL L M M M M M L L L000000000000000n D βαβαβαβαβαβαβαβ++++L L MM MM M LL L0000000000000n n n D D βαβαββαβαβα+=+=−−110000000000000000L L MM M M M L L L (1) +++++=βαβαβαβαβαβααβL L M M M M M L L L000000000000000n D βαβαβαβαβαβαβαα++++L L MM MM M LL L 00000000000000n n n D D αβαβααβαβαβ+=+=−−1100000000000000L L M MM M M L L L (2) (a) 当βα≠时，由（1）（2）得 =, 则n n D βα+−1nn D αβ+−1βαβα−−=−nn n D 1.于是 βαβα−−=++11n n n D ．(b) 当βα=时，由（1）得．n n n n n D D ααα)1(1+==+=−L例1.16 设, 证明：0>>>c b a 01222<++abca bc c b a cb a cabc ab . 证明将行列式的第1行)(c b a ++×，第2行)1(−×，然后加到第3行，得ca bc ab ca bc ab ca bc ab c b a c b a ab ca bc c b a c b a ++++++=222222 222222111)(111)(c b a c b a ca bc ab c b a c b aca bc ab ++=++= ))()()((a b b c a c ca bc ab −−−++=于是，不等式的左边=))()((a b b c a c −−−.由于,从而，0>>>c b a 0)(<−a c 0)(,0)(<−<−a b b c ，因此，当时,0>>>c b a 01222<++abca bc c b a cb a cabc ab ．例 1.17 设在上连续,在内可导，试证：至少存在一个)(),(),(x h x g x f ],[b a ),(b a ),(b a ∈ξ，使得0)(=′ξH .其中 )()()()()()()()()()(x h x g x f b h b g b f a h a g a f x H =．证明由题设知在上连续,在内可导，又由行列式的性质可知，于是由洛尔中值定理可知，至少存在一个)(x H ],[b a ),(b a 0)()(==b H a H ),(b a ∈ξ，使得0)(=′ξH ．1.4 独立作业1.4.1 基础训练1．设ij a D =为阶行列式,则在行列式中的符号为( ) ． n 11342312n n n a a a a a −L (A) 正 (B) 负 (C) (D) 1)1(−−n 2)1()1(−−n n2．行列式为0的充分条件是（）．n D(A) 零元素的个数大于n; (B) 中各行元素的和为零； n D (C) 次对角线上元素全为零; (D) 主对角线上元素全为零． 3．行列式不为零，利用行列式的性质对进行变换后，行列式的值（）． n D n D (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D)保持相同的正负号．4．方程0881441221111132=−−x x x的根为（）．(A) 1，2，2− (B)1，2，3 (C)1，1−，2 (D)0，1，25．如果4333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=−−−−−−=33323331232223211312131********a a a a a a a a a a a a D （）． (A)-12 (B)12 (C)48 (D)-486．行列式=9092709262514251（）.7．ab b a log 11log = ( ).8．行列式c b d c a b cb a , 则=++312111A A A （）.9．函数x x x x x f 121312)(−=中,的系数为（）.3x 10．4444333322225432154321543215432111111= ( ).11．49362516362516925169416941， 12．00000000x y y x y x x y D = 13．20000120000001301200101−−=D ， 14．xyz zx yyz x 111 15．520003520003520035200035， 16．44342414433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++17．nn n n a a a a a a b b b b b 13221132100000000−−−−−L M M M M M LL L ,（其中),,2,1(,0n i a i L =≠） 18．n x x x D L M M M M LL L 01001001111021= (),,2,1,0n i x i L =≠ 19．43211111111111111111x x x x ++++， 20．nL M M M ML L L 22223222222222121．211121112L L L L L L =n D .22．当μ取何值时，齐次线性方程组有非零解？⎪⎩⎪⎨⎧=−−+−=−+−=−++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ23．证明αααααααsin )1sin(cos 210001cos 200000cos 210001cos 210001cos 2+=n L L M MM M M LL L (其中0sin ≠α)．1.4.2 提高练习1．设A 为n 阶方阵，为*A A 的伴随矩阵，则*A A 为（） (A) 2A (B) 12−n A(C) nA2 (D) nA2．设A 为n 阶方阵，B 为m 阶方阵，=00A B( ). (A)B A − (B) B A (C) B A mn )1(− (D) B A n m +−)1(3．若xxx x x x g 171341073221)(−−−−=，则的系数为（）. 2x (A) 29 (B) 38 (C) —22 (D) 344．347534453542333322212223212−−−−−−−−−−−−−−−=x x x x x x x x x x x x x x x x g(x)，则方程=)(x g 0的根的个数为（）. (A)1 (B)2 (C)3 (D)45．当（）时，方程组只有零解.≠a ⎪⎩⎪⎨⎧=+−=++=+02020z y ax z ax x z ax (A)-1 (B) 0 (C) -2 (D) 26．排列可经过（）次对换后变为排列. n r r r r L 321121r r r r n n n L −−7．四阶行列式中带负号且含有因子和的项为（）.12a 21a 8．设y x ,为实数，则当=x （），=y ( )时，010100=−−−x yy x . 9．设A 为4阶方阵，B 为5阶方阵，且,2,2−==B A 则 =−A B ( ),=−B A （）.10．设A ,B 为n 阶方阵，且,2,3−==B A 则 =−1*3B A ( ). 11．设A 为3阶正交矩阵，0>A ，若73=+B A ，则=+T AB E 21（）. 12．设，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=653042001A =+−12A E （）.13．解方程组011112222212112=nnnnnnn b b b b b b b b b x x x L M M M M L L L ，其中为各不相同的常数. n b b b b ,,,,321L 14．证明：)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d nn n n n n L M M M L L =∑=ni nn n n in i i n x a x a x a x a dx d x a dx d x a dx d x a x a x a 1212111211)()()()()()()()()(LM M M L M M M L 15．设xx x x x x x g 620321)(332=，求)(x g ′.16．设17131231533111)(85222−−−−−−=x x x x x x x g ，试证：存在)1,0(∈ξ，使得0)(=′ξg .17．证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 18．设z y x ,,是互异的实数，证明：0111333=z y x z y x 的充要条件是0=++z y x . 19．设4322321143113151−=A ，计算44434241A A A A +++的值，其中是)4,3,2,1(4=i A i A 的代数余子式.20．利用克莱默法则求解方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−=−+3232222321321321x x x x x x x x x 21．求极限111cos sin 3212sin 1231lim23x x x x x x x →.第一章参考答案1.4 独立作业 1.4.1 基础训练1． (C) 2． (B) 3． (C) 4．(A) 5． (B)6．解=×==17092142512000200070922000425190927092625142515682000.7．0 ， 8．解 0111312111==++cb c a cb A A A ，故答案为09．解因为在此行列式的展开式中，含有的只有主对角线上的元素的积，故答案为 10．解由范德蒙行列式得行列式的值为2883x 2−11．解0222222229753169411311971197597531694149362516362516925169416941===.12．解 x y x y x x xyy yxy xyyx y xxy D 0000000000000000−−==22222)(y x xyyx x x yy x y −−=−= 13．解 0131201014200013120101220000120000001301200101−×−=−×−=−−=D 20311243131200014=−−×−=−−×−=14．解 yzx z x y x z y x z x y z x y yzx xy zzx yyz x−−−−=−−−−−−=11))(()(0)(01111=))()((x z z y y x −−−15．解 520003520003520003500003352000352000352000352000325200035200035200035200035+= =5203520035200353252000352000352000350000332000320000320000320000325+=+==L 665 16．解1413121414131213141312121413121144342414433323134232221241312111y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x −−−+−−−+−−−+−−−+=++++++++++++++++=017．解132111322113210000000)1(00000000−+−−−−−−×−=−−−=n n n n n n n n a a a a b a a a a a a b b b b b D L MMM M MLL L L M M M M M M L L L=−−×+−−−−12221122100n n n n n a a a a a b b b b a L MMM M M LL L ==+−L L 121n n n n nD a a b a a a )(121∑=ni ii n a b a a a L18．解由第()列的i n i ,,2,1L =ix 1−倍加到第一列上去. nni inx x x x x x x D L MM M ML L LL MM M M LL L 0000000011111001001111021121∑=−===)1(121∑=−n i i n x x x x L19．解43211114321100100111111111111111111x x x x x x x x x x x −−−+=++++432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x −−−++++==3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++20．解 2020012000200021222232222222221−−=n nL MM M M LL L L M M M M L L L 20212002−−=n L M M M ML L =)!2(2−−n 21．解 211121111)1(211121111211121112L LL L L L L L L L L L L L L L L L +=+++==n n n n D n 1101011001)1(+=+=n n L L L L L L22．解由齐次线性方程组有非零解的条件可知0111213142=−−−−−−μμμ 解之得μ=0,2,3. 于是当μ=0，2，3时，齐次方程组有非零解.⎪⎩⎪⎨⎧=−−+−=−+−=−++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ23．证明 (1)当时，结论显然成立, (2)假设当1=n k n ≤时,结论成立, (3)当时1+=k n11cos 2101cos 200000cos 210001cos 210001cos 2++=k k D αααααL L M M M M ML L Lkk D ααααcos 21010000cos 210001cos 2100001)1(cos 23L M M M M M LL L L −+=ααααααααααsin )2sin(sin sin sin sin cos 2sin )1sin(cos 21+=−=−+=−k k k D k k ααsin ]1)1sin[(++=k 故结论成立． 1.4.2 提高练习1．B , 2．C , 3．D , 4．B , 5．D, 6.2)1(−n n , 7． 44332112a a a a 8．0, 0, 9．32, 64 , 10．2312−−n , 11．277, 12．6 13．提示：用范德蒙行列式将行列式展开求解，答案为i b x =，（n i ,,2,1L =）， 14．(用行列式的定义和导数的运算法则)证明))()()()1(()()()()()()()()()(11)(12122221112112211x a x a x a dx dx a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d n n p p p p p p t nn n n n n L L M M ML L L ∑−== ))())(()()()1((111)(12211x a x a dx d x a x a n i n p p p p p p p tL L L ∑−=∑=ni nn n n in i i n x a x a x a x a dx d x a dx d x a dx d x a x a x a 1212111211)()()()()()()()()(LMM M L M M M L15．利用(14)的结论进行计算便可得结果，答案为6．2x 16．（用罗尔中值定理证）证明（1）显然是多项式，故在上连续，在()(x g )(x g ]1,0[)1,0内可导，且，从而由罗尔中值定理知，存在0)1()0(==g g )1,0(∈ξ，使得0)(=′ξg ． 17．用行列式的性质3的推论（同济四版）18．证明 33333333333301111x z xy xz xy x z x y x x z x y x z y x z y x−−−−=−−−−=0))()()((11))((2222=++−−−=++++−−=z y x y z x z x y xxz z x xy y x z x y 由于z y x ,,是互异的实数，故要使上式成立，当且仅当0=++z y x .19．解 6111132114311315144434241=−=+++A A A A , 20． 11=x ，， 22=x 33=x 21．解 (用罗必塔法则求解)11100013212001230000111231001100sin cos 3212sin 123230cos 11231lim1101cos sin 3212sin 1231lim223230=+=−+=→→x x x x x x x x x x x x x x x x x。

线性代数第一章习题解答

习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。

线性代数第一章习题及解答

T
n(n−1) 2
D. a11 . . . a1n ··· ··· ··· D an1 . . . ann
因为 D = D , 而 D =
T
对 DT 作上述行交换得, 于是
D2 = (−1)
n(n−1) 2
D = (−1)
T
n(n−1) 2
5
对 D2 依次进行相邻列交换，然后转置得
D2 = (−1)
4
a+b 1 Dk = 0 ··· 0 0
ab a+b 1 ··· 0 0 1
0 ab a+b ··· 0 0 a+b 0 ··· 0 0 a+b 1 0 ··· 0 0
··· ··· ··· ··· ··· ··· ab a+b 1 ··· 0 0 ab a+b 1 ··· 0 0
0 0 0 ··· a+b 1 0 ab a+b ··· 0 0 0 ab a+b ··· 0 0
··· ··· ··· ···
(a − n)n (a − n)n−1 . . . a−n
1 1 ··· 1 解：将 Dn 一次进相邻行交换，然后进行相邻列交换得 1 1 ··· 1 a−n a−n+1 ··· a 2 2 (a − n + 1) · · · a2 (xj = a − j, j = 0, 1, . . . , n) Dn = ( a − n ) . . . . . . . . ··· . (a − n)n (a − n + 1)n ∏ = (xj − xi ) 0≤i<j ≤n ∏ = (i − j )
a a . . . x ··· a 0 . . . x−a (rj − r1 , j = 1, 2, . . . , n)

《线性代数》第1章习题详解

一、习题1参考答案1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.（1）41253；（2）3712456；（3）57681234；（4）796815432 解（1）()4125330014τ=+++= 偶排列（2）()37124562500007τ=+++++= 奇排列（3）()576812344544000017τ=+++++++= 奇排列（4）()7968154326755032129τ=+++++++= 奇排列 2. 确定i 和j 的值,使得9级排列.(1)1274569i j 成偶排列; (2)3972154i j 成奇排列. 解 (1) 8,3i j == (2) 8,6i j == 3.计算下列行列式.（1） 412－3－（2） 2211a a a a ++-1 （3） cos sin sin cos x xx x -（5）2322a a bab （6） 1log log 3b aab （7） 000xy x z y z--- 解（1）131523125=⨯-⨯=- （2）4(3)2(1)4212=-⨯--⨯=-－3－（3）()22322211(1)11a a a a a a a a a a =-++-=--++-1 （4）22cos sin cos sin 1sin cos x x x x x x -=+= （5）233232220a a a b a b bab =-=（6）1log 3log log 2log 3b b aa ab a b=-=(7) 0000000xyxz xyz xyz y z -=+----=--4. 当x 取何值时3140010xx x≠ ？解因为314010xx x2242(2)x x x x =-=-所以当0x ≠且2x ≠时，恒有3140010xx x ≠5. 下列各项，哪些是五阶行列式ij a 中的一项；若是，确定该项的符号.1225324154(1);a a a a a 3112435224(2);a a a a a 4221351254(3)a a a a a解 (1)不是 (2)不是 (3)不是6. 已知行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ，写出同时含21a 和21a 的那些项，并确定它们的正负号.解 12213443a a a a (2143)2τ= 符号为正； 14213243a a a a (2134)1τ= 符号为负. 7. 用行列式定义计算下列行列式.(1) 11121314152122232425313241425152000000a a a a a a a a a a a a a a a a (2)020200002200(3) 01000200001000n n-解（1）行列式的一般项为12345()1122334455(1)j j j j j j j j j j a a a a a τ-若345,,j j j 中有两个取1,2列，则必有一个取自3,4,5列中之一的零元素，故该行列式的值为零，即原式0=（2）行列式中只有一项(3241)13223441(1)16a a a a τ-=不为零，所以原式16= （3）行列式的展开项中只有(2,3,4)11223341,1(1)(1)!n n n n n a a a a a n τ---=- 一项不为零，所以原式1(1)!n n -=-8. 用行列式性质计算下列行列式.(1) 111314895（2）1234234134124123（3）41241202105200117⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）2141312112325062⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5）ab ac aebd cd debf cf ef---（6）a b aa a bb a aa b a解 (1) 111314895321331r rr r--111021013--232r r-111005013--23r r↔111013005---5=(2)12342341341241232341c c c c+++10234103411041210123123413411014121123=121314r rr rr r-+-+-+123401131002220111------34222r rr r-+123401131000440004---160=(3)4124120210520011712r r↔12024124105200117-2131410r rr r--120207240152200117-----24r r↔120201170152200724----3242157r rr r++1202011700178500945342r r-12020117001500945=--(4) 2141312112325062-13r r↔1232312121415062--213141325r rr rr r---12320775032301098----------232r r -12320131032301098-3242310r r r r --123201310076002118----0=(5) abac ae bdcd de bfcfef---每列都提取公因式bc eadf bc e b c e ---每列都提取公因式111111111adfbce --- 1213r r r r ++11102020abcdef -23r r ↔11120002abcdef --4abcdef = (6）0000a b a a a b b a a a b a 4321r r r r +++2222000a b a b a b a ba a bb a a a b a ++++()11110200aa b a b b a a a ba =+121314ar r br r ar r -+-+-+()1111002000a b aa b a b b a b b a a --+----- 3232r r r r +-()11110020000a b aa b b b b b --+---=()2111100201100101a b a b a b --+--- 3424r r r ar ++()211110002200110101b a b a b -+---24c c ↔()211110101200110002b a b b a-+---()()2422224b a b b a b a b =+-=-9. 证明下列等式.(1) 111222222222111333333333a b c bc a c ab a bc a b c b c a c a b a b c =-+(2)11122122111211121112111221222122212221220000a a a a a a b b c c b b a a b b c c b b = (3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++=33()xy z a b y z x zxy+(4) 222244441111a b c da b c d a b c d ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d ⋅-+++ 证明（1）左式123123123321213132a b c b c a c a b a b c a b c a b c =++--- 133321233212332()()()a b c b c b a c a c c a b a b =---+-=222222111333333b c a c a b a b c b c a c a b -+=右式（2）1112212211121112212221220000a a a a c c b b c c b b 按第一行展开222111121112121111122221222121220000a a a c b b a c b b c b b c b b - 111211121122122121222122b b b b a a a a b b b b =-1112111221222122a ab b a a b b =(3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++ 按第一列分开x ay bzaz bxa y az bx ax by z ax by ay bz ++++++ y ay bzaz bxb z az bx ax by x ax by ay bz +++++++2(0)xay bz z ay az bx x z ax by y +++++分别再分(0)yz az bxb z x ax by x y ay bz++++33x y z y z x a y z x b z x y zxy x yz +分别再分332(1)x y z x y za yz x b yz x z xy zxy=+-=右边 (4) 222244441111a b c d a b c d a b c d 213141c c c c c c --- 222222244444441000a b a c a d aa b a c a d a a b a c a d a --------- 按第一列展开222222222222222()()()b ac ad ab ac ad a b b a c c a d d a --------- 每列都提取公因式222111()()()()()()b ac ad a b a c a d a b b a c c a d d a ---++++++ 1213c c c c -+-+()()()b ac ad a ---222221()()()()()b ac bd bb b ac c a b b ad d a b b a +--++-++-+ 按第一列展开()()()()()b ac ad a c b d b -----222211()()()()c bc b a c bd bd b a d b ++++++++()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d -+++10.设行列式30453221--,求含有元素2的代数余子式的和. 解含有元素2的代数余子式是12222313A A A A +++()()()()345453343050111121212222--=-+-+-+---11161026=---=- 11. 设行列式3040222207005322=--D ,求第四行各元素余子式之和的值是多少? 解解法一：第四行各元素余子式之和的值为41424344M M M M +++040340300304222222222222700000070070=+++---780314(7)(1)(2)28=-⨯++⨯+-⨯-⨯-=-解法二：第四行各元素余子式之和的值为4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+3040222207001111=---按第3行展开32340(7)(1)222111+----232r r +340704111--按第2行展开34282811-=---12.已知 1012110311101254-=-D ,试求: (1) 12223242A A A A -+- (2) 41424344A A A A +++ 解 (1)方法一：虽然可以先计算处每个代数余子式,然后再求和,但是这很烦琐.利用引理知道，第一列每个元素乘以第二列的代数余子式的和等于零。

线性代数第一三四章练习题参考答案

第一章练习题参考答案一、填空题.1.-6d;2. 12;3. 23231414()()a a b b a a b b --;4. 1(1)(1)n n ---;5. -10;6. 0;7.-888;8. 4;-6.9. 132531445213253241541325344251,,a a a a a a a a a a a a a a a . 二、计算题. 1. 14().j k k j D x x ≤<≤=∏-2. 117!(2)27D =-+++.3. (1)(2)2121(1)(1)2n n n n n D x x x ---+=- ;4. 34560;5. 11[1]()nni i i i a x a x a==+⋅∏--∑.6.11024x +.7. 3(2)x x + 三、3(1)2n n -第三章练习参考答案一、选择题1. C ；2. C ；3. C;4.C. 二、填空题1. (1)m nab -； 2.100122010345⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 3. 2123n --； 4. 108； 5. 2132-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； 6. 0； 7. 301050103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；8. 12； 9. 1100BA B A--⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 10. 3E ；11. 3A E +； 12. 25A ；13. 88000880008808⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 14. 12.三、计算与证明题 1. 600006006060031⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 2. 02100000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 3. (1) T CA , (2) 101214122--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 4. 2a =-； 5. 12345B A A E -=++; 6. -16; 7. 001010100B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 8. 见课堂笔记; 9. 111212132122222331323233114411441144b b b b b b b b b b b b ⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦. 10. 22211212513--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 11. 略. 第四章练习参考答案一、选择题1. C ；2. D ；3. B;4.D. 二、填空题1. (1,2,0,4)(0,3,3,10)T T t -+--, 其中t 为任意实数；2. 12,αα; 2；3. 3-；4.122113311441233224423443,,,,,E E E E E E E E E E E E ------; dimV=6;(2,3,1,4,2,2)T--； 5. 极大无关组为12,αα; 3124122,23αααααα=-+=-+;6. 12(1,0,1,1)(1,1,0,1)(1,3,1,0),T T Tk k α=-+-+-- 其中 12,k k 是任意数；7.141113M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 15(,)33TX =-. 三、计算与证明题1.(1) 当1b =时, 极大无关组为124,,ααα, (2) 当1b =时, 4α不能由12,αα线性表示, 3α能由12,αα线性表示(3122ααα=-+).2. (1) 5λ≠时，123,,ααα是基，21311222131222M λλλ⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥+⎢⎥--⎣⎦；（2）ξ在基123,,βββ下的坐标为 (1,0,1)T；（3）所有非零向量为 (3,3,2)T k -. 3. (1) 只要证123,,0ααα≠ ,(2) 1232,0),1,1),2,1,5)TTTβββ==-=-;(3)M ⎤⎥⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣; （4）坐标为10)T β=.4. 1)通解为0112233X k k k ξηηη=+++, 其中021(,,0,0,0)33T ξ=-，1(5,2,3,0,0)Tη=，2(1,0,0,1,0)Tη=-，3(1,2,0,0,3)Tη=-， 123,,k k k 为任意数.2）解向量的极大无关组是0010203,,,.ξξηξηξη+++5. 1）过渡矩阵111100010010010M ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦； 2）α在基I 下的坐标为(1,1,1,1)TX =，α在基II 下的坐标为(4,1,1,1)TX =---； 3）(1,1,1,1)Tk β=，k 为任意常数.6. 15,5a b ==, 3121322βαα=+；7. 因为1V 的零元素00000⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不在1V 中，所以1V 不是V 的子空间；而2V 是V 的子空间（主要验证运算封闭），2V 的基是2111010,,;dim 3.001001V -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6-10．证明略。

线性代数第一章习题答案.pdf

习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。

线性代数第一章作业及其答案

第一章行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是（）(A)D 的所有元素非零(B)D 至少有n 个元素非零(C)D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（）A．k≠-1B．k≠3C．k≠-1且k≠3D．k≠-1或≠33．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（）A.m -nB.n -mC.m +nD.–(m +n )4.设行列式==1111034222,1111304zy x zyx则行列式（）A.32B.1C.2D.385．下列行列式等于零的是（）A .100123123- B.031010300-C．100310-D．261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A．-2B．-1C．1D．27．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则k=（）A.-2B.-1C.1D.28．（考研题）行列式0000000ab a bc dc d=（）A.()2ad bc - B.()2ad bc -- C.2222a db c- D.2222b c a d-二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为。

2.行列式1112344916中位于（3，2）元素的代数余子式A 32=。

3.设1578111120963437D --=--，则1424445A A A ++=。

4．已知行列式212300111a=-，则数a =。

5．若a ,b 是实数，则当a =且b =时，有000101ab ba-=--。

6.设13124321322)(+--+-+=x x x x f ，则2x 的系数为。

7.五阶行列式000130003201830207530026=。

线性代数第一章典型习题

0
0 0 x an
(x ai )( x aj )
i 1 j 1
i n
j n
3. 行列式按某一行(列)展开(降阶法)：例 3：计算 n 阶行列式
2 2 3 D
1 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 n 1 2 2 2 2 2 n
2 2 1 1 3
3 2 2 1 1
4 1 4 2 5
5 1 5 27 2 0
求 A41+ A42+ A43 ;
A44+ A45
解：由条件得 A 41 + A42 + A43 +2( A44 + A45 ) 27
2( A 41 + A42 + A43 ) + A44 + A45 0 解得 A41+ A42+ A43= -9 , A44+ A45=18
以下用归纳法：
，结论成立；当 n=1 时， D1 假设对 k<n 的自然数成立，则
Dn ( ) Dn Dn 1 2
n n n 1 n 1 n 1 n 1 ( )
x a1 D a1 a1
x a i x a i D x a i
i 1 i 1 i n i 1 i n i n
a1 a2 x a2 a2 x a2
a3
an an an x
解：将各列加到第一列得
a1 x a2 a2 a3 a2 a2 x x an an an
7.加边法(升阶法)：例 7：证明
1 a1 1 Dn 1 1

线代第1章练习附答案

a4 b4 c4
1 d
的值。
d2 d4
111 1 1
abcd x 【分析】利用范作范德蒙行列式 D1 a 2 b2 c 2 d 2 x 2 ，则行
a3 b3 c3 d 3 x3 a4 b4 c4 d 4 x4
列式 D 就是行列式 D1 元素 x3 的余子式 M 45 ，即 D M 45
又 D1 (x a)(x b)(x c)(x d)(d a)(d b)(d c)(c a)(c b)(b a)
2341 2 3 4 1 2341
D
10
3412 3 4 1 2 3412
4123 4 1 2 3 4123
1 1 1 1 11 1 1
0 1 2 1 0 1 2 1
10
10
160
0 1 2 1 0 0 4 0
0 3 2 1 0 0 0 4
1 222
2 2 22
3．计算 2 2 3 2 的值。
3
111
111
A. 2
B.1
3
5．下列行列式等于零的是(
3 21
A . 3 2 1
003
B. 0 1 0
0 01
130
C.2
D. 8
3
D)
0 1 0
C． 3 0 0
001
3 1 6
D． 2 2 4
162
0 1 1 1
6．行列式 1 0 1 1
1 0
1 1
第二行第一列元素的代数余子式
A21=（
B）
1 1 1 0
2013 0 0
。
00 0 00 0 0 0 2015
【分析】方法一：此行列式刚好只有 n 个非零元素

2018考研真题专项训练---线性代数(1)-试题

2 0 0 2 1 0 1 0 0 【类似】已知矩阵 A 0 2 1 , B 0 2 0 , C 0 2 0 ，则（）。 0 0 1 0 0 1 0 0 2 (A).A 与 C 相似，B 与 C 相似; (B). A 与 C 相似，B 与 C 不相似 (C). A 与 C 不相似，B 与 C 相似; (D). A 与 C 不相似，B 与 C 不相似
1 a 1 2 0 0 【类似】矩阵 a b a 与 0 b 0 相似的充分必要条件为（） 1 a 1 0 0 0
a 0, b 2 （B）（A） a 2, b 0 （D） a 0, b为任意常数（C） a 2, b为任意常数
3 . 3
(B)
3. (C)
1 . 3
(D) )
3.
a b 2. 设 A = c d
b c d a d c ，则| A |=( ). d a b c b a
(B) (a b c d ) .
2 2 2 2 2
T
T
T = .
【类类似】设为 n 维单位列列向量， E 为 n 维单位矩矩阵，则（）。
(A A). E T 不可逆； (B). E T 不可逆 (C C). E 2 T 不可逆; (D). E 2 T 不可逆逆
二、选择（每题题 4 分） 1.设设矩阵 A ( aij ) 3 3 满足足 A A ，其中 A 是 A 的伴随矩阵阵， A 为 A 的转置矩阵阵. 若
* T * T
a11 , a12 , a13 为三三个相等的正正数，则 a11 为 ( )

线性代数复习第1-6章典型例题课件

100
线性代数复习第1-6章典型例题
2
注： (1)
( a 1 , a 2 , , a n ) T , ( b 1 , b 2 , , b n ) T
T是一个数 T， (T从 )T而 T
b1
Ta1,a2,,anb2a1b1a2b2anbn
bn a1
Tb1,b2,,bna2a1b1a2b2anbn
当 a1 时，方程组有唯一解。当 a1 时
1 1 1 1 0
1 1 1 1 0
A 0 0
1 1
2 2
2 2
1
r 0
b
0
1 0
2 0
2
1
0 b 1
3 2 1 1 1
0 0 0 0
0
当 b1 时，r ( A ) 2 ,r ( A ) 3 ,r ( A ) r ( A ) ，方程组无解。
当 b1 时，r(A )r(A)4 ，方程组有无穷多解。
A
s
其中 A i(i 1 ， 2 ，都是，方阵s),则称A为分块对角矩阵.
A ?
A A 1A 2 A s
A0? A 0 A i 0 ( i 1 ， 2 ，， s )
A1?
A1
A1
1
A 2 1 A
s
1
线性代数复习第1-6章典型例题
19
例1
3x1x1x22x22xa3 x33x74x4 01
线性代数复习第1-6章典型例题
22
1 1 1 1 0 1 0 1 11
A r0 1 2 21 r0 1 2 2 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
通解为
x1 k1 k2 1