高等数学第七章
高等数学-第七章-微分方程
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
高等数学第七章无穷级数.ppt
推论 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
对一切
有
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
(常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
例1.
讨论
p
级数1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
而调和级数
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , uN 0,当n N
时
从而
un1 un un1 uN
因此
lim
n
un
uN
0,
所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
不存在 , 因此级数发散.
由定义, 讨论 级数敛散性的方法 1. 先求部分和; 2. 求部分和的极限.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
利用此结论，可以直接判别某此级数的敛散性。例如：
例如：
公比 q 1 ,
2
q 1,
n1
(1) n1 2n1
3.按基本性质.
第三节 正项级数
第七章
一、正项级数收敛的基本定理 二、比较审敛法 三、比值审敛法 四、根值审敛法
一、正项级数收敛的基本定理
若 un 0, 则称 un 为正项级数 . n1
分析特点：部分和序列 单调递增。
当
高等数学 上册 第7章 微分方程
形如
dny dxn
a1
(
x)
d n1 y dxn1
an1
(
x)
dy dx
an (x) y
f (x)
的微分方程称为n阶线性微分方程．否则，就称为 n阶非线性微分方程.
例如，xy 2 y x2 y 0 是三阶线性微分方程．
dy dx
2
x
dy dx
y
cos
x
是一阶非线性微分方程．
y 2 y( y)2 2x 1 是二阶非线性微分方程.
可分离变量的微分方程 dy f (x)g( y) 的解法总结如下：
dx
① 分离变量： 1 dy f (x)dx
g( y)
②
两边积分：
1 g( y)
dy
f
(x)dx
二、可分离变量的微分方程
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量，得 d y 4x3 d x 说明: 在求解过程中
y
每一步不一定是同解
dx x
；
5、回代变量：将u回代成 .
一、齐次方程
例1. 求微分方程 x2 dy y2 xy 满足初值条件 y |x1 1 的特解 x2
①
假定方程①中的f(x),g(y)是连续的,且 g( y) 0，
设y＝(x)是方程①的解, 则有恒等式
1 (x) d x f (x) d x g( (x))
两边积分, 得
f (x)dx
设函数G(y)和F(x)依次为 则有
和f(x)的原函数, ② 这说明方程①的解满足等式②
二、可分离变量的微分方程
①
dx
y x1 3
②
由①得
( C为任意常数)
高等数学第七章：曲面及其方程
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
高等数学-第七章-微分方程
制动时
常微分方程
偏微分方程
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
(本章内容)
( n 阶显式微分方程)
微分方程的基本概念
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
的阶.
分类
或
— 使方程成为恒等式的函数.
通解
— 解中所含独立的任意常数的个数与方程
于是方程化为
(齐次方程)
顶到底的距离为 h ,
说明:
则将
这时旋转曲面方程为
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
代入通解表达式得
一阶线性微分方程
第四节
一、一阶线性微分方程
*二、伯努利方程
第七章
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式:
若 Q(x) 0,
若 Q(x) 0,
称为非齐次方程 .
第七章
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
令
代入原方程得
两边积分, 得
积分后再用
代替 u,
便得原方程的通解.
解法:
分离变量:
例1. 解微分方程
解:
代入原方程得
分离变量
两边积分
得
故原方程的通解为
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
( C 为任意常数 )
此处
例2. 解微分方程
例4
例5
例6
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1) 分离变量
(2) 方程变形为
作业
P 298 5(1); 6 P 304 1 (1) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6
高等数学上册第七章课件.ppt
y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节 可降阶的二阶微分方程
小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节 可降阶的二阶微分方程
例 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
(完整版)高等数学第七章向量
第七章 空间解析几何与向量代数§7.1 空间直角坐标系§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法一、判断题。
1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。
（ ） 2． 任何向量都有确定的方向。
（ ） 3． 任二向量b a ,=.则a =b 同向。
( ) 4． 若二向量b a ,+,则b a ,同向。
（ ）5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b，则b a ,反向。
（ ）6． 若ca b a +=+,则c b =( ) 7． 向量ba ,满足=，则ba ,同向。
（ ） 二、填空题。
1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。
4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与b a ,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。
6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。
三、选择题。
1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）225)3(+-（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //OA 且21a ，OC =b ，则AB = （A ）21b a - （B ）b a 21- （C ）a b -21 （D ）a b 21-3．设有非零向量b a ,，若a ⊥ b ，则必有（A+（B+-（C+<-（D+>-三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。
四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的点D。
六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
高等数学第七章微分方程微分方程
常 数 变 易 法
则有 令
以下推导的前提
联立 (3)、(4) 构成方程组 解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到
于是 对上式两边关于 x 求导，得
这两部分 为零。
即
例
解 由常数变易法，解方程组
13
两边积分，取积分常数为零，得
两边积分，取积分常数为零，得 故原方程有一特解 从而，原方程的通解为
18
例.
的通解.
解: 特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
2013/9/23
19
你认为方程应该 有什么样子的特解？
单根 二重根 一对共轭复根
假设方程
有下列形式的特解：
则
代入方程 (2) ，得 即
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
16
定理 1 当二阶常系数非齐线性方程 它有下列形式的特解：
其中：
例
解 对应的齐方程的特征方程为
特征根为 对应的齐方程的通解为
将它代入原方程，得
2013/9/23
比较两边同类项的系数，得
故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为
例 求微分方程
7
例1
解 所以，方程的通解为
2013/9/23
例2 解：
课堂练习
解
课堂练习
《高等数学》第七章-数量积-向量积-混合积
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3. 运算律
(1) 交换律 (2) 结合律
b a
a ( b)
( a ) ( b) a ( b)
(ab)
(3) 分配律
(a b) c
Pr jc a Pr jc b Pr jc ( a b)
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
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结束
例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2abcos
证: 如图 . 设
i j jk ki 0
a b axbx ayby azbz
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
a b cos , 得
cos
axbx ayby azbz
ab
a
2 x
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
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例2. 已知三点 M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
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结束
ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
cx cy cz
ab 0
bx by bz ax ay az
《高等数学》 第七章
C
；
第三步，求积分的通解： G( y) F(x) C ．
其中 G( y) ， F (x) 分别是 1 ， f (x) 一个原函数． g ( y)
第二节 一阶微分方程
例 1 求微分方程 dy y sin x 0 的通解． dx
解 将方程分离变量，得到 dy sin xdx ， y
两边积分，即得
（*）
例如，以上六个方程中，（1）、（2）、（5）、（6）是一阶常微分方程，（3）是二阶
常微分方程，（4）是二阶偏微分方程．
定义 3 如果微分方程中含的未知函数及其所有导数都是一次多项式，则称该方
程为线性方程，否则称为非线性方程．
一般说来，n 阶线性方程具有如下形状：
a0(x) y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y (x) ．
第二节 一阶微分方程
例 3 求方程 dy y 1 的解． dx x 1
为方便起见，以后在解微分方程的过程中，如果积分后出现对数，理应都需作
类似下述的处理，其结果是一样的．以例 3 为例叙述如下：
分离变量后得
1 dy 1 dx ， y 1 x 1
两边积分得
ln | y 1| ln | x 1| ln C ，
再分离变量，得 du 1 dx ； f (u) u x
第三步，两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1
．
求出积分后，再用 y 代替 u ，便可得到方程关于 x 的通解． x
第二节 一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解．
解
将方程化为齐次方程的形式
dy dx
y x
1
高等数学第七章.ppt
规
划
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
(1)
的
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
(2)
标
准
……
型
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
(m)
x1 ，x2 ，…xn≥0
第三节 单纯形法
其简缩形式为
一
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
线 性
n
aij x j bi
ZA=300 ZB=175 ZC=110 ZD=150
x2 15 A
3x1+x2=15
可行域
10
B
x1+x2=10
5
C
O
5
10
A(0,15) B(2.5,7.5) C(9,1) D (15,0)
x1+6x2=15
D
15
x1
10x1+20x2＝0
第三节 单纯形法
单纯形方法是一种较为完善的、步骤 化的线性规划问题求解方法。它的原理涉 及到较多的数学理论上的推导和证明，我 们在此仅介绍这种方法的具体操作步骤及 每一步的经济上的含义。为更好地说明问 题，我们仍结合实例介绍这种方法
第
一
节
线
《经济大词典》定义线性规划：一种
性
具有确定目标，而实现目标的手段又有
规
一定限制，且目标和手段之间的函数关
划 模 型
系是线性的条件下，从所有可供选择的 方案中求解出最优方案的数学方法。
的
基
本
原
理
二、线性规划三要素
第
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
一方向向量s(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s(m, n, p)的直线的方 程.
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量:
从而有
(xx0, yy0, zz0)//s ,
>>>注
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
《高等数学》第七章 微分方程
曲线积分
1.两类曲线积分的基本计算法 2.格林公式及其应用 3.平面曲线积分与路径无关的条件,二元函数的全微 分求积
曲面积分
1.两类曲面积分的基本计算方法 2.高斯 ( Gauss )公式(p229定理1,p231例1,2 P236.1.作业题.p247.4(2)(3))
2.应用 (几何应用:空间曲线的切线与法平面(p94例4), 曲面的切平面与法线(p99例6).
多元函数的极值:无条件极值(p110定理1.2例4), 条件极值(p115.拉格朗日乘数法,p116例8))
第十,十一章.多元函数积分学(40)%
重积分
1.计算二重积分( 直角坐标, 极坐标),交换积分次序
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根r1 ，r2
微分方程的通解
两个不相等的实根 r1，r2
y C1er1x C2er2x
两个相等的实根 r1 r2
y (C1 C2 x)er1x
一对共轭复根 r1,2 i y ex (C1 cos x C2 sin x)
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
小结 y py qy f ( x)
通解 y Y y* c1 y1 c2 y2 y*
高等数学 第七章 线性代数
第七章线性代数
教学要求
1.理解行列式的概念、性质，会进行行列式的基本运算。
2.理解矩阵的概念、性质，会进行矩阵的基本运算。
3.掌握矩阵的秩的求法。
4.掌握初等变换的几个重要应用。
5.了解一般线性方程组解的讨论。
教学重点
行列式的性质及运算，矩阵的概念，运算及性质，逆矩阵，矩阵的秩与初等变换，一般线性方程组解的讨论。
教学难点
矩阵的运算及性质，逆矩阵，矩阵的秩与初等变换，一般线性方程组解的讨论。
教学内容
第一节行列式
一、行列式的概念
1.二阶行列式；
2.三阶行列式；
3.n阶行列式。
二、行列式的性质与计算
1.行列式的性质；
2.行列式的计算；
3.克拉墨法则。
第二节矩阵
一、矩阵的概念及其计算
1.矩阵的概念；
2.矩阵的线性运算；
3.矩阵的乘法运算；
4.矩阵的转置运算；
5.逆矩阵。
二、矩阵的初等变换
1.矩阵的初等变换；
2.初等变换；
3.用初等变换求逆矩阵；
4.用初等矩阵求矩阵的秩。
第三节线性方程组
一、向量组的线性相关性
1.向量的概念与运算；
2.向量组的线性相关性；
3.向量组的秩。
二、齐次线性方程组
1.解的判定和解的性质；
2.基础解系。
三、非齐次线性方程组
1.解的判定和解的结构；
2.用初等变换求线性方程组的通解。
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同理，点M 到y轴和z轴的距离分别为
MQ x2 z2，
MR x2 y2，
其中，Q，R分别是点M 在y轴和z轴上的投影点．
1 空间直角坐标系
高等数学 第七章. 第一节
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例2 在y轴上求与点A (1， 3，7)和B (5，7， 5)等距离的点．
解 因为所求的点在y轴上，故设为M (0，y，0， ) 依题意有
图形
高等数学 第七章
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第一节：空间直角坐标系
• 空间直角坐标系 • 曲面及其方程
高等数学 第七章. 第一节
第4 页
一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
过空间一定点O，作三条互相垂直的数轴Ox轴（横轴）、Oy轴（纵
轴）、Oz轴（竖轴），其中三条数轴符合右手规则（即以右手握住z轴，
当右手的四个手指从x轴正向以 的角度转向y轴正向时，大拇指的指向 2
1 空间直角坐标系
高等数学ห้องสมุดไป่ตู้第七章. 第一节
第7 页
八个卦限中的点的坐标的特点为： 第一卦限：x 0，y 0，z 0；? 第三卦限：x 0，y 0，z 0；? 第五卦限：x 0，y 0，z 0；? 第七卦限：x 0，y 0，z 0；?
第二卦限：x 0，y 0，z 0； 第四卦限：x 0，y 0，z 0； 第六卦限：x 0，y 0，z 0； 第八卦限：x 0，y 0，z 0．
1 空间直角坐标系
高等数学 第七章. 第一节
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3.两点间的距离
设M1 (x1，y1，z1， ) M 2 (x2，y2，z2 )为空间两点，如图所示， 则点M1与点M 2间的距离为
M1 M 2 (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2． 特别地，点M (x，y，z)与原点O (0，0，0)之间的距离为
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1 空间直角坐标系
高等数学 第七章. 第一节
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2.空间点的坐标
设M 为空间中一点，过M 点作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、
z轴的交点依次为P，Q，R，如图所示，设P，Q，R三点在三个坐标轴的坐标依次为x，y，z．
由此，空间一点M 就唯一地确定了一个有序三维数组(x，y，z， ) 称为点M 的直角坐标，x，
MA MB，
即有
(1 0)2 (3 y)2 (7 0)2 (5 0)2 (7 y)2 (5 0)2
解得
y 2，
因此，所求的点为M (0，2，0．)
1 空间直角坐标系
高等数学 第七章. 第一节
第 11 页
二、曲面及其方程
1.曲面方程的概念
空间解析几何中，我们把曲面看成是空间中按照一定的规律运动的点的轨迹．
OM x2 y2 z2．
1 空间直角坐标系
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例1 求点M (x，y，z)到三条坐标轴的距离．
解 设点M 在x轴的投影为点P，则点P的坐标为(x，0，0， ) 且线段MP的
长就是点M 到x轴的距离．由空间中两点间的距离公式可得
MP (x x)2 ( y 0)2 (z 0)2 y2 z2．
的方程，而曲面 称为方程F (x，y，z) 0的图形．
1 空间直角坐标系
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2.几种常见的曲面及其方程
（1）球面 现在建立球心在点M 0 (x0，y0，z0 ，) 半径为的球面的方程． 设点M (x，y，z)为球面上任意一点，如图所示，则
M 0 M R．
y，z分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作M (x，y，z．)
显然，原点O的坐标为(0，0，0， ) x轴、y轴和z轴上点的坐标
分别为(x，0，0， ) (0，y，0)和(0，0，z， ) xOy平面、yOz平面和zOx平
面上点的坐标分别为(x，y，0， ) (0，y，z)和(x，0，z．)
显然，球面上的点的坐标都满足上述方程，不在球面上的点的坐标都
不满足该方程，所以它就是所求球面的方程．
特别地，球心在原点O (0，0，0， ) 半径为R的球面方程为
第章
向 数空解
高等数学 第七章
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学习任务与目标
理解空间直角坐标系、向量的概念及表示 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌
握两个向量垂直和平行的条件 理解单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标表达
式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 掌握平面方程和直线方程及其求法 理解曲面方程的概念，了解常见二次曲面的方程及其
就是z轴的正向，如图所示），这就构成了一个空间直角坐标系．我们
把点O称为坐标原点，数轴Ox，Oy，Oz称为坐标轴，平面xOy，yOz，zOx称
为三个坐标面．
1 空间直角坐标系
高等数学 第七章. 第一节
三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为 一个卦限，如图所示．在xOy坐标面上方有四个卦限， 下方有四个卦限．含x轴、y轴、z轴正向的卦限称为第 一卦限，然后沿着z轴正向看时，按逆时针顺序依次为 第二、三、四卦限；对于分别位于第一、二、三、四 卦限下面的四个卦限，依次为第五、六、七、八卦限． 这八个卦限分别用字母Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ， Ⅷ表示．
于是有 即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R， (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R， 2
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将上式展开并整理，可得
即有
x2 y2 z2 2x0 x 2 y0 y 2z0 z x02 y02 z02 0， x2 y2 z2 D x E y F z G 0．
空间中的点按一定的规律运动，它的坐标(x，y，z)就要满足某个关系式，这个关系
式就是曲面的方程，记作F (x，y，z) 0．
于是有下列定义：如果曲面 上任意一点的坐标都满足方程F (x，y，z) 0，不
在曲面 上的点的坐标都不满足方程F (x，y，z) 0，则称方程F (x，y，z) 0为曲面