二次函数与幂函数典型例题

二次函数与幂函数【2015年高考会这样考】 1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．基础梳理1．二次函数的基本知识(1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R .(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－b 2a ，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a . ①当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上递增，当x ＝－b2a 时，f (x )min ＝4ac －b 24a ；②当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上递减，当x ＝－b2a 时，f (x )max ＝4ac －b 24a .③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当Δ＝b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |. (3)二次函数的解析式的三种形式： ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋h (a ≠0)； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．(1)幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)幂函数的图象(3)幂函数的性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域 RR R [0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}续表值域R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性奇 偶 奇非奇非偶奇 单调性 增 x ∈[0，＋∞)时，增，x ∈(－∞，0]时，减增 增 x ∈(0，＋∞)时，减，x ∈(－∞，0)时，减定点 (0,0)，(1,1)(1,1)一条主线二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．二次函数y ＝f (x )对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内x 1，x 2，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22；(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数)． 两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax 2＋bx ＋c ＞0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a ＞0，b 2－4ac ＜0；(2)ax 2＋bx ＋c ＜0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是( )． A ．y ＝2x 2B ．y ＝1x 2 C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝－1x解析 A ，C ，D 均不符合幂函数的定义． 答案 B2．(2011·九江模拟)已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是( )． A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25D ．f (1)＞25解析 对称轴x ＝m8≤－2，∴m ≤－16， ∴f (1)＝9－m ≥25. 答案 A3．(2011·福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 依题意判别式Δ＝m 2－4＞0，解得m ＞2或m ＜－2. 答案 C4．(2011·陕西)函数 的图象是( )．解析 由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A ，D ；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C. 答案 B5．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )(x ∈R )且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________.解析 由f (3＋x )＝f (3－x )，知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，应有x 1＋x 22＝3⇒x 1＋x 2＝6. 答案 6考向一 求二次函数的解析式【例1】►已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．求f (x )与g (x )的解析式．[审题视点] 采用待定系数法求f (x )，再由f (x )与g (x )的图象关于原点对称，求g (x )． 解 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋n ＝3，－m2＝－1，解得：⎩⎨⎧m ＝2，n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x .设函数y ＝f (x )图象上的任意一点A (x 0，y 0)，该点关于原点的对称点为B (x ，y )，则x 0＝－x ，y 0＝－y .∵点A (x 0，y 0)在函数y ＝f (x )的图象上，∴y 0＝x 20＋2x 0，∴－y ＝x 2－2x ，∴y ＝－x 2＋2x ，即g (x )＝－x 2＋2x .二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．【训练1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8.试确定此二次函数的解析式． 解 法一 利用二次函数的一般式． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解之得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 利用二次函数的顶点式． 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)， ∵f (2)＝f (－1)．∴此二次函数的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意，函数有最大值8，即n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解之得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.考向二 幂函数的图象和性质【例2】►幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3B ．0C ．1D ．2[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解析 由m 2－2m －3＜0，得－1＜m ＜3， 又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2. ∵m 2－2m －3为偶数， 经验证m ＝1符合题意． 答案 C根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．【训练2】 已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.解析 由题意，设y ＝f (x )＝x α，，则2＝(2)α，得α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则12＝(－2)β，得β＝－2，由f (x )＝g (x )，即x 2＝x －2，解得x ＝±1. 答案 ±1考向三 二次函数的图象与性质【例3】►已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，求f (x )在区间[0,2]上的最值． [审题视点] 先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论． 解 函数f (x )＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2的对称轴是直线x ＝a ， (1)若a ＜0，f (x )在区间[0,2]上单调递增， 当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝1； 当x ＝2时，f (x )max ＝f (2)＝5－4a ； (2)若0≤a ＜1，则当x ＝a 时，f (x )min ＝f (a )＝1－a 2； 当x ＝2时，f (x )max ＝f (2)＝5－4a ； (3)若1≤a ＜2，则当x ＝a 时，f (x )min ＝f (a )＝1－a 2； 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝1；(4)若a ≥2，则f (x )在区间[0,2]上单调递减， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝1； 当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝5－4a.解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)的形式，得顶点(m ，n )或对称轴方程x ＝m ，分三个类型： ①顶点固定，区间固定； ②顶点含参数，区间固定； ③顶点固定，区间变动．【训练3】 已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a ＜b )，m ，n 是f (x )的零点，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 从小到大的顺序是________．解析 由于f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a ＜b )的图象是开口向下的抛物线，因为f (a )＝f (b )＝1＞0，f (m )＝f (n )＝0，可得a ∈(m ，n )，b ∈(m ，n )，所以m ＜a ＜b ＜n . 答案 m ＜a ＜b ＜n考向四 有关二次函数的综合问题【例4】►设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，求实数a 的取值范围．[审题视点] 通过讨论开口方向和对称轴位置求解． 解 当a ＞0时，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＋2－1a . ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，f (1)＝a －2＋2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧1＜1a ＜4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2－1a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥4，f (4)＝16a －8＋2≥0，∴⎩⎨⎧a ≥1，a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ 14＜a ＜1，a ＞12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤14，a ≥38.∴a ≥1或12＜a ＜1或∅，即a ＞12；当a ＜0时，⎩⎨⎧f (1)＝a －2＋2≥0，f (4)＝16a －8＋2≥0，解得a ∈∅；当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，f (1)＝0，f (4)＝－6， ∴不合题意．综上可得，实数a 的取值范围是a ＞12.含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力．【训练4】 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0， ∴⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0.∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数，∴k －22≤－2，或k －22≥2，解得k ≤－2，或k ≥6. 所以k 的取值范围为k ≤－2，或k ≥6.规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决方案】 对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．求二次函数f (x )的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范] ∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .(1分)①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2. 令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1＜2(舍去)；(4分) ②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，x ＝a2时， f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；(7分) ③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减， ∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2， 令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分) 综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5. ∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论． 【试一试】 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )． [尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1.。