高等数学第七章
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就是z轴的正向，如图所示），这就构成了一个空间直角坐标系．我们
把点O称为坐标原点，数轴Ox，Oy，Oz称为坐标轴，平面xOy，yOz，zOx称
为三个坐标面．
1 空间直角坐标系
高等数学 第七章. 第一节
三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为 一个卦限，如图所示．在xOy坐标面上方有四个卦限， 下方有四个卦限．含x轴、y轴、z轴正向的卦限称为第 一卦限，然后沿着z轴正向看时，按逆时针顺序依次为 第二、三、四卦限；对于分别位于第一、二、三、四 卦限下面的四个卦限，依次为第五、六、七、八卦限． 这八个卦限分别用字母Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ， Ⅷ表示．
1 空间直角坐标系
高等数学 第七章. 第一节
第8 页
3.两点间的距离
设M1 (x1，y1，z1， ) M 2 (x2，y2，z2 )为空间两点，如图所示， 则点M1与点M 2间的距离为
M1 M 2 (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2． 特别地，点M (x，y，z)与原点O (0，0，0)之间的距离为
的方程，而曲面 称为方程F (x，y，z) 0的图形．
1 空间直角坐标系
高等数学 第七章. 第一节
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2.几种常见的曲面及其方程
（1）球面 现在建立球心在点M 0 (x0，y0，z0 ，) 半径为的球面的方程． 设点M (x，y，z)为球面上任意一点，如图所示，则
M 0 M R．
显然，球面上的点的坐标都满足上述方程，不在球面上的点的坐标都
不满足该方程，所以它就是所求球面的方程．
特别地，球心在原点O (0，0，0， ) 半径为R的球面方程为
图形
高等数学 第七章
第3 页
第一节：空间直角坐标系
• 空间直角坐标系 • 曲面及其方程
高等数学 第七章. 第一节
第4 页
一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
过空间一定点O，作三条互相垂直的数轴Ox轴（横轴）、Oy轴（纵
源自文库
轴）、Oz轴（竖轴），其中三条数轴符合右手规则（即以右手握住z轴，
当右手的四个手指从x轴正向以 的角度转向y轴正向时，大拇指的指向 2
MA MB，
即有
(1 0)2 (3 y)2 (7 0)2 (5 0)2 (7 y)2 (5 0)2
解得
y 2，
因此，所求的点为M (0，2，0．)
1 空间直角坐标系
高等数学 第七章. 第一节
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二、曲面及其方程
1.曲面方程的概念
空间解析几何中，我们把曲面看成是空间中按照一定的规律运动的点的轨迹．
y，z分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作M (x，y，z．)
显然，原点O的坐标为(0，0，0， ) x轴、y轴和z轴上点的坐标
分别为(x，0，0， ) (0，y，0)和(0，0，z， ) xOy平面、yOz平面和zOx平
面上点的坐标分别为(x，y，0， ) (0，y，z)和(x，0，z．)
第5 页
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2.空间点的坐标
设M 为空间中一点，过M 点作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、
z轴的交点依次为P，Q，R，如图所示，设P，Q，R三点在三个坐标轴的坐标依次为x，y，z．
由此，空间一点M 就唯一地确定了一个有序三维数组(x，y，z， ) 称为点M 的直角坐标，x，
OM x2 y2 z2．
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例1 求点M (x，y，z)到三条坐标轴的距离．
解 设点M 在x轴的投影为点P，则点P的坐标为(x，0，0， ) 且线段MP的
长就是点M 到x轴的距离．由空间中两点间的距离公式可得
MP (x x)2 ( y 0)2 (z 0)2 y2 z2．
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八个卦限中的点的坐标的特点为： 第一卦限：x 0，y 0，z 0；? 第三卦限：x 0，y 0，z 0；? 第五卦限：x 0，y 0，z 0；? 第七卦限：x 0，y 0，z 0；?
第二卦限：x 0，y 0，z 0； 第四卦限：x 0，y 0，z 0； 第六卦限：x 0，y 0，z 0； 第八卦限：x 0，y 0，z 0．
空间中的点按一定的规律运动，它的坐标(x，y，z)就要满足某个关系式，这个关系
式就是曲面的方程，记作F (x，y，z) 0．
于是有下列定义：如果曲面 上任意一点的坐标都满足方程F (x，y，z) 0，不
在曲面 上的点的坐标都不满足方程F (x，y，z) 0，则称方程F (x，y，z) 0为曲面
于是有 即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R， (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R， 2
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将上式展开并整理，可得
即有
x2 y2 z2 2x0 x 2 y0 y 2z0 z x02 y02 z02 0， x2 y2 z2 D x E y F z G 0．
第章
向 数空解
高等数学 第七章
第2 页
学习任务与目标
理解空间直角坐标系、向量的概念及表示 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌
握两个向量垂直和平行的条件 理解单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标表达
式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 掌握平面方程和直线方程及其求法 理解曲面方程的概念，了解常见二次曲面的方程及其
同理，点M 到y轴和z轴的距离分别为
MQ x2 z2，
MR x2 y2，
其中，Q，R分别是点M 在y轴和z轴上的投影点．
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例2 在y轴上求与点A (1， 3，7)和B (5，7， 5)等距离的点．
解 因为所求的点在y轴上，故设为M (0，y，0， ) 依题意有
把点O称为坐标原点，数轴Ox，Oy，Oz称为坐标轴，平面xOy，yOz，zOx称
为三个坐标面．
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三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为 一个卦限，如图所示．在xOy坐标面上方有四个卦限， 下方有四个卦限．含x轴、y轴、z轴正向的卦限称为第 一卦限，然后沿着z轴正向看时，按逆时针顺序依次为 第二、三、四卦限；对于分别位于第一、二、三、四 卦限下面的四个卦限，依次为第五、六、七、八卦限． 这八个卦限分别用字母Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ， Ⅷ表示．
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3.两点间的距离
设M1 (x1，y1，z1， ) M 2 (x2，y2，z2 )为空间两点，如图所示， 则点M1与点M 2间的距离为
M1 M 2 (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2． 特别地，点M (x，y，z)与原点O (0，0，0)之间的距离为
的方程，而曲面 称为方程F (x，y，z) 0的图形．
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2.几种常见的曲面及其方程
（1）球面 现在建立球心在点M 0 (x0，y0，z0 ，) 半径为的球面的方程． 设点M (x，y，z)为球面上任意一点，如图所示，则
M 0 M R．
显然，球面上的点的坐标都满足上述方程，不在球面上的点的坐标都
不满足该方程，所以它就是所求球面的方程．
特别地，球心在原点O (0，0，0， ) 半径为R的球面方程为
图形
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第一节：空间直角坐标系
• 空间直角坐标系 • 曲面及其方程
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一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
过空间一定点O，作三条互相垂直的数轴Ox轴（横轴）、Oy轴（纵
源自文库
轴）、Oz轴（竖轴），其中三条数轴符合右手规则（即以右手握住z轴，
当右手的四个手指从x轴正向以 的角度转向y轴正向时，大拇指的指向 2
MA MB，
即有
(1 0)2 (3 y)2 (7 0)2 (5 0)2 (7 y)2 (5 0)2
解得
y 2，
因此，所求的点为M (0，2，0．)
1 空间直角坐标系
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二、曲面及其方程
1.曲面方程的概念
空间解析几何中，我们把曲面看成是空间中按照一定的规律运动的点的轨迹．
y，z分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作M (x，y，z．)
显然，原点O的坐标为(0，0，0， ) x轴、y轴和z轴上点的坐标
分别为(x，0，0， ) (0，y，0)和(0，0，z， ) xOy平面、yOz平面和zOx平
面上点的坐标分别为(x，y，0， ) (0，y，z)和(x，0，z．)
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2.空间点的坐标
设M 为空间中一点，过M 点作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、
z轴的交点依次为P，Q，R，如图所示，设P，Q，R三点在三个坐标轴的坐标依次为x，y，z．
由此，空间一点M 就唯一地确定了一个有序三维数组(x，y，z， ) 称为点M 的直角坐标，x，
OM x2 y2 z2．
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例1 求点M (x，y，z)到三条坐标轴的距离．
解 设点M 在x轴的投影为点P，则点P的坐标为(x，0，0， ) 且线段MP的
长就是点M 到x轴的距离．由空间中两点间的距离公式可得
MP (x x)2 ( y 0)2 (z 0)2 y2 z2．
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八个卦限中的点的坐标的特点为： 第一卦限：x 0，y 0，z 0；? 第三卦限：x 0，y 0，z 0；? 第五卦限：x 0，y 0，z 0；? 第七卦限：x 0，y 0，z 0；?
第二卦限：x 0，y 0，z 0； 第四卦限：x 0，y 0，z 0； 第六卦限：x 0，y 0，z 0； 第八卦限：x 0，y 0，z 0．
空间中的点按一定的规律运动，它的坐标(x，y，z)就要满足某个关系式，这个关系
式就是曲面的方程，记作F (x，y，z) 0．
于是有下列定义：如果曲面 上任意一点的坐标都满足方程F (x，y，z) 0，不
在曲面 上的点的坐标都不满足方程F (x，y，z) 0，则称方程F (x，y，z) 0为曲面
于是有 即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R， (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R， 2
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将上式展开并整理，可得
即有
x2 y2 z2 2x0 x 2 y0 y 2z0 z x02 y02 z02 0， x2 y2 z2 D x E y F z G 0．
第章
向 数空解
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学习任务与目标
理解空间直角坐标系、向量的概念及表示 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌
握两个向量垂直和平行的条件 理解单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标表达
式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法 掌握平面方程和直线方程及其求法 理解曲面方程的概念，了解常见二次曲面的方程及其
同理，点M 到y轴和z轴的距离分别为
MQ x2 z2，
MR x2 y2，
其中，Q，R分别是点M 在y轴和z轴上的投影点．
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例2 在y轴上求与点A (1， 3，7)和B (5，7， 5)等距离的点．
解 因为所求的点在y轴上，故设为M (0，y，0， ) 依题意有