河南省罗山县高级中学老校区2020届高三数学第七次模拟考试试题文

河南省罗山县高级中学老校区2020届高三数学第七次模拟考试试题文考试时间：11月11日一、选择题（共12题，60分）1. 设集合{|A x y ==,集合{}2|20B x x x =->,则()R C A B ⋂等于（ ） A ．()0,2B ．[)1,2C ．()0,1D ．()2,+∞2. 下列命题正确的是（ ）A ．向量,a b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b a λ=B ．在ABC △中，0AB BC CA ++=uu u r uu u r uu rC ．不等式a b a b a b -≤+≤+中两个等式不可能同时成立D ．向量,a b 不共线，则向量a b +与向量a b -必不共线3．设0.123,log log a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<4.若sin π6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则in 2πs 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B C D ．135．记n S 为等比数列{n a }的前n 项和，若23a a ＝89，5a ＝163，则 A ．23n n a ＝ B ．13n n a －＝ C ．312n n S －＝ D ．213n n a －＝6.已知121()(sin )221x x f x x x -=-⋅+，则函数()y f x =的图象大致为（ ）7．已知△ABC 的重心G 恰好在以边AB 为直径的圆上，若AC ·CB ＝－8，则｜AB ｜ ＝A ．1B ．2C ．3D ．48.锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若220a b ac -+=，则s i n s i n A B的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．22⎛ ⎝⎭C ．D ．,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭9．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N *≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672B ．673C ．1346D ．201910.将函数)62sin()(π+=x x f 的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数)(x g 的图象，则下列说法正确的是（ ）.A 函数)(x g 的图象关于点)03(，π-对称； .B 函数)(x g 的最小正周期为2π； .C 函数)(x g 的图象关于直线6π=x 对称； .D 函数)(x g 在区间]32,6[ππ上单调递增11.若P 是函数x x x f ln )(=图像上的动点，已知点）（1,0-A ，则直线AP 的斜率的取值范围是A. [)∞+，1 B. []1,0C. (]e e ,1-D. (]1,-∞-e12.设函数[]()2sin ,0,xf x ae x x π=-∈有且仅有一个零点，则实数a 的值为（） A4e πB 4π-C 2e πD 2π-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设函数32ln )(x x x x f +=,则曲线)(x f y =在点)2,1(处的切线方程是 ． 14．已知平面向量a ，b 满足a ·b ＝2，｜b ｜＝1，｜a －2b ｜＝2，则｜a ｜＝__________．15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若24m n +=，则2＝ ．（用数字作答）16．如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠PAB ＝90°，∠PAQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m.三、解答题 （共6小题，共70分.）17．（本小题满分10分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，； 命题:q 实数x 满足302x x-≥-． （1）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数x 的取值范围．18.（本题满分12分）.如图，四边形ABCD 中90BAC ∠=，30ABC ∠=，AD CD ⊥，设ACD θ∠=.（1）若ABC ∆面积是ACD ∆面积的4倍，求sin 2θ；（2）若6ADB π∠=，求tan θ.19.（本小题满分12分）已知函数xxx f sin )(=. （Ⅰ）求曲线)(x f y =在点），（)2(2ππf M 处的切线的纵截距；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，2上的值域。

20.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n .21. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流密度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流密度为60千米/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）． 22.（12分）已知函数2()ln (0,)a xf x x a a R x a=++≠∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设1()2a x g x x a a=+-+，当0a >时，证明：()()f x g x ≥.罗高老校区高三年级上期第七次模拟考试数学试卷（文科）参考答案一：选择题1.【答案】C【解析】集合{|{|10}{|1}A x y x x x x ===-≥=≥,集合{}()20{|20}{02}|2|B x x x x x x x x ->==-<=<<,则{|1}R C A x x =<,()(){|01}0,1R C A B x x ∴⋂=<<=．故选C ．2.【答案】D 【解析】A 不正确，当0a b ==时，有无数个实数λ满足b a λ=. B 不正确，在ABC △中，0AB BC CA ++=.C 不正确，当0b =时，不等式化为a a a ≤≤，不等式中的等号显然成立.D 正确，∵向量a 与b 不共线，∴,a b ，a b +与a b -均不为零向量.若a b +与a b -平行，则存在实数λ，使()a b a b λ=+-，即()()11a b λλ-=+，∴1010λλ-=⎧⎨+=⎩，，λ无解，故假设不成立，即a b +与a b -不平行，故选D. 3.C4【解析】由题意，根据诱导公式可得sin 2cos 2cos 2626ππ3ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又由余弦的倍角公式，可得221cos 212sin 12π6π33αα⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选D ．5.6. D7.B8.D 【解析】220a b ac -+=Q ，即()2222cos 0a a c ac B ac -+-+=，化简得2cos 0a B c a -+=.由正弦定理边角互化思想得2sin cos sin sin 0A B C A -+=，即()2sin cos sin sin 0A B A B A -++=，所以，sin cos cos sin sin 0A B A B A -+=，()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A ∴=-=-，02A π<<Q ，02B π<<，22B A ππ∴-<-<，B A A ∴-=，2B A ∴=，ABC ∆是锐角三角形，且3C A B A ππ=--=-，所以02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩， 解得64A ππ<<，则cos 22A <<，所以，sin sin 1sin sin 22cos 32A A B A A ⎛==∈ ⎝⎭， 因此，sin sin AB的取值范围是2⎫⎪⎪⎝⎭，故选：D. 9.C 10.D 11.A12.【答案】B 【解析】令()0,f x =因为0x e >所以()2sin .xxa g x e== ()()'2cos sin .xx x g x e-=令()'0,g x =得.4x π= 0,4x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'0,g x >所以()g x 在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增；,4x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'0,g x <所以()g x 在,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减；所以()g x 在4x π=处取得最大值,又()()00g g π==要使[]()2sin ,0,xf x ae x x π=-∈有且仅有一个零点，则a4π-.故选：B 二．填空题13． 057=--y x 14.22 15. 12-16.900三：解答题 17.18.【答案】（1）sin 2θ=（2）tan θ=【解析】 （1）设AC a =，则AB =，sin AD a θ=，cos CD a θ=，由题意4ABC ACD S S ∆∆=，则114cos sin 22a a a θθ=⋅⋅，所以sin 2θ=. （2）由正弦定理，ABD ∆中，sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，即()sin sin 6BD πθ=-①BCD ∆中，sin sin BD BCBCD CDB =∠∠，即2sin sin 33BD aππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭② ①÷②得：2sin 3sin 3πθθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，化简得2sin θθ=，所以tan 2θ=. （19）⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ204，，20.【解】 (1)(6分)由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n＝2n －1，b n＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2) (6分)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得 12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.21.22.解：（1）22121(2)()()a x a x a f x x x a ax +-'=-+=………………2分 当0a >时，()0f x x a '>⇒>，()00f x x a '<⇒<< 当0a <时，()002f x x a '>⇒<<-，()02f x x a '<⇒>- ∴0a >时，()f x 在(0,)a 上递减，在(,)a +∞递增0a <时，()f x 在(0,2)a -上递增，在(2,)a -+∞递减………………6分（2）设1()()()ln 2a F x f x g x x x a=-=++- 则221()(0)a x aF x x x x x-'=-=> 0a > (0,)x a ∴∈时，()0F x '<，()F x 递减(,)x a ∈+∞，()0,F x '>()F x 递增 1()()ln 1F x F a a a∴≥=+-……………8分设1()ln 1h x x x =+-，(0)x >,则22111()(0)x h x x x x x-'=-=>1x >时()0,h x '>时，()h x 递增， 01x <<()0h x '<，∴()h x 递减()(1)0h x h ∴≥= ()()0F a h a ∴=≥()0F x ∴≥，即()()f x g x ≥………………12分。