2016北京高考数学一轮复习模拟题(附答案)
高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案
高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案一、填空题1.市内某公共汽车站有6个候车位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是________.[解析] 由于题目要求的是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析(3种选择),之后十位(2种选择),最后百位(2种选择),共322=12种;如果是第二种偶奇奇的情况,个位(3种情况),十位(2种情况),百位(不能是0,1种情况),共321=6种,因此总共12+6=18种情况.[答案] 182.若从1,2,3,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有________种.[解析] 满足题设的取法可分为三类:一是四个奇数相加,其和为偶数,在5个奇数1,3,5,7,9中,任意取4个,有C=5(种);二是两个奇数加两个偶数其和为偶数,在5个奇数中任取2个,再在4个偶数2,4,6,8中任取2个,有CC=60(种);三是四个偶数相加,其和为偶数,4个偶数的取法有1种,所以满足条件的`取法共有5+60+1=66(种).[答案] 663.(2014福州调研)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,称这个数为伞数.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数,组成无重复数字的三位数,其中伞数有________个.[解析] 分类讨论:若十位数为6时,有A=20(个);若十位数为5时,有A=12(个);若十位数为4时,有A=6(个);若十位数为3时,有A=2(个).因此一共有40个.[答案] 404.一个平面内的8个点,若只有4个点共圆,其余任何4点不共圆,那么这8个点最多确定的圆的个数为________.[解析] 从8个点中任选3个点有选法C种,因为有4点共圆所以减去C种再加1种,共有圆C-C+1=53个.[答案] 535.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有________种.[解析] 分两种情况:选2本画册,2本集邮册送给4位朋友有C=6(种)方法;选1本画册,3本集邮册送给4位朋友有C=4(种)方法,不同的赠送方法共有6+4=10(种).[答案] 106.用数字1,2,3,4,5,6六个数字组成一个六位数,要求数字1,2都不与数字3相邻,且该数字能被5整除,则这样的五位数有________个.[解析] 由题可知,数字5一定在个位上,先排数字4和6,排法有2种,再往排好的数字4和6形成的3个空位中插入数字1和3,插法有6种,最后再插入数字2,插法有3种,根据分步乘法计数原理,可得这样的六位数有263=36个.[答案] 367.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法有________种.[解析] 第一类,含有1张红色卡片,共有不同的取法CC=264(种);第二类,不含有红色卡片,共有不同的取法C-3C=220-12=208(种).由分类计数原理知不同的取法有264+208=472(种).[答案] 4728.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的三位数共有________个.[解析] 在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数,2个偶数,要求三位数各位数字之和为偶数,则两个奇数一个偶数,符合条件的三位数共有CCA=36(个).[答案] 36二、解答题9.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是多少?(用数字作答).[解] 分三类:选1名骨科医生,则有C(CC+CC+CC)=360(种);选2名骨科医生,则有C(CC+CC)=210(种);选3名骨科医生,则有CCC=20(种).骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360+210+20=590种.10.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(1)若每个盒子放一球,则有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?[解] (1)每个盒子放一球,共有A=24(种)不同的放法;(2)法一先选后排,分三步完成.第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;第二步:选两球为一个元素,有C种选法;第三步:三个元素放入三个盒中,有A种放法.故共有4CA=144(种)放法.法二先分组后排列,看作分配问题.第一步:在四个盒子中选三个,有C种选法;第二步:将四个球分成2,1,1三组,有C种放法;第三步:将三组分到选定的三个盒子中,有A种放法.故共有CCA=144种放法.。
高考数学一轮复习《数列求和》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《数列求和》练习题(含答案)一、单选题1.已知数列{}n a 满足()213nn n a a ++-=,11a =,22a =,数列{}n a 的前n 项和为n S ,则30S =( ) A .351 B .353C .531D .5332.已知)*n a n N =∈,则12380a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A .7B .8C .9D .103.已知数列{}n a 满足11a =,()111n n na n a +=++,令nn a b n=,若对于任意*N n ∈,不等式142t n b +<-恒成立,则实数t 的取值范围为( ) A .3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B .(],1-∞-C .(],0-∞D .(],1-∞4.数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈,则下列选项中正确的是( )A .数列{}1n n a a ++是常数列B .若113a <,则{}n a 是递增数列C .若11a =-,则20221013S =D .若11a =,则{}n a 的最小项的值为1-5.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设x ∈R ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则()[]f x x =称为高斯函数.已知数列{}n a 满足21a =,且121(1)2n n n n a na +++-=,若[]lg n n b a =数列{}n b 的前n 项和为n T ,则2021T =( ) A .3950B .3953C .3840D .38456.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+,则2021S =( ) A .20192020B .20202021C .20212022D .101010117.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12πcos 3n n n n a a a ++++=,11a =,则2023S =( )A .0B .12C .lD .328.已知函数0()e ,xf x x =记函数()n f x 为(1)()n f x -的导函数(N )n *∈,函数()n y f x =的图象在1x =处的切线与x 轴相交的横坐标为n x ,则11ni i i x x +==∑( )A .()132n n ++B .()33nn +C .()()23nn n ++D .()()123n n n +++9.数列{}n a 中,12a =,且112n n n n n a a a a --+=+-(2n ≥),则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为( ) A .20211010B .20211011C .20191010D .4040202110.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为( )A .20202019B .20212020C .20192020D .2020202111.已知数列{an }的前n 项和Sn 满足2n S n =,记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为Tn ,n ∈N *.则使得T 20的值为( ) A .1939B .3839C .2041D .404112.已知数列{}n a 满足()22N n n n a a n *++=∈,则{}n a 的前20项和20S =( )A .20215-B .20225-C .21215-D .21225-二、填空题13.等差数列{}n a 中,11a =,59a =,若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n S ,则10S =___________. 14.已知数列{}n a 满足,()2*111,(1)2,n n n a a a n n n N -=--=-⋅≥∈,则20a =__________.15.在等差数列{}n a 中,72615,18a a a =+=,若数列{}(1)nn a -的前n 项之和为n S ,则100S =__________.16.若数列{}n a 满足()1*1(1)2n n n n a a n ++=-+∈N ,令1351924620,S a a a a T a a a a =++++=++++,则=TS__________.三、解答题17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且32a =,47S =. (1)求{}n a 的通项公式; (2)设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+. (1)求{}n a 通项公式; (2)设11n n n b a a +=,{}n b 的前n 项和为n T ,求n T .19.已知数列{}n a 满足111,2n n a a a +==,数列{}n b 满足*111,2,n n b b b n +=-=∈N .(1)求数列{}n a 及{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .20.已知数列{}n a 的首项113a =,且满足1341n n n a a a +=+. (1)证明:数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.(2)若12311112022na a a a ++++<,求正整数n 的最大值.21.已知数列{}n a 满足:11a =,121n n a a n +=+-. (1)设n n b a n =+,证明:数列{}n b 是等比数列; (2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,求n S .22.已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n S a n =+,数列{}n b 满足1142,4b a b a ==,221,.n n n b b b n N *++=∈(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)记21(67),83log ,nnn n n b n S c b n +-⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数,数列{}n c 的前2n 项和为2n T ,若不等式24(1)41n nn T n λ-+<+对一切n N *∈恒成立,求λ的取值范围.23.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且满足___________.给出下列三个条件: ①48a =,()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥;②()1n n S pa p =-∈R ;③()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R .请从其中任选一个将题目补充完整,并求解以下问题: (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()22121log n n b n a =+⋅,n T 是数列{}n b 的前n 项和,求证:1132n T ≤<.24.已知数列{}n a 的各项均为正整数,11a =.(1)若数列{}n a 是等差数列,且101020a <<,求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ;(2)若对任意的*n ∈N ,都有2112112n n n n a a a a +++-<+,求证:12n na a +=参考答案1.B2.B3.D4.D5.D6.C7.C8.B9.B10.D11.C12.D 13.102114.210 15.100 16.2317.(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由32a =,47S =,可得1122,43472a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩,解得111,2a d ==, 所以数列{}n a 的通项公式为()111122n n a n +=+-=. (2)由(1)知12n n a +=,则11221141212n n n b a a n n n n +⎛⎫==⋅=- ⎪++++⎝⎭, 故111111114442233412222n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 18.(1)当2n ≥时,2212(1)2(1)21n n n a S S n n n n n --=+----=+=, 当1n =时,由113a S ==,符合上式.所以{}n a 的通项公式为21n a n =+. (2)∵21n a n =+, ∴()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭, ∴1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19.(1)由已知111,2n n a a a +==所以数列{}n a 是以1为首项,2为公比的等比数列,12n n a -=数列{}n b 满足111,2n n b b b +=-=所以{}n b 是以1为首项,2为公差的等差数列 21n b n =-(2)()11132212n n S n -=⨯+⨯++-①对上式两边同乘以2,整理得()221232212n n S n =⨯+⨯++-②①-②得()()2112222212n n n S n --=++++--()()12121221212n n n --=+⨯---()2323n n =---所以()2323nn S n =⋅-+20.(1)易知{}n a 各项均为正,对1341n n n a a a +=+两边同时取倒数得1111433n n a a +=⋅+, 即1111223n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因为1121a -=,所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项,13为公比的等比数列.(2)由(1)知11111233n n n a --⎛⎫-==⎪⎝⎭,即11123n n a -=+, 所以()12311311113122112313n n n f n n n a a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++++=+=+- ⎪⎝⎭-, 显然()f n 单调递增,因为()10101011313110102021.52022,(1011)2023.520222323f f =-<=-⋅>,所以n 的最大值为1010. 21.(1)数列{}n a 满足:11a =,121n n a a n +=+-. 由n n b a n =+,那么111n n b a n ++=++, ∴1112112n n n n n n b a n a n n b a n a n+++++-++===++; 即公比2q,1112b a =+=,∴数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列;(2)由(1)可得2nn b =,∴2nn a n +=,那么数列{}n a 的通项公式为:2nn a n =-,数列{}n a 的前n 项和为232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()2121222(123)2222nn n n n +=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=---.22.(1)解:因为22n n S a n =+,当n =1时,得11a =,当2n ≥时,21121n n S a n --=+-,所以22121n n n a a a -=-+,即221(1)n n a a -=-,又因为数列{}n a 为递增数列,所以11n n a a --=, 数列{}n a 为等差数列, 11a =,d =1, 所以n a n =;所以1142841,b a b a ====, 又因为221,.n n n b b b n N *++=∈ 所以数列{}n b 为等比数列,所以33418b b q q ===,解得2q,所以12n n b -=.(2)由题意可知:(1)2n n n S +=, 所以()2167,83log ,n n n n n b n c S b n +⎧-⎪=-⎨⎪⎩为奇数为偶数,故2(67)2,443,n n n n c n n n n -⎧-⎪=+-⎨⎪⎩1为奇数为偶数 , 设{}n c 的前2n 项和中,奇数项的和为n P ,偶数项的和为n Q 所以135212462=,=,n n n n P c c c c Q c c c c -++++++++当n 为奇数时,()()2)2123(67)2(67222=,4432321n n n n n n n c n n n n n n --+----==-+-++-1111所以42220264135221222222==5195132414329n n n n P n c c c n c --⎛⎫⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫++++-+-+-++ ⎪ ⎪⎭-- ⎪ ⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎭0,44411=412=1n nn n --++ 当n 为偶数时n c n =,所以()()246222==246212n n n nQ c c c c n n n +++++++++==+,故()2,4=4=111n n n n T n n P Q n -++++故24(1)41n nn T n λ-+<+,即()()111144(1)(1)4141n nnn n n n n n n λλ-+<-+-++⇒-+<++当n 为偶数时,21n n λ<+-对一切偶数成立,所以5λ<当n 为奇数时,21n n λ<+--对一切奇数成立,所以此时1λ>- 故对一切n N *∈恒成立,则15λ-<< 23.(1)若选①,因为()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥,所以()2112n n n a a a n -+=≥,所以数列{}n a 是等比数列设数列{}n a 的公比为q ,0q >由33418a a q q ===得2q所以12n n a -=若选②,因为()1n n S pa p =-∈R ,当1n =时,1111S pa a =-=,所以2p =,即21n n S a =- 当2n ≥时,1122n n n n n a S S a a --=-=-,所以()122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是以1为首项,2为公比的等比数列所以12n n a -=若选③,因为()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R ,当1n =时,11222a k =⋅=,所以1k =,即()12323412n n a a a n a n +++⋅⋅⋅++=⋅当2n ≥时,()1123123412n n a a a na n --+++⋅⋅⋅+=-⋅,所以()()()11122n n n a n n -+=+⋅≥,即()122n n a n -=≥,当1n =时,上式也成立,所以12n n a -=(2) 由(1)得()()()221111121log 212122121n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+⋅+⋅--+⎝⎭所以()111111111233521212221n T n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪-++⎝⎭ ∵*N n ∈,∴()10221n >+,∴()11122212n T n =-<+ 易证*n ∈N 时,()112221n T n =-+是增函数,∴()113n T T ≥=.故1132n T ≤<24.(1)解:设数列{}n a 的公差为d ,由10101920a d <=+<,可得1919d <<, 又由数列{}n a 的各项均为正整数,故2d =,所以21n a n =-, 于是()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+,所以111111111121335212122121n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. (2)解:因为{}n a 各项均为正整数,即1n a ≥,故112nna a ≥+,于是()211112122112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++-=-≥-++, 又因为21121<12n n n n a a a a +++-+,所以121n n a a +-<, 由题意12n na a +-为整数,所以只能120n n a a +-=,即12n n a a +=。
【高考调研】2016届高考数学一轮复习 第二章 第10课时 函数与方程课件 理
f(a)·f(b)<0,如图所示.
所以 f(a)·f(b)<0 是 y = f(x) 在闭区间 [a , b] 上有零点的充分 不必要条件.
课前自助餐
授人以渔 自助餐
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题组层级快练
课前自助餐
1.函数零点的概念
零点不是点!
(1)从“数”的角度看:即是使f(x)=0的实数x; (2) 从“形”的角度看:即是函数 f(x) 的图像与 x 轴交点的 横坐标. 2.函数零点与方程根的关系
似解(精确度0.001)时,若我们选取初始区间是[1.4,1.5],则要 达到精确度要求至少需要计算的次数是________.
【解析】
1.5-1.4 设至少需要计算 n 次,由题意知 2n
<0.001,即 2n>100.由 26=64,27=128,知 n=7.
【答案】 7
1.函数零点的性质: (1) 若函数f(x) 的图像在 x =x0 处与x 轴相切,则零点x0 通常 称为不变号零点; (2) 若函数f(x) 的图像在 x =x0 处与x 轴相交,则零点x0 通常
称为变号零点.
2.函数零点的求法: 求函数y=f(x)的零点: (1)( 代数法)求方程f(x)= 0 的实数根( 常用公式法、因式分
解、直接求解等);
(2)( 几何法 ) 对于不能用求根公式的方程,可以将它与函 数y=f(x)的图像联系起来,并利用函数的性质找出零点; (3)二分法(主要用于求函数零点的近似值,所求零点都是 指此类题的解法是将f(x) = 0 ,拆成 f(x) = g(x) - h(x)
= 0 ,画出 h(x) 与 g(x) 的图像,从而确定方程 g(x) = h(x) 的根所
思考题2 在的区间为( )
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)一、单选题1.已知(0,)θπ∈且满足cos 2cos θθ=,则tan θ=A .B .CD 2.在△ABC 中,7,5a c ==,则sin :sin A C 的值是( )A .75B .57C .712D .5123.已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3),则下面结论正确的是 A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 24.函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在下列区间内递减的是( ) A .,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .[],0π-C .22,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.已知a =116116tan tan +︒-,b =⎝⎭,c a 、b 、c 的大小关系为( ) A .c a b >> B .c b a >>C .a c b >>D .b a c >> 6.函数f (x )=3sin(2x -6π)在区间[0,2π]上的值域为 A .[32-,32] B .[32-,3]C .[D .[,3] 7.将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度,所得函数的解析式是( )A .cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B .cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .sin 2y x =-D .sin 2y x = 8.函数tan y x =周期为( )A .2πB .2πC .πD .3π9.在ABC 中,60A =︒,43a =,42b =,则B 等于( )A .45︒B .135︒C .45︒或135︒D .3010.函数()sin()f x A x b ωϕ=++的图象如下:则()f x 的解析式和(0)(1)(2)(2006)S f f f f =+++⋯+的值分别为A .1()sin 122f x x π=+,2006S = B .1()sin 122f x x π=+,120062S = C .1()sin 122f x x π=+,120072S = D .1()sin 122f x x π=+,2007S = 11.设函数f (x )=2sin(2πx +5x ).若对任意x ∈R ,都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立,则|x 1-x 2|的最小值为( )A .4B .2C .1D .12 12.如图所示,在ABC 中,D 是边AC 上的点,且AB AD =,23AB BD =,2BC BD =,若2BD =,则sin C 的值为( )A .33B .23C .223D .66二、填空题13.函数()()sin 0,0,y A x A ωϕωϕπ=+>><的图象如图所示,则该函数的解析式为y =______.14.在ABC ∆中,如果lg lg lgsin 2a c B -==-,且B 为锐角,则三角形的形状是__________.15.已知()2cos 3f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭,则(1)(2)(2022)f f f +++的值为________.16.sin 73cos13sin167cos 73︒︒-︒︒=________.17.已知△ABC 中,3cot 4A =-,则cos A =______. 18.252525sin cos tan 634πππ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭______. 19.已知扇形的半径为3cm ,圆心角为60︒,则扇形的面积为 2cm .20.若sin 41cos 5γγ=+,则1cos 2sin γγ-=______.三、解答题21.求下列各式的值(1)2log 342233log 9log 2log 3log 432-++⋅; (2)()()()sin 1071sin99sin 171sin 261-︒︒+-︒-︒.22.已知一扇形的面积S 为定值,求当扇形的圆心角为多大时,它的周长最小?最小值是多少?23.在ABC 中,a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边,()cos sin cos cos A A a C c A =+; (1)求角A 的大小;(2)若a =ABC 14b c +的最小值.24.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2a =,b =2B A =. (1)求sin A ;(2)求△ABC 的面积.25.(1)已知tan()22βα-=,tan()32αβ-=-,求)tan(βα+的值; (2)化简:21tan 9sin (12sin 99)︒︒-︒-.26.已知在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且有2cos (cos cos )C a B b A c +=. (1)求C ;(2)若3c =,求ABC ∆面积的最大值.27.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. (1)求()f x 的最大值及此时的x 的集合;(2)求()f x 的单调增区间;(3)若1()2f α=,求sin(4)6πα-. 28.已知矩形纸片ABCD 中,AB=6,AD=12,将矩形纸片右下角折起,使该角的顶点B 落在矩形的边AD 上,且折痕的两端点M 、N 分别位于边AB ,BC 上,此时的点B 记为点P ,设MNB θ∠=,MN y =.(1)当15MNB ∠=时,判断N 的位置;(2)试将y 表示成θ的函数并求y 的最小值。
高考数学一轮复习《统计》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《统计》练习题(含答案)一、单选题1.已知条件p :11x -<<,q :x >m ,若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是( ) A .[)1,-+∞B .(),1-∞-C .()1,0-D .(],1-∞-2.下表为随机数表的一部分:08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237已知甲班有60位同学,编号为00~59号,规定:利用上面的随机数表,从第1行第4列的数开始,从左向右依次读取2个数,则抽到的第8位同学的编号是( ) A .11B .15C .25D .373.一组数据的方差为()20S S ≥,将该组数据都乘以2,所得到的一组新数据的标准差为( )A .22S B .SC .2SD .2S4.甲、乙两所学校的男女生比例如图所示,已知甲校学生总数为1500,乙校学生总数为1000,下列结论错误的是( )A .甲校女生比乙校女生多B .乙校男生比甲校男生少C .乙校女生比甲校男生少D .甲校女生比乙校男生少5.某校共有学生3000人,为了解学生的身高情况,用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为100的样本,其中高一抽取40人,高二抽取30人,则该校高三学生人数为( ) A .600B .800C .900D .12006.设某高中的男生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数据()(12)i i x y i n =,,,,,用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8580.71y x =-,则下列结论中不正确的是( ) A .y 与x 有正的线性相关关系B .回归直线过样本点的中心(),x yC .若该高中某男生身高增加1cm ,则其体重约增加0.85kgD .若该高中某男生身高为170cm ,则可断定其体重必为63.79kg 7.x 是12100,,,x x x 的平均值,5为4120,,,x x x 的平均值,10为4142100,,,x x x 的平均值,则x =( ) A .8B .9C .15D .1528.某学校有男生400人,女生600人.为调查该校全体学生每天睡眠时间,采用分层抽样的方法抽取样本,计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时,方差为1,女生每天睡眠时间为7小时,方差为0.5.若男、女样本量按比例分配,则可估计总体方差为( ). A .0.45B .0.62C .0.7D .0.769.某样本点)()(,1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的经验回归方程为ˆ0.50.7yx =+,当8x =时,y 的实际值为4.5,则当8x =时,预测值与实际值的差值为( ). A .0.1B .0.2C .0.3D .0.410.若数据9,m ,6,n ,5的平均数为7,方差为2,则数据11,9,21m -,17,21n -的平均数和方差分别为( ) A .13,4B .14,4C .13,8D .14,811.2021年起,我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式,即除语文、数学、外语3门必选科目外,考生再从物理、历史中选1门,从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科,某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制,绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示,下面叙述一定不正确的是( )A .甲的化学成绩领先年级平均分最多.B .甲有2个科目的成绩低于年级平均分.C .甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.D .对甲而言,物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.12.冬末春初,乍暖还寒,人们容易感冒发热,若发生群体性发热,则会影响到人们的身体健康,干扰正常工作生产,某大型公司规定:若任意连续7天,每天不超过5人体温高于37.3℃,则称没有发生群体性发热,下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中,能判定该公司没有发生群体性发热的为( )(1)中位数为3,众数为2 (2)均值小于1,中位数为1(3)均值为3,众数为4 (4)均值为2 A .(1)(3)B .(3)(4)C .(2)(3)D .(2)(4)二、填空题13.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4,现按年级用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的高三年级的学生人数为20,则抽取的样本容量为______.14.已知具有线性相关的变量x 、y ,设其样本点为()(1,2,,,8)i i i A x y i =,回归直线方程为1ˆ2yx b =+,若128(6,2)OA OA OA +++=(O 为原点),则b =_______.15.已知一组数据按顺序排列为:12,16,20,n ,46,51,58,60.若这组数据的第30百分位数的两倍与这组数据的第50百分位数相等,则n 的值为___________.16.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:由表中的数据得线性回归方程为y bx a =+,其中20b =-,预测当产品价格定为9.5(元)时,销量约为__________件.三、解答题17.某区政府组织了以“不忘初心,牢记使命”为主题的教育活动,为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间,从全区的党员干部中随机抽取n 名,获得了他们一周参与主题教育活动时间(单位:h )的频率分布直方图如图所示,已知参与主题教育活动时间在(]12,16内的人数为92.(1)求n 的值;(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表,估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数(中位数精确到0.01).(3)如果计划对参与主题教育活动时间在(]16,24内的党员干部给予奖励,且在(]16,20,(]20,24内的分别评为二等奖和一等奖,那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动,再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人,求这2人均是二等奖的概率.18.由于疫情影响,今年我们学校开展线上教学,高一年级某班班主任为了了解学生上网学习时间,对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查,将数据(取整数)整理后,绘制出如图所示频率分布直方图,已知从左到右各个小组的频率分别是0.15,0.25,0.35,0.20,0.05,则根据直方图所提供的信息:(1)这一天上网学习时间在100~119分钟之间的学生有多少人?(2)估计这40位同学的线上平均学习时间(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)以及中位数分别是多少?(精确到0.1)(3)如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生该天的上网学习时间,这样推断是否合理?为什么?19.省政府坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导,落实全国、全省教育大会部署,坚持社会主义办学方向,落实立德树人根本任务,发展素质教育,推进育人方式变革,引导全社会树立科学的教育质量观和人才培养观,切实减轻有损中小学生身心健康的过重学业负担,遵循教育教学规律,促进中小学生健康成长,培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人.从某市抽取1000名一年级小学生进行调查,统计他们每周做作业的时长(单位:小时),根据结果绘制的频率分布直方图如下:(1)根据频率分布直方图,求所有被抽查小学生每周做作业的平均时长和中位数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)①为了进一步了解,现采用分层抽样的方法从[8,10]和[10,12]组中抽取50名学生,则两组各抽取多少人?②再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会.现从参加座谈会的5名学生中随机抽取两人发言,求[8,10]小组中恰有2人发言的概率?20.为了调查某地区高中女生的日均消费情况,研究人员随机抽取了该地区5000名高中女生作出调查,所得数据统计如下图所示.(1)求a 的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数(同一组数据用该组区间的中间值代替);(2)在样本中,现按照分层抽样的方法从该地区消费在[)15,20与[)20,25的高中女生中随机抽取9人,若再从9人中随机抽取3人,记这3人中消费在[)15,20的人数为X ,求X 的分布列以及数学期望.21.道德与法律的联系:法律、道德都是行为规范,都是为规范人们的行为而规定的行动准则.1.法律需要道德的奠基和撑持;2.道德的实施需要法律的强制保障.某校进行了一次道德与法律的相关测试(满分:100分),并随机抽取了50个统计其分数,得到的结果如下表所示: 成绩/分 [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[)80,100人数/个 44102210(1)若同一组数据用该区间中点值作代表,试估计这次测试的平均分和中位数(所得结果四舍五入保留整数);(2)假设处于[)20,40的4个人的成绩分别为20,26,35,38,求表中成绩的10%分位数; (3)以频率估计概率,若在这个学校中,随机挑选3人,记3人的成绩在[)80,100间的数量为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望()E X .22.某校从高三年级学生中随机抽取100名学生的某次数学考试成绩,将其成绩分成[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90,[]90,100的5组,制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中x 的值;(2)估计这组数据的平均数;(3)若成绩在[)50,60内的学生中男生占40%.现从成绩在[)50,60内的学生中随机抽取2人进行分析,求2人中恰有1名女生的概率.23.某校从高三学生中选取了50名学生参加数学质量检测,成绩(单位:分)分组及各组的频数如下:[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.(1)列出频率分布表;(2)画出频率直方图及频率折线图.24.某农业科学研究所为检验某农作物种子的培育有效率,进行了如下试验:一是对该农作物的10000粒种子进行培育,发现有20粒种子未发芽;二是将未进行培育的该农作物的2500粒种子种植在5块试验田中,各试验田种植的种子数及未发芽数如下表:(1)求y 关于x 的回归直线方程; (2)在上述试验下,若以1nN-表示该农作物种子的培育有效率,其中n 为进行培育的10000粒种子的未发芽数,N 为依据上述回归方程估算的未进行培育的10000粒种子的未发芽数,请估计该农作物种子的培育有效率(结果保留3位有效数字).参考公式;在回归方程ˆˆˆy bx a =+中,1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑,ˆˆa y bx=-参考答案1.D2.A3.D4.D5.C6.D7.A8.D9.B10.C11.A12.D 13.7014.18-##-0.12515.34 16.6017.(1)由已知可得,0.25(0.02500.04750.05000.0125)0.1150a =-+++=. 则0.1150492n ⨯⨯=,得922000.11504n ==⨯.(2)设中位数为x ,则0.050040.01254(16)0.11500.5x ⨯+⨯+-⨯=,得13.83x ≈.(3)按照分层抽样的方法从(16,20]内选取的人数为0.050540.05000.0125⨯=+,从(20,24]内选取的人数为0.0125510.05000.0125⨯=+.记二等奖的4人分别为a ,b ,c ,d ,一等奖的1人为A ,事件E 为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人,且这2人均是二等奖”.从这5人中随机抽取2人的基本事件为(,)a b ,(,)a c ,(,)a d ,(,)a A ,(,)b c ,(,)b d ,(,)b A ,(,)c d ,(,)c A ,(,)d A ,共10种,其中2人均是二等奖的情况有(,)a b ,(,)a c ,(,)a d ,(,)b c ,(,)b d ,(,)c d ,共6种, 由古典概型的概率计算公式得()63105P E ==. 18.(1)因为频数=样本容量⨯频率,一天上网学习时间在100119分钟之间的学生所占频率为0.35,所以一天上网学习时间在100~119分钟之间的学生人数为400.3514⨯=(人) (2)40位同学的线上学习时间估计值为:0.1569.90.2589.90.35109.90.20129.90.05149.9104.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分钟在中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的,设在99.9~119.9靠近左侧长度为x ,则0.15+0.25+0.350.5x =解得0.27x ≈; 所以中位数估计值是99.9+0.27=100.17100.2≈(3)因为该样本的选取只在高一某班,不具有代表性,所以这样推断不合理. 19.(1)设抽查学生做作业的平均时长为x ,中位数为y ,0.0510.130.2550.370.1590.1110.0513 6.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 0.050.10.250.15(6)0.5y y =+++⨯-=,解得203y =即抽查学生做作业的平均时长为6.8,中位数为203. (2)①[8,10]组的人数为10000.15150⨯=人,设抽取的人数为a ,[]10,12组的人数为10000.1100⨯=人, 设抽取的人数为b ,则50150100250a b ==,解得30a =,20b = 所以在[8,10]和[]10,12两组中分别抽取30人和20人,②再抽取5人,其中[8,10]和[]10,12两组中分别抽取3人和2人,将[8,10]组中被抽取的工作人员标记为1A ,2A ,3A ,将[]10,12中的标记为1B ,2B . 设事件C 表示从[8,10]小组中恰好抽取2人,则抽取的情况如下:{}12,A A ,{}13,A A ,{}11,A B ,{}12,A B ,{}23,A A ,{}21,A B ,{}22,A B ,{}31,A B ,{}32,A B ,{}12,B B 共10种情况;其中在[8,10]中恰好抽取2人有3种,则3()10P C =. 20.(1)由题意得,()20.040.080.0651a +++⨯=,解得0.01a =,故所求平均数为17.50.427.50.332.50.0537.50.0524.25⨯0.2+22.5⨯+⨯+⨯++=(元); (2)由题意得,消费在[)15,20,[)20,25的高中女生分别有3人和6人,故X 的可能取值为0,1,2,3,∴()6033395021C C P X C ===,()21633915128C C P X C ===,()1263393214C C P X C ===,()0363391384C C P X C ===, 故X 的分布列为:∴()515310123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=; 故答案为:1. 21.(1)估计这次测试的平均分为1043045010702290106250x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==(分);设这次测试的中位数为0x ,显然()060,80x ∈,则060441022200.550x -+++⋅=,解得066x ≈(分). 即估计这次测试的中位数为66.(2)由于5010%5⨯=,所以表中成绩的10%分位数为2026232+=. (3)X 所有可能取值为0,1,2,3.由表中数据可知,任意挑选一人,成绩在[)80,100间的概率为101505=. 所以()346405125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()21341481C 55125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, ()122341122C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()31135125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 故X 的分布列为故X 的数学期望()6448121301231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22.(1)由频率分布直方图得()0.0050.0350.0300.010101x ++++⨯=,解得0.020x =, 所以图中x 的值是0.020.(2)由频率分布直方图得这组数据的平均数: (550.005650.020750.03585x =⨯+⨯+⨯+⨯)0.030950.0101077+⨯⨯=, 所以这组数据的平均数为77.(3)数学成绩在[)50,60内的人数为0. 005101005⨯⨯=(人),其中男生人数为540%2⨯=(人),则女生人数为3人,记2名男生分别为1A ,2A ,3名女生分别为1B ,2B ,3B ,从数学成绩在[)50,60内的5人中随机抽取2人进行分析的基本事件为:121112132122A A A B A B A B A B A B ,,,,,,23121323A B B B B B B B ,,,,共10个不同结果,它们等可能, 其中2人中恰有1名女生的基本事件为111213212223,,,,,A B A B A B A B A B A B ,共6种结果, 所以2人中恰有1名女生的概率为为63105=. 23.(1)解:频率分布表如下:(2) 频率直方图及频率折线图如图所示.24. (1)依题意,3004005006007005005x ++++==,2466755y ++++==, 513002400450066006700713700ii i x y ==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=∑, 52222221(34567)100001350000i i x==++++⋅=∑, 于是得512252113700550051200ˆ0.01213500005500100000i ii i i x y nx y b x nx==-⋅-⋅⋅====-⋅-∑∑,ˆˆ50.0125001ay bx =-=-⨯=-, 所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.0121yx =-; (2)由(1)知,估计未进行培育的10000粒种子的未发芽数N 约为:ˆ0.012100001119y =⨯-=,而已培育的10000粒种子有20粒种子未发芽,即20n =, 所以该农作物种子的培育有效率为209910832119119-=≈。
高考数学一轮复习《一元二次不等式》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《一元二次不等式》练习题(含答案)一、单选题1.已知集合{}23A x x =-<<,()(){}170B x x x =--<,则A B ⋃=( ) A .{}13x x <<B .{}21x x -<<C .{}37x x <<D .{}27x x -<<2.不等式220x x -->的解集是( ) A .{x |x <-1或x >1} B .{x |-1<x <2} C .{x |x <-1或x >2}D .{x |-2<x <1}3.已知集合{}{}22,1,0,2,3,4,|340A B x x x =--=--<,则A B =( )A .{}1,0,2,3,4-B .{}0,2,3,4C .{}0,2,3D .{}2,34.已知x >0,y >0,且x +2y =1,若不等式21x y+≥m 2+7m 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .﹣8≤m ≤1B .m ≤﹣8或m ≥1C .﹣1≤m ≤8D .m ≤﹣1或m ≥85.已知集合(){}30A x x x =-<,{}0,1,2,3B =,则A B ⋂( ) A .{}0,1,2,3 B .{}0,1,2 C .{}1,2,3D .{}1,26.已知集合{}1A x x =>,{}240B x x =-≤,则A B =( )A .{}2x x ≥-B .{}12x x <<C .{}12x x <≤D .{}2x x ≥7.若对任意12x ≤≤,有2x a ≤恒成立,则实数的取值范围是( ) A .{|2}a a ≤ B .{|4}a a ≥ C .{|5}a a ≤D .{|5}a a ≥8.已知集合{}2|3440=--<M x x x ,{}||1|1N y y =-≤,则M N ⋂=( )A .[]0,2B .2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C .[]1,2D .∅9.若集合{}220A x x x =--<,{}21B x x =<,则A B =( )A .AB .BC .()1,0-D .()0,210.若命题“x ∃∈R ,()2214(1)30k x k x -+-+≤”是假命题,则k 的范围是( )A .()1,7B .[)1,7C .()7,1--D .(]7,1--11.若关于x 不等式20ax bx c ++≥的解集为[2,3]-,则关于x 不等式20cx bx a ++≥的解集为( ) A .11[,]23-B .11[,]32-C .11(,][,)23-∞-+∞D .11(,][,)32-∞-+∞12.已知一元二次不等式kx 2 -x +1<0的解集为{x |a <x <b } ,则2a +b 的最小值是( )A .3+B .5+C .3+D .5+二、填空题13.若命题:P x R ∀∈,210ax a ++-≥是真命题,则实数a 的取值范围是______.14.已知集合{}2202120200A x x x =-+<,{}B x x a =<,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是______.15.若关于x 的一元二次不等式210x ax -+≤的解集为∅,则实数a 的取值范围是______.16.已知命题0:p x ∃∈R ,200(1)10x a x +-+<,若命题p 是假命题,则a 的取值范围为__________.三、解答题17.已知函数)(23f x x ax =-+.(1)若不等式)(f x b <的解集为)(0,2,求实数a ,b 的值;(2)若函数)()()(212g x f x a x =+--在区间](0,2有零点,求实数a 的范围.18.已知不等式组22,780x x x -<⎧⎨+-<⎩的解集为A ,集合{}535B x a x a =-<<-.(1)求A ;(2)若A B B ⋃=,求a 的取值范围.19.已知集合(){}222120A x x a x a a =-+++<.(1)若{}13A x x =<<,求实数a 的值; (2)设,若“x B ∀∈,x A ∈”是真命题,求实数a 的取值范围.20.(1)求不等式2560x x -++>的解集; (2)解不等式:()()20x a x -->;(3)关于x 的不等式210ax ax ++>的解集为R ,求实数a 的取值范围.21.命题p :函数()22lg 43(0)y x ax a a =-+->有意义,命题q :实数x 满足302x x -<-. (1)当1a =且p 和q 都为真命题,求实数x 的取值范围; (2)若q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.22.已知集合()(){}130A x x x =--≤,集合{}1B x m x m =-≤≤. (1)当1m =时,求A B ⋃和()RA B ⋃.(2)若B A ⊆,求实数m 的取值范围.23.二次函数2(2)3(0)y ax b x a =+-+≠. (1)当1a =,6b =时,求此函数的零点;(2)若不等式0y >的解集为{}11xx -<<∣,求实数a ,b 的值; (3)当1b a =-时,不等式10y ->在R 上恒成立,求实数a 的取值集合。
高考数学一轮复习多选题专项训练(讲义及答案)含答案
高考数学一轮复习多选题专项训练(讲义及答案)含答案一、数列多选题1.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}F n ,则(){}F n 的通项公式为( )A .(1)1()2n n F n -+=B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C .()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦D .()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦答案:BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……, 显然,,,,,所以且,即B 满足条件; 由, 所以 所以数列解析:BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,显然()()11,21F F ==,()()()3122F F F =+=,()()()4233F F F =+=,,()()()11,2F n F n F n n +=+-≥,所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==,即B 满足条件;由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥, 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12+为首项,12+为公比的等比数列, 所以()()1nF n n +-=⎝⎭()11515()n F F n n -+=++, 令1nn n F b-=⎝⎭,则11n n b +=+,所以1n n b b +=-, 所以nb ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的等比数列,所以1n n b -+, 所以()11152n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦; 即C 满足条件; 故选:BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式,数列递推公式的应用,本题运算量较大,难度较大,要求由较高的逻辑思维能力,属于中档题.2.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a =B .733S =C .135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D .22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 答案:ABCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系,对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ,写出数列的前6项为,故A 正确;对B ,,故B 正确; 对C ,由,,,……,,可得:.故是斐波那契数列中的第解析:ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确; 对B ,71123581333S =++++++=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-, 可得:135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=,故D 正确;故选:ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换.3.已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和,且S 5>S 6>S 4,以下有四个命题,其中正确的有( )A .数列{}n a 的公差d <0B .数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C .S 10>0D .S 11>0答案:AC 【分析】由,可得,且,然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解:因为,所以,且,所以数列的公差,且数列中Sn 的最大项为S5,所以A 正确,B 错误, 所以,,所以C 正确,D 错误, 故选:AC解析:AC【分析】由564S S S >>,可得650,0a a ,且650a a +>,然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解:因为564S S S >>,所以650,0a a ,且650a a +>,所以数列的公差0d <,且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5,所以A 正确,B 错误, 所以110105610()5()02a a S a a +==+>,11111611()1102a a S a +==<, 所以C 正确,D 错误, 故选:AC4.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( )A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >答案:ABC 【分析】因为是等差数列,由可得,利用通项转化为和即可判断选项A ;利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质即可判断选项C ;由可得且,即可判断选项D ,进而得出正确选项解析:ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确; 对于选项B :()()118910181818022a a a a S ++===,故选项B 正确;对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可.5.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减D .数列{}n S 有最大值答案:ABD 【分析】由可判断AB ,再由a1>0,d <0,可知等差数列数列先正后负,可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得,所以数列单调递减,A 正确; 由数列单调递减,可知数列有最大值a1,故B 正解析:ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确. 故选:ABD.6.(多选题)在数列{}n a 中,若221n n a a p --=,(2n ≥,*n N ∈,p 为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A .若{}n a 是等差数列,则{}2n a 是等方差数列B .(){}1n-是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列答案:BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项,取,则不是常数,则不是等方差数列,A 选项中的结论错误; 对于B 选项,为常数,则是等方差数列,B 选项中的结论正解析:BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项,取n a n =,则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数,则{}2n a 不是等方差数列,A 选项中的结论错误; 对于B 选项,()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数,则(){}1n-是等方差数列,B 选项中的结论正确;对于C 选项,若{}n a 是等方差数列,则存在常数p R ∈,使得221n n a a p +-=,则数列{}2na 为等差数列,所以()221kn k n a a kp +-=,则数列{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列,C 选项中的结论正确;对于D 选项,若数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,则存在m R ∈,使得n a dn m =+,则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++,由于数列{}n a 也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得221n n a a p +-=,则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立,则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,得0p d ==,此时,数列{}n a 为常数列,D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义,解题时要充分利用题中的定义进行判断,也可以结合特殊数列来判断命题不成立,考查逻辑推理能力,属于中等题. 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,且3201911111a a e e +≤++,则( ) A .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≥ B .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≤ C .当数列{}n a 为等比数列时,20210T > D .当数列{}n a 为等比数列时,20210T <【分析】将变形为,构造函数,利用函数单调性可得,再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由,可得,令, ,所以是奇函数,且在上单调递减,所以, 所以当数列为等差数列时,;解析:AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++,构造函数()1112xf x e =-+,利用函数单调性可得320190a a +≥,再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++,可得32019111101212a a e e -+-≤++,令()1112x f x e =-+, ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++,所以()1112xf x e =-+是奇函数,且在R 上单调递减,所以320190a a +≥, 所以当数列{}n a 为等差数列时,()320192*********a a S +=≥;当数列{}n a 为等比数列时,且3a ,1011a ,2019a 同号,所以3a ,1011a ,2019a 均大于零, 故()2021202110110T a =>.故选:AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列,考查逻辑推理能力,转化与化归的数学思想,属于中档题 8.设d 为正项等差数列{}n a 的公差,若0d >,32a =,则( ) A .244a a ⋅<B .224154a a +≥C .15111a a +> D .1524a a a a ⋅>⋅答案:ABC 【分析】由已知求得公差的范围:,把各选项中的项全部用表示,并根据判断各选项.由题知,只需, ,A 正确; ,B 正确; ,C 正确; ,所以,D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性解析:ABC 【分析】由已知求得公差d 的范围:01d <<,把各选项中的项全部用d 表示,并根据01d <<判断各选项. 【详解】由题知,只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩, ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<,A 正确;()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥,B 正确; 21511111122221a a d d d +=+=>-+-,C 正确; ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<,所以1524a a a a ⋅<⋅,D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质,解题方法是由已知确定d 的范围,由通项公式写出各项(用d 表示)后,可判断.9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-B .120a =-C .当且仅当10n =时,n S 取最大值D .当0nS <时,n 的最小值为22答案:AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由二次函数的配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由解不等式可判断D . 【详解】等差数列的前n 项和为,公差,由,可【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由二次函数的配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由0n S <解不等式可判断D .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,由690S =,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由7a 是3a 与9a 的等比中项,得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化为1100a d +=,②由①②解得120a =,2d =-,则202(1)222n a n n =--=-,21(20222)212n S n n n n =+-=-,由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,可得10n =或11时,n S 取得最大值110; 由2102n S n n -<=,解得21n >,则n 的最小值为22.故选:AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,以及等比中项的性质,二次函数的最值求法,考查方程思想和运算能力,属于中档题.10.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =,411a =,则( ) A .45n a n =-B .23n a n =+C .223n S n n =-D .24n S n n =+答案:AC 【分析】由求出,再由可得公差为,从而可求得其通项公式和前项和公式 【详解】由题可知,,即,所以等差数列的公差, 所以,. 故选:AC. 【点睛】本题考查等差数列,考查运算求解能力.解析:AC 【分析】由535S =求出37a =,再由411a =可得公差为434d a a =-=,从而可求得其通项公式和前n 项和公式 【详解】由题可知,53535S a ==,即37a =,所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=, 所以()4445n a a n d n =+-=-,()2451232n n n S n n --==-.故选:AC. 【点睛】本题考查等差数列,考查运算求解能力.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( ) A .60a >B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C .0n S <时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项答案:ACD 【分析】由已知得,又,所以,可判断A ;由已知得出,且,得出时,,时,,又,可得出在上单调递增,在上单调递增,可判断B ;由,可判断C ;判断 ,的符号, 的单调性可判断D ; 【详解】 由已知解析:ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,可判断A ;由已知得出2437d -<<-,且()12+3n a n d =-,得出[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d =-,可得出1n a 在1,6n n N上单调递增,1na 在7nn N ,上单调递增,可判断B ;由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,可判断C ;判断 n a ,n S 的符号, n a 的单调性可判断D ; 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-,()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,故A 正确;由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩,解得2437d -<<-,又()()3+312+3n a n d n d a =-=-,当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d=-,所以[]1,6n ∈时,1>0na ,7n ≥时,10n a <,所以1na 在1,6n n N上单调递增,1na 在7n n N ,上单调递增,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列,故B 不正确; 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,而120S >,所以0n S <时,n 的最小值为13,故C 选项正确 ;当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,当[]1,12n ∈时,>0n S ,13n ≥时,0nS <,所以当[]7,12n ∈时,0n a <,>0n S ,0nnS a <,[]712n ∈,时,n a 为递增数列,n S 为正数且为递减数列,所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项,故D 正确;【点睛】本题考查等差数列的公差,项的符号,数列的单调性,数列的最值项,属于较难题. 12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n (n ∈N *),公差d ≠0,S 6=90,a 7是a 3与a 9的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .a 1=22B .d =-2C .当n =10或n =11时,S n 取得最大值D .当S n >0时,n 的最大值为21答案:BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由Sn>0解不等式可判断D . 【详解】由公差,可得,即,① 由a7是a解析:BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由S n >0解不等式可判断D . 【详解】由公差60,90d S ≠=,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由a 7是a 3与a 9的等比中项,可得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化简得110a d =-,②由①②解得120,2a d ==-,故A 错,B 对;由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈,可得10n =或11时,n S 取最大值110,C 对;由S n >0,解得021n <<,可得n 的最大值为20,D 错; 故选:BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.二、等差数列多选题13.题目文件丢失!14.著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a = B .733S =C .135********a a a a a ++++=D .22212201920202019a a a a a +++= 解析:ABD 【分析】根据11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,计算可知,A B 正确;根据12a a =,342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,累加可知C 不正确;根据2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,233423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()aa a a a a a a =-=-,,220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,累加可知D 正确. 【详解】依题意可知,11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,312112a a a =+=+=,423123a a a =+=+=,534235a a a =+=+=,645358a a a =+=+=,故A 正确; 7565813a a a =+=+=,所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=,故B 正确;由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =,故C 不正确;2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,233423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()a a a a a a a a =-=-,,220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =,所以22212201920202019a a a a a +++=,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式,考查了累加法,属于中档题.15.已知数列{}n a 的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为( )A .0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B .1(1)1n n a -=-+C .2sin 2n n a π= D .cos(1)1n a n π=-+解析:BD 【分析】根据选项求出数列的前4项,逐一判断即可. 【详解】解:因为数列{}n a 的前4项为2,0,2,0, 选项A :不符合题设;选项B :01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=,符合题设;选项C :,12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设;选项D :1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=,符合题设.故选:BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题,考查了基本运算求解能力,属于基础题. 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则( ) A .若59S >S ,则150S > B .若59S =S ,则7S 是n S 中最大的项 C .若67S S >, 则78S S > D .若67S S >则56S S >.解析:BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断. 【详解】A 错:67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<;B 对:n S 对称轴为n =7;C 对:6770S S a >⇒<,又10a >,887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>;D 错:6770S S a >⇒<,但不能得出6a 是否为负,因此不一定有56S S >. 故选:BC . 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列的前n 项和性质,(1)n S 是关于n 的二次函数,可以利用二次函数性质得最值;(2)1n n n S S a -=+,可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小;(3)1()2n n n a a S +=,因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负. 17.已知数列0,2,0,2,0,2,,则前六项适合的通项公式为( )A .1(1)nn a =+-B .2cos2n n a π= C .(1)2sin 2n n a π+= D .1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--解析:AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案. 【详解】对于选项A ,1(1)nn a =+-取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件;对于选项B ,2cos 2n n a π=取前六项得:0,2,0,2,0,2--,不满足条件; 对于选项C ,(1)2sin2n n a π+=取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件;对于选项D ,1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得:0,2,2,8,12,22,不满足条件; 故选:AC18.等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,151115,a S S ==,则以下正确的是( )A .1d =-B .413a a =C .n S 的最大值为8SD .使得0n S >的最大整数15n = 解析:BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩,再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意,1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩,所以1215d a =-⎧⎨=⎩,故A 错误; 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-,所以413a a =,故B 正确; 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+,所以当且仅当8n =时,n S 取最大值,故C 正确; 要使()28640n S n =--+>,则16n <且n N +∈, 所以使得0n S >的最大整数15n =,故D 正确. 故选:BCD.19.{} n a 是等差数列,公差为d ,前项和为n S ,若56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d < B .70a =C .95S S >D .170S <解析:ABD 【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式,及题中的条件,可选出答案. 【详解】由67S S =,可得7670S S a -==,故B 正确; 由56S S <,可得6560S S a -=>,由78S S >,可得8780S S a -=<,所以876a a a <<,故等差数列{}n a 是递减数列,即0d <,故A 正确; 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<,所以95S S <,故C 不正确; 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列,且80a <,所以90a <, 所以()117179171702a a S a +==<,故D 正确.故选:ABD. 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列性质的应用,解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质,本题要从题中条件入手,结合公式()12n n n a S S n --≥=,及()12n n n a a S +=,对选项逐个分析,可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力,属于中档题. 20.设d 为正项等差数列{}n a 的公差,若0d >,32a =,则( ) A .244a a ⋅< B .224154a a +≥C .15111a a +> D .1524a a a a ⋅>⋅解析:ABC 【分析】由已知求得公差d 的范围:01d <<,把各选项中的项全部用d 表示,并根据01d <<判断各选项. 【详解】 由题知,只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩,()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<,A 正确;()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥,B 正确; 21511111122221a a d d d+=+=>-+-,C 正确; ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<,所以1524a a a a ⋅<⋅,D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质,解题方法是由已知确定d 的范围,由通项公式写出各项(用d 表示)后,可判断.21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( )A .2d =-B .120a =-C .当且仅当10n =时,n S 取最大值D .当0nS <时,n 的最小值为22解析:AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由二次函数的配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由0n S <解不等式可判断D .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,由690S =,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由7a 是3a 与9a 的等比中项,得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化为1100a d +=,②由①②解得120a =,2d =-,则202(1)222n a n n =--=-,21(20222)212n S n n n n =+-=-,由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,可得10n =或11时,n S 取得最大值110; 由2102n S n n -<=,解得21n >,则n 的最小值为22.故选:AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,以及等比中项的性质,二次函数的最值求法,考查方程思想和运算能力,属于中档题.22.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,47a =,则( )A .2n S n =B .223n S n n =-C .21n a n =-D .35n a n =-解析:AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组,求出11a =,2d =,由此能求出n a 与n S . 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S .39S =,47a =,∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩, 解得11a =,2d =,1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=.()21212nn n S n +-==故选:AC . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.23.无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++,其中a ,b ,c 为实数,则( )A .{}n a 可能为等差数列B .{}n a 可能为等比数列C .{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D .{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 解析:ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式,利用定义判定得出答案.【详解】当1n =时,11a S a b c ==++.当2n ≥时,()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+. 当1n =时,上式=+a b .所以若{}n a 是等差数列,则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c时,{}n a 是等差数列, 00a c b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列;当0c ≠时,{}n a 从第二项开始是等差数列. 故选:A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系,利用n S 求通项公式,属于基础题.24.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d < B .70a >C .{}n S 中5S 最大D .49a a <解析:AD 【分析】先根据题意得1110a a +>,1120a a +<,再结合等差数列的性质得60a >,70a <,0d <,{}n S 中6S 最大,49a a <-,即:49a a <.进而得答案.【详解】解:根据等差数列前n 项和公式得:()111111102a a S +=>,()112121202a a S +=< 所以1110a a +>,1120a a +<, 由于11162a a a +=,11267a a a a +=+, 所以60a >,760a a <-<, 所以0d <,{}n S 中6S 最大, 由于11267490a a a a a a +=+=+<, 所以49a a <-,即:49a a <. 故AD 正确,BC 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质,是中档题.三、等比数列多选题25.题目文件丢失! 26.题目文件丢失!27.一个弹性小球从100m 高处自由落下,每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时,经过的总路程记为n S ,则当2n ≥时,下面说法正确的是( ) A .500n S < B .500n S ≤C .n S 的最小值为7003D .n S 的最大值为400解析:AC 【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式,再由表达式分析数值特征即可 【详解】由题可知,第一次着地时,1100S =;第二次着地时,221002003S =+⨯;第三次着地时,232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭;……第n 次着地后,21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,显然500n S <,又n S 是关于n 的增函数,2n ≥,故当2n =时,n S 的最小值为40070010033+=;综上所述,AC 正确 故选:AC28.已知数列{}n a 是等比数列,则下列结论中正确的是( ) A .数列2{}n a 是等比数列 B .若4123,27,a a ==则89a =± C .若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D .若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1 解析:AC 【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠则222112()n n n na a q a a ++==,即数列2{}n a 是等比数列;即A 正确; 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号,而40,a > 所以80a >,即B 错误;若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩,即数列{}n a 是递增数列,C 正确;若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-,即D 错误 故选:AC 【点睛】等比数列的判定方法 (1)定义法:若1(n na q q a +=为非零常数),则{}n a 是等比数列; (2)等比中项法:在数列{}n a 中,0n a ≠且212n n a a a a ++=,则数列{}n a 是等比数列;(3)通项公式法:若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数),则{}n a 是等比数列;(4)前n 项和公式法:若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数),则{}n a 是等比数列.29.已知等比数列{}n a 中,满足11a =,2q ,n S 是{}n a 的前n 项和,则下列说法正确的是( )A .数列{}2n a 是等比数列B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C .数列{}2log n a 是等差数列D .数列{}n a 中,10S ,20S ,30S 仍成等比数列 解析:AC 【分析】 由已知得12n na 可得以2122n n a -=,可判断A ;又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭,可判断B ;由122log log 21n n a n -==-,可判断C ;求得10S ,20S ,30S ,可判断D.【详解】等比数列{}n a 中,满足11a =,2q,所以12n n a ,所以2122n n a -=,所以数列{}2n a 是等比数列,故A 正确;又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列,故B 不正确;因为122log log 21n n a n -==-,所以{}2log n a 是等差数列,故C 正确;数列{}n a 中,101010111222S -==--,202021S =-,303021S =-,10S ,20S ,30S 不成等比数列,故D 不正确; 故选:AC . 【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式,以及数列的单调性的判定,属于中档题.30.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.则下列说法正确的是( ) A .此人第三天走了二十四里路B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C .此人第二天走的路程占全程的14D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 解析:BD 【分析】根据题意,得到此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列,记该等比数列为{}n a ,公比为12q =,前n 项和为n S ,根据题意求出首项,再由等比数列的求和公式和通项公式,逐项判断,即可得出结果. 【详解】由题意,此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列,记该等比数列为{}n a ,公比为12q =,前n 项和为n S , 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-,解得1192a =,所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=,故A 错;此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里,故B 正确;此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=,故C 错; 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=,后三天走的路程为6337833642S S -=-=,336428=⨯,即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍,D 正确; 故选:BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用,熟记等比数列的通项公式与求和公式即可,属于常考题型. 31.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,667711,01a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .01q <<B .681a a >C .n S 的最大值为7SD .n T 的最大值为6T解析:AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况,得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<,则n T 的最大值为6T .∴B ,C ,错误.故选:AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充:等比数列的通项公式:()1*1n n a a qn N -=∈.32.已知数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,*n N ∈, n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,则下列结论中正确的是( ) A .()21121n nS n a -=-⋅ B .212n n S S =C .2311222n n n S S ≥-+ D .212n n S S ≥+解析:CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,得到1223+++=+n n a a n ,两式相减得:22n n a a +-=,然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式,再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,*n N ∈, 所以1223+++=+n n a a n , 两式相减得:22n n a a +-=,所以奇数项为1,3,5,7,….的等差数列; 偶数项为2,4,6,8,10,….的等差数列; 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =, A. 令2n =时, 311111236S =++=,而 ()1322122⨯-⋅=,故错误; B. 令1n =时, 213122S =+=,而 11122S =,故错误;C. 当1n =时, 213122S =+=,而 31132222-+=,成立,当2n ≥时,211111...23521n n S S n =++++--,因为221n n >-,所以11212n n >-,所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--,故正确; D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++,令()1111...1232f n n n n n=+++++++,因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++,所以()f n 得到递增,所以()()112f n f ≥=,故正确;故选:CD【点睛】本题主要考查等差数列的定义,等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用,还考查了转化求解问题的能力,属于较难题.33.已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =,122(2)n n S S p n --=≥(p 为非零常数)测下列结论中正确的是( ) A .数列{}n a 为等比数列 B .1p =时,41516S =C .当12p =时,()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D .3856a a a a +=+ 解析:AC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义,判断出A 正确;利用等比数列的求和公式判断B 错误;利用等比数列的通项公式计算得出C 正确,D 不正确. 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥,得22p a =. 3n ≥时,1222n n S S p ---=,相减可得120n n a a --=,又2112a a =,数列{}n a 为首项为p ,公比为12的等比数列,故A 正确; 由A 可得1p =时,44111521812S -==-,故B 错误; 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅,可得12p =,故C 正确;38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭,56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭, 则3856a a a a +>+,即D 不正确; 故选:AC. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式,考查数列的递推关系式,考查学生的计算能力,属于中档题.34.设{}n a 是无穷数列,若存在正整数k ,使得对任意n +∈N ,均有n k n a a +>,则称{}n a 是间隔递增数列,k 是{}n a 的间隔数,下列说法正确的是( )A .公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B .已知4n a n n=+,则{}n a 是间隔递增数列C .已知()21nn a n =+-,则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D .已知22020n a n tn =-+,若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3,则45t ≤<解析:BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--,因为1q >,所以当10a <时,n k n a a +<,故错误;B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令24t n kn =+-,t 在n *∈N 单调递增,则()1140t k =+->,解得3k >,故正确;C. ()()()()()()21212111n kn n kn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦,当n 为奇数时,()2110kk --+>,存在1k 成立,当n 为偶数时,()2110kk +-->,存在2k ≥成立,综上:{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2,故正确; D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3,则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->,n *∈N 成立,则()220k t k +->,对于3k ≥成立,且()220k t k +-≤,对于k 2≤成立即()20k t +->,对于3k ≥成立,且()20k t +-≤,对于k 2≤成立 所以23t -<,且22t -≥ 解得45t ≤<,故正确. 故选:BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 35.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中,n S 是数列{}n a 的前n 项和,若 1418a a +=, 2312a a +=,则下列说法正确的是( )A .2qB .数列{}2n S +是等比数列C .8510S =D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列解析:ABC 【分析】由1418a a +=,2312a a +=,31118a a q +=,21112a q a q +=,公比q 为整数,解得1a ,q ,可得n a ,n S ,进而判断出结论.【详解】∵1418a a +=,2312a a +=且公比q 为整数,∴31118a a q +=,21112a q a q +=,∴12a =,2q或12q =(舍去)故A 正确, ()12122212n n n S +-==--,∴8510S =,故C 正确;∴122n n S ++=,故数列{}2n S +是等比数列,故B 正确;而lg lg 2lg 2nn a n ==,故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列,故D 错误.故选:ABC . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用,属于中档题. 36.已知数列{}n a 是等比数列,则下列结论中正确的是( ) A .数列2{}n a 是等比数列B .若32a =,732a =,则58a =±C .若123a a a <<,则数列{}n a 是递增数列D .若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+,则1r =-解析:AC 【分析】在A 中,数列{}2n a 是等比数列;在B 中,58a =;在C 中,若123a a a <<,则1q >,数列{}n a 是递增数列;在D 中,13r =-. 【详解】由数列{}n a 是等比数列,知: 在A 中,22221n n a a q -=,22221122221nn n n a a q q a a q+-∴==是常数, ∴数列{}2n a 是等比数列,故A 正确;在B 中,若32a =,732a =,则58a =,故B 错误;在C 中,若1230a a a <<<,则1q >,数列{}n a 是递增数列;若1230a a a <<<,则01q <<,数列{}n a 是递增数列,故C 正确;在D 中,若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+,。
【金版教程】2016高考(新课标)数学(理)大一轮复习试题:阶段示范性金考卷4
阶段示范性金考卷四(测试范围第七章)(时间:90分钟分值:150分)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. [2014·福建高考]某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A. 圆柱B. 圆锥C. 四面体D. 三棱柱答案:A2. [2015·广东七校联考]已知平面α、β和直线m,给出条件:①m ∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α⊥β;⑤α∥β.能推导出m∥β的是()A. ①④B. ①⑤C. ②⑤D. ③⑤解析:由两平面平行的性质可知两平面平行,在一个平面内的直线必平行于另一个平面,于是选D.答案:D3. 在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是()解析:A中,直线AB在平面BCD内的投影与CD垂直,故AB⊥CD.答案:A4. 设α、β、γ为平面,l、m、n为直线,则m⊥β的一个充分条件为()A. α⊥β,α∩β=l,m⊥lB. n⊥α,n⊥β,m⊥αC. α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γD. α⊥γ,β⊥γ,m⊥α解析:如图①知A错;如图②知C错;如图③在正方体中,两侧面α与β相交于l,都与底面γ垂直,γ内的直线m⊥α,但m与β不垂直,故D错;由n⊥α,n⊥β,得α∥β.又m⊥α,则m⊥β,故B正确.答案:B5. 设α、β、γ是三个互不重合的平面,m、n是两条不重合的直线,下列命题中正确的是()A. 若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γB. 若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nC. 若α⊥β,m⊥α,则m∥βD. 若α∥β,m⊄β,m∥α,则m∥β解析:对于A,若α⊥β,β⊥γ,α,γ可以平行,也可以相交,A 错;对于B,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m,n可以平行,可以相交,也可以异面,B错;对于C,若α⊥β,m⊥α,则m可以在平面β内,C错;易知D正确.答案:D6. [2015·云南昆明模拟]一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是等边三角形.若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),则第五个顶点的坐标可能为( )A. (1,1,1)B. (1,1,2)C. (1,1,3)D. (2,2,3)解析:因为正视图和侧视图是等边三角形,俯视图是正方形,所以该几何体是正四棱锥,还原几何体并结合其中四个顶点的坐标,建立空间直角坐标系,设O (0,0,0),A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),则所求的第五个顶点的坐标为S (1,1,z ),正视图为等边三角形,且边长为2,故其高为3,又正四棱锥的高与正视图的高相等,故z =±3,故第五个顶点的坐标可能为(1,1,3)或(1,1,-3),选C.答案:C7. 如图所示,正四棱锥P -ABCD 的底面积为3,体积为22,E 为侧棱PC 的中点,则P A 与BE 所成的角为( ) A.π6 B.π4C.π3D.π2解析:连接AC 、BD 交于点O ,连接OE ,OP ,易得OE ∥P A ,∴所求角为∠BEO .∵PO ⊥OB ,OB ⊥OA ,∴OB ⊥平面P AC ,OB ⊥OE .由所给条件易得OB =62,OE =12P A =22,在△OBE 中,tan ∠OEB =3,∴∠OEB =π3,选C.答案:C8. [2015·辽宁三校联考]某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )A. 2π3B. π3C. 2π9D. 16π9解析:由题知该几何体为底面半径为2,高为4的圆锥的13部分,其体积是13π×22×4×13=16π9.故选D.答案:D9. 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E ,F ,且EF =12,则下列结论中错误的是( )A. AC ⊥BEB. EF ∥平面ABCDC. 三棱锥A -BEF 的体积为定值D. △AEF 的面积与△BEF 的面积相等解析:由AC ⊥平面DBB 1D 1,可知AC ⊥BE ,故A 正确.由EF ∥BD ,EF ⊄平面ABCD ,知EF ∥平面ABCD ,故B 正确.A 到平面BEF的距离即A 到平面DBB 1D 1的距离为22,且S △BEF =12BB 1×EF =定值,故V A -BEF 为定值,即C 正确.答案:D10. [2014·安徽高考]一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为( )A. 233B. 476C. 6D. 7解析:由三视图知这个多面体是正方体截去两个全等的三棱锥后剩余的部分,其直观图如图所示,结合题图中尺寸知,正方体的体积为23=8,一个三棱锥的体积为13×12×1×1×1=16,因此多面体的体积为8-2×16=233,故选A.答案:A11. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点M 为棱AA 1的中点,则直线BC 1与平面MC 1D 1所成角的正弦值是( )A. 1015B. 3010C. 1010D. 31010解析:设正方体的棱长为1,以D 点为坐标原点,以DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,0,12,D 1(0,0,1),C 1(0,1,1),B (1,1,0), 则MD 1→=⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,0,12, MC 1→=⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,1,12, BC 1→=(-1,0,1).设平面MC 1D 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·MD 1→=0,n ·MC 1→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧ -x +12z =0,-x +y +12z =0,所以取x =1,则z =2,y =0,即n =(1,0,2).设直线BC 1与平面MC 1D 1所成角为θ,则sin θ=|cos 〈n ,BC 1→〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC 1→|n ||BC 1→|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪-1+25×2=1010,故选C. 答案:C12. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A. 12B. 23C. 33D. 22解析:以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,设棱长为1,则A 1(0,0,1),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,0,12,D (0,1,0), ∴A 1D →=(0,1,-1),A 1E →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,0,-12, 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1=(1,y ,z ),则⎩⎨⎧ y -z =0,1-12z =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧y =2,z =2. ∴n 1=(1,2,2).∵平面ABCD 的一个法向量为n 2=(0,0,1),∴cos〈n 1,n 2〉=23×1=23. 即所成的锐二面角的余弦值为23.答案:B第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13. [2015·忻州期末]已知不重合的直线m 、l 和不重合的平面α、β,且m ⊥α,l ⊂β,给出下列命题:①若α∥β,则m ⊥l ;②若α⊥β,则m ∥l ;③若m ⊥l ,则α∥β;④若m ∥l ,则α⊥β.其中正确命题的个数是________.解析:对于①,∵m ⊥α,α∥β,∴m ⊥β,又l ⊂β,∴m ⊥l ,①正确;对于②,∵m ⊥α,α⊥β,∴m ∥β或m ⊂β,又l ⊂β,∴m 与l 可能相交、平行或异面,②错误;对于③,∵m ⊥α,m ⊥l ,∴l ∥α或l ⊂α,又l ⊂β,∴α与β有可能相交,也有可能平行,③错误;对于④,∵m ⊥α,m ∥l ,则l ⊥α,又l ⊂β,∴α⊥β,④正确,∴正确命题的个数是2.答案:214. [2015·北京西城区模拟]已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示,那么此三棱柱正(主)视图的面积为________.解析:由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形,其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高,另一边是棱长.因为侧(左)视图中三角形的边长为2,所以高为3,所以正视图的面积为2 3.答案:2 315. 如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 是A 1B 1上的点,则点E 到平面ABC 1D 1的距离是________________.解析:解法一:以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在射线为x ,y ,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,设点E (1,a,1)(0≤a ≤1),连接D 1E ,则D 1E →=(1,a,0).连接A 1D ,易知A 1D ⊥平面ABC 1D 1,则DA 1→=(1,0,1)为平面ABC 1D 1的一个法向量.∴点E 到平面ABC 1D 1的距离是d =|D 1E →·DA 1→||DA 1→|=22. 解法二:点E 到平面ABC 1D 1的距离,即B 1到BC 1的距离,易得点B 1到BC 1的距离为22. 答案:2216. 在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,P A =2,底面△ABC 是边长为2的正三角形,则此三棱锥外接球的半径为________.解析:底面△ABC 是边长为2的正三角形,P A ⊥底面ABC ,可得此三棱锥的外接球即为以△ABC 为底面、以P A 为高的正三棱柱的外接球.∵△ABC 是边长为2的正三角形,∴△ABC 的外接圆半径r =233,球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d =1,故球的半径R =r 2+d 2=73=213.答案:213三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. [2014·江苏高考](本小题满分10分)如图,在三棱锥P -ABC 中,D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点.已知P A ⊥AC ,P A =6,BC =8,DF =5.求证:(1)直线P A∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.证明:(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥P A.又因为P A⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以直线P A∥平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,P A=6,BC=8,所以DE∥P A,DE=12P A=3,EF=12BC=4.又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.又P A⊥AC,DE∥P A,所以DE⊥AC.因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.18. [2015·江西九江模拟](本小题满分12分)已知点P在矩形ABCD 的边DC上,AB=2,BC=1,点F在AB边上且DF⊥AP,垂足为E,将△ADP沿AP边折起,使点D位于D′位置,连接D′B、D′C得四棱锥D′-ABCP.(1)求证:D′F⊥AP;(2)若PD=1,且平面D′AP⊥平面ABCP,求四棱锥D′-ABCP 的体积.解:(1)证明:∵AP⊥D′E,AP⊥EF,D′E∩EF=E,∴AP⊥平面D′EF,∴AP⊥D′F.(2)连接PF,∵PD=1,∴四边形ADPF是边长为1的正方形,∴D′E=DE=EF=2 2.∵平面D′AP⊥平面ABCP,D′E⊥AP,∴D′E⊥平面ABCP,∵S梯形ABCP=12×(1+2)×1=32,∴V D′-ABCP=13D′E·S梯形ABCP=2 4.19.[2015·大连双基测试](本小题满分12分)已知三棱柱ABC-A′B′C′中,平面BCC′B′⊥底面ABC,BB′⊥AC,底面ABC是边长为2的等边三角形,AA′=3,E,F分别在棱AA′,CC′上,且AE=C′F=2.(1)求证:BB′⊥底面ABC;(2)在棱A′B′上找一点M,使得C′M∥平面BEF,并给出证明.解:(1)证明:如图,取BC中点O,连接AO,因为三角形ABC 是等边三角形,所以AO⊥BC,又平面BCC′B′⊥底面ABC,AO⊂平面ABC,平面BCC′B′∩平面ABC=BC,所以AO⊥平面BCC′B′,又BB′⊂平面BCC′B′,所以AO⊥BB′.又BB′⊥AC,AO∩AC=A,AO⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,所以BB′⊥底面ABC.(2)如图,显然M不是A′,B′,棱A′B′上若存在一点M,使得C′M∥平面BEF,过M作MN∥AA′交BE于N,连接FN,MC′,所以MN∥C′F,即C′M和FN共面,所以C′M∥FN,所以四边形C′MNF为平行四边形,所以MN=2,所以MN是梯形A′B′BE的中位线,M为A′B′的中点.20. [2015·武汉调研](本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =2,AA 1=3,D 是BC 的中点,点E 在棱BB 1上运动.(1)证明:AD ⊥C 1E ;(2)当异面直线AC ,C 1E 所成的角为60°时,求三棱锥C 1-A 1B 1E 的体积.解:(1)证明:∵AB =AC ,D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC .①又在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,BB 1⊥平面ABC ,AD ⊂平面ABC ,∴AD ⊥BB 1.②由①,②得AD ⊥平面BB 1C 1C .由点E 在棱BB 1上运动,得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ,∴AD ⊥C 1E .(2)∵AC ∥A 1C 1,∴∠A 1C 1E 是异面直线AC ,C 1E 所成的角,由题设,∠A 1C 1E =60°. ∵∠B 1A 1C 1=∠BAC =90°,∴A 1C 1⊥A 1B 1,又AA 1⊥A 1C 1,从而A 1C 1⊥平面A 1ABB 1,于是A 1C 1⊥A 1E .故C 1E =A 1C 1cos60°=22,又B 1C 1=A 1C 21+A 1B 21=2,∴B 1E =C 1E 2-B 1C 21=2.从而VC 1-A 1B 1E =13S △A 1B 1E ×A 1C 1=13×12×2×2×2=23.21. [2014·陕西高考](本小题满分12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示,过棱AB 的中点E 作平行于AD ,BC 的平面分别交四面体的棱BD ,DC ,CA 于点F ,G ,H .(1)证明:四边形EFGH 是矩形;(2)求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.解:(1)证明:由该四面体的三视图可知,BD ⊥DC ,BD ⊥AD ,AD ⊥DC ,BD =DC =2,AD =1.由题设,BC ∥平面EFGH ,平面EFGH ∩平面BDC =FG ,平面EFGH ∩平面ABC =EH ,∴BC ∥FG ,BC ∥EH ,∴FG ∥EH .同理EF ∥AD ,HG ∥AD ,∴EF ∥HG ,∴四边形EFGH 是平行四边形.又∵AD ⊥DC ,AD ⊥BD ,∴AD ⊥平面BDC ,∴AD ⊥BC ,∴EF ⊥FG ,∴四边形EFGH 是矩形.(2)解法一:如图,以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (0,0,1),B (2,0,0),C (0,2,0),DA →=(0,0,1),BC →=(-2,2,0),BA →=(-2,0,1).设平面EFGH 的法向量n =(x ,y ,z ),∵EF ∥AD ,FG ∥BC ,∴n ·DA →=0,n ·BC →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧z =0,-2x +2y =0,取n =(1,1,0), ∴sin θ=|cos 〈BA →,n 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |=25×2=105. 解法二:如图,以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (0,0,1),B (2,0,0),C (0,2,0),∵E 是AB 的中点,∴F ,G 分别为BD ,DC 的中点,得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,0,12,F (1,0,0),G (0,1,0). ∴FE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,12,FG →=(-1,1,0),BA →=(-2,0,1). 设平面EFGH 的法向量n =(x ,y ,z ),则n ·FE →=0,n ·FG →=0,得⎩⎨⎧ 12z =0,-x +y =0,取n =(1,1,0),∴sin θ=|cos 〈BA →,n 〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |=25×2=105. 22. [2014·重庆高考](本小题满分12分)如图,四棱锥P -ABCD 中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,AB =2,∠BAD =π3,M为BC 上一点,且BM =12,MP ⊥AP .(1)求PO 的长;(2)求二面角A -PM -C 的正弦值.解:(1)如图,连接AC ,BD ,因为ABCD 为菱形,则AC ∩BD =O ,且AC ⊥BD .以O 为坐标原点,OA →,OB →,OP →的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O -xyz .因为∠BAD =π3,故OA =AB ·cos π6=3,OB =AB ·sin π6=1,所以O (0,0,0),A (3,0,0),B (0,1,0),C (-3,0,0),OB →=(0,1,0),BC →=(-3,-1,0).由BM =12,BC =2知,BM →=14BC →=⎝⎛⎭⎪⎫-34,-14,0, 从而OM →=OB →+BM →=⎝⎛⎭⎪⎫-34,34,0, 即M ⎝⎛⎭⎪⎫-34,34,0. 设P (0,0,a ),a >0,则AP →=(-3,0,a ),MP →=⎝ ⎛⎭⎪⎫34,-34,a . 因为MP ⊥AP ,故MP →·AP →=0,即-34+a 2=0,所以a =32或a =-32(舍去),即PO =32.(2)由(1)知,AP →=⎝⎛⎭⎪⎫-3,0,32, MP →=⎝ ⎛⎭⎪⎫34,-34,32,CP →=⎝ ⎛⎭⎪⎫3,0,32. 设平面APM 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),平面PMC 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),由n 1·AP →=0,n 1·MP →=0,得 ⎩⎨⎧ -3x 1+32z 1=0,34x 1-34y 1+32z 1=0,故可取n 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,533,2, 由n 2·MP →=0,n 2·CP →=0, 得⎩⎨⎧34x 2-34y 2+32z 2=0,3x 2+32z 2=0,故可取n 2=(1,-3,-2), 从而法向量n 1,n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=-155, 故所求二面角A -PM -C 的正弦值为105.。
高考理科数学一轮复习专题训练:数列(含详细答案解析)
B . 3 2.在正项等比数列{a }中,已知 a 4 = 2 , a = ,则 a 5 的值为( 8= 2 , a = ,可得 8 q 4 = 8 = ,又因为 q > 0 ,所以 q = 1 2 2127B .35063C .28051D . 3502第 7 单元 数列(基础篇)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若 a 1=12,S 5=90,则等差数列{a n }公差 d =()A .2【答案】C2 C .3D .4【解析】∵a =12,S =90,∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ,解得 d=3,故选 C .n 8 1 )1 1 A . B . - C . -1 D .14 4【答案】D【解析】由题意,正项等比数列{a }中,且 a n 48 1 a 1 a 16 41,则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ,故选 D .5 43.在等差数列{a n}中, a 5+ a = 40 ,则 a + a + a = ( ) 13 8 9 10A .72B .60C .48D .36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知: a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ,a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ,故本题选 B .8 9109994.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载:“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里”.其大意:现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里程数是前一天的一半,连续走了7 天,共走了 700 里,则这匹马第 7 天所走的路程等于()A .700里里 里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ,是公比为1的等比数列,a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005.已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值,且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 , S =2 = 11a < 0 , (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700, S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ,7 1 127 ,故答案为 A .a 5< -1 ,则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为()A .6B .7C .10D .12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ,因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值,所以 d < 0 ,a又 a 5 < -1 ,所以 a 5 > 0 , a 6 < 0 ,且 a 5 + a 6 > 0 ,6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10.11(a + a )1 1166.已知等差数列{a n}的公差不为零, Sn为其前 n 项和, S 3 = 9 ,且 a 2 - 1 , a 3 - 1, a 5 - 1构成等比数列,则 S 5 = ( )A .15B . -15C .30D .25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0),⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ,解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1.∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 .故选 D .7.在等差数列{a n } 中, a 3 , a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根,则数列{a n } 的前 11 项和等于(A .66B .132C . -66D . -132【答案】D)S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ,解得 n = 5 ,( )nC . a = 3n -1D . a =3n【解析】因为 a 3 , a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根,所以 a 3 + a 9 = -24 ,又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ,所以 a 6 = -12 ,11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ,故选 D . 118.我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就,在“杨辉三角”中,第n 行的所有数字之和为 2n -1 ,若去除所有为 1 的项,依次构成数列 2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则此数列的前 15 项和为()A .110B .114C .124D .125【答案】B【解析】由题意, n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行, 令 x = 1 ,可得二项展开式的二项式系数的和 2n ,其中第 1 行为 2 0 ,第 2 行为 21 ,第 3 行为 22 ,L L 以此类推,即每一行的数字之和构成首项为 1,公比为 2 的对边数列,则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1,若除去所有为 1 的项,则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ,可以看成构成一个首项为 1,公差为 2 的等差数列,则T =n n (n + 1)2 ,令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和,减去所有的 1,即 27 - 1 - 13 = 114 ,即前 15 项的数字之和为 114,故选 B .9.已知数列{a }的前 n 项和为 S nn,满足 2S n =3a n -1 ,则通项公式 a n 等于()A . a = 2n- 1n【答案】CB . a= 2nn n: , + , + + , + + + , ,那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C . 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D .⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ , ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ , 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时, 2S 1 = 3a 1 -1 ,∴ a 1 = 1 ,当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时, 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ,则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ,即 a n = 3an -1,∴ 数列 {a }是以1 为首项, 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ,本题正确选项 C . 10.已知数列 满足,且 ,则( )A .B .C .D .【答案】B【解析】利用排除法,因为,当当当当时,时,时,时, ,排除 A ;,B 符合题意;,排除 C ;,排除 D ,故选 B .11.已知数列为()1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前 项和A .1 - 1 ⎛ n + 1B . 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知: a =nn (n + 1)= = , n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B .1 ⎫n + 1 ⎭12.已知数列{a }满足递推关系: a , a = ,则 a 2017= (12016B . 12018D . 1=a 2 -= 1 . ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ,可设三数为 , a , aq ,可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ,公比 q 的值为 1.=3an n +1 = a 1 n a + 12 n)A .12017C .12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1, a = ,∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列,首项为 2,公差为 1.n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ,则 a2018 .故选 C .第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分.13.已知等比数列{a n 1 = 12 ,且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ,则 a 5 = _______.【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ,∴ a 3 = 4(a 3 -1) ,则 a 3 = 2 ,∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ,故答案为 8.14.若三数成等比数列,其积为 8,首末两数之和为 4,则公比 q 的值为_______.【答案】1【解析】三数成等比数列,设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩,15.在数列 {an}中,a 1= 1 , an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________.=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 , n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n, a = 1 ,可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= , a = = , a == ,……,∴ 猜想 3 4 2 33,本题正确结果 .n16.已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ,若存在两项 a m , a n ,使得 8 a m a n = a 1 ,则9 1+ 的最小值 mn为__________.【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ,∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ,整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ,又 q > 0 ,解得 q = 12,Q 存在两项 a , a 使得 8 a ⋅ a = a ,∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ,整理得 m + n = 8 ,m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2,当且仅当 = 取等号,但此时 m , n ∉ N * .m n n m又 m + n = 8 ,所以只有当 m = 6 , n = 2 时,取得最小值是 2.故答案为 2.三、解答题:本大题共6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)已知等差数列{a n(1)求 {a}的通项公式;n}的公差不为 0, a 1= 3 ,且 a , a , a 成等比数列.2 4 7(2)求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n .【答案】(1) a n = n + 2 ;(2) n 2 + 3n .【解析】(1)Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列,∴a42= a a ,2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ,化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ,∵公差 d ≠ 0 ,∴ a 1 = 3d ,6=n (a +a ) (2)若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨,则 ⎨ , ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7(2)证明: b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < . ⎪Q a = 3 ,∴ d = 1,∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 .1 n1(2)由(1)知 a 2n = 2n + 2 ,故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列,所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n . 2 218.(12 分)已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ,且 a 2 , a 7 , a 22 成等比数列.(1)求数列{a n } 的通项公式;n nn(a - 1)(a + 3) ,且数列 b n }的前 n 项和为 T n ,求证: T < 3n 4.【答案】(1) a n = 2n + 1;(2)见详解.【解析】(1)设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 ),⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ,解得 ⎨ 1⎩d = 2,所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1. nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ,所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419.(12 分)已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) .n n(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{na n}的前 n 项和 T n.【答案】(1) a = 2n- 1 ;(2) T = n ⋅ 2n - 2n + 1 .nn【解析】(1)因为 S = 2a - 1 ,当 n ≥ 2 时, S = 2a - 1 ,7= 2a + 1 , n ∈ N * .+1),数列 ⎨ 15 ≤ T n < ; 即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * .(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ , - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ,Q a = S = 2a - 1 ,解得 a = 1 ,1 111所以数列 {a n}为首项为1 ,公比为 2 的等比数列,∴a = 2n -1 .n(2)由题意可得:T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ,n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ,n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 .n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ,20.(12 分)已知数列{a n}满足 a 1= 1 , an +1n(1)求证数列{a n +1}是等比数列,并求数列{a n } 的通项公式;(2)设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ,求证:6 ⎩ n n +1 ⎭.【答案】(1)证明见解析, a = 2n - 1(n ∈ N * )(2)见解析. n【解析】(1)由 an +1 = 2a n + 1 ,得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1),n+ 1n +1 a + 1n= 2 ,且 a + 1 = 2 ,1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ,n( )nn(2)由(1)得: b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ,2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * ),8又 0 < 1即 1n (2)设数列满足 b = a sin a π2的前 项和 .⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) , 2 ⎭ ⎝n +1,2n -1,⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ,∴- ≤- < 0 ,∴ ≤ - < ,4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < .15 621.(12 分)已知等差数列的前 项和为 ,且 是 与 的等差中项.(1)求的通项公式;n ,求n n【答案】(1)⎧⎪- (n + 2), ;(2) T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1,,, ) n = 2k (k = 1,,, ) .⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】(1)由条件,得 ⎨ 3 ,即 ⎨ 1 , ⎨ 1⎪715⎩1⎩,所以{a n }的通项公式是(2)由(1)知, b = a sinnn.(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫(1)当 n = 2k -1 (k =1,2,3,…)即 n 为奇数时, b = -a , b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ;n 1(2)当 n = 2k (k =1,2,3,…):即 n 为偶数时, b = a , bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ,⎧⎪- (n + 2), 综上所述, T = ⎨n22.(12 分)设正项数列n = 2k - 1(k = 1,,, ) n = 2k (k = 1,,, ) .的前 n 项和为 ,已知 .(1)求证:数列 是等差数列,并求其通项公式;(2)设数列的前 n 项和为 ,且 b = 4n nn +1,若对任意 都成立,求实数 的取值范围.9(2)由(1)可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= , ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝,即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立,令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当 为奇数时, λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ,易知:f (n ) = n - 在【答案】(1)见证明,【解析】(1)证明:∵;(2),且.,当当即时,时,有,解得 .,即.,于是,即.∵ ,∴为常数,∴数列是 为首项, 为公差的等差数列,∴.1 1= - ,nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *),①当 为偶数时, λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ,n nn (n + 1) > 0 ,在 上为增函数,;n 恒成立,2 2 n n n为增函数,,102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知:,综上所述 的取值范围为.第 7 单元 数列(提高篇)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和.已知 S = 0 , a = 5 ,则()n n45A . a n = 2n - 5B . a n = 3n - 10C . S = 2n 2 - 8nD . S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2.已知等比数列{a }中, a n 3 ⋅ a = 20 , a = 4 ,则 a 的值是( )13 6 10A .16B .14C .6D .5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ,3138由 a 6 = 4 ,得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ,∴ a = a q 4 = 5 ,本题正确选项 D .10 63.等比数列{a } 中, a + a + a = 30 , a + a + a = 120 ,则 a + a + a = ( )n123456789A .240B .±240C .480D .±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ,由 a + a + a = 30 , a + a + a = 120 ,n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3,解得 q 3 = 4 ,∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480.7 8 9 4 5 6112 , N = 4.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:如图,将1,2,…,9 填入3 ⨯ 3 的方格内,使三行,三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15.一般地,将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中,使得每行,每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方形叫做n 阶幻方.记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ,如图三阶幻方的 N 3 = 15 ,那么 N 9 的值为()A .369B .321C .45D .41【答案】A【解析】根据题意可知,幻方对角线上的数成等差数列,根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2,根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ,故选 A .5.已知 1, a 1 , a 2 ,9 四个实数成等差数列,1, b 1 , b 2 , b 3 ,9 五个数成等比数列,则b 2 (a 2 - a 1 ) = ( A .8 B .-8 C .±8 D .98【答案】A)【解析】由 1, a 1 , a 2 ,9 成等差数列,得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ,由 1, b , b , b ,9 成等比数列,得 b 2 = 1⨯ 9 ,∴ b = ±3 ,12322当 b = -3 时,1, b , -3 成等比数列,此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解,2 11所以 b = 3 ,∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 .故选 A .36.已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列, S n为其前 n 项和,满足 a = 2 ,且16a , 9a , 2a2 1 4 7成等差数列,则 S = ()3A . 5B .6C .7D .9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列,满足 a 2 = 2 ,即 a 1q = 2 ,122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ; 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ;22- 5 =,且 A n =7n + 45a7= (10B .172C . 143A . 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a , 9a , 2a 成等差数列,得18a = 16a + 2a ,即 9a q 3 = 8a + a q 6 ,1 47417111解得 q = 2,a = 1 ,则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 .故选 C .7.将石子摆成如图的梯形形状,称数列 5,9,14,20,L ,为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第 2016 项与 5 的差,即 a 2016- 5 = ()A . 2018⨯ 2014B . 2018⨯ 201C .1011⨯ 2015D .1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为:n =1 时, a = 2 + 3 = 11(n =2 时, a = 2 + 3 + 4 = 2…,由此我们可以推断:1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1),∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 .故选 C .20168.已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7)17D .15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2,故答案选 B .9.已知数列{ }的前 n 项和为 , , ( ),则 ( )A.32B.64C.128D.25613,∴ S B .C . 1a - 1 a - 1,n⎧B . 2019 ) =+ = + = + =2 ,1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由,得,又,∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ,即数列{则∴10.数列1}是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,,则 ..故选 B .满足: ,若数列 是等比数列,则 的值是()A .1 【答案】B2 D .【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立,可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ,本题正确选项 B .11.已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R ),若等比数列满足 a a1 2019= 1 ,则A .2019【答案】A ( )2 C .2D . 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019,1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列,则,14b b3B . 16 C . 115D . 2b b= = - ⎭ 数列 的前 项和 T = - + - ⎪ ⎪ , 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12,即12.已知是公比不为 1 的等比数列,数列.满足: , , 成等比数列,c =1n2n 2n +2,若数列的前 项和对任意的恒成立,则 的最大值为( )A .115【答案】C【解析】由 , ,成等比数列得 a 2 =a a ,2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列,设公比为 q ,则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ,整理得 b = n + 1,c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ,1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列 是单调递增数列,则当 n =1 时取到最小值为1151 ,即 的最大值为,故选 C .1515,第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分.13.已知{a n } 是等差数列, a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ,则 S 9 = _________.【答案】36【解析】{a n } 是等差数列, a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 , a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ,得出 a 5 = 4 ,又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 .514.在数列 {a }中, a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ,则数列的通项 a = ________.n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时,a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ,3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 , a 也适用,所以 a = n 2 .1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ,15.设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ,且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________.n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) (答案不唯一)> a , S ≥ S .请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ,则数列{a } 是递增的, ∀n ∈ N * , S ≥ S ,即 S 最小,n n n 6 6只要前 6 项均为负数,或前 5 项为负数,第 6 项为 0,即可,所以,满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) (答案不唯一).16.已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2,数列 {a }中, a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ,则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________.【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中, a = f (n )+ f (n +1),n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ; a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ;12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ; a = f (4)+ f (5) = 16 ;3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ; a = f (6)+ f (7) = -36 ;…,5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 , -4 , 16 ,16 , -36 , -36 , 64 , 64 , -100 , -100 ,…, }的前 40 项之和:S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 , ( a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * ).2 2 222212本题正确结果1680 .三、解答题:本大题共6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.10 分)已知数列{a n}是等比数列,数列 {b }是等差数列,且满足: n 1= b = 1 , + b = 4a , - 3b = -5 .1 2 3 2 3 2(1)求数列{a n }和 {b }的通项公式;n(2)设 c n = a n + b n ,求数列 {c n}的前 n 项和 S n .【答案】(1) a = 2n -1 , n ∈ N * , b = 2n - 1,n ∈ N * ;(2) S = 2n + n 2 - 1 .nn n【解析】(1)设 {an}的公比为 q , {b }的公差为 d ,由题意 q > 0 ,n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知,有 ⎨ ,即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ,所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * , {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * .n n(2) c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ,分组求和,分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 .n18.(12 分)己知数列{a }的前 n 项和为 S n(1)求 {a}的通项公式;nn且 S = n 1 12 2(2)设 b n =1a an n +1,求数列 {b n}的前 100 项和.【答案】(1) a n = n ;(2) T100 =100 101.【解析】(1)当 n ≥ 2 时, S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n , n 2 + n , S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ,17当 n =1时, a = S = + = 1,满足 a = n ,\ a = n . 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - , n +1 =2 n∈ N * ). ⎧⎬(2)若数列{b }满足: ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ,所以 a =1 - 1 . 3n ( )⇒ S = 2n - 144(2)令 b = 2n + 1,求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值.a + 2 nn1 11 1 n n(2)由(1)可知 b n =1 1 1= - ,n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪 琪 琪 琪 - = 1 - = .桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119.(12 分)已知数列{a }满足: a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n(1)证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列,并求数列{a n }的通项公式;⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * ),求 {b }的前 n 项和 S . nn n【答案】(1)证明见解析, a = n1 2n - 1 9- 1;(2) S = ⨯ 3n +2 + .n【解析】(1)因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ,所以 , 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3,公差为 3 的等差数列,所以n1 n(2)由(1)可知: a =n 1 3n- 1,所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 , nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①;n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②,n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ .20.(12 分)已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn,且 S n = 2a n - 2n -1 .(1)求数列{a n}的通项公式;n nn185 ⨯ 2n -1 (2)Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ,则 T n = ⎪ , a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 , b = ⎨ ;(2) T = ⎨ .3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】(1)a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *);(2) T = 2 - 2n +5 3,最小值 . 5【解析】(1)当 n =1 时, a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ,解得 a 1 = 3 ,当 n ≥ 2 时, a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ,解得 a n = 2 a n -1 + 2 .则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2),故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ,公比为 2 的等比数列,∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * ). n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝,所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1,2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ,有 c - c =- = < 0 ,对 n ∈ N * 恒成立, n n +1 n则数列{c n }是递减数列,故{T n } 为递增数列,则 (T n )min 3= T = . 121.(12 分)已知正项数列且.的前 项和为 ,且 , ,数列 满足 ,(1)求数列(2)令【答案】(1), 的通项公式;,求数列 的前 项和 .n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】(1)当时, ,即 ,,19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ,可得= a 2 (n ≥ 2) ,⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除,得 n +1 = 2 (n ≥ 2 ),⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上:b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前 项和为 B ,∴ B = ⎨ , -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上: T = ⎨ .3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即,又是公差为 ,首项为 的等差数列,,由题意得:,n n +1 b n -1是奇数时,是公比是 ,首项 的等比数列,∴ b = 2nn +1 2 ,同理 是偶数时是公比是 ,首项的等比数列,∴ b = 2nn -2 2 ,n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n.(2)令,即 ,⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前 项和为 ,则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n,两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n,1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ,令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时, f '( x ) = 1 - = ,此时要考虑 a 与 1 的大小.(2)由(1)可知当 a = 1 , x > 1 时, x -1 - ln x > 0 ,即 ln x > 1 - x ,所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122.(12 分)已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) .(1)讨论 f ( x ) 的单调性;(2)比较 + +⋯+ 与 的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ,并证明你的结论.22 32 n 2 2(n + 1)【答案】(1)见解析;(2)见解析.⎧ x - ln x - a, 【解析】(1)函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ,当 0 < x < a 时, f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ,从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的,1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ,则 f '( x ) ≥ 0 ,故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增;②若 0 < a < 1 ,则当 a ≤ x < 1 时, f '( x ) < 0 ;当 x > 1 时, f '( x ) > 0 ,故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减,在 (1, +∞) 上递增,而 f ( x ) 在 x = a 处连续,所以当 a ≥ 1 时, f ( x ) 在 (0, a) 上递减,在[a, +∞ ) 上递增;当 0 < a < 1 时, f ( x ) 在 (0,1) 上递减,在[1, +∞ ) 上递增.1< 1 - .x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = .2(n + 1) 2(n + 1)21。
高考数学一轮复习多选题(讲义及答案)及解析
一、函数的概念与基本初等函数多选题 1.已知53a =,85b =,则( )A .a b <B .112a b+> C .11a b a b+<+ D .b a a a b b +<+【答案】ABD 【分析】根据条件求得,a b 表达式,根据对数性质结合放缩法得A 正确,根据不等式性质得B 正确,通过作差法判断C 错,结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确. 【详解】解:∵53a =,85b =, ∴35log a =,58log b =,因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=, 又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=,所以a b <,选项A 正确; 35lo 01g a <=<,580log 1b <=<,则11a >,11b >,所以112a b +>,选项B 正确;因为a b <,01a b <<<,则0b a ->,11ab>,此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以11a b a b+>+,故选项C 不正确; 由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减, 再由a ,b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+,故选项D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题考查了数值大小比较,关键运用了指对数运算性质,作差法和放缩法.2.设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有( ) A .函数()f x 为偶函数B .当[)1,x ∈+∞时,有()()2f x f x -≤C .当x ∈R 时,()()()ff x f x ≤D .当[]4,4x ∈-时,()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可. 【详解】解:画出()f x 的图象如图所示:对A ,由图象可知:()f x 的图象关于y 轴对称,故()f x 为偶函数,故A 正确; 对B ,当12x ≤≤时,120x -≤-≤,()()()222f x f x x f x -=-≤-=; 当23x <≤时,021x <-≤,()()22f x x f x -≤-=;当34x <≤时,122x <-≤,()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=; 当4x ≥时,22x -≥,此时有()()2f x f x -<,故B 成立;对C ,从图象上看,当[)0,x ∈+∞时,有()f x x ≤成立,令()t f x =,则0t ≥,故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦,故C 正确;对D ,取32x =,则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()2f x f x -<,故D 不正确. 故选:ABC . 【点睛】方法点睛:一般地,若()()(){}min ,f x S x T x =(其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者),则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的.3.下列结论正确的是( )A .函数()y f x =的定义域为[]1,3,则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B .函数()f x 的值域为[]1,2,则函数()1f x +的值域为[]2,3C .若函数24y x ax =-++有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,则a 的取值范围是()0,3D .已知函数()23,f x x x x R =+∈,若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域,判断A ,利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况,判断B ,利用数形结合及零点的分布求解判断C ,作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象,数形结合即可判断D.【详解】对于A, ()y f x =的定义域为[]1,3,则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为[]0,1,故正确;对于B ,将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象,故其值域相同,故错误;对于C, 函数2()4y g x x ax ==-++有两个零点,一个大于2,另一个小于-1只需(2)0(1)0g g >⎧⎨->⎩,解得0<<3a ,故正确; 对于D, 作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象,如图,由图可以看出,0a ≤时,不可能有4个交点,找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或9a =,观察图象可知,当01a <<有4个交点,当9a <时,两条射线分别有2个交点,综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时,()()0,19,a ∈+∞正确.故选:ACD 【点睛】关键点点睛:对于方程实根问题,可转化为函数图象交点问题,本题中,()23f x x x=+图象确定,而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线,参数a 确定两射线张角的大小,首先结合图形找到关键位置,即1a =时左边射线与抛物线部分相切,9a =时右边射线与抛物线相切,然后观察图象即可得出结论.4.下列命题正确的有( ) A .已知0,0a b >>且1a b +=,则1222a b -<<B .34a b ==a bab+= C .323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D .过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点,则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围;利用指对数互化,结合对数的运算法求a b ab+;利用导数确定零点关系,结合原函数式计算极值之和即可;由直线与3y x x =-有三个交点,即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项,由条件知1b a =-且01a <<,所以21(1,1)a b a -=-∈-,即1222a b -<<;B 选项,34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=; C 选项,2361y x x '=--中>0∆且开口向上,所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-,即12,x x 为y 两个极值点,所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-;D 选项,令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点,即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点,所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩,解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选:ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质,利用导数研究极值,由函数交点情况求参数范围,属于难题.5.对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ,若存在函数()h x kx b =+(k ,b 为常数),对任给的正数m ,存在相应的0x D ∈,使得当x D ∈且0x x >时,总有()()()()00f x h x mh x g x m⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩,则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数,其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是( )A .()2f x x =,()g x =B .()102xf x -=+,()23x g x x-=C .()21x f x x+=,()ln 1ln x x g x x +=D .()221x f x x =+,()()21xg x x e -=--【答案】BD 【分析】根据分渐近线的定义,对四组函数逐一分析,由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解:()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时,()()0,()()f x g x f x g x -→>.对于①,()2f x x =,()g x =当1x >时,令()()()2F x f x g x x =-=,由于()20F x x '=->,所以()h x 为增函数,不符合x →∞时,()()0f x g x -→,所以不存在分渐近线; 对于②,()1022xf x -=+>,()232,(1)x g x x x-=<> ()()f x g x ∴>,2313()()10210xxx f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭,因为当1x >且x →∞时,()()0f x g x -→,所以存在分渐近线;对于③,21()x f x x+=,ln 1()ln x x g x x +=,21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时,1x 与1ln x 均单调递减,但1x的递减速度比1ln x 快,所以当x →∞时,()()f x g x -会越来越小,不会趋近于0,所以不存在分渐近线;对于④,22()1x f x x =+,()()21xg x x e -=--,当x →∞时,22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→,且()()0f x g x ->,因此存在分渐近线.故存在分渐近线的是BD . 故选:BD . 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用,考查函数的单调性,属于难题.6.已知函数4()nn f x x x=+(n 为正整数),则下列判断正确的是( ) A .函数()f x 始终为奇函数B .当n 为偶数时,函数()f x 的最小值为4C .当n 为奇数时,函数()f x 的极小值为4D .当1n =时,函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC 【分析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-,分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性,可判断A 和;当n 为偶数时,>0n x ,运用基本不等式可判断B ;当n 为奇数时,令n t x =,则>0,>0;0,0x t x t <<,构造函数4()g t t t=+,利用其单调性可判断C ;当1n =时,取函数4()f x x x=+上点()15P ,,求出点P 关于直线2y x =对称的对称点,代入可判断D.【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数),所以()()4()n n f x x x -=-+-, 当n 为偶数时,()()44()()nn nn f x x x f x xx -=-+=+=-,函数()f x 是偶函数;当n 为奇数时,()4()nnf x x f x x-=-+=--,函数()f x 是奇函数,故A 不正确; 当n 为偶数时,>0n x,所以4()4n n f x x x =+≥=,当且仅当4n n x x =时, 即2>0n x =取等号,所以函数()f x 的最小值为4,故B 正确;当n 为奇数时,令n t x =,则>0,>0;0,0x t x t <<,函数()f x 化为4()g t t t=+, 而4()g t t t=+在()()22-∞-+∞,,,上单调递增,在()()2002-,,,上单调递递减, 所以4()g t t t =+在2t =时,取得极小值4(2)242g =+=,故C 正确; 当1n =时,函数4()f x x x=+上点()15P ,,设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ,,则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩,解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,而将0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,代入4()f x x x=+不满足, 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称,故D 不正确, 故选:BC . 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性,单调性,对称性,以及函数的最值,属于较难题.7.已知函数()221,0log 1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩,则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为( ) A .2 B .6 C .5 D .4【答案】ACD 【分析】先画出()f x 的图象,再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根,求得()f x 的范围,再数形结合,得到答案. 【详解】画出()f x 的图象如图所示:令()t f x =,则22210t t a -+-=,则24(2)a ∆=-,当0∆=,即22a =时,1t =,此时()1f x =,由图1y =与()y f x =的图象有两个交点,即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个,A 正确;当>0∆时,即22a <时,212t a =-,则2022a <-≤故211212a <+-≤212121a ≤-<,当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-,则x 有2解, 当212t a =-t (1,2]∈,则x 有3解;若t (2,12]∈+,则x 有2解,故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个,CD 正确;故选:ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题,函数图象的画法,考查了分类讨论思想和数形结合思想,难度较大.8.已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断,若存在常数()t t R ∈,使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立,则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中,正确的命题是( )A .常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-;B .若(01)x y a a =<<为回旋函数,则1t >;C .函数2()f x x =不是回旋函数;D .若()f x 是2t =的回旋函数,则()f x 在[0]4030,上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】A.利用回旋函数的定义即可判断;B.代入回旋函数的定义,推得矛盾,判断选项;C.利用回旋函数的定义,令0x =,则必有0t = ,令1x =,则2310t t ++=,推得矛盾;D.根据回旋函数的定义,推得()()22f x f x +=-,再根据零点存在性定理,推得零点的个数. 【详解】A.若()f x a =,则()f x t a +=,则0a ta +=,解得:1t =-,故A 正确;B.若指数函数()01xy aa =<<为回旋函数,则0x t x a ta ++=,即0t a t +=,则0t <,故B 不正确;C.若函数()2f x x =是回旋函数,则()220x t tx ++=,对任意实数都成立,令0x =,则必有0t = ,令1x =,则2310t t ++=,显然0t =不是方程的解,故假设不成立,该函数不是回旋函数,故C 正确;D. 若()f x 是2t =的回旋函数,则()()220f x f x ++=,对任意的实数x 都成立,即有()()22f x f x +=-,则()2f x +与()f x 异号,由零点存在性定理得,在区间(),2x x +上必有一个零点,可令0,2,4,...20152x =⨯,则函数()f x 在[]0,4030上至少存在2015个零点,故D 正确. 故选:ACD 【点睛】本题考查以新定义为背景,判断函数的性质,重点考查对定义的理解,应用,属于中档题型.9.已知函数()f x 满足:当-<3≤0x 时,()()1xf x e x =+,下列命题正确的是( )A .若()f x 是偶函数,则当03x <≤时,()()1xf x e x =+B .若()()33f x f x --=-,则()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点 C .若()f x 是奇函数,则1x ∀,[]23,3x ∈-,()()122f x f x -<D .若()()3f x f x +=,方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]3,3x ∈-上有6个不同的根,则k 的范围为2312k e e -<<- 【答案】BC 【分析】A 选项,利用函数的奇偶性求出解析式即可判断;B 选项,函数()f x 关于直线3x =-对称,利用导数研究函数的单调性作出函数图像,由函数图像可知当()6,0x ∈-时,函数()f x 与直线32y e=-有3个交点可判断;C 选项,由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断;D 选项,函数周期为3,作出函数图像知方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根,则2312k e e-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】A 选项,若03x <≤,则30x -≤-<,()()1xf x e x --=-+,因为函数()f x 是偶函数,所以()()()1xf x f x ex -=-=-+,A 错误;B 选项,若()()33f x f x --=-,则函数()f x 关于直线3x =-对称,当-<3≤0x 时,()()2xf x ex '=+,当()3,2x ∈--时,()0f x '<,函数()f x 单调递减,当()2,0x ∈--时,()0f x '>,函数()f x 单调递增,且()323f e-=-,()2120f e-=-<,()10f -=, 作出函数大致图像如图所示,则当()6,0x ∈-时,函数()f x 与直线32y e=-有3个交点,即函数()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点,B 正确;C 选项,由B 知当[3,0)x ∈-时,()2[,1)f x e -∈-,若函数()f x 为奇函数,则当[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-,所以1x ∀,[]23,3x ∈-,()()122f x f x -<,C 正确;D 选项,若()()3f x f x +=,则函数()f x 的周期为3,作出函数在[]3,3x ∈-上的图像如图所示,若方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]3,3x ∈-上有6个不同的根,因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根,所以()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根,又()323f e -=-,()2120f e -=-<,所以2312k e e -<≤-,D 错误. 故选:BC 【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用,涉及函数的单调性、奇偶性、对称性,函数的零点与方程的根,综合性较强,属于较难题.10.定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )A .21(1)()2f t t f ++> B .(2)0()f f t ->> C .(2)(1)f t f t +>+D .(1)()f t f t +>【答案】ABC 【分析】先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称,然后可得出B 答案成立,对于答案ACD ,要比较函数值的大小,只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可 【详解】因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称,所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数,20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立因为2231120224t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭所以21t t ++比12离对称轴远 所以21(1)()2f t t f ++>,所以选项A 成立 因为()()2232250t t t +-+=+>所以32t t +>+,所以2t +比1t +离对称轴远 所以(2)(1)f t f t +>+,即C 答案成立因为20t -<<,所以()()222123t t t +-+=+符号不定 所以2t +,1t +无法比较大小,所以(1)()f t f t +>不一定成立 所以D 答案不一定成立 故选:ABC 【点睛】本题考查的是函数的性质,由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.二、导数及其应用多选题11.函数ln ()xf x x=,则下列说法正确的是( )A .(2)(3)f f >B .ln π>C .若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、,则212x x e <D .若25,x y x y =、均为正数,则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数,由导数确定函数日单调性,极值,函数的变化趋势,然后根据函数的性质判断各选项.由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ,由函数()f x 性质判断BC ,设25x y k ==,且,x y 均为正数,求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==,再由函数()f x 性质判断D . 【详解】由ln (),0x f x x x=>得:21ln ()xf x x -'= 令()0f x '=得,x e =当x 变化时,(),()f x f x '变化如下表:故,()f x x=在(0,)e 上递增,在(,)e +∞上递减,()f e e =是极大值也是最大值,x e >时,x →+∞时,()0f x →,且x e >时()0f x >,01x <<时,()0f x <,(1)0f =,A .1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f === 66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故A 错B .e e π<,且()f x 在(0,)e 单调递增lnf fπ∴<<<∴>,故:B正确C.()f x m=有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m∴==不妨设120x e x<<<要证:212x x e<,即要证:221222,()e ex x e e f xx x<>∴<在(0,)e单调递增,∴只需证:()212ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭即:()222ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证:()222ef x fx⎛⎫-<⎪⎝⎭……①令2()(),()eg x f x f x ex⎛⎫=->⎪⎝⎭,则2211()(ln1)g x xe x'⎛⎫=--⎪⎝⎭当x e>时,2211ln1,()0()x g x g xe x'>>∴>∴在(,)e+∞单调递增()22()0x e g x g e>∴>=,即:()222ef x fx⎛⎫->⎪⎝⎭这与①矛盾,故C错D.设25x y k==,且,x y均为正数,则25ln lnlog,logln2ln5k kx k y k====252ln,5lnln2ln5x k y k∴==1152ln2ln5ln2,ln525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪>> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln2ln52502525ln2ln5x y∴>>∴<∴<,故D正确.故选:BD.【点睛】关键点点睛:本题考查用导数研究函数的单调性、极值,函数零点等性质,解题关键是由导数确定函数()f x的性质.其中函数值的大小比较需利用单调性,函数的零点问题中有两个变量12,x x,关键是进行转化,利用零点的关系转化为一个变量,然后引入新函数进行证明.12.关于函数()2lnf x xx=+,下列判断正确的是()A.2x=是()f x的极大值点B.函数y f x x有且只有1个零点C.存在正实数k,使得()f x kx>恒成立D.对任意两个正实数1x,2x,且21x x>,若()()12f x f x=,则124x x+>【答案】BD 【分析】对于A ,利用导数研究函数()f x 的极值点即可; 对于B ,利用导数判断函数y f xx 的单调性,再利用零点存在性定理即得结论;对于C ,参变分离得到22ln xk x x <+,构造函数()22ln x g x x x=+,利用导数判断函数()g x 的最小值的情况;对于D ,利用()f x 的单调性,由()()12f x f x =得到1202x x <<<,令()211x t t x =>,由()()12f x f x =得21222ln t x x t t-+=,所以要证124x x +>,即证2224ln 0t t t -->,构造函数即得. 【详解】A :函数()f x 的定义域为0,,()22212x f x x x x-'=-+=,当()0,2x ∈时,0f x,()f x 单调递减,当()2,x ∈+∞时,0fx,()f x 单调递增,所以2x =是()f x 的极小值点,故A 错误.B :()2ln y f x x x x x=-=+-,22221210x x y x x x -+'=-+-=-<,所以函数在0,上单调递减.又()112ln1110f -=+-=>,()221ln 22ln 210f -=+-=-<,所以函数yf xx 有且只有1个零点,故B 正确.C :若()f x kx >,即2ln x kx x +>,则22ln x k x x <+.令()22ln x g x x x=+,则()34ln x x xg x x-+-'=.令()4ln h x x x x =-+-,则()ln h x x '=-,当()0,1∈x 时,()0h x '>,()h x 单调递增,当()1,∈+∞x 时,()0h x '<,()h x 单调递减,所以()()130h x h ≤=-<,所以0g x,所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减,函数无最小值,所以不存在正实数k ,使得()f x kx >恒成立,故C 错误. D :因为()f x 在()0,2上单调递减,在2,上单调递增,∴2x =是()f x 的极小值点.∵对任意两个正实数1x ,2x ,且21x x >,若()()12f x f x =,则1202x x <<<. 令()211x t t x =>,则21x tx =,由()()12f x f x =,得121222ln ln x x x x +=+,∴211222ln ln x x x x -=-,即()2121212ln x x x x x x -=,即()11121ln t x t x tx -=⋅,解得()121ln t x t t-=,()2121ln t t x tx t t-==,所以21222ln t x x t t-+=.故要证124x x +>,需证1240x x +->,需证22240ln t t t -->,需证2224ln 0ln t t tt t-->. ∵211x t x =>,则ln 0t t >, ∴证2224ln 0t t t -->.令()()2224ln 1H t t t t t =-->,()()44ln 41H t t t t '=-->,()()()414401t H t t t t-''=-=>>,所以()H t '在1,上是增函数.因为1t →时,()0H t '→,则()0H t '>,所以()H t 在1,上是增函数.因为1t →时,()0H t →,则()0H t >,所以2224ln 0ln t t tt t-->,∴124x x +>,故D 正确. 故选:BD . 【点睛】关键点点睛:利用导数研究函数的单调性、极值点,结合零点存在性定理判断A 、B 的正误;应用参变分离,构造函数,并结合导数判断函数的最值;由函数单调性,应用换元法并构造函数,结合分析法、导数证明D 选项结论.13.设函数()ln xf x x=,()ln g x x x =,下列命题,正确的是( ) A .函数()f x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞单调递减 B .不等关系33e e ππππ<<<成立C .若120x x <<时,总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立,则1a ≥D .若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点,则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误;由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系,可判断B 选项的正误;分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数,利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围,可判断C 选项的正误;分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根,数形结合求出m 的取值范围,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+,则()21ln xf x x -'=. 由()0f x '>,可得0x e <<,由()0f x '>,可得x e >.所以,函数()f x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞单调递减,A 选项正确; 对于B 选项,由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减,且4e π>>, 所以,()()4f f π>,即ln ln 44ππ>,又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>, 所以,ln ln 4143ππ>>,整理可得3e ππ>,B 选项错误; 对于C 选项,若120x x <<时,总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立,可得()()22112222g x ax g x ax ->-,构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-,则()()12s x s x >,即函数()s x 为()0,∞+上的减函数,()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立,即1ln xa x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立, 令()1ln x t x x +=,其中0x >,()2ln xt x x'=-. 当01x <<时,()0t x '>,此时函数()t x 单调递增; 当1x >时,()0t x '<,此时函数()t x 单调递减.所以,()()max 11t x t ==,1a ∴≥,C 选项正确;对于D 选项,()()22ln h x g x mx x x mx =-=-,则()1ln 2h x x mx '=+-,由于函数()h x 有两个极值点,令()0h x '=,可得1ln 2xm x+=, 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点, 当1x e>时,()0t x >,如下图所示:当021m <<时,即当102m <<时,函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以,实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,D 选项错误. 故选:AC. 【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用; (2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;(3)参变量分离法:由()0f x =分离变量得出()a g x =,将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.14.在湖边,我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链,这就是悬链线(Catenary ),其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后,悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2x x aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,其中a 为非零常数,在此坐标平面上,过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ,则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为( )(注:[]x 表示不大于x 的最大整数)A .2-B .1-C .1D .2【答案】AC 【分析】求出导数,表示出切线,令0x t a=,可得()()110t tt e t e --++=,构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++,可得()h x 是偶函数,利用导数求出单调性,结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<,即可求出.【详解】()2x x aae ef x a -+=⋅,()2xx aae ef x --'∴=,∴切线斜率002x x aae ek --=,()0002x x aae ef x a -+=⋅,则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-,直线过原点,()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=,则可得()()110t tt e t e --++=, 令()()()11xxh x x e x e -=-++,则t 是()h x 的零点,()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=,()h x ∴是偶函数,()()x x h x x e e -'=-+,当0x >时,()0h x '<,()h x 单调递减,()1120h e -=>,()22230h e e -=-+<,()h x ∴在()1,2存在零点t ,由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点,且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点,021x a ∴-<<-或012xa<<, 02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选:AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线,利用导数研究函数的零点,解题的关键是将题目转化为令0x t a=,()()110t t t e t e --++=,求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.15.若存在常数k 和b ,使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足:()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立,则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数()22x f x =(x ∈R ),()12g x x =(0x <),()ln h x e x =,(e 为自然对数的底数),则( )A .()()()m x f x g x =-在0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B .()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”,且b 的最小值为2- C .()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”,且k 的取值范围是[]2,1-D .()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”,方程为2ey =-【答案】BD 【分析】对于A :令()()()m x f x g x =-,利用导数可确定()m x 单调性,进而作出判断; 对于B 和C :利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围,进而作出判断;对于选项D :根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点,可假设隔离直线为2e y kx =-;可得到222x ekx ≥-,再利用恒成立得出k 的值,最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-,进而作出判断. 【详解】对于A ,()()()2122x m x f x g x x =-=-, ()322121022x m x x x x+'∴=+=>, 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0m x '>,()m x ∴单调递增,故A 错误; 对于B ,C ,设()f x ,()g x 的隔离直线为y kx b =+,22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立,即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立, 所以21480k b ∆=+≤,所以0b ≤,又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立,即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立,因为0b ≤,所以0k ≤且21480b k ∆=+≤,所以22k b ≤-且22b k ≤-,4248k b b ≤≤-,解得20k -≤≤,同理20b -≤≤, 所以b 的最小值为2-,k 的取值范围是[]2,0-, 故B 正确,C 错误;对于D ,函数()f x 和()h x 的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k,则隔离直线方程为(2ey k x -=,即2e y kx =-,则222x ekx ≥-(x ∈R),得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立,则()24420k e ∆=-≤,解得k =,此时隔离直线方程为:2ey =-,下面证明()2e h x ≤-, 令()()ln 22e e G x h x e x =--=--(0x >),则()x G x x'=,当x =()0G x '=;当0x <<()0G x '<;当x >()0G x '>;∴当x =()G x 取到极小值,也是最小值,即()0min G x G==,()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立,即()2eh x ≤-,∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-,D 正确. 故选:BD . 【点睛】关键点睛:本题考查导数中的新定义问题的求解;解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义,将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题,属于难题.16.经研究发现:任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ,其中0x 是()0f x ''=的根,()'f x 是()f x 的导数,()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-,且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立,则( )A .3a =B .1b =C .m 的值可能是e -D .m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+,故由题意得()1620f a ''=-+=-,()1112f a b -=-+-+=,即3,1a b ==,故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+,由于1x e x >+,故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+,进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++,即m e ≤-,进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=,因为()2321x ax f x =++',所以()62f x x a ''=+,所以()1620f a ''=-+=-,解得3,1a b ==,故()3231f x x x x =+++.因为1x >,所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->,则()10xg x e '=->,从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =,所以()0g x >,即1x e x >+, 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+(当且仅当x e =时,等号成立),从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++,故m e ≤-.故选:ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++,进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题,再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+,进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想,是难题.17.已知函数()1ln f x x x x=-+,给出下列四个结论,其中正确的是( ) A .曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B .()f x 恰有2个零点C .()f x 既有最大值,又有最小值D .若120x x >且()()120f x f x +=,则121=x x 【答案】BD【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误,然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误,最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭,根据函数单调性即可证得121=x x ,D 正确. 【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞, 当0x >时,()1ln f x x x x=-+,()2221111x x f x x x x -+-'=--=;当0x <时,1ln f x x x x,()2221111x x f x x x x -+-'=--=, A 项:1ln 1110f,22111131f,则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ,即33y x =--,A 错误;B 项:当0x >时,222215124x x x f xx x ,函数()f x 是减函数,当0x <时,222215124x x x f xx x ,函数()f x 是减函数,因为()10f -=,()10f =,所以函数()f x 恰有2个零点,B 正确; C 项:由函数()f x 的单调性易知,C 错误; D 项:当1>0x 、20x >时, 因为()()120f x f x +=, 所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x , 因为()f x 在()0,∞+上为减函数,所以121x x =,120x x >, 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立,D 正确, 故选:BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用,考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性,导函数值即切线斜率,若导函数值大于0,则函数是增函数,若导函数值小于0,则函数是减函数,考查函数方程思想,考查运算能力,是难题.18.设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+,已知()f x 有且只有一个零点,下列结论正确的有( ) A .a e =B .()f x 在区间()1,e 单调递增C .1x =是()f x 的极大值点D .()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点,转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根,即ln ln x ax a=只有一个正根.利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质,可得a e =,判断A ,然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质,求出()'f x ,令()0f x '=,利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ,并证明出()'f x 的正负,得()f x 的单调性,极值最值.判断BCD .【详解】()f x 只有一个零点,即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根,x a a x =,取对数得ln ln x a a x =,即ln ln x ax a=只有一个正根. 设ln ()xh x x =,则21ln ()x h x x-'=,当0x e <<时,()0h x '>,()h x 递增,0x →时,()h x →-∞,x e >时,()0h x '<,()h x 递减,此时()0h x >,max 1()()h x h e e==. ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根.则ln 1a a e =或ln 0a a<,解得a e =或0a <,又∵1a >,∴a e =.A 正确;()x e f x e x =-,1()x e f x e ex -'=-,1()0x e f x e ex -'=-=,11x e e x --=,取对数得1(1)ln x e x -=-,易知1x =和x e =是此方程的解.设()(1)ln 1p x e x x =--+,1()1e p x x-'=-,当01x e <<-时,()0p x '>,()p x 递增,1x e >-时,()0p x '<,()p x 递减,(1)p e -是极大值,又(1)()0p p e ==, 所以()p x 有且只有两个零点,01x <<或x e >时,()0p x <,即(1)ln 1e x x -<-,11e x x e --<,1e x ex e -<,()0f x '>,同理1x e <<时,()0f x '<,所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增,在(1,)e 上递减,所以极小值为()0f e =,极大值为(1)f ,又(0)1f =,所以()f e 是最小值.B 错,CD 正确. 故选:ACD . 【点睛】关键点点睛:本题考用导数研究函数的零点,极值,单调性.解题关键是确定()'f x 的零点时,利用零点定义解方程,1()0xe f x e ex-'=-=,11x e e x --=,取对数得1(1)ln x e x -=-,易知1x =和x e =是此方程的解.然后证明方程只有这两个解即可.19.函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=,下列命题中正确的是( ).A .不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B .函数()f x 在()0,e 上单调递增,在(,)e +∞上单调递减C .若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点,则()0,1a ∈D .若120x x >>时,总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立,则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ,根据()ln f x x x =,得到()()ln 1f x xg x x x'+==,然后用导数画出其图象判断;对B ,()1ln f x x '=+,当x e >时,()0f x '>,当0x e <<时,()0f x '<判断;对C ,将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点,()ln 120x a x+=+∞在,有两根判断;对D ,将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立,再构造函数()2ln 2m g x x x x =-,用导数研究单调性. 【详解】对A ,因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、, ()2ln xg x x-'=, 令()0g x '>,得()0,1x ∈,故()g x 在该区间上单调递增;令()0g x '<,得()1x ∈+∞,,故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时,()0g x >,()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 故()g x 的图象如下所示:数形结合可知,()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,故正确;对B ,()1ln f x x '=+,当x e >时,()0f x '>,当0x e <<时,()0f x '<,所以函数()f x 在()0,e 上单调递减,在(,)e +∞上单调递增,错误;对C ,若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点,即()2ln F x x x ax =-有两个极值点,又()ln 21F x x ax '=-+,要满足题意,则需()ln 2100x ax -+=+∞在,有两根, 也即()ln 120x a x+=+∞在,有两根,也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<,解得102a <<. 故要满足题意,则102a <<,故错误; 对D ,若120x x >>时,总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立, 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立, 构造函数()2ln 2m g x x x x =-,()()12g x g x >,对任意的120x x >>恒成立, 故()g x ()0+∞,单调递增,则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞, 恒成立, 也即ln 1x m x+≤,在区间()0,∞+恒成立,则()max 1g x m =≤,故正确.故选:AD. 【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用,还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力,属于较难题.20.当1x >时,()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立,则整数k 的取值可以是( ). A .2- B .1-C .0D .1【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+,当1x >时,恒成立,转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭,.当1x >时,恒成立,令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>,利用导数法研究其最小值即可. 【详解】因为当1x >时,()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立, 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭,当1x >时,恒成立, 令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>, 则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--, 因为()10x x xϕ-'=>,所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<,所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x , 于是()F x 在()01,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增, 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++.(*) 因为()1ln 3309F -'=<,()()21ln 22ln 4401616F --'==>,所以()03,4x ∈,且002ln 0x x --=, 将00ln 2x x =-代入(*)式, 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-,()03,4x ∈. 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数,所以713,34t ⎛⎫∈⎪⎝⎭,即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为k 为整数,所以0k ≤. 故选:ABC 【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于较难题.三、三角函数与解三角形多选题21.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”,即以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.把以上文字写成公式,即S =(S 为三角形的面积,a 、b 、c 为三角形的三边).现有ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =,且ABC 的面积ABC S =△,则下列结论正确的是( )A .ABC 的周长为10+B .ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列C .ABC 的外接圆半径为3D .ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =ABCS =△以及S =A 正确,然后根据余弦定理求出1cos 2C =,则π3C =,2A B C +=,B 正确,再然后根据2sin c R C =即可判断出C 错误,最后根据余弦定理求出cos B =,再根据cos B =求出CD 长,D 错误. 【详解】A 项:设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,因为sin :sin :sin 2:A B C =,所以由正弦定理可得::2:a b c =设2a t =,3b t =,()0c t =>,。
高考数学一轮复习 题组层级快练16(含解析)
题组层级快练(十六)1.函数y =x 2(x -3)的单调递减区间是( ) A .(-∞,0) B .(2,+∞) C .(0,2) D .(-2,2)答案 C解析 y ′=3x 2-6x ,由y ′<0,得0<x <2. 2.函数f (x )=(x -3)e x的单调递增区间是( ) A .(-∞,2) B .(0,3) C .(1,4) D .(2,+∞)答案 D解析 f ′(x )=(x -3)′e x+(x -3)(e x)′=(x -2)e x,令f ′(x )>0,解得x >2,故选D. 3.(2015·湖北八校联考)函数f (x )=ln x -ax (a >0)的单调递增区间为( ) A .(0,1a)B .(1a,+∞)C .(-∞,1a)D .(-∞,a )答案 A解析 由f ′(x )=1x -a >0,得0<x <1a.∴f (x )的单调递增区间为(0,1a).4.若函数y =a (x 3-x )的单调递减区间为(-33,33),则实数a 的取值范围是( ) A .a >0 B .-1<a <0 C .a >1 D .0<a <1答案 A解析 y ′=a (3x 2-1),解3x 2-1<0,得-33<x <33. ∴f (x )=x 3-x 在(-33,33)上为减函数. 又y =a (x 3-x )的单调递减区间为(-33,33), ∴a >0.5.(2014·陕西理)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )A .y =1125x 3-35xB .y =2125x 3-45x C .y =3125x 3-xD .y =-3125x 3+15x答案 A解析 设所求函数解析式为y =f (x ),由题意知f (5)=-2,f (-5)=2,且f ′(±5)=0,代入验证易得y =1125x 3-35x 符合题意,故选A.6.若函数f (x )=(x 2-2x )e x在(a ,b )上单调递减,则b -a 的最大值为( ) A .2 B. 2 C .4 D .2 2答案 D解析 f ′(x )=(2x -2)e x +(x 2-2x )e x =(x 2-2)e x, 令f ′(x )<0,∴-2<x < 2.即函数f (x )的单调递减区间为(-2,2). ∴b -a 的最大值为2 2.7.(2015·冀州中学模拟)若函数f (x )的导函数f ′(x )=x 2-4x +3,则使函数f (x -1)单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )A .(0,1)B .[0,2]C .(2,3)D .(2,4)答案 C解析 由f ′(x )<0⇔x 2-4x +3<0, 即1<x <3,∴函数f (x )在(1,3)上单调递减. ∴函数f (x -1)在(2,4)上单调递减. 故D 为充要条件,C 为充分不必要条件.8.若f (x )=-12x 2+b ln(x +2)在(-1,+∞)上是减函数,则实数b 的取值范围是( )A .[-1,+∞)B .(-1,+∞)C .(-∞,-1]D .(-∞,-1)答案 C解析 f ′(x )=-x +bx +2≤0在(-1,+∞)上恒成立,即b ≤x (x +2)在(-1,+∞)上恒成立.又x (x +2)=(x +1)2-1>-1,∴b ≤-1,故选C.9.函数f (x )在定义域R 内可导,若f (x )=f (2-x ),且当x ∈(-∞,1)时,(x -1)f ′(x )<0,设a =f (0),b =f (12),c =f (3),则( )A .a <b <cB .c <a <bC .c <b <aD .b <c <a答案 B解析 由f (x )=f (2-x )可得对称轴为x =1,故f (3)=f (1+2)=f (1-2)=f (-1). 又x ∈(-∞,1)时,(x -1)f ′(x )<0,可知f ′(x )>0. 即f (x )在(-∞,1)上单调递增,f (-1)<f (0)<f (12),即c <a <b .10.已知函数f (x )(x ∈R )的图像上任一点(x 0,y 0)处的切线方程为y -y 0=(x 0-2)(x 20-1)(x -x 0),那么函数f (x )的单调减区间是( )A .[-1,+∞)B .(-∞,2]C .(-∞,-1)和(1,2)D .[2,+∞)答案 C解析 根据函数f (x )(x ∈R )的图像上任一点(x 0,y 0)处的切线方程为y -y 0=(x 0-2)(x 20-1)(x -x 0),可知其导数f ′(x )=(x -2)(x 2-1)=(x +1)(x -1)(x -2),令f ′(x )<0,得x <-1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(-∞,-1)和(1,2).11.已知函数y =xf ′(x )的图像如下图所示.下面四个图像中y =f (x )的图像大致是( )答案 C解析 由题意知,x ∈(0,1)时,f ′(x )<0.f (x )为减函数;x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0.f (x )为增函数; x ∈(-1,0)时,f ′(x )<0.f (x )为减函数.12.函数y =x -2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________. 答案 (π3,5π3)解析 ∵y ′=1-2cos x ,∴由⎩⎪⎨⎪⎧y ′>0,0<x <2π,即⎩⎪⎨⎪⎧1-2cos x >0,0<x <2π,得π3<x <5π3. ∴函数y =x -2sin x 在(0,2π)内的增区间为(π3,5π3).13.若函数f (x )的定义域为R ,且满足f (2)=2,f ′(x )>1,则不等式f (x )-x >0的解集为________. 答案 (2,+∞)解析 令g (x )=f (x )-x ,∴g ′(x )=f ′(x )-1. 由题意知g ′(x )>0,∴g (x )为增函数. ∵g (2)=f (2)-2=0, ∴g (x )>0的解集为(2,+∞).14.若函数f (x )=x 3+ax -2在(1,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________. 答案 [-3,+∞)解析 f ′(x )=3x 2+a ,f (x )在区间(1,+∞)上是增函数, 则f ′(x )=3x 2+a ≥0在(1,+∞)上恒成立, 即a ≥-3x 2在(1,+∞)上恒成立.∴a ≥-3.15.已知函数f (x )=kx 3+3(k -1)x 2-k 2+1(k >0)的单调递减区间是(0,4). (1)实数k 的值为________;(2)若在(0,4)上为减函数,则实数k 的取值范围是________. 答案 (1)13 (2)0<k ≤13解析 (1)f ′(x )=3kx 2+6(k -1)x ,由题意知f ′(4)=0,解得k =13.(2)由f ′(x )=3kx 2+6(k -1)x ≤0并结合导函数的图像可知,必有-2k -1k ≥4,解得k ≤13.又k >0,故0<k ≤13.16.已知a 是实数,求函数f (x )=x (x -a )的单调区间.答案 ①a >0时,单调递减区间为[0,a 3],单调递增区间为[a3,+∞)②a ≤0时,f (x )单调递增区间为[0,+∞)17.已知函数f (x )=ln x +ke x(k 为常数,e =2.718 28…是自然对数的底数),曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行.(1)求k 的值;(2)求f (x )的单调区间.答案 (1)k =1 (2)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞)解析 (1)由f (x )=ln x +kex, 得f ′(x )=1-kx -x ln xx e x,x ∈(0,+∞).由于曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行, 所以f ′(1)=0,因此k =1. (2)由(1)得f ′(x )=1x e x(1-x -x ln x ),x ∈(0,+∞). 令h (x )=1-x -x ln x ,x ∈(0,+∞),当x ∈(0,1)时,h (x )>0;当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0. 又e x>0,所以x ∈(0,1)时,f ′(x )>0;x ∈(1,+∞)时,f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). 18.(2015·山东师大附中)已知函数f (x )=x -ax-ln x ,a >0. (1)讨论函数f (x )的单调性;(2)若f (x )>x -x 2在(1,+∞)上恒成立,求实数a 的取值范围.答案 (1)0<a <14时,单调递增区间为(0,1-1-4a 2),(1+1-4a2,+∞),单调递减区间为(1-1-4a 2,1+1-4a 2);a ≥14时,单调递增区间为(0,+∞)(2)0<a ≤1解析 (1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),由于f ′(x )=1+a x 2-1x =x 2-x +ax 2,令m (x )=x 2-x +a ,①当Δ=1-4a ≤0,即a ≥14时,f ′(x )≥0恒成立,所以函数f (x )在(0,+∞)上是增函数;②当Δ=1-4a >0,即0<a <14时,由x 2-x +a >0,得0<x <1-1-4a 2或x >1+1-4a 2.所以f (x )在(0,1-1-4a 2),(1+1-4a 2,+∞)上是增函数,在(1-1-4a 2,1+1-4a2)上是减函数.综上知,当0<a <14时,f (x )在(0,1-1-4a 2),(1+1-4a 2,+∞)上是增函数,在(1-1-4a2,1+1-4a2)上是减函数.当a ≥14时,f (x )在(0,+∞)上是增函数.(2)f (x )>x -x 2,即x 2-ax-ln x >0, 因为x ∈(1,+∞),所以a <x 3-x ln x .令g (x )=x 3-x ln x ,h (x )=g ′(x )=3x 2-ln x -1,h ′(x )=6x -1x =6x 2-1x,在(1,+∞)上h ′(x )>0,得h (x )>h (1)=2,即g ′(x )>0,故g (x )=x 3-x ln x 在(1,+∞)上为增函数,g (x )>g (1)=1,所以0<a ≤1.已知函数f (x )=12mx 2+ln x -2x 在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围为________.答案 [1,+∞)解析 f ′(x )=mx +1x-2≥0对一切x >0恒成立.m ≥-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+2x ,令g (x )=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+2x,则当1x =1时,函数g (x )取得最大值1,故m ≥1.。
高考数学第一轮复习押题专练(15)含答案
1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量a-b=a+(-b)-b 的和的 运算叫做a 与b 的差数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |=|λ||a |; (2)当λ>0时,λa的方向与a 的方向相同;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反;当λ=0时,λa =0λ(μa )=λμa ;(λ+μ)a =λa +μa ;λ(a +b )=λa +λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b =λa .高频考点一 平面向量的概念例1、下列命题中,正确的是________.(填序号) ①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量a 与向量b 平行,则a 与b 的方向相同或相反; ③向量AB →与向量CD →共线,则A 、B 、C 、D 四点共线; ④两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. 答案 ④④正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;向量的模均为实数,可以比较大小. 【变式探究】(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a 与a |a |的关系:a|a |是与a 同方向的单位向量.【变式探究】设a 0为单位向量,①若a 为平面内的某个向量,则a =|a |a 0;②若a 与a 0平行,则a =|a |a 0;③若a 与a 0平行且|a |=1,则a =a 0.上述命题中,假命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3答案 D高频考点二 平面向量的线性运算例2、(1)设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB →+FC →等于( ) A.BC → B.12AD → C.AD →D.12BC → (2)在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b ,若点D 满足BD →=2DC →,则AD →等于( ) A.23b +13c B.53c -23b C.23b -13c D.13b +23c 答案 (1)C (2)A解析 (1)EB →+FC →=12(AB →+CB →)+12(AC →+BC →)=12(AB →+AC →)=AD →. (2)∵BD →=2DC →,∴AD →-AB →=BD →=2DC →=2(AC →-AD →), ∴3AD →=2AC →+AB →, ∴AD →=23AC →+13AB →=23b +13c .【变式探究】(1)在△ABC 中,已知D 是AB 边上的一点,若AD →=2DB →,CD →=13CA →+λCB →,则λ等于( ) A.23 B.13 C .-13D .-23(2)在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC →=3CD →,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),若AO →=xAB →+(1-x )AC →,则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,0 答案 (1)A (2)D【感悟提升】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较求参数的值.【变式探究】如图,一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ,AD 分别交于E ,F 两点,且交对角线AC 于K ,其中,AE →=25AB →,AF →=12AD →,AK →=λAC →,则λ的值为( )A.29B.27C.25D.23 答案 A解析 ∵AE →=25AB →,AF →=12AD →,∴AB →=52AE →,AD →=2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知, AC →=AB →+AD →,∴AK →=λAC →=λ(AB →+AD →)=λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →+2AF → =52λAE →+2λAF →, 由E ,F ,K 三点共线,可得λ=29,故选A.高频考点三 共线定理的应用 例3、设两个非零向量a 与b 不共线,(1)若AB →=a +b ,BC →=2a +8b ,CD →=3(a -b ),求证:A 、B 、D 三点共线; (2)试确定实数k ,使k a +b 和a +k b 共线.【感悟提升】(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a +λ2b =0成立,若λ1a +λ2b =0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a 、b 不共线.【变式探究】(1)已知向量AB →=a +3b ,BC →=5a +3b ,CD →=-3a +3b ,则( ) A .A ,B ,C 三点共线 B .A ,B ,D 三点共线 C .A ,C ,D 三点共线D .B ,C ,D 三点共线(2)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC .若DE →=λ1AB →+λ2AC →(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.答案 (1)B (2)12解析 (1)∵BD →=BC →+CD →=2a +6b =2(a +3b )=2AB →, ∴BD →、AB →共线,又有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线.故选B. (2)DE →=DB →+BE →=12AB →+23BC →=12AB →+23(AC →-AB →)=-16AB →+23AC →,∵DE →=λ1AB →+λ2AC →,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12.高频考点四、方程思想在平面向量线性运算中的应用例4、如图所示,在△ABO 中,OC →=14OA →,OD →=12OB →,AD 与BC 相交于点M ,设OA →=a ,OB →=b .试用a 和b 表示向量OM →.【感悟提升】(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有一定的难度.(2)易错点是找不到问题的切入口,想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量是一个几何量,是有“形”的量,因此在解决向量有关问题时,多数习题要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.【方法技巧】1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”.2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.3.对于三点共线有以下结论:对于平面上的任一点O ,OA →,OB →不共线,满足OP →=xOA →+yOB →(x ,y ∈R ),则P ,A ,B 共线⇔x +y =1.【易错提醒】1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.【高考新课标2文数】已知向量a =(m ,4),b =(3, -2),且a ∥b ,则m =___________. 【答案】-6【解析】因为a ∥b ,所以2430m --⨯=,解得6m =-.【高考新课标1文数】设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x = . 【答案】23-【解析】由题意, 20,2(1)0,.3x x x ⋅=++=∴=-a b1.【高考安徽,文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形,已知向量b a 、满足a AB2=→,b a AC+=→2,则下列结论中正确的是 .(写出所有正确结论得序号)①a为单位向量;②b 为单位向量;③b a ⊥;④→BC b // ;⑤→⊥+BC b a )4( 。
高考数学一轮复习3 (16)
1 7 所以 a8=a1q =4× 2 =32.
7
答案
18
5 (1) 4
(2)32
基础诊断 考点突破
考点二 等比数列的判定与证明 【例2】 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.
n 项和 TΒιβλιοθήκη .解 (1)因为Sn=2an-a3,
所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
即an=2an-1(n≥2). 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1, 又因为a1,a2+1,a3成等差数列, 即a1+a3=2(a2+1),
∴a1=a1q+3,a1(1+q)=a1q2+3, ∴q2-2q=0,q≠0. 则公比q=2. 答案 2
5
基础诊断
考点突破
4.(必修5P61习题3改编)若等比数列的通项公式为an=4×31-n,则数列{an}是________ 数列(填“递增”或“递减”). 答案 递减
5.(必修5P67习题3改编)设{an}是等比数列,给出下列四个命题:
q 表示 公比 ,通常用字母___ 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的_____
(q≠0).
7
基础诊断
考点突破
2.等比数列的通项公式 a1· qn-1 . 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=_________
3.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的 等比中项 ____________.
高考数学一轮复习《圆与方程》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《圆与方程》练习题(含答案)一、单项选择题1.已知圆221:1C x y +=与圆()()222:121C x y -++=,则圆1C 与2C 的位置关系是( )A .内含B .相交C .外切D .外离2.已知点(1,1)在圆(x ﹣a )2+(y +a )2=4的内部,则实数a 的取值范围是( ) A .(﹣1,1)B .(0,1)C .(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)D .{1,﹣1}3.以点A (-5,4)为圆心,4为半径的圆的方程是 A . B . C .D .4.在平面直角坐标系xOy 中,过点()2,0P -的直线l 与圆O :221x y +=相切,且直线l 与圆C :()(22433x y -+=相交于A ,B 两点,则AB =( )A 5B 3C .2D 25.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -,(),0B m ,()0m >.若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m 的最小值和最大值分别为( ) A .4,7B .4,6C .5,7D .5,66.若虚数..i,,z x y x y R =+∈,且1|1|2z -=,则y x 的取值范围为( )A .33⎡⎢⎣⎦B .330,3⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦C .[3,3]D .[3,0)3]-⋃7.已知两定点(3,0),(3,0)A B -,点P 在直线230x y --=上,使得PA PB ⊥,则这样的P 点个数有( )A .0个B .1 个C .2个D .3个8.圆是中华民族传统文化的形态象征,象征着“圆满”和“饱满”,是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图,AB 是圆O 的一条直径,且 4.,AB C D =是圆O 上的任意两点,2CD =,点P 在线段CD 上,则PA PB ⋅的取值范围是( )A .3,2⎡⎤⎣⎦B .[]1,0-C .[]3,4D .[]1,29.已知直线20x y ++=和圆22220x y x y a ++-+=相交于,A B 两点.若||4AB =,则实数a 的值为( ) A .-2B .-4C .-6D .-810.设过点1,0A 的直线l 与圆()()22:344C x y -+-=交于,E F 两点,线段EF 的中点为M .若l 与y 轴的交点为N ,则AM AN的取值范围是( )A .(]0,2B .160,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C .162,5⎫⎡⎪⎢⎣⎭D .162,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.圆221:(1)(1)28O x y -+-=与222:(4)18O x y +-=的公共弦长为( )A .23B .26C .32D .6212.平面直角坐标系中,动圆T 与x 轴交于两点A ,B ,与y 轴交于两点C ,D ,若|AB |和CD 均为定值,则T 的圆心轨迹一定是( ) A .椭圆(或圆)B .双曲线C .抛物线D .前三个答案都不对二、填空题13.以双曲线C :()222103x y a a-=>的一个焦点F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切,则该圆的面积为________.14.过点()1,2M -作圆225x y +=圆的切线l ,则l 的方程是___________.15.若圆222430x y x y +++-=上到直线20x y a ++= 2 的点恰有3个,则实数a 的值为___________.16.已知()11,A x y 、()22,B x y 为圆22:4M x y +=上的两点,且121212x x y y +=-,设00(,)P x y为弦AB 的中点,则00|3410|x y +-的最小值为________.三、解答题17.求经过三点()0,0A ,()3,0B ,()1,2C -的圆的方程.1820y +-=与圆2220x y y =++的位置关系.19.已知圆C :22230x y y ++-=,直线l :30x y ++=. (1)求圆C 的圆心及半径;(2)求直线l 被圆C 截得的弦AB 的长度.20.已知圆221:(6)(7)25C x y -+-=及其上一点()2,4A .(1)设平行于OA 的直线l 与圆1C 相交于,B C 两点,且BC OA =,求直线l 的方程; (2)设圆2C 与圆1C 外切于点A ,且经过点()3,1P ,求圆2C 的方程.21.已知圆C :2240x y mx ny ++++=的圆心在直线10x y ++=上,且圆心C 在第四象限,半径为1.(1)求圆C 的标准方程;(2)是否存在直线与圆C 相切,且在x 轴,y 轴上的截距相等?若存在,求出该直线的方程;若不存在,说明理由.22.已知抛物线E :22x py =过点()1,1,过抛物线E 上一点()00,P x y 作两直线PM ,PN 与圆C :()2221x y +-=相切,且分别交抛物线E 于M 、N 两点. (1)求抛物线E 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)若直线MN 的斜率为P 的坐标.23.已知椭圆E :2213x y +=上任意一点P ,过点P 作PQ y ⊥轴,Q 为垂足,且33QM QP =.(1)求动点M 的轨迹Γ的方程;(2)设直线l 与曲线Γ相切,且与椭圆E 交于A ,B 两点,求OAB 面积的最大值(O 为坐标原点).24.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>0y -+=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程;(2)设直线l 与椭圆E 相切,又与圆22:4O x y +=交于M ,N 两点(O 为坐标原点),求OMN面积的最大值,并求出此时直线l 的方程。
高考第一轮复习数学:函数(附答案)
素质能力检测(二)一、选择题(每小题5分,共60分)1.(年全国)函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是 A.b ≥0 B.b ≤0 C.b >0 D.b <0 解析:y =x 2+bx +c 的对称轴为x =-2b ,∴-2b≤0.∴b ≥0. 答案:A2.(年全国Ⅲ,理11)设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧--+14)1(2x x ,1,1≥<x x 则使得f (x )≥1的自变量x的取值范围为A.(-∞,-2]∪[0,10]B.(-∞,-2]∪[0,1]C.(-∞,-2]∪[1,10]D.[-2,0]∪[1,10] 解析:当x <1时,f (x )≥1⇔(x +1)2≥1⇔x ≤-2或x ≥0,∴x ≤-2或0≤x <1.当x ≥1时,f (x )≥1⇔4-1-x ≥1⇔1-x ≤3⇔1≤x ≤10.综上,知x ≤-2或0≤x ≤10. 答案:A3.f (x )是定义在R 上的奇函数,它的最小正周期为T ,则f (-2T)的值为 A.0B.2TC.TD.-2T 解法一:由f (2T )=f (-2T +T )=f (-2T )=-f (2T ),知f (2T)=0. 解法二:取特殊函数f (x )=sin x . 答案:A4.(年上海,文15)若函数y =f (x )的图象与函数y =lg (x +1)的图象关于直线x -y =0对称,则f (x )等于A.10x -1B.1-10xC.1-10-xD.10-x -1 解析:∵y =f (x )与y =lg (x +1)关于x -y =0对称, ∴y =f (x )与y =lg (x +1)互为反函数. ∴由y =lg (x +1),得x =10y -1. ∴所求y =f (x )=10x -1. 答案:A5.函数f (x )是一个偶函数,g (x )是一个奇函数,且f (x )+g (x )=11-x ,则f(x )等于A.112-xB.1222-x x C.122-xD.122-x x解析:由题知f (x )+g (x )=11-x ,①以-x 代x ,①式得f (-x )+g (-x )=11--x ,即f (x )-g (x )=11--x , ②①+②得f (x )=112-x . 答案:A6.(年江苏,11)设k >1,f (x )=k (x -1)(x ∈R ),在平面直角坐标系xOy 中,函数y =f (x )的图象与x 轴交于A 点,它的反函数y =f -1(x )的图象与y 轴交于B 点,且这两个函数的图象交于P 点.已知四边形OAPB 的面积是3,则k 等于A.3B.23 C.34D.56 解析:用k 表示出四边形OAPB 的面积. 答案:B7.F (x )=(1+122-x )·f (x )(x ≠0)是偶函数,且f (x )不恒等于零,则f (x )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数,又是偶函数D.是非奇非偶函数解析:g (x )=1+122-x 是奇函数,∴f (x )是奇函数. 答案:A8.(年杭州市质检题)当a ≠0时,函数y =ax +b 和y =b ax 的图象只可能是Oxy OxyOxyOy1111AB答案:C9.(年全国Ⅳ,12)设函数f (x )(x ∈R )为奇函数,f (1)=21,f (x +2)=f (x )+ f (2),则f (5)等于A.0B.1C.25D.5解析:∵f (x +2)=f (x )+f (2)且f (x )为奇函数,f (1)=21,∴f (1)=f (-1+2)=f (-1)+f (2)=-f (1)+f (2).∴f (2)=2f (1)=1.∴f (5)=f (3)+f (2)=f (1+2)+ f (2)=f (1)+2f (2)=25. 答案:C 10.设函数f (x )=cx bax ++2的图象如下图所示,则a 、b 、c 的大小关系是 11-1-1OxyA.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >a >b 解析:f (0)=c b=0,∴b =0. f (1)=1,∴ca+1=1.∴a =c +1.由图象看出x >0时,f (x )>0,即x >0时,有cx ax+2>0,∴a >0.又f (x )= xc x a +,当x >0时,要使f (x )在x =1时取最大值1,需x +x c≥2c ,当且仅当x =c =1时.∴c =1,此时应有f (x )=2a=1.∴a =2. 答案:B11.偶函数y =f (x )(x ∈R )在x <0时是增函数,若x 1<0,x 2>0且|x 1|<|x 2|,下列结论正确的是A.f (-x 1)<f (-x 2)B.f (-x 1)>f (-x 2)C.f (-x 1)=f (-x 2)D.f (-x 1)与f (-x 2)大小关系不确定解析:|x |越小,f (x )越大.∵|x 1|<|x 2|,∴选B. 答案:B12.方程log 2(x +4)=3x 实根的个数是 A.0 B.1 C.2D.3解析:设y =log 2(x +4)及y =3x . 画图知交点有两个. 答案:C二、填空题(每小题4分,共16分)13.(年浙江,理13)已知f (x )=⎩⎨⎧<-≥,0,1,0,1x x 则不等式x +(x +2)·f (x +2)≤5的解集是___________________.解析:当x +2≥0时,原不等式⇔x +(x +2)≤5⇔x ≤23.∴-2≤x ≤23. 当x +2<0时,原不等式⇔x +(x +2)(-1)≤5⇔-2≤5.∴x <-2.综上,知x ≤23.答案:(-∞,23]14.设函数f (x )的定义域是N *,且f (x +y )=f (x )+f (y )+xy ,f (1)=1,则f (25)= ___________________.解析:由f (x +y )=f (x )+f (y )+xy ⇒f (2)=f (1)+f (1)+1=3. ∴f (2)-f (1)=2. 同理,f (3)-f (2)=3. ……f (25)-f (24)=25.∴f (25)=1+2+3+…+25=325. 答案:32515.(年春季上海)已知函数f (x )=log 3(x4+2),则方程f -1(x )=4的解x =___________________.解析:由f -1(x )=4,得x =f (4)=log 3(44+2)=1.答案:116.对于函数y =f (x )(x ∈R ),有下列命题:①在同一坐标系中,函数y =f (1+x )与y =f (1-x )的图象关于直线x =1对称; ②若f (1+x )=f (1-x ),且f (2-x )=f (2+x )均成立,则f (x )为偶函数; ③若f (x -1)=f (x +1)恒成立,则y =f (x )为周期函数;④若f (x )为单调增函数,则y =f (a x )(a >0,且a ≠1)也为单调增函数. 其中正确命题的序号是______________. (注:把你认为正确命题的序号都填上)解析:①不正确,y =f (x -1)与y =f (1-x )关于直线x =1对称.②正确.③正确.④不正确.答案:②③三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)函数y =lg (3-4x +x 2)的定义域为M ,x ∈M 时,求f (x )=2x +2-3×4x的最值.解:由3-4x +x 2>0得x >3或x <1, ∴M ={x |x >3或x <1},f (x )=-3×22x +22·2x =-3(2x -32)2+34. ∵x >3或x <1, ∴2x >8或0<2x <2.∴当2x =32即x =log 232时,f (x )最大,最大值为34. f (x )没有最小值.18.(12分)(年高考新课程卷)设a >0,求函数f (x )=x -ln (x +a )(x ∈(0,+∞))的单调区间.分析:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.解:f '(x )=x21-ax +1(x >0). 当a >0,x >0时,f '(x )>0⇔x 2+(2a -4)x +a 2>0, f '(x )<0⇔x 2+(2a -4)x +a 2<0.①当a >1时,对所有x >0,有x 2+(2a -4)x +a 2>0,即f '(x )>0. 此时f (x )在(0,+∞)内单调递增.②当a =1时,对x ≠1,有x 2+(2a -4)x +a 2>0,即f '(x )>0,此时f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递增. 又知函数f (x )在x =1处连续.因此,函数f (x )在(0,+∞)内单调递增. ③当0<a <1时,令f '(x )>0,即x 2+(2a -4)x +a 2>0,解得x <2-a -2a -1,或x >2-a +2a -1.因此,函数f (x )在区间(0,2-a -2a -1)内单调递增,在区间(2-a +2a -1,+∞)内也单调递增.令f '(x )<0,即x 2+(2a -4)x +a 2<0,解得2-a -2a -1<x <2-a +2a -1. 因此,函数f (x )在区间(2-a -2a -1,2-a +2a -1)内单调递减.19.(12分)(年春季北京,理20)现有一组互不相同且从小到大排列的数据:a 0,a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,其中a 0=0.为提取反映数据间差异程度的某种指标,今对其进行如下加工:记T =a 0+a 1+…+a 5,x n =5n ,y n =T1(a 0+a 1+…+a n ),作函数y =f (x ),使其图象为逐点依次连结点P n (x n ,y n )(n =0,1,2,…,5)的折线.(1)求f (0)和f (5)的值;(2)设P n -1P n 的斜率为k n (n =1,2,3,4,5),判断k 1、k 2、k 3、k 4、k 5的大小关系;(3)证明f (x n )<x n (n =1,2,3,4).(1)解:f (0)=500a a a +⋅⋅⋅+=0,f (5)=5050a a a a +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=1.(2)解:k n =11----n n n n x x y y =T5a n ,n =1,2, (5)因为a 1<a 2<a 3<a 4<a 5, 所以k 1<k 2<k 3<k 4<k 5.(3)证法一:对任何n (n =1,2,3,4), 5(a 1+…+a n )=[n +(5-n )](a 1+…+a n ) =n (a 1+…+a n )+(5-n )(a 1+…+a n ) ≤n (a 1+…+a n )+(5-n )na n =n [a 1+…+a n +(5-n )a n ]<n (a 1+…+a n +a n +1+…+a 5)=nT ,所以f (x n )=T a a n +⋅⋅⋅+1<5n=x n .证法二:对任何n (n =1,2,3,4), 当k n <1时,y n =(y 1-y 0)+(y 2-y 1)+…+(y n -y n -1) =51(k 1+k 2+…+k n )<5n=x n . 当k n ≥1时, y n =y 5-(y 5-y n )=1-[(y n +1-y n )+(y n +2-y n +1)+…+(y 5-y 4)]=1-51(k n +1+k n +2+…+k 5)<1-51(5-n )=5n=x n ,综上,f (x n )<x n .20.(12分)(年北京)有三个新兴城镇,分别位于A 、B 、C 三点处,且AB =AC =a ,BC =2b .今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处.(建立坐标系如下图)O x y A PB b, (-0)(),0h C (0) (1)若希望点P 到三镇距离的平方和为最小,点P 应位于何处?(2)若希望点P 到三镇的最远距离为最小,点P 应位于何处?分析:本小题主要考查函数、不等式等基本知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.(1)解:由题设可知,a >b >0,记h =22b a -,设P 的坐标为(0,y ),则P 至三镇距离的平方和为f (y )=2(b 2+y 2)+(h -y )2=3(y -3h )2+32h 2+2b 2. ∴当y =3h时,函数f (y )取得最小值. ∴点P 的坐标是(0,3122b a -). (2)解法一:P 至三镇的最远距离为g (y )=⎪⎩⎪⎨⎧-+||22y h y b ,||,||2222时当时当y h y b y h y b -<+-≥+由22y b +≥|h -y |解得y ≥h b h 222-,记y *=hb h 222-,于是g (y )=⎪⎩⎪⎨⎧-+||22y h y b .,**时当时当y y y y <≥当y *=hb h 222-≥0,即h ≥b 时,22y b +在[y *,+∞)上是增函数,而|h -y |在(-∞,y *)上是减函数,由此可知,当y =y *时,函数g (y )取得最小值;当y *=hb h 222-<0,即h <b 时,函数22y b +在[y *,+∞)上,当y =0时,取得最小值b ,而|h -y |在(-∞,y *)上为减函数,且|h -y |>b .可见,当y =0时,函数g (y )取得最小值.∴当h ≥b 时,点P 的坐标为(0,222222ba b a --);当h <b 时,点P 的坐标为(0,0).其中h =22b a -. 解法二:P 至三镇的最远距离为g (y )=⎪⎩⎪⎨⎧-+||22y h y b .||,||2222时当时当y h y b y h y b -<+-≥+由22y b +≥|h -y |解得y ≥h b h 222-,记y *=hb h 222-,于是 g (y )=⎪⎩⎪⎨⎧-+||22y h y b .,**时当时当y y y y <≥当y *≥0,即h ≥b 时,z =g (y )的图象如图(a ),因此,当y =y *时,函数g (y )取得最小值.当y *<0,即h <b 时,z =g (y )的图象如图(b ),因此,当y =0时,函数g (y )取得最小值.O h by O y y hb g g ()y ()y (b )'∴当h ≥b 时,点P 的坐标为(0,222222ba b a --);当h <b 时,点P 的坐标为(0,0).其中h =22b a -. 解法三:∵在△ABC 中,AB =AC =a ,∴△ABC 的外心M 在射线AO 上,其坐标为(0,222222ba b a --),且AM =BM =CM .当P 在射线MA 上,记P 为P 1;当P 在射线MA 的反向延长线上,记P 为P 2. 若h =22b a -≥b 〔如图(c )〕,2 Pxy O B (-b,0) C (b ,0) A MP 1(c)则点M 在线段AO 上.这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 或P 2A ,且P 1C ≥MC ,P 2A ≥MA , 所以点P 与外心M 重合时,P 到三镇的最远距离最小. 若h =22b a -<b 〔如图(d )〕,则点M 在线段AO 外.xy O B (-b,0)C (b,0) AM P 1P2(d)这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 或P 2A ,且P 1C ≥OC ,P 2A ≥OC ,所以点P 与BC 边的中点O 重合时,P 到三镇的最远距离最小.∴当22b a -≥b 时,点P 的位置在△ABC 的外心(0,222222ba b a --);当22b a -<b 时,点P 的位置在原点O .21.(12分)设f (x )是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线x =1对称,对任意x 1、x 2∈[0,21],都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2). (1)设f (1)=2,求f (21),f (41);(2)证明f (x )是周期函数.(1)解:由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),x 1、x 2∈[0,21]知f (x )=f (2x)·f (2x )=[f (2x)]2≥0,x ∈[0,1]. 因为f (1)=f (21)·f (21)=[f (21)]2,及f (1)=2,所以f (21)=221.因为f (21)=f (41)·f (41)=[f (41)]2,及f (21)=221,所以f (41)=241.(2)证明:依题设y =f (x )关于直线x =1对称,故f (x )=f (1+1-x )⇔f (x )=f (2-x ),x ∈R .又由f (x )是偶函数知f (-x )=f (x ),x ∈R ,所以f (-x )=f (2-x ),x ∈R .将上式中-x 以x 代换,得f (x )=f (x +2),x ∈R .这表明f (x )是R 上的周期函数,且2是它的一个周期.22.(14分)设函数y =f (x )定义在R 上,对任意实数m 、n ,恒有f (m +n )=f (m )·f (n )且当x >0时,0<f (x )<1.(1)求证:f (0)=1,且当x <0时,f (x )>1; (2)求证:f (x )在R 上递减;(3)设集合A ={(x ,y )|f (x 2)·f (y 2)>f (1)},B ={(x ,y )|f (ax -y +2)=1,a ∈R },若A ∩B =∅,求a 的取值范围.(1)证明:在f (m +n )=f (m )f (n )中, 令m =1,n =0,得f (1)=f (1)f (0). ∵0<f (1)<1,∴f (0)=1.设x <0,则-x >0.令m =x ,n =-x ,代入条件式有f (0)=f (x )·f (-x ),而f (0)=1,∴f (x )=)(1x f ->1.(2)证明:设x 1<x 2,则x 2-x 1>0, ∴0<f (x 2-x 1)<1. 令m =x 1,m +n =x 2,则n =x 2-x 1,代入条件式,得 f (x 2)=f (x 1)·f (x 2-x 1), 即0<)()(12x f x f <1.∴f (x 2)<f (x 1). ∴f (x )在R 上单调递减.(3)解:由f (x 2)·f (y 2)>f (1)⇒f (x 2+y 2)>f (1). 又由(2)知f (x )为R 上的减函数,∴x 2+y 2<1⇒点集A 表示圆x 2+y 2=1的内部.由f (ax -y +2)=1得ax -y +2=0⇒点集B 表示直线ax -y +2=0. ∵A ∩B =∅,∴直线ax -y +2=0与圆x 2+y 2=1相离或相切. 于是122+a ≥1⇒-3≤a ≤3.。
高考数学一轮复习 专题7.2 一元二次不等式及其解法(练)
专题7.2 一元二次不等式及其解法【基础巩固】一、填空题1.已知函数f (x )=x 2+ax +b (a ,b ∈R )的值域为[0,+∞),若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ,m +6),则实数c 的值为________.【答案】92.对任意的k ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(k -4)x +4-2k 的值恒大于零,则x 的取值范围是________.【答案】{x |x <1或x >3}【解析】x 2+(k -4)x +4-2k >0恒成立,即g (k )=(x -2)k +(x 2-4x +4)>0,在k ∈[-1,1]时恒成立.只需g (-1)>0且g (1)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-5x +6>0,x 2-3x +2>0,解之得x <1或x >3.3.(2015·江苏卷)不等式2x 2-x <4的解集为________.【答案】{x |-1<x <2}【解析】∵2x 2-x <4=22,∴x 2-x <2,即x 2-x -2<0,解得-1<x <2.4.若集合A ={x |ax 2-ax +1<0}=∅,则实数a 的取值范围是________.【答案】[0,4]【解析】由题意知a =0时,满足条件.a ≠0时,由⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,Δ=a 2-4a ≤0,得0<a ≤4,所以0≤a ≤4. 5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+2x ,x ≥0,-x 2+2x ,x <0,则不等式f (x )>3的解集为________.【答案】{x |x >1}【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,x 2+2x >3或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0,-x 2+2x >3,解得x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}. 6.(2017·盐城期中)若不等式x 2-2x +5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是________.【答案】[-1,4]7.(2017·扬州期末)若关于x 的不等式ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫-∞,15,则关于x 的不等式ax 2+bx -45a >0的解集为________.【答案】⎝⎛⎭⎪⎫-1,45 【解析】由已知ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫-∞,15,可知a <0,且b a =15,将不等式ax 2+bx -45a >0两边同除以a ,得x 2+b a x -45<0,即x 2+15x -45<0,解得-1<x <45,故不等式ax 2+bx -45a >0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫-1,45. 8.已知函数f (x )=x 2+mx -1,若对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围是________.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,0 【解析】二次函数f (x )对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0成立,则⎩⎪⎨⎪⎧ f m =m 2+m 2-1<0,f m +1=m +12+m m +1-1<0, 解得-22<m <0. 二、解答题9.已知f (x )=-3x 2+a (6-a )x +6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0;(2)若不等式f (x )>b 的解集为(-1,3),求实数a ,b 的值.10.某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x 成(1成=10%),售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y ,试求y 与x 之间的函数关系式y =f (x ),并写出定义域;(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x 的取值范围.解 (1)由题意得,y =100⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1+850x . 因为售价不能低于成本价,所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 10-80≥0. 所以y =f (x )=40(10-x )(25+4x ),定义域为x ∈[0,2].(2)由题意得40(10-x )(25+4x )≥10 260,化简得8x 2-30x +13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2.【能力提升】11.(2016·苏北四市模拟)已知函数f (x )=(ax -1)(x +b ),如果不等式f (x )>0的解集是(-1,3),则不等式f (-2x )<0的解集是________.【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <-3212.(2017·南通调研)已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3,则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________.【答案】{x |-ln 2<x <l n 3}【解析】法一 依题意可得f (x )=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12(x -3)(a <0),则f (e x )=a ⎝⎛⎭⎪⎫e x -12(e x -3)(a <0),由f (e x )=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x -12(e x -3)>0,可得12<e x <3,解得-l n 2<x <ln 3. 法二 由题知,f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <3,令12<e x <3,得-ln 2<x <ln 3. 13.(2017·无锡模拟)已知函数f (x )=-x 2+ax +b 2-b +1(a ∈R ,b ∈R ),对任意实数x 都有f (1-x )=f (1+x )成立,当x ∈[-1,1]时,f (x )>0恒成立,则b 的取值范围是________.【答案】(-∞,-1)∪(2,+∞)【解析】由f (1-x )=f (1+x )知f (x )图象的对称轴为直线x =1,则有a2=1,故a =2. 由f (x )的图象可知f (x )在[-1,1]上为增函数.∴x ∈[-1,1]时,f (x )min =f (-1)=-1-2+b 2-b +1=b 2-b -2,令b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.14.解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0(a∈R).解原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0.。
高考数学一轮复习《等式的性质与方程的解》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《等式的性质与方程的解》练习题(含答案)一、单选题1.下列运用等式的性质,变形不正确的是( )A .若x =y ,则x +5=y +5B .若a =b ,则ac =bcC .若a bc c=,则a =b D .若x =y ,则x y a a =2.若35a b =,则( ) A .53a b = B .35b a = C .53a b = D .35b a= 3.某市长期追踪市民的经济状况,依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍,且高收入市民中每年有40%会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是( ) A .60%B .70%C .80%D .90%4.我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五,屈绳量之,不足一尺,问木长几何?”大致意思是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺,将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?”,设绳子长x 尺,木条长y 尺,根据题意所列方程组正确的是( )A . 4.5112x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩B . 4.5112x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ C . 4.5112x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩D . 4.5112x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩5.|3a +b +5|+|2a -2b -2|=0,则2a 2-3ab 的值是( ) A .14 B .2 C .-2D .-46.《九章算术》记载了一个方程的问题,译为:今有上禾6束,减损其中之“实”十八升,与下禾10束之“实"相当;下禾15束,减损其中之“实”五升,与上禾5束之“实”相当.问上、下禾每束之实各为多少升?设上下禾每束之实各为x 升和y 升,则可列方程组为( )A .618101555x yy x +=⎧⎨+=⎩B .618101555x yy x -=⎧⎨-=⎩C .6181515510x y y x -=⎧⎨-=⎩D .6181515510x y y x +=⎧⎨+=⎩7.在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a b >)(如图甲),将余下的部分剪接拼成一个长方形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证的等式为( ).A .22(2)()2a b a b a ab b +-=+-B .22()()a b a b a b -=+-C .222()2a b a ab b +=++D .222()2a b a ab b -=-+8.曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆,是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器,全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调.其初始四音为宫、徵、商、羽.我国古代定音采用律管进行“三分损益法”.将一支律管所发的音定为一个基音,然后将律管长度减短三分之一(即“损一”)或增长三分之一(即“益一”),即可得到其他的音.若以宫音为基音,宫音“损一”得徵音,徵音“益一”可得商音,商音“损一”得羽音,则羽音律管长度与宫音律管长度之比是( ) A .23B .89C .1627D .64819.已知等式mx my =,则下列变形正确的是( ) A .m m y x= B .22mx my +=+C .x y =D mx my =10.已知集合{1,1}A =-,{}220B x R x x =∈--=,则A B =( )A .{l}B .∅C .{}1,1-D .{}1-11.某人的智能手机密码是一个六位数字,将前三位数组成的数与后三位数组成的数相加得741,将前两位数组成的数与后四位数组成的数相加得633,该密码对应的六位数是( ) A .201126B .210612C .110631D .12062112.不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支,其内容极为丰富,西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图.请研究下面一道不定方程整数解的问题:已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈,则该方程的整数解有( )组.A .1B .2C .3D .4二、填空题13.已知等式()()2234211x x a x x b ++=+++恒成立,则常数a b +=________14.设x ∈R ,方程12132x x x -+-=-的解集为__________.15.已知,a b R ∈,则当且仅当a ,b 满足 ____________ .时,||||||a b a b -=-成立. 16.已知实数,,a b c 满足222320,1a b c a b c ++=++=,则a 的最大值为___________.三、解答题17.解下列不等式组和方程,并将解集表达成区间或集合的形式.(1)315321x x x ⎧->⎪⎨+≥⎪-⎩(2)23547x x x -+-=-18.设函数()222,,y ax bx c a b c =++∈R ,若0a b c ++=,()220a b c c ++>(1)求证:方程2220ax bx c ++=有实根.(2)若()3,1ba∈--,1x 、2x 为方程2220ax bx c ++=的两实数根,求12x x -的取值范围.19.(1)已知正数a ,b ,c 满足3a b c ++=,1113a b c++=,求实数a ,b ,c 的值;(2)若a ,b ,c 为三个不等的实数,试证明一元二次方程220ax bx c ++=,220bx cx a ++=,220cx ax b ++=不能同时得到等根.20.已知命题p :方程220x m -+=有两个不相等的实数根;命题q :128m +<. (1)若p 为真命题,求实数m 的取值范围;(2)若p q ∨为真命题,p q ∧为假命题,求实数m 的取值范围.21.设()2x af x x -=(常数a ∈R ),且已知1x =是方程()0f x x +=的根.(1)求a 的值;(2)判断并用定义证明函数()y f x =在()0,∞+的单调性; (3)设常数k ∈R ,解关于x 的不等式:()()121kx f x k x k ⋅<+--.22.某种商品的市场需求量1y (万件)、市场供应量2y (万件)与市场价格x (元/件)分别近似地满足下列关系:170y x =-+,2220y x =-.当12y y =时的市场价格称为市场平衡价格,此时的需求量称为平衡需求量. (1)求平衡价格和平衡需求量.(2)若该商品的市场销售量P (万件)是市场需求量1y 和市场供应量2y 两者中的较小者,该商品的市场销售额W (万元)等于市场销售量P 与市场价格x 的乘积.当市场价格x 取何值时,市场销售额W 取得最大值?23.《见微知著》谈到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂,从部分到整体,由低维到高维,知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是发现新问题、新结论的重要方法.例如,已知1ab =,求证:11111a b+=++. 证明:原式111111ab b ab a b b b=+=+=++++. 波利亚在《怎样解题》中也指出:“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后,再四处看看,他们总是成群生长.”类似上述问题,我们有更多的式子满足以上特征.请根据上述材料解答下列问题:(1)已知1ab =,求221111a b +++的值; (2)若1abc =,解方程5551111ax bx cxab a bc b ca c ++=++++++; (3)若正数,a b 满足1ab =,求11112M a b=+++的最小值.24.为了解决受新冠疫情影响,文具用品滞销的问题,文具店老板利用某直播平台卖货,销售的文具主要有圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔,价格依次为2元/支、10元/本、14元/个、25元/支.为了增加销量,老板决定对这4种文具进行1次优惠大促销:优惠活动①,提供满50元减4元的优惠券,优惠券可叠加;优惠活动②,提供买1套文具(包括1支圆珠笔、1本笔记本、1个文具盒、1支钢笔)减x (010x <<,且x ∈Z )元的优惠券,优惠券可叠加,每位顾客只能参加其中一种优惠活动,每位顾客在网上支付订单成功后,文具店老板都会得到支付款的80%.已知甲顾客购买了1套文具,选择优惠活动②,并且文具店老板从甲顾客的支付款中得到了36元. (1)求x 的值;(2)已知乙、丙两位顺客计划在该文具店购买圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔这4种文具,计划购买的圆珠笔的数量多于笔记本的数量的2倍,笔记本的数量多于文具盒的数量,文具盒的数量多于钢笔的数量,钢笔数量的3倍多于圆珠笔的数量,当乙、丙购买的文具总数最少时,请你给乙、丙设计1种最省钱的购买方案,并求乙、丙花费的总费用的最小值。
高考数学《无穷等比数列各项的和》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《无穷等比数列各项的和》一轮复习练习题(含答案)一、单选题1.已知无穷等比数列{}n a 的首项为1,公比为13,则{}n a 各项的和为( )A .23B .34 C .43D .322.设无穷等比数列所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为3-,1a 为其首项,则1a =( ) A .685B .785C .725D .8453.无穷数列4 ,2-,1,12-,14,的各项和为( )A .83B .53C .43D .734.已知数列{}n a 是等比数列,()121lim 4n n a a a →∞++⋯+=,则1a 的取值范围是( )A .102⎛⎫ ⎪⎝⎭,B .104⎛⎫ ⎪⎝⎭,C .1142⎛⎫ ⎪⎝⎭,D .1110442⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,5.已知无穷等比数列{}n a 的公比为2,且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=,则242111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=( ) A .13B .23C .1D .436.已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和()*13n n S a n N =+∈,且a 是常数,则此无穷等比数列各项的和是( ) A .13B .13-C .1D .-17.若数列{}n b 的每一项都是数列{}n a 中的项,则称{}n b 是{}n a 的子数列.已知两个无穷数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数,其中321n a n =+,{}n b 是各项和为12的等比数列,且{}n b 是{}n a 的子数列,则满足条件的数列{}n b 的个数为 A .0个B .1个C .2个D .无穷多个8.设无穷等比数列{}n a 的各项和为S ,若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++,则数列{}n b 的各项和为( ) A .3SB .2SC .SD .3S9.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且lim n n S S →∞=,下列条件中,使得()*3n S S n N <∈恒成立的是( )A .10a >,0.80.9q <<B .10a <,0.90.8q -<<-C .10a >,0.70.8q <<D .10a <,0.80.7q -<<-10.无穷数列12,13,14,16,⋅⋅⋅,12n ,1132n -⋅,⋅⋅⋅的各项和为( ) A .83B .53C .43D .7311.已知121,20151,20152n n n n a n --<⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩,n S 是数列{}n a 的前n 项和( )A .lim n n a →∞和lim n n S →∞都存在B .lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在C .lim n n a →∞存在,lim n n S →∞不存在 D .lim n n a →∞不存在,lim n n S →∞存在 12.已知两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ,点 P 1是线段 OQ 的中点,点 P 2是线段 QP 1的中点, P 3 是线段 P 1P 2的中点,……,Pn + 2是线段 Pn Pn +1的中点,则点 Pn 的极限位置应是( ) A .(,)22a bB .(,)33a bC .22(,)33a b D .33(,)44a b二、填空题13.首项为1,公比为12-的无穷等比数列{}n a 的各项和为______.14.若{}n a 是无穷等比数列,且12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=,则1a 的取值范围为___________. 15.已知数列{}n a 是公比为q 无穷等比数列,若12i i a q +∞==∑,则1a 的取值范围是____.16.无穷等比数列{}()*,n n a n a ∈∈N R 的前n 项和为n S ,且lim 2n n S →+∞=,则首项1a 的取值范围是_______.三、解答题17.一个无穷等比数列前n 项和的极限存在,记作S ,首项为12a =,公比0q <,求S 的取值范围.18.一个无穷等比数列的公比q 满足1q <,它的各项和等于6,这个数列的各项平方和等于18,求这个数列的首项1a 与公比q .19.已知数列{}n a 的首项1(0)a b b =≠,它的前n 项之和n S 组成的数列{}()*n S n N ∈是一个公比为(||1)q q <的等比数列.(1)求证:234,,a a a ,…是一个等比数列; (2)设1122n n n W a S a S a S =+++,求lim n n W →∞,(用,b q 表示)20.已知6614=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑i i i x a x .(1)等比数列{}n b 的首项11b a =,公比4=q a ,求1∞=∑i i b 的值;(2)等差数列{}n c 首项15=c a ,公差6=d a ,求{}n c 通项公式和它的前2022项和2022S .21.数列{}n a 中,11a =,22a =,数列{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列. (1)求使11223()n n n n n n a a a a a a n N ++++++>∈成立的q 的取值范围; (2)若212()n n n b a a n N -=+∈,求n b 的表达式; (3)若12n n S b b b =+++,求1lim→∞n nS .22.设a b ∈R 、,已知函数2()3bf x ax x=++满足(1)(1)10f f +-=. (1)求a 的值,并讨论函数()f x 的奇偶性(只需写出结论);(2)若函数()f x 在区间,⎛-∞ ⎝上单调递减,求b 的最小值; (3)在(2)的条件下,当b 取最小值时,证明:函数()f x 有且仅有一个零点q ,且存在递增的正整数列{}n a ,使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立.23.正三棱锥012P A A A -中,01A PA α∠=,侧棱0PA 长为2,点0B 是棱PA 的中点,定义集合{}12,,B B ⋅⋅⋅如下:点n B 是棱n PA 上异于P 的一点,使得11n n n B B PB --=(1n ≥),我们约定:若n除以3的余数r ,则r n A A =(例如:30A A =、20152A A =等等) (1)若3πα=,求三棱锥012P B B B -的体积;(2)若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集,求α的范围; (3)若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集,求各线段0PB ,1PB ,2PB ,…的长度之和(用α表示).(提示:无穷等比数列各项和公式为11a S q =-(01q <<)参考答案1.D2.C3.A4.D5.A6.D7.C8.C9.D10.B11.A12.C 13.2314.(0,2)(2,4) 15.1(4,0)(0,)2-16.()()0,22,4;17.解:因为无穷等比数列前n 项和的极限存在, 所以()11lim1nn a q q∞→--1211a q q==--,且1q <, 又0q <,所以10q -<<, 又21S q=-在()1,0-上单调递增, 所以()1,2S ∈18.由题意可知:这个数列的各项平方后,依然构成一个等比数列,且公比为2,q 首项为21a ,故112126114,3181a q a q a q⎧=⎪-⎪⇒==⎨⎪=⎪-⎩, 19.(1)由题知11S a b ==,所以1n n S bq -=,当2n ≥时,()12211n n n n n n a S S bq bq bq q ----=-=-=-, 所以()()()112121n n n n bq q a q n a bq q -+--==≥-, 所以234,,a a a ,…是一个等比数列;(2)由(1)知,()2,11,2n n b n a bq q n -=⎧=⎨-≥⎩,所以()2223,11,2n n n b n a S b q q n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,则()()22323lim lim 1n n n n W b b q q q q -→∞→∞=+-+++⎡⎤⎣⎦… ()()23232lim lim 1n n n b q q q b q -→∞→∞=+-+++…()2222111q b b b q q q=+-⋅=-+.20.(1)解:614x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()6161C 6,N 4kk kk T x k k -*+⎛⎫=⋅⋅≤∈ ⎪⎝⎭,则661C 4kk k a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭,所以,1151364512b a ==⨯=,2446115C 416q a ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭,则01q <<, 所以,()111313512lim151132116ni n i b q b b qq ∞→∞=-====---∑.(2)解:1513642c a ==⨯=,61d a ==,则()1112n c c n d n =+-=+, 所以,202212022202132022202210112021204626422d S c ⨯⨯=+=⨯+⨯=.21.(1){}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列,且12122a a ⋅=⋅=112n n n a a q -+∴⋅=由11223(n n n n n n a a a a a a n +++++⋅+⋅>⋅∈N ),有11222(0)n n n q q q q -++>> 210q q ∴--<解得0q <<(2)121n n n n a a q a a +++=,2n n a q a +∴=,2121,222n n n n a qa a qa +-+∴==212n n n b a a -=+,1123b a a ∴=+=,又12122212212212n n n n nn n n n nb a a qa qa q b a a a a +++---++===++ {}n b ∴是首项为13b =,公比为q 的等比数列,13n n b q -∴=(3)当1q =时,3n S n =,11lim lim 03n n n S n→∞→∞==; 当1q >时,3(1)1n n q S q -=-,11111lim lim lim 03(1)131n n n n n n nn q q q S q q -→∞→∞→∞--===-⎛⎫- ⎪⎝⎭; 当01q <<时,1111lim3lim 31n n n n qS S q→∞→∞-===-即1lim →∞n n S 13q -=. 综上,0,11lim 1,013n n q q S q →∞≥⎧⎪=-⎨<<⎪⎩. 22.(1)(1)(1)10(3)(3)102f f a b a b a +-=⇒+++-+=⇒=2()23bf x x x=++的定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞ 当20,()()23,()b f x f x x f x =-==+为偶函数; 当0,(1)(1)100,(1)(1),(1)(1)b f f f f f f ≠-+=≠-≠-≠- ∴()f x 既不是偶函数也不是奇函数;(2)由(1)得:2()25bf x x x=++则2()4bf x x x '=-, 若()f x在区间(,-∞上单调递减, 则2()40bf x x x'=-在区间(,-∞上恒成立, 即34b x在区间(,-∞上恒成立,当x =342x =-, 故b 的最小值为2-;(3)22()23,0,()0f x x x f x x -=++<>恒成立, 所以函数22()23f x x x -=++在(,0)-∞上无零点, 当0x >时,22()40f x x x '=+>,所以函数22()23f x x x-=++在(0,)+∞上单调递增, 2112(1)2230,2301444f f -⎛⎫⎛⎫=-+>=⨯++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 函数()f x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点q ,23322()230223013q f q q q q q q -=++=⇒-+=⇒=-47323213n q q q q q q -==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- 所以存在递增的正整数列{},32n n a a n =-,使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立. 23.点n B 是正三棱锥012P A A A -棱n PA 上异于P 的一点,且11n n n B B PB --=(1n ≥)1n n PB B -∴是等腰三角形,且1n n B B -、1n PB -为两腰 又正三棱锥012P A A A -中,01A PA α∠=, 01121n n A PA B PB B PB α-∴∠=∠==∠=,()1112cos 2cos 1n n n n n PB PB B PB PB n α---=⋅∠=⋅≥,则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项,2cos α为公比的等比数列,(1)当3πα=时,2101PB PB PB ===,且011220B PB B PB B PB ∠=∠=∠,则三棱锥012P B B B -为正四面体,其高h ==,底面积01221B B B S ==,故其体积01213P B B B V -==(2){}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集,2230,B PA B PA ∴∈∉,即223022PB PA PB PA ≤=⎧⎨>=⎩由()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥,得()2222cos 4cos PB αα==,()3332cos 8cos PB αα==,∴由234cos 28cos 2αα⎧≤⎨>⎩解得213211()cos ()22α<≤ 213211arccos(),arccos()22α⎫⎡∴∈⎪⎢⎣⎭;(3){}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集,且()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥,则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项,2cos α为公比的无穷等比数列,01112cos n PB +PB +PB α∴++=-.。
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通过做题掌握知识点是高考数学必备的过程,以下是2016北京高考数学一轮复习模拟题,请考生练习。
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分,在下列四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014黄山一模)设y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5,则()A.y3y2 B.y2y3C.y1y3 D.y1y2解析:y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=()-1.5=21.5.由于指数函数f(x)=2x在R上是增函数,且1.81.44,所以y1y2,选D.答案:D2.(2014泰州模拟)若函数f(x)=ax+b-1(a0,a1)的图象经过第二、三、四象限,则()A.00 B.a1且b0C.01且b0解析:函数f(x)=ax+b-1(a0,a1)的图象可由函数y=ax(a0,a1)的图象沿y轴方向平移(b-1)个单位长度得到.因为f(x)=ax+b-1(a0,a1)的图象经过第二、三、四象限,所以0又当x=0时,y0.故选C.答案:C3.(2014天门模拟)定义运算ab=则函数f(x)=12x的图象是()解析:f(x)=12x=故选A.答案:A4.(2014昆明一模)已知b1,t0,若ax=a+t,则bx与b+t的大小关系为()A.bxb+t B.bxC.bxb+t D.bxb+t解析:因 a1,t0,则ax=a+ta,所以x1.又1,所以()x,所以bxax=(a+t)=b+tb+t.答案:A5.(2014四川模拟)函数y=ax-(a0,且a1)的图象可能是()解析:当0a3a1,3b-10.又f(x)=|3x-1|的定义域是[a,b],3a-1=2a,3b-1=2b.即a=0,b=1,a+b=1.答案:1三、解答题(本大题共3小题,共40分,11、12题各13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤)11.(2014常州一模)已知函数f(x)=ln x-(aR).()若函数f(x)在定义域上为单调增函数,求a的取值范围;()设m,nN*,且mn,求证:.解:()f(x)=-==.因为f(x)的定义域是(0,+)且在定义域上为单调增函数,所以f(x)0在(0,+)上恒成立.即x2+(2-2a)x+10在(0,+)上恒成立.当x(0,+)时,由x2+(2-2a)x+10得2a-2x+.设g(x)=x+,x(0,+),g(x)=x+2=2,当且仅当x=,即x=1时,g(x)有最小值2.所以2a-22,即a2.()要证,不妨设mn(若m0.设
h(x)=ln x-.由()知h(x)在(1,+)上是单调增函数,又1,所以h()h(1)=0.即ln -0成立,所以.12.(2014洛阳一模)已知f(x)=(ax-a-x)(a0且a1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当x[-1,1]时,f(x)b恒成立.求b的取值范围.解:(1)函数定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=(a-x-ax)=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)当a1时,a2-10,y=ax为增函数,y=a-x为减函数,从而y=ax-a-x为增函数,所以f(x)为增函数.当0y=ax为减函数,y=a-x为增函数,从而y=ax-a-x为减函数.所以f(x)为增函数.故当a0,且a1时,f(x)在定义域内单调递增.(3)由(2)知f(x)在R上是增函数,在区间[-1,1]上为增函数.所以f(-1)f(1),f(x)min=f(-1)=(a-1-a)==-1,要使f(x)b在[-1,1]上恒成立,则只需b-1,故b的取值范围是(-,-1].13.(2014重庆一模)已知函数f(x)=bax(其中a,b为常数且a0,a1)的反函数的图象经过点A(4,1)和B(16,3).(1)求a,b的值;(2)若不等式()2x+b1-x-|m-1|0在x(-,1]上恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)反函数图象经过点A(4,1),B(16,3),f(x)图象经过点A(1,4),B(3,16),a=b=2,f(x)=2x+1.(2)不等式()2x+b1-x-|m-1|0在x(-,1]时恒成立,不等式()2x+21-x|m-1|在x(-,1]时恒成立,[()2x+21-x]min|m-1|恒成立,设t=()x,
g(t)=t2+2t,x1,t,g(t)min=g()=,|m-1|,-,实数m的取值范围是[-,].2016北京高考数学一轮复习模拟题及答案的全部内容就是这些,查字典数学网预祝广大考生金榜题名。