指数与指数幂的运算PPT
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3.2指数以及指数的运算课件——高中数学北师大版必修第一册
（1） 5 = 20 （2） 4 = 25 （3） = 3 (, ∈ + )
（4） 3 = 9 (, ∈ + )
计算下列式子（加上79页A组第2题）
3
2
（1）4 （2）27
1
−3
3
（3）
1 −2
16
二、指数幂的运算性质
1、运算性质
∙ = + ，两个同底数幂相乘，底数不变，指数相加
2
+4
−2
∙
⑥ 2
1
−2 −3
2
③
1
2
−
−1
1
3
−
− 2
−1
∙ 4 −
典 例 剖 析
题型一 指数幂的混合运算
例1、求下列各式的值
（1） 2
2
3
3
5
0
+ 2−2 ×
1
−2
（2）8 × 100
×
1
1 −2
2
− 0.010.5
4
3
−3
−
1
16 4
×
4
81
例2、求下列各式的值
4
（1） 81 × 9
新 知 概 念
一、指数幂的拓展
1、正整数指数幂到实数指数幂
补充：正分数指数幂的概念：给定正数和正整数, ( > 1，且,
互素)，若
存在唯一的正数，使得 = ，则称为的 次幂，记作 = 。
新 知 概 念
一、指数幂的拓展
类别
正整数指数幂
零指数幂
负整数指数幂
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ ⋯ = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4
（4） 3 = 9 (, ∈ + )
计算下列式子（加上79页A组第2题）
3
2
（1）4 （2）27
1
−3
3
（3）
1 −2
16
二、指数幂的运算性质
1、运算性质
∙ = + ，两个同底数幂相乘，底数不变，指数相加
2
+4
−2
∙
⑥ 2
1
−2 −3
2
③
1
2
−
−1
1
3
−
− 2
−1
∙ 4 −
典 例 剖 析
题型一 指数幂的混合运算
例1、求下列各式的值
（1） 2
2
3
3
5
0
+ 2−2 ×
1
−2
（2）8 × 100
×
1
1 −2
2
− 0.010.5
4
3
−3
−
1
16 4
×
4
81
例2、求下列各式的值
4
（1） 81 × 9
新 知 概 念
一、指数幂的拓展
1、正整数指数幂到实数指数幂
补充：正分数指数幂的概念：给定正数和正整数, ( > 1，且,
互素)，若
存在唯一的正数，使得 = ，则称为的 次幂，记作 = 。
新 知 概 念
一、指数幂的拓展
类别
正整数指数幂
零指数幂
负整数指数幂
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ ⋯ = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4
高一数学《指数与指数幂的运算》课件
r r
(4)ar ÷ as = ars (a > 0, r, s ∈Q).
湖南长郡卫星远程学校 制作06 2009年下学期
知识点3 知识点3：无理指数幂的概念 一般地，无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无 是无 理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的 理数 是一个确定的实数， 是一个确定的实数 运算性质同样适用于无理数指数幂的运算。 运算性质同样适用于无理数指数幂的运算。 其意义是用有理数指数幂的不足近似值与 过剩近似值无限的逼近以确定大小。 过剩近似值无限的逼近以确定大小。
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m n
1
知识点2 知识点2：分数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质对于分数指数 幂也同样使适用。 幂也同样使适用。
(1)a a = a
r s r s
r +s rs r
(a > 0, r, s ∈Q);
(2)(a ) = a (a > 0, r, s ∈Q); (3)(ab) = a b (a > 0, b > 0, r ∈Q);
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[书本例题] 书本例题]
[例2] 求值： 求值：
1 5 16 8 ； ； ) ;( ) . 25 ( 2 81
2 3 1 2 3 4
湖南长郡卫星远程学校
制作06
2009年下学期
[例3] 用分数指数幂的形式表示
下列各式(其中 下列各式 其中a>0)： 其中 ：
指数与指数幂的运算
湖南长郡卫星远程学校
制作06
2009年下学期
[基础知识] 基础知识]
知识点1 知识点1：分数指数幂的概念 (1)正数的正分数指数幂：a = n am 正数的正分数指数幂： 正数的正分数指数幂
(4)ar ÷ as = ars (a > 0, r, s ∈Q).
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知识点3 知识点3：无理指数幂的概念 一般地，无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无 是无 理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的 理数 是一个确定的实数， 是一个确定的实数 运算性质同样适用于无理数指数幂的运算。 运算性质同样适用于无理数指数幂的运算。 其意义是用有理数指数幂的不足近似值与 过剩近似值无限的逼近以确定大小。 过剩近似值无限的逼近以确定大小。
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m n
1
知识点2 知识点2：分数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质对于分数指数 幂也同样使适用。 幂也同样使适用。
(1)a a = a
r s r s
r +s rs r
(a > 0, r, s ∈Q);
(2)(a ) = a (a > 0, r, s ∈Q); (3)(ab) = a b (a > 0, b > 0, r ∈Q);
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[书本例题] 书本例题]
[例2] 求值： 求值：
1 5 16 8 ； ； ) ;( ) . 25 ( 2 81
2 3 1 2 3 4
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[例3] 用分数指数幂的形式表示
下列各式(其中 下列各式 其中a>0)： 其中 ：
指数与指数幂的运算
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[基础知识] 基础知识]
知识点1 知识点1：分数指数幂的概念 (1)正数的正分数指数幂：a = n am 正数的正分数指数幂： 正数的正分数指数幂
《幂的运算复习》课件
基础练习题
1. 计算
2^3 + 3^2
3. 计算
a^m × a^n
总结词
考察幂的运算基本概念和简单 计算
2. 计算
(a^2)^3 × a^4
4. 计算
(x^2)^3
进阶练习题
1. 计算
(a + b)^2
3. 计算
(a × b)^n
总结词
考察幂的运算规则 和复杂计算
2. 计算
(a - b)^3
4. 计算
总结词 理解幂的乘方运算在解决实际问 题中的应用。
开方运算
总结词
详细描述
总结词
详细描述
掌握幂的开方运算规则，理解 开方的意义和性质。
幂的开方运算规则是"底数开方 ，指数减半"。即，√a^m = a^(m/2)。例如，√2^3 = 2^(3/2)。
理解幂的开方运算在解决实际 问题中的应用。
在解决实际问题时，有时需要 求一个数的平方根，这时就可 以使用幂的开方运算。此外， 在计算一些几何量时，也可以 使用幂的开方运算来简化计算 过程。
忽略幂的运算优先级
总结词
在进行幂的运算时，学生容易忽略运 算的优先级，导致计算结果错误。
详细描述
在数学运算中，幂运算具有优先级， 应该先进行幂运算，然后再进行加减 乘除等其他运算。学生常常忽略这一 点，例如将"a+b*c^2"误写为 "a+(b*c)^2"，导致计算结果错误。
错误应用幂的性质
总结词
在金融领域，幂的运算用 于构建各种金融模型，如 股票价格模型、利率模型 等。
人口统计
在人口统计学中，幂的运 算用于预测人口增长和分 布。
指数与指数幂的运算课件
根式
根式的简单性质:
思考1： (n a )n a成立吗?请举例说明. 如 : (3 8 )3 8, (5 2 )5 2, (4 8)4 8, 1) 当n 1, n N *时，总有 (n a )n a.
思考2： n an a成立吗?请举例说明.
如: 3 83 8, 3 (2)3 2, 4 84 8, 而6 (2)6 2, 应有：6 (2)6 2 2
bn
an bn
观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
3
312
3
(34 )3
34
12
33;
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 ;
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
a的n次(奇次)方根用符号 n a 表示.
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81
26=64 (-2)6=64
49的2次方根是7，-7.
记作： 49 7
81的4次方根是3，-3. 记作： 4 81 3
64的6次方根是2，-2. 记作： 6 64 2.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 偶次方根
23=8
8的3次方根是2. 记作：3 8 2.
(-2)3=-8
-8的3次方根是-2. 记作：3 8 2.
(-2)5=-32 27=128
-32的5次方根是-2.记作：5 32 2. 128的7次方根是2. 记作：7 128 2.
1.正数的奇次方根是一个正数, 奇次方根
2.负数的奇次方根是一个负数.
指数与指数幂的运算 .ppt
即 如果一个数的n次方等于a(n>1，且n∈N*)，那么这 个数叫做a的n次方根. 二.根式的概念 式子n a叫做根式，这里的n叫做根指数，a叫做被开方 数
三.n次方根的性质
例1:试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.
8的3次方根是__2_. -8的3次方根是_-_2__. -32的5次方根是_-_2_.
A.a16 B. a8 C. a4 D. a2
C 2.2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于(
)
A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1)
D.2
3x y
3.若10x=2，10y=3，则 10 2
26
3
。
81的4次方根是__±_3__. 记作： 4 81 3 64的6次方根是_±__2__. 记作： 6 64 2.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 偶次方根 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
知识小结
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零.
(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
5 43
3
45;
5
3 75 73;
2
3 a2 a 3;
9
7 a9 a7 .
类比
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式可以写成分数指数幂的形式.
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
3
5 43 45;
5
3 75 73;
3
43的5次方根是 45 ;
(2)(m
1 4
n
三.n次方根的性质
例1:试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.
8的3次方根是__2_. -8的3次方根是_-_2__. -32的5次方根是_-_2_.
A.a16 B. a8 C. a4 D. a2
C 2.2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于(
)
A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1)
D.2
3x y
3.若10x=2，10y=3，则 10 2
26
3
。
81的4次方根是__±_3__. 记作： 4 81 3 64的6次方根是_±__2__. 记作： 6 64 2.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 偶次方根 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
知识小结
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零.
(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
5 43
3
45;
5
3 75 73;
2
3 a2 a 3;
9
7 a9 a7 .
类比
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式可以写成分数指数幂的形式.
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
3
5 43 45;
5
3 75 73;
3
43的5次方根是 45 ;
(2)(m
1 4
n
高中数学人教A版必修1《指数与指数幂的运算——根式与分数指数幂的互化》PPT
怎样表示呢?
我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物死亡了5 730, 5 730×2, 5 730×3,…年后, 它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
1 , (1)2, (1)3, .
22
2
(2)由以上的实例来推断关系式是
P
(1)5
t 730
.
2
考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年后,体
内碳14的含量P的值.
m
a n
1
m
(a 0, m, n N*,且n 1)
an
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
课本59页 习题2.1 A 组 第1题
下列根式能写成分数指数幂的形式吗？
2
3 a2 a 3 （a>0）
1
b b2Байду номын сангаас
5
4 c5 c 4
(b>0) (c>0)
根式的被开方数 的指数不能被根 指数整除
探究点1 正数的分数指数幂是不是都可以用根式来表示呢？
我们规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
. (1) 5 25 2 ， 3 (2)3 2
结论:an开奇次方根,则有 n an a.
. (2) 32 3 ， (3)2 3
(3)2 3
. (3) 4 24 2 ， 4 (2)4 2
4 (2)4 2
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
归纳总结: 根式的运算性质 ⑴当n为任意正整数时，( )n=a. ⑵当n为奇数时， =a；
是一个负数；0的奇次方根是0. 2.正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数
我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物死亡了5 730, 5 730×2, 5 730×3,…年后, 它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
1 , (1)2, (1)3, .
22
2
(2)由以上的实例来推断关系式是
P
(1)5
t 730
.
2
考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年后,体
内碳14的含量P的值.
m
a n
1
m
(a 0, m, n N*,且n 1)
an
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
课本59页 习题2.1 A 组 第1题
下列根式能写成分数指数幂的形式吗？
2
3 a2 a 3 （a>0）
1
b b2Байду номын сангаас
5
4 c5 c 4
(b>0) (c>0)
根式的被开方数 的指数不能被根 指数整除
探究点1 正数的分数指数幂是不是都可以用根式来表示呢？
我们规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
. (1) 5 25 2 ， 3 (2)3 2
结论:an开奇次方根,则有 n an a.
. (2) 32 3 ， (3)2 3
(3)2 3
. (3) 4 24 2 ， 4 (2)4 2
4 (2)4 2
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
归纳总结: 根式的运算性质 ⑴当n为任意正整数时，( )n=a. ⑵当n为奇数时， =a；
是一个负数；0的奇次方根是0. 2.正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数
《实数指数幂》课件
定义，以及实数指数幂的运算性质。
幂的运算法则
02
包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方以及积的乘方等运算法
则。
无穷大与无穷小的概念
03
理解无穷大和无穷小的概念，掌握其在实数指数幂中的应用。
常见错误解析
混淆不同底数指数幂的运算
01
例如，将a^m * a^n误算为a^(m+n)，而不是正确
的a^(mn)。
实数指数幂的引入
实数指数幂的定义
实数指数幂表示一个数与一个实数的乘方。例如，$a^{m/n}$ 表示 $a$ 的 $m$ 次方再 开 $n$ 次方根。
实数指数幂的引入背景
实数指数幂的引入是为了解决一些数学问题，特别是在处理连续函数和积分时，实数指数 幂提供了更灵活和实用的工具。
实数指数幂的性质
实数指数幂具有一些重要性质，如 $a^{mn} = (a^m)^n$，$a^{m/n} = sqrt[n]{a^m}$ ，以及 $(ab)^n = a^n times b^n$。这些性质在数学和物理中有广泛的应用。
《实数指数幂》ppt课件
目录
• 引言 • 实数指数幂的性质 • 实数指数幂的运算 • 实数指数幂的性质与运算的应用 • 总结与回顾
01
引言
幂的定义与性质
幂的定义
幂是乘方运算的结果，表示一个 数连续与一个相同的数相乘的次 数。例如，$a^m$ 表示 $a$ 连 续乘以自身 $m$ 次。
幂的性质
幂具有一些基本性质，如 $a^{m+n} = a^m times a^n$ ，$(a^m)^n = a^{mn}$，以及 $a^{-m} = frac{1}{a^m}$。
，从而更好地理解和求解问题。
指数及指数幂的运算经典课件
例2、利用分数指数幂的运算法则计算下列各式：
01
解：
02
=100
=16
例3 化简(a>0,x>0,rQ):
01
思考1:我们知道 ＝1．414 21356…,
02
那么 的大小如何确定？
探究:无理数指数幂的意义
的过剩近似值
的过剩近似值
1.5
11.180 339 89
1.42
9.829 635 328
1.415
9.750 851 808
1.414 3
9.739 872 62
1.414 22
9.738 618 643
1.414 214
9.738 524 602
1.414 213 6
9.738 518 332
1.414 213 57
9.738 517 862
1.414 213 563
4.若x5=a， 则 x 叫做 a 的 次方根
5.若xn=a， 则 x 叫做 a 的n次方根
四
五
定义1:
①当n为奇数时, a的n次方根只有1个,用 表示
②当n为偶数时,
若a=0,则0的n次方根有1个,是0
若a<0,则a的n次方根不存在
若a>0,则a的n次方根有2个,
.
,
1
,
,
*
N
(2) (3) (4)
练习: 求下列各式的值:
知识点小结：
1、两个定义
2、两个公式：
①
当n为奇数时,
当n为偶数时,
②
定义1:
.
,
1
,
,
*
N
n
n
课件17：2.1.1 指数与指数幂的运算
1
－2 －2
－ －
解：原式＝(2 ) ＋(6 2) 3＋(32＋22)2－4×8×62
3
1
1
1
1
1
＝24＋62＋5＋2×62－3×62＝21.
1
归纳升华
1．基本原则：式子里既有分数指数幂又有根式时，一般把根式统一
化为分数指数幂的形式，再用有理指数幂的运算性质化简．
2．常规方法：(1)化负指数幂为正指数幂；(2)化根式为分数指数幂；
根式与分数指数幂的互化
3
－
[典例 2] (1)将分数指数幂 a 4(a>0)化为根式为________．
3
1
1
1
－
答案：(1) 4
解析：(1)a 4＝ 3＝4 .
a4
a3
a3
5
(2)化简：a2· a3÷
5
10
a·
10
9＝________(用分数指数幂表示)．
a
3
1
9
13
7
13 7
6
解析： (a2· a3)÷( a· a9)＝(a2·a5)÷(a2·a10)＝a 5 ÷a5＝a 5 －5＝a5.
6
答案： (2)a5
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化
3
①a3· a2. ②
－4
3
a b2 ab2(a>0，b>0)．
2
3
11
2
解：①a3· a2＝a3·a3＝a3＋3＝a 3 .
D．负数没有 n 次方根
解析：对于A，正数的偶次方根中有负数，所以A错误；对于B，
负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，所以B错误；对于
－2 －2
－ －
解：原式＝(2 ) ＋(6 2) 3＋(32＋22)2－4×8×62
3
1
1
1
1
1
＝24＋62＋5＋2×62－3×62＝21.
1
归纳升华
1．基本原则：式子里既有分数指数幂又有根式时，一般把根式统一
化为分数指数幂的形式，再用有理指数幂的运算性质化简．
2．常规方法：(1)化负指数幂为正指数幂；(2)化根式为分数指数幂；
根式与分数指数幂的互化
3
－
[典例 2] (1)将分数指数幂 a 4(a>0)化为根式为________．
3
1
1
1
－
答案：(1) 4
解析：(1)a 4＝ 3＝4 .
a4
a3
a3
5
(2)化简：a2· a3÷
5
10
a·
10
9＝________(用分数指数幂表示)．
a
3
1
9
13
7
13 7
6
解析： (a2· a3)÷( a· a9)＝(a2·a5)÷(a2·a10)＝a 5 ÷a5＝a 5 －5＝a5.
6
答案： (2)a5
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化
3
①a3· a2. ②
－4
3
a b2 ab2(a>0，b>0)．
2
3
11
2
解：①a3· a2＝a3·a3＝a3＋3＝a 3 .
D．负数没有 n 次方根
解析：对于A，正数的偶次方根中有负数，所以A错误；对于B，
负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，所以B错误；对于
2.1.1指数与指数幂的运算(一)课件
n n n n
9 ( 3 8)3 ____. -8 ( 9) ____, n n ( a) a
2
(1)
5
25 2,
3
（ 2 3 2. ）
(2) 32 3,
(3)2 3,
(3)2 3.
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4 2 4 2. （ ）
x 2 x 2 ( x 2) x 2. x 2 0, 则有 x 2 0, 或 | x 2 | x 2. x 2, x 2, 或 即 x 2, 或x ≥ 2. x 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x 2, 或x ≥ 2.
§2.1.1指数与指数幂的运算
回顾初中知识,什么是平方根？立方根？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
的平方根. 例：22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 2叫8的立方根. 例：23=8 (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
§2.1.1指数与指数幂的运算
3.三个公式 (1) an Nhomakorabean
a;
(2) n a n a;
(3) a | a | .
n n
4.若xn=a , x怎样用a表示？
n a, n为奇数, n a , n为偶数, a 0, x a 0, 0, 不存在, n为偶数, a 0.
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 3 2. ）
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.填空: (1)在 6 ( 2)2 n , 5 a 4 , 3 a 4 , 4 ( 3)2 n1
9 ( 3 8)3 ____. -8 ( 9) ____, n n ( a) a
2
(1)
5
25 2,
3
（ 2 3 2. ）
(2) 32 3,
(3)2 3,
(3)2 3.
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4 2 4 2. （ ）
x 2 x 2 ( x 2) x 2. x 2 0, 则有 x 2 0, 或 | x 2 | x 2. x 2, x 2, 或 即 x 2, 或x ≥ 2. x 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x 2, 或x ≥ 2.
§2.1.1指数与指数幂的运算
回顾初中知识,什么是平方根？立方根？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
的平方根. 例：22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 2叫8的立方根. 例：23=8 (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
§2.1.1指数与指数幂的运算
3.三个公式 (1) an Nhomakorabean
a;
(2) n a n a;
(3) a | a | .
n n
4.若xn=a , x怎样用a表示？
n a, n为奇数, n a , n为偶数, a 0, x a 0, 0, 不存在, n为偶数, a 0.
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 3 2. ）
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.填空: (1)在 6 ( 2)2 n , 5 a 4 , 3 a 4 , 4 ( 3)2 n1
指数与指数幂的运算课件
其中 a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数
n
例1、求下列各式的值：
（） 1
5
3
2
3
（2）（ 2）
3 3
（3） （ 2）
（4） （ 3）
2
想一想：
（1）
（2）
a 的含义是什么？结果呢？
n n
n
a 的含义是什么？结果呢？
n
四、根式的运算性质：
(1) ( a )
例2、求下列各式的值：
8 2 (2). 10 4 4 (3). 3 2 (4). a b (a b)
(1).
3 3
【练习】化简下列各式： （1） 81 ； （2） ( 2) ； （3） 32 ；
6
6 2
15
练 一 练
（4） x ； （5） a b ；
4
8
6
2 4
【练习】化简下列各式： （1） 4 81 ； （2） 3 64 ； （3） 5 32 ； （ 4） （ 7）
3 ；
4 4
6
（5）
5
6 ； （6）
5
5
Байду номын сангаас
2
5
；
4
6
；
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
§2.1.1 指数与指数幂的运算(1)
• 平方根、立方根的概念
一、n次方根的定义:
若x a(n 1, 且n N ),
n
则x叫a的n次方根.
二、n次方根的个数？
三、n次方根的表示：
n a , n 2k 1 x n kN a , n 2k
n
例1、求下列各式的值：
（） 1
5
3
2
3
（2）（ 2）
3 3
（3） （ 2）
（4） （ 3）
2
想一想：
（1）
（2）
a 的含义是什么？结果呢？
n n
n
a 的含义是什么？结果呢？
n
四、根式的运算性质：
(1) ( a )
例2、求下列各式的值：
8 2 (2). 10 4 4 (3). 3 2 (4). a b (a b)
(1).
3 3
【练习】化简下列各式： （1） 81 ； （2） ( 2) ； （3） 32 ；
6
6 2
15
练 一 练
（4） x ； （5） a b ；
4
8
6
2 4
【练习】化简下列各式： （1） 4 81 ； （2） 3 64 ； （3） 5 32 ； （ 4） （ 7）
3 ；
4 4
6
（5）
5
6 ； （6）
5
5
Байду номын сангаас
2
5
；
4
6
；
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
§2.1.1 指数与指数幂的运算(1)
• 平方根、立方根的概念
一、n次方根的定义:
若x a(n 1, 且n N ),
n
则x叫a的n次方根.
二、n次方根的个数？
三、n次方根的表示：
n a , n 2k 1 x n kN a , n 2k
课件10：2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式与指数幂
[问题提出]
1.根式的概念是什么？根式有什么性质？ 2.分数指数幂是如何定义的？它与根式如何进行转化？
[基础自学]
1．根式的定义
(1)a的n次方根的定义 如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
例1 求下列各式的值：
3 (1)
－53；(2)
－102；
4 (3)
3－π4；(4)
1
＋
1
.
3 2＋ 53 3 2－ 53
[典例示法]
要分母有理化？
根式中n的奇偶对结果有怎样的影响？a的符号对结果有怎样的影响？题目(4)的结果需
提示：当n是奇数时，a的n次方根＝ n a .当n是偶数时，a的n次方根＝±n a ，当a≥0时，a的n次方根 n a ≥0，当a<0时，a只能开奇数方根且n a<0.题目(4)的化简结果必须分母有理化．
2 6
＝|y|
1 3
＝－y
1 3
，D不正确．
[规律小结]
n 1.
an与(n
a)n
两式子的含义
n (1)
an是实数
an
的
n
次方根，是一个恒有意义的式子，不受
n
的奇偶限制，a∈R，但此式的值受
n
的
奇偶限制：当 n 为大于 1 的奇数时，n an＝a；当 n 为大于 1 的偶数时，n an＝|a|.
(2)(n a)n 是实数n a的 n 次幂，当 n 为大于 1 的奇数时，(n a)n＝a，a∈R；当 n 为大于 1 的偶数时，(n a)n
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式与指数幂
[问题提出]
1.根式的概念是什么？根式有什么性质？ 2.分数指数幂是如何定义的？它与根式如何进行转化？
[基础自学]
1．根式的定义
(1)a的n次方根的定义 如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
例1 求下列各式的值：
3 (1)
－53；(2)
－102；
4 (3)
3－π4；(4)
1
＋
1
.
3 2＋ 53 3 2－ 53
[典例示法]
要分母有理化？
根式中n的奇偶对结果有怎样的影响？a的符号对结果有怎样的影响？题目(4)的结果需
提示：当n是奇数时，a的n次方根＝ n a .当n是偶数时，a的n次方根＝±n a ，当a≥0时，a的n次方根 n a ≥0，当a<0时，a只能开奇数方根且n a<0.题目(4)的化简结果必须分母有理化．
2 6
＝|y|
1 3
＝－y
1 3
，D不正确．
[规律小结]
n 1.
an与(n
a)n
两式子的含义
n (1)
an是实数
an
的
n
次方根，是一个恒有意义的式子，不受
n
的奇偶限制，a∈R，但此式的值受
n
的
奇偶限制：当 n 为大于 1 的奇数时，n an＝a；当 n 为大于 1 的偶数时，n an＝|a|.
(2)(n a)n 是实数n a的 n 次幂，当 n 为大于 1 的奇数时，(n a)n＝a，a∈R；当 n 为大于 1 的偶数时，(n a)n
指数与指数幂的运算课件
分数 1
指数 幂
负分数指 数幂
m
规定：a－n
＝
1m＝_n__a_m__(a>0，m，n∈N*，且n>1)
an
性质 0的正分数指数幂等于__0_,0的负分数指数幂_无__意__义_
2.有理数指数幂的运算性质
( 1 ) a r a s ＝ _ _ _ _ _ _a_r＋_s_ _ ；
( 2 ) ( a r ) s ＝_ _ _ _ _a_rs； ( 3 ) ( a b ) r ＝ _ _ _ _ _a_rb_r_ _ _ .
3．无理数指数幂
无理数
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_________．有理
数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
(1)分数指数幂的理解及应用
m
①a n
是根式的一种书写形式，不可理解为mn 个a相乘，一
定要与an的意义分开．
②分数指数幂实现了根式与分数指数幂的相互转化，其规
律为：
(1)解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式性质进行化简．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨 论．
根式与分数指数幂的互化
(1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
1
A．－ x＝(－x)2 (x>0)
6 B.
根式的性质
(1)设－3<x<3，则 x2－6x＋9 ＋ x2＋6x＋9 ＝ ________.
(2)化简( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3＝________.
[思路探究]
n 1.
an的值是什么？
2．化简 a的关键点是什么？