第四周作业参考答案

书外题目：在光滑的水平桌面上固定一半径为R 的圆环形围屏A ，质量为m 的滑块B 沿环形圆屏的内壁运动，B 与A 之间的滑动摩擦系数为μ，求
（1）当滑块B 速度为v 时，它与屏蔽间的摩擦力及滑块的切向加速度。

（2）滑块B 的速率由v 减小到v/3所需的时间。

解：注意受力分析图，写切向和法向得
分量式不用矢量符号。

法向：R
v m ma N n 2
==
22v
dv dt R dt
dv
m
R v m N dt
dv
m ma f t =====μμμ切向：
两边积分得：v
R t μ2=
3.4.7 注意事项：受力分析图
解：以地为参考系，隔离A,B,C ，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ，f 2=μN 2=μm 2g ，T'=2T ，由于A 的位移加B 的位移除2等于C 的位移，所以（a 1+a 2）/2=a 3.
对A,B,C 分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：
③
②
①2/)(221332
22111a a m T g m a m g m T a m g m T +=-=-=-μμ
①,②,③联立，可求得：
g
m m m m m m m m a g m m m m m m m a g
m m m m m m m a ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=μμμμμμ21321321321321312213213214)()1()(4)()1(24)()1(2
3.4.13解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度为ω，小环受力及运动情况如图示：α为小环处切线与x 轴夹角，压力N 与切线垂直，加速度大小a=ω2x ，方向垂直指向y 轴。

在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式：
②
①
mg N N x m N N ==-︒==-︒ααωααcos )90sin(sin )90cos(2
①/②得：tg α=ω2x/g ③；由数学知识：tg α=dy/dx=2a x ； 所以，ag ag g x ax 2,2,
/222===ωωω
若弯管为半径为R 的圆形，圆方程为：x 2 + (R-y)2 = R 2，即
2
22
/122
2
1
2/1222/122222/)2()
(/)(,)(,)(x
R x x x R dx dy tg x R R y x R y R x R y R -=-⋅--==--=-=--=--α
代入③中，得：222
2
2/,
//x R g g x x R x -==-ωω
3.4.5
解：
以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度为a 2），取m 1为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中N 1为斜面对人的支撑力，f *为惯性力，a'即人对斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系o'-x'y',应用牛顿第二定律建立方程：
⎩⎨
⎧=+=+-)
2('cos sin )1(0sin cos 12112111Λ
Λa m a m g m a m g m N αααα
（这一步也可以用上课讲得方法）
再以地为参考系，取m 2为研究对象，其受力及运动情况如右图所示，选图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律建立方程：
⎩⎨
⎧=--=)
4(0cos )3(sin 1222
21ΛΛααN g m N a m N （1）、（2）、（3）联立，即可求得：g m m m m a g
m m m m N α
α
α
α
21221212211sin sin )('sin cos ++=
+=
3.5.1 解：（1）以地为参考系（惯性系），小球受重力W 和线拉力T 的作用，加速度a 沿斜面向下，建立图示坐标o-xy,
应用牛顿第二定律：⎩⎨
⎧=-=
θα
θcos cos sin ma T mg ma T 解得 )sin /(cos
ααθa g a tg -=
（2）以小车为参考系（非惯性系），小球除受重力W 、拉力T 外，还受惯性力f *的作
用(见上图虚线表示的矢量)，小球在三个力作用下静止，
据牛顿第二定律：
⎩
⎨
⎧=--=-0sin cos 0cos sin αθαθma T mg ma T 解得αα
θsin cos a g a tg -=
3.5.2 解：以升降机为参考系,隔离m 1,m 2,受力及运动情况如图示,T 为绳中张力，f 1*=m 1a,f 2*=m 2a, a 1'=a 2'=a'为m 1、m 2相对升降机的加速度.
以向下为正方向，由牛顿二定律，有：
⎩⎨
⎧=---=--''222111a m a m T g m a m a m T g m 解得：⎪⎩
⎪
⎨⎧+-=+-+-=)
/()(2)()('2121211221m m a g m m T m m g m m a m m a 设m 1、m 2的加速度分别为a 1、a 2，根据相对运动的加速度公式，
a a a a a a ρ
ρϖρρρ+=+=''2211 写成标量式：a a a a a a +=+-=','21，将a ’代入，求得：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧+-+=+--=))(2)(2211212211221
m m g m m a m a m m g m m a m a
3.5.4 解：设摩托车在水平面内旋转的最小角速度为ω，以摩托车本身为参考系，车受力情况如图示，运动状态静止。

在竖直方向应用平衡条件，μ0N = mg ① 在水平方向应用平衡条件，N = m ω2 r ②
①/②得：r
g
r
g
02
0,μωωμ=
=
最小线速度 s m rg r v /76.0/8.90.3/0=⨯==
=μω
3.5.5解：⑴可把小盘当作质点，小盘相对雨伞做匀速圆周运动，与伞相对地的转向相反。

⑵因为小盘相对地面静止，在地面这个惯性系中只受
三个力的作用，小盘质点受5个力的作用：向下的重力W ，
与扇面垂直的支持力N ，沿伞面向上的静摩擦力f 0，所以N
⃗⃗ +f 0⃗⃗ +w ⃗⃗⃗ =0 以伞为参考系，小盘质点受5个力的作用：向下的重
力W ，与扇面垂直的支持力N ，沿伞面向上的静摩擦力f 0，此外还有离心惯性力f C *和科氏惯性力f k *，方向如图所示。

根据非惯性系的牛顿定律，小盘
N ⃗⃗ +f 0⃗⃗ +w ⃗⃗⃗ =0
所以由'
2'
2'
**2ma r mw ma r mw mvw ma f f k c ==-=+ρ
ρ
小盘正是在这个合力的作用下相对伞做角速度ω匀速圆周运动。

f C *。