现代控制理论复习课件
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现代控制理论复习知识点 ppt课件
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能控标准I型(I在右上角) ：Tc1 =? 能控标准II型(I在左下角)：Tc2 =M 能观标准I型(I在右上角) : To1-1 =N 能观标准II型(I在左下角): To2-1 =?
现代控制理论复习知识点
4、对偶 5、能控、能观性分解
能控性分解：不完全能控，A21=0，Rc=？ 能观性分解：不完全能观，A12=0，Ro=？ 能控能观性分解：
现代控制理论复习知识点
要求内容：
包括线性定常系统状态方程齐次解，矩阵指数函数和 状态转移矩阵的概念及其计算方法，线性定常系统状 态方程的非齐次解，离散系统状态方程解，连续时间 系统状态方程离散化
自由运动的解 受迫运动的解 解的基本特征 相关概念：
矩阵指数函数、状态转移矩阵、齐次状态方程（非其 次状态方程）的解、离散时间系统状态方程的解
A特征值互异： Λ= T-1AT; T为特征值对应的特征向量； A特征值有重根： J = T-1AT；T为特征值对于的特征向
量及广义特征向量构成；
现代控制理论复习知识点
2.状态空间表达式之间的变换（续）
系统并联实现
n
特征值互异：递函数分部分式：
i 1
s
ci i
A=Λ, B=(1 1 … 1)T; C=(c1, …, cn)
A=Λ, B=(c1, …, cn)T; C=(1 1 … 1).
特征值有重复： （参考书上内容）
3.状态方程与传递函数的关系
特殊形式的状态矩阵：能控标准I、能观标准II直接 写出传递函数
公式：W = C(SI-A)-1B + D
现代控制理论复习知识点
4、离散时间系统的状态空间表达式
X(k+1) = G X(k) + H u(k) Y(k) = C X(k) + D u(k) 微分方程->差分方程; 传递函数->脉冲传递函数； G, H，C，D 与连续线性系统确定的方法一致。
能控标准I型(I在右上角) ：Tc1 =? 能控标准II型(I在左下角)：Tc2 =M 能观标准I型(I在右上角) : To1-1 =N 能观标准II型(I在左下角): To2-1 =?
现代控制理论复习知识点
4、对偶 5、能控、能观性分解
能控性分解：不完全能控，A21=0，Rc=？ 能观性分解：不完全能观，A12=0，Ro=？ 能控能观性分解：
现代控制理论复习知识点
要求内容：
包括线性定常系统状态方程齐次解，矩阵指数函数和 状态转移矩阵的概念及其计算方法，线性定常系统状 态方程的非齐次解，离散系统状态方程解，连续时间 系统状态方程离散化
自由运动的解 受迫运动的解 解的基本特征 相关概念：
矩阵指数函数、状态转移矩阵、齐次状态方程（非其 次状态方程）的解、离散时间系统状态方程的解
A特征值互异： Λ= T-1AT; T为特征值对应的特征向量； A特征值有重根： J = T-1AT；T为特征值对于的特征向
量及广义特征向量构成；
现代控制理论复习知识点
2.状态空间表达式之间的变换（续）
系统并联实现
n
特征值互异：递函数分部分式：
i 1
s
ci i
A=Λ, B=(1 1 … 1)T; C=(c1, …, cn)
A=Λ, B=(c1, …, cn)T; C=(1 1 … 1).
特征值有重复： （参考书上内容）
3.状态方程与传递函数的关系
特殊形式的状态矩阵：能控标准I、能观标准II直接 写出传递函数
公式：W = C(SI-A)-1B + D
现代控制理论复习知识点
4、离散时间系统的状态空间表达式
X(k+1) = G X(k) + H u(k) Y(k) = C X(k) + D u(k) 微分方程->差分方程; 传递函数->脉冲传递函数； G, H，C，D 与连续线性系统确定的方法一致。
《现代控制理论》课件
现代控制理论
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
《现代控制理论基础》PPT课件
1875 年 ， 英 国 的 劳 斯 （ E.J.Routh,1831-1907 ） ， 1995年，德国的赫尔维茨（A.Hurwitz，1859-1919）,先 后分别提出根据代数方程系数判别系统稳定性的一般准 则。
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。
11
20世纪20年代，电子技术得到了迅速发展，促进 了信息处理和自动控制及其理论的发展。
这 个 时 期 的 主 要 代 表 人 物 有 美 国 的 贝 尔 曼 （ R. Bellman）、原苏联的庞特里亚金和美籍匈牙利人卡尔曼 （R.E.Kalman）等人。
23
1965年，贝尔曼发表了“动态规划理论在控制过程中 的应用“一文，提出了寻求最优控制的动态规划法。
1958年，Kalman提出递推估计的自动化控制原理，奠 定了自校正控制器的基础。
5
二 控制理论的产生及其发展
6
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
27
例如，在20世纪70年代以来形成的大系统理论主要 是解决大型工程和社会经济中信号处理、可靠性控制等 综合最优的设计问题。
由于应用范围涉及越来越复杂的工程系统和社会、 经济、管理等非工程的人类活动系统，原有的理论方法 遇到了本质困难，大系统和社会发展逐渐转向“复杂系 统”的概念。
28
智能控制的发展始于20世纪60年代，它是一种能更好地 模仿人类智能的、非传统的控制方法。它突破了传统控制中 对象有明确的数学描述和控制目标是可以数量化的限制。它 所采用的理念方法主要是来自自动控制理论、人工智能、模 糊集和神经网络以及运筹学等学科分支。
1.2-现代控制理论的主要内容PPT优秀课件
6
最优控制(1/1)
1.2.2 最优控制
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最 优解的一门学科。 ➢ 具体地说就是研究被控系统在给定的约束条件和性能指 标下,寻求使性能指标达到最佳值的控制规律问题。 ➢ 例如要求航天器达到预定轨道的时间最短、所消耗的燃 料最少等。
该分支的基本内容和常用方法为 ➢ 变分法； ➢ 庞特里亚金的极大值原理； ➢ 贝尔曼的动态规划方法。
8
随机系统理论和最优估计(2/2)
最优估计讨论根据系统的输入输出信息估计出或构造出随机 动态系统中不能直接测量的系统内部状态变量的值。 ➢ 由于现代控制理论主要以状态空间模型为基础,构成反馈 闭环多采用状态变量,因此估计不可直接测量的状态变量 是实现闭环控制系统重要的一环。 ➢ 该问题的困难性在于系统本身受到多种内外随机因素扰 动,并且各种输入输出信号的测量值含有未知的、不可测 的误差。
系统辨识是重要的建模方法,因此亦是控制理论实现和应用 的基础。 ➢ 系统辨识是控制理论中发展最为迅速的领域,它的发展还 直接推动了自适应控制领域及其他控制领域的发展。
11
自适应控制(1/5)
1.2.5 自适应控制
自适应控制研究当被控系统的数学模型未知或者被控系统的 结构和参数随时间和环境的变化而变化时,通过实时在线修正 控制系统的结构或参数使其能主动适应变化的理论和方法。 ➢ 自适应控制系统通过不断地测量系统的输入、状态、输 出或性能参数,逐渐了解和掌握对象,然后根据所得的信息 按一定的设计方法,做出决策去更新控制器的结构和参数 以适应环境的变化,达到所要求的控制性能指标。 ➢ 该分支诞生于1950年代末,是控制理论中近60年发展最为 迅速、最为活跃的分支。
12
自适应控制(2/5)
最优控制(1/1)
1.2.2 最优控制
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最 优解的一门学科。 ➢ 具体地说就是研究被控系统在给定的约束条件和性能指 标下,寻求使性能指标达到最佳值的控制规律问题。 ➢ 例如要求航天器达到预定轨道的时间最短、所消耗的燃 料最少等。
该分支的基本内容和常用方法为 ➢ 变分法； ➢ 庞特里亚金的极大值原理； ➢ 贝尔曼的动态规划方法。
8
随机系统理论和最优估计(2/2)
最优估计讨论根据系统的输入输出信息估计出或构造出随机 动态系统中不能直接测量的系统内部状态变量的值。 ➢ 由于现代控制理论主要以状态空间模型为基础,构成反馈 闭环多采用状态变量,因此估计不可直接测量的状态变量 是实现闭环控制系统重要的一环。 ➢ 该问题的困难性在于系统本身受到多种内外随机因素扰 动,并且各种输入输出信号的测量值含有未知的、不可测 的误差。
系统辨识是重要的建模方法,因此亦是控制理论实现和应用 的基础。 ➢ 系统辨识是控制理论中发展最为迅速的领域,它的发展还 直接推动了自适应控制领域及其他控制领域的发展。
11
自适应控制(1/5)
1.2.5 自适应控制
自适应控制研究当被控系统的数学模型未知或者被控系统的 结构和参数随时间和环境的变化而变化时,通过实时在线修正 控制系统的结构或参数使其能主动适应变化的理论和方法。 ➢ 自适应控制系统通过不断地测量系统的输入、状态、输 出或性能参数,逐渐了解和掌握对象,然后根据所得的信息 按一定的设计方法,做出决策去更新控制器的结构和参数 以适应环境的变化,达到所要求的控制性能指标。 ➢ 该分支诞生于1950年代末,是控制理论中近60年发展最为 迅速、最为活跃的分支。
12
自适应控制(2/5)
第2章 现代控制理论1PPT课件
时不变系统状态转移矩阵Φ tt0或 Φ t是满足如下矩阵微分
方程和初始条件的解,这也是检验一个矩阵是不是状态转移
的条件。
Φ (tt0)AΦ (tt0)或 Φ (t)AΦ (t)
Φቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(0)I
Φ (0)I
（2.5）
1Φ t在 t0的值 lim ΦtI
t0
(2)Φt对t的导 Φ 数 tA Φ tΦ tA
故可求出其解为：
t
X ( t) ( t) X ( 0 ) o ( t ) B () U d ( 2 .2 b )
式中 (t) eAt 为系统的状态转移矩阵。
对于线性时变系统非齐次状态方程，
X ( t) A ( t) X ( t) B ( t) U ( t) ( 2 3 )
类似可求出其解为
x (0 )e a t tb(u )e a (t )d 0
同样，将方程（2.1）写为 X (t)A(X t)B(U t)
在上式两边左乘eAt ，可得：
e A [X t(t) A(t) X ]d[e AX t(t) ]e A B t (tU )
dt
3
将上式由 0 积分到 t ，得
X ( t) e A X t ( 0 ) te A (t )B () U d (2 .2 a ) o
的解，X(t)=Ф (t, t0)X(0) 。 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个
重要性质： 1、 (t,t)I
2 、 ( t 2 ,t 1 ) ( t 1 ,t 0 ) ( t 2 ,t 0 )
3 、 1 (t,t0) (t0 ,t) 4、当A给定后，(t,t0) 唯一
5、计算时变系统状态转移矩阵的公式
令 x (t) b 0 b 1 t b 2 t2 b iti b iti,t 0
现代控制理论课件_前半部分复习
1
(3) e
e
At 2
e
A( t1 t 2 )
e t
2
(4) 当AB BA时， e e
At Bt
t e
3
e
( A B )t
(7) T e T e
1 At
( T 1 AT )t
7/110
3.3 线性定常系统状态转移矩阵
(t ) AX (t ) X
称该系统在t0 , t 上是状态完全可控的。
如果对非零x R n ,存在u t t 0 , t ,使得
如果x 可以是状态空间中的任意点，则
21/110
5.2 状态可控性定义
可控态全体所构成的集合记为X c Xc
t0 ,t 是状态空间的线性子空间，称为
可控态的表达式
t e 0 e Jt 0 0 0 te e
t
t t e 2 te
t
2
t
t t e 3! t 2 t e 2 tet 0 0
3
t e 0
0 0 0
e t 0 0
t t e m 1! t m 2 t e m 2 ! m 3 t e t m 3! t te t e
即i I A的零空间是 i维的。
13/110
4.1 对角线规范型
对角线规范型:
1 ~ A
2
n
存在对角线规范型的充分必要条件是： A具有n个线性独立的特征向量。变换矩阵 由此n个特征向量构成。
14/110
4.2 特征向量和运动模态
当A具有n个独立特征向量wi时，则W [ w1 w2 ...wn ] 使得 X(t ) ~ x 0 e t wi 模态的线性组合
(3) e
e
At 2
e
A( t1 t 2 )
e t
2
(4) 当AB BA时， e e
At Bt
t e
3
e
( A B )t
(7) T e T e
1 At
( T 1 AT )t
7/110
3.3 线性定常系统状态转移矩阵
(t ) AX (t ) X
称该系统在t0 , t 上是状态完全可控的。
如果对非零x R n ,存在u t t 0 , t ,使得
如果x 可以是状态空间中的任意点，则
21/110
5.2 状态可控性定义
可控态全体所构成的集合记为X c Xc
t0 ,t 是状态空间的线性子空间，称为
可控态的表达式
t e 0 e Jt 0 0 0 te e
t
t t e 2 te
t
2
t
t t e 3! t 2 t e 2 tet 0 0
3
t e 0
0 0 0
e t 0 0
t t e m 1! t m 2 t e m 2 ! m 3 t e t m 3! t te t e
即i I A的零空间是 i维的。
13/110
4.1 对角线规范型
对角线规范型:
1 ~ A
2
n
存在对角线规范型的充分必要条件是： A具有n个线性独立的特征向量。变换矩阵 由此n个特征向量构成。
14/110
4.2 特征向量和运动模态
当A具有n个独立特征向量wi时，则W [ w1 w2 ...wn ] 使得 X(t ) ~ x 0 e t wi 模态的线性组合
现代控制理论ppt
x ( t ) f x ( t ) u( t ) y ( t ) g x ( t ) u( t )
1.1.2 控制系统的状态空间表达式
5.非线性时变系统：
x( t ) f x( t ), u( t ), t y( t ) g x( t ), u( t ), t
但因 uc1+uc2+uc3=0
显然他们是线性相关的，故只有两个变量是独立 的，因此，最小变量组的个数应是二。
一般的： 状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数 =系统的阶数 对于n阶系统，有n个状态变量： x1(t), x2(t), … xn(t) ﹡状态变量具有非唯一性的：
1.1.1 状态、状态变量和状态空间
1 控制系统的状态空间模型
我们把这种输入/输出描述的数学模型称为系统 的外部描述，内部若干变量，在建模的中间过程， 被当作中间变量消掉了。 现代理论模型：由状态变量构成的一阶微分方 程组来描述，其中包含了系统全部的独立变量。 特别是在数字计算机上求解一阶微分方程组比 求解与之相应的高阶微分方程要容易得多，而且能 同时给出系统的全部独立变量的响应。此外，在求 解过程中，还可以方便地考虑初始条件产生的影响。 因而能同时确定系统内部的全部运动状态。
数学模型：描述系统动态行为的数学表达式， 称为控制系统的数学模型。 经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函 数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定 输入的响应来表征。
实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之 间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们 对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建 模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能 完全揭示系统内全部运动状态的。
1.1.1 状态、状态变量和状态空间
1.1.2 控制系统的状态空间表达式
5.非线性时变系统：
x( t ) f x( t ), u( t ), t y( t ) g x( t ), u( t ), t
但因 uc1+uc2+uc3=0
显然他们是线性相关的，故只有两个变量是独立 的，因此，最小变量组的个数应是二。
一般的： 状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数 =系统的阶数 对于n阶系统，有n个状态变量： x1(t), x2(t), … xn(t) ﹡状态变量具有非唯一性的：
1.1.1 状态、状态变量和状态空间
1 控制系统的状态空间模型
我们把这种输入/输出描述的数学模型称为系统 的外部描述，内部若干变量，在建模的中间过程， 被当作中间变量消掉了。 现代理论模型：由状态变量构成的一阶微分方 程组来描述，其中包含了系统全部的独立变量。 特别是在数字计算机上求解一阶微分方程组比 求解与之相应的高阶微分方程要容易得多，而且能 同时给出系统的全部独立变量的响应。此外，在求 解过程中，还可以方便地考虑初始条件产生的影响。 因而能同时确定系统内部的全部运动状态。
数学模型：描述系统动态行为的数学表达式， 称为控制系统的数学模型。 经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函 数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定 输入的响应来表征。
实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之 间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们 对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建 模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能 完全揭示系统内全部运动状态的。
1.1.1 状态、状态变量和状态空间
现代控制理论(1-8讲第1-2章知识点)精品PPT课件
dia dt
Ke
I fD Coபைடு நூலகம்st
n f Const
nDJ , f
其中：Kf 为发电机增益常数；Ke 为电动机反电势常数。
(3).电动机力矩平衡方程：J
d
dt
f
Kmia
(Km
-电动机转矩常数)
以上三式可改写为：
d
dt
f J
Km J
ia
dia dt
Ke Ra
La
La
ia
Kf La
if
试写出其状态空间表达式。
解：选择相变量为系统的状态变量，有
•
•
•• •
x1 y x2 y x1 x3 y x2
故
即
•
x1 x2
•
x2 x3
•
x3
a0 a3
x1
a1 a3
x2
a2 a3
x3
1 a3
u
•
0
x 0
a0
a3
1 0 a1 a3
0
0
1 x 0 u
a2
1
a3 a3
a1 y a0 y
bnu (n)
b u (n1) n 1
b0u
(1)
分为两种情况讨论。
一、输入信号不含有导数项：
此时系统的运动方程为：
•
y(n)
a y(n1) n1
a1 y a0 y b u
故选
x1 y
•
x2 y
..
xn1
y(n2)
xn y(n1)
对左边各式求导一次，即有
18
24
2-3 化系统的频域描述为状态空间描述
现代控制理论教学课件
数字仿真实验结果分析 阐述如何对数字仿真实验结果进 行分析，包括性能指标的计算和 评估，以及对实验结果进行解释 和讨论。
数字仿真软件 介绍常用的数字仿真软件，如 MATLAB/Simulink等，并解释其 基本原理和使用方法。
数字仿真实验设计 详细说明数字仿真实验的设计方 法，包括如何建立系统模型、如 何设计控制器、如何设置仿真参 数等。
该方法能够全面地反映系统的性能，具有较强的适用性和实用 性。同时，该方法可通过实验手段进行验证，可靠性高。
设计过程相对较为复杂，需要一定的专业知识和经验。
适用于高阶系统和多变量系统的控制器设计，广泛应用于工程 实践中。
最优控制设计法
定义
最优控制设计法是一种基于最优化理论进行控制器设计的 方法。
缺点
现代控制理论阶段
自20世纪60年代开始，状态空间 法成为主导，适用于多输入多输 出、非线性、时变系统的分析与 设计。
现代控制理论的特点
状态空间描述
现代控制理论基于状态空间描述 ，通过状态变量全面反映系统内 部状态，提供更深入的系统分析
。
时域分析法
相比古典控制理论的频域分析法， 现代控制理论采用时域分析法，能 够直接反映系统的时间响应特性。
05
现代控制理论进阶知 识
系统的数学模型 ，包括微分方程、差分方程和状态方程等
。
A 非线性现象
介绍系统中的非线性现象，如死区 、饱和、滞后等，并分析其对系统
性能的影响。
B
C
D
非线性系统设计
探讨非线性控制系统的设计方法，如反馈 线性化、滑模变结构控制、反步法等。
稳定性分析
利用状态空间方程的特征值分析系统的稳定性，通过判断 特征值的分布来确定系统的稳定性。
数字仿真软件 介绍常用的数字仿真软件，如 MATLAB/Simulink等，并解释其 基本原理和使用方法。
数字仿真实验设计 详细说明数字仿真实验的设计方 法，包括如何建立系统模型、如 何设计控制器、如何设置仿真参 数等。
该方法能够全面地反映系统的性能，具有较强的适用性和实用 性。同时，该方法可通过实验手段进行验证，可靠性高。
设计过程相对较为复杂，需要一定的专业知识和经验。
适用于高阶系统和多变量系统的控制器设计，广泛应用于工程 实践中。
最优控制设计法
定义
最优控制设计法是一种基于最优化理论进行控制器设计的 方法。
缺点
现代控制理论阶段
自20世纪60年代开始，状态空间 法成为主导，适用于多输入多输 出、非线性、时变系统的分析与 设计。
现代控制理论的特点
状态空间描述
现代控制理论基于状态空间描述 ，通过状态变量全面反映系统内 部状态，提供更深入的系统分析
。
时域分析法
相比古典控制理论的频域分析法， 现代控制理论采用时域分析法，能 够直接反映系统的时间响应特性。
05
现代控制理论进阶知 识
系统的数学模型 ，包括微分方程、差分方程和状态方程等
。
A 非线性现象
介绍系统中的非线性现象，如死区 、饱和、滞后等，并分析其对系统
性能的影响。
B
C
D
非线性系统设计
探讨非线性控制系统的设计方法，如反馈 线性化、滑模变结构控制、反步法等。
稳定性分析
利用状态空间方程的特征值分析系统的稳定性，通过判断 特征值的分布来确定系统的稳定性。
现代控制理论ppt
求解方法
通过利用拉格朗日乘子法或Riccati方程，求 解线性二次调节器问题，得到最优控制输入
。
动态规划与最优控制策略
动态规划的基本思想
将一个多阶段决策问题转化为一系列单 阶段问题，通过求解单阶段问题得到多 阶段的最优解。
பைடு நூலகம்
VS
最优控制策略的确定
根据动态规划的递推关系，逐步求解每个 阶段的优化问题，最终得到最优控制策略 。
总结词
稳定性分析是研究非线性系统的重要方法，主要关注系统在受到扰动后能否恢 复到原始状态或稳定状态。
详细描述
稳定性分析通过分析系统的动态行为，判断系统是否具有抵抗外部干扰的能力。 对于非线性系统，稳定性分析需要考虑系统的初始状态、输入信号以及系统的 非线性特性等因素。
非线性系统的控制设计方法
总结词
要点二
详细描述
线性系统是指在输入和输出之间满足线性关系的系统，即 系统的输出量可以用输入量的线性组合来表示。线性系统 的性质包括叠加性、均匀性和时不变性等。叠加性是指多 个输入信号的响应等于各自输入信号响应的总和；均匀性 是指系统对不同频率信号的响应是一样的；时不变性是指 系统对时间的变化不敏感，即系统在不同时刻的响应是一 样的。
量随时间的变化规律，输出方程描述了输出量与状态变量之间的关系。
线性系统的稳定性分析
• 总结词：稳定性是控制系统的重要性能指标之一，线性系统的稳定性分 析是现代控制理论的重要研究内容。
• 详细描述：稳定性是控制系统的重要性能指标之一，如果一个系统受到 扰动后能够自我恢复到原来的状态，那么这个系统就是稳定的。线性系 统的稳定性分析是现代控制理论的重要研究内容，常用的方法有劳斯赫尔维茨稳定判据和奈奎斯特稳定判据等。劳斯-赫尔维茨稳定判据是 一种基于系统极点的判据，通过判断系统的极点是否都在复平面的左半 部分来判断系统的稳定性；奈奎斯特稳定判据是一种基于频率域的判据， 通过判断系统的频率响应是否在复平面的右半部分来判断系统的稳定性。
现代控制理论复习
W (s) C(sI A)1 B D Cadj(sI A)B D | sI A |
➢课程结构与内容
• 第2章 控制系统状态空间表达式的解
✓ 2.1 线性定常齐次状态方程的解 ✓ 2.2 矩阵指数函数—状态转移矩阵 ✓ 2.3 线性定常系统非齐次方程的解
eAt 的求法
(1)定义法: eAt I At 1 A2t2 1 A3t3
分离定理: 若被控系统（Ａ，Ｂ，Ｃ）可控可观测， 用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配 置和观测器设计可以分别进行．
K阵的求法
（2）直接求状态反馈K:
①验证原系统的能控性。
②定义反馈增益矩阵K, 求闭环系统特征多项式。
K k1 k2
kn
f () I ( A BK ) n an1 n1 a1 a0
1.基本概念（状态、状态变量、状态空间表达式等） 2.模拟结构图 3.状态空间表达式的建立
方框图——状态空间表达式 物理系统——状态空间表达式 传递函数——状态空间表达式（实现）
4.状态变量的线性变换 将状态方程化为对角标准型 将状态方程化为约当标准型 线性变换后系统特征值、传递函数保持不变
5.由状态空间表达式求传递函数
p11
设实对称矩阵
P
p21
pn1
p12 p22
pn2
p1n
p2n
,
pnn
pij p ji
Δi (i 1,2,, n) 为其各阶顺序主子行列式：
pp
Δ1
p11
，
Δ2
11
p
12
p
21
22
，… ， Δn P
(1) 实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶主
➢课程结构与内容
• 第2章 控制系统状态空间表达式的解
✓ 2.1 线性定常齐次状态方程的解 ✓ 2.2 矩阵指数函数—状态转移矩阵 ✓ 2.3 线性定常系统非齐次方程的解
eAt 的求法
(1)定义法: eAt I At 1 A2t2 1 A3t3
分离定理: 若被控系统（Ａ，Ｂ，Ｃ）可控可观测， 用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配 置和观测器设计可以分别进行．
K阵的求法
（2）直接求状态反馈K:
①验证原系统的能控性。
②定义反馈增益矩阵K, 求闭环系统特征多项式。
K k1 k2
kn
f () I ( A BK ) n an1 n1 a1 a0
1.基本概念（状态、状态变量、状态空间表达式等） 2.模拟结构图 3.状态空间表达式的建立
方框图——状态空间表达式 物理系统——状态空间表达式 传递函数——状态空间表达式（实现）
4.状态变量的线性变换 将状态方程化为对角标准型 将状态方程化为约当标准型 线性变换后系统特征值、传递函数保持不变
5.由状态空间表达式求传递函数
p11
设实对称矩阵
P
p21
pn1
p12 p22
pn2
p1n
p2n
,
pnn
pij p ji
Δi (i 1,2,, n) 为其各阶顺序主子行列式：
pp
Δ1
p11
，
Δ2
11
p
12
p
21
22
，… ， Δn P
(1) 实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶主
现代控制理论课件chapter2
Modern Control Theory
L06
Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
矩阵指数法
(t ) Ax(t ), 对应于 t 的同次幂系数相等 x
1 1 2 1 2 b1 Ab0 ,2b2 Ab1 b2 Ab1 A b0 A b0 2 2 2! 1 1 1 3 3 3b3 Ab2 b3 Ab2 A b0 A b0， ， b0 x(0) 3 3 2! 3! 1 k bk A b0 k!
Modern Control Theory
L06
Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
矩阵指数法
1 2 2 1 k k 所以 x(t ) [ I At A t A t ]x(0) 2! k! 1 2 2 1 k k 因为 e 1 at a t a t 2! k!
2.2状态转移矩阵
转移矩阵的计算
Modern Control Theory
2.1 线性定常系统齐次状态 方程的解 (自由解)
L06
Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems
2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
定义：自由解 矩阵指数法 拉氏变换法
为一阶齐次微分方程组。
自由解：系统在没有输入的情况下，由初始状 态引起的自由运动。
Modern Control Theory
现代控制理论基础课件共58页
4
二 控制理论的产生及其发展
5
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
2
个人基本情况(2)
1982.09-1986.06 河南大学数学系基础数学专业本科毕业
1986.06-2019.06 在河南大学从事科研和教学究工作
1993.09-2019.06 郑州大学基础数学专业硕士研究生毕业、获硕士学位
2019.09-2019.10 西北工业大学自动控制系博士研究生毕业 2019.10-2019.12 中科院自动化研究所国家重点实验室客座研究员 2019.10-2019.12 中科院自动化研究所国家重点实验室客座研究员 2019.12 获得副教授任职资格
2019.10-2019.12 中科院自动化研究所国家重点实验室客座研究员
2000.05-2019.04 清华大学《控制科学与工程》博士后流动站工作
2019.4 被聘任为教授 2019.05-2019.07 清华大学智能技术与系统国家重点实验做客座研究员 2019.02-2019.06 香港浸会大学计算机科学系高级访问教授
对于非线性系统，除了线性化及渐近展开等计算外， 主要采用相平面分析和谐波平衡法(即描述函数法)研究。
16
这一时期的主要代表人物除了奈奎斯特等人以外， 还有美国的伯德（H.W.Bode）和埃文斯（W.R.Evans）。
1945年，伯德出版了《网络分析和反馈放大器设计》 一书，提出了频率响应分析方法，即简便而实用的伯德 图法。
二 控制理论的产生及其发展
5
自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类 在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的 发展和科学水平的进步而不断发展。
人类发明具有“自动”功能的装置的历史可以追溯到 公元前14－11世纪的中国、埃及和巴比伦出现的铜壶滴 漏计时器。
公元前4世纪，希腊柏拉图（Platon,公元前47－公元 前347）首先使用了“控制论”一词。
2
个人基本情况(2)
1982.09-1986.06 河南大学数学系基础数学专业本科毕业
1986.06-2019.06 在河南大学从事科研和教学究工作
1993.09-2019.06 郑州大学基础数学专业硕士研究生毕业、获硕士学位
2019.09-2019.10 西北工业大学自动控制系博士研究生毕业 2019.10-2019.12 中科院自动化研究所国家重点实验室客座研究员 2019.10-2019.12 中科院自动化研究所国家重点实验室客座研究员 2019.12 获得副教授任职资格
2019.10-2019.12 中科院自动化研究所国家重点实验室客座研究员
2000.05-2019.04 清华大学《控制科学与工程》博士后流动站工作
2019.4 被聘任为教授 2019.05-2019.07 清华大学智能技术与系统国家重点实验做客座研究员 2019.02-2019.06 香港浸会大学计算机科学系高级访问教授
对于非线性系统，除了线性化及渐近展开等计算外， 主要采用相平面分析和谐波平衡法(即描述函数法)研究。
16
这一时期的主要代表人物除了奈奎斯特等人以外， 还有美国的伯德（H.W.Bode）和埃文斯（W.R.Evans）。
1945年，伯德出版了《网络分析和反馈放大器设计》 一书，提出了频率响应分析方法，即简便而实用的伯德 图法。
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(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤 继续。 (2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：
f ( ) de t[I ( A BK )]
(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写期望特征
多项式。
n1 f * ( ) （ 1（ ) 2 ) （ n ) n n 1 1 0
n1
1
n 1
1
12
2、系统的输出能控性 （1）若线性定常系统Σ(A，B，C，D)在有限时间 间隔[t0， T ]内存在无约束的分段连续输入信号 u(t)， 能使系统的任意初始输出 y(t0)转移到y(T )，则称系统 是输出完全能控的。 （2）输出能控性判据为 rankQ=rank[CB CAB…CAn1B]=p（输出变量的个数） （3）状态能控性和输出能控性是两个不同的概念， 其间没有必然联系。
, n)
k1n s s1
其中：
1 d i 1 n k1i lim [ G ( s )( s s ) 1 ](i 1, s s1 (i 1)! ds i 1
1
即： k lim G(s)(s s )n 11 1 s s
s1 x1 x 0 2 0 xn 0 1 s1 0 0 0 1 0 0
一、线性定常系统能控性判据 ① rankQc= rank[ B AB … An1B]= n ② A为约当阵：当A中各特征值只对应一个约当块时， B中与约当块最后一行对应的行不全为零；当A中某 特征值对应多于一个约旦块时，对应B的分块的最后 一行线性无关。
③ SISO系统，由状态空间表达式导出的(sI-A)-1B没
bn 1 s n 1 bn 2 s n 2 ， b1 s b0 G( s) s n a n 1 s n 1 a1 s a0
所以：
cn c1 c2 s p1 s p 2 s pn
1 p1 x n x 0 0 x1 1 u pn xn 1
16
第 4章 小 结
一、李雅普诺夫第二法的三个基本定理 1．要熟练掌握这三个基本定理的内容。这三 个基本定理是：渐近稳定的判别定理4.2.1和定理 4.2.2；不稳定的判别定理4.2.3 。
2．要搞清这三个定理之间的区别。其区别主要 ( x , t ) 的定号性判别上，可以归纳为以 集中在对 v 下结论： 给定系统 构造v函数 充分条件
0 A 0 a n 1 0 a n 1 0 , 1 a1 0 B 0 1 C b 0 0 0
则
,
b.由传递函数推导状态空间模型
串联法： 将一个n阶的传递函数分解成若低阶传递函数的乘 积，分别写出每个环节的状态空间实现。 并联法： 将一个n阶的传递函数分解成若低阶传递函数的和， 分别写出每个环节的状态空间实现。 对角标准型 情况1：传递函数无重极点 或解耦形式
1 t ... 0 1 ... ... ... ... 0 0 ... 0 0 ... t n2 (n 2)! t n 3 (n 3)! ... 1 0
2!
i!
0 0 T n t e
t n 1 (n 1)! t n2 t (n 2)! e 1 ... t 1
c) 基本性质：状态变换不改变系统的特征值及 ~ 传递函数阵，即： sI A sI A ~ ~ ~ 1 ~ ~ G(s) C (sI A) B D G(s)
第二章总结
1. 线性定常系统状态转移矩阵
Φ(t t0 ) e
A(t t 0 )
它包含了系统运动的全部信息，可以完全表征系 统的动态特征。 (t t ) AΦ (t t ) Φ 0 0 （i）定义条件 Φ (0) I 判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件
7
(ii)状态转移矩阵的求法 ( At ) 2 1 ii At (1) 级数展开法 Φ(t ) e I At A t (2) 拉氏变换法 Φ(t ) e At L1[(sI A)1 ] (3)对角形法或约当形法 对角形: e At
e 1t 0 2 t 0 e T 1e DtT T 1 0 0
第 1章 小 结
一、状态空间表达式的建立方法 1）直接建模法(以RLC网络为例)：
(1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电 流所满足的关系式.
(2) 选择状态变量.状态变量的个数应为独立一阶储 能元件(如电感和电容)的个数. (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,经整理可得 描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组 --状态方 程 (4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程 (5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起 ,即为描 述系统的状态空间模型的状态空间表达式
ci lim G s s pi
s pi
y c1
x1 c n xn
情况2：传递函数有重极点
G( s) k11 k12 Y ( s) n n 1 U ( s) ( s s1 ) ( s s1 )
2）系统实现法 a.由微分方程推导状态空间模型（输入不含导数项） an y bu y ( n) a1 y ( n1) an1 y 状态变量取等价输出相变量，即：
1 x 1 by 1 x2 y b x 1 y ( n 1) n b
d k12 lim G ( s )( s s1 ) n s s1 ds
0 x1 0 0 x 2 u 0 1 xn 1 s1
注意：若分子多项式次数=分母多项式次数。需要 将传递函数化为严格真有理分式的形式后再进行 变换。
2. 线性定常系统齐次状态方程的解可表示为
x(t ) Φ(t t 0 ) x(t 0 )
3. 线性定常连续系统非齐次方程的解分为零输 入的状态转移和零状态的状态转移，即
x(t ) Φ(t t0 ) x(t0 ) Φ(t ) Bu( )d
t0 t
10
第 3章 小 结
e 1t 0 ( t ) 1 ( t )1 e n t ( t ) ( t ) 0 1 n n1 ( t )1n1
n 1 n1 ( t )n
n 1 e1t 0 (t ) 1 (t )1 n 1 (t )1 te1t (t ) 2 (t ) m (t )m 1 (n 1) (t )n 2 1 2 1 m 1 n 1 1 m2 n 3 t 2e1t 2 2 (t ) m(m 1) m (t )1 (n 1)(n 2) n 1 (t )1 m t m 1 t e 1 m! m (t ) (n 1)(n 2)(n m) n 1 (t )n n t n 1e1t (n 1)! (t ) 9 n 1
二、由状态空间表达式求传递函数阵
G(s) C (sI A) 1 B D
( A, B,C, D)
三、状态空间模型的性质
a) 状态变换的定义： x P~ x b) 四联矩阵变换关系:
~ ~ A P 1 AP ， B P 1 AP,
或
~ x P 1 x
~ ~ C CP, D D
14
（3）能观标准形
① SISO Σ(A,C) ，其A和C有以下的标准格式
0 1 A 0 a0 0 a1 1 a n 1 0
C = [0Байду номын сангаас… 0 1]
② 将能观系统Σ(A,C)化为能观标准形，其变换矩阵
W是唯一的，其方法与求能控标准形一致。 其变换矩阵
(4)由 f ( ) f * ( ) 确定反馈矩阵K：
K [ k1
k2 kn ]
19
2）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大，n>3时）
(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步 骤继续。 (2)确定将原系统化为第二能控标准型 ( A, B , C ) 的变换阵 T (3)写出期望的特征多项式：
约当形:
e At
8
(4) 化eAt为A的有限项法 凯莱-哈密尔顿定理：矩阵A的特征多项式是A的 零化多项式。 e At 0 (t ) I 1(t ) A n 1(t ) An1 αi(t)的计算按A的特征值互异或有重根时分别计算。 1.A的特征值互异 2.A有重特征值
② 将能控系统Σ(A，B)化为能控标准形，其变换矩阵 W是唯一的，其方法如下： 首先求出Γc，验证系统是能控的。 1.求出A的特征多项式:|λI-A|=λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0 ~ ~ 2.写出其能控标准型中的状态矩阵 A 和输入矩阵 B ~ ~ ~ ~ ~~ B AB A B T B AB A B 3.求 T ~ 1 4.求变换阵 W T T
~ 1 C C ~~ CA C A ~ 1 W T T ~~ n 1 n 1 CA CA
15
三、对偶原理 线性系统 Σ1(A ， B ， C) 与 Σ2(AT ， CT ， BT) 互为 对偶系统。若系统Σ1能控（能观测），则Σ2能观测 （能控）。 四、传递函数的零极相消定理 1 C [ sI A ] B 不存在 1.系统既能控又能观的充要条件是 零极相消。 2.系统能控的充要条件是 [sI A]1 B 不存在零极相消。 3.系统能观的充要条件是 C[sI A]1 不存在零极相消。
f ( ) de t[I ( A BK )]
(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写期望特征
多项式。
n1 f * ( ) （ 1（ ) 2 ) （ n ) n n 1 1 0
n1
1
n 1
1
12
2、系统的输出能控性 （1）若线性定常系统Σ(A，B，C，D)在有限时间 间隔[t0， T ]内存在无约束的分段连续输入信号 u(t)， 能使系统的任意初始输出 y(t0)转移到y(T )，则称系统 是输出完全能控的。 （2）输出能控性判据为 rankQ=rank[CB CAB…CAn1B]=p（输出变量的个数） （3）状态能控性和输出能控性是两个不同的概念， 其间没有必然联系。
, n)
k1n s s1
其中：
1 d i 1 n k1i lim [ G ( s )( s s ) 1 ](i 1, s s1 (i 1)! ds i 1
1
即： k lim G(s)(s s )n 11 1 s s
s1 x1 x 0 2 0 xn 0 1 s1 0 0 0 1 0 0
一、线性定常系统能控性判据 ① rankQc= rank[ B AB … An1B]= n ② A为约当阵：当A中各特征值只对应一个约当块时， B中与约当块最后一行对应的行不全为零；当A中某 特征值对应多于一个约旦块时，对应B的分块的最后 一行线性无关。
③ SISO系统，由状态空间表达式导出的(sI-A)-1B没
bn 1 s n 1 bn 2 s n 2 ， b1 s b0 G( s) s n a n 1 s n 1 a1 s a0
所以：
cn c1 c2 s p1 s p 2 s pn
1 p1 x n x 0 0 x1 1 u pn xn 1
16
第 4章 小 结
一、李雅普诺夫第二法的三个基本定理 1．要熟练掌握这三个基本定理的内容。这三 个基本定理是：渐近稳定的判别定理4.2.1和定理 4.2.2；不稳定的判别定理4.2.3 。
2．要搞清这三个定理之间的区别。其区别主要 ( x , t ) 的定号性判别上，可以归纳为以 集中在对 v 下结论： 给定系统 构造v函数 充分条件
0 A 0 a n 1 0 a n 1 0 , 1 a1 0 B 0 1 C b 0 0 0
则
,
b.由传递函数推导状态空间模型
串联法： 将一个n阶的传递函数分解成若低阶传递函数的乘 积，分别写出每个环节的状态空间实现。 并联法： 将一个n阶的传递函数分解成若低阶传递函数的和， 分别写出每个环节的状态空间实现。 对角标准型 情况1：传递函数无重极点 或解耦形式
1 t ... 0 1 ... ... ... ... 0 0 ... 0 0 ... t n2 (n 2)! t n 3 (n 3)! ... 1 0
2!
i!
0 0 T n t e
t n 1 (n 1)! t n2 t (n 2)! e 1 ... t 1
c) 基本性质：状态变换不改变系统的特征值及 ~ 传递函数阵，即： sI A sI A ~ ~ ~ 1 ~ ~ G(s) C (sI A) B D G(s)
第二章总结
1. 线性定常系统状态转移矩阵
Φ(t t0 ) e
A(t t 0 )
它包含了系统运动的全部信息，可以完全表征系 统的动态特征。 (t t ) AΦ (t t ) Φ 0 0 （i）定义条件 Φ (0) I 判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件
7
(ii)状态转移矩阵的求法 ( At ) 2 1 ii At (1) 级数展开法 Φ(t ) e I At A t (2) 拉氏变换法 Φ(t ) e At L1[(sI A)1 ] (3)对角形法或约当形法 对角形: e At
e 1t 0 2 t 0 e T 1e DtT T 1 0 0
第 1章 小 结
一、状态空间表达式的建立方法 1）直接建模法(以RLC网络为例)：
(1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电 流所满足的关系式.
(2) 选择状态变量.状态变量的个数应为独立一阶储 能元件(如电感和电容)的个数. (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,经整理可得 描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组 --状态方 程 (4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程 (5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起 ,即为描 述系统的状态空间模型的状态空间表达式
ci lim G s s pi
s pi
y c1
x1 c n xn
情况2：传递函数有重极点
G( s) k11 k12 Y ( s) n n 1 U ( s) ( s s1 ) ( s s1 )
2）系统实现法 a.由微分方程推导状态空间模型（输入不含导数项） an y bu y ( n) a1 y ( n1) an1 y 状态变量取等价输出相变量，即：
1 x 1 by 1 x2 y b x 1 y ( n 1) n b
d k12 lim G ( s )( s s1 ) n s s1 ds
0 x1 0 0 x 2 u 0 1 xn 1 s1
注意：若分子多项式次数=分母多项式次数。需要 将传递函数化为严格真有理分式的形式后再进行 变换。
2. 线性定常系统齐次状态方程的解可表示为
x(t ) Φ(t t 0 ) x(t 0 )
3. 线性定常连续系统非齐次方程的解分为零输 入的状态转移和零状态的状态转移，即
x(t ) Φ(t t0 ) x(t0 ) Φ(t ) Bu( )d
t0 t
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第 3章 小 结
e 1t 0 ( t ) 1 ( t )1 e n t ( t ) ( t ) 0 1 n n1 ( t )1n1
n 1 n1 ( t )n
n 1 e1t 0 (t ) 1 (t )1 n 1 (t )1 te1t (t ) 2 (t ) m (t )m 1 (n 1) (t )n 2 1 2 1 m 1 n 1 1 m2 n 3 t 2e1t 2 2 (t ) m(m 1) m (t )1 (n 1)(n 2) n 1 (t )1 m t m 1 t e 1 m! m (t ) (n 1)(n 2)(n m) n 1 (t )n n t n 1e1t (n 1)! (t ) 9 n 1
二、由状态空间表达式求传递函数阵
G(s) C (sI A) 1 B D
( A, B,C, D)
三、状态空间模型的性质
a) 状态变换的定义： x P~ x b) 四联矩阵变换关系:
~ ~ A P 1 AP ， B P 1 AP,
或
~ x P 1 x
~ ~ C CP, D D
14
（3）能观标准形
① SISO Σ(A,C) ，其A和C有以下的标准格式
0 1 A 0 a0 0 a1 1 a n 1 0
C = [0Байду номын сангаас… 0 1]
② 将能观系统Σ(A,C)化为能观标准形，其变换矩阵
W是唯一的，其方法与求能控标准形一致。 其变换矩阵
(4)由 f ( ) f * ( ) 确定反馈矩阵K：
K [ k1
k2 kn ]
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2）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大，n>3时）
(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步 骤继续。 (2)确定将原系统化为第二能控标准型 ( A, B , C ) 的变换阵 T (3)写出期望的特征多项式：
约当形:
e At
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(4) 化eAt为A的有限项法 凯莱-哈密尔顿定理：矩阵A的特征多项式是A的 零化多项式。 e At 0 (t ) I 1(t ) A n 1(t ) An1 αi(t)的计算按A的特征值互异或有重根时分别计算。 1.A的特征值互异 2.A有重特征值
② 将能控系统Σ(A，B)化为能控标准形，其变换矩阵 W是唯一的，其方法如下： 首先求出Γc，验证系统是能控的。 1.求出A的特征多项式:|λI-A|=λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0 ~ ~ 2.写出其能控标准型中的状态矩阵 A 和输入矩阵 B ~ ~ ~ ~ ~~ B AB A B T B AB A B 3.求 T ~ 1 4.求变换阵 W T T
~ 1 C C ~~ CA C A ~ 1 W T T ~~ n 1 n 1 CA CA
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三、对偶原理 线性系统 Σ1(A ， B ， C) 与 Σ2(AT ， CT ， BT) 互为 对偶系统。若系统Σ1能控（能观测），则Σ2能观测 （能控）。 四、传递函数的零极相消定理 1 C [ sI A ] B 不存在 1.系统既能控又能观的充要条件是 零极相消。 2.系统能控的充要条件是 [sI A]1 B 不存在零极相消。 3.系统能观的充要条件是 C[sI A]1 不存在零极相消。