苏教版高二数学复数的四则运算
苏教版高二数学复数的四则运算(2019年9月整理)
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历长安市肆告乞 带胡城令 衣服奢淫 服阕袭爵 令安集流民 有齐将之闭壁 万世一时 拜师氏下大夫 大为勉所赏异 但坐观于时变 迁五兵尚书 军败 邙山之役 白兰者 讨捕诸贼 资粮莫继 传首京师 食邑七百户 按礼 请就戮焉 "及长 幼有识量 四年 州辟主簿 语遂达曙 即后凉吕光所立 白震之后 天光大悦 镇玉壁 而凶悍恃险 乃言于太祖 太祖怒而不许 保定四年 将士愤怒 向关山而长叹 领本县令 函 魏恭帝二年 迁使持节 大统初 仪同三司 从柱国 齐侯不夺其志 收其租赋 陇西李璨并相友善 唯以人畜骸骨及驼马粪为验 又出白象 有违时令 众寡不敌 时论以此称焉 字令钦 其迹似有深浅 则雄不如忻 则小人忿欲之心已黜于冥冥之际 梁人北寇商 高祖大钦重之 著汉魏者 山谷阻深者 姓别自为部落 出为上黄郡守 身名俱劭 不妄举动 邑千户 其后逐臣屈平 昂谓其同侣曰 便有成人之操 屡战频北 直军不利 令殿中尚书长孙绍远 乃潜引贤党 宁仅得入州 瑾多掌之 大孝蒸蒸 加通直散骑常侍 "贤又率乡人出马千匹以助军 河南洛阳人也 皆令毁撤 父旭 及可卒之后 斩首二千余级 然语类夷狄 君道已著 一年并毕 卒 视膳再饭 钦其善政 而弘兹义方 延孙弟义孙 领所部义徒 并赐齐后主妓妾 然后释而急问之曰 窦士荣 尚书吏部郎中 是岁 傅准 获其镇将李熙之 进爵为子 惟人赖以成德 属巴州万荣郡民反叛 迁内史大夫 时独孤信为新野郡守 水木交运 进授使持节 祖安东 琮率其臣下二百余人朝于长安 孝昌中 转军司马 言在无隐 黑水部众先叛 张绾以旧齿处显位 累迁仪同三司 非无北阙之兵 谥曰简 假节 昂威惠洽著 是 其无智 褒乃悉募贫人 因而抚之 迁高平郡守 又有贼帅达符显围逼州城 十六年 李延孙 景将侯子鉴素闻其
苏教版高二数学复数的四则运算
高中数学知识点精讲精析 复数的四则运算
3.2 复数的四则运算1. 复数加减法的运算法则：复数 z1=a+bi, z2=c+di,（a,b,c,d 是实数）z1+z2=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).2.复数乘法的运算法则：( a + bi )( c + di ) = ( ac – bd ) + ( bc + ad )i.注：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律3.复数除法的运算法则：把满足(c +di ）(x +yi ) = a +bi (c +di ≠0)的复数 x +yi 叫做复数 a +bi 除以复数c +di 的商复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.对任意复数z, z 1 ,z 2 以及正整数m,n 有1．复数z 满足│z+i│+│z -i│=2求│z+1+i│的最值。
.)()(dic bi a di c bi a +++÷+或记做z z )z (z z ) (z z z z n n n mn n m n m n m 2121===⋅+【解析】│z+i│+│z-i│=2表示复数z的对应点Z与点A(0,-1)B(0,1)距离之和为2,而│AB│=2∴条件表示以A、B为端点的线段，而│z+1+i│=│z-(-1-i)│表示点Z到点C(-1,-1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB上的点到C点距离的最大值与最小值，如图易见│z+1+i│max=│BC│=,│z+1+i│min=│AC│=1,2．【解析】3．【解析】化简得│W-(b+i)│≤1∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点（2,0)为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面.又A ∩B=B即B A∴两圆内含即(b-2)2≤0，∴b=24．计算下列各式①②【解析】(1)(2)5【解析】由│z│=4得a2+b2=4……①∵复数0，z,z对应的点构成正三角形，∴│z-z│=│z│把z=-2a-2bi代入简得│b│=1……②又∵Z点在第一象限∴a<0,b<0。
苏教版选修(-).《复数的四则运算》ppt课件
1．复数加减法的运算法则． 2．复数的乘法法则．
3．共轭复数．
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
3.复数的四则运算-苏教版选修1-2教案
3. 复数的四则运算-苏教版选修1-2教案引言复数是一个常见的数学对象，它在物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本教案主要讲解复数的四则运算，包括加、减、乘、除。
在苏教版选修1-2中，涉及到复数的知识点比较多，但是只要理解了基本的四则运算，就可以举一反三，轻松应对相关的题目。
复数的定义复数是一种可以写成实数和虚数相加的数，它的基本形式为 a+bi，其中 a 和 b 都是实数，i 是一个虚数单位，满足 i²=-1。
复数的四则运算复数加法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的和为 (a+c)+(b+d)i。
换句话说，就是实部相加，虚部相加。
复数减法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的差为 (a-c)+(b-d)i。
换句话说，就是实部相减，虚部相减。
复数乘法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的乘积为 (ac-bd)+(ad+bc)i。
复数乘法的运算规则可以用 FOIL 规则来表示：F(OIL)=(a+bi)(c+di)=(ac)+(bc)i+(ad)i+(bd)i²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
复数除法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的商为 (ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。
复数除法有点复杂，它需要用到分数的乘法和有理化技巧。
具体地，我们将要除数和被除数同时乘以共轭数，即 (c-di)。
这样，被除数的分母就变成了实数，于是我们就可以进行分数的除法，最终得到商的形式。
总结本教案主要介绍了复数的四则运算，包括加、减、乘、除。
复数的定义比较简单，就是实数和虚数相加的形式，需要特别注意虚数单位 i 的运算规则。
复数的运算比较复杂，需要灵活运用分数的乘法和有理化技巧，掌握相关的运算规律后，就可以提高解题效率，并应用到其他相关的知识点中。
苏教版数学高二-苏教版数学选修2-2 3.2 复数的四则运算
§3.2 复数的四则运算课时目标 1.理解复数加法、乘法法则的合理性及复数差的定义.2.掌握复数加减法和乘法法则，能够熟练地进行复数的加、减法和乘法运算.3.理解共轭复数的概念．1．复数的加法与减法法则设a ＋b i (a ，b ∈R )和c ＋d i (c ，d ∈R )是任意两个复数，定义复数的加法、减法如下： (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝______________；(a ＋b i)－(c ＋d i)＝____________.即两个复数的和(或差)仍然是一个复数．它的实部是原来两个复数的________的和(或差)，它的虚部是原来两个复数的________的和(或差)．2．复数的乘法法则(a ＋b i)(c ＋d i)＝________________.3．复数乘法的运算律(1)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝__________ 结合律(z 1·z 2)·z 3＝____________ 乘法对加法的分配律 z 1(z 2＋z 3)＝________________(2)在复数范围内，实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立，即对于任意复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有z m ·z n ＝__________，(z m )n ＝________，(z 1z 2)n ＝____________.4．共轭复数当两个复数的________相等，________互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z 来表示，即当z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )时，z ＝________.5．复数的除法法则给出两个复数a ＋b i ，c ＋d i (c ＋d i ≠0，a ，b ，c ，d ∈R )，将满足等式________________的复数x ＋y i (x ，y ∈R )叫作复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，记作____________或者________________，(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝________________ (c ＋d i ≠0)．一、填空题1．(1＋i)2＝________.2．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值分别是________．3．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值为________．4.⎝⎛⎭⎫12＋32i 4＝______________. 5．(2x ＋3y i)－(3x －2y i)＋(y －2x i)－3x i ＝____________.(x ，y ∈R )6．已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 7．设x 、y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y=_______________.8．若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy＝________.二、解答题9．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋b i)－(2a－3b i)－3i (a，b∈R)．10.设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，求z z.能力提升11．若21－i＝a＋b i (i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.12．已知复数z＝1＋i，求实数a、b使az＋2b z＝(a＋2z)2.1．复数的运算顺序与实数相同，先进行乘方、开方，再进行乘法、除法，最后进行加减法运算．2．共轭复数在复数的除法运算中起关键作用．3．复数问题实数化是解决问题的基本思想，可以利用两个复数相等的充要条件进行转化．答 案知识梳理1．(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i 实部 虚部2．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i3．(1)(2)z m ＋n z mn z n 1·z n 24．实部 虚部 a －b i5．(c ＋d i)·(x ＋y i)＝a ＋b ia ＋b ic ＋d i (a ＋b i)÷(c ＋d i) ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i 作业设计1．2i2．－1,1 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3xy ＝1，∴x ＝－1，y ＝1. 3．04．－12－32i 5．(y －x )＋5(y －x )i解析 原式＝(2x －3x ＋y )＋(3y ＋2y －2x －3x )i ＝(y －x )＋5(y －x )i. 6．1解析 ∵a ＋2i i＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1. ∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.7．4解析 x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i⇒x (1＋i )(1－i )(1＋i )＋y (1＋2i )(1＋2i )(1－2i )＝5(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i) ＝(12x ＋15y )＋(12x ＋25y )i ＝12(1＋3i) ⇒⎩⎨⎧ 12x ＋15y ＝1212x ＋25y ＝32⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4. 8．1解析 由(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，得(x ＋y )＋(x －y )i ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.∴xy ＝1. 9．解 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i －(4＋i) ＝－4＋4i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋[b －(－3b )－3]i ＝－a ＋(4b －3) i.10．解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得， ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y i ＋x －y i ＝4(x ＋y i )(x －y i )＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x 2＋y 2＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝±2， ∴z z ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy i x 2＋y 2＝±i. 11．2解析 21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ＝a ＋b i. ∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋b ＝2.12．解 ∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.∵a 、b 都是实数，∴由az ＋2b ·z ＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2). 两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0.解得a 1＝－2，a 2＝－4，对应得b 1＝－1，b 2＝2.∴所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.。
苏教版高中数学(选修1-2)3.2《复数的四则运算》(第2节)ppt课件
zmzn zmn ,
(zm )n zmn ,
(z1z2 )n
z1n
z
n 2
【探究】 i 的指数变化规律
i1 i , i2 1 , i3 i , i4 1
i5 _i_ , i6 __1 , i7 __i , i8 _1_
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i4n 1 ,
i4n1 i ,
解：原式（i i2 i3 i4） （i5 i6 i7 i8） ... （i2005 i2006 i2007 i2008） i2009 i2010
0 i1 i2 1 i
【例4】设 1 3 i, 求证:
22
⑴ 1 2 0;
(2) 3 1.
证明: (1) 2 ( 1 3 i)2 1 3 i 3 1 3 i
常用结论：
(1) (1 i)2 2i;
(2) 1 i; 1 i i;
i
1 i
1 i i.
1 i
(3) 1 3 i, 则1 2 0； 3 1
22 (4) a bi (a bi)i (a bi)i i
b ai (b ai)i a bi
1、除法运算法则 a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad i c di (c di)(c di) c2 d 2 c2 d 2 本质：分母实数化
复数的除法法则
一般地，我们有：
a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
ac bd c2 d 2
bc c2
ad d2
i
由于 c di 0, 所以 c2 d 2 0 ，可见，两个复数
的商仍是一个复数。
分子分母同乘以分母的共轭复数， 即把分母 “实数化”。
3.2 复数的四则运算 课件(苏教选修2-2)
3．对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有 zmzn＝__zm_＋__n____， (zm)n＝_z_m_n____， (z1z2)n＝_z_z____， i4n＝__1_,i4n＋1＝__i_,i4n＋2＝_－__1_,i4n＋3＝－i. 4．共轭复数的概念 设z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为 z , 则 z ＝_a_－__b_i__.
∴A 与 B 可以比较大小.14 分
【名师点评】 共轭复数的应用是非常重要的， 在学习时，要注意体会．
变式训练 2 已知复数 z 满足 z·z －i( 3z )＝1－( 3i )， 求 z.
解：设 z＝x＋yi(x、y∈R)，则 x2＋y2－i[ 3x＋yi ]＝1－( 3i )， 即 x2＋y2－3y－3xi＝1＋3i， 由复数相等得x－2＋3xy＝2－3.3y＝1， 解得xy＝＝0－，1， 或xy＝＝3－. 1， ∴z＝－1 或 z＝－1＋3i.
则 z 1＝a－bi， z2 ＝c－di，4 分 ∴A＝z1·z2 ＋z2·z1 ＝(a＋bi)(c－di)＋(c＋di)(a－bi) ＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2 ＝2ac＋2bd∈R，8 分 B＝z1·z1 ＋z2·z2 ＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，12 分
(2)9＋12i2＝[9＋92－i92－i22i]2＝819－2＋4－22326i ＝772725－723265i. (3)法一：23＋ －32ii＝2＋39i＋34＋2i＝6＋4i＋139i＋6i2 ＝1133i＝i. 法二：23＋－32ii＝－32－i2＋2i3i＝i33－－22ii＝i.
共轭复数问题 共轭复数是复数除法运算的基础．
【名师点评】 复数的乘法中易错的是符号，如 i2＝－1，易写成正值．除法运算中，分子、分母 应同乘以分母的共轭复数且把结果写成a＋bi(a， b∈R)的形式．
苏教版高二数学复数的四则运算
[单选,A2型题,A1/A2型题]一般血清总钙是下列哪项时，有临床症状（）。A.≤2.8mmoL／LB.≤2.2mmol／LC.≤0.95mmol／LD.≤1.88mmol／LE.≤2.5mmoL／L [单选]对肾上腺外嗜铬细胞瘤进行观察时，下列哪项说法不正确A.肾上腺外嗜铬细胞瘤最常出现的部位是肾门附近B.位于肾门前面的肿瘤，肠气干扰较多，应用力挤压腹部排除肠气以便观察C.从背部检查，肾门前方肿瘤易于显示D.肾门下方肿瘤，往往推挤肾下极，使肾下极外移，肾纵轴改变E.肾 [单选,A2型题,A1/A2型题]最常用、最有效的热力灭菌法是（）A.煮沸法B.巴氏消毒法C.流通蒸汽灭菌法D.高压蒸汽灭菌法E.间歇灭菌法 [单选]女，40岁，下颌颏部隆起，结合图像最可能诊断()A．造釉细胞瘤B．骨软骨瘤C．含牙囊肿D．骨巨细胞瘤E．动脉瘤样骨囊肿 [单选,A2型题,A1/A2型题]下颌骨的主要生长中心为（）A.髁状突B.喙状突C.下颌角D.正中联合E.颏孔区 [单选]焦炉煤气加热焦炉时，当空气量偏小时，火焰（）。A．亮白短小B．暗．冒烟C．充满火道 [单选]下列选项中哪项不是小肠运动的基本形式？（）A、钟摆运动B、集团蠕动C、蠕动和逆蠕动D、分节运动 [单选,A2型题,A1/A2型题]患者呼吸时发生吹哨声应考虑患有（）。A.慢性鼻炎B.鼻中隔血肿C.鼻中隔前段小穿孔D.鼻中隔大穿孔E.鼻中隔后段小穿孔 [问答题,简答题]何为变温吸附？ [单选]采掘工作面的进风流中，氧气浓度不低于20%，二氧化碳浓度不超过（）A.0.75%B.0.5%C.1.5% [名词解释]复位 [填空题]《水质色度的测定》（GB／T11903—1989）中规定，色度测定的是水样经（）mim澄清后样品的颜色。 [名词解释]单腔共振吸声材料又称亥姆霍兹共振吸声结构 [单选]王某租赁张某一套住房，租赁期间为2009年1月1日至12月31日，约定2009年6月30日之前支付房租，但王某一直未付房租，张某也未催要。根据民事诉讼法律制度关于诉讼时效的规定，张某可以向法院提起诉讼、主张其民事权利的法定期间是()。A.2010年6月30日之前B.2010年12月31日之前 [单选]会计信息的次要质量要求中，（）要求企业对交易或者事项进行会计确认、计量和报告时不应高估资产或者收益、低估负债或者费用。A.形式重于实质B.实质重于形式C.可理解性D.谨慎性 [单选]门静脉高压症病人最凶险的并发症是（）A.感染B.贫血C.大出血D.肝昏迷E.低蛋白血症 [单选]下列哪项不是寒冷疗法的作用机制()A．开始血管收缩，继之血管扩张B．降低毛细血管壁通透性C．降低新陈代谢(抑制炎症)D．始疼痛减轻，继之加重疼痛(如寒冷、麻醉、止痛)E．降低肌肉活动性(抑制肌肉痉挛) [单选]抢救口服有机磷农药中毒患者洗胃时最常用的洗胃液是()A．生理盐水、温开水B．热开水C．2％碳酸氢钠D．1：5000高锰酸钾液E．以上均可 [单选]（）是电路的三个组成部分。A.负载、导线和元件B.电源、插头和导线C.电气、导线和负载D.电源、负载和导线 [单选]变电所中的降压变压器，其高压侧的额定电压（）电网额定电压。A.高10%B.高5%C.相等 [单选]平版胶印印刷纸类彩印品时，一般合格品的套印规定误差为（）。A.小于1mmB.小于2mmC.小于0.2mmD.小于0.1mm [单选,A1型题]乳腺癌出现“酒窝征”的机制是（）A.合并感染B.癌肿压迫乳管C.癌肿侵犯cooper韧带D.淋巴管癌栓阻塞E.周围组织粘连 [单选]逾期无人认领的托运行李处置的时限规定：可以联系到旅客时，应尽快以电话方式通知旅客，但电话通知一般不超过（）次。A.5B.3C.2D.4 [单选]惰性气体含量增加，H2、N2在混合气中的分压（）。A.增大B.降低C.不变 [单选]2004年2月1日某建设单位与某施工单位签订了施工合同，约定开工日期为2004年5月1日，竣工日期为2005年12月31日。2004年2月10日施工单位与保险公司签订了建筑工程一切险保险合同。施工单位为保证工期，于2004年4月20日将建筑材料运至工地。后因设备原因，工程实际开工日为200 [多选]在建设项目施工中，施工单位与其他主体产生合同之债的情形有（）等。A．施工单位与材料供应商订立合同B．施工现场的砖块坠落砸伤现场外的行人C．施工单位将本应汇给甲单位的材料款汇入了乙单位帐号D．材料供应商向施工单位交付材料E．施工单位向材料供应商支付材料款 [判断题]测定水的色度的铂钴比色法与稀释倍数法应独立使用，两者一般没有可比性。A.正确B.错误 [单选]某患者进食后发生恶心、呕吐、腹泻。不应考虑的细菌是()A．福氏志贺菌B．伤寒沙门菌C．大肠埃希菌D．金黄色葡萄球菌E．幽门螺杆菌 [单选]在每一日历年内，客户的受电变压器（含不通过受电变压器的高压电动机）5台时，可申请全部或部分用电容量的暂时停止用电（）次。A.2B.3C.4D.5 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列腧穴中，与至阳穴相平的是（）A.膈俞B.督俞C.心俞D.神堂E.肝俞 [单选]个人注册客户办理网上记账式国债业务的账户必须是（）。A、个人身份证下的任一账户B、个人已注册的准贷记卡C、个人已注册的借记卡D、个人已注册活期存折 [问答题,案例分析题]B企业拟在A市郊区原A市卷烟厂厂址处（现该厂已经关闭）新建屠宰量为120万头猪／年的项目（仅屠宰，无肉类加工），该厂址紧临长江干流，A市现有正在营运的日处理规模为3万t的城市污水处理厂，距离B企业1.5km。污水处理厂尾水最终排入长江干流（长江干流在A市段 [单选]病例对照研究中，使用新发病例的主要优点是（）A.需要的样本量较小B.减少回忆偏倚，并具代表性C.病例好募集D.对象容易配合E.不存在入院率偏倚 [单选,A1型题]学龄期的保健要点不包括（）A.提供良好的学习环境B.预防视力和龋齿C.开展健康教育D.加强体育锻炼E.培养良好的劳动观念 [单选]道德存在于人们的内心当中，具有及时性和超前的警示性、（）的特点，可以随时调控人的不良行为。A、启示性B、防范性C、总结性D、暗示性 [单选,A2型题,A1/A2型题]根据面神经损伤的程度，面神经的病理生理改变不包括（）。A.神经失用B.神经外膜损伤C.轴索断伤D.神经痉挛E.神经断伤 [单选]对癫痫大发作与癫痫小发作均有疗效的抗癫痫药物为（）。A.苯妥英钠B.苯巴比妥C.扑痫酮D.丙戊酸钠E.卡马西平 [单选,A1型题]关于乳腺癌，下列不正确的是（）A.锁骨下淋巴结转移属远处转移B.原位癌患者可以不行腋窝淋巴结清扫C.雌、孕激素受体阳性的病例内分泌治疗效果好D.乳腺癌保乳术后应接受放疗E.Paget病恶性程度较低 [判断题]同一泵站内不能同时采用保护接地和保护接零。A.正确B.错误 [单选]定额计算法的公式中R代表（）。ABCD
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[填空题]变压器油位下降低于油位计的指示限度时，应（）。 [单选]集中使用残疾人的用人单位中从事全日制工作的残疾人职工，应占本单位在职职工总数的（）以上。A.10%B.20%C.30%D.25% [单选,A2型题,A1/A2型题]中性粒细胞碱性磷酸酶染色积分明显增加，临床上最常见于下列哪种疾病（）A.类白血病反应B.慢性粒细胞白血病C.病毒感染D.恶性淋巴瘤E.急性淋巴细胞白血病 [单选,A2型题,A1/A2型题]《医疗机构从业人员行为规范》的执行和实施情况，应列入（）A.医疗机构校验管理和医务人员年度考核B.定期考核和医德考评C.医疗机构等级评审D.医务人员职称晋升、评先评优的重要依据E.以上都对 [单选]深龋患者激发痛较重，洞底软龋能够彻底去净，治疗方法应选择()A．双层垫底，一次完成充填治疗B．局麻后开髓失活，行牙髓治疗C．先做安抚疗法，待一到二周复诊时症状消除后，再以双层垫底充填D．施行活髓切除术E．间接盖髓、双层垫底一次完成充填治疗 [判断题]玻璃、陶瓷、纸、塑料、碳等都是绝缘材料。（）A.正确B.错误 [单选]根据《反垄断法》的规定，下列各项中，属于纵向垄断协议行为的是（）。A.处于产业链同一环节的经营者通过协议、决议或其他协同一致的方式确定、维持或者改变价格的行为B.处于产业链同一环节的经营者通过协议、决议或其他协同一致的方式分割销售市场或者原材料采购市场的行为 [填空题]使用0°探头，探测钢轨时，探测面和仪器工作正常，但仪器常报警，且无回波，应考虑钢轨内部有（）。 [单选]慢性毒性实验所需试验动物数量与亚慢性毒性试验所需要的动物数量相比（）。A.不应有明显差别，二者可相同B.慢性毒性试验动物数要稍多于亚慢性毒性试验动物数即可C.慢性毒性试验动物数要明显多于亚慢性毒性试验动物数D.慢性毒性试验动物数要少于亚慢性毒性试验动物数量E.慢性 [单选]肾前性急性肾衰竭尿沉渣镜检常见管型（）A.红细胞管型B.白细胞管型C.棕色管型D.上皮细胞管型E.蜡样管型 [单选]胶结类型中的基底胶结是指胶结物含量高，岩石颗粒之间（）。A、大面积接触B、全部接触C、很少接触D、中等接触 [单选]世界上首家采用生命表计算人寿保险费率的保险公司是（）A.英国伦敦衡平保险社B.英国伦敦公平人寿保险社C.美国加利福尼亚人寿保险公司D.美国纽约人寿保险公司 [单选]船上海图一旦受潮，应（）。A．尽量平放阴干B．尽快烘烤干C．尽可能晒干D．立即晒干或烤干 [单选]关于再保险，下列说法正确的是（）。A.再保险双方是通过口头约定来建立再保险关系的B.再保险是一种附属保险业务种类C.再保险是一种风险共担形式D.再保险是一种独立的保险业务种类 [单选]具有混合芽的花卉植物开花时一般（）。A、先叶后花B、花叶同放C、先花后叶D、花芽败育 [单选,A1型题]有关标准预防下列哪项是错误的（）A.要防止血源性疾病的传播也要防止非血源性疾病的传播B.强调双向防护C.所有的患者均被视为具有潜在感染者D.要根据疾病的主要传播途径，采取相应的隔离措施E.脱去手套后可以 [单选]目前社区卫生调查主要采取（）A.普查B.定性调查C.定量调查D.问卷调查E.信访 [名词解释]信息管理科学 [单选]行李室考核制度规定：在航班到达时不及时到达行李发放现场。扣当月绩效工资的（）。A.10%B.15%C.5%D.20% [单选]男，2岁，接种过卡介苗，1岁半时5uPPD皮试为6mm×6mm，3天前5uPPD皮试为13mm×14mm。下列哪种情况可能性大（）A.接种卡介苗后反应B.曾经有过结核感染C.新近有结核感染D.假阳性反应E.非典型分支杆菌感染 [单选]用母联断路器对母线充电时，必须投入（）。A.重合闸B.光纤差动保护C.失灵保护D.充电保护 [多选,案例分析题]患者男，68岁。因“反复双踝、双膝关节肿痛12年，左膝肿痛7天”来诊。既往史无特殊。查体：体温36.5℃，脉搏86次/分，呼吸24次/分，血压90/50mmHg（1mmHg=0.133kPa）。心、肺、腹检查未见特殊。左膝关节肿，无红。左膝关节浮髌试验阳性，左膝关节磁共振成像：T1 [单选]下列关于校对的表述中，错误的是（）。A.为提高效率，校对工作也可由作者负责B.校对也指从事校对工作的专业人员C.在出版社内，校对是发稿后、印刷前一道重要的质量把关工序D.校对是根据原稿核对校样，订正错误，提出疑问，以保证出版物质量的工作 [单选]下列关于公务员回避的说法哪项是正确的？（）A.因地域或者工作性质特殊，需要变通执行公务员任职回避的，只能由国务院公务员主管部门作出规定B.公务员所在机关只能根据公务员本人或者利害关系人的申请，在审查之后作出是否回避的决定C.公务员担任省级、市级机关及其有关部门 [单选]从一种成熟组织或细胞转变为另一种同类型组织或细胞的过程称为()A．间变B．发育不良C．增生D．化生E．癌形成 [判断题]四冲程柴油机曲轴旋转一周，每个气缸都完成一个工作循环。（）A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]维持子宫在盆腔正中位置的韧带是（）A.圆韧带B.阔韧带C.主韧带D.宫骶韧带E.骶结节韧带 [单选]原子核经放射性衰变①变为原子核，继而经放射性衰变②变为原子核，再经放射性衰变③、β衰变和β衰变B.β衰变、α衰变和β衰变C.β衰变、β衰变和α衰变D.α衰变、&beta [单选]在头脑中提取同类事物的本质物征，舍弃非本质特征的思维过程是（）A．分析B．比较C．抽象D．概括 [单选]“原来喜欢的东西现在不喜欢了”体现了（）。A.质量的经济性B.质量的时效性C.质量的广义性D.质量的相对性 [单选]下列哪项不是预防局麻药中毒的措施()A．一次用药量不超过限量B．避免误入血管C．局麻药中加少量肾上腺素D．麻醉前适量用苯妥英钠E．根据病人情况酌情减量 [单选]在毒理学研究中，吸入染毒的剂量单位表示为（）。A.mg／kgB.mg／mC.mg／LD.mg／mE.mg／g [单选]房屋建筑工程施工总承包一级资质项目经理（）人以上。A．50B．30C．15D．12 [问答题,论述题]试述制动轮温度过高，制动带冒烟的原因及解决方法。 [单选]利用航线前方导标方位导航，如实测方位小于导航方位，表明船舶（）偏离计划航线，应（）调整航向。A．向左；向左B．向左；向右C．向右；向右D．向右；向左 [单选]公司法规定，有限责任公司可以设经理，由()决定聘任或者解聘。A.董事会B.监事会C.股东会D.经理会 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列关于HDL的叙述错误的是（）。A.主要在肝中合成B.能促进动脉硬化的发生C.将外周组织的游离胆固醇转运到肝内处理D.主要的载脂蛋白为ApoAlE.LCAT通过转酯化反应将机体中的游离胆固醇转化成胆固醇酯 [单选]产褥期妇女的临床表现恰当的是（）.A.产后宫缩痛多见于初产妇B.产后初期产妇脉搏增快C.产后第1日宫底稍下降D.子宫复旧因哺乳而加速E.恶露通常持续1～2周 [单选,A2型题,A1/A2型题]有关标准姿势的叙述，错误的是（）A.人体直立B.掌心向前C.两眼向前方平视D.双上肢下垂置躯干两侧E.两下肢并拢，足尖外展 [单选]放射性制剂的放射化学纯度要求（）A.放化纯度控制在85％以上B.放化纯度控制在99％以上C.放化纯度控制在95％以上D.放化纯度控制在80％以上E.放化纯度控制在70％以上
苏教版数学高二数学苏教版选修1-2知识必备3.2复数的四则运算
3.2 复数的四则运算知识梳理1.复数的加减法两个复数相加（减）就是把_____________，即a+bi±(c+di)=_____________.2.复数的乘除法（1）设Z 1=a+bi,Z 2=c+di 是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=_____________，它们的商(a+bi)÷(c+di)=_____________(c+di≠0)（2）在进行复数除法运算时，通常先把（a+bi)÷(c+di)写成_____________形式，再把分子分母都乘以_____________.3.共轭复数当两个复数的实部_____________，虚部互为_____________时，这两个复数叫做互为_____________.4.i 的幂的周期性i 4n =___________,i 4n+1=___________,i 4n+2=___________i 4n+3=___________.(n ∈N *)5.常用的1±i,w 的运算规律. ①i 1=___________,(1±i)2=___________,ii -+11=___________; ②设w=2321+-i,则w 2=___________，w+w =___________， w·w =___________，1+w+w 2=_____________，w n +w n+1+w n+2=___________(n ∈Z );w 3k = ___________,w 3k+1=___________,w 3k+2=___________(k ∈Z ).疑难突破1.复数的减法法则剖析：课本上规定(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数x+yi(x,y ∈R )叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数的加法法则和复数相等的定义有⎩⎨⎧=+=+.,b y d a x c 即x=a-c,y=b-d.∴x+yi=(a-c)+(b-di)在学习复数的减法时，首先类比实数的减法规定复数的减法也是加法的逆运算，即用加法定义两个复数的差，然后只要根据复数的加法，复数相等的条件就可以得到复数减法的法则.这里实际上使用的是待定系数法，也是确定复数的一个一般方法.2.复数的除法在学习复数的除法时，可类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除法的法则.规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di≠0)的复数x+yi,叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商.经计算可得(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.根据复数相等的定义，有cx-dy=a,dx+cy=b.由此x=22d c bd ac ++,y=22d c ad bc +-于是(a+bi)÷(c+di)=22d c bd ac +++22d c ad bc +-i(c+di≠0)这就是复数的除法法则.而如果在实际进行复数的除法运算时，每次都按照乘法的逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的.可以设想解决的办法，类比根式的除法，从而得到简便的操作方法.先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简.典题精讲【例1】 计算（1）ii 32132+-+(5+i 19)-22)21(i +; (2)5)31()22(i i -+.思路分析：利用特殊复数的性质进行运算如i 的乘方、及w 性质的运算、关键是变形. 解：（1）i i 32132+-+(5+i 19)-22)21(i+ =i i i 321)321(+++[5+(i 4)4·i 2·i]-11221⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+i =i+5-i-i 11=5+i（2）含w=i 2321+-则w 3=1 于是 525544542)2()2321(2)1(2)31()22(wi i i i i -=+--+=-+ =62ww =2w=-1+i 3 绿色通道：（1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,w 3=1,巧用这些性质，可以快速解答许多问题，因此，记住这些小结论将是有益的.【变式训练】（1）计算i i i i 212)1()31(63++--++-; (2)823123⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--i i .思路分析:计算（a+bi)时，一般按乘法法则进行计算，对于复数1±i 计算它的n(n 大于或等于2的自然数）次方时，常先计算1±i 的平方；对于复数2321±±计算它的n 次方根时，（n 为大于或等于3的自然数）常先计算它的立方.解：原式=5)21)(2(])1[()31(323i i i i -+--++- =5242)2()31(33+++--+-i i i i =ii i i 8)3()3)(1(33)1(3)1(3223-+-•+-•+--i =i88--i=i-i=0. （2）设w=231i +-则w 3=23i -=wi ∴原式=(wi+w)8=w 8(1+i)8=w 6×w 2(2i)4=16w 2=16(-21-i 23) =-8-i 38.【例2】设Z 是虚数，w=ZZ 1+是实数，且-1＜w ＜2. （1）求Z 的实部的取值范围；（2）设μ=ZZ +-11求证μ为纯虚数； （3）求w-μ2的最小值.思路分析：本题考查复数的基本概念及根据基本不等式求最值问题.（1）（2）利用基本概念求解，（3）中不难得到w-μ2=2a-11+-a a =2a-1+12+a =2(a+1)+12+a -3再利用均值不等式求得最小值，还要注意结论等号是否能成立.解：（1）设Z=a+bi(a,b ∈R ,b≠0) w=a+bi+)()(12222i ba b b b a a a bi a +-+++=+ ∵w 是实数，b≠0 ∴b-22b a b +=0. ∴w=2a ∵-1＜w ＜2 ∴-21＜a ＜1 ∴Z 的实部的取值范围是)1,21(- (2)μ=i a b b a bi b a bi a bi a Z Z 1)1(2111112222+=+++--=++--=+- ∵a ∈)1,21(- b≠0,∴μ为纯虚数.（3）w-μ2=2a+22)1(+a b =2a+22)1(1+-a a =2a-11+-a a =2a-1+12+a =2[(a+1)+)1(1+a ]-3. ∵a ∈)1,21(-,∴a+1＞0, ∴w-μ2≥2×2-3=1,∴当a+1=11+a 即a=0时 上式等号成立，∴w-μ2的最小值是1.绿色通道：设Z=a+bi 将复数问题实数化，是解决复数问题的基本思想；另外，在利用不等式求最值时，特别要注意三点：①自变量是否有范围；②等号是否能够成立（在变量的范围下）；③要注意恒等变形，配凑成能使用不等式的形式.【变式训练】 设i 是虚数单位，复数w 和Z 满足Zw+2iZ-2iw+1=0，若Z 和w 又满足-Z=2i,求w 和Z 的值.思路分析:设复数的代数形式，进而将复数问题转化为实数问题，是解决复数问题时常用的解题技巧.解：∵w -Z=2i ∴Z=w -2i代入Zw+2iZ-2iw+1=0得 （w -2i)w+2i(w -2i)-2iw+1=0∴w w -4iw+2i w +5=0设w=x+yi(x,y ∈R ),则上式可变为（x+yi)(x-yi)-4i(x+yi)+2i(x-yi)+5=0,∴x 2+y 2+6y+5-2xi=0, ∴⎩⎨⎧==+++.02,05622x y y x∴⎩⎨⎧-==.1,0y x 或⎩⎨⎧-==.5,0y x ∴w=-i,Z=-i 或w=-5i,Z=3i.【例3】 已知Z=1+i(1)设w=Z 2+3Z -4求w;（2）如果122+-++Z Z b aZ Z =1-i ；求实数a,b 的值. 思路分析：（1）采用代入法求出w;（2）代入化简后，通过复数相等，把复数问题转化为实数问题来解.解：（1）∵Z=1+i,∴w=Z 2+3Z -4=(1+i)2+3(i +1）-4=-1-i.(2)由122+-++Z Z b aZ Z =1-i ，把Z=1+i 代入得 1)1()1()1()1(22++-+++++i i b i a i =1-i ， ∴ii a b a )2()(+++=1-i,∴(a+b)+(a+2)i=1+i ∴⎩⎨⎧=+=+.1,12b a a 得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 绿色通道：通过复数相等的定义，把虚数问题转化成实数问题，是复数重要的数学思想，代入化简时，注意复数的运算技巧.【变式训练】 已知Z 1满足（Z 1-2）i=1+i,复数Z 2的虚部为2，且Z 1·Z 2是实数，求复数Z 2的值.思路分析:本题考查复数的乘法，除法的运算法则.解：由（Z 1-2）i=1+i,得Z 1=ii +1+2=(1+i)(-i)+2=3-i ∵Z 2的虚部为2，∴可设Z 2=a+2i(Z ∈R )Z 1·Z 2=(3-i)(a+2i)=(3a+2)+(6-a)i 为实数∴6-a=0,即a=6 因此Z 2=6+2i.问题探究对于任意一个非零复数Z ，M z ={w ｜w=Z 2n-1,n ∈N *}（1）设α是方程21=+x x 的一根，试用列举法表示集合M α,若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P.（2）若复数w ∈M z ,求证M w ⊆M Z .导思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 的幂写成最简单的形式，化简的依据是i 的周期性，即i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i(n ∈N )复数的代数形式运算，基本思路是直接用法则运算，但有时能用上特殊复数i 或w 的一些性质，以及一些常见的结论如(1+i)2=2i(1-i)2=-2i,ii -+11=i 等，可更有效的简化运算，提高计算速度. 探究：（1）由方程21=+xx ,得x=22±i 22 当α1=22+i 22时，w=α12n-1=1121212222)(ααααn n n i i =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=由i n 的周期性知，w 有四个值.n=1时，w=i i i22222222+=+; n=2时，w=i i 222222221+-=+-; n=3时，w=i i i22222222--=+- n=4时，w=i i 222222221-=+. 当α2=i 2222-时，w=α22n-1=2222)()(αααn n i -= n=1时，w=i i i22222222-=--; n=2时，w=i i 222222221--=--; n=3时，w=i i i22222222+-=-; n=4时，w=i i 222222221+=-; ∴不论α=i 2222+，还是α=i 2222- M α=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+--+i i i i 2222,2222,2222,2222 则P=3162224==C(2)∵w∈M z则w=Z2m-1m∈N,任取x∈M z则x=w2n-1,n∈Z,而w=Z2n-1∴x=(Z2m-1)2n-1=Z(2m-1)(2n-1). ∵(2m-1)(2n-1)为正奇数，∴x∈M Z, ∴M w≤M Z.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修1-2素材 课堂导学 3.2 复数的四则运算
课堂导学三点剖析各个击破一、复数代数形式的加减运算 【例1】 计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i). 解法一：原式=(1-2+3-4+…+1 999-2 000)+(-2+3-4+5-…-2 000+2 001)i=-1 000+1 000i. 解法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,……(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i)=-1+i.将上述式子累加得原式=1 000(-1+i)=-1 000+1 000i.温馨提示复数的加减法，类似于多项式加减法中的合并同类项的过程.具体解题时，可适当地进行组合，简化运算.类题演练1设z 1=x+2i,z 2=3-yi(x 、y ∈R )，且z 1+z 2=5-6i,求x+yi.解:z 1+z 2=x +2i+3-y i=(x +3)+(2-y )i.∵z 1+z 2=5-6i,∴⎩⎨⎧-=-=+.62,53y x 解得⎩⎨⎧==.8,2y x ∴x +y i=2+8i.变式提升 1已知平行四边形中，三个顶点对应的复数分别是2+i,4+3i ，3+5i,求第四个顶点对应的复数.解:如右图，设点Z 1、Z 2、Z 3分别对应复数2+i,4+3i,3+5i.(1)若Z 1Z 3为对角线，则3241Z Z Z Z =,即z 4-z 1=z 3-z 2,∴z 4=z 3-z 2+z 1=(3+5i)-(4+3i)+(2+i)=1+3i.(2)若Z 1Z 2为对角线，则2341Z Z Z Z =，即z 4-z 1=z 2-z 3,∴z 4=z 2-z 3+z 1=(4+3i)-(3+5i)+(2+i)=3-i.(3)若Z 2Z 3为对角线，则3142Z Z Z Z =，即z 4-z 2=z 3-z 1,∴z 4=z 3-z 1+z 2=(3+5i)-(2+i)+(4+3i)=5+7i.二、复数代数形式的乘除运算【例2】已知x 、y ∈R ,且i315i 21y i 1x +=+++，求x 、y 的值. 解：i 315i 21y i 1x +=+++可写成103i)-(1552i)-y(12i)-x(1=+, 5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.∴⎩⎨⎧=+=+,15y 4x 5,5y 2x 5 ⎩⎨⎧=-=.5y ,1x 温馨提示 在进行复数除法运算时，通常把(a+bi)÷(c+di)写成di c bi a ++的形式，再把分子与分母都乘复数（c-di ），并进行化简整理.类题演练2已知 z =i 1i a --(a>0)，且复数ω=z (z +i)的虚部减去它的实部所得的差等于23，求复数ω. 解：ω=i a a a ai a i i a a i a i i a i i i a i i a 2212)1)(1(2))(1(111)1(12+++=++=--+=-+⋅--=+----， ∴232122=+-+a a a , 即a 2-1=3.∵a>0,∴a=2,ω=23+3i. 变式提升 2计算:i 21i 2i)(1i)3(-162++--++. 解:5)21)(2(])1[()31(212)1()31(32363i i i i i i i i -+--++-=++--++- =5242)2()31(33+++--+-i i i i =ii i i i i 888)3()3)(1(33)1(3)1(3223-=--+-⋅+-⋅+--i=i-i=0.三、共轭复数问题【例3】 已知复数z 满足z ·z --i （z 3）=1-（i 3），求z .思路分析：(1)将方程两边化成a+bi 的形式，根据复数相等的充要条件来解.(2)根据模的性质即|z |2=z z 和两个纯虚数的积为实数来解.解:方法一：设z =x+yi(x,y ∈R )，则x 2+y 2-i ［yi)(x 3+］=1-(i 3), 即x 2+y 2-3y-3xi=1+3i, 由复数相等得⎩⎨⎧=-=-+.3x 3,1y 3y x 22解得⎩⎨⎧=-=,0y ,1x 或⎩⎨⎧=-=.3y ,1x∴z =-1或z =-1+3i.方法二：∵z z -i(z 3)=1-(i 3),∴z z -1=3i+3i z ,即|z |2-1=3i(z +1)∈R , ∴z +1是纯虚数或0， 可令z =-1+ai(a ∈R ),∴|-1-ai|2-1=3i(ai),即a 2=-3a ⇒a=0或a=-3, ∴z =-1或z =-1-3i,故z =-1或z =-1+3i.类题演练3设a 、b 为共轭复数，且(a+b)2-3abi=4-6i,求a 和b.解:设a=x +y i ，则b=x -y i ，（x ,y ∈R ）,由条件得：(x +y i+x -y i)2-3(x +y i)(x -y i)i=4-6i,即4x 2-3(x 2+y 2)i=4-6i,由复数相等的充要条件，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=.6)(3,44222y x x 解得：⎩⎨⎧±=±=.1,1y x∴⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧-=+=.1,11,1i b i a i b i a 或 变式提升 3计算(-i 2321+)n +(-i 2321-)n (n ∈N ). 解:设ω=-i 2321+，分以下三种情况： ①当n=3k 时，原式=ω3k +k 3ω=1+1=2；②当n=3k+1时，原式=ω3k+1+13+k ω=ω+ω=-1； ③当n=3k+2时，原式=ω3k+2+23+k ω=ω2+2ω=-1. 综上，原式=⎩⎨⎧≠-=kn k n 3,13,2(k ∈Z).。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 复数的四则运算(2)
第3课时复数的四则运算(2)教学过程一、问题情境在实数中,除法运算是乘法的逆运算.类似地,可以怎样定义复数的除法运算?二、数学建构问题1复数的除法法则是什么?解设复数a+b i(a,b∈R)除以c+d i(c,d∈R),其商为x+y i(x,y∈R),其中c+d i≠0,即(a+b i)÷(c+d i)=x+y i.因为(x+y i)(c+d i)=(cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+b i.由复数相等的定义可知解这个方程组,得于是有(a+b i)÷(c+d i)=+i.由于c+d i≠0,所以c2+d2≠0,可见两个复数的商仍是一个复数.利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最后再利用两个复数相等的定义解.问题2初中我们学习的化简无理分式时,采用的分母有理化的思想方法,而c+d i的共轭复数是c-d i,能否模仿分母有理化的方法对复数商的形式进行分母实数化?解====+i.所以(a+b i)÷(c+d i)=+i.三、数学运用【例1】i+i2+i3+…+i2 010+i2 011+i2 012.[1](见学生用书P57)[处理建议]i n是周期出现的,i n+i n+1+i n+2+i n+3=0(n∈N*).[规范板书]解原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.[题后反思]可能有学生考虑用等比数列求和公式.原式==0,这个方法也很好.变式计算i+2i2+3i3+…+1 997i1 997.[规范板书]解原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(1993i-1994-1995i+1996)+1997i=499·(2-2i)+1 997i=998+999i.【例2】(教材第116页例4)设ω=-+i,求证:(1) 1+ω+ω2=0;(2)ω3=1;(3)ω2=,=ω.[2](见学生用书P57)[处理建议]先计算ω2,再做加法.[规范板书]证明(1) 1+ω+ω2=1++=+i+-2××i+=+i+-i-=0.(2)ω3==+3··i+3··+=-+i+-i=+i=1.(3)ω=1,由(2)知ω2===,同理=ω.[题后反思]对于第(2)小题,也可以这样做,要证ω3=1,只要证ω3-1=0即可.由ω3-1=(ω-1)·(ω2+ω+1)=(ω-1)·0=0,由此可知,1有3个立方根:1,ω,.变式设z=+i,求证:(1) 1-z+z2=0;(2)z3=1;(3)z2=-.[规范板书]解由例2知z=+i=-,所以=-ω.(1) 1-z+z2=1++(-)2=1++ω=0.(2)z3=(-)3=1.(3)z2=(-)2=ω=-.【例3】计算:(1+2i)÷(3-4i).[3](见学生用书P58)[处理建议]用两种方法做复数的除法运算.[规范板书]解法一设(1+2i)÷(3-4i)=x+y i,所以1+2i=(3-4i)(x+y i),1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.所以3x+4y=1且3y-4x=2.所以x=-,y=.所以(1+2i)÷(3-4i)=-+i.解法二(1+2i)÷(3-4i)=====-+i.[题后反思]解法一根据复数相等的充要条件应用待定系数法求复数,是常用的方法之一;解法二体现了复数问题实数化的基本思想.变式计算.解原式======1-i.*【例4】计算+.[4][处理建议]先计算=-i,再利用i n的周期性;对于,不易发现分子与分母的关系,可先启发寻找a+b i与b-a i之间的关系.[规范板书]解原式=+=-i+(-i)1997=-2i.[题后反思]在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度.又如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,===i.变式计算:i2 007+(+i)8-+.解原式=i4×501+3+[2(1+i)2]4-+=i3+(4i)4-+i=-i+256++i=256+=256-i.*【例5】已知z2=8+6i,求复数f(z)=z3-16z-的值.[5][处理建议]利用待定系数法,求出z,再代入求f(z).[规范板书]解设z=x+y i(x,y∈R),所以由②得y=,代入①得x2-=8,所以x4-8x2-9=0,所以x2=9或x2=-1(舍去).所以x=±3.当x=3时,y=1;当x=-3时,y=-1.所以z=±(3+i).当z=3+i时,f(3+i)=(3+i)3-16(3+i)-=33+3·32·i+3·3·i2+i3-48-16i-=27+27i-9-i-48-16i-30+10i=-60+20i.当z=-3-i时,f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)-=-(27+27i-9-i)+48+16i+=60-20i.[题后反思]通过此例,会求任意一个复数的平方根,会在复数范围内求函数式的值.四、课堂练习1.复数-i+=-2i .提示-i+=-i-i=-2i.2.计算:(1);(2).解(1)===-i.(2)解法一====i.解法二===i.3.=-i.解=i2 011=i3=-i.4.在复数范围内写出方程x4=1的根.解x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i),所以方程x4=1的根为1,-1,i,-i.五、课堂小结1.在进行复数四则运算时,我们既要做到会做,会解,更要做到快速解答.在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度,例如:(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i;若ω=-+i,则1+ω+ω2=0,ω3=1;===i.2.在进行复数的四则运算时,容易出现的错误有:(1)由于对i的性质掌握不准确致误.如“i2=1”“i4=-1”等在计算中是常见的错误.事实上,i2=-1,i4=1.(2)在计算除法运算时出错.因为复数的除法运算是四则运算中最麻烦的一种,常会出现一些计算上的错误.。
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m
n
mn n n z1 z 2
(z1 z2 )
共轭复数
1.共轭复数的概念 z=a+bi(a,b∈R)与z=a-bi 互为共轭复数 记作：
z
注：1）当a=0时，共轭复数也称为共轭虚数；
2）实数的共轭复数是它本身。
共轭复数
2.共轭复数的相关运算性质
Z1 Z 2 Z1 Z 2
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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更久?"七彩神尼听完都皱了皱眉.陈三六说"也不用久太多,估计二到三个月应该可以完成,现在距离他们开启传送阵の时间,怎么着也还有大半年,咱们还有时间.""二,三个月.""那你先修改吧."七彩神尼道,"咱们倒是有时间,这段时间大家也别出去了,在这里呆着行.""这里の环境还不错嘛."白狼 马咧嘴笑道,"很适合带孩子呀.""你还想带孩子?你哪来の孩子?"陈三六白了他壹眼,笑道"还是赶紧过来帮忙修改传送阵吧,这两三个月你别想休息了.""不会吧?咱还要陪小红呢,她正安胎呢."白狼马壹脸の郁闷,哼道"你不会找老屠吗?还有嫂子们呢,她们也能帮忙の.""你最顺手."陈三六笑了笑, 直接拉过了白狼马,过去帮忙了.七彩神尼等女也笑了,她们首先在这座瀑布外面,布置了强大の法阵,将这壹带の地形都给改变了,让人得这里只是壹片普通の荒芜の山林,没有人会想到下来再加本来这壹带较荒芜,确实也没有什么人烟,相较于情域の其它地方,这里还是很贫瘠の.瀑布下面有壹个水 潭,这潭水倒是很清澈,里面还有壹些小小の灵鱼在里面游来游去の,再加这壹带の林子也不算深,水潭两侧便是两片红松林境还真是不错の.众美来到了水潭边,利用这里の潭水泡着脚,顺便抓几条小灵鱼来,做点鲜鱼汤喝,还真是壹种惬意の享受."也不知道父亲什么时候能回来."在水潭边,壹个俏 丽の穿着白裙子,和小仙女似の,女孩情绪却不怎么高.这个女孩正是长大の叶妙妙,她现在已经快十六岁了,已经是长成了壹个大姑娘了,身材高挑和她母亲谭妙彤壹个样,五官也继承了母亲の美貌."放心吧,妙妙,你父亲很快会回来の."坐在她身边の,不止谭妙彤,还有米钰莹.她平时经常和叶妙妙 玩在壹起,而且因为其它众美,这十几年来基本都闭关过壹段时间,只有米钰莹这十几年没怎么闭过关,所以叶妙妙有将近壹半の时间是她带大の.是谭妙彤这个母亲,和叶妙妙在壹起の时间,还不如米钰莹,所以叶妙妙又叫她小妈."小妈,你说父亲还会回来吗?"叶妙妙扭头,"咱听小白叔叔说,父亲去 了壹个很远の地方,可能要很久才能回来.""别听他の."米钰莹哼道"他の话怎么能信呢?你还不知道你小白叔叔那张嘴吗?""可是,咱感觉不到父亲の气息了,他不知道现在何处,咱好想他."叶妙妙双眼微红の说.这十几年,根汉和她在壹起の时间并不多,也最开始那壹两年,经常抱着叶妙妙,可是她慢 慢の长大之后,他陪叶妙妙の时间好少了."傻丫头,他很快会回来の."米钰莹些心疼,水潭边の众美也是有些揪心,不远处の谭妙彤安慰她说"妙妙,等咱们到了天南界,你父亲便会回来の.""母亲,真の吗?"叶妙妙抱着米钰莹の腰,问谭妙彤."当然是真の,母亲怎么会骗你呢."谭妙彤微笑着说"他不会 丢下咱们不管の,他会回来の,你要相信你父亲."（正文贰6叁贰天府の传送阵）贰6叁叁鱼冻贰6叁叁"母亲,真の吗?"叶妙妙抱着米钰莹の腰,问谭妙彤..dt.贰叁0肆;&#贰6叁6捌;&#贰60叁贰;&#叁1肆56;&#叁叁肆10;&#叁5775;&#叁捌叁捌贰;A叁06;A叁71;&#贰760肆;&#贰贰捌55;&#贰001 叁;&#贰5玖玖1;&#玖捌;i叁;ieA叁7叁;贰叁05;"当然是真の,母亲怎么会骗你呢."谭妙彤微笑着说"他不会丢下咱们不管の,他会回来の,你要相信你父亲.""恩,咱相信父亲."叶妙妙抹去了眼角の泪水,挤出了壹抹灿烂の笑容."恩,好孩子."谭妙彤也笑了,其实她心里壹 直在相信着,根汉不会有事,他只是可能被那什么青龙残魂,给带到了壹个另外の世界去了.他早晚都会要回来の,而且因为吞噬掉了那壹缕青龙残魂,实力将更加强大,以辗压之势重回人们の视野.他是那个自己の男人,那个无所不能の男人.而咱们の根汉同学,经过了七天の飞行之后,终于是来到了 那条白色の光带面前了.俯瞰望去,前面の白色光带,原来是壹条海天分界线.在绿油树林の南侧,是壹片碧蓝の汪洋,而且这里の引力系统终于是回归正常了,他也感觉自如了许多了.这片汪洋终于是正常了许多,远青龙海要正常の多,起码这片汪洋没有那么平静,更加の汹涌,而且里面の鱼类要更丰 富の多.鱼有大有小,有几百米长の大灵鱼,也有几寸の小鱼苗壹样の,这里才像是壹片真正完善の生物链."这里应该是九华红尘界吧?"根汉心暗想着,这样の地方才算是正常の地尔,总算是出了青龙海了,离开了那片诡异の绿油林,来到了壹片还算正常の汪洋方.前面正好有壹块大礁,根汉带着小紫 倩了这大礁."那鱼好吃,快抓."结果刚刚落到大礁,小紫倩便发现了前方海域の壹条大鱼,鱼身雪白の,平静の呆在海面下,鱼背开了壹排口子,正在往这里面排出百米高の水柱."呃,会不会太残忍了?"根汉有些不想出手,因为这条大鱼乃是壹条灵鱼,修行不易,起码要几百年恐怕才能长到现在这个长 度,光是长度有二百多米."哼哼,你别太仁慈了,这种鱼会吃人の,长这么大,肯定吃了不少人了."小紫倩哼哼道."好吧."根汉无奈の摇了摇头,这小丫头肯定是了,他直接丢出了壹把剑,是清风圣剑,不过是绝强者神剑の级别.大鱼在海猛の壹僵,本能の想逃窜,可是哪里逃得过这神剑の剑锋锁定,直接 被根汉给提了来.整条大鱼长约有二百多米,重达几百吨,重重の砸在了大礁.壹个这样の庞然大物,这样被根汉给抓了来,大鱼の壹对眼珠子,脸盆还要大,盯着面前の两个小人,却是露出着无惊恐の神情."乖乖,别挣扎,本女神可是饿了,有幸成为本女神腹之物,你应该庆幸了."小紫倩嘿嘿笑了笑,然 后拿过了远处飘浮着の清风圣剑,直接捅进了这大鱼の腹部,然后见这大鱼眼珠子壹僵,这样死了.大量の鱼血被放出来,不过小紫倩却让根汉用东西装着."要鱼血干吗?腥の很,有什么好吃の."根汉却是有些蛋疼,这小丫头肯定在骗自己,这鱼怎么会吃人呢,哪来の人给它吃呢.这条灵鱼の实力,堪壹 位宗王级别の强者,这样杀了,确实是可惜了."嘿嘿,这你不知道了吧."小紫倩得意の说着,壹边让根汉控制着这些鱼血の流向,正好大礁面有壹个凹地,根汉让那些鱼血都流进了这个大凹地将里面灌了个满满当当の."弄点冰里面吧."小紫倩对根汉说"这条鱼最美味の部位,是它の鱼血了,这种鱼血冻 起来之后,会变成壹种淡淡の膏,咱最爱吃这个了.""还要冻起来?"根汉有些蛋疼,小紫倩说"你不是有那个什么王座嘛,拿出来冻壹下是了,又不会累到你真是の.""好吧,你这小丫头,别给咱乱来."根汉有些无奈了,这小丫头这么好吃呢.他也懒得取出寒冰王座,以自己の元灵之力,从汪洋里面弄了壹 大摊水来,然后直接给冻成了壹些大冰块.将冰块丢进凹地里,这些鱼血立即开始有变化了.只见鱼血开始慢慢の凝聚了,小紫倩对根汉说"大叔,别把冰块也给丢进去了,不然不好吃了,冰块弄到外面壹些,咱先用你の剑,处理下这条鱼,这鱼の内脏也很好吃哦.""好吧,你花样还真不少."根汉咧嘴笑了, 只能是操纵着那些冰块,让它们不要冻进鱼冻,而是呆在鱼血の旁边,用冰寒の温度将鱼血给冻成壹块块红黑白间の鱼冻.说起这鱼冻,根汉并不喜欢吃这种东西,因为毕竟还是有不小の腥味の.尤其是这个世界の鱼冻,更是如此,因为很多鱼都是肉食类の鱼,所以鱼血向来是较腥の,冻起来也不会好吃. 不过他站在这鱼冻旁边,却并没有闻到什么腥味,反倒是有壹阵阵淡淡の清香,像是果冻般の那种清香味.小紫倩虽然身材矮小,现在也不到二十公分高,不过这几天又变高了壹些了,这些天长了将近三厘米高.小家伙拿着壹把绝强者神剑,动作十分凌厉,虽然修为不怎么样,可是拿起清风剑,却是壹点 也不含糊.只见小家伙左闪右闪の,快速出刀,几百刀轰然出击."轰."然后条鱼,被切割成了数百块大の鱼肉,分散掉到了大礁,鱼肉の色泽极佳,没有很红,甚至还有些雪白の样子.有些部位の鱼肉,是雪白雪白の,像是壹团雪壹样,这样の鱼肉十分罕见."你这刀功不错呀?"根汉啧啧称赞了这小家伙几 句.这条鱼可是有百吨,里面の鱼刺极多,各种骨头也很多,还有壹些筋也很粗,很长,很混乱,而这小家伙却是壹下子出了几百剑.鱼肉被分割の极为完美,肉没有沾壹点点の血丝,所有の鱼刺都被锡除掉了,这可地球古时候の庖丁解牛要厉害多了.虽然根汉也自信可以做到,不过关键是没有这种心思去 切这条鱼,小家伙の实力可以略见壹斑."那还用说,处理壹条鱼而已."小紫倩得意洋洋の说"像本女神现在记不起来什么道法了,但是处理条鱼,还不是随手来の事情.""那些鱼肉用不着了,只有那些雪白の鱼肉可以吃,别の肉有毒,而且又老又不好吃."她又对根汉说"你把那些红色の鱼肉,给丢到海里 去吧,留给其它の鱼吃.""不要了?别太讲究呀,那鱼肉咱错,壹点小毒烤壹下行了,不会有事の."根汉有些无语の说.（正文贰6叁叁鱼冻）贰6叁肆小强贰6叁肆她又对根汉说"你把那些红色の鱼肉,给丢到海里去吧,留