人教B版(2019)数学必修(第四册)：11.1.4 棱锥与棱台 教案

棱锥和棱台

【教学目标】

借助棱锥、棱台结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。

【教学重难点】

1．棱锥、棱台的定义和结构特征。（重点）

2．棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系。（难点）

【教学过程】

一、复习导入

思考1：长方体、正方体是多面体吗？

[提示]是。长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义。

思考2：最简单的多面体由几个面所围成？

[提示]四个。

二、合作探究

1．棱锥、棱台的概念

【例】下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________。

（1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

（2）棱台的侧面一定不会是平行四边形；

（3）棱锥的侧面只能是三角形；

（4）棱台的各侧棱延长后必交于一点；

（5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。

（2）（3）（4）[（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；

（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；

（4）正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；

（5）错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥。]

【教师小结】判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等。

2．几何体的计算问题

[探究问题]

（1）计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？

[提示]常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，①由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形。

（2）其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？

[提示]是。

（3）正棱台中的计算呢？

[提示]根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解。

【例】正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为23，求正三棱锥的高。

[思路探究]正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解。

[解]作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD①AB于点D，则点D为AB的中点。

在Rt①ADO中，AD＝3 2，

①OAD＝30°，

故AO＝

3

2

cos①OAD＝3。

在Rt①SAO中，SA＝23，AO＝3，

故SO＝SA2－AO2＝3，其高为3．

【母题探究】

1．将本例中“侧棱长为23”，改为“斜高为23”，则结论如何？

[解]在Rt①SDO中，SD＝23，DO＝1

2AO＝

3

2，故SO＝SD

2－DO2＝

12－3

4＝

35

2。

2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？

[解]如图正四棱锥S­ABCD中，SO为高，连接OC．则①SOC是直角三角

形，由题意BC＝3，则OC＝32

2，又因为SC＝23，则SO＝SC

2－OC2＝12－

9

2

＝15 2

＝

30

2。

故其高为

30

2。

【教师小结】

（一）正棱锥中的直角三角形的应用

已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE①CD于E，则PE为斜高。

(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt①PEC．

(2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt①POE。

(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt①POC．

（二）正棱台中的直角梯形的应用

已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1①B1C1于E1，OE①BC于E，则E1E为斜高，

(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1．

(2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO。

(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1．

三、课堂总结

1．棱锥的结构特征。

些面围成的多面体

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，

四、课堂检测

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥。()（2）棱台的侧棱长都相等。()（3）棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形。()（4）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形。() [答案]（1）√（2）×（3）×（4）×

2．下列几何体中是棱柱的个数有()

A．5个B．4个C．3个D．2个

D[由棱柱的定义知①①是棱柱，选D．]

3．画一个三棱台，再把它分成：

（1）一个三棱柱和另一个多面体；

（2）三个三棱锥，并用字母表示。

[解]画三棱台一定要利用三棱锥。

①①

（1）如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″，另一个多面体是C′B′BCC″B″。（2）如图①所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，B′­A′BC，C′­A′B′C．