等差数列和等比数列的通项公式练习题

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数列专题 (优秀经典练习题及答案详解).

，已知 S n 求 an ，应分n 1 时a1
S1
；
n 2时， an = Sn Sn1
两步，最后考虑 a1 是否满足后面的an .
4.①在等差数列{an}中，已知 a1，d，m，n，则 d＝ann－－a11＝ann－－mam(n>1，m≠n)，从而有 an＝am＋(n－m)d. ②若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.
①等差数列 an a1 (n 1)d ②等比数列 an a1qn1
2.前n项和公式：
①等差数列：
Sn
n(a1an ) 2
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列： Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
3. an 与 Sn 的关系：
Sn
与
an
的关系：an
S1 Sn
(n Sn1
1) (n 1)
故选 A
7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 S9 ＝72，则 a2 ＋a4 ＋a9＝ ________. 7.解析：∵{an}是等差数列，由 S9＝72，得 S9＝9a5，a5＝8， ∴a2＋a4＋a9＝(a2＋a9)＋a4＝(a5＋a6)＋a4＝3a5＝24.
8.已知数列的通项公式 an＝－5n＋2，则其前 n 项和 Sn＝________.
A. 22018 1
B. 32018 6
C.
1 2
2018
7 2
D.
1 3
2018
10 3
6.解析 A：由题可知：当 n 1 时,3S1 2a1 31 ,所以 a1 3 ,
当 n 2 时,
① 3Sn 2an 3n

高二数学数列专题练习题(含答案)

高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为：a_n=S_n-S_{n-1} (n>1)，当n=1时，a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。

2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

对于等差数列，有通项公式a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。

对于等比数列，有通项公式a_n=a_1*q^{n-1}，其中q为公比。

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

如果a、A、b、B成等差数列，那么A、B叫做a、b的等差中项。

3.求和公式对于等差数列，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列，前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q不等于1.另外，对于等差数列，S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列；对于等比数列，S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。

4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数，通常有以下几种形式：a_n=dn+(a_1-d)，a_n=An^2+Bn+C，a_n=a_1q^n，a_n=k*n+b。

5.判定方法对于数列的常数项，可以使用定义法证明；对于等差中项，可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}；对于等比中项，可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。

最后，对于数列的通项公式，可以使用数学归纳法证明。

1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数，通常用{ }表示。

其中，第n项表示为an，公差为d，公比为q。

常用的数列有等差数列和等比数列。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。

数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)

数列通项与求和一．求数列通项公式1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

）例．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式．2项和为S ，满足3如,1对所有的4。

例．521a a ⋅⋅⋅(例．已知数列{}n a 满足31=a ，n n a n a 11+=+，求n a 。

答案：23n a n=6．已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差．等比数列）。

（1）形如()n f pa a n n +=+1只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．其中()n f 有多种不同形式①()n f 为常数，即递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法：转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例．已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a ．答案：123n n a +=-②()n f 为一次多项式，即递推公式为s rn pa a n n ++=+1 例③(n f （2）n rq ，其中p q1+ 例（3型（2）的方法求解。

例．已知数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a 。

答案：1731(443n n a -=--7．形如11n n n a a ka b--=+或11n n n n a ba ka a ---=的递推数列都可以用倒数法求通项。

例．1,13111=+⋅=--a a a a n n n答案：132n a n =- 8.利用平方法、开平方法构造等差数列例1．数列{}n a的各项均为正数，且满足11n n a a +=+，12a =，求n a 。

答案：2(1)n a n = 例2．已知()f x x =<，求：（1）9．n a +设n b =例．1.已知2.已知13a =且132n n n a a +=+，求n a 答案：1532n n n a -=⋅- 3.已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-=，试求通项公式n a 。

等差数列与等比数列例题和知识点梳理

等差数列及其前n 项和等比数列及其前n 项和等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) 题组二教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤3255．(多选)设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值6．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝____时，{a n }的前n 项和最大．7．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．等差数列基本量的运算1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．122．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n3．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．4．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.等差数列的判定与证明例1 (2020·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2 (2019·江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7等于( ) A ．2 B ．7 C ．14 D ．28命题点2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)(2020·漳州质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A ．35B ．42C ．49D ．63(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.跟踪训练2 (1)已知等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋2n ＋1，则a 6b 8的值是( )A.1316B.1314C.1116D.1115(2)(2019·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．131．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝3a 3，则a 3等于( ) A ．－2 B ．0 C ．3 D ．62．(2019·晋城模拟)记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－33．在等差数列{a n }中，已知a 1 011＝1，则该数列前2 021项的和S 2 021等于( ) A ．2 020 B ．2 021 C ．4 040 D ．4 0424．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0. 其中一定正确的结论是( )A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．1846．(2019·宁夏银川一中月考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．147．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( ) A ．a 10＝0 B ．S 10最小 C ．S 7＝S 12 D ．S 20＝08．(多选)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( ) A ．a n ＝－12n－1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 0509．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________.10．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________.11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．12．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.13．(2020·大连模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n a且b 1＋b 3＝17，b 2＋b 4＝68，则S 10等于( )A ．90B ．100C ．110D ．12014．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________.15．(2020·黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( ) A ．210 B.1210 C.10 D.321016．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn ，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k. (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)．概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 题组二教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11题组三易错自纠4．(多选)已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n B ．log 2a 2nC ．{a n ＋a n ＋1}D ．{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}5．若1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________．6．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.7．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB)等比数列基本量的运算1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．22．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．23．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .等比数列的判定与证明例1 (2019·四川省名校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列；(2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .跟踪训练1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．等比数列性质的应用例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 020＝a 2 020，则log 2(b 2 019·b 2 021)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________.跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列； (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列；(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1pn ＋1－a n p n ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列．例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( ) A ．n ·2n －1 B ．(n ＋1)·2n C ．n ·2n ＋1 D ．(n －1)·2n(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A ．－3×2n －1 B ．3×2n －1 C ．5n ＋3×2n －1 D ．5n －3×2n －1构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根．例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s 型)例4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．1．(2020·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34 B.38 C ．12 D ．242．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－193．(2019·天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916 D ．3785．(2020·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－162 C ．2 D ．1627．(多选)在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为( ) A ．8 B ．12 C ．－8 D ．－128．(多选)在等比数列{a n }中，公比为q ，其前n 项积为T n ，并且满足a 1＞1，a 99·a 100－1＞0，a 99－1a 100－1＜0，下列选项中，结论正确的是( ) A ．0＜q ＜1 B ．a 99·a 101－1＜0C ．T 100的值是T n 中最大的D ．使T n ＞1成立的最大自然数n 等于1989．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________.10.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．13．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1 成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．14．已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2 020的个位数字是____．15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ，2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，若b n ＝2n a ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值．。

(完整版)等差等比数列求和与差的练习题

(完整版)等差等比数列求和与差的练习题
题目一：等差数列求和
已知等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，求该等差数列的前$n$项和$S_n$。

解答步骤：
1. 根据公式$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$计算出结果。

题目二：等差数列差的问题
已知等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，依次计算以下问题：
1. $a_3 - a_2$；
2. $a_5 - a_3$；
3. $a_{10} - a_5$。

解答步骤：
1. 利用公式$a_n = a_1 + (n-1)d$计算出各项的值；
2. 按照题目给定的差问题计算出结果。

题目三：等比数列求和
已知等比数列的首项为$a_1$，公比为$r$，求该等比数列的前$n$项和$S_n$。

解答步骤：
1. 如果公比$r=1$，则$S_n = n \cdot a_1$，直接计算结果；
2. 如果公比$r \neq 1$，则$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$，按照公式计算结果。

题目四：等比数列差的问题
已知等比数列的首项为$a_1$，公比为$r$，依次计算以下问题：
1. $a_2 - a_1$；
2. $a_4 - a_2$；
3. $a_{10} - a_{5}$。

解答步骤：
1. 利用公式$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$计算各项的值；
2. 按照题目给定的差问题计算出结果。

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数列的通项公式练习题(通项式考试专题)

求数列通项公式专题练习1、设n S 就是等差数列}{n a 得前n 项与,已知331S 与441S 得等差中项就是1,而551S 就是331S 与441S 得等比中项,求数列}{n a 得通项公式2、已知数列{}n a 中,311=a ,前n 项与n S 与n a 得关系就是 n n a n n S )12(-= ,试求通项公式n a 。

3、已知数列{}n a 中,11=a ,前n 项与n S 与通项n a 满足)2,(,1222≥∈-=n N n S S a n n n ,求通项n a 得表达式、4、在数列｛n a ｝中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 得表达式。

5、已知数}{n a 得递推关系为4321+=+n n a a ,且11=a 求通项n a 。

6、已知数列{}a n 得前n 项与S n b n n =+()1,其中{}b n 就是首项为1,公差为2得等差数列,数列{}a n 得通项公式7、已知等差数列{a n }得首项a 1 = 1,公差d > 0,且第二项、第五项、第十四项分别就是等比数列{b n }得第二项、第三项、第四项. (Ⅰ)求数列{a n }与{b n }得通项公式;lTsK3。

8、已知数列}{n a 得前n 项与为n S ,且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈.(Ⅰ)求数列}{n a 得通项公式;9、设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…,n ∈*N .(Ⅰ)求数列{}n a 得通项; 10、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，,求数列}a {n 得通项公式。

11、已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，,求数列}a {n 得通项公式。

数列求与公式练习1、设{}n a 就是等差数列,{}n b 就是各项都为正数得等比数列,且111a b ==,3521a b +=,5313a b +=(Ⅰ)求{}n a ,{}n b 得通项公式;(Ⅱ)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭得前n 项与n S .2、(){213}.nn n -⋅求数列前项和3、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=、{}n a 得前n 项与为n S 、(Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)令211n n b a =-(n N +∈),求数列{}n b 得前n 项与n T 、4、已知等差数列{}n a 得前3项与为6,前8项与为-4。

等比数列通项公式例题及答案

§2.3 等比数列2.3.1 等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一等比数列的概念等比数列的概念和特点．1．文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．递推公式形式的定义：a n a n －1＝q (n ≥2)⎝⎛⎭⎫或a n ＋1a n ＝q ，n ∈N ＋.3．等比数列各项均不能为0. 知识点二等比中项的概念等比中项与等差中项的异同，对比如下表：知识点三等比数列的通项公式若等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1(n ∈N ＋)．1．若a n ＋1＝qa n ，n ∈N ＋，且q ≠0，则{a n }是等比数列．( × ) 2．任何两个数都有等比中项．( × )3．等比数列1，12，14，18，…中，第10项为129.( √ )4．常数列既是等差数列，又是等比数列．( × )题型一等比数列的判定命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列例1 判断下列数列是否为等比数列． (1)1,3,32,33，…，3n -1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a 1，a 2，a 3，…，a n ，….解 (1)记数列为{a n }，显然a 1＝1，a 2＝3，…，a n ＝3n -1，…. ∵a n a n －1＝3n -13n -2＝3(n ≥2，n ∈N ＋)， ∴数列为等比数列，且公比为3.(2)记数列为{a n }，显然a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝2，…， ∵a 2a 1＝－1≠a 3a 2＝2，∴此数列不是等比数列． (3)当a ＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；当a ≠0时，数列为a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，显然此数列为等比数列，且公比为a . 反思感悟判定等比数列，要抓住3个要点：①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x ，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ．①② B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④答案 C解析 ①②显然是等比数列；由于x 可能为0，③不是； a 不能为0，④符合等比数列定义，故④是．命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N ＋)． ∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n .即a n ＝2n －1. 反思感悟等比数列的判定方法(1)定义法：a na n －1＝q (n ≥2，q 是不为0的常数)⇔{a n }是公比为q 的等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，a n ，a n －1，a n ＋1均不为0)⇔{a n }是等比数列．跟踪训练2 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3na n －n ＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴数列{a n －n }是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n -1，∴a n ＝n －2·3n -1. 题型二等比数列基本量的计算例3 在等比数列{a n }中． (1)已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n .解 (1)设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝4，a 1q 4＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q ＝－12. ∴a n ＝a 1q n -1＝(－8)⎝⎛⎭⎫－12n -1＝⎝⎛⎭⎫－12n -4. (2)设等比数列{a n }的公比为q .∵a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，∴q ＝1836＝12.∵a 4＋a 7＝18，∴a 4(1＋q 3)＝18. ∴a 4＝16，a n ＝a 4·q n -4＝16·⎝⎛⎭⎫12n -4. 由16·⎝⎛⎭⎫12n -4＝12，得n －4＝5，∴n ＝9.反思感悟已知等比数列{a n }的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a 1和q 的两个方程，从而解出a 1和q ，再求其他项或通项．跟踪训练3 在等比数列{a n }中： (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n .解 (1)由等比数列的通项公式得a 6＝3×(－2)6-1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n -1＝5×2n -1，n ∈N ＋.方程的思想在等比数列中的应用典例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解方法一设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0，4，8，16；当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (q ≠0)，由条件得⎩⎨⎧2aq－a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a ＝3，q ＝13时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.典例2 设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？解设这四个数依次为aq，a ，aq ，aq 2(q ≠0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4·q 2＝210，a ＋aq ＝4，解得q ＝－2或－12，当q ＝－2时，a ＝－4，所求四个数依次为2，－4，8，－16. 当q ＝－12时，a ＝8，所求四个数依次为－16，8，－4，2，综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.[素养评析] (1)解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：①若三个数成等比数列，可设三个数为aq ，a ，aq 或a ，aq ，aq 2(q ≠0)．②若四个数成等比数列，可设为a q ，a ，aq ，aq 2或a q 3，aq，aq ，aq 3(q ≠0)．(2)像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.1．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析由等比数列的通项公式得，128＝4×2n -1，2n -1＝32，所以n ＝6. 2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1，故a 7＝1·26＝64.3．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为3的等比数列，则a 6等于( ) A ．607.5 B ．608 C ．607 D ．159 答案 C解析 ∵1＋2a n ＝(1＋2a 1)×3n -1，∴1＋2a 6＝5×35，∴a 6＝5×243－12＝607.4．等比数列x ,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A解析由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24. 5．45和80的等比中项为________．答案－60或60解析设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80，∴G ＝±60.6．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．解设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ②②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋，且数列各项均不为零)．2．两个同号的实数a ，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方． 3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.。

(完整版)等差数列练习题有答案

数列A 、等差数列知识点及例题一、数列由与的关系求n a n S na 由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的n S n a 形式表示为。

11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩〖例〗根据下列条件，确定数列的通项公式。

{}na 分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。

n a n S 解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。

1()(2)n n a a d n --=≥常数112(2)n n n a a a n +-=+≥2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列{}的通项公式为n 的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；n a n a n a （2）前n 项和法：若数列{}的前n 项和是的形式（A ，B 是常数），则{}是等差数列。

n a n S 2n S An Bn =+n a 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

〖例〗已知数列{}的前n 项和为，且满足n a n S 111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=A （1）求证：{}是等差数列；1nS （2）求的表达式。

n a 分析：（1）与的关系结论；1120n n n n S S S S ---+=A →1n S 11n S -→（2）由的关系式的关系式1nS →n S →n a 解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首1n n S S -A 11n S -1n S 1n S 11n S -1n S 11S 11a 项，以2为公差的等差数列。

高中数学等差数列的通项公式训练练习题含答案

高中数学等差数列的通项公式训练练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A.第13项B.第14项C.第15项D.第16项2. 已知等差数列{a n}，a2=4，a6+a7=6+a9，则公差d=（）A.2B.1C.−2D.−13. 已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+12(n∈N∗)，则a99的值为( )A.48B.49C.50D.514. 在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a9−a10的值为( )A.6B.8C.12D.135. 数列{a n}中，若a1=1，a n+1=a n+4，则下列各数中是{a n}中某一项的是()A.2007B.2008C.2009D.20106. 若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则d1d2等于（）A.3 2B.23C.43D.347. 在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a na n+2(n∈N∗)，则a5等于( )A.2 5B.13C.23D.128. 已知等差数列{a n}的公差d为正数，a1=1，2(a n a n+1+1)=tn(1+a n)，t为常数，则a n=( )A.2n−1B.4n−3C.5n−4D.n9. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为()A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸10. 一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是()A. B. C. D.11. 等差数列{a n}，a1=0，公差d=1，则a8=________．712. 在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则a n=________．13. 等差数列{a n}中，若a3+a5=4，则a4=________．14. 已知数列{a n}的前n项和S n=n2−9n，则其通项a n=________．15. 已知等差数列{a n}，a n=4n−3，则首项a1为________，公差d为________．16. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为________．17. “欢欢”按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为{a n}，则数到2008时对应的指头是________，数列{a n}的通项公式a n=________．（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．18. 表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字70在表中出现的次数为________19. 已知数列的前n项和为，，，则________．20. 已知数列满足，，若，则数列的前n项和________．21. 数列{a n}中，a1=8，a4=2且满足a n+2=2a n+1−a n(n∈N∗)，数列{a n}的通项公式________．22. 在等差数列{a n}中，已知a4+a6=28，a7=20，求a3和公差d．23. 数列{a n}是等差数列，a1=f(x+1)，a2=0，a3=f(x−1)，其中f(x)=x2−4x+2，求通项公式a n．24. 设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)已知数列{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．25. 已知数列{a n},|b n}满足a1=2,b1=1 ,且当n≥2a n=23a n−1+13b n−1+2b n=1 3a n−1+23b n−1+2(1)令c n=a n+b n,d n=a n−b n ,证明：{c n}为等差数列，{d n}为等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式及前π项和S n26. 已知公差不为零的等差数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，满足2S2=a2(a2+1)且a1,a2,a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n+1⋅2a n，求数列{b n}的前n项和为T n.27. 已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=4，a5是a2与a11的等比中项．(1)求S n；(2)设数列{b n}满足b1=a2, b n+1=b n+3×2a n，求数列{b n}的通项公式．28. 已知递增等差数列{a n}满足a1+a5=4，前3项的积为8，求等差数列{a n}的通项公式．29. 在等差数列{a n}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d，a20，a n．30. 已知数列{a n}，对于任意n∈N∗，都有a n=n2−bn，是否存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列？这样的整数是否唯一？是否存在最大的整数？31. 在等差数列{a n}中，a2=3，a9=17，求a19+a20+a21的值．32. 在等差数列{a n}中，已知a3=8，且满足a10>21，a12<27，若d∈Z，求公差d的值．33. 已知数列{a n}为等差数列，且a4=9，a9=−6．（1）求通项a n；（2）求a12的值．34. 已知：公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3a4=117，a2+a5= 22．求数列{a n}的通项公式．35. 设无穷等差数列{a n}的前n项和为S n，求所有的无穷等差数列{a n}，使得对于一切正整数k都有S k3=(S k)3成立．36. 在等差数列{a n}中，公差d≠0，己知数列a k1，a k2，a k3，…a kn…是等比数列，其中k1=1，k2=7，k3=25．（1）求数列{k n}的通项公式；（2）若a1=9，b n=√a k n6+√k n2，S n=b12+b22+b32...+b n2，T n=1b12+1b22+1b32...+1b n2，试判断{S n+T n}的前100项中有多少项是能被4整除的整数．37. 设正数数列的前项和为，对于任意，是和的等差中项. （1）求数列的通项公式；（2）设，是的前项和，是否存在常数，对任意，使恒成立？若存在，求取值范围；若不存在，说明理由.38. 记等差数列的前项和，已知.（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围.39. 观察下表：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，……问：（1）此表第行的第一个数与最后一个数分别是多少？（2）此表第行的各个数之和是多少？（3）2019是第几行的第几个数？40. 等差数列{a n}中，d=2，a1=5，S n=60，求n及a n．参考答案与试题解析高中数学等差数列的通项公式训练练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】根据等差数列51、47、43，…，得到等差数列的通项公式，让通项小于0得到解集，求出解集中最小的正整数解即可．【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47−51=−4，首项为51，所以通项a n=51+(n−1)×(−4)=55−4n，所以令55−4n<0解得n>554因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2.【答案】B【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）利用等差数列的性质进行解题即可.【解答】解：已知数列{a n}是等差数列，则a2=a1+d=4，a6+a7=2a1+11d=6+a1+8d，解得d=1 .故选B .3.【答案】D【考点】等差数列的通项公式【解析】的等差数列，由此能求出a99．由已知得数列{a n}是首项为a1=2，公差为a n+1−a n=12【解答】(n∈N∗)，解：∵在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+12∴数列{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，2∴a99=2+98×1=51．2故选D．4.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=5(a1+7d)=60，∴a1+7d=12，∴2a9−a10=2(a1+8d)−(a1+9d)=a1+7d=12.故选C.5.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的定义判断，再用通项公式求解即可．【解答】解：∵数列{a n}中有a1=1，a n+1=a n+4，∴数列{a n}为等差数列，且a1=1，公差d=4，即通项公式为：a n=4n−3，∵4n−3=2009，4n=2012，∴n=503且n=503是整数.故选C.6.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】由a，x1，x2，b为等差数列，根据等差数列的性质得到b=a+3d1，表示出d1，同理由a，y1，y2，y3，b为等差数列，根据等差数列的性质表示出d2，即可求出d1与d2的比值．【解答】解：∵a，x1，x2，b为等差数列，且公差为d1，∴b=a+3d1，即d1=b−a，3∵a，y1，y2，y3，b也为等差数列，且公差为d2，∴b=a+4d2，即d2=b−a，4则d 1d 2=43．故选C 7.【答案】 B【考点】等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由a n+1=2a nan+2，得1a n+1=a n +22a n=1a n+12，又a 1=1，所以数列{1a n}是以1为首项，12为公差的等差数列，所以1a 5=1+4×12=3，所以a 5=13．故选B ． 8. 【答案】 A【考点】等差数列的通项公式【解析】根据数列的递推关系式，先求出t ＝4，即可得到{a 2n−1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n−1＝4n −3，{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n −1，问题得以解决．【解答】解：由题设2(a n a n+1+1)=tn(1+a n )，即a n a n+1+1=tS n ，可得a n+1a n+2+1=tS n+1，两式相减得a n+1(a n+2−a n )=ta n+1，所以a n+2−a n =t .由2(a 1a 2+1)=t(1+a 1) 可得a 2=t −1，由a n+2−a n =t 可知a 3=t +1.因为{a n }为等差数列，所以2a 2=a 1+a 3，解得t =4，故a n+2−a n =4，由此可得{a 2n−1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n−1=4n −3， {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n =4n −1，所以a n =2n −1. 故选A . 9. 【答案】 B【考点】等差数列的通项公式【解析】从冬至日起各节气日影长设为{a n}，可得{a n}为等差数列，根据已知结合前八项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解．【解答】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n}S n是其前？项和，则尺，所以a5=9.5尺，由题S S=9(a1+a5)24+a7=3a4=31.5所以a4=10.5，所以公差d=a5−a4=−1所以a12=a5+7d=2.5尺．故选：B．10.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】设等差数列{a n}的公差为|da4=23+5d,a7=23+6d，又：数列前六项均为正数，第七项起为负数，23+5d>0.23+6d<0−235<d<−236，又…数列是公差为整数的等差数列，d=−4，故选C．【解答】此题暂无解答二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】1【考点】等差数列的通项公式【解析】直接由等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}，由a1=0，公差d=17，得a8=a1+7d=0+7×17=1．故答案为：1．12.【答案】2n−3【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=1，a4=5，∴{a1+d=1a1+3d=5，解得{a1=−1d=2．∴a n=−1+2(n−1)=2n−3．故答案为2n−3．13.【答案】2【考点】等差数列的通项公式【解析】根据等差数列的定义和性质，结合题意可得2a4=a3+a5=4，由此解得a4的值．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3+a5=4，∴2a4=a3+a5=4，解得a4=2，故答案为：2．14.【答案】2n−10【考点】等差数列的通项公式【解析】利用递推关系a n={S1n=1S n−S n−1n≥2可求数列的通项公式【解答】解：∵S n=n2−9n，∴a1=S1=−8n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−9n−(n−1)2+9(n−1)=2n−10 n=1，a1=8适合上式故答案为：2n−1015.【答案】1,4【考点】等差数列的通项公式【解析】根据等差数列的通项公式求出公差d，令n=1求得首项a1．【解答】解：由题意得，等差数列{a n}，a n=4n−3，则公差d=4，令n=1得首项a1=1，故答案为：1、4．16.【答案】429等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．【解答】已知数列{a n}为等差数列，其中，a1＝5，a n＝1，S n＝90．，1＝5+(n−1)d，设公差为d，则90=n(5+1)2．解得：d=−42917.【答案】食指,4n−1【考点】等差数列的通项公式【解析】注意到数1，9，17，25，，分别都对应着大拇指，且1+8×(251−1)=2001，因此数到2008时对应的指头是食指．对应中指的数依次是：3，7，11，15，，因此数列{a n}是3为首项4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可得到答案．【解答】解：∵数1，9，17，25，，分别都对应着大拇指，且1+8×(251−1)=2001，∴数到2008时对应的指头是食指．∵对应中指的数依次是：3，7，11，15，因此数列{a n}的通项公式是a n=3+(n−1)×4=4n−1．故答案为：食指，4n−118.【答案】4【考点】等差数列的通项公式【解析】第1行数组成的数列A1j(j＝1, 2,…)是以2为首项，公差为1的等差数列，第j列数组成的数列Aij(i＝1, 2,…)是以j+1为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果．【解答】第i行第j列的数记为Aij．那么每一组i与j的组合就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j(j＝1, 2,…)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j＝2+(j−1)×1＝j+1，所以第j列数组成的数列Aij(i＝1, 2,…)是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以Aij＝(j+1)+(i−1)×j＝ij+1．所以ij＝69＝1×69＝3×23＝23×3＝69×1＝81．所以表中的数70共出现54，19.【答案】________、1,2n—1【考点】等差数列的通项公式根据a n−1=S n+1−S n ，代入后等式两边同时除以S n+1S n+1．即可得【解答】因为a n−1=S n+1−S n则a n−1+2S n+1S n =0可化简为S n−1−S n +2S n−1S n =0等式两边同时除以S n−1S n可得1S n −1S n+1+2=0．即1S n−1−1S n =2 所以数列为等差数列，首项1S 1=1a 1=1，公差d =2 所以1S n=1+(n −1)×2=2n −1 即S n =12n−1故答案为：12n−1I =加加】本题考查了数列的综合应用，通项公式与前n 项和公式的关系，等差数列通项公式的求法，属于中档题．20.【答案】s _、4”1−4,3【考点】等差数列的通项公式【解析】a n+1n+1−a n n =2，求得an n 的通项，进而求得a n =2n 2，得b n 通项公式，利用等比数列求和即可．【解答】由题为等差数列，a n n =a 11+n −1×2=2na n =2n 2∴ b n =22n ∴ S n =4(1−42)1−4=4n−1−43，故答案为4n+1−43三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】a n =10−2n【考点】等差数列的通项公式【解析】本题考查等差数列通项公式，由条件 a n+2=2a n+1−a n 可得 a n+2−a n+1=a n+1−a n ，从而{a n }为等差数列，利用 a 1=8， a 4=2 可求公差，从而可求数列{a n }的通项公式．【解答】解：由题意， a n+2−a n+1=a n+1−a n ，∴ 数列 {a n } 为等差数列，设公差为d ，由a 1=8，a 4=2 ，得8+3d =2 ，解得d =−2，∴ a n =8−2(n −1)=10−2n ．故答案为：a n =10−2n ．22.【答案】解：在等差数列{a n }中，∵ a 4+a 6=28，a 7=20，∴ 由题意得{a 3+d +a 3+3d =28①，a 3+4d =20②，由①②解得{a 3=8，d =3.【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n }中，∵ a 4+a 6=28，a 7=20，∴ 由题意得{a 3+d +a 3+3d =28①，a 3+4d =20②，由①②解得{a 3=8，d =3.23.【答案】解：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1+a 3=2a 2，即f(x +1)+f(x −1)=0，又f(x)=x 2−4x +2，所以(x +1)2−4(x +1)+2+(x −1)2−4(x −1)+2=0，整理得x 2−4x +3=0，解得x =1，或x =3．当x =1时，a 1=f(x +1)=f(2)=22−4×2+2=−2，d =a 2−a 1=0−(−2)=2，∴ a n =a 1+(n −1)d =−2+2(n −1)=2n −4．当x =3时，a 1=f(x +1)=f(4)=42−4×4+2=2，d =0−2=−2，∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×(−2)=4−2n ．所以，数列{a n }的通项公式为2n −4或4−2n ．【考点】等差数列的通项公式【解析】题目给出了一个等差数列的前3项，根据等差中项概念列式a 1+a 3=2a 2，然后把a 1和a 3代入得到关于x 的方程，解方程，求出x 后再分别代回a 1=f(x +1)求a 1，则d 也可求，所以通项公式可求．【解答】解：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1+a 3=2a 2，即f(x +1)+f(x −1)=0，又f(x)=x 2−4x +2，所以(x +1)2−4(x +1)+2+(x −1)2−4(x −1)+2=0，整理得x 2−4x +3=0，解得x =1，或x =3．当x =1时，a 1=f(x +1)=f(2)=22−4×2+2=−2，d =a 2−a 1=0−(−2)=2，∴ a n =a 1+(n −1)d =−2+2(n −1)=2n −4．当x =3时，a 1=f(x +1)=f(4)=42−4×4+2=2，d =0−2=−2，∴ a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×(−2)=4−2n ．所以，数列{a n }的通项公式为2n −4或4−2n ．24.【答案】解：(1)由题设可知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n−1，S n =1−3n 1−3=3n −12.(2)设数列{b n }的公差为d ,∵ b 1=a 2=3，b 3=a 1+a 2+a 3=S 3=13，∴ b 3−b 1=10=2d ，∴ d =5，∴ b n =5n −2.【考点】等比数列的前n 项和等比数列的通项公式等差数列的通项公式【解析】（1）判断数列是等比数列，然后求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）利用数列的关系求出公差，然后求解通项公式．【解答】解：(1)由题设可知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n−1，S n =1−3n 1−3=3n −12.(2)设数列{b n }的公差为d ,∵ b 1=a 2=3，b 3=a 1+a 2+a 3=S 3=13，∴ b 3−b 1=10=2d ，∴ d =5，∴ b n =5n −2.25.【答案】解：（1）数列{a n }，{b n }满足a 1=2,b 1=1,且 {a n =23a n−1+13b n−1+2b n =13a n−1+23b n−1+2(n ≥2), ∴ a n +b n =(a n−1+b n−1)+4(n ≥2)，因为c n =a n +b n ，即c n =c n−1+4(n ≥2)，∴ {c n }是首项为a 1+b 1=3, 公差为4的等差数列．且通项公式为c n =3+4(n −1)=4n −1,而a n −b n =(13a n−1−13b n−1)=13(a n−1−b n−1)(n ≥2)，因为d n =a n −b n ，即d n =13d n−1(n ≥2)， ∴ {d n }是首项为a 1−b 1=1, 公比为13的等比数列．且通项公式为d n =(13)n−1. （2）由（1）得到 {a n +b n =4n −1a n −b n =(13)n−1, 解得a n =12×3n−1+2n −12,∴ S n = 12×[1−(13)n ]1−13+2×n(n+1)2-12n =34−14×3+n 2+n 2．【考点】由递推关系证明数列是等差数列等差数列与等比数列的综合数列的求和等比数列的通项公式等差数列的通项公式【解析】由题得到a n +b n =(a n−1+b n−1)+4(n ≥2)，即可得到c n =c n−1+4(n ≥2)，即可知{c n }是首项为a 1+b 1=3, 公差为4的等差数列．而a n −b n =13(a n−1−b n−1)(n ≥2)，即可得d n =13d n−1(n ≥2)，可知{d n }是首项为a 1−b 1=1, 公比为13的等比数列．由（1）得到 {a n +b n =4n −1a n −b n =(13)n−1,即可得到a n =12×3+2n −12,再利用分组转换求和法即可得解S n ．【解答】解：（1）数列{a n }，{b n }满足a 1=2,b 1=1,且 {a n =23a n−1+13b n−1+2b n =13a n−1+23b n−1+2(n ≥2), ∴ a n +b n =(a n−1+b n−1)+4(n ≥2)，因为c n =a n +b n ，即c n =c n−1+4(n ≥2)，∴ {c n }是首项为a 1+b 1=3, 公差为4的等差数列．且通项公式为c n =3+4(n −1)=4n −1,而a n −b n =(13a n−1−13b n−1)=13(a n−1−b n−1)(n ≥2)，因为d n =a n −b n ，即d n =13d n−1(n ≥2)， ∴ {d n }是首项为a 1−b 1=1, 公比为13的等比数列．且通项公式为d n =(13)n−1. （2）由（1）得到 {a n +b n =4n −1a n −b n =(13)n−1, 解得a n =12×3n−1+2n −12,∴ S n =12×[1−(13)n ]1−13+2×n(n+1)2-12n =34−14×3+n 2+n 2． 26.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d ，由题意得{2S 2=a 2(a 2+1)，a 22=a 1a 4，整理{a 12+2a 1d +d 2=3a 1+d ，a 1=d ，解得a 1=d =1，所以a n =n .(2)由(1)得b n =(n +1)2n ，则T n =2×21+3×22+4×23+⋯+(n +1)×2n ，2T n =2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)×2n+1，两式作差整理得，T n =n ⋅2n+1.【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设等差数列的公差为d ，由题意得{2S 2=a 2(a 2+1)，a 22=a 1a 4，整理{a 12+2a 1d +d 2=3a 1+d ，a 1=d ，解得a 1=d =1，所以a n =n .(2)由(1)得b n =(n +1)2n ，则T n =2×21+3×22+4×23+⋯+(n +1)×2n ，2T n =2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)×2n+1，两式作差整理得，T n =n ⋅2n+1.27.【答案】解：(1)由题意可得{a 1+2d =4，(a 1+4d )2=(a 1+d )(a 1+10d )，即{a 1+2d =4,2d 2=a 1d.又因为d ≠0，所以{a 1=2，d =1，所以a n =n +1，所以S n =n (2+n+1)2=n 2+3n 2；(2)由条件及(1)可得b 1=a 2=3．由已知得b n+1−b n =3×2n+1，b n −b n−1=3×2n (n ≥2)．所以b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=3(2n +2n−1+2n−2+⋯+22)+3=3×2n+1−9(n ≥2).又b 1=3满足上式，所以b n =3×2n+1−9．【考点】等比中项数列递推式等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：(1)由题意可得{a 1+2d =4，(a 1+4d )2=(a 1+d )(a 1+10d )，即{a 1+2d =4,2d 2=a 1d.又因为d ≠0，所以{a 1=2，d =1，所以a n =n +1，所以S n =n (2+n+1)2=n 2+3n 2；(2)由条件及(1)可得b 1=a 2=3．由已知得b n+1−b n =3×2n+1，b n −b n−1=3×2n (n ≥2)．所以b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1=3(2n +2n−1+2n−2+⋯+22)+3=3×2n+1−9(n ≥2).又b 1=3满足上式，所以b n =3×2n+1−9．28.【答案】解：∵ 递增等差数列{a n }满足a 1+a 5=4，前3项的积为8，∴ {a 1+a 1+4d =4a 1(a 1+d)(a 1+2d)=8d >0，解得a 1=−4，d =3，∴ 等差数列{a n }的通项公式a n =−4+(n −1)×3=3n −7．【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出等差数列{a n }的通项公式．【解答】解：∵ 递增等差数列{a n }满足a 1+a 5=4，前3项的积为8，∴ {a 1+a 1+4d =4a 1(a 1+d)(a 1+2d)=8d >0，解得a 1=−4，d =3，∴ 等差数列{a n }的通项公式a n =−4+(n −1)×3=3n −7．29.【答案】解：解法一：∵ a 5=10，a 12=31，则{a 1+4d =10a 1+11d =31⇒{a 1=−2d =3∴ a n =a 1+(n −1)d =3n −5，a 20=a 1+19d =55解法二：∵ a 12=a 5+7d ⇒31=10+7d ⇒d =3∴ a 20=a 12+8d =55，a n =a 12+(n −12)d =3n −5【考点】等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】略30.【答案】解：∵数列{a n}，对于任意n∈N∗，都有a n=n2−bn，假设存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，∴a n+1−a n=[(n+1)2−b(n+1)]−(n2−bn)=2n+1−b>0，∴存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，且m=2n+1，n∈N∗．满足条件的整数m不是唯一的，但不存在最大值．【考点】等差数列的通项公式【解析】假设存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，则a n+1−a n=[(n+ 1)2−b(n+1)]−(n2−bn)=2n+1−b>0，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}，对于任意n∈N∗，都有a n=n2−bn，假设存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，∴a n+1−a n=[(n+1)2−b(n+1)]−(n2−bn)=2n+1−b>0，∴存在一个整数m，使得当b<m时，数列{a n}为递增数列，且m=2n+1，n∈N∗．满足条件的整数m不是唯一的，但不存在最大值．31.【答案】解：∵等差数列{a n}中，a2=3，a9=17∴d=a9−a29−2=17−37=2∴a20=a2+18d=3+36=39∵a19+a20+a21=3a20=117【考点】等差数列的通项公式【解析】由已知结合公式d=a9−a29−2可求d，然后利用等差数列的性质及通项公式即可求解【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=3，a9=17∴d=a9−a29−2=17−37=2∴a20=a2+18d=3+36=39∵a19+a20+a21=3a20=11732.【答案】解：∵等差数列{a n}中，a3=8，且满足a10>21，a12<27，∴{a1+2d=8a1+9d>21a1+11d<27，∴{8−2d+9d>218−2d+11d<27，解得137<d <199．∵ d ∈Z ，∴ 公差d =2．【考点】等差数列的通项公式【解析】由已知条件利用等差数列通项公式能求出公差d 的值．【解答】解：∵ 等差数列{a n }中，a 3=8，且满足a 10>21，a 12<27， ∴ {a 1+2d =8a 1+9d >21a 1+11d <27，∴ {8−2d +9d >218−2d +11d <27，解得137<d <199．∵ d ∈Z ，∴ 公差d =2． 33.【答案】解：（1）∵ 数列{a n }为等差数列，且a 4=9，a 9=−6， ∴ {a 1+3d =9a 1+8d =−6，解得a 1=18，d =−3，∴ 通项a n =18+(n −1)×(−3)=21−3n ．（2）a 12=21−3×12=−15．【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出通项a n ．（2）由通项通项a n ，能求出a 12的值．【解答】解：（1）∵ 数列{a n }为等差数列，且a 4=9，a 9=−6， ∴ {a 1+3d =9a 1+8d =−6，解得a 1=18，d =−3，∴ 通项a n =18+(n −1)×(−3)=21−3n ．（2）a 12=21−3×12=−15． 34.【答案】解：在等差数列{a n }中，a 3+a 4=a 2+a 5=22，a 3⋅a 4=117， ∴ a 3，a 4是方程x 2−22x +117=0的两实根， ∵ 公差d >0，∴ a 3<a 4， ∴ a 3=9，a 4=13；即{a 1+2d =9a 1+3d =13，解得{a 1=1d =4；∴ 通项公式为a n =1+4(n −1)=4n −3．【考点】等差数列的通项公式【解析】根据题意，由a 3+a 4=a 2+a 5，a 3⋅a 4的值求出a 3、a 4；由此求出{a 1=1d =4；即得通项公式a n ．【解答】解：在等差数列{a n }中，a 3+a 4=a 2+a 5=22，a 3⋅a 4=117， ∴ a 3，a 4是方程x 2−22x +117=0的两实根， ∵ 公差d >0，∴ a 3<a 4， ∴ a 3=9，a 4=13；即{a 1+2d =9a 1+3d =13，解得{a 1=1d =4；∴ 通项公式为a n =1+4(n −1)=4n −3． 35.【答案】解：若等差数列{a n }满足S k 3=(S k )3则当k =1时，有s 1=s 13，∴ a 1=0或a 1=1或a 1=−1当k =2时，有s 8=s 23，即8a 1+8×72d =(2a 1+d)3(1)当a 1=0时，代入上式得d =0或d =2√7或d =−2√7 ①当a 1=0，d =0时，a n =0，S n =0 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：0，0，0…②当a 1=0，d =2√7时，a n =2√7(n −1)，S n =2√7n(n−1)2=√7n(n −1)S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意③当a 1=0，d =−2√7时，a n =−2√7(n −1)，S n =−2√7n(n−1)2=−√7n(n −1)S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意(2)当a 1=1时，代入上式得d =0或d =2或d =−8 ①当a 1=1，d =0时，a n =1，S n =n 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：1，1，1…②当a 1=1，d =2时，a n =2n −1，S n =n 2 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：1，3，5…③当a 1=1，d =−8时，a n =−8n +9，S n =n(5−4n) S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意(3)当a 1=−1时，代入上式得d =0或d =−2或d =8 ①当a 1=−1，d =0时，a n =−1，S n =−n满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：−1，−1，−1…②当a1=−1，d=−2时，a n=−2n+1，S n=−n2满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：−1，−3，−5…③当a1=−1，d=8时，a n=8n−9，S n=n(4n−5)S27≠(S3)3∴不满足题意∴满足题意的等差数列{a n}有：①0，0，0…②1，1，1…③1，3，5…④−1，−1，−1…⑤−1，−3，−5…【考点】等差数列的通项公式【解析】先由k=1，k=2时，确定首项和公差，再验证每一组解是否符合题意，从而可以找到符合题意的数列【解答】解：若等差数列{a n}满足S k3=(S k)3则当k=1时，有s1=s13，∴a1=0或a1=1或a1=−1d=(2a1+d)3当k=2时，有s8=s23，即8a1+8×72(1)当a1=0时，代入上式得d=0或d=2√7或d=−2√7①当a1=0，d=0时，a n=0，S n=0满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：0，0，0…=√7n(n−1)②当a1=0，d=2√7时，a n=2√7(n−1)，S n=2√7n(n−1)2S27≠(S3)3∴不满足题意=−√7n(n−1)③当a1=0，d=−2√7时，a n=−2√7(n−1)，S n=−2√7n(n−1)2S27≠(S3)3∴不满足题意(2)当a1=1时，代入上式得d=0或d=2或d=−8①当a1=1，d=0时，a n=1，S n=n满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：1，1，1…②当a1=1，d=2时，a n=2n−1，S n=n2满足S k3=(S k)3此时，数列{a n}为：1，3，5…③当a1=1，d=−8时，a n=−8n+9，S n=n(5−4n)S27≠(S3)3∴不满足题意(3)当a1=−1时，代入上式得d=0或d=−2或d=8①当a 1=−1，d =0时，a n =−1，S n =−n 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：−1，−1，−1…②当a 1=−1，d =−2时，a n =−2n +1，S n =−n 2 满足S k 3=(S k )3此时，数列{a n }为：−1，−3，−5…③当a 1=−1，d =8时，a n =8n −9，S n =n(4n −5) S 27≠(S 3)3 ∴ 不满足题意∴ 满足题意的等差数列{a n }有： ①0，0，0… ②1，1，1… ③1，3，5…④−1，−1，−1… ⑤−1，−3，−5… 36.【答案】解：（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d(d ≠0)， ∵ a 1，a 7，a 25成等比数列， ∴ (a 1+6d)2=a 1(a 1+24d)， ∴ 36d 2=12a 1d ，又d ≠0， ∴ a 1=3d...3分∴ a n =3d +(n −1)d =(n +2)d ，又a k 2a k 1=a 7a 1=9d 3d=3，∴ {a k n }是以a 1=3d 为首项，3为公比的等比数列，∴ a k n =3d ⋅3n−1=d ⋅3n ，∴ (k n +2)d =d ⋅3n (d ≠0)， ∴ k n =3n −2(n ∈N ∗)．（2）∵ a 1=9，∴ 3d =9，解得d =3，∴ a k n =3n+1， ∴ b n =√a k n 6+√kn2=√3n +√3n −2√2，则b n 2+1b n2=(b n +1b n)2−2=(√3n +√3n −2√2√3n −√3n −2√2)2−2=2×3n −2，∴ S n +T n =2×3n−1−32−2n =3(3n −1)−2n ，当n 为偶数时：3n−1=(8+1)n 2−1=8n 2+...+C n 2n 2−1⋅8，能被4整除，2n 也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除．当n 为奇数时，S n +T n =3n+1−1−2(n +1)， 3n+1−1=(8+1)n+12−1=8n+12+...+Cn+12n+12−1⋅8能被4整除，2(n +1)也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除，∴ {S n +T n }的前100项中有100项是能被4整除的整数．【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d(d ≠0)，由题意可求得a 1=3d ，于是可求得a n 的关于d 的表达式，再利用a k 2ak 1=a 7a 1=9d3d =3，可求得其公比，继而可求得akn 的关系式，两者联立即可求得数列{k n }的通项公式k n ．（2）先求出b n ，进一步求出S n +T n 的通项公式，再利用二项式知识解决整除问题【解答】解：（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d(d ≠0)， ∵ a 1，a 7，a 25成等比数列， ∴ (a 1+6d)2=a 1(a 1+24d)， ∴ 36d 2=12a 1d ，又d ≠0， ∴ a 1=3d...3分∴ a n =3d +(n −1)d =(n +2)d ，又a k 2a k 1=a 7a 1=9d 3d=3，∴ {a k n }是以a 1=3d 为首项，3为公比的等比数列，∴ a k n =3d ⋅3n−1=d ⋅3n ，∴ (k n +2)d =d ⋅3n (d ≠0)， ∴ k n =3n −2(n ∈N ∗)．（2）∵ a 1=9，∴ 3d =9，解得d =3，∴ a k n =3n+1， ∴ b n =√a k n 6+√k n 2=√3n +√3n −2√2，则b n 2+1b n2=(b n +1b n)2−2=(√3n +√3n −2√2√3n −√3n −2√2)2−2=2×3n −2，∴ S n +T n =2×3n−1−32−2n =3(3n −1)−2n ，当n 为偶数时：3n−1=(8+1)n 2−1=8n 2+...+C n 2n 2−1⋅8，能被4整除，2n 也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除．当n 为奇数时，S n +T n =3n+1−1−2(n +1)， 3n+1−1=(8+1)n+12−1=8n+12+...+Cn+12n+12−1⋅8能被4整除，2(n +1)也能被4整除，∴ S n +T n 能被4整除，∴ {S n +T n }的前100项中有100项是能被4整除的整数． 37.【答案】（1）a n =n ；（2）存在实数0≤λ<1符合题意．【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）根据S n 是a n 2和a n 的等差中项可知2S n =a n 2+a n ，且a n >0，则当n ≥2时，有2S n−1=(a n−1)2+a n−1，两式相减并化简即可求解；（2）由（1）知a n =n ，由题意知，T n =1−(12)n，假设存在常数λ≥0，对任意n ∈N ，使恒成立等价于对任意n ∈N ′1−(12)n−λ(12)n>√λ恒成立整理化简，利用分离参数法求解恒成立问题即可．【解答】（1）由S n 是a n 2和a n 的等差中项可知，2S n =a n 2+a n ，且a n >0 则当n ≥2时，有2S n−1=(a n−1)2+a n−1两式相减可得，2S n −2S n−1=a n 2−a n−12+a n −a n−1即2a n =a n 2−a n−12+a n −a n+1,a n >0，化简可得，a n −a n−1=1(n ≥2) 所以数列{a n }是以1为首项1为公差的等差数列，所以数列{a n }的通项公式为a n =n（2）由（1）知，a n =n ，因为b n =(12)n，所以数列{b n }的前几项和T n =1−(12)n假设存在常数λ≥0，对任意n ∈N ′，使T n −λ⋅2−a ,√λ恒成立即对任意n ∈N1−(12)n−λ(12)n>√λ恒成立等价于对任意n ∈N ′1+√A <2n 恒成立即1+√2小于2a 的最小值即可．所以0≤λ<1满足对任意n ∈N ，使T n −λ⋅2−a >√λ恒成立．所以存在这样的实数？，对任意n ∈N ′，使恒成立，实数？的取值范围为0≤λ<1 38.【答案】（1）a n =−2n +8（2）{n|1≤n ≤8,n ∈N }【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）由已知可得a 4=0，再根据a 2=4可得a 1,d 的方程组，解得．（2）由（1）可知a 1=−3d ，故可用含d 的式子表示S n 和a n ，列出不等式求解即可．【解答】（1）设等差数列{a n }的首项为a 1公差为d ；因为等差数列{a n }的前）项和S n 且S 4=S 3．a 4=0，又∵ a 2=4 {a 1+3d =0a 1+d =4，解得{a 1=4d =−2 所以a n =a 2+(n −2)⋅d =−2n +8 （2）因为a 1=−3d >0，所以d <0 所以S n =na 1+n (n−1)2d =−3nd +n (n−1)2da n =a 1+(n −1)⋅d =(n −4)d 因为S n ≥a n ，所以(n 2−n 2−3n)d ≥(n −4)d因为d <0，所以n 2−n2−3n ≤n −4整理得n 2−9n +8≤0，解得1≤n ≤8 所以”的取值范围是{n|1≤n ≤8,n ∈N } 39.【答案】（1）第几行的第一个数是n 2，最后一个数是n 2+2n （2）第八行各个数之和为2n 3+3n 2+n（3）2019是第44行第84个数．【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）根据此表的特点可知此表n行的第1个数为n2，第n行共有3+(n−1)×2=2n+ 1个数，依次构成公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式解之即可；（2）直接根据等差数列的前n项和公式进行求解；（3）1936=442×2019×452=2025，所以2019在第44行，然后设2019是此数表的第44行的第k个数，而第44行的第1个数为442，可求出k，从而得到结论．【解答】（1）由表可知，每一行都是公差为1的等差数列，第n行第一个数是n2，每一行比上一行多2个数，第一行有3个数，则第n行有3+(n−1)×2=2n+1个数，所以第一行最后一个数是n2+(2n+1−1)×1=n2+2n（当然也可以观察得出第n行最后一个数为(n+1)2−1)（2）由（1）知，第几行各个数之和为(2n+1)(n 2+n2+2n)2=(2n+1)(n2+n)=2n3+3n2+n（3）因为1936=442<2019<452=2025，所以2019在第44行，设2019是第44行第k个数，则2019=442+(k−1)×1，解得k=84，所以2019是第44行第84个数．40.【答案】解：等差数列{a n}中，d=2，a1=5，S n=60，∵前n项和S n=na1+12n(n+1)d，即5n+12×n(n−1)×2=60；解得n=6，n=−10（舍去）；∴通项公式是a n=a1+(n−1)d=5+2(n−1)=2n+3，∴a6=2×6+3=15．∴所求的n=6，a6=15．【考点】等差数列的通项公式【解析】由等差数列的前n项和公式求出n的值，再由通项公式求出a6即可．【解答】解：等差数列{a n}中，d=2，a1=5，S n=60，∵前n项和S n=na1+12n(n+1)d，即5n+12×n(n−1)×2=60；解得n=6，n=−10（舍去）；∴通项公式是a n=a1+(n−1)d=5+2(n−1)=2n+3，∴a6=2×6+3=15．∴所求的n=6，a6=15．。

(完整版)高二数学数列练习题(含答案)

高二《数列》专题1．与的关系：，已知求，应分时；时，n S n a 11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩n S n a 1=n 1a =2≥n = 两步，最后考虑是否满足后面的.n a 1a n a 2.等差等比数列等差数列等比数列定义（）1n n a a d --=2n ≥*1()n na q n N a +=∈通项，d n a a n )1(1-+=(),()n m a a n m d n m =+->，中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中,,a A b A a b 项．。

2a bA +=等差中项的设法：如果成等比数列，那么叫做与,,a G b G a 的等比中项．b 等比中项的设法：，，aqa aq 前项n 和，)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=若*(,,,,)m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+，则2m p q =+若，则q p n m +=+2*2,,(,,,)m p q m p q a a a p q n m N =+=⋅∈若则有性质、、为等差数列n S 2n n S S -32n n S S -、、为等比数列n S 2n n S S -32n n S S -函数看数列12221()()22n n a dn a d An Bd d s n a n An Bn=+-=+=+-=+111(1)11nn n n n n a a q Aq q a as q A Aq q q q===-=-≠--判定方法（1）定义法：证明为一个常数；)(*1N n a a n n ∈-+（2）等差中项：证明，*11(2N n a a a n n n ∈+=+-)2≥n （3）通项公式:为常数)()(,n a kn b k b =+*N ∈n （1）定义法：证明为一个常数)(*1N n a a n n ∈+（2）中项：证明21nn a a -=*1(,2)n a n N n +⋅∈≥（3）通项公式：均是不为0(,nna cq c q =3.数列通项公式求法。

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题(含答案)

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数所以{}log c n a 成等差数列二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。

数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)

数列通项与求和一．求数列通项公式1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

）例．等差数列是递增数列，前n 项和为，且成等比数列，．求数列的通项{}n a n S 931,,a a a 255a S ={}n a 公式．答案： 35n a n =2．公式法：已知（即）求，用作差法：n S 12()n a a a f n +++= n a 11,(1),(2)n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩例．设正整数数列前n 项和为，满足，求 {}n a n S 21(1)4n n S a =+n a 答案：21n a n =-3．作商法：已知求，用作商法：。

12()n a a a f n = n a (1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩如数列中，对所有的都有，则；}{n a ,11=a 2≥n 2321n a a a a n = =+53a a 答案：61164．累加法：若求：1a +(2)n ≥。

1()n n a a f n +-=n a 11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 例．已知数列，且a 1=2，a n +1=a n +n ，求a n ．答案：242n n n a -+=5．累乘法：已知求，用累乘法： 1()n n a f n a +=n a 121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥例．已知数列满足，，求。

{}n a 321=a n n a n na 11+=+n a 答案：23n a n=6．已知递推关系求，用构造法（构造等差．等比数列）。

n a （1）形如只需构造数列，消去带来的差异．其中有多种不同形式 ()n f pa a n n +=+1{}n b ()n f ()n f ①为常数，即递推公式为（其中p ，q 均为常数，）。

数列等差数列与等比数列练习题

数列等差数列与等比数列练习题数列是数学中基础而重要的概念之一，同时也是数学的应用领域中常见的数学模型之一。

其中，等差数列和等比数列是数列中最基础的两种常见类型。

本文将为大家提供一些关于等差数列和等比数列的练习题，以巩固和提高大家对数列的理解和运用能力。

【练习题一】1. 若等差数列的首项是3，公差是4，求第n项的表达式。

解析：由题意，首项是3，公差是4。

所以等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

代入已知条件，可得an = 3 + (n-1)4。

2. 若等差数列的第7项是18，公差是2，求首项和第n项的和。

解析：由题意，第7项是18，公差是2。

所以等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

代入已知条件，可得18 = a1 + (7-1)2。

解方程得a1 = 5。

首项和第n项的和可以表示为Sn = (n/2) * (a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。

代入已知条件，得Sn = (n/2) * (5 + 5 + (n-1)*2)。

【练习题二】1. 若等比数列的首项是2，公比是3，求第n项的表达式。

解析：由题意，首项是2，公比是3。

所以等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

代入已知条件，可得an = 2 * 3^(n-1)。

2. 若等比数列的第4项是16，公比是2，求首项和第n项的和。

解析：由题意，第4项是16，公比是2。

所以等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

代入已知条件，可得16 = a1 * 2^(4-1)。

解方程得a1 = 2。

首项和第n项的和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a1为首项，r为公比。

代入已知条件，得Sn = 2 * (1 - 2^n) / (1 - 2)。

高中数学数列定义等差数列等比数列数列求和求通项公式练习题

第一部分数列基本定义第一节：数列及其通项公式一．数列的概念1．数列的定义：；2．表示法：；3．数列的分类：；4．通项公式：；5．递推公式的概念：；二．数列通项公式的求法题型一1．已知数列{a n}的前几项，写出数列的一个通项公式（1）1，4，9，16，……；a n=;（2）2468,,,,392781……；a n=;（3）313131,,,,,,,23456a n=;（4）9，99，999，9999，……；a n=;（5）7，77，777，7777，……；a n=;（6）7，-77，777，-7777，……；a n=;（7）0.5,0.55,0.555,0.5555,……；a n=;（8）1．-1，1，-1，……；a n=;（9）1，0，1，0，……；a n=;（10）11，101，1001，10001，……；a n=;（11）12341,2,3,4,2345……；a n=;（12）1375,,,,24816；a n=;（13）210172637,1,,,,3791113---，……；a n=;2．数列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，……，中x,y,z的值依次是（）A42，41，123B13，39，123C24，23，123D28，27，123 3．数列1，1，2，3，5，8，……；的第7项是.4．数列}a {n 中，11(2)(n n n a nn n -⎧⎪=⎨⎪-⎩为奇数）（为偶数），则}a {n 的前5项分别是.5.已知函数xx x f 1-)(=，设*))((N n n f a n ∈=(1)求证：1<n a ；（2）{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？题型二．已知数列的前n 项和求数列的通项公式用数列的前n 项和n S 求通项n a 的公式是：；例1.已知数列{a n }的前n 项和为221n S n n =++，求数列{a n }的通项公式；例2.已知数列{a n }的前n 项和为22n S n n =+，求数列{a n }的通项公式.练习：1.已知数列{a n }的前n 项和为1(1)n n S n +=-,则通项a n =;2.已知数列{a n }的前n 项和为32nn S =+,则通项a n =;3.已知数列{a n }的前n 项和为110log (1)n S n =+,则通项a n =;4.已知数列{a n }的前n 项和为12111222n n n nS +=+++,则通项a n =;题型三.用递推公式求数列的通项公式1.数列{}n a 中，1112,(2,3,4,1n n n a a a n a --===- ），则它的前5项是.2.数列{}n a 中，12211,2,,n n n a a a a a ++===+则7a =.3.数列{}n a 中，满足112,2n n a a a +==+，求数列{a n }的通项公式；4.数列{}n a 中，满足112,n n a a a n +==+，求数列{a n }的通项公式；5.数列{}n a 中，满足112,2n n a a a +==，求数列{a n }的通项公式；6.数列{}n a 中，满足112,1n n na a a n +==+，求数列{a n }的通项公式；第二节：等差数列一.1.定义：_______________________________________________________________.2.通项公式：____________________或____________________3.等差中项：________________________________________推广1________________________________________推广2________________________________________4.证明一个数列是等差数列的方法：方法1________________________________________方法2________________________________________方法3________________________________________5.等差数列的性质：（1）__________，n a 单增；__________，n a 单减；____________，是常数列.（2）等差数列中任意连续的三项也成____________________数列，反之亦然.二.等差数列的前n 项和：公式1____________________证明：公式2____________________证明：题型一基本练习与应用：1．在等差数列{a n }中，a 5=10,a 12=31,求首项a 1与公差d.2.在等差数列{a n }中，a 2=-5,a 6=a 4+6,那么a 1=.3.在等差数列{a n }中，a 15=8,a 20=20,则a 25=.4.在等差数列{a n }中，a 2+a 5+a 8=9,a 3a 5a 7=-21,求通项a n .5.在等差数列{a n }中，a 15=8,a 60=20,则a 75=.6.在等差数列{a n }中，S 10=310，S 20=1220，求S n 与通项a n .6．在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450,则a 2+a 8=.7.a 3,a 15是方程x 2-6x-1=0的两个根，求a 7+a 8+a 9+a 10+a 11=.8．在等差数列}{n a 中，23=a ，则该数列的前5项和为（）（A ）10（B ）16（C ）20（D ）329.在等差数列}{n a 中，n S 表示前n 项和，且58218a a a -=+，则9S 的值为_______10.等差数列{a n }，)9(,30,240,1849>===-n a S S n n ，则项数n 为____________11．在等差数列{a n }中，前4项的和为21，后4项的和为67，前n 项的和为286，则项数n=.12.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，且71427n n S n T n +=+,求1111a b .13.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若9535=a a ，则59S S的值为________14．在等差数列{a n }中，a m =n,a n =m,且m ≠n,则a m+n =.15.已知等差数列}{n a ，n S 是其前n 项和，对于不相等的正整数m,n ，有n S m S m n ==,，则n m S +的值为.题型二其奇数项和、偶数项和1、若等差数列共有偶数项n 2项（奇数项、偶数项各n 项）：即奇S 12531 -+⋅⋅⋅+++=n a a a a ，偶S n a a a a 2642 +⋅⋅⋅+++=则偶S ___S -=奇，偶S ___S +=奇______S S =偶奇（中间一对）2、若等差数列共有奇数项12+n 项（奇数项比偶数项多1项）：即奇S 1212531 +-++⋅⋅⋅+++=n n a a a a a 偶S na a a a 2642 +⋅⋅⋅+++=则____S S -=奇偶（1+n a 为中间项），偶S ____S +=奇，______S S =偶奇（项数之比）1..等差数列{a n }共有2n-1项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为120，则n=.2如果等差数列{a n }共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为.3．如果等差数列{a n }的项数是奇数，11=a ，{a n }的奇数项的和是175，偶数项的和是150，求这个等差数列的公差d.题型三n S 的最值问题1.在等差数列}{n a 中，n S 表示前n 项和，且0,01312<>S S ，当n S 取得最大值时的n 值为（）（A ）6（B ）7（C ）12（D ）不能确定2.若}{n a 是等差数列，首项01>a ，02423>+a a ，02423<⋅a a ，则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是（）（A ）48（B ）47（C ）46（D ）453.等差数列{a n }中，a n =2n-10,则n S 的最小值时n=.4.等差数列{a n }中，a n =2n-11,则n S 的最小值时n=.5．在等差数列{a n }中,,S S ,a 83125=-=则前n 项和n S 的最小值为（）A ：-80B ：-76C ：-75D ：-746.已知等差数列}{n a ，n S 是其前n 项和，且877665,,S S S S S S >=<，则下列结论错误的是（）（A ）d <0（B ）07=a （C ）59S S >（D ）6S 与7S 均为n S 的最大值.题型四裂项相消法求数列的前n 项和适用题型__________________________________________________________例1求数列1(1)n a n n =+的前n 项和练习1：求数列1(2)n a n n =+的前n 项和练习2求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例2、求和S n =1)1)(2n -2()2(534312222+++•+•n n ；练习、求数列 ,1414,1313,1212222222-+-+-+…前n 项的和n S .第三节：等比数列一.等比数列及其性质1.定义：______________________________________（有既是等差又是等比的数列吗？）2.通项公式：____________________或____________________3.等比中项：________________________________________推广1________________________________________推广2________________________________________4.证明一个数列是等比数列的方法：方法1________________________________________方法2________________________________________方法3________________________________________题型一基本练习与应用：1.数列{}n a 是等比数列，则在①1{}n n a a +；②1{}n n a a ++；③1{}n n a a +-；④3{}n a ；⑤{}n na ；⑥{lg }n a 这6个数列中仍成等比数列的是.2.数列{}n a 是等比数列，37416,33a a ==，求公比q.3.等差数列a,b,c 三项的和为12，且a,b,c+2成等比数列，求a 的值.4.数列{}n a 是等比数列，1357932a a a a a =，求5a 5.数列{}n a 是等比数列，198a =，13n a =，23q =，则这个数列的项数为（）A 3B 4C 5D 66.等比数列{a n }中,a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,则a 3+a 5=()A:5B:10C:15D:207.等比数列{a n },==-=1185,8,16a a a （）A ：-4B ：±4C ：-2D ：±28.等比数列{a n }，512,1247483-==+a a a a ，公比q 为整数，则=10a .9.等比数列{a n }中，,a a ,a a 60304321=+=+则=+65a a __________10.等比数列{a n }中，,b a a ),a (,a a a =+≠=+20191090则=+10099a a （）A ：89a b B ：9)a b (C ：910ab D ：10)ab (11.{a n }是各项为正数的等比数列，965=a a ，则1032313a log a log a log +++ =（）A ：12B ：10C ：8D ：523log +12．已知{a n }是各项都为正数的等比数列，设n n a log b 2=，求证数列{b n }是等差数列.13.已知等比数列}{n a 的163=a ，且6510212=a a a ，求}{n a 的通项公式.14.各项均为正数的等比数列}{n a 中，若1074=⋅a a ，则=+++1021lg lg lg a a a ；15．}{n a 为等比数列，（1）77,299==S q ，求9963a a a +++ （2）前n 项的和为,48=n S 前n 2项之和602=n S ，求nS 3二.等比数列的前n 项和：公式___________________（注意__________）证明：1．等比数列{a n }中，64216a a -=，318a a -=，40n S =，求q 和n.2．等比数列{a n }中，334,12a S ==，求1a 和q.3．等比数列{a n }中，49n S =，2112n S =，则3n S =.4．等比数列{a n }中，11,512,341,n n a a S ==-=-求q.5．求数列11,3,9,27,,3,n - 的前n 项和.6．求222211,1,(1),,(1),n a a a -+++ 的前n 项和7．求2422222,,,,nn y y y，求前2k 项的和.8．求211,,,,,n a a a- 的前n 项和.9．等比数列{a n },前n 项和为48,前2n 项和为60,前3n 项的和为()A:183B:108C:75D:6310．{a n }成等差数列，1351a ,a ,a 成等比数列，则该等比数列的公比为（）A ：21B ：2C ：41D ：3111．{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，)n ,,,i (b ,q i 2101=>≠，若11b a =，1111b a =，则（）A ：66b a =B ：66b a >C ：66b a <D ：66b a >或66b a <12．y ,a ,a ,x 21成等差数列，y ,b ,b ,x 21成等比数列，则21221b b )a a (+的取值范围是（）A ：),[+∞4B ：（0，4）C ：),[],(+∞-∞40 D ：),[),(+∞-∞40 13．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（）A ．12B ．10C ．8D ．6第四节数列的综合应用--数列求和（一）．公式法1．求1，4，7，10，…，（3n-2）,…的前n 项和.2．求数列2422222,,,,n n y y y，求前2k 项的和.3．求21nS a a a=++++ （二）．分组求和1．求和（1+2）+（3+4）+…+（2n-1+2n ）2．(x-2)+(x 2-2)+…+（x n -2）3.2(1)(2)()na a a n -+-++- 4.求和22111()()()n n x x x y y y++++++ 5.122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++ 6.1325(21)n n ⨯+⨯+++ （三）．裂项相消1.求和1111223(1)n S n n =+++⨯⨯+ 2.1111335(21)(21)n n +++⨯⨯-+ 3..数列{a n }成等比数列,各项都为正数，且q ≠1,求证1223111111lg lg lg lg lg lg lg lg n n nn a a a a a a a a --+++=4.)1(1431321+++⨯+⨯n n 5.)32)(12(1751531++++⨯+⨯n n 6．)13)(23(1741411+-++⨯+⨯n n 7.)2(1531421311+++⨯+⨯+⨯n n 8.)3(1631521411+++⨯+⨯+⨯n n 9．求n++++++++++21132112111（四）．错位相减1．23135212222nn -++++ 2.nn 223222132⨯++⨯+⨯+⨯ 3.nn 21225232++++ 4．求和2335(21)nx x x n x ++++- 5．1+2×3+3×7+…+n(2n -1)6.已知数列{a n +1}是等比数列，11=a ，2=q ，求nna a a a ++++ 32132（五）放缩及其他1．222222123499100-+-++- 2．求数列141413131212222222－＋，－＋，－＋，……的前n 项和.3.求和n S =++4.求121213511311-++++++++=n n S 5.求值设244(+=x x x f ），求19991998()19992()19991(f f f +++ :6.求证：2221111223n ++++<7.21(1)(1)22n n n ++<+ 8．nnn 2131211)11(2<++++<-+第五节数列的综合应用--数列求通项1.直接定义法：例1.等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。

高中数学《等差数列、等比数列》专题练习题(含答案解析)

高中数学《等差数列、等比数列》专题练习题（含答案解析）一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 C [设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d a 1＋4d24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C ．]2．设公比为q (q >0)的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1C ．12D ．23B [S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3a 4－3a 2 ，即3a 2＋a 3－2a 4＝0，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2＝0 ，即2q 2－q －3＝0，解得q ＝－1 (舍)或q ＝32，当q ＝32时，代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1，故选B ．]3．(2018·莆田市3月质量检测)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝a 1＋2a 3，a 4＝1，则S 4＝( )A ．78B ．158C ．14D ．15D [由S 2＝a 1＋2a 3，得a 1＋a 2＝a 1＋2a 3，即a 2＝2a 3，又{a n }为等比数列，所以公比q ＝a 3a 2＝12，又a 4＝a 1q 3＝a 18＝1，所以a 1＝8.S 4＝a 11－q 41－q＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161－12＝15.故选D ．]4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13C [∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0,a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.]5．(2018·衡水模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m＋1＝21，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [在等比数列中，因为S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，所以a m ＝S m －S m －1＝－11－5＝－16，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝32.则公比q ＝a m ＋1a m＝32－16＝－2，因为S m ＝－11，所以a 1[12m ]1＋2＝－11，①又a m ＋1＝a 1(－2)m ＝32，② 两式联立解得m ＝5，a 1＝－1.] 6．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1B [a na 2n ＝a 1n －1da 12n －1d ＝a 1－d ＋nda 1－d ＋2nd，若a 1＝d ，则a na 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.∵a 1＝d ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.] 7．已知等比数列{a n }中，a 2a 10＝6a 6，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 6，则数列{b n }的前9项和为( )A ．9B ．27C ．54D ．72B [根据等比数列的基本性质有a 2a 10＝a 26＝6a 6，a 6＝6，所以b 4＋b 6＝a 6＝6，所以S 9＝9b 1＋b 92＝9b 4＋b 62＝27.]8．(2018·安阳模拟)正项等比数列{a n }中，a 2＝8,16a 24＝a 1a 5，则数列{a n }的前n 项积T n 中的最大值为( )A ．T 3B ．T 4C ．T 5D ．T 6A [设正项等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则16a 24＝a 1a 5＝a 2a 4＝8a 4，a 4＝12，q 2＝a 4a 2＝116，又q ＞0，则q ＝14，a n ＝a 2q n －2＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －2＝27－2n ，则T n ＝a 1a 2…a n ＝25＋3＋…＋(7－2n )＝2n (6－n )，当n ＝3时，n (6－n )取得最大值9，此时T n 最大，即(T n )max ＝T 3，故选A ．]二、填空题9．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为________．2 [根据等比中项有a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，化简得a 1＝－4d ，S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝a 1＋2d 2a 1＋7d ＝－2d －d＝2.] 10．已知数列{a n }满足a 1＝－40，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，则a n 取最小值时n 的值为________．10或11 [由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ＝2n (n ＋1)，两边同时除以n (n ＋1)，得a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为－40、公差为2的等差数列，所以a nn ＝－40＋(n －1)×2＝2n －42，所以a n＝2n 2－42n ，对于二次函数f (x )＝2x 2－42x ，在x ＝－b2a＝－－424＝10.5时，f (x )取得最小值，因为n 取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n 取10或11时，a n 取最小值．]11．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________． 16 [S 10＝10a 1＋a 102＝40⇒a 1＋a 10＝a 3＋a 8＝8，a 3·a 8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋a 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16，当且仅当a 3＝a 8＝4时“＝”成立．]12．已知函数{a n }满足a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3，且a 1＝1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1的前20项和为________．780 [由a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3得2a n ＋3a n ＋1＝1a n ＋1＋1，即1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是以12为首项，2为公差的等差数列，则1a n ＋1＝2n －32，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1是以1为首项，4为公差的等差数列，其前20项的和为20＋10×19×4＝780.]三、解答题13．(2018·德阳二诊)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1 . (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和T n . [解] (1)∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0.∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＝2n －1， ∴2na n a n ＋1＝2n2n －12n ＋1－1＝12n －1－12n ＋1－1，∴T n ＝12－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1.14．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．[解] (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3；当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9；当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21. (2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3.由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)，所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n＋3＝(a1＋3)×2n－1，a n＝3(2n－1)(n∈N*)．。

等差数列和等比数列习题及答案

等差数列和等比数列习题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( )A ．18B ．12C ．9D ．62．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．643．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．94．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2B ．1－2C ．3＋2 2D ．3－225．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m ·a n ＝16a 21，m ，n ∈N *，则1m ＋9n的最小值为( ) A ．2B ．16C ．114D ．326．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝23，d ＝________. 7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N ，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝___________8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为_______.9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p (n ∈N *)，其中p 是不为零的常数．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)当p ＝3时，若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．10．(文)(2017·蚌埠质检)已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 23a 2n ＋3，且{b n }为递增数列，若c n ＝4b n ·b n ＋1，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1.【参考答案】1． D[解析] 本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式．由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D ．2． C[解析] 解法一：由条件知：a n >0，且⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝3，a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝15， ∴q ＝2.∴a 1＝1，∴S 6＝1－261－2＝63. 解法二：由题意知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即122＝3(S 6－15)，∴S 6＝63.3． D[解析] 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，所以a >0，b >0，不妨设a >b ，所以等比数列为a ，－2，b 或b ，－2，a 从而得到ab ＝4＝q ，等差数列为a ，b ，－2或－2，b ，a 从而得到2b ＝a －2，两式联立解出a ＝4，b ＝1，所以p ＝a ＋b ＝5，所以p ＋q ＝4＋5＝9.4． C[解析] 本题主要考查等差数列、等比数列．∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴12a 3×2＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍)，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 1q 8(1＋q )a 1q 6(1＋q )＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 5． C[解析] 设数列{a n }的公比为q ，a 3＝a 2＋2a 1⇒q 2＝q ＋2⇒q ＝－1(舍)或q ＝2，∴a n ＝a 1·2n －1，a m ·a n ＝16a 21⇒a 21·2m ＋n －2＝16a 21⇒m ＋n ＝6，∵m ，n ∈N *，∴(m ，n )可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值114. 6．－1[解析] 由题可得(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，故有3a 1＋2d ＝0，又因为2a 1＋a 2＝1，即3a 1＋d ＝1，联立可得d ＝－1，a 1＝23.7．91.[解析] 因为任意的n >1，n ∈N ，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，所以a n ＋1＝a n ＋2，因为a 3＝a 2＋2＝4，所以a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2＋(n －2)×2＝2n －2，n ≥2，所以S 10＝a 1＋a 2＋a 3…＋a 10＝1＋2＋4＋…＋18＝1＋2×9＋9×82×2＝91. 8．2.[解析] ∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q a 1q ＋a 1q 4＝4，解得a 1q ＝8，q 3＝－12， ∴a 8＝a 1q 7＝(a 1q )(q 3)2＝8×14＝2. 9．[解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －p (n ∈N *)，则S n －1＝4a n －1－p (n ∈N *，n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1. 由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p 3. 所以{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列． (2)因为a 1＝1，则a n ＝(43)n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ＝1,2，…)，得b n ＋1－b n ＝(43)n －1，当n ≥2时，由累加法得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－(43)n －11－43＝3·(43)n －1－1，当n ＝1时，上式也成立．∴b n ＝3·(43)n －1－1. 10．[解析] (1)设该等比数列的公比为q ，则根据题意有3·(1＋1q ＋1q 2)＝9，从而2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，a n ＝3；当q ＝－12时，a n ＝3·(－12)n －3. (2)证明：若a n ＝3，则b n ＝0，与题意不符，故a n ＝3(－12)n －3，此时a 2n ＋3＝3·(－12)2n ， ∴b n ＝2n ，符合题意．∴c n ＝42n ·(2n ＋2)＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1，从而c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝1－1n ＋1<1.。

求数列通项公式提升练习题(附答案和方法归纳)

数列11、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

2、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

3、已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4、已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

5、已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

6、已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

数列2 1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a3、已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项4、已知在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a5、已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

6、已知数列{}n a 中，11=a,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求na7、已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .8、已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a aa a ⋅==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a9、已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。